ทฤษฎีบทของเบส์เป็นทฤษฎีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คำอธิบายอย่างง่ายของทฤษฎีบทของเบส์

เมื่อได้สูตรมา ความน่าจะเป็นอย่างเต็มที่เหตุการณ์ควรจะเป็น ก, ความน่าจะเป็นที่จะถูกกำหนด, อาจเกิดขึ้นกับเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง ชม 1 , เอ็น 2 , ... , เอช เอ็น, สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบจับคู่ ในขณะเดียวกันความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่ระบุ(สมมติฐาน) เป็นที่ทราบล่วงหน้า สมมติว่ามีการทดลองซึ่งเป็นผลมาจากเหตุการณ์นั้น กได้มา. นี้ ข้อมูลเพิ่มเติมช่วยให้คุณสามารถประเมินความน่าจะเป็นของสมมติฐานอีกครั้ง สวัสดี ,มีการคำนวณ P(H ผม /A).

หรือใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

สูตรนี้เรียกว่าสูตรเบส์หรือทฤษฎีบทสมมติฐาน สูตรของ Bayes ช่วยให้คุณ "แก้ไข" ความน่าจะเป็นของสมมติฐานหลังจากที่มันเกิดขึ้น ผลลัพธ์ที่ทราบประสบการณ์ที่ส่งผลให้เกิดเหตุการณ์ ก.

ความน่าจะเป็น Р(Н ฉัน)เป็นความน่าจะเป็นเบื้องต้นของสมมติฐาน (คำนวณก่อนการทดลอง) ความน่าจะเป็น P(สูง ฉัน /A)เป็นความน่าจะเป็นหลังของสมมติฐาน (คำนวณหลังจากการทดลอง) สูตร Bayes ช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นหลังจากความน่าจะเป็นก่อนหน้าและจากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ ก.

ตัวอย่าง. เป็นที่ทราบกันดีว่า 5% ของผู้ชายทั้งหมดและ 0.25% ของผู้หญิงทั้งหมดตาบอดสี บุคคลที่สุ่มเลือกตามหมายเลขบัตรแพทย์เป็นโรคตาบอดสี ความน่าจะเป็นที่เป็นผู้ชายคืออะไร?

สารละลาย. เหตุการณ์ กบุคคลนั้นตาบอดสี พื้นที่ของกิจกรรมเบื้องต้นสำหรับการทดลอง - บุคคลถูกเลือกตามหมายเลขบัตรแพทย์ - Ω = ( ชม 1 , เอ็น 2 ) ประกอบด้วย 2 เหตุการณ์คือ

ชม 1 - ผู้ชายถูกเลือก

ชม 2 - ผู้หญิงถูกเลือก

เหตุการณ์เหล่านี้สามารถเลือกเป็นสมมติฐานได้

ตามเงื่อนไขของปัญหา (ตัวเลือกแบบสุ่ม) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากันและเท่ากับ พี(เอช 1 ) = 0.5; พี(เอช 2 ) = 0.5.

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่คนตาบอดสีจะเท่ากันตามลำดับ:

กระทะ 1 ) = 0.05 = 1/20; กระทะ 2 ) = 0.0025 = 1/400.

เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่าบุคคลที่เลือกนั้นตาบอดสี กล่าวคือ มีเหตุการณ์เกิดขึ้น เราจึงใช้สูตร Bayes เพื่อประเมินสมมติฐานแรกอีกครั้ง:

ตัวอย่าง.มีสามกล่องที่เหมือนกัน กล่องแรกมีลูกบอลสีขาว 20 ลูก กล่องที่สองมีลูกบอลสีขาว 10 ลูกและสีดำ 10 ลูก และกล่องที่สามมีลูกบอลสีดำ 20 ลูก ลูกบอลสีขาวจะถูกดึงออกมาจากกล่องที่สุ่มเลือก คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกดึงออกมาจากช่องแรก

สารละลาย. แสดงโดย กเหตุการณ์ - เกิดขึ้น ลูกบอลสีขาว. สามารถตั้งสมมติฐานได้สามข้อ (สมมุติฐาน) เกี่ยวกับการเลือกกล่อง: ชม 1 ,ชม 2 , ชม 3 - การเลือกกล่องที่หนึ่ง สอง และสามตามลำดับ

เนื่องจากการเลือกกล่องใดกล่องหนึ่งเป็นไปได้เท่าๆ กัน ความน่าจะเป็นของสมมติฐานจึงเท่ากัน:

พี(เอช 1 )=P(ห 2 )=P(ห 3 )= 1/3.

ตามเงื่อนไขของโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากกล่องแรก

ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวจากกล่องที่สอง

ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวจากกล่องที่สาม

เราค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยใช้สูตร Bayes:

การทดสอบซ้ำ สูตรเบอร์นูลลี.

มีการทดลอง n ครั้ง ซึ่งในแต่ละเหตุการณ์ A อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งจะคงที่ กล่าวคือ ไม่เปลี่ยนจากประสบการณ์สู่ประสบการณ์ เราทราบวิธีหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดลองหนึ่งแล้ว

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในจำนวนครั้งที่แน่นอน (m ครั้ง) ในการทดลอง n ครั้ง ปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ง่ายหากการทดสอบเป็นอิสระ

เดฟเรียกการทดสอบหลายอย่าง อิสระตามเหตุการณ์ ก หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในแต่ละเหตุการณ์ไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่นๆ

ความน่าจะเป็น P n (m) ของการเกิดเหตุการณ์ A ตรง m ครั้ง (ไม่เกิดขึ้น n-m ครั้ง, เหตุการณ์ ) ในการทดลอง n เหล่านี้ เหตุการณ์ A ปรากฏในลำดับต่างๆ m ครั้ง)

- สูตรของ Bernoulli

สูตรต่อไปนี้ชัดเจน:

พี เอ็น (ม น้อย k ครั้งในการทดลอง n ครั้ง

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A มากกว่า k ครั้งในการทดลอง n ครั้ง

สูตรเบย์

ทฤษฎีบทของเบส์- หนึ่งในทฤษฎีบทหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขเมื่อทราบข้อมูลเพียงบางส่วนเกี่ยวกับเหตุการณ์จากการสังเกต ตามสูตรของ Bayes เป็นไปได้ที่จะคำนวณความน่าจะเป็นใหม่ได้แม่นยำยิ่งขึ้น โดยคำนึงถึงข้อมูลที่ทราบก่อนหน้านี้และข้อมูลจากการสังเกตใหม่

“ความหมายทางกายภาพ” และคำศัพท์

สูตรของ Bayes ช่วยให้คุณ "จัดเรียงเหตุและผลใหม่": ตาม ข้อเท็จจริงที่ทราบเหตุการณ์เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่เกิดจากสาเหตุที่กำหนด

เหตุการณ์สะท้อนการกระทำของ "สาเหตุ" ใน กรณีนี้เรียกกันทั่วไปว่า สมมติฐาน, เพราะพวกเขาเป็น ที่ควรเหตุการณ์ที่นำไปสู่ ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของความถูกต้องของสมมติฐานเรียกว่า เบื้องต้น(สาเหตุน่าจะเป็นไปได้แค่ไหน? เลย) และเงื่อนไข - คำนึงถึงข้อเท็จจริงของเหตุการณ์ - หลัง(สาเหตุน่าจะเป็นไปได้แค่ไหน? กลายเป็นว่าคำนึงถึงข้อมูลเหตุการณ์).

ผลที่ตามมา

ผลลัพธ์ที่สำคัญของสูตร Bayes คือสูตรสำหรับความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับ หลายสมมติฐานที่ไม่สอดคล้องกัน ( และจากพวกเขาเท่านั้น!).

- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ขขึ้นอยู่กับสมมติฐานหลายประการ ก ฉันหากทราบระดับความน่าเชื่อถือของสมมติฐานเหล่านี้ (เช่น วัดจากการทดลอง)

ที่มาของสูตร

หากเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับสาเหตุเท่านั้น ก ฉันถ้ามันเกิดขึ้นก็หมายความว่าเหตุผลบางอย่างจำเป็นต้องเกิดขึ้นเช่น

โดยบายศรีสูตร

โอนย้าย พี(ข) ทางด้านขวา เราได้นิพจน์ที่ต้องการ

วิธีการกรองสแปม

วิธีการตามทฤษฎีบทของ Bayes ได้ถูกนำไปใช้ในการกรองสแปมได้สำเร็จ

คำอธิบาย

เมื่อฝึกตัวกรอง สำหรับแต่ละคำที่พบในตัวอักษร "น้ำหนัก" ของคำนั้นจะถูกคำนวณและจัดเก็บ - ความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรที่มีคำนี้เป็นสแปม (ในกรณีที่ง่ายที่สุดคือ คำนิยามคลาสสิกความน่าจะเป็น: "การปรากฏในสแปม / การเกิดขึ้นของทุกสิ่ง")

เมื่อตรวจสอบจดหมายที่เพิ่งมาถึง ความน่าจะเป็นที่จะเป็นสแปมจะถูกคำนวณตามสูตรข้างต้นสำหรับชุดของสมมติฐาน ในกรณีนี้ "สมมติฐาน" คือคำและสำหรับแต่ละคำ "ความน่าเชื่อถือของสมมติฐาน" -% ของคำนี้ในจดหมายและ "การพึ่งพาเหตุการณ์ในสมมติฐาน" พี(ข | ก ฉัน) - คำนวณ "น้ำหนัก" ของคำก่อนหน้านี้ นั่นคือ "น้ำหนัก" ของจดหมายในกรณีนี้ไม่ใช่อะไรนอกจาก "น้ำหนัก" เฉลี่ยของคำทั้งหมด

จดหมายถูกจัดประเภทเป็น "สแปม" หรือ "ไม่ใช่สแปม" โดยพิจารณาว่า "น้ำหนัก" ของจดหมายนั้นเกินกว่าแถบที่กำหนดโดยผู้ใช้หรือไม่ (โดยปกติจะใช้ 60-80%) หลังจากตัดสินใจเกี่ยวกับจดหมายแล้ว "น้ำหนัก" ของคำที่รวมอยู่ในนั้นจะได้รับการอัปเดตในฐานข้อมูล

ลักษณะ

วิธีนี้ง่าย (อัลกอริทึมเป็นพื้นฐาน) สะดวก (ช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องใช้ "บัญชีดำ" และเทคนิคประดิษฐ์ที่คล้ายกัน) มีประสิทธิภาพ (หลังจากฝึกฝนมาเพียงพอ ตัวอย่างขนาดใหญ่ตัดสแปมได้ถึง 95-97% และในกรณีที่มีข้อผิดพลาดสามารถฝึกใหม่ได้) โดยทั่วไปมีข้อบ่งชี้ทั้งหมดสำหรับการใช้งานอย่างแพร่หลายซึ่งเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติ - ตัวกรองสแปมสมัยใหม่เกือบทั้งหมดสร้างขึ้นบนพื้นฐานของมัน

อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ยังมีข้อเสียเปรียบพื้นฐาน: มัน ตามสมมติฐาน, อะไร คำบางคำพบได้บ่อยในสแปม ในขณะที่คำอื่นๆ พบได้ทั่วไปในอีเมลทั่วไปและไม่มีประสิทธิภาพหากสมมติฐานนี้เป็นเท็จ อย่างไรก็ตาม ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ แม้แต่บุคคลก็ไม่สามารถระบุสแปมดังกล่าวได้ "ด้วยตา" - หลังจากอ่านจดหมายและเข้าใจความหมายของมันแล้วเท่านั้น

ข้อเสียอื่นที่ไม่ใช่พื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับการใช้งาน - วิธีการนี้ใช้ได้กับข้อความเท่านั้น เมื่อทราบถึงข้อจำกัดนี้ ผู้ส่งสแปมจึงเริ่มใส่ข้อมูลโฆษณาลงในรูปภาพ ในขณะที่ข้อความในจดหมายขาดหายไปหรือไม่สมเหตุสมผล ในการทำเช่นนี้ เราต้องใช้เครื่องมือการรู้จำข้อความอย่างใดอย่างหนึ่ง (ขั้นตอนที่ "แพง" จะใช้เฉพาะเมื่อ ภาวะฉุกเฉิน) หรือวิธีการกรองแบบเก่า - "บัญชีดำ" และนิพจน์ทั่วไป (เนื่องจากตัวอักษรดังกล่าวมักมีรูปแบบตายตัว)

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

ลิงค์

วรรณกรรม

เบิร์ด กีวี่. ทฤษฎีบทรายได้ของเบย์ส // นิตยสาร Computerra ฉบับวันที่ 24 สิงหาคม 2544
พอล เกรแฮม. แผนการสำหรับสแปม // เว็บไซต์ส่วนตัวของ Paul Graham

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

ดูว่า "สูตร Bayes" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

สูตรที่มีลักษณะดังนี้ โดยที่ a1, A2, ..., An เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ รูปแบบทั่วไปสำหรับการประยุกต์ใช้ F. ใน g.: ถ้าเหตุการณ์ B สามารถเกิดขึ้นได้ในการถอดรหัส เงื่อนไขที่ n สมมุติฐาน A1, A2, ..., An สร้างขึ้นด้วยความน่าจะเป็น P (A1), ... ทราบก่อนการทดลอง ... ... สารานุกรมธรณีวิทยา

ให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่น่าสนใจผ่านความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์นี้ โดยตั้งสมมติฐานบางอย่าง ตลอดจนความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้ สูตรปล่อยให้มันเป็นไป พื้นที่ความน่าจะเป็นและกลุ่มเต็มเป็นคู่ ... ... Wikipedia

ให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่น่าสนใจผ่านความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์นี้ โดยตั้งสมมติฐานบางอย่าง ตลอดจนความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้ การกำหนด ให้พื้นที่ความน่าจะเป็นและกลุ่มของเหตุการณ์ทั้งหมด เช่น ... ... วิกิพีเดีย

- (หรือสูตรของ Bayes) หนึ่งในทฤษฎีบทหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งช่วยให้คุณกำหนดความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ (สมมติฐาน) จะเกิดขึ้นต่อหน้าหลักฐานทางอ้อมเท่านั้น (ข้อมูล) ที่อาจไม่ถูกต้อง ... Wikipedia

ทฤษฎีบทของเบย์เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลัก ทฤษฎีเบื้องต้นความน่าจะเป็น ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่ทราบข้อมูลเพียงบางส่วนเกี่ยวกับเหตุการณ์นั้นจากการสังเกต ตามสูตรของ Bayes คุณสามารถ ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes สาธุคุณ Thomas Bayes วันเดือนปีเกิด: พ.ศ. 2245 (ค.ศ. 1702) สถานที่เกิด ... Wikipedia

Thomas Bayes สาธุคุณ Thomas Bayes วันเดือนปีเกิด: พ.ศ. 2245 (ค.ศ. 1702) สถานที่เกิด: ลอนดอน ... Wikipedia

การอนุมานแบบเบย์เป็นวิธีการอนุมานทางสถิติวิธีหนึ่ง ซึ่งสูตรเบส์ถูกใช้เพื่อปรับแต่งค่าประมาณความน่าจะเป็นของความจริงของสมมติฐานเมื่อมีหลักฐานมาถึง การใช้การอัปเดตแบบเบย์มีความสำคัญอย่างยิ่งใน ... ... Wikipedia

คุณต้องการปรับปรุงบทความนี้หรือไม่: ค้นหาและระบุเชิงอรรถสำหรับการอ้างอิงถึงแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ซึ่งยืนยันสิ่งที่เขียน วางเชิงอรรถระบุแหล่งที่มาได้แม่นยำยิ่งขึ้น เปเร ... วิกิพีเดีย

นักโทษจะหักหลังกัน ทำตามผลประโยชน์ที่เห็นแก่ตัวของพวกเขาเอง หรือพวกเขาจะนิ่งเฉย คำทั่วไป? ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกของนักโทษ (Eng. ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกของนักโทษชื่อ "ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก" มักใช้น้อยกว่า ... Wikipedia

หนังสือ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ในปัญหา: มากกว่า 360 ปัญหาและแบบฝึกหัด, Borzykh D. คู่มือที่นำเสนอประกอบด้วยปัญหาที่มีความซับซ้อนหลายระดับ อย่างไรก็ตาม มุ่งเน้นไปที่งาน ความยากปานกลาง. สิ่งนี้ทำขึ้นโดยเจตนาเพื่อส่งเสริมให้นักเรียน ...

ทฤษฎีบทของเบส์อธิบายโดยละเอียดในบทความแยกต่างหาก นี่เป็นงานที่ยอดเยี่ยม แต่มี 15,000 คำ แก่นแท้ของทฤษฎีบทได้รับการอธิบายสั้นๆ ในการแปลบทความเดียวกันโดย Kalid Azad

ผลการวิจัยและการทดสอบไม่ใช่เหตุการณ์มีวิธีการวินิจฉัยโรคมะเร็ง แต่มีเหตุการณ์ - การปรากฏตัวของโรค อัลกอริทึมตรวจสอบว่าข้อความมีสแปมหรือไม่ แต่ต้องพิจารณาเหตุการณ์ (สแปมมาที่อีเมลจริงๆ) แยกจากผลงาน
มีข้อผิดพลาดในผลการทดสอบบ่อยครั้งที่วิธีการวิจัยของเราเปิดเผยสิ่งที่ไม่ใช่ (ผลบวกลวง) และไม่เปิดเผยสิ่งที่เป็น (ผลลบเท็จ)
ด้วยความช่วยเหลือของการทดลอง เราได้รับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่แน่นอนเรามักจะดูผลการทดสอบด้วยตัวเองและไม่คำนึงถึงข้อผิดพลาดของวิธีการ
ผลบวกลวงบิดเบือนภาพสมมติว่าคุณกำลังพยายามตรวจหาปรากฏการณ์ที่หายากมาก (1 ใน 1,000,000) แม้ว่าวิธีการของคุณจะแม่นยำ แต่ก็มีความเป็นไปได้ที่ผลบวกจะเป็นผลบวกลวง
สะดวกกว่าที่จะทำงานกับตัวเลขธรรมชาติดีกว่าที่จะพูด: 100 จาก 10,000 ไม่ใช่ 1% ด้วยวิธีนี้ จะมีข้อผิดพลาดน้อยลง โดยเฉพาะเมื่อคูณ สมมติว่าเราต้องดำเนินการต่อไปอีก 1% การให้เหตุผลเป็นเปอร์เซ็นต์นั้นค่อนข้างงุ่มง่าม: "ใน 80% ของกรณีจาก 1% ได้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก" รับรู้ข้อมูลที่ง่ายกว่ามากดังนี้: "ใน 80 กรณีจาก 100 พบว่ามีผลลัพธ์ที่เป็นบวก"
แม้แต่ในทางวิทยาศาสตร์ ความจริงใดๆ ก็เป็นเพียงผลลัพธ์ของการใช้วิธีการบางอย่างเท่านั้นจากมุมมองทางปรัชญา การทดลองทางวิทยาศาสตร์เป็นเพียงการทดสอบกับข้อผิดพลาดที่น่าจะเป็น มีวิธีการคือ สารเคมีหรือปรากฏการณ์บางอย่าง และมีเหตุการณ์นั้นเอง - การปรากฏตัวของปรากฏการณ์นี้ วิธีการทดสอบของเราสามารถให้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดได้ และอุปกรณ์ใดๆ ก็มีข้อผิดพลาดโดยธรรมชาติ

ทฤษฎีบทของ Bayes เปลี่ยนผลการทดสอบเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

หากเราทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และความน่าจะเป็นของผลบวกปลอมและผลลบลวง เราสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดในการวัดได้
ทฤษฎีบทสัมพันธ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่แน่นอน เราสามารถเชื่อมโยง Pr(A|X): ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จากผลลัพธ์ X และ Pr(X|A): ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ X จากเหตุการณ์ A

ทำความเข้าใจกับวิธีการ

บทความที่อ้างถึงในตอนต้นของบทความนี้กล่าวถึงวิธีการตรวจวินิจฉัย (แมมโมแกรม) ที่ตรวจหามะเร็งเต้านม ลองพิจารณาวิธีนี้โดยละเอียด

1% ของผู้หญิงทุกคนเป็นมะเร็งเต้านม (และ 99% ไม่ป่วย)
80% ของแมมโมแกรมตรวจพบโรคได้เมื่อเป็นโรค (และ 20% ตรวจไม่พบ)
9.6% ของการศึกษาตรวจพบมะเร็งเมื่อไม่มี (และ 90.4% รายงานผลเชิงลบอย่างถูกต้อง)

ตอนนี้มาสร้างตารางดังนี้:

วิธีทำงานกับข้อมูลนี้

1% ของผู้หญิงเป็นมะเร็งเต้านม
หากผู้ป่วยเป็นโรค ดูในคอลัมน์แรก: มีโอกาส 80% ที่วิธีการให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง และโอกาส 20% ที่ผลการศึกษาไม่ถูกต้อง (ผลลบเท็จ)
หากผู้ป่วยไม่ได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นโรค ให้ดูที่คอลัมน์ที่สอง ด้วยความน่าจะเป็น 9.6% เราสามารถพูดได้ว่าผลบวกของการศึกษานั้นไม่ถูกต้อง และด้วยความน่าจะเป็น 90.4% เราสามารถพูดได้ว่าผู้ป่วยมีสุขภาพแข็งแรงจริงๆ

วิธีนี้แม่นยำแค่ไหน?

ทีนี้มาดูผลการทดสอบที่เป็นบวกกัน ความน่าจะเป็นที่คน ๆ หนึ่งจะป่วยจริง ๆ คือ 80%, 90%, 1%?

ลองคิดดูว่า:

มีผลเป็นบวก เราจะวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: ผลลัพธ์ที่ได้สามารถเป็นได้ทั้งผลบวกจริงและผลบวกปลอม
ความน่าจะเป็นของผลบวกที่แท้จริงเท่ากับ: ความน่าจะเป็นที่จะป่วยคูณด้วยความน่าจะเป็นที่การทดสอบตรวจพบโรคจริง 1% * 80% = .008
ความน่าจะเป็นของผลบวกปลอมเท่ากับ: ความน่าจะเป็นที่ไม่มีโรค คูณด้วยความน่าจะเป็นที่วิธีการตรวจพบโรคไม่ถูกต้อง 99% * 9.6% = .09504

ตอนนี้ตารางมีลักษณะดังนี้:

ความน่าจะเป็นที่คนจะป่วยจริง ๆ หากผลแมมโมแกรมเป็นบวกเป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ต่อ ทั้งหมดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ = ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ / ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของผลบวกที่แท้จริงคือ .008 ความน่าจะเป็นของผลบวกคือความน่าจะเป็นของผลบวกจริง + ความน่าจะเป็นของผลบวกปลอม

(.008 + 0.09504 = .10304)

ดังนั้นความน่าจะเป็นของโรคที่มีผลการศึกษาเป็นบวกจึงคำนวณได้ดังนี้ .008 / .10304 = 0.0776 ค่านี้ประมาณ 7.8%

นั่นคือผลการตรวจแมมโมแกรมเป็นบวกหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะเป็นโรคคือ 7.8% ไม่ใช่ 80% (ค่าหลังเป็นเพียงความแม่นยำโดยประมาณของวิธีการ) ผลลัพธ์ดังกล่าวดูเหมือนจะเข้าใจยากและแปลกในตอนแรก แต่คุณต้องคำนึงถึง: วิธีการนี้ให้ผลบวกลวงใน 9.6% ของกรณี (ซึ่งค่อนข้างมาก) ดังนั้นจะมีผลลัพธ์ที่เป็นบวกผิดพลาดจำนวนมากในตัวอย่าง สำหรับโรคที่หายาก ผลบวกส่วนใหญ่จะเป็นผลบวกลวง

ลองดูตารางและพยายามเข้าใจความหมายของทฤษฎีบทโดยสัญชาตญาณ ถ้าเรามีประชากร 100 คน จะมีโรคนี้เพียง 1 คน (1%) ในบุคคลนี้ด้วยความน่าจะเป็น 80% วิธีนี้จะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก จาก 99% ที่เหลือ 10% จะมีผลบวก ซึ่งพูดคร่าวๆ ได้ว่า 10 ใน 100 เป็นผลบวกลวง หากเราพิจารณาผลลัพธ์ในเชิงบวกทั้งหมด จะมีเพียง 1 ใน 11 เท่านั้นที่จะเป็นจริง ดังนั้นหากได้ผลบวก ความน่าจะเป็นของโรคคือ 1/11

ข้างต้น เราคำนวณว่าความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ 7.8% นั่นคือ ตัวเลขนั้นใกล้เคียงกับ 1/13 จริง ๆ แต่ที่นี่ ด้วยเหตุผลง่าย ๆ เราสามารถหาค่าประมาณคร่าว ๆ ได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

ทฤษฎีบทของเบส์

ทีนี้มาอธิบายความคิดของเราด้วยสูตรที่เรียกว่าทฤษฎีบทของเบส์ ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขผลลัพธ์ของการศึกษาตามการบิดเบือนที่แนะนำผลบวกปลอม:

Pr(A|X) = ความน่าจะเป็นของการเกิดโรค (A) ที่มีผลเป็นบวก (X) นี่คือสิ่งที่เราต้องการทราบ: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในกรณีที่ผลลัพธ์เป็นบวกคือเท่าใด ในตัวอย่างของเรา จะเท่ากับ 7.8%
Pr(X|A) = ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลบวก (X) ในกรณีที่ผู้ป่วยป่วยจริง (A) ในกรณีของเรา นี่คือค่าของผลบวกจริง - 80%
Pr(A) = ความน่าจะเป็นที่จะป่วย (1%)
Pr(not A) = ความน่าจะเป็นที่จะไม่ป่วย (99%)
Pr(X|not A) = ความน่าจะเป็นของผลการศึกษาที่เป็นบวกหากไม่มีโรค นี่คือค่าของผลบวกปลอม - 9.6%

เราสามารถสรุปได้ว่าเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คุณต้องหารความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เชิงบวกที่แท้จริงด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เชิงบวกทั้งหมด ตอนนี้เราลดความซับซ้อนของสมการได้แล้ว:
Pr(X) คือค่าคงที่ของการทำให้เป็นมาตรฐาน เธอให้บริการเราอย่างดี หากไม่มีเธอ ผลการทดสอบที่เป็นบวกจะทำให้เรามีโอกาส 80% ที่จะเกิดเหตุการณ์
Pr(X) คือความน่าจะเป็นของผลบวกใดๆ ไม่ว่าจะเป็นผลบวกจริงในการศึกษาผู้ป่วย (1%) หรือผลบวกลวงในการศึกษา คนที่มีสุขภาพดี (99%).

ในตัวอย่างของเรา Pr(X) มีค่าค่อนข้างมาก เบอร์ใหญ่เนื่องจากมีความเป็นไปได้สูงที่จะได้ผลบวกลวง

Pr(X) ให้ผลลัพธ์ 7.8% ซึ่งเมื่อมองแวบแรกดูเหมือนว่าจะขัดกับสัญชาตญาณ

ความหมายของทฤษฎีบท

เรากำลังทดสอบเพื่อค้นหาสถานะที่แท้จริงของสิ่งต่าง ๆ หากการทดสอบของเราสมบูรณ์แบบและแม่นยำ ความน่าจะเป็นของการทดลองและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะสอดคล้องกัน ผลลัพธ์ที่เป็นบวกทั้งหมดจะเป็นบวกอย่างแท้จริง และผลลัพธ์ที่เป็นลบจะเป็นลบ แต่เราอาศัยอยู่ใน โลกแห่งความจริง. และในโลกของเรา การทดสอบให้ผลลัพธ์ที่ผิด ทฤษฎีบทของเบย์คำนึงถึงผลลัพธ์ที่เบ้ แก้ไขข้อผิดพลาด สร้างใหม่ ประชากรทั่วไปและค้นหาความน่าจะเป็นของผลบวกที่แท้จริง

ตัวกรองสแปม

ทฤษฎีบทของ Bayes ถูกนำไปใช้ในตัวกรองสแปมเรียบร้อยแล้ว

เรามี:

เหตุการณ์ A - ในอีเมลสแปม
ผลการทดสอบคือเนื้อหาของคำบางคำในจดหมาย:

ตัวกรองจะพิจารณาผลการทดสอบ (เนื้อหาของคำบางคำในอีเมล) และคาดการณ์ว่าอีเมลนั้นมีสแปมหรือไม่ ทุกคนเข้าใจว่าเช่นคำว่า "ไวอากร้า" นั้นพบได้ทั่วไปในสแปมมากกว่าในอีเมลทั่วไป

ตัวกรองสแปมตามบัญชีดำมีข้อเสียที่มักสร้างผลบวกปลอม

ตัวกรองสแปมแบบเบย์ใช้วิธีการวัดผลและสมเหตุสมผล: ใช้งานได้กับความน่าจะเป็น เมื่อเราวิเคราะห์คำในอีเมล เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่อีเมลนั้นเป็นสแปมแทนที่จะตัดสินใจใช่/ไม่ใช่ หากมีโอกาส 99% ที่อีเมลมีสแปม แสดงว่าอีเมลนั้นเป็นสแปมจริงๆ

เมื่อเวลาผ่านไป ตัวกรองจะฝึกฝนตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นกว่าเดิมและอัปเดตความน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่น ตัวกรองขั้นสูงตามทฤษฎีบทของ Bayes จะตรวจสอบคำหลายคำในแถวและใช้เป็นข้อมูล

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม:

แท็ก: เพิ่มแท็ก

เทคโนโลยีสารสนเทศ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และการจัดการ

เกี่ยวกับการบังคับใช้สูตรเบส์

อย.10.12737/16076

เอ. ไอ. ดอลกอฟ**

1บริษัทร่วมหุ้น "สำนักออกแบบสำหรับการตรวจสอบวิทยุของระบบควบคุม การนำทาง และการสื่อสาร", Rostov-on-Don, สหพันธรัฐรัสเซีย

ในการบังคับใช้ Bayes" สูตร*** A. I. Dolgov1**

1"สำนักออกแบบเกี่ยวกับการตรวจสอบการควบคุม ระบบนำทาง และการสื่อสาร" JSC, Rostov-on-Don, สหพันธรัฐรัสเซีย

เรื่อง การศึกษาครั้งนี้เป็นสูตรเบส์ วัตถุประสงค์ของงานนี้คือการวิเคราะห์และขยายขอบเขตของสูตร งานหลักคือการศึกษาสิ่งพิมพ์ที่อุทิศให้กับปัญหานี้ซึ่งทำให้สามารถระบุข้อบกพร่องของการใช้สูตร Bayes ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง งานต่อไปคือสร้างการปรับเปลี่ยนสูตร Bayes ที่คำนึงถึงหลักฐานเดี่ยวต่างๆ และได้รับผลลัพธ์ที่ถูกต้อง และสุดท้าย ในตัวอย่างข้อมูลเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจง จะเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องที่ได้รับโดยใช้สูตร Bayes และผลลัพธ์ที่ถูกต้องที่คำนวณโดยใช้การแก้ไขที่เสนอ ใช้สองวิธีในการศึกษา ขั้นแรกให้วิเคราะห์หลักการก่อสร้าง การแสดงออกที่มีชื่อเสียงใช้ในการเขียนสูตร Bayes และการแก้ไข ประการที่สอง ดำเนินการประเมินผลเปรียบเทียบ (รวมทั้งเชิงปริมาณ) การปรับเปลี่ยนที่เสนอทำให้การประยุกต์ใช้สูตร Bayes กว้างขึ้นในทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ รวมถึงเมื่อทำการแก้ งานที่ใช้.

คำหลักคำสำคัญ: ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข, สมมติฐานที่เข้ากันไม่ได้, หลักฐานที่เข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้, การทำให้เป็นมาตรฐาน

สูตร Bayes เป็นหัวข้อวิจัย วัตถุประสงค์ของงานคือการวิเคราะห์การใช้สูตรและขยายขอบเขตของการบังคับใช้ ปัญหาลำดับความสำคัญอันดับแรกรวมถึงการระบุข้อเสียของสูตร Bayes จากการศึกษาสิ่งพิมพ์ที่เกี่ยวข้องซึ่งนำไปสู่ความไม่ถูกต้อง ผลลัพธ์. งานต่อไปคือการสร้างการปรับเปลี่ยนสูตร Bayes เพื่อให้บัญชีของตัวบ่งชี้เดี่ยวต่างๆ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง และสุดท้าย ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องที่ได้รับจากการใช้สูตร Bayes จะถูกนำไปเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ถูกต้องที่คำนวณโดยใช้ เสนอการแก้ไขสูตรโดยตัวอย่างของข้อมูลเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจง ใช้สองวิธีในการศึกษา ขั้นแรก การวิเคราะห์หลักการของการสร้างนิพจน์ที่รู้จักซึ่งใช้ในการบันทึกสูตรเบส์และการดัดแปลงนั้นดำเนินการ ประการที่สอง การประเมินเปรียบเทียบผลลัพธ์ (รวมทั้งเชิงปริมาณ) จะดำเนินการ การปรับเปลี่ยนที่เสนอนี้ทำให้มีการประยุกต์ใช้สูตร Bayes ได้กว้างขึ้นทั้งทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ รวมถึงวิธีการแก้ปัญหาที่นำไปใช้

คำสำคัญ: ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข, สมมติฐานที่ไม่สอดคล้องกัน, สิ่งบ่งชี้ที่เข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้, การทำให้เป็นมาตรฐาน

การแนะนำ. สูตร Bayes ถูกนำมาใช้มากขึ้นเรื่อยๆ ในทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ รวมทั้งในการแก้ปัญหาประยุกต์ด้วยความช่วยเหลือของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ การใช้ขั้นตอนการคำนวณที่เป็นอิสระต่อกันทำให้สามารถนำไปใช้ได้ สูตรนี้เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับระบบคอมพิวเตอร์หลายตัวประมวลผลเนื่องจากในกรณีนี้การดำเนินการแบบขนานจะดำเนินการที่ระดับ โครงการทั่วไปและเมื่อเพิ่มอัลกอริทึมหรือคลาสของงานถัดไป ก็ไม่จำเป็นต้องทำงานซ้ำในการทำให้ขนานกัน

หัวข้อของการศึกษานี้คือการประยุกต์ใช้สูตร Bayes สำหรับการประเมินเปรียบเทียบหลัง ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสมมติฐานที่ไม่สอดคล้องกับหลักฐานเดี่ยวที่แตกต่างกัน ดังที่การวิเคราะห์แสดงให้เห็น ในกรณีเช่นนี้ ความน่าจะเป็นที่เป็นมาตรฐานของเหตุการณ์รวมที่เข้ากันไม่ได้ที่เป็นของ

เอส เอ็กซ์<и ч и

IS eö และ IS X X<и H

"งานนี้ดำเนินการโดยเป็นส่วนหนึ่งของโครงการวิจัยตามพระราชดำริ

** อีเมล: [ป้องกันอีเมล]

""การวิจัยดำเนินการภายใต้กรอบของ R&D อิสระ

สำหรับกลุ่มเหตุการณ์ต่างๆ ที่สมบูรณ์ ในขณะเดียวกัน ผลลัพธ์ที่เปรียบเทียบออกมาไม่เพียงพอกับข้อมูลทางสถิติจริง เนื่องจากปัจจัยต่อไปนี้:

ใช้การปรับมาตรฐานที่ไม่ถูกต้อง

การมีอยู่หรือไม่มีจุดตัดของหลักฐานที่พิจารณาจะไม่ถูกนำมาพิจารณา

เพื่อกำจัดข้อบกพร่องที่ระบุจะมีการระบุกรณีของการบังคับใช้สูตร Bayes หากใช้สูตรที่ระบุไม่ได้ ปัญหาของการสร้างการดัดแปลงจะได้รับการแก้ไข ซึ่งทำให้แน่ใจว่าหลักฐานเดี่ยวต่างๆ ถูกนำมาพิจารณาเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ในตัวอย่างของข้อมูลเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจง ได้ทำการประเมินเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ไม่ถูกต้อง - ได้โดยใช้สูตร Bayes

ถูกต้อง - คำนวณโดยใช้การแก้ไขที่เสนอ

ตำแหน่งเริ่มต้น. ข้อความต่อไปนี้อิงตามหลักการของการรักษาอัตราส่วนความน่าจะเป็น: "การประมวลผลความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ถูกต้องเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อทำให้เป็นมาตรฐานโดยใช้ตัวหารที่ทำให้เป็นมาตรฐานร่วมกันหนึ่งตัวที่รับประกันความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่เป็นมาตรฐานต่ออัตราส่วนของค่าปกติที่สอดคล้องกัน ความน่าจะเป็น” . หลักการนี้แสดงถึงพื้นฐานเชิงอัตนัยของทฤษฎีความน่าจะเป็น แต่ไม่ได้สะท้อนให้เห็นอย่างถูกต้องในวรรณกรรมด้านการศึกษา วิทยาศาสตร์ และเทคนิคสมัยใหม่

หากหลักการนี้ถูกละเมิด ข้อมูลเกี่ยวกับระดับความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่กำลังพิจารณาจะถูกบิดเบือน ผลลัพธ์ที่ได้จากข้อมูลที่บิดเบือนและการตัดสินใจนั้นไม่เพียงพอต่อข้อมูลทางสถิติที่แท้จริง

แนวคิดต่อไปนี้จะใช้ในบทความนี้:

เหตุการณ์เบื้องต้นคือเหตุการณ์ที่ไม่สามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบได้

เหตุการณ์รวม - เหตุการณ์ที่แสดงถึงการรวมกันของเหตุการณ์พื้นฐานอย่างใดอย่างหนึ่ง

เหตุการณ์ที่เข้ากันได้ - เหตุการณ์ที่ในบางกรณีของการประเมินเปรียบเทียบความน่าจะเป็นอาจเข้ากันไม่ได้ และในกรณีอื่น ๆ ร่วมกัน

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในทุกกรณี

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็น P (U ^ E) ของผลคูณของเหตุการณ์เบื้องต้น U ^ และ

E คำนวณเป็นผลคูณของความน่าจะเป็น P(Uk E) = P(E)P(U^E) ในเรื่องนี้มักจะใช้สูตรเบส์

เขียนในรูปแบบ Р(Ик\Е) = - - - อธิบายคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลัง

P(U^E) สมมุติฐาน Uk (k = 1,...n) บนพื้นฐานของการทำให้เป็นปกติของความน่าจะเป็นเบื้องต้น P(U^E) ของการรวมกันที่พิจารณา เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และสำหรับ E แต่ละเหตุการณ์เหล่านี้เป็นตัวแทนของผลิตภัณฑ์ ปัจจัยที่เป็นหนึ่งในสมมติฐานที่ได้รับการพิจารณาและอีกหนึ่งหลักฐานที่พิจารณา พร้อมกันนี้ถือว่าทุกอย่าง

เหตุการณ์ uIKE (k = 1,...n) สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์รวมกันที่เข้ากันไม่ได้ของ uIKE เนื่องจาก

ซึ่งความน่าจะเป็น P(Ik E) ควรทำให้เป็นมาตรฐานโดยคำนึงถึงสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด ตามที่

ฝูง P(E) = 2 P(สหราชอาณาจักร)P(E\Uk). ดังนั้นสูตร Bayes จึงมักเขียนในรูปแบบที่ใช้บ่อยที่สุด:

พี(อุ้ย) พี(อิค)

P(สหราชอาณาจักร \ E) \u003d -. (1)

^ ไอออนบวกของสูตรเบส์

th การวิเคราะห์คุณลักษณะของการสร้างสูตร Bayes มุ่งเป้าไปที่การแก้ปัญหาเชิงประยุกต์และตัวอย่าง

“และการใช้งานจริงช่วยให้เราสามารถสรุปผลที่สำคัญเกี่ยวกับการเลือกกลุ่มเหตุการณ์ที่รวมกันทั้งหมดโดยเปรียบเทียบในแง่ของระดับความเป็นไปได้ (ซึ่งแต่ละเหตุการณ์เป็นผลมาจากเหตุการณ์พื้นฐานสองเหตุการณ์ - หนึ่งในสมมติฐานและหลักฐานที่นำมา เข้าบัญชี). ผู้ตัดสินใจตัดสินใจเลือกตัวเลือกดังกล่าวโดยขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้นที่เป็นกลางซึ่งมีอยู่ในเงื่อนไขทั่วไปของสถานการณ์: ประเภทและจำนวนของสมมติฐานที่ได้รับการประเมินและหลักฐานที่นำมาพิจารณาโดยเฉพาะ

ความน่าจะเป็นที่หาตัวจับยากของสมมติฐานที่มีหลักฐานไม่สอดคล้องกันเพียงข้อเดียว สูตร Bayes มักใช้ในกรณีของการพิจารณาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลังซึ่งไม่สามารถเทียบเคียงได้ในแง่ของระดับความเป็นไปได้

ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน H^ กับหลักฐานที่เข้ากันไม่ได้เพียงข้อเดียว ซึ่งแต่ละข้อสามารถ "ปรากฏขึ้นได้"

ร่วมกับสมมติฐานเหล่านี้เท่านั้น ในกรณีนี้ เลือกกลุ่มเต็มและ HkE รวมกัน

เหตุการณ์อาบน้ำในรูปแบบของผลิตภัณฑ์ซึ่งเป็นหนึ่งในหลักฐานของค. (1=1,...,ม.) และหนึ่ง

จาก n สมมติฐานที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

สูตร Bayes ใช้เพื่อเปรียบเทียบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่รวมกันของแต่ละกลุ่มที่สมบูรณ์ดังกล่าว ซึ่งแตกต่างจากกลุ่มที่สมบูรณ์อื่นๆ ไม่เพียงแต่ในหลักฐานที่นำมาพิจารณา e เท่านั้น แต่ยังรวมถึงใน กรณีทั่วไปประเภทของสมมติฐาน H ^ และ (หรือ) จำนวน n (ดูตัวอย่าง)

RNky = P(Hk) P(eH)

% P(Hk) P(Er\Hk) k = 1

ในกรณีพิเศษสำหรับ n = 2

RNk\E,~ P(ฮก) P(EN)

% P(Hk) P(E,\H k) k = 1

และผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกต้องเนื่องจากการปฏิบัติตามหลักการของการอนุรักษ์อัตราส่วนความน่าจะเป็น:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

P(H 2 = % PW1!)

ความเป็นตัวตนของการเลือกกลุ่มเหตุการณ์รวมที่สมบูรณ์เมื่อเปรียบเทียบในแง่ของระดับความเป็นไปได้ (ด้วย

เหตุการณ์พื้นฐานตัวแปรบางอย่าง) ให้คุณเลือกกลุ่มเหตุการณ์ทั้งหมดและ Hk E ■ s

โดยการลบล้างเหตุการณ์เบื้องต้น E ■ () และเขียนสูตร Bayes (1 = 1,.. ., m) ดังนี้

P(Hk \ E) -= - RNSh ±.

% P(Hk)P(E, Hk)

สูตรดังกล่าวยังใช้ได้และทำให้สามารถได้รับผลลัพธ์ที่ถูกต้องหากคำนวณเป็น

ความน่าจะเป็นมาตรฐานจะถูกเปรียบเทียบภายใต้สมมติฐานต่างๆ ที่พิจารณา แต่ไม่ได้อยู่ภายใต้สมมติฐานต่างๆ

เจ้าหน้าที่. ¡^

ความน่าจะเป็นที่เปรียบเทียบได้ของสมมติฐานภายใต้หลักฐานเดี่ยวที่ไม่สอดคล้องกัน ตัดสินโดยคนดัง - ^

ใช้สำหรับการประเมินเปรียบเทียบความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขภายหลังของสมมติฐานสำหรับหลักฐานเดี่ยวต่างๆ

เจ้าหน้าที่. ในขณะเดียวกันก็ไม่ได้ให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงต่อไปนี้ ในกรณีเหล่านี้ ความน่าจะเป็น ^ ที่ทำให้เป็นมาตรฐานของเหตุการณ์รวมที่เข้ากันไม่ได้ (เข้ากันไม่ได้) ที่เป็นของกลุ่มสมบูรณ์ n เหตุการณ์ที่แตกต่างกันจะถูกเปรียบเทียบ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ไม่สามารถใช้สูตร Bayes ได้ เนื่องจากมีการเปรียบเทียบเหตุการณ์ที่รวมกันซึ่งไม่รวมอยู่ในกลุ่มที่สมบูรณ์กลุ่มหนึ่ง การทำให้ความน่าจะเป็นเป็นปกตินั้นดำเนินการโดยใช้ตัวหารที่ทำให้เป็นมาตรฐานที่แตกต่างกัน ความน่าจะเป็นมาตรฐานของเหตุการณ์รวมกันที่เข้ากันไม่ได้ (เข้ากันไม่ได้) จะเปรียบเทียบได้ก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เหล่านั้นอยู่ในกลุ่มเหตุการณ์เดียวกันทั้งหมดและถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดย ¡3 โดยใช้ ตัวหารร่วมกัน, เท่ากับผลรวมความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ปกติทั้งหมดที่รวมอยู่ใน § ฉบับสมบูรณ์

โดยทั่วไป หลักฐานต่อไปนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเข้ากันไม่ได้:

หลักฐานสองอย่าง (เช่น หลักฐานและการปฏิเสธ) ^

หลักฐาน 3 ประการ (เช่น ในเกมการแข่งขัน ชนะ แพ้ และเสมอ); ^

ข้อความรับรองสี่ประการ (โดยเฉพาะในกีฬา การชนะ การแพ้ การเสมอ และการเล่นซ้ำ) ฯลฯ ^

พิจารณาตัวอย่างที่ค่อนข้างง่าย (สอดคล้องกับตัวอย่างที่ให้ไว้ใน ) ของการใช้สูตร Bayes ^ เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลังของสมมติฐาน H ^ สำหรับสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ใน

ในรูปแบบของหลักฐาน L]- และการปฏิเสธ L]

พี(H, k) - ^ . ^ พี(อ^ก" , (2)

] EP(Hk> P(A]\vk> k - 1

■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nk>

พ(ห,\A,)---k-]-. (3)

V k\A]> P(A > น

] อีพี(Hk) P(A]\Hk) k -1

ในกรณี (2) และ (3) กลุ่มเต็มที่เลือกตามอัตวิสัยเมื่อเปรียบเทียบในแง่ของระดับความเป็นไปได้ของคอม-

เหตุการณ์ binned ตามลำดับชุดและ H ถึง A และ H ถึง A นี่คือกรณีที่สูตร

k-1 k ] k-1 k ]

Bayes ไม่สามารถใช้งานได้เนื่องจากหลักการของการรักษาอัตราส่วนของความน่าจะเป็นถูกละเมิด - ไม่มีการสังเกตความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนของความน่าจะเป็นมาตรฐานต่ออัตราส่วนของความน่าจะเป็นมาตรฐานที่สอดคล้องกัน:

P(H ถึง A]] P(Hk) P(A]\Hk) / P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

P(Hk EP(Hk) P(A]\Hk)/ EP P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

k - 1 /k - 1 ตามหลักการของการรักษาอัตราส่วนความน่าจะเป็น การประมวลผลความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ถูกต้องจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อการทำให้เป็นมาตรฐานโดยใช้ตัวหารที่ทำให้เป็นมาตรฐานทั่วไปหนึ่งตัวเท่ากับผลรวมของนิพจน์ที่ปรับให้เป็นมาตรฐานแล้วทั้งหมด นั่นเป็นเหตุผล

EP(Hk)P(A]\Hk) + E P(Hk)P(A]\Hk) - EP(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - EP (Hk) - 1 ถึง -1 ถึง -1 ถึง -1 ถึง -1

ดังนั้นจึงมีการเปิดเผยว่ามีสูตร Bayes ที่หลากหลายซึ่งแตกต่างจาก

เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่มีตัวหารที่ทำให้เป็นมาตรฐาน:

A,) - P(H) P(A]\Hk), P(Hk A,) - P(H) P(A, Hk). (4)

J ถึง I ■> ถึง

ในกรณีนี้ สังเกตความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่เป็นมาตรฐานต่ออัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่เป็นมาตรฐานที่สอดคล้องกัน:

ม^A^ P(Hk) P(A]\Hk)

A,) P(Hk) P(A, Hk)

ขึ้นอยู่กับตัวเลือกอัตนัยของกลุ่มเหตุการณ์รวมที่เข้ากันไม่ได้ที่บันทึกไว้ทั้งหมดซึ่งไม่ใช่แบบดั้งเดิม มันเป็นไปได้ที่จะเพิ่มจำนวนของการแก้ไขสูตร Bayes ที่รวมหลักฐาน เช่นเดียวกับจำนวนการปฏิเสธหนึ่งหรือหลายรายการ ตัวอย่างเช่น กลุ่มเหตุการณ์รวมที่สมบูรณ์ที่สุด

u และ Hk /"./ ^ u และ Hk E\ สอดคล้องกัน (โดยคำนึงถึงการไม่มีตัวหารที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) สูตรการปรับเปลี่ยน =1 A"=1; \u003d 1 เบเซียน

P(Hk\~) - P(Hk) ПЁ^^^

โดยที่เหตุการณ์เบื้องต้นในรูปแบบของหลักฐาน E \ e II II / "/ เป็นหนึ่งในองค์ประกอบของชุดที่ระบุ

o ในกรณีที่ไม่มีการปฏิเสธหลักฐาน นั่นคือเมื่อ E\ \u003d // e และ /"./,

^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)

อี พี(Hk) พี(E \ Hk) k - 1

ดังนั้น การปรับเปลี่ยนสูตร Bayes ซึ่งมีวัตถุประสงค์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของสมมติฐานที่เปรียบเทียบในแง่ของระดับความเป็นไปได้สำหรับหลักฐานที่เข้ากันไม่ได้เดี่ยวๆ เป็นดังนี้ ตัวเศษประกอบด้วยความน่าจะเป็นมาตรฐานของหนึ่งในเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ซึ่งรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ซึ่งแสดงเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นเบื้องต้น และตัวส่วนประกอบด้วยผลรวมของทั้งหมด

ความน่าจะเป็นมาตรฐาน ในขณะเดียวกันก็ปฏิบัติตามหลักการของการรักษาอัตราส่วนของความน่าจะเป็น - และผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกต้อง

ความน่าจะเป็นของสมมติฐานภายใต้หลักฐานที่เข้ากันได้เดี่ยว ตามธรรมเนียมแล้ว สูตร Bayesian ใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลังของสมมติฐาน Hk (k = 1,...,n) เปรียบเทียบในแง่ของระดับความเป็นไปได้ของหนึ่งในหลักฐานที่พิจารณาว่าเข้ากันได้ EL (1 = 1,... ,ม). โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (ดู

ตัวอย่างเช่น และ ) เมื่อกำหนดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขภายหลัง Р(Н 1Е^) และ Р(Н 1 Е2) สำหรับแต่ละหลักฐานที่เข้ากันได้สองรายการ Е1 และ Е2 จะใช้สูตรของแบบฟอร์ม:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1- และ P(H J E 2) =--1- (5)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 โปรดทราบว่านี่เป็นอีกกรณีที่ไม่สามารถใช้สูตร Bayes ได้ นอกจากนี้ ในกรณีนี้ จะต้องกำจัดข้อบกพร่องสองประการ:

การทำให้เป็นปกติตามภาพประกอบของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่รวมกันนั้นไม่ถูกต้อง เนื่องจากอยู่ในกลุ่มเหตุการณ์ทั้งหมดที่แตกต่างกันภายใต้การพิจารณา

บันทึกเชิงสัญลักษณ์ของเหตุการณ์ที่รวมกัน HkEx และ HkE2 ไม่สะท้อนความจริงที่ว่าหลักฐานที่พิจารณาแล้ว E x และ E 2 เข้ากันได้

เพื่อกำจัดข้อเสียเปรียบล่าสุด สามารถใช้บันทึกที่มีรายละเอียดมากขึ้นของเหตุการณ์ที่รวมกัน โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าหลักฐานที่เข้ากันได้ E1 และ E2 ในบางกรณีอาจใช้ร่วมกันไม่ได้ และในหลักฐานอื่นๆ ร่วมกัน:

HkE1 = HkE1 E2 และ HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2 โดยที่ E1 และ E 2 เป็นหลักฐานที่ตรงกันข้ามกับ E1 และ E 2

เห็นได้ชัดว่าในกรณีเช่นนี้ ผลคูณของเหตุการณ์ Hk E1E2 จะถูกนำมาพิจารณาสองครั้ง นอกจากนี้ยังสามารถนำมาพิจารณาแยกกันอีกครั้ง แต่สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น ข้อเท็จจริงคือในสถานการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา สถานการณ์ที่ประเมินได้รับอิทธิพลจากเหตุการณ์รวมกันที่ไม่น่าจะเข้ากันได้สามเหตุการณ์: HkE1E2, HkE 1E2 และ

HK E1E2 ในขณะเดียวกัน สำหรับผู้ตัดสินใจก็สนใจที่จะประเมินระดับความเป็นไปได้เท่านั้น

สองเหตุการณ์รวมกันที่เข้ากันไม่ได้: HkE1 E2 และ HkE 1E2 ซึ่งสอดคล้องกับการพิจารณาเฉพาะ g

หลักฐานเดียว ค

ดังนั้น เมื่อสร้างการปรับเปลี่ยนสูตร Bayes เพื่อกำหนดค่าตามเงื่อนไขภายหลัง

ความน่าจะเป็นของสมมติฐานที่มีหลักฐานที่เข้ากันได้เดียวจะต้องขึ้นอยู่กับสิ่งต่อไปนี้ คนรับ ^

การตัดสินใจ เราสนใจว่าเหตุการณ์เบื้องต้นใดที่แสดงโดยหลักฐานชิ้นหนึ่งหรืออีกชิ้นหนึ่งจาก

จำนวนที่ถือว่าเกิดขึ้นจริงในเงื่อนไขเฉพาะ หากมีเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาอื่นเกิดขึ้นใน K

ในรูปแบบใบรับรองเดียวจำเป็นต้องมีการพิจารณาคำตัดสินใหม่เนื่องจากผลการประเมินเปรียบเทียบของ n

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลังของสมมติฐานโดยคำนึงถึงเงื่อนไขอื่นๆ ที่ส่งผลต่อความเป็นจริงทั่วไปอย่างขาดไม่ได้

การตั้งค่า 3

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: HkE- สำหรับหนึ่ง (และหนึ่งเดียว) ที่รวมกันไม่ได้ co- ^

เป็นซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าจาก m > 1 ถือว่าเหตุการณ์เบื้องต้น Ei (i = 1,...,m) ร่วมกับสมมติฐาน "

Hk หนึ่งเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา Ex เกิดขึ้นและไม่มีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น เหตุการณ์ระดับประถมศึกษา. เส"

ในมากที่สุด กรณีที่เรียบง่ายให้พิจารณาหลักฐานสองชิ้นที่เข้ากันไม่ได้ หากได้รับการยืนยัน

กำลังรอหนึ่งในนั้น ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของหลักฐานใน ปริทัศน์แสดงโดยสูตร l

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) กรัม

ความถูกต้องของสูตรสามารถมองเห็นได้อย่างชัดเจน (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. การตีความทางเรขาคณิตของการคำนวณ P(Hk E-) สำหรับ / = 1,...,2 ด้วยหลักฐานที่เป็นอิสระอย่างมีเงื่อนไข

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

ดังนั้นจึงคำนึงถึง (6)

P(Hk E-) = PE Hk) - P(E1 Hk) P(E21Hk) , = 1,.,2. (7)

ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็น P(HkE-) ของหนึ่งในสามของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ (/ = 1,...,3) HkE^ แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างเช่น สำหรับ i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

ความถูกต้องของสูตรนี้ได้รับการยืนยันอย่างชัดเจนโดยการตีความทางเรขาคณิตที่แสดงในรูปที่

ข้าว. 2. การตีความทางเรขาคณิตของการคำนวณ P(Hk E-) สำหรับ / = 1,...,3

วิธี การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ สูตรทั่วไปสำหรับความน่าจะเป็น Р(Нк Е-) สำหรับหลักฐานจำนวนเท่าใดก็ได้ e, 0=1,...,m):

P(HkE-) = P(E, Hk) - m PE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) + ■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

การใช้ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น เราเขียนความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข Р(НкЕ~-) ในสองรูปแบบ:

^ จากที่มันเป็นไปตามนั้น

P(Hk E -) = P(Hk) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

ใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) ปรากฎว่า

E-) \u003d P (HkET)

2 P(HkE-) k \u003d 1

การแทนที่นิพจน์สำหรับ Р(НкЕ-) ในสูตรผลลัพธ์ในรูปแบบด้านขวาของ (8) เราได้รูปแบบสุดท้ายของสูตรสำหรับพิจารณาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลังของสมมติฐาน H^ (k = 1, ...,n) สำหรับหนึ่งในหลาย ๆ หลักฐานที่ถือว่าเข้ากันไม่ได้ : (E^\Hk)

P(Hk)[P(E,\Hk) - 2 P(E,\Hk) P(Ep k) +...+ (-1)m-1 P(P P(Erk)] P(H, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)

k 1 p t t

2 P(Hk) 2 [P(E,\Hk) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1

ประมาณการเปรียบเทียบ ถือว่าค่อนข้างเรียบง่ายแต่ ตัวอย่างภาพประกอบจำกัดเฉพาะการวิเคราะห์ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขหลังที่คำนวณได้ของหนึ่งในสองสมมติฐานที่มีหลักฐานเดียวสองข้อ 1. ความน่าจะเป็นของสมมติฐานภายใต้หลักฐานเดี่ยวที่เข้ากันไม่ได้ ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับโดยใช้สูตร Bayes (2) และ (3) โดยใช้ตัวอย่างหลักฐานสองรายการ L. = L และ L. = L พร้อมข้อมูลเริ่มต้น:

P(H1 = 0.7; P(H2) = 0.3; P(L| H^ = 0.1; P(L\n 1) = 0.9; P(L\H2) = 0.6 P(A\H2) = 0.4 ใน พิจารณาตัวอย่างด้วยสมมติฐาน H1 สูตรดั้งเดิม (2) และ (3) นำไปสู่ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

ป(น.) ป(อ\ไม่ใช่ 0 07

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0.28,

2 P(Hk) P(A\Hk)k = 1

R(N L R(A\N 1) 0 63

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0.84,

2 P(Hk) P(A\Hk) k = 1

การขึ้นรูปแบ่ง P (H 1 L) \u003d P (H ^ P (L \ Hp \u003d 0.07; P (H ^ A) \u003d P (H 1) P (n | H ^ \u003d 0.63.1 ของข้อเสนอ สูตรที่เกี่ยวกับ:

ร<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

และด้วยสูตรที่เสนอ (4) ที่ไม่มีตัวหารที่ทำให้เป็นมาตรฐาน: "และ

ดังนั้น ในกรณีของการใช้สูตรที่เสนอ อัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่ทำให้เป็นมาตรฐานจะเท่ากับอัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่เป็นมาตรฐาน: K

rm f P(H 1) P(A\H 1) A11 |

เมื่อใช้สูตรที่รู้จักด้วยอัตราส่วนเดียวกัน -;-=-= 0.11 verons ที่ปรับให้เป็นมาตรฐาน

P(H 1) P(A\H 1) «§

อัตราส่วนที่ระบุในตัวเศษอัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่เป็นมาตรฐาน: 2

ป(H 1) ป(A\H 1) ป(A\H 1) 0.63

P (H1 L) \u003d 0.28 P (H 1 L) \u003d 0.84

นั่นคือไม่ปฏิบัติตามหลักการของการอนุรักษ์อัตราส่วนความน่าจะเป็นและได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง ในกรณีนี้

ในกรณีของการใช้สูตรที่รู้จัก ค่าของความเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของอัตราส่วน (11) ของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลังและแบบมีเงื่อนไขของสมมติฐานจากผลลัพธ์ที่ถูกต้อง (10) มีความสำคัญมากเนื่องจากเป็น

°, 33 - °, P x 100 \u003d 242%.. ฉัน

2. ความน่าจะเป็นของสมมติฐานภายใต้หลักฐานเดี่ยวที่เข้ากันได้ ให้เราเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับโดยใช้สูตร Bayes (5) และการแก้ไขที่สร้างขึ้นอย่างถูกต้อง (9) โดยใช้ข้อมูลเริ่มต้นต่อไปนี้:

P(H1 = 0.7; P(H2) = 0.3; P(E1H1) = 0.4; P(E2H1) = 0.8; P(E1\H2) = 0.7; P(E^ H2) = 0.2.113

ในตัวอย่างที่พิจารณาร่วมกับสมมติฐาน H 2 ในกรณีของการใช้สูตรดั้งเดิม (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

p(Hk) p(El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6

P(H 2 E 2) \u003d -2-- \u003d - \u003d 0.097

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

ในกรณีของการใช้สูตรที่เสนอ (9) โดยคำนึงถึง (7), P(H

ป(H2) 0.168

จ.) ----- 0.291,

Z พี (HK) Z "

P(H2) 0.018

E0) ----- 0.031.

Z P(Hk) Z k - 1 ผม - 1

เมื่อใช้สูตรที่ถูกต้องที่เสนอ เนื่องจากตัวหารเดียวกัน อัตราส่วน P(H2) -

ความน่าจะเป็นที่ปรับให้เป็นมาตรฐานซึ่งระบุเป็นตัวเศษจะเท่ากับอัตราส่วน

พี(H2)

ความน่าจะเป็นมาตรฐาน:

นั่นคือปฏิบัติตามหลักการของการอนุรักษ์อัตราส่วนความน่าจะเป็น

อย่างไรก็ตาม ในกรณีของการใช้สูตรที่ทราบแล้วกับอัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่ปรับให้เป็นมาตรฐานซึ่งระบุไว้ในตัวเศษ

P (H 2) P (E1 \ H 2) _ 0.21 _3 5 P (H 2) P (E 2 H 2) 0.06,

อัตราส่วนของความน่าจะเป็นมาตรฐาน:

P (H 2 \u003d 0.429 \u003d 4.423. (13)

ป(H 2 \e2) 0.097

นั่นคือไม่เคารพหลักการของการอนุรักษ์อัตราส่วนความน่าจะเป็นเหมือนเมื่อก่อน ในกรณีนี้ ในกรณีของการใช้สูตรที่ทราบ ค่าของความเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ของอัตราส่วน (13) ของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขหลังของสมมติฐานจากผลลัพธ์ที่ถูกต้อง (12) ก็มีความสำคัญมากเช่นกัน:

9.387 4.423 x 100 = 52.9%

บทสรุป. การวิเคราะห์การสร้างความสัมพันธ์ของสูตรเฉพาะที่ใช้สูตร Bayes และการดัดแปลงซึ่งเสนอเพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติช่วยให้เราสามารถระบุสิ่งต่อไปนี้ได้ กลุ่มทั้งหมดของเหตุการณ์ที่รวมกันที่เป็นไปได้ 2 เหตุการณ์ที่เปรียบเทียบกันได้สามารถเลือกได้โดยผู้ตัดสินใจ ตัวเลือกนี้ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้นวัตถุประสงค์ที่พิจารณา ลักษณะของสถานการณ์ทั่วไป (ประเภทเฉพาะและจำนวนของเหตุการณ์เบื้องต้น - สมมติฐานและหลักฐานโดยประมาณ) สิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติคือตัวเลือกอัตนัยของตัวเลือกอื่น ๆ ของกลุ่มเต็มเมื่อเปรียบเทียบในแง่ของระดับความเป็นไปได้

เหตุการณ์ที่รวมกัน - ดังนั้น จึงมีการกำหนดอัตราส่วนของสูตรที่หลากหลายอย่างมีนัยสำคัญเมื่อสร้างการดัดแปลงสูตรเบส์ที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิม ในทางกลับกัน สิ่งนี้สามารถเป็นพื้นฐานสำหรับการปรับปรุงการสนับสนุนทางคณิตศาสตร์ของการใช้งานซอฟต์แวร์ ตลอดจนขยายขอบเขตของความสัมพันธ์ของสูตรใหม่สำหรับการแก้ปัญหาที่ใช้

รายการบรรณานุกรม

1. Gnedenko, B. V. บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น / B. V. Gnedenko, A. Ya. คินชิน - 114 นิวยอร์ก: Dover Publications, 1962 - 144 รูเบิล

2. Venttsel, E.S. ทฤษฎีความน่าจะเป็น / E.S. Venttsel. - ฉบับที่ 10 ลบแล้ว - มอสโก: โรงเรียนมัธยม, 2549 - 575 น.

3. อันโดรนอฟ A. M. , ทฤษฎีความน่าจะเป็นและ สถิติคณิตศาสตร์/ A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: ปีเตอร์ 2547 - 481 น.

4. Zmitrovich, A. I. ระบบข้อมูลอัจฉริยะ / A. I. Zmitrovich - มินสค์: TetraSistems, 1997. - 496 น.

5. Chernorutsky, I. G. วิธีการตัดสินใจ / I. G. Chernorutsky - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: BHV-Petersburg, 2548. - 416 น.

6 เนย์เลอร์, CM.-M. สร้างระบบผู้เชี่ยวชาญของคุณเอง / C.-M. เนย์เลอร์ - ชิเชสเตอร์: John Wiley & Sons, 1987. - 289 p.

7. Romanov, V.P. ระบบข้อมูลอัจฉริยะในระบบเศรษฐกิจ / V.P. Romanov - ฉบับที่ 2 ลบแล้ว

มอสโก: สอบ 2550 - 496 หน้า

8. ประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจและความสามารถในการแข่งขัน / D. Yu. Muromtsev [และอื่น ๆ ] - Tambov: สำนักพิมพ์ Tambov สถานะ เทคโนโลยี อังตา, 2550.- 96 น.

9. Dolgov, A. I. แก้ไขสูตร Bayes สำหรับการเขียนโปรแกรมแบบขนาน / A. I. Dolgov // เทคโนโลยีซูเปอร์คอมพิวเตอร์: วัสดุของ All-Russian ที่ 3 วิทยาศาสตร์ทางเทคนิค คอนเฟิร์ม - รอสตอฟ ออน ดอน - 2557.- เล่ม 1 - ส. 122-126.

10. A. I. Dolgov เกี่ยวกับความถูกต้องของการปรับเปลี่ยนสูตร Bayes / A. I. Dolgov, Vestnik Don สถานะ เทคโนโลยี มหาวิทยาลัย

2557. - ว. 14, ครั้งที่ 3 (78). - ส.13-20.

1. Gnedenko, B.V., Khinchin, A.Ya. บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น นิวยอร์ก: Dover Publications, 1962, 144 p.

2 เวนต์เซล อี.เอส. เตโอริยา เวโรยะตโนสเตย์. พิมพ์ครั้งที่ 10, พิมพ์ใหม่ มอสโก: Vysshaya shkola, 2549, 575 น. (ในภาษารัสเซีย).

3. Andronov, A.M. , Kopytov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: Piter, 2004, 481 p. (ในภาษารัสเซีย).

4. ซมิโตรวิช อ.1 Intellektual "nye informatsionnye sistemy มินสค์: TetraSistems, 1997, 496 p. (ในภาษารัสเซีย)

5. Chernorutskiy, I.G. วิธีการวิทยา prinyatiya resheniy. เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: BKhV-Peterburg, 2548, 416 น. (ในภาษารัสเซีย).

6 เนย์เลอร์, CM.-M. สร้างระบบผู้เชี่ยวชาญของคุณเอง ชิเชสเตอร์: John Wiley & Sons, 1987, 289 p.

7. โรมานอฟ รองประธาน Intellektual "nye informatsionnye sistemy v ekonomike. 2nd ed., reimpr. มอสโก: Ekzamen, 2007, 496 p. (ในรัสเซีย)

8. Muromtsev, D.Y. และอื่น ๆ Ekonomicheskaya effektivnost" ฉัน konkurentosposobnost". แทมบอฟ: Izd-vo Tamb. ไป เทคโนโลยี อังตา, 2550, 96 น. (ในภาษารัสเซีย). ไอ.บี

9. ดอลกอฟ A1 Korrektnye modifikatsii อย่างเป็นทางการ Bayesa dlya ขนาน "nogo programmirovaniya. Superkomp" yuternye tekhnologii: mat-ly 3-y vseros วิทยาศาสตร์เทคโนโลยี คอนเฟิร์ม Rostov-on-Don, 2014, ฉบับที่ 1 หน้า 122-126 (เป็นภาษารัสเซีย) ^

10. ดอลกอฟ A1 O korrektnosti modifikatsiy formuly Bayesa ^ Vestnik จาก DSTU, 2014, ฉบับที่ 14 ไม่ 3 (78), น. 13-20 (ในภาษารัสเซีย) *

ถ้าเหตุการณ์ กจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งเกิดขึ้นเท่านั้น กลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กคำนวณโดยสูตร

สูตรนี้เรียกว่า สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด .

พิจารณาอีกครั้งถึงกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด ซึ่งมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น . เหตุการณ์ กจะเกิดร่วมกับเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเท่านั้นที่เราจะเรียกว่า สมมติฐาน . จากนั้นตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

ถ้าเหตุการณ์ กที่เกิดขึ้น มันสามารถเปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของสมมติฐานได้ .

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น

ในทำนองเดียวกันสำหรับสมมติฐานอื่นๆ

เรียกว่าสูตรผลลัพธ์ สูตรเบย์ (สูตรเบย์ ). ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเรียกว่า ความน่าจะเป็นหลัง , ในทางตรงกันข้าม - ความน่าจะเป็นก่อนหน้า .

ตัวอย่าง.ร้านค้าได้รับผลิตภัณฑ์ใหม่จากสามองค์กร องค์ประกอบเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์เหล่านี้มีดังนี้: 20% - ผลิตภัณฑ์ขององค์กรแรก 30% - ผลิตภัณฑ์ขององค์กรที่สอง 50% - ผลิตภัณฑ์ขององค์กรที่สาม นอกจากนี้ 10% ของผลิตภัณฑ์ขององค์กรแรกที่มีเกรดสูงสุดที่องค์กรที่สอง - 5% และที่สาม - 20% ของผลิตภัณฑ์ที่มีเกรดสูงสุด ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ใหม่ที่ซื้อแบบสุ่มจะมีคุณภาพสูงสุด

สารละลาย.แสดงโดย ในเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยความจริงที่ว่าจะมีการซื้อผลิตภัณฑ์ระดับพรีเมียม ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยในการซื้อผลิตภัณฑ์ที่เป็นขององค์กรที่หนึ่ง สอง และสามตามลำดับ

เราสามารถใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดและในรูปแบบของเรา:

แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด เราได้รับความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ตัวอย่าง.หนึ่งในสามคนถูกเรียกไปที่แนวยิงและยิงสองนัด ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าด้วยนัดเดียวสำหรับผู้ยิงคนแรกคือ 0.3 สำหรับนัดที่สอง - 0.5 สำหรับสาม - 0.8 ยิงไม่เข้าเป้า จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนแรกเป็นผู้ยิง

สารละลาย.เป็นไปได้สามสมมติฐาน:

นักกีฬาคนแรกถูกเรียกไปที่แนวยิง

มือปืนคนที่สองถูกเรียกไปที่แนวยิง

มือปืนคนที่สามถูกเรียกไปที่แนวยิง

เนื่องจากการเรียกนักกีฬาเข้าสู่แนวยิงจึงเป็นไปได้เท่าเทียมกัน

จากการทดลองพบว่าเหตุการณ์ B - หลังจากยิงไปแล้วเป้าหมายไม่โดน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์นี้ภายใต้สมมติฐานที่ตั้งขึ้นคือ:

โดยใช้สูตร Bayes เราพบความน่าจะเป็นของสมมติฐานหลังการทดลอง:

ตัวอย่าง.ในเครื่องจักรอัตโนมัติสามเครื่อง ชิ้นส่วนประเภทเดียวกันจะได้รับการประมวลผล ซึ่งมาถึงหลังจากการประมวลผลบนสายพานทั่วไป เครื่องแรกให้การปฏิเสธ 2% เครื่องที่สอง - 7% เครื่องที่สาม - 10% ผลผลิตของเครื่องแรกนั้นมากกว่าผลผลิตของเครื่องที่สองถึง 3 เท่า และเครื่องที่สามนั้นน้อยกว่าเครื่องที่สองถึง 2 เท่า

ก) อัตราข้อบกพร่องในสายการประกอบเป็นเท่าใด

ข) ชิ้นส่วนของเครื่องจักรแต่ละชิ้นเทียบกับชิ้นส่วนที่ชำรุดบนสายพานมีสัดส่วนเท่าไร?

สารละลาย.ลองสุ่มชิ้นส่วนหนึ่งจากสายการประกอบและพิจารณาเหตุการณ์ A - ชิ้นส่วนมีข้อบกพร่อง มีความเกี่ยวข้องกับสมมติฐานว่าชิ้นส่วนนี้ถูกกลึงที่ใด: - ชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่มถูกกลึงบนเครื่องที่

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (ในเงื่อนไขของปัญหาจะได้รับในรูปของเปอร์เซ็นต์):

การพึ่งพาระหว่างประสิทธิภาพของเครื่องหมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

และเนื่องจากสมมติฐานเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์แล้ว .

หลังจากแก้ไขระบบสมการที่เป็นผลลัพธ์แล้ว เราพบ: .

ก) ความน่าจะเป็นโดยรวมที่ชิ้นส่วนสุ่มจากสายการประกอบมีข้อบกพร่อง:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในมวลของชิ้นส่วนที่ออกจากสายการผลิต ความบกพร่องคือ 4%

b) แจ้งให้ทราบว่าชิ้นส่วนที่นำมาสุ่มมีข้อบกพร่อง เมื่อใช้สูตร Bayes เราจะพบความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของสมมติฐาน:

ดังนั้นในมวลรวมของชิ้นส่วนที่ชำรุดบนสายพาน ส่วนแบ่งของเครื่องแรกคือ 33%, ที่สอง - 39%, ที่สาม - 28%

งานปฏิบัติ

แบบฝึกหัด 1

การแก้ปัญหาในส่วนหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็น

เป้าหมายคือการได้รับทักษะการปฏิบัติในการแก้ปัญหา

ส่วนของทฤษฎีความน่าจะเป็น

การเตรียมการสำหรับงานจริง

ทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อนี้เพื่อศึกษาเนื้อหาของทฤษฎีรวมถึงส่วนที่เกี่ยวข้องในวรรณคดี

ลำดับการดำเนินการของงาน

แก้ปัญหา 5 ข้อตามจำนวนตัวเลือกงานที่กำหนดในตารางที่ 1

ตัวเลือกข้อมูลเริ่มต้น

ตารางที่ 1

	หมายเลขงาน

องค์ประกอบของรายงานสำหรับงาน 1

5 แก้ไขปัญหาตามหมายเลขตัวแปร

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1.. เป็นกลุ่มเหตุการณ์ต่อไปนี้: ก) ประสบการณ์ - โยนเหรียญ; เหตุการณ์: A1- ลักษณะของเสื้อคลุมแขน A2- การปรากฏตัวของตัวเลข b) ประสบการณ์ - โยนสองเหรียญ; เหตุการณ์: ใน 1- การปรากฏตัวของสองตราแผ่นดิน; ที่ 2 -การปรากฏตัวของตัวเลขสองหลัก ที่ 3- การปรากฏตัวของหนึ่งแขนเสื้อและหนึ่งหมายเลข c) ประสบการณ์ - โยนลูกเต๋า; เหตุการณ์: C1 -ลักษณะไม่เกินสองจุด; C2 -การปรากฏตัวของสามหรือสี่จุด C3 -การปรากฏตัวของอย่างน้อยห้าจุด d) ประสบการณ์ - ยิงเข้าเป้า; เหตุการณ์: D1- ตี; D2-นางสาว; e) ประสบการณ์ - สองนัดที่เป้าหมาย; เหตุการณ์: E0- ไม่ใช่การโจมตีเพียงครั้งเดียว E1- ตีหนึ่ง; E2- ตีสอง; f) ประสบการณ์ - จั่วไพ่สองใบจากสำรับ; เหตุการณ์: F1-การปรากฏตัวของใบแดงสองใบ F2- การปรากฏตัวของไพ่สีดำสองใบ?

2. โกศ A ประกอบด้วยสีขาวและ B ลูกบอลสีดำ ลูกบอลหนึ่งลูกถูกสุ่มออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้เป็นสีขาว

3. ในโกศ ก ทรายขาว ข ลูกบอลสีดำ นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศและพักไว้ ลูกนี้เป็นสีขาว หลังจากนั้นลูกบอลอีกลูกหนึ่งจะถูกนำมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้เป็นสีขาวด้วย

4. ในโกศ ก ขาวและบี ลูกบอลสีดำ ลูกหนึ่งถูกนำออกจากโกศและวางทิ้งไว้โดยไม่เหลียวแล หลังจากนั้นก็นำลูกบอลอีกลูกออกจากโกศ เขากลายเป็นสีขาว จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกแรกที่วางข้างกันเป็นสีขาวเช่นกัน

๕. จากโกศที่บรรจุก ขาวและบี ลูกบอลสีดำ เอาออกทีละลูกทุกลูก ยกเว้นลูกเดียว จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสุดท้ายที่เหลืออยู่ในโกศเป็นสีขาว

6. จากโกศที่ก ลูกบอลสีขาวและสีดำ B นำลูกบอลทั้งหมดในนั้นออกมาเรียงเป็นแถว จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่สองที่จับออกมาเป็นสีขาว

7. ในโกศ A ลูกบอลสีขาวและ B ลูกบอลสีดำ (ก > 2). ลูกบอลสองลูกถูกนำออกจากโกศพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาว

8. สีขาวและ B ในโกศ A ลูกบอลสีดำ (A > 2, B > 3) ลูกบอลห้าลูกถูกนำออกจากโกศพร้อมกัน ค้นหาความน่าจะเป็น รสองตัวจะเป็นสีขาวและสามตัวจะเป็นสีดำ

9. ในปาร์ตี้ประกอบด้วย X สินค้ามี ฉันมีข้อบกพร่อง จากแบทช์ถูกเลือกสำหรับการควบคุม I สินค้า. ค้นหาความน่าจะเป็น รซึ่งของพวกเขา J สินค้าจะมีตำหนิ

10. โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ เอ -การปรากฏตัวของจำนวนคู่; ใน- ลักษณะอย่างน้อย 5 คะแนน; กับ-ลักษณะไม่เกิน 5 คะแนน

11. โยนลูกเต๋าสองครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็น รที่จะปรากฏจำนวนจุดเท่ากันทั้งสองครั้ง

12. โยนลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ ก- ผลรวมของคะแนนที่ลดลงเท่ากับ 8 ใน- ผลคูณของคะแนนที่ลดลงเท่ากับ 8 กับ-ผลรวมของคะแนนที่ลดลงนั้นมากกว่าผลคูณ

13. โยนเหรียญสองเหรียญ เหตุการณ์ใดต่อไปนี้มีแนวโน้มมากกว่า: เอ -เหรียญจะอยู่ด้านเดียวกัน ใน -เหรียญอยู่คนละด้านหรือไม่?

14. ในโกศ ก ขาวและบี ลูกบอลสีดำ (ก > 2; ข > 2). ลูกบอลสองลูกถูกนำออกจากโกศพร้อมกัน เหตุการณ์ใดมีแนวโน้มมากกว่า: ก- ลูกบอลที่มีสีเดียวกัน ใน -ลูกบอลหลากสี?

15. ผู้เล่นสามคนกำลังเล่นไพ่ แต่ละคนจะได้รับไพ่ 10 ใบและเหลือไพ่สองใบในการจั่ว ผู้เล่นคนหนึ่งเห็นว่าเขามีไพ่ชุดเพชร 6 ใบและไพ่ 4 ใบที่ไม่ใช่ชุดเพชร เขาทิ้งไพ่สองใบจากสี่ใบนั้นและจับฉลาก จงหาความน่าจะเป็นที่เขาซื้อเพชรสองเม็ด

๑๖. จากโกศที่บรรจุ พีลูกบอลที่มีหมายเลข สุ่มหยิบลูกบอลทั้งหมดในนั้นออกมาทีละลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่หมายเลขของลูกบอลที่จับออกมาจะเรียงตามลำดับ: 1, 2,..., พี

17. โกศแบบเดียวกับในปัญหาที่แล้ว แต่หลังจากเอาออกแต่ละลูกจะถูกใส่กลับเข้าไปและผสมกับลูกอื่น ๆ และเขียนหมายเลขไว้ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลำดับธรรมชาติของตัวเลขจะถูกเขียนลงไป: 1, 2,..., n

18. ไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) แบ่งสุ่มออกเป็นสองห่อๆ ละ 26 แผ่น จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ เอ -ในแต่ละแพ็คจะมีเอซสองตัว ใน- ในแพ็คหนึ่งจะไม่มีเอซและอีกอันหนึ่ง - ทั้งสี่ บาปชุดหนึ่งจะมีหนึ่งเอซและอีกชุดหนึ่งจะมีสาม

19. 18 ทีมเข้าร่วมการแข่งขันชิงแชมป์บาสเก็ตบอล ซึ่งแบ่งเป็น 2 กลุ่ม ๆ ละ 9 ทีมโดยสุ่ม มี 5 ทีมจากผู้เข้าร่วมการแข่งขัน

ชั้นเรียนพิเศษ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ เอ -ทีมระดับพิเศษทั้งหมดจะอยู่ในกลุ่มเดียวกัน ใน- ทีมระดับพิเศษสองทีมจะเข้าสู่กลุ่มหนึ่งและอีกสามทีมจะเข้าสู่อีกกลุ่มหนึ่ง

20. ตัวเลขเขียนบนไพ่เก้าใบ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ไพ่สองใบจะถูกสุ่มออกมาและวางไว้บนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ จากนั้นอ่านตัวเลขที่ได้ เช่น 07 (เจ็ด) 14 ( สิบสี่) เป็นต้น จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนั้นเป็นเลขคู่

21. ไพ่ห้าใบเขียนตัวเลข: 1, 2, 3, 4, 5 ไพ่สองใบถูกนำออกมาทีละใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่หมายเลขบนไพ่ใบที่สองมากกว่าหมายเลขในใบแรก

22. คำถามเดียวกันกับในปัญหาที่ 21 แต่ไพ่ใบแรกหลังจากจั่วแล้วจะถูกนำกลับไปผสมกับใบที่เหลือ และเขียนหมายเลขบนนั้นลงไป

23. ในโกศ ก ขาว, บี ลูกบอลสีดำและสีแดง C ลูกบอลทั้งหมดในนั้นถูกนำออกจากโกศทีละลูกและเขียนสีลงไป ค้นหาความน่าจะเป็นที่สีขาวจะปรากฏก่อนสีดำในรายการนี้

24. มีสองโกศ: อันแรกก ขาวและบี ลูกบอลสีดำ ในซีที่สอง ขาวและดี สีดำ. ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศแต่ละอัน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาว

25. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหา 24 จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่จับออกมาจะมีสีต่างกัน

26. มีเจ็ดรังในดรัมของปืนพก ห้าในนั้นบรรจุด้วยคาร์ทริดจ์และอีกสองอันว่างเปล่า กลองถูกตั้งค่าให้หมุนซึ่งเป็นผลมาจากการที่หนึ่งในซ็อกเก็ตถูกวางไว้แบบสุ่มกับถัง หลังจากนั้นทริกเกอร์จะถูกกด ถ้าเซลล์ว่างเปล่า การยิงจะไม่เกิดขึ้น ค้นหาความน่าจะเป็น รความจริงที่ว่าเมื่อทำการทดลองซ้ำสองครั้งติดต่อกันเราจะไม่ยิงทั้งสองครั้ง

27. ภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน (ดูปัญหาที่ 26) จงหาความน่าจะเป็นที่การยิงจะเกิดขึ้นทั้งสองครั้ง

28. มี A อยู่ในโกศ; ลูกบอลที่มีป้ายกำกับ 1, 2, ..., ถึงจากโกศ ฉันเมื่อจับลูกบอลหนึ่งลูกแล้ว (ฉัน<к), หมายเลขของลูกบอลถูกเขียนลงและลูกบอลถูกใส่กลับเข้าไปในโกศ ค้นหาความน่าจะเป็น รซึ่งตัวเลขที่บันทึกไว้ทั้งหมดจะแตกต่างกัน

29. คำว่า "หนังสือ" ประกอบด้วยตัวอักษรแยกห้าตัว เด็กที่อ่านไม่ออกก็โปรยจดหมายเหล่านี้แล้วนำมารวมกันแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็น รความจริงที่ว่าเขาได้รับคำว่า "หนังสือ" อีกครั้ง

30. คำว่า "สับปะรด" ประกอบด้วยตัวอักษรแยก เด็กที่อ่านไม่ออกก็โปรยจดหมายเหล่านี้แล้วนำมารวมกันแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็น รความจริงที่ว่าเขามีคำว่า "สับปะรด"

31. จากไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น 4 ชุด) ไพ่หลายใบจะถูกดึงออกมาพร้อมกัน ต้องนำไพ่ออกมากี่ใบเพื่อที่จะบอกด้วยความน่าจะเป็นที่มากกว่า 0.50 ว่าจะมีไพ่ชุดเดียวกันในหมู่พวกเขา?

32. เอ็นคนนั่งสุ่มที่โต๊ะกลม (น > 2). ค้นหาความน่าจะเป็น รสองคนนั้นทำหน้านิ่ง กและ ในจะอยู่ใกล้ๆ

33. ปัญหาเดียวกัน (ดู 32) แต่ตารางเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและ N บุคคลนั้นนั่งแบบสุ่มตามด้านใดด้านหนึ่ง

34. ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง เอ็นของเหล่านี้ เอ็นสุ่มเลือกถังสองถัง ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเขียนตัวเลขที่น้อยกว่า k บนถังทั้งสอง (2

35. ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง เอ็นของเหล่านี้ เอ็นสุ่มเลือกถังสองถัง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ถังใบหนึ่งมีจำนวนมากกว่า k , และอื่น ๆ - น้อยกว่า k . (2

36. แบตเตอรี่หมด มยิงปืนใส่กลุ่มประกอบด้วย เอ็นเป้าหมาย (ม< N). ปืนเลือกเป้าหมายตามลำดับแบบสุ่ม โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีปืนสองกระบอกที่สามารถยิงไปที่เป้าหมายเดียวกันได้ ค้นหาความน่าจะเป็น รความจริงที่ว่าเป้าหมายที่มีหมายเลข 1, 2, ... จะถูกยิง ม.

37..แบตเตอรี่ประกอบด้วย ถึงยิงปืนใส่หมู่ประกอบด้วย ฉันอากาศยาน (ถึง< 2). อาวุธแต่ละชิ้นจะเลือกเป้าหมายแบบสุ่มและเป็นอิสระจากกัน จงหาความน่าจะเป็นทั้งหมด ถึงปืนจะยิงไปที่เป้าหมายเดียวกัน

38. ภายใต้เงื่อนไขของโจทย์ข้อที่แล้ว จงหาความน่าจะเป็นที่ปืนทุกกระบอกจะยิงใส่เป้าหมายที่แตกต่างกัน

39. ลูกบอลสี่ลูกสุ่มกระจายไปทั่วสี่หลุม ลูกบอลแต่ละลูกจะตกหลุมใดหลุมหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันและไม่ขึ้นกับหลุมอื่น (ไม่มีอุปสรรคในการรับลูกบอลหลายลูกลงหลุมเดียวกัน) ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีลูกบอลสามลูกในหลุมใดหลุมหนึ่ง อีกหลุมหนึ่ง และไม่มีลูกบอลในอีกสองหลุม

40. Masha ทะเลาะกับ Petya และไม่ต้องการนั่งรถบัสคันเดียวกันกับเขา มีรถบัส 5 คันจากโฮสเทลไปยังสถาบันตั้งแต่ 7 ถึง 8 ผู้ที่ไม่มีเวลาสำหรับรถโดยสารเหล่านี้มาสายสำหรับการบรรยาย Masha และ Petya สามารถไปที่สถาบันด้วยรถเมล์หลายสายได้กี่วิธีและไปไม่ทันการบรรยาย?

41. มีนักวิเคราะห์ 3 คน โปรแกรมเมอร์ 10 คน และวิศวกร 20 คนในแผนกเทคโนโลยีสารสนเทศของธนาคาร สำหรับการทำงานล่วงเวลาในวันหยุด หัวหน้าแผนกต้องจัดสรรพนักงานหนึ่งคน สามารถทำได้กี่วิธี?

42. หัวหน้าฝ่ายบริการรักษาความปลอดภัยของธนาคารต้องวางยาม 10 คนทุกวันใน 10 โพสต์ สามารถทำได้กี่วิธี?

43. ประธานธนาคารคนใหม่ต้องแต่งตั้งรองประธานคนใหม่ 2 คนจากกรรมการทั้งหมด 10 คน สามารถทำได้กี่วิธี?

44. ฝ่ายหนึ่งจับได้ 12 คนและอีก 15 คนเป็นนักโทษ เชลยศึก 7 คนแลกเปลี่ยนได้กี่วิธี?

45. Petya และ Masha รวบรวมแผ่นวิดีโอ Petya มีคอเมดี 30 เรื่อง ภาพยนตร์แอ็คชั่น 80 เรื่อง และเรื่องประโลมโลก 7 เรื่อง Masha มีเรื่องตลก 20 เรื่อง ภาพยนตร์แอ็คชั่น 5 เรื่อง และเรื่องประโลมโลก 90 เรื่อง Petya และ Masha สามารถแลกเปลี่ยนคอเมดี้ 3 เรื่อง, ภาพยนตร์แอ็คชั่น 2 เรื่องและเรื่องประโลมโลก 1 เรื่องได้กี่วิธี?

46. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหา 45 Petya และ Masha สามารถแลกเปลี่ยน 3 ประโลมโลกและ 5 คอเมดี้ได้กี่วิธี?

47. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหา 45 Petya และ Masha สามารถแลกเปลี่ยนภาพยนตร์แอ็คชั่น 2 เรื่องและคอเมดี้ 7 เรื่องได้กี่วิธี

48. ฝ่ายหนึ่งจับได้ 15 คนและอีก 16 คนถูกจับเป็นเชลย เชลยศึก 5 คนแลกเปลี่ยนได้กี่วิธี?

49. ใน 1 เมืองสามารถจดทะเบียนรถยนต์ได้กี่คัน ถ้าตัวเลขมี 3 หลักและ 3 ตัวอักษร )?

50. ฝ่ายหนึ่งจับได้ 14 คนและอีก 17 คนถูกจับเป็นเชลย เชลยศึก 6 คนแลกเปลี่ยนได้กี่วิธี?

51. คำว่า "แม่" สามารถสร้างคำต่าง ๆ ได้กี่คำ?

52. ในตะกร้ามีแอปเปิ้ลสีแดง 3 ลูกและสีเขียว 7 ลูก นำแอปเปิ้ลหนึ่งผลออกมา จงหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นสีแดง

53. ในตะกร้ามีแอปเปิ้ลสีแดง 3 ลูกและสีเขียว 7 ลูก แอปเปิ้ลเขียวผลหนึ่งถูกนำออกมาและพักไว้ จากนั้นนำแอปเปิ้ลอีก 1 ลูกออกจากตะกร้า ความน่าจะเป็นที่แอปเปิ้ลลูกนี้เป็นสีเขียวคืออะไร?

54. ในชุด 1,000 รายการ มีข้อบกพร่อง 4 รายการ สำหรับการควบคุม เลือกชุดผลิตภัณฑ์ 100 รายการ ความน่าจะเป็นของ LLP คือเท่าใดที่ชุดควบคุมจะไม่ชำรุด

56. ในยุค 80 เกม sportloto 5 จาก 36 เกมได้รับความนิยมในสหภาพโซเวียต ผู้เล่นจดตัวเลข 5 ตัวบนการ์ดตั้งแต่ 1 ถึง 36 และรับรางวัลมูลค่าต่าง ๆ หากเขาเดาหมายเลขอื่นที่ประกาศโดยคณะกรรมาธิการการจับฉลาก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นไม่ได้คาดเดาหมายเลขใด ๆ

57. ในยุค 80 เกม "sportloto 5 จาก 36" ได้รับความนิยมในสหภาพโซเวียต ผู้เล่นจดตัวเลข 5 ตัวบนการ์ดตั้งแต่ 1 ถึง 36 และรับรางวัลมูลค่าต่าง ๆ หากเขาเดาหมายเลขอื่นที่ประกาศโดยคณะกรรมาธิการการจับฉลาก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นเดาได้หนึ่งหมายเลข

58. ในยุค 80 เกม sportloto 5 จาก 36 เกมได้รับความนิยมในสหภาพโซเวียต ผู้เล่นจดตัวเลข 5 ตัวบนการ์ดตั้งแต่ 1 ถึง 36 และรับรางวัลมูลค่าต่าง ๆ หากเขาเดาหมายเลขอื่นที่ประกาศโดยคณะกรรมาธิการการจับฉลาก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นทายเลข 3 ตัว

59. ในยุค 80 เกม sportloto 5 จาก 36 เกมได้รับความนิยมในสหภาพโซเวียต ผู้เล่นจดตัวเลข 5 ตัวบนการ์ดตั้งแต่ 1 ถึง 36 และรับรางวัลมูลค่าต่าง ๆ หากเขาเดาหมายเลขอื่นที่ประกาศโดยคณะกรรมาธิการการจับฉลาก จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นทายเลขไม่ถูกทั้ง 5 ตัว

60. ในยุค 80 เกม sportloto 6 จาก 49 เกมได้รับความนิยมในสหภาพโซเวียต ผู้เล่นจดตัวเลข 6 ตัวบนการ์ดตั้งแต่ 1 ถึง 49 และรับรางวัลมูลค่าต่าง ๆ หากเขาเดาหมายเลขอื่นที่ประกาศโดยคณะกรรมาธิการการจับฉลาก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นทายเลข 2 ตัว

61. ในยุค 80 เกม "sportloto 6 จาก 49" ได้รับความนิยมในสหภาพโซเวียต ผู้เล่นจดตัวเลข 6 ตัวบนการ์ดตั้งแต่ 1 ถึง 49 และรับรางวัลมูลค่าต่าง ๆ หากเขาเดาหมายเลขอื่นที่ประกาศโดยคณะกรรมาธิการการจับฉลาก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นไม่ได้คาดเดาหมายเลขใด ๆ

62. ในยุค 80 เกม "sportloto 6 จาก 49" ได้รับความนิยมในสหภาพโซเวียต ผู้เล่นจดตัวเลข 6 ตัวบนการ์ดตั้งแต่ 1 ถึง 49 และรับรางวัลมูลค่าต่าง ๆ หากเขาเดาหมายเลขอื่นที่ประกาศโดยคณะกรรมาธิการการจับฉลาก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นเดาตัวเลขทั้ง 6 ตัว

63. ในชุด 1,000 รายการ มีตำหนิ 4 รายการ สำหรับการควบคุม เลือกชุดผลิตภัณฑ์ 100 รายการ ความน่าจะเป็นของ LLP ที่จะมีข้อบกพร่องเพียง 1 รายการในล็อตควบคุมเป็นเท่าใด

64. การจัดเรียงตัวอักษรในคำว่า "หนังสือ" สามารถเกิดขึ้นได้กี่คำ?

65. การจัดเรียงตัวอักษรในคำว่า "สับปะรด" สามารถเกิดขึ้นได้กี่คำ?

66. มีคน 6 คนเข้าไปในลิฟต์และโฮสเทลมี 7 ชั้น ความน่าจะเป็นที่คนทั้ง 6 คนจะออกในชั้นเดียวกันเป็นเท่าไหร่?

67. ลิฟต์เข้า 6 คน อาคารมี 7 ชั้น ความน่าจะเป็นที่คนทั้ง 6 คนจะออกคนละชั้นเป็นเท่าไหร่?

68. ขณะเกิดพายุฝนฟ้าคะนอง สายไฟขาดในส่วนระหว่าง 40 ถึง 79 กม. ของสายไฟฟ้า สมมติว่าจุดหักนั้นเป็นไปได้เท่าๆ กัน จงหาความน่าจะเป็นที่จุดหักเหจะเกิดขึ้นระหว่างกิโลเมตรที่ 40 ถึง 45

69. ในส่วนความยาว 200 กิโลเมตรของท่อส่งก๊าซ มีการรั่วไหลของก๊าซระหว่างสถานีคอมเพรสเซอร์ A และ B ซึ่งเป็นไปได้เท่ากันที่จุดใดก็ได้ของท่อ ความน่าจะเป็นที่รอยรั่วจะเกิดขึ้นในระยะ 20 กม. จาก ก. เป็นเท่าใด

70. ในส่วนความยาว 200 กิโลเมตรของท่อส่งก๊าซ เกิดการรั่วไหลของก๊าซระหว่างสถานีคอมเพรสเซอร์ A และ B ซึ่งเป็นไปได้เท่ากันที่จุดใดก็ได้ในท่อ ความน่าจะเป็นที่รอยรั่วใกล้ A มากกว่า B เป็นเท่าใด

71. เรดาร์ของผู้ตรวจการตำรวจจราจรมีความแม่นยำ 10 กม. / ชม. และปัดไปทางด้านที่ใกล้ที่สุด เกิดอะไรขึ้นบ่อยขึ้น - ปัดเศษให้คนขับหรือผู้ตรวจการ?

72. Masha ใช้เวลา 40 ถึง 50 นาทีระหว่างทางไปสถาบัน และช่วงเวลานี้มีโอกาสเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่เธอจะใช้เวลาบนท้องถนนตั้งแต่ 45 ถึง 50 นาทีคืออะไร

73. Petya และ Masha ตกลงที่จะพบกันที่อนุสาวรีย์พุชกินตั้งแต่ 12 ถึง 13 ชั่วโมง แต่ไม่มีใครสามารถระบุเวลาที่แน่นอนที่จะมาถึง พวกเขาตกลงที่จะรอกันเป็นเวลา 15 นาที ความน่าจะเป็นของการประชุมของพวกเขาคืออะไร?

74. ชาวประมงจับปลาได้ 120 ตัวในบ่อ 10 ตัวถูกล้อม ความน่าจะเป็นที่จะจับปลาที่มีวงแหวนเป็นเท่าใด?

75. จากตะกร้าที่มีแอปเปิ้ลสีแดง 3 ผลและสีเขียว 7 ผล ให้นำแอปเปิ้ลทั้งหมดออกตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่แอปเปิ้ลลูกที่ 2 จะมีสีแดงเป็นเท่าใด?

76. จากตะกร้าที่มีแอปเปิ้ลสีแดง 3 ลูกและสีเขียว 7 ลูก ให้หยิบแอปเปิ้ลทั้งหมดออกมาตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่แอปเปิ้ลลูกสุดท้ายเป็นสีเขียวเป็นเท่าไร?

77. นักเรียนพิจารณาว่าตั๋วจาก 50 ใบมี 10 ใบที่ “ดี” Petya และ Masha ผลัดกันดึงตั๋วคนละหนึ่งใบ ความน่าจะเป็นที่ Masha ได้ตั๋ว "ดี" คืออะไร?

78. นักเรียนพิจารณาว่าตั๋วจาก 50 ใบมี 10 ใบที่ “ดี” Petya และ Masha ผลัดกันดึงตั๋วคนละหนึ่งใบ ความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่ได้ตั๋ว "ดี" เป็นเท่าใด

79. Masha มาสอบโดยรู้คำตอบสำหรับ 20 คำถามของโปรแกรมจาก 25 ข้อ อาจารย์ถาม 3 คำถาม ความน่าจะเป็นที่ Masha จะตอบคำถาม 3 ข้อเป็นเท่าใด

80. Masha มาสอบโดยรู้คำตอบสำหรับ 20 คำถามของโปรแกรมจาก 25 ข้อ อาจารย์ถาม 3 คำถาม ความน่าจะเป็นที่ Masha จะไม่ตอบคำถามใด ๆ เป็นเท่าใด

81. Masha มาสอบโดยรู้คำตอบสำหรับ 20 คำถามของโปรแกรมจาก 25 ข้อ อาจารย์ถาม 3 คำถาม ความน่าจะเป็นที่ Masha จะตอบคำถาม 1 ข้อเป็นเท่าใด

82. สถิติการขอสินเชื่อธนาคารมีดังนี้ 10% - รัฐ. เจ้าหน้าที่ 20% - ธนาคารอื่น ๆ ที่เหลือ - บุคคล ความน่าจะเป็นของการผิดนัดชำระหนี้คือ 0.01, 0.05 และ 0.2 ตามลำดับ สินเชื่อที่ขอคืนไม่ได้มีสัดส่วนเท่าใด?

83. ความน่าจะเป็นที่ยอดขายรายสัปดาห์ของผู้ค้าไอศกรีมจะเกิน 2,000 รูเบิล อากาศแจ่มใส 80%, มีเมฆบางส่วน 50% และฝนตก 10% ความน่าจะเป็นที่ผลประกอบการจะเกิน 2,000 รูเบิลคืออะไร หากความน่าจะเป็นของสภาพอากาศแจ่มใสคือ 20% และมีเมฆบางส่วนและมีฝนตก - 40% ต่อครั้ง

84. สีขาว (b) และ C อยู่ในโกศ A ลูกบอลสีดำ (h) นำลูกบอลสองลูกออกจากโกศ (พร้อมกันหรือตามลำดับ) จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาว

85. ในโกศ ก ขาวและบี

86. ในโกศ ก ขาวและบี

87. ในโกศ ก ขาวและบี ลูกบอลสีดำ ลูกบอลลูกหนึ่งถูกนำออกจากโกศ ทำเครื่องหมายสีไว้ และลูกบอลถูกส่งกลับไปที่โกศ หลังจากนั้นลูกบอลอีกลูกหนึ่งจะถูกนำมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลเหล่านี้จะมีสีต่างกัน

88. มีกล่องพร้อมลูกเทนนิสใหม่ 9 ลูก สามลูกสำหรับเกม; หลังจบเกมพวกเขาจะกลับมา เมื่อเลือกลูกบอล พวกเขาจะไม่แยกแยะระหว่างลูกบอลที่เล่นแล้วและยังไม่ได้เล่น ความน่าจะเป็นที่หลังจากสามเกมจะไม่มีลูกบอลที่ไม่ได้เล่นในกล่องเป็นเท่าไหร่?

89. ออกจากอพาร์ตเมนต์ เอ็น แขกแต่ละคนจะใส่ galoshes ของตัวเอง

90. ออกจากอพาร์ตเมนต์ เอ็นแขกที่มีขนาดรองเท้าเท่ากันสวมกาโลเช่ในความมืด แต่ละคนสามารถแยกแยะ galosh ที่ถูกต้องจากด้านซ้าย แต่ไม่สามารถแยกความแตกต่างของตนเองจากของคนอื่นได้ จงหาความน่าจะเป็นที่ แขกแต่ละคนจะใส่ galoshes ของคู่หนึ่ง (อาจจะไม่ใช่ของตัวเอง)

91. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหา 90 จงหาความน่าจะเป็นที่ทุกคนจะทิ้งกาล็อก หากแขกไม่สามารถแยกความแตกต่างของกาโลชที่ถูกต้องจากด้านซ้าย และเพียงแค่หยิบกาโลชสองอันแรกที่เจอ

92. กำลังดำเนินการยิงที่เครื่องบิน ส่วนที่เปราะบางคือเครื่องยนต์ 2 เครื่องและห้องนักบิน เพื่อที่จะตี (ปิดการใช้งาน) เครื่องบิน ก็เพียงพอแล้วที่จะตีเครื่องยนต์ทั้งสองเข้าด้วยกันหรือห้องนักบิน ภายใต้เงื่อนไขการยิงที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่จะโดนเครื่องยนต์ตัวแรกคือ หน้า 1เครื่องยนต์ที่สอง พี 2,ห้องนักบิน หน้า 3ชิ้นส่วนของเครื่องบินได้รับผลกระทบโดยอิสระจากกัน จงหาความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะถูกชน

93. นักกีฬาสองคนยิงสองนัดโดยอิสระจากกัน (แต่ละคนไปที่เป้าหมายของตนเอง) ความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าด้วยการยิงนัดเดียวสำหรับผู้ยิงคนแรก หน้า 1สำหรับวินาที พี 2ผู้ชนะการแข่งขันคือนักกีฬาซึ่งจะมีหลุมมากขึ้น ค้นหาความน่าจะเป็น อาร์เอ็กซ์นักกีฬาคนแรกชนะอะไร

94. หลังวัตถุอวกาศ ตรวจพบวัตถุด้วยความน่าจะเป็น ร.การตรวจจับวัตถุในแต่ละรอบเกิดขึ้นโดยไม่ขึ้นกับรอบอื่นๆ จงหาความน่าจะเป็นเมื่อ พีรอบวัตถุจะถูกตรวจพบ

95. ตัวอักษรรัสเซีย 32 ตัวเขียนบนการ์ดตัวอักษรแบบตัด ไพ่ห้าใบจะถูกสุ่มออกมา ทีละใบ และวางบนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้คำว่า "จบ"

96. ลูกบอลสองลูกถูกกระจายแบบสุ่มและเป็นอิสระจากกันบนสี่เซลล์ซึ่งเรียงต่อกันเป็นเส้นตรง ลูกบอลแต่ละลูกที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน 1/4 กระทบแต่ละเซลล์ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะตกลงไปยังเซลล์ข้างเคียง

97. ขีปนาวุธเพลิงถูกยิงใส่เครื่องบิน เชื้อเพลิงบนเครื่องบินมีความเข้มข้นในถังสี่ถังที่อยู่บริเวณลำตัวเครื่องบินทีละถัง ขนาดถังเท่ากัน ในการจุดระเบิดเครื่องบิน ก็เพียงพอแล้วที่จะยิงกระสุนสองนัดในถังเดียวกันหรือในถังข้างเคียง เป็นที่ทราบกันดีว่ากระสุนสองนัดเข้าที่บริเวณถัง จงหาความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะลุกเป็นไฟ

98. จากไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) ไพ่สี่ใบจะถูกดึงออกมาพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบนี้จะมีดอกเดียวกัน

99. จากไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) ไพ่สี่ใบจะถูกดึงออกมาพร้อมกัน แต่ไพ่แต่ละใบจะถูกส่งกลับไปที่สำรับหลังจากดึงออกมา ค้นหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบเป็นดอกเดียวกัน

100. เมื่อเปิดสวิตช์กุญแจเครื่องยนต์จะสตาร์ทด้วยความน่าจะเป็น ร.

101. อุปกรณ์สามารถทำงานในสองโหมด: 1) ปกติ และ 2) ผิดปกติ โหมดปกติพบได้ใน 80% ของการทำงานของอุปกรณ์ทั้งหมด ผิดปกติ - ใน 20% ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะล้มเหลวทันเวลา ทีในโหมดปกติคือ 0.1; ในความผิดปกติ - 0.7 ค้นหาความน่าจะเป็นทั้งหมด รความล้มเหลวของอุปกรณ์

102. ร้านค้าได้รับสินค้าจากซัพพลายเออร์ 3 ราย: 55% จากที่ 1, 20 จากที่ 2 และ 25% จากที่ 3 ส่วนแบ่งของการแต่งงานคือ 5, 6 และ 8 เปอร์เซ็นต์ตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่ซื้อผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องมาจากซัพพลายเออร์รายที่สองคืออะไร

103. การไหลของรถยนต์ผ่านปั๊มน้ำมันประกอบด้วยรถบรรทุก 60% และรถยนต์ 40% ความน่าจะเป็นที่จะพบรถบรรทุกที่ปั๊มน้ำมันคือเท่าใดหากความน่าจะเป็นในการเติมเชื้อเพลิงคือ 0.1 และรถยนต์คือ 0.3

104. การไหลของรถยนต์ผ่านปั๊มน้ำมันประกอบด้วยรถบรรทุก 60% และรถยนต์ 40% ความน่าจะเป็นที่จะพบรถบรรทุกที่ปั๊มน้ำมันคือเท่าใดหากความน่าจะเป็นในการเติมเชื้อเพลิงคือ 0.1 และรถยนต์คือ 0.3

105. ร้านค้าได้รับสินค้าจากซัพพลายเออร์ 3 ราย: 55% จากที่ 1, 20 จากที่ 2 และ 25% จากที่ 3 ส่วนแบ่งของการแต่งงานคือ 5, 6 และ 8 เปอร์เซ็นต์ตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่ซื้อผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องมาจากซัพพลายเออร์รายที่ 1 คือเท่าใด

106. ตัวอักษรรัสเซีย 32 ตัวเขียนบนการ์ดตัวอักษรแบบตัด ไพ่ห้าใบจะถูกสุ่มออกมา ทีละใบ และวางบนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะได้คำว่า "หนังสือ"

107. ร้านค้าได้รับสินค้าจากซัพพลายเออร์ 3 ราย: 55% จากที่ 1, 20 จากที่ 2 และ 25% จากที่ 3 ส่วนแบ่งของการแต่งงานคือ 5, 6 และ 8 เปอร์เซ็นต์ตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่ซื้อผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องมาจากซัพพลายเออร์รายที่ 1 คือเท่าใด

108. ลูกบอลสองลูกถูกกระจายแบบสุ่มและเป็นอิสระจากกันบนสี่เซลล์ซึ่งเรียงต่อกันเป็นเส้นตรง ลูกบอลแต่ละลูกที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน 1/4 กระทบแต่ละเซลล์ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ลูกตกลงในช่องเดียวกัน

109. เมื่อเปิดสวิตช์กุญแจเครื่องยนต์จะเริ่มทำงานด้วยความน่าจะเป็น ร.ค้นหาความน่าจะเป็นที่เครื่องยนต์จะเริ่มทำงานในครั้งที่สองที่เปิดสวิตช์กุญแจ

110. ขีปนาวุธเพลิงถูกยิงใส่เครื่องบิน เชื้อเพลิงบนเครื่องบินมีความเข้มข้นในถังสี่ถังที่อยู่บริเวณลำตัวเครื่องบินทีละถัง ขนาดถังเท่ากัน ในการจุดระเบิดเครื่องบิน ก็เพียงพอแล้วที่จะยิงกระสุนสองนัดในถังเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีว่ากระสุนสองนัดเข้าที่บริเวณถัง จงหาความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะลุกเป็นไฟ

111. ขีปนาวุธเพลิงถูกยิงใส่เครื่องบิน เชื้อเพลิงบนเครื่องบินมีความเข้มข้นในถังสี่ถังที่อยู่บริเวณลำตัวเครื่องบินทีละถัง ขนาดถังเท่ากัน ในการจุดระเบิดเครื่องบิน ก็เพียงพอแล้วที่จะยิงกระสุนสองนัดในรถถังข้างเคียง เป็นที่ทราบกันดีว่ากระสุนสองนัดเข้าที่บริเวณถัง จงหาความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะลุกเป็นไฟ

112. ในโกศ ก ขาวและบี ลูกบอลสีดำ ลูกบอลลูกหนึ่งถูกนำออกจากโกศ ทำเครื่องหมายสีไว้ และลูกบอลถูกส่งกลับไปที่โกศ หลังจากนั้นลูกบอลอีกลูกหนึ่งจะถูกนำมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่จับออกมาเป็นสีขาวทั้งสองลูก

113. ในโกศ ก ขาวและบี ลูกบอลสีดำ ลูกบอลสองลูกถูกนำออกจากโกศพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลเหล่านี้จะมีสีต่างกัน

114. ลูกบอลสองลูกถูกกระจายแบบสุ่มและเป็นอิสระจากกันบนสี่เซลล์ซึ่งเรียงต่อกันเป็นเส้นตรง ลูกบอลแต่ละลูกที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน 1/4 กระทบแต่ละเซลล์ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะตกลงไปยังเซลล์ข้างเคียง

115. Masha มาสอบโดยรู้คำตอบสำหรับ 20 คำถามของโปรแกรมจาก 25 ข้อ อาจารย์ถาม 3 คำถาม ความน่าจะเป็นที่ Masha จะตอบคำถาม 2 ข้อเป็นเท่าใด

116. นักเรียนพิจารณาว่าตั๋วจาก 50 ใบมี 10 ใบที่ “ดี” Petya และ Masha ผลัดกันดึงตั๋วคนละหนึ่งใบ ความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่ได้ตั๋ว "ดี" เป็นเท่าใด

117. สถิติการขอสินเชื่อธนาคารมีดังนี้ 10% - รัฐ. เจ้าหน้าที่ 20% - ธนาคารอื่น ๆ ที่เหลือ - บุคคล ความน่าจะเป็นของการผิดนัดชำระหนี้คือ 0.01, 0.05 และ 0.2 ตามลำดับ สินเชื่อที่ขอคืนไม่ได้มีสัดส่วนเท่าใด?

118. ตัวอักษรรัสเซีย 32 ตัวเขียนบนการ์ดตัวอักษรแบบตัด ไพ่ห้าใบจะถูกสุ่มออกมา ทีละใบ และวางบนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้คำว่า "จบ"

119 สถิติการขอสินเชื่อธนาคารมีดังนี้ 10% - รัฐ. เจ้าหน้าที่ 20% - ธนาคารอื่น ๆ ที่เหลือ - บุคคล ความน่าจะเป็นของการผิดนัดชำระหนี้คือ 0.01, 0.05 และ 0.2 ตามลำดับ สินเชื่อที่ขอคืนไม่ได้มีสัดส่วนเท่าใด?

120. ความน่าจะเป็นที่ยอดขายรายสัปดาห์ของผู้ค้าไอศกรีมจะเกิน 2,000 รูเบิล อากาศแจ่มใส 80%, มีเมฆบางส่วน 50% และฝนตก 10% ความน่าจะเป็นที่ผลประกอบการจะเกิน 2,000 รูเบิลคืออะไร หากความน่าจะเป็นของสภาพอากาศแจ่มใสคือ 20% และมีเมฆบางส่วนและมีฝนตก - 40% ต่อครั้ง