สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัสของสามเหลี่ยมปีทาโกรัส วิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชาโปวาโลวา แอล.เอ. (สถานี Egorlykskaya, MBOU ESOSH หมายเลข 11)

1. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนเกรด VII - VIII, คู่มือสำหรับครู, - M: การศึกษา, 1982

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "หลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์" คู่มือสำหรับนักเรียนชั้น ป.5-6 – ม.: การตรัสรู้, 2532.

3. เซนเควิช ไอจี "สุนทรียภาพแห่งบทเรียนคณิตศาสตร์". – ม.: การตรัสรู้, 2524.

4. Litzman V. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ม.ค. 2503.

5. Voloshinov A.V. "พีทาโกรัส". - ม., 2536.

6. พิชูริน แอล.เอฟ. "เกินหน้าตำราพีชคณิต". - ม., 2533.

7. Zemlyakov A.N. "เรขาคณิตในเกรด 10" - ม., 2529.

8. หนังสือพิมพ์ "คณิต" 17/2539.

9. หนังสือพิมพ์ "คณิต" 3/2540.

10. Antonov N.P. , Vygodskii M.Ya. , Nikitin V.V. , Sankin A.I. "ชุดโจทย์คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา". - ม., 2506.

11. Dorofeev G.V. , Potapov M.K. , Rozov N.Kh. “คู่มือคณิตศาสตร์”. - ม., 2516.

12. เชตนิคอฟ เอ.ไอ. "หลักคำสอนของพีทาโกรัสเรื่องจำนวนและขนาด". - โนโวซีบีสค์ 2540

13. “จำนวนจริง นิพจน์อตรรกยะ» เกรด 8. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย Tomsk – ทอมสค์, 1997.

14. น.ส.อาตนัสยันต์ "เรขาคณิต" ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-9 – ม.: การตรัสรู้, 2534.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

ปีการศึกษานี้ฉันได้ทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบทที่น่าสนใจซึ่งเป็นที่รู้จักตั้งแต่สมัยโบราณ:

"สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา"

โดยปกติแล้วการค้นพบข้อความนี้จะมาจากนักปรัชญาชาวกรีกโบราณและนักคณิตศาสตร์ Pythagoras (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) แต่การศึกษาต้นฉบับโบราณแสดงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นที่รู้จักกันมานานก่อนการเกิดของ Pythagoras

ฉันสงสัยว่าทำไมในกรณีนี้จึงเกี่ยวข้องกับชื่อของพีทาโกรัส

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีความสำคัญอย่างยิ่ง: ใช้ในเรขาคณิตอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอน ฉันเชื่อว่างานของพีทาโกรัสยังคงมีความเกี่ยวข้อง เพราะไม่ว่าเราจะมองไปทางไหน เราก็สามารถเห็นผลงานแห่งความคิดอันยอดเยี่ยมของเขาได้ทุกที่ ซึ่งรวมอยู่ในสาขาต่างๆ ของชีวิตสมัยใหม่

จุดประสงค์ของการวิจัยของฉันคือ: เพื่อค้นหาว่าใครคือพีทาโกรัส และเขามีความสัมพันธ์อย่างไรกับทฤษฎีบทนี้

เมื่อศึกษาประวัติของทฤษฎีบท ฉันตัดสินใจค้นหา:

มีข้อพิสูจน์อื่นของทฤษฎีบทนี้หรือไม่?

อะไรคือความสำคัญของทฤษฎีบทนี้ในชีวิตของผู้คน?

Pythagoras มีบทบาทอย่างไรในการพัฒนาคณิตศาสตร์?

จากชีวประวัติของพีทาโกรัส

Pythagoras of Samos เป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ ชื่อเสียงของมันเกี่ยวข้องกับชื่อของทฤษฎีบทพีทาโกรัส แม้ว่าตอนนี้เรารู้แล้วว่าทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักในบาบิโลนโบราณเมื่อ 1,200 ปีก่อนปีทาโกรัสและในอียิปต์เมื่อ 2,000 ปีก่อนเขารู้จักสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4, 5 เรายังคงเรียกมันตามชื่อของคนโบราณนี้ นักวิทยาศาสตร์.

แทบไม่มีใครทราบแน่ชัดเกี่ยวกับชีวิตของ Pythagoras แต่มีตำนานจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับชื่อของเขา

Pythagoras เกิดเมื่อ 570 ปีก่อนคริสตกาลบนเกาะ Samos

ปีทาโกรัสมีรูปร่างหน้าตาที่หล่อเหลา ไว้หนวดเครายาว และสวมมงกุฎสีทองบนศีรษะ Pythagoras ไม่ใช่ชื่อ แต่เป็นชื่อเล่นที่นักปรัชญาได้รับจากการพูดอย่างถูกต้องและน่าเชื่อถือเสมอเหมือนคำพยากรณ์กรีก (พีทาโกรัส - "คำพูดโน้มน้าวใจ").

ในปี 550 ปีก่อนคริสตกาล พีทาโกรัสตัดสินใจและไปอียิปต์ ดังนั้น ประเทศที่ไม่รู้จักและวัฒนธรรมที่ไม่รู้จักจึงเปิดขึ้นต่อหน้าพีทาโกรัส พีทาโกรัสประหลาดใจและประหลาดใจมากในประเทศนี้ และหลังจากการสังเกตชีวิตของชาวอียิปต์ พีทาโกรัสตระหนักว่าเส้นทางสู่ความรู้ซึ่งได้รับการคุ้มครองโดยวรรณะของปุโรหิตนั้นมาจากศาสนา

หลังจากเรียนที่อียิปต์มา 11 ปี พีทาโกรัสไปยังบ้านเกิดของเขา ซึ่งระหว่างทางเขาตกเป็นเชลยของชาวบาบิโลน ที่นั่นเขาได้ทำความคุ้นเคยกับวิทยาศาสตร์ของชาวบาบิโลนซึ่งพัฒนามากกว่าอียิปต์ ชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้สมการเชิงเส้น กำลังสอง และสมการลูกบาศก์บางประเภท หลังจากหลบหนีจากการถูกจองจำ เขาไม่สามารถอยู่ในบ้านเกิดเมืองนอนได้นานเพราะบรรยากาศของความรุนแรงและการปกครองแบบเผด็จการที่ครอบงำที่นั่น เขาตัดสินใจย้ายไปที่ Croton (อาณานิคมของกรีกทางตอนเหนือของอิตาลี)

มันอยู่ใน Croton ที่ช่วงเวลาที่รุ่งโรจน์ที่สุดในชีวิตของ Pythagoras เริ่มต้นขึ้น ที่นั่นเขาได้จัดตั้งบางอย่าง เช่น กลุ่มภราดรภาพทางศาสนา-จริยธรรม หรือระเบียบสงฆ์แบบลับๆ ซึ่งสมาชิกมีหน้าที่ต้องดำเนินชีวิตตามวิถีชีวิตแบบพีทาโกรัส

พีทาโกรัสและพีทาโกรัส

ปีทาโกรัสจัดตั้งกลุ่มภราดรภาพทางศาสนาและจริยธรรมในอาณานิคมกรีกทางตอนใต้ของคาบสมุทรแอเพนไนน์ เช่น ระเบียบสงฆ์ ซึ่งต่อมาเรียกว่าสหภาพปีทาโกรัส สมาชิกของสหภาพต้องปฏิบัติตามหลักการบางประการ: ประการแรก มุ่งมั่นเพื่อความสวยงามและรุ่งโรจน์ ประการที่สอง เพื่อประโยชน์ และประการที่สาม มุ่งมั่นเพื่อความสุขสูงสุด

ระบบของกฎทางศีลธรรมและจริยธรรมที่พีทาโกรัสมอบให้แก่นักเรียนของเขาได้รวบรวมเป็นรหัสทางศีลธรรมของ "กลอนทอง" ของพีทาโกรัสซึ่งเป็นที่นิยมอย่างมากในยุคโบราณยุคกลางและยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา

ระบบการศึกษาของพีทาโกรัสประกอบด้วยสามส่วน:

สอนเกี่ยวกับตัวเลข-เลขคณิต

การสอนเกี่ยวกับตัวเลข-เรขาคณิต

การสอนเรื่องโครงสร้างจักรวาล-ดาราศาสตร์.

ระบบการศึกษาที่ Pythagoras วางไว้เป็นเวลาหลายศตวรรษ

โรงเรียนของ Pythagoras ทำหลายอย่างเพื่อให้เรขาคณิตเป็นลักษณะของวิทยาศาสตร์ คุณสมบัติหลักของวิธีพีทาโกรัสคือการรวมกันของเรขาคณิตกับเลขคณิต

พีทาโกรัสจัดการกับสัดส่วนและความก้าวหน้าต่างๆ มากมาย และอาจมีความคล้ายคลึงกันของตัวเลข เนื่องจากเขาให้เครดิตกับการแก้ปัญหา: “จากตัวเลขสองตัวที่ให้มา สร้างตัวที่สาม ซึ่งมีขนาดเท่ากับหนึ่งในข้อมูลและคล้ายกับ ที่สอง."

พีทาโกรัสและนักเรียนแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนเหลี่ยม เป็นมิตร และสมบูรณ์แบบ และศึกษาคุณสมบัติของมัน พีธากอรัสไม่ได้สนใจเลขคณิตในฐานะการฝึกคำนวณ และเขาประกาศอย่างภาคภูมิใจว่าเขา "ให้เลขคณิตอยู่เหนือผลประโยชน์ของพ่อค้า"

สมาชิกของสหภาพพีทาโกรัสอาศัยอยู่ในหลายเมืองในกรีซ

ชาวปีทาโกรัสยังยอมรับผู้หญิงเข้าสู่สังคมของพวกเขาด้วย สหภาพรุ่งเรืองมากว่ายี่สิบปี จากนั้นการประหัตประหารสมาชิกก็เริ่มขึ้น นักเรียนหลายคนถูกฆ่าตาย

มีตำนานมากมายเกี่ยวกับการตายของพีทาโกรัสเอง แต่คำสอนของพีทาโกรัสและสาวกยังคงอยู่ต่อไป

จากประวัติการสร้างทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เป็นที่ทราบกันในปัจจุบันว่าทฤษฎีบทนี้ไม่ได้ถูกค้นพบโดยพีทาโกรัส อย่างไรก็ตาม บางคนเชื่อว่าเป็นพีทาโกรัสที่พิสูจน์ได้ครบถ้วนเป็นคนแรก ในขณะที่บางคนปฏิเสธบุญคุณนี้ของเขา คุณลักษณะบางประการของพีทาโกรัสซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ที่ยุคลิดให้ไว้ในหนังสือเล่มแรกของเรื่อง Elements ของเขา ในทางกลับกัน Proclus อ้างว่าการพิสูจน์ใน Elements นั้นเกิดจากตัว Euclid เอง อย่างที่เราเห็น ประวัติของคณิตศาสตร์แทบจะไม่มีข้อมูลที่เป็นรูปธรรมที่เชื่อถือได้เกี่ยวกับชีวิตของพีทาโกรัสและกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ของเขาเลย

เรามาเริ่มทบทวนประวัติศาสตร์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับจีนโบราณกัน ที่นี่หนังสือคณิตศาสตร์ของ Chu-pei ดึงดูดความสนใจเป็นพิเศษ บทความนี้กล่าวถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5:

"ถ้าแบ่งมุมฉากออกเป็นส่วนๆ เส้นที่เชื่อมปลายด้านจะเป็น 5 เมื่อฐานเป็น 3 และสูงเป็น 4"

เรขาคณิตในหมู่ชาวฮินดูมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลัทธิ มีความเป็นไปได้สูงที่ทฤษฎีบทด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสองเป็นที่รู้จักในอินเดียประมาณศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราช นอกเหนือไปจากใบสั่งยาตามพิธีกรรมแล้ว ยังมีงานที่มีลักษณะทางเทววิทยาเชิงเรขาคณิตด้วย ในงานเขียนเหล่านี้ย้อนหลังไปถึงศตวรรษที่ 4 หรือ 5 ก่อนคริสต์ศักราช เราพบกับการสร้างมุมฉากโดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 15, 36, 39

ในยุคกลาง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้กำหนดขีดจำกัด ถ้าไม่ใช่ขีดจำกัดสูงสุดเท่าที่จะเป็นไปได้ อย่างน้อยที่สุดก็คือความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ดี การวาดภาพลักษณะเฉพาะของทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งบางครั้งเด็กนักเรียนเปลี่ยนให้เป็นหมวกทรงสูงที่สวมเสื้อคลุมของศาสตราจารย์หรือผู้ชาย มักใช้เป็นสัญลักษณ์ของคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น

โดยสรุป เรานำเสนอสูตรต่างๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่แปลมาจากภาษากรีก ภาษาละติน และภาษาเยอรมัน

ทฤษฎีบทของ Euclid อ่าน (แปลตามตัวอักษร):

"ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมของด้านที่ทอดมุมฉากจะเท่ากับสี่เหลี่ยมด้านที่ล้อมรอบมุมฉาก"

อย่างที่คุณเห็นในประเทศต่าง ๆ และภาษาต่าง ๆ มีการกำหนดทฤษฎีบทที่คุ้นเคยในเวอร์ชันต่าง ๆ สร้างขึ้นในเวลาต่างๆ กันและในภาษาต่างๆ กัน สิ่งเหล่านี้สะท้อนสาระสำคัญของรูปแบบทางคณิตศาสตร์หนึ่งรูปแบบ ซึ่งการพิสูจน์ก็มีหลายทางเลือกเช่นกัน

ห้าวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หลักฐานจีนโบราณ

ในภาพวาดจีนโบราณ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c ซ้อนกัน เพื่อให้รูปร่างภายนอกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน a + b และรูปด้านในเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c สร้างขึ้นบน ด้านตรงข้ามมุมฉาก

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

บทพิสูจน์โดย เจ. การ์ดฟิลด์ (1882)

ให้เราจัดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสองรูปเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นต่อเนื่องกัน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นเป็นผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานและความสูง

ในทางกลับกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ได้:

การเทียบเคียงนิพจน์เหล่านี้ เราได้รับ:

หลักฐานนั้นง่าย

หลักฐานนี้ได้มาจากกรณีที่ง่ายที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทเริ่มต้นด้วยเขา

อันที่จริง แค่ดูการเรียงต่อกันของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วก็เพียงพอแล้วเพื่อดูว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นจริง

ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยม ABC: สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC มีสามเหลี่ยมเริ่มต้น 4 รูป และสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาประกอบด้วยสองรูป ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐานของชาวฮินดูโบราณ

สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) สามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ในรูป 12. ก หรือในรูป 12b. เห็นได้ชัดว่าส่วนที่ 1, 2, 3, 4 เหมือนกันในทั้งสองร่าง และถ้าการเท่ากันถูกลบออกจากการเท่ากัน (พื้นที่) การเท่ากันก็จะยังคงอยู่ เช่น c2 = a2 + b2

บทพิสูจน์ของยุคลิด

เป็นเวลากว่าสองพันปี สิ่งที่พบได้บ่อยที่สุดคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่คิดค้นโดยยุคลิด มันถูกวางไว้ในหนังสือ "Beginnings" อันโด่งดังของเขา

Euclid ลดความสูง BH จากจุดยอดของมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากและพิสูจน์ว่าส่วนขยายของมันแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างเสร็จบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม ซึ่งพื้นที่นั้นเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกันที่สร้างขึ้นบนขา

ภาพวาดที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เรียกติดตลกว่า "กางเกงปีทาโกรัส" เป็นเวลานานที่เขาถือว่าเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ของวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์

การประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ความสำคัญของทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่สามารถได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือด้วยความช่วยเหลือของมัน และปัญหามากมายสามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ ความสำคัญเชิงปฏิบัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและทฤษฎีบทผกผันคือสามารถใช้หาความยาวของส่วนได้โดยไม่ต้องวัดส่วนเอง เหมือนเดิม สิ่งนี้เปิดทางจากเส้นตรงไปยังระนาบ จากระนาบสู่ปริภูมิปริมาตรและอื่นๆ ด้วยเหตุนี้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงมีความสำคัญต่อมนุษยชาติ ซึ่งพยายามค้นหามิติเพิ่มเติมและสร้างเทคโนโลยีในมิติเหล่านี้

บทสรุป

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีชื่อเสียงมากจนยากที่จะจินตนาการถึงบุคคลที่ไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับเรื่องนี้ ฉันได้เรียนรู้ว่ามีหลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ฉันได้ศึกษาแหล่งข้อมูลทางประวัติศาสตร์และคณิตศาสตร์จำนวนมาก รวมทั้งข้อมูลบนอินเทอร์เน็ต และตระหนักว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นน่าสนใจไม่เพียงแต่สำหรับประวัติศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นเพราะว่ามันมีความสำคัญในชีวิตและวิทยาศาสตร์อีกด้วย นี่คือหลักฐานจากการตีความที่หลากหลายของข้อความของทฤษฎีบทนี้ที่ฉันให้ไว้ในบทความนี้และวิธีการพิสูจน์

ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเป็นหนึ่งในหลักและอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิต ความสำคัญของมันอยู่ที่ความจริงที่ว่าทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่สามารถอนุมานได้จากมันหรือด้วยความช่วยเหลือของมัน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังน่าทึ่งตรงที่ว่าในตัวมันเองนั้นไม่ชัดเจนเลย ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วสามารถเห็นได้โดยตรงบนภาพวาด แต่ไม่ว่าคุณจะมองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมากเท่าไหร่ คุณจะไม่มีทางเห็นว่ามีความสัมพันธ์ง่ายๆ ระหว่างด้านของมัน: c2 = a2 + b2 ดังนั้นจึงมักใช้การแสดงภาพเพื่อพิสูจน์ ข้อดีของพีทาโกรัสคือเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างครบถ้วนสมบูรณ์ บุคลิกภาพของนักวิทยาศาสตร์เองซึ่งทฤษฎีบทนี้ไม่ได้รักษาความทรงจำโดยบังเอิญนั้นน่าสนใจ พีทาโกรัสเป็นนักพูด ครู และนักการศึกษาที่ยอดเยี่ยม เป็นผู้จัดการโรงเรียนของเขาที่ให้ความสำคัญกับความกลมกลืนของดนตรีและตัวเลข ความดีและความยุติธรรม ความรู้ และวิถีชีวิตที่ดีต่อสุขภาพ เขาอาจเป็นแบบอย่างสำหรับเราลูกหลานที่อยู่ห่างไกล

ลิงค์บรรณานุกรม

ทูมาโนวา เอส.วี. หลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส // เริ่มด้วยวิทยาศาสตร์ - 2559. - ฉบับที่ 2. - หน้า 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (วันที่เข้าถึง: 04/06/2019)

ศักยภาพในการสร้างสรรค์มักเกิดจากมนุษยศาสตร์ ทิ้งการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ตามธรรมชาติ วิธีการปฏิบัติ และภาษาที่แห้งแล้งของสูตรและตัวเลข คณิตศาสตร์ไม่สามารถจัดอยู่ในกลุ่มวิชามนุษยศาสตร์ได้ แต่ถ้าปราศจากความคิดสร้างสรรค์ใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" คุณจะไปได้ไม่ไกล - ผู้คนรู้เรื่องนี้มานานแล้ว ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัส เป็นต้น

น่าเสียดายที่หนังสือเรียนในโรงเรียนมักจะไม่อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีความสำคัญไม่เพียงแต่จะต้องยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐาน และในเวลาเดียวกัน พยายามปลดปล่อยความคิดของคุณจากความคิดโบราณและความจริงพื้นฐาน - เฉพาะในเงื่อนไขดังกล่าวเท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ทั้งหมดจะเกิดขึ้น

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้จักในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัสในปัจจุบัน ด้วยความช่วยเหลือ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ทำได้ แต่ควรสนุกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดที่ใส่แว่นหนาเตอะเท่านั้น แต่ยังเหมาะกับทุกคนที่มีจิตใจแข็งแกร่งและแข็งแกร่งด้วยจิตวิญญาณ

จากประวัติของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่าทฤษฎีบทจะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบมัน สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษของมันได้รับการศึกษามานานก่อนหน้านั้นแล้ว มีมุมมองสองขั้วในเรื่องนี้ ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ ข้อพิสูจน์ไม่ได้เป็นของผู้ประพันธ์พีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด เป็นที่ทราบกันแต่เพียงว่าหลักฐานของพีทาโกรัสหากเคยมีอยู่จริงก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าหลักฐานที่มีชื่อเสียงจาก Euclid's Elements อาจเป็นของ Pythagoras และ Euclid บันทึกไว้เท่านั้น

เป็นที่ทราบกันดีในปัจจุบันว่าปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากพบในแหล่งที่มาของอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อเมเนมเฮตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนจากรัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำรา Sulva Sutra ของอินเดียโบราณ และงานของจีนโบราณ Zhou -บีสวนจิน

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่ในความคิดของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ หลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบันเป็นเครื่องยืนยัน ไม่มีทฤษฎีบทอื่นที่สามารถแข่งขันในเรื่องนี้ได้ ผู้เขียนหลักฐานที่มีชื่อเสียง ได้แก่ เลโอนาร์โด ดาวินชี และเจมส์ การ์ฟิลด์ ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทนี้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หนังสือเรียนส่วนใหญ่ให้การพิสูจน์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่สาระสำคัญของทฤษฎีบทนั้นอยู่ในรูปทรงเรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่นเรามาพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้ก่อน

หลักฐาน 1

สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ง่ายที่สุดสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องตั้งเงื่อนไขในอุดมคติ: อย่าให้รูปสามเหลี่ยมเป็นมุมฉากเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่ามันเป็นรูปสามเหลี่ยมที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณา

คำแถลง "สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาของมัน"สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC หน้าจั่ว: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่รูปเท่ากับ ABC ดั้งเดิม และบนขา AB และ BC สร้างขึ้นบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งแต่ละอันมีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสองรูป

ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส บางทีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ "กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง":

หลักฐาน 2

วิธีนี้เป็นการรวมพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน และอาจถูกมองว่าแตกต่างจากการพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ Bhaskari ในอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน ก ข และ ค(รูปที่ 1) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่มีด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสอง - (ก+ข). สร้างสิ่งก่อสร้างในแต่ละช่องสี่เหลี่ยมดังรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสามเหลี่ยมสี่รูปที่เหมือนกันในรูปที่ 1 เป็นผลให้ได้สี่เหลี่ยมสองอัน: หนึ่งมีด้าน a ที่สองมีด้าน ข.

ในตารางที่สอง รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่รูปสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูป 2 ตามสูตร. และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่มุมฉากที่เท่ากันซึ่งจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้าน (ก+ข).

วางทั้งหมดนี้ลง เรามี: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. ขยายวงเล็บ ทำการคำนวณเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมดและรับสิ่งนั้น ก 2 + ข 2 = ก 2 + ข 2. ในขณะเดียวกันพื้นที่ของจารึกในรูปที่ 3 สแควร์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดั้งเดิม S=c2. เหล่านั้น. a2+b2=c2คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐาน 3

บทพิสูจน์ของอินเดียโบราณที่เหมือนกันมากอธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในตำรา "มงกุฎแห่งความรู้" ("Siddhanta Shiromani") และเป็นข้อโต้แย้งหลัก ผู้เขียนใช้คำอุทธรณ์ที่ส่งถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และพลังในการสังเกตของนักเรียนและ ผู้ติดตาม: “ดูสิ!”

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

ภายในสี่เหลี่ยม ให้สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปตามที่ระบุในรูปวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากจะแสดงด้วย กับ. เรียกขาของสามเหลี่ยม กและ ข. ตามรูปวาด ด้านของสี่เหลี่ยมด้านในคือ (ก-ข).

ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส S=c2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านนอก และในขณะเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยการเพิ่มพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อให้แน่ใจว่าให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน และนั่นทำให้คุณมีสิทธิ์เขียนลงไป c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2=a2+b2. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐาน 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างคล้ายเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากการก่อสร้างทั้งหมด:

มันใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ที่สอง และจัตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับการพิสูจน์ของอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวสองอันออกจากภาพวาดในรูปที่ 1 ให้ย้ายมันไปทางด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยด้าน c และแนบด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมสีม่วง คุณจะได้รูปที่เรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว " (รูปที่ 2) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม คุณจะเห็นว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" ประกอบขึ้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอัน: อันเล็กที่มีด้านข้าง ขและใหญ่ด้วยด้านข้าง ก.

สิ่งก่อสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์จีนโบราณและพวกเราที่ติดตามพวกเขาได้ข้อสรุปว่า c2=a2+b2.

หลักฐาน 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามรูปทรงเรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี. เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ในการทำเช่นนี้ให้ทำต่อที่ขา เครื่องปรับอากาศและสร้างส่วน ซีดีซึ่งเท่ากับขา เอบี. ตั้งฉากด้านล่าง ค.ศส่วนของเส้น เอ็ด. กลุ่ม เอ็ดและ เครื่องปรับอากาศมีความเท่าเทียมกัน เชื่อมต่อจุด อีและ ที่เช่นเดียวกับ อีและ จากและได้รับภาพวาดดังภาพด้านล่าง:

ในการพิสูจน์หอคอย เราใช้วิธีที่เราได้ทดสอบไปแล้วอีกครั้ง: เราหาพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ในสองวิธีและเทียบเคียงนิพจน์ซึ่งกันและกัน

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เตียงสามารถทำได้โดยการเพิ่มพื้นที่ของสามเหลี่ยมสามรูปที่ประกอบกัน และหนึ่งในนั้น ศอ.บต, ไม่ใช่แค่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหน้าจั่วด้วย อย่าลืมว่า เอบี=ซีดี, AC = เอ็ดและ คริสตศักราช=ค.ศ- สิ่งนี้จะช่วยให้เราลดความซับซ้อนของการบันทึกและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ในขณะเดียวกันก็เห็นได้ชัดว่า เตียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: SABED=(DE+AB)*1/2AD. สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงกลุ่มจะสะดวกและชัดเจนกว่า ค.ศเป็นผลรวมของส่วน เครื่องปรับอากาศและ ซีดี.

ลองเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). เราใช้ความเท่าเทียมกันของส่วนที่เรารู้จักอยู่แล้วและอธิบายไว้ข้างต้นเพื่อทำให้ด้านขวามือของสัญกรณ์ง่ายขึ้น: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. และตอนนี้เราเปิดวงเล็บและแปลงความเท่าเทียมกัน: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. เมื่อเสร็จสิ้นการแปลงทั้งหมดแล้ว เราได้สิ่งที่ต้องการ: ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d AC 2 + AB 2. เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบท

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังไม่สมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์ สเตอริโอเมทรี ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์: ตัวอย่างเช่น ถ้าของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมคล้ายกับที่แสดงในภาพวาด การเทของเหลวทำให้สามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และผลจากทฤษฎีบทได้

คำสองสามคำเกี่ยวกับแฝดสามของพีทาโกรัส

ปัญหานี้มีน้อยหรือไม่ได้ศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันก็น่าสนใจมากและมีความสำคัญอย่างยิ่งในรูปทรงเรขาคณิต พีทาโกรัสสามเท่าใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย แนวคิดของพวกเขาอาจเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดสามของพีทาโกรัสคืออะไร? เรียกว่า จำนวนธรรมชาติ ซึ่งรวบรวมเป็นสามส่วน ผลรวมของกำลังสองของสองจำนวนนั้นเท่ากับจำนวนที่สามกำลังสอง

พีทาโกรัสสามเท่าสามารถ:

ดั้งเดิม (ตัวเลขทั้งสามนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
ไม่ดั้งเดิม (ถ้าแต่ละจำนวนของสามเท่าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สามเท่าใหม่ที่ไม่ใช่ดั้งเดิม)

ก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณหลงใหลในจำนวนแฝดสามของพีทาโกรัส ในงานต่างๆ พวกเขาพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3.4 และ 5 หน่วย ยังไงก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างเท่ากับตัวเลขจากสามเท่าของพีทาโกรัสจะเป็นสี่เหลี่ยมตามค่าเริ่มต้น

ตัวอย่างของจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัส: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) เป็นต้น

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบการประยุกต์ใช้ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณคดีด้วย

ประการแรกเกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนต่างกัน ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างแบบโรมาเนสก์:

แสดงความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมใหญ่สามารถแสดงเป็น รและแสดงออกผ่าน b: R=b/2. รัศมีของครึ่งวงกลมที่เล็กกว่าสามารถแสดงในรูปของ b: r=b/4. ในปัญหานี้เราสนใจรัศมีของวงในของหน้าต่าง (ขอเรียกว่า หน้า).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณ ร. ในการทำเช่นนี้เราใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมประกอบด้วยสองรัศมี: ข/4+น. ขาข้างหนึ่งเป็นรัศมี ข/4, อื่น ข/2-ป. โดยใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราเขียนว่า (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. ต่อไปเราจะเปิดวงเล็บและรับ ข 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4-bp + p 2. ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น bp/2=b 2 /4-bp. จากนั้นเราแบ่งเงื่อนไขทั้งหมดออกเป็น ขเราให้สิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*p=b/4. และในที่สุดเราก็พบว่า พี=b/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

เมื่อใช้ทฤษฎีบทคุณสามารถคำนวณความยาวของจันทันสำหรับหลังคาจั่วได้ กำหนดความสูงของเสาสัญญาณเคลื่อนที่ที่จำเป็นสำหรับสัญญาณในการเข้าถึงการตั้งถิ่นฐานที่แน่นอน และติดตั้งต้นคริสต์มาสอย่างต่อเนื่องในจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่อยู่บนหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่มักจะมีประโยชน์ในชีวิตจริงด้วย

เท่าที่เกี่ยวข้องกับวรรณกรรม ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงเป็นเช่นนั้นมาจนถึงทุกวันนี้ ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ได้รับแรงบันดาลใจจากเธอให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่มอดดับไปในไม่ช้า
แต่เมื่อส่องแสงก็ไม่น่าจะสลายไป
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
จะไม่ทำให้เกิดความสงสัยและข้อโต้แย้ง.

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสตา
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวร้อยตัวถูกแทงโกหก -
ของขวัญที่กลับมาของพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมาวัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
กระตุ้นเผ่าวัวตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงที่นี่

พวกเขาคิดว่ามันถึงเวลาแล้ว
และอีกครั้งพวกเขาจะเสียสละ
ทฤษฎีบทที่ยอดเยี่ยมบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Yevgeny Veltistov นักเขียนชาวโซเวียตในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ได้อุทิศบททั้งหมดให้กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และครึ่งบทของเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่สามารถดำรงอยู่ได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้กระทั่งศาสนาสำหรับโลกใบเดียว มันจะง่ายกว่ามากที่จะอยู่ในนั้น แต่ก็น่าเบื่อกว่ามากเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ผู้เขียนกล่าวผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ Taratara ว่า: "สิ่งสำคัญในคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด ความคิดใหม่" ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์นี้ทำให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีการพิสูจน์ที่หลากหลายมากมาย ช่วยให้ก้าวไปไกลกว่าปกติและมองสิ่งที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้สร้างขึ้นเพื่อให้คุณมองข้ามหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ และเรียนรู้ไม่เพียงแค่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในตำราเรียน "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7 -11 " (A.V. Pogorelov) แต่ยังรวมถึงวิธีอื่น ๆ ที่น่าสนใจในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และดูตัวอย่างการนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อีกด้วย

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณสามารถเรียกร้องคะแนนที่สูงขึ้นในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ - ข้อมูลในหัวข้อนี้จากแหล่งข้อมูลเพิ่มเติมมักจะได้รับการชื่นชมอย่างสูง

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณรู้สึกว่าคณิตศาสตร์น่าสนใจเพียงใด เพื่อให้มั่นใจโดยตัวอย่างเฉพาะว่ามีที่สำหรับความคิดสร้างสรรค์อยู่เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณทำการค้นคว้าและค้นพบที่น่าตื่นเต้นในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? แจ้งให้เราทราบว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ เรายินดีที่จะพูดคุยทั้งหมดนี้กับคุณ

blog.site ด้วยการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขารองรับ ( กและ ข) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ( ค).

สูตรทางเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทเดิมกำหนดดังนี้:

สูตรพีชคณิต:

นั่นคือแสดงถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม คและความยาวของขาถึง กและ ข :

ก 2 + ข 2 = ค 2

สูตรทั้งสองของทฤษฎีบทมีค่าเท่ากัน แต่สูตรที่สองเป็นพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ นั่นคือ ข้อความที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับพื้นที่และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัสผกผัน:

หลักฐานของ

ในขณะนี้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้ในเอกสารทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีจำนวนการพิสูจน์ที่น่าประทับใจ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอน ตามแนวคิดแล้ว พวกเขาทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนเล็กน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุด ได้แก่ การพิสูจน์โดยวิธีพื้นที่ การพิสูจน์เชิงจริงและเชิงแปลกใหม่ (เช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์)

ผ่านสามเหลี่ยมคล้าย

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ที่สร้างขึ้นโดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ได้ใช้แนวคิดของพื้นที่รูป

อนุญาต เอบีซีมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. ลองวาดความสูงจาก คและแสดงฐานโดย ชม. สามเหลี่ยม อชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีที่มุมทั้งสอง ในทำนองเดียวกันสามเหลี่ยม ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี. แนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

อะไรเทียบเท่า

เพิ่มเราได้รับ

พิสูจน์พื้นที่

การพิสูจน์ต่อไปนี้แม้จะดูง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกเขาทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

จัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันที่เท่ากันดังแสดงในรูปที่ 1
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้าน คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพราะผลรวมของมุมแหลมสองมุมเท่ากับ 90° และมุมตรงเท่ากับ 180°
ในแง่หนึ่งพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และในทางกลับกันผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสองด้านใน สี่เหลี่ยม

คิวอีดี

หลักฐานผ่านความเท่าเทียมกัน

หลักฐานการเปลี่ยนแปลงที่สง่างาม

ตัวอย่างของหนึ่งในหลักฐานเหล่านี้แสดงอยู่ในภาพวาดทางด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะถูกแปลงโดยการเรียงสับเปลี่ยนให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างขึ้นบนขา

บทพิสูจน์ของยุคลิด

การวาดหลักฐานของ Euclid

ภาพประกอบสำหรับการพิสูจน์ของ Euclid

แนวคิดของการพิสูจน์ของ Euclid มีดังนี้ ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา แล้วพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมใหญ่และเล็กสองอันเท่ากัน

พิจารณาภาพวาดทางด้านซ้าย เราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากบนนั้น และดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกัน

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK ในการทำเช่นนี้เราใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากันตามที่กำหนด สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้พบว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดง) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK

ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่สามเหลี่ยม ACK นั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม DECA สิ่งเดียวที่ต้องทำคือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน สามเหลี่ยมเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นง่ายต่อการพิสูจน์ด้วยวิธีการเคลื่อนที่: ให้หมุนสามเหลี่ยม CAK 90 °ทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองภายใต้การพิจารณาจะ ตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยมผืนผ้า BHJI นั้นคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากคือผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา แนวคิดเบื้องหลังการพิสูจน์นี้มีภาพประกอบเพิ่มเติมด้วยภาพเคลื่อนไหวด้านบน

บทพิสูจน์ของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนไหว

พิจารณาภาพวาดดังที่เห็นได้จากส่วนสมมาตร คฉันผ่าสี่เหลี่ยม กขชมเจ เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (ตั้งแต่ รูปสามเหลี่ยม กขคและ เจชมฉันมีค่าเท่ากันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา คกเจฉัน และ ชงกข . ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของรูปที่แรเงาโดยเราเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์จะปล่อยให้ผู้อ่าน

พิสูจน์โดยวิธีการเล็กน้อย

การพิสูจน์ต่อไปนี้โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวอังกฤษชื่อ Hardy ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

พิจารณาจากภาพวาดที่แสดงในรูปและสังเกตการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง กเราสามารถเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับการเพิ่มทีละน้อย กับและ ก(ใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน):

พิสูจน์โดยวิธีการเล็กน้อย

เราพบวิธีการแยกตัวแปร

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่ขาทั้งสองข้างเพิ่มขึ้น

เราได้รวมสมการนี้และใช้เงื่อนไขเริ่มต้น

ค 2 = ก 2 + ข 2 + ค่าคงที่

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

อย่างที่เห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายปรากฏขึ้นเนื่องจากสัดส่วนเชิงเส้นระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมและส่วนเพิ่ม ในขณะที่ผลรวมเกิดจากส่วนเพิ่มที่เป็นอิสระจากส่วนเพิ่มของขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่าได้หากเราสันนิษฐานว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่เพิ่มขึ้น (ในกรณีนี้คือขา ข). จากนั้นสำหรับค่าคงที่การรวมที่เราได้รับ

การเปลี่ยนแปลงและลักษณะทั่วไป

ถ้าแทนที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีการสร้างตัวเลขที่คล้ายกันอื่นๆ ที่ขา ดังนั้นการสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยทั่วไปต่อไปนี้จะเป็นจริง: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันที่สร้างขึ้นบนขาจะเท่ากับพื้นที่ของตัวเลขที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
- ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนขาเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
- ผลรวมของพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างขึ้นบนขา (ตามเส้นผ่านศูนย์กลาง) เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างนี้ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวงและมีชื่อเรียกว่า lunula ของฮิปโปเครติก

เรื่องราว

ชูเป่ย 500–200 ปีก่อนคริสตกาล ทางด้านซ้ายคือคำจารึก: ผลรวมของกำลังสองของความยาวของส่วนสูงและฐานคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

Chu-pei หนังสือจีนโบราณพูดถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5: ในหนังสือเล่มเดียวกัน มีการเสนอภาพวาดที่สอดคล้องกับหนึ่งในภาพวาดของเรขาคณิตฮินดูของ Baskhara

Kantor (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3 ² + 4 ² = 5² เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์ในราว 2,300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในช่วงเวลาของกษัตริย์อเมเนมเฮตที่ 1 (ตามปาปิรุส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคันทอร์ พิณใหญ่หรือ "สตริงเกอร์" สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

มันง่ายมากที่จะทำซ้ำวิธีการสร้างของพวกเขา ใช้เชือกยาว 12 ม. แล้วมัดตามแถบสีที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและ 4 เมตรจากอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะถูกปิดล้อมระหว่างด้านยาว 3 และ 4 เมตร Harpedonapts อาจถูกคัดค้านว่าวิธีการสร้างของพวกเขากลายเป็นสิ่งฟุ่มเฟือยหากมีใครใช้ เช่น สี่เหลี่ยมไม้ที่ช่างไม้ทุกคนใช้ แท้จริงแล้วภาพวาดของอียิปต์เป็นที่ทราบกันดีว่าพบเครื่องมือดังกล่าวเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการช่างไม้

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยของฮัมมูราบี นั่นคือถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล e. มีการคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากโดยประมาณของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากสิ่งนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมีย พวกเขาสามารถทำการคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้ อย่างน้อยก็ในบางกรณี Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) สรุปว่า:

วรรณกรรม

เป็นภาษารัสเซีย

Skopets Z.A.เพชรประดับทางเรขาคณิต ม., 2533
เยเลนสกี้ ช.เจริญรอยตามพีทาโกรัส ม., 2504
Van der Waerden B. L.วิทยาศาสตร์การตื่นตัว. คณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีก ม., 2502
เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม., 2525
W. Litzman, "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" M., 1960
- เว็บไซต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก เนื้อหานำมาจากหนังสือโดย W. Litzman ภาพวาดจำนวนมากแสดงเป็นไฟล์กราฟิกแยกต่างหาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทสามเท่าของพีทาโกรัสจากหนังสือโดย D. V. Anosov "ดูคณิตศาสตร์และบางสิ่งจากมัน"
เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ G. Glaser นักวิชาการจาก Russian Academy of Education กรุงมอสโก

เป็นภาษาอังกฤษ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ WolframMathWorld
Cut-The-Knot ส่วนของทฤษฎีบทพีทาโกรัส หลักฐานประมาณ 70 รายการและข้อมูลเพิ่มเติมมากมาย (ภาษาอังกฤษ)

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

จากประวัติของปัญหา

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หลักฐาน 1

หลักฐาน 2

หลักฐาน 3

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

หลักฐาน 4

หลักฐาน 5

คำสองสามคำเกี่ยวกับแฝดสามของพีทาโกรัส

พีทาโกรัสสามเท่าสามารถ:

ดั้งเดิม (ตัวเลขทั้งสามนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
ไม่ดั้งเดิม (ถ้าแต่ละจำนวนของสามเท่าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สามเท่าใหม่ที่ไม่ใช่ดั้งเดิม)

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

(แปลโดย Viktor Toporov)

บทสรุป

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่สร้างความสัมพันธ์

ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เป็นที่เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Pythagoras ตามชื่อของมัน

สูตรทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทเดิมกำหนดดังนี้:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

สร้างขึ้นบนสายสวน

สูตรพีชคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของขา

ทั้งสองสูตร ทฤษฎีบทปีทาโกรัสมีค่าเท่ากัน แต่สูตรที่สองเป็นสูตรพื้นฐานมากกว่า

ต้องใช้แนวคิดของพื้นที่ นั่นคือสามารถตรวจสอบคำสั่งที่สองได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับพื้นที่และ

โดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน

ถ้ากำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้าน ดังนั้น

สามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หรืออีกนัยหนึ่ง:

สำหรับจำนวนบวกสามเท่าใดๆ ก, ขและ ค, ดังนั้น

มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากพร้อมขา กและ ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบทปีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในขณะนี้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้ในเอกสารทางวิทยาศาสตร์ น่าจะเป็นทฤษฎีบท

พีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก ความหลากหลายดังกล่าว

สามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอน ตามแนวคิดแล้ว พวกเขาทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนเล็กน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขา:

หลักฐานของ วิธีพื้นที่, ความจริงและ หลักฐานที่แปลกใหม่(ตัวอย่างเช่น,

โดยใช้ สมการเชิงอนุพันธ์).

1. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยมคล้าย

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ที่สร้างขึ้น

โดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ได้ใช้แนวคิดของพื้นที่ของตัวเลข

อนุญาต เอบีซีมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. ลองวาดความสูงจาก คและแสดงว่า

รากฐานของมันผ่าน ชม.

สามเหลี่ยม อชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบี C ทั้งสองมุม ในทำนองเดียวกันสามเหลี่ยม ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี.

โดยแนะนำสัญกรณ์:

เราได้รับ:

ซึ่งตรงกับ -

พับแล้ว ก 2 และ ข 2 เราได้รับ:

หรือที่ต้องพิสูจน์

2. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยวิธีพื้นที่

การพิสูจน์ต่อไปนี้แม้จะดูง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย ทั้งหมด

ใช้คุณสมบัติของพื้นที่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเสียอีก

พิสูจน์ผ่านการเติมเต็ม

จัดเรียงสี่สี่เหลี่ยมเท่ากัน

สามเหลี่ยมตามที่แสดงในภาพ

ด้านขวา.

รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้าน ค- สี่เหลี่ยม,

เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และ

มุมที่พัฒนาคือ 180°

ในแง่หนึ่งพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดคือ

พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ( เอ+บี) และในทางกลับกัน ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูป และ

คิวอีดี

3. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยวิธีที่น้อยที่สุด

พิจารณาจากภาพวาดที่แสดงในรูปและ

ดูการเปลี่ยนแปลงด้านข้างกเราสามารถ

เขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับอนันต์

เล็ก เพิ่มขึ้นด้านข้างกับและ ก(ใช้ความเหมือน

สามเหลี่ยม):

โดยใช้วิธีการแยกตัวแปร เราพบ:

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่ขาทั้งสองข้างเพิ่มขึ้น:

การรวมสมการนี้และใช้เงื่อนไขเริ่มต้น เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบที่ต้องการ:

เนื่องจากมองเห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายจึงปรากฏขึ้นเนื่องจากเส้นตรง

สัดส่วนระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยมและส่วนเพิ่ม ในขณะที่ผลรวมเกี่ยวข้องกับด้านอิสระ

ผลงานจากการเพิ่มขึ้นของขาต่างๆ

สามารถหาหลักฐานที่ง่ายกว่าได้หากเราคิดว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่เพิ่มขึ้น

(ในกรณีนี้คือขา ข). จากนั้นสำหรับค่าคงที่การรวมที่เราได้รับ: