วิธีหนึ่งในการแก้สมการกำลังสองก็คือการใช้ สูตรเวียดนามซึ่งตั้งชื่อตามฟรังซัวส์ เวียตเต

เขาเป็นทนายความที่มีชื่อเสียง และทำงานในศตวรรษที่ 16 กษัตริย์ฝรั่งเศส. ใน เวลาว่างศึกษาดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ เขาสร้างการเชื่อมโยงระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ข้อดีของสูตร:

1 . เมื่อนำสูตรนี้ไปใช้ คุณจะพบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใส่สัมประสิทธิ์ตัวที่สองลงในกำลังสอง แล้วลบ 4ac ออก หาค่าแยกแยะ และแทนค่าลงในสูตรเพื่อหาค่าราก

2 . หากไม่มีวิธีแก้ปัญหาคุณสามารถกำหนดสัญญาณของรากและเลือกค่าของรากได้

3 . เมื่อแก้ไขระบบสองระเบียนแล้ว การค้นหารากด้วยตนเองไม่ใช่เรื่องยาก ในสมการกำลังสองข้างต้น ผลรวมของรากจะเท่ากับค่าของสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ผลคูณของรากในสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับค่าของสัมประสิทธิ์ที่สาม

4 . ใช้รากเหล่านี้เขียนสมการกำลังสองซึ่งก็คือแก้โจทย์ ปัญหาผกผัน. ตัวอย่างเช่น วิธีนี้ใช้ในการแก้ปัญหาในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี

5 . สะดวกในการใช้สูตรเมื่อนำค่าสัมประสิทธิ์นำ เท่ากับหนึ่ง.

ข้อบกพร่อง:

1 . สูตรไม่เป็นสากล

ทฤษฎีบทของ Vieta ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

สูตร
ถ้า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองลดลง x 2 + px + q = 0 ดังนั้น:

ตัวอย่าง
x 1 = -1; x 2 = 3 - รากของสมการ x 2 - 2x - 3 = 0

พี = -2, คิว = -3

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = คิว

ทฤษฎีบทสนทนา

สูตร
หากตัวเลข x 1, x 2, p, q สัมพันธ์กันตามเงื่อนไข:

จากนั้น x 1 และ x 2 คือรากของสมการ x 2 + px + q = 0

ตัวอย่าง
มาสร้างสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันกัน:

X 1 = 2 - ? 3 และ x 2 = 2 + ? 3.

ป = x 1 + x 2 = 4; พี = -4; คิว = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1

สมการที่ต้องการมีรูปแบบ: x ​​2 - 4x + 1 = 0

ขั้นแรก เรามากำหนดทฤษฎีบทกันก่อน: ขอให้เรามีสมการกำลังสองลดลงในรูปแบบ x^2+b*x + c = 0 สมมติว่าสมการนี้มีราก x1 และ x2 จากนั้น ตามทฤษฎีบท ข้อความต่อไปนี้จะใช้ได้:

1) ผลรวมของราก x1 และ x2 จะเท่ากับ ค่าลบสัมประสิทธิ์ข

2) ผลคูณของรากเหล่านี้จะให้ค่าสัมประสิทธิ์ c แก่เรา

แต่สมการที่ให้มาคืออะไร?

สมการกำลังสองที่ลดลงคือสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของระดับสูงสุดเท่ากับหนึ่ง กล่าวคือ นี่คือสมการในรูปแบบ x^2 + b*x + c = 0 (และสมการ a*x^2 + b*x + c = 0 จะไม่ลดลง) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อนำสมการมาสู่รูปแบบที่กำหนด เราต้องหารสมการนี้ด้วยสัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุด (a) ภารกิจคือการเป็นผู้นำ สมการที่กำหนดตามแบบฟอร์มที่กำหนด:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0

เมื่อหารแต่ละสมการด้วยสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดเราจะได้:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง แม้แต่สมการที่มีเศษส่วนก็สามารถลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่กำหนดได้

โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

เราได้ราก: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

เป็นผลให้เราได้ราก: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

เราได้ราก: x1 = −1; x2 = −4

ความหมายของทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทของเวียตาช่วยให้เราสามารถแก้สมการกำลังสองใดๆ ที่ลดลงได้ในเวลาเกือบวินาที เมื่อมองแวบแรกก็ดูเหมือนว่าเพียงพอแล้ว งานที่ท้าทายแต่หลังจากสมการ 5-10 ก็สามารถเรียนรู้การดูรากได้ทันที

จากตัวอย่างที่ให้ไว้และการใช้ทฤษฎีบท เป็นที่ชัดเจนว่าคุณสามารถทำให้การแก้สมการกำลังสองง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญได้อย่างไร เนื่องจากการใช้ทฤษฎีบทนี้ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองได้ในทางปฏิบัติโดยไม่ต้องคำนวณที่ซับซ้อนและคำนวณตัวจำแนก และดังที่คุณทราบ การคำนวณน้อยลง การทำผิดพลาดก็จะยิ่งยากขึ้นซึ่งเป็นสิ่งสำคัญ

ในตัวอย่างทั้งหมด เราใช้กฎนี้โดยอิงตามสมมติฐานที่สำคัญสองประการ:

สมการที่กำหนดคือ ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดเท่ากับ 1 (เงื่อนไขนี้หลีกเลี่ยงได้ง่าย คุณสามารถใช้สมการแบบไม่ลดขนาดได้ จากนั้นข้อความต่อไปนี้จะใช้ได้ x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ ก แต่โดยปกติแล้วจะแก้ไขได้ยากกว่า :))

เมื่อสมการมีสอง รากต่างๆ. เราถือว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงและผู้จำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

ดังนั้นเราจึงสามารถแต่งหน้าได้ อัลกอริธึมทั่วไปคำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

อัลกอริธึมการแก้ปัญหาทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

เราลดสมการกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบรีดิวซ์หากให้สมการมาในรูปแบบที่ไม่ลดขนาด เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ในสมการกำลังสองซึ่งเรานำเสนอก่อนหน้านี้ตามที่กำหนด กลายเป็นเศษส่วน (ไม่ใช่ทศนิยม) ในกรณีนี้สมการของเราควรได้รับการแก้ไขโดยใช้การแบ่งแยก

นอกจากนี้ยังมีกรณีเมื่อกลับมา สมการเริ่มต้นทำให้เราทำงานกับตัวเลขที่ “สะดวก” ได้

ระดับแรก

สมการกำลังสอง. คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (x เดียวกันนั้น) กำลังสอง และไม่ควรมี xes กำลังสาม (หรือมากกว่า)

การแก้สมการหลายสมการขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสอง

มาเรียนรู้กันว่านี่คือสมการกำลังสองไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

ลองกำจัดตัวส่วนแล้วคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับเลขยกกำลังของ X จากมากไปหาน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

ลองคูณทางซ้ายและ ด้านขวาบน:

สมการนี้ แม้จะเดิมอยู่ในสมการนี้ แต่ก็ไม่ใช่สมการกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 3

ลองคูณทุกอย่างด้วย:

น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองง่ายๆ:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนว่าจะอยู่ที่นั่น แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

ดูสิ มันลดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดา!

ทีนี้ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามอัตภาพออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังตัวอย่าง) นอกจากนี้ ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย ที่ให้ไว้- นี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงสมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เนื่องจากขาดองค์ประกอบบางอย่าง แต่สมการจะต้องมี x กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงเกิดการแบ่งแยกเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง โอเค การแบ่งส่วนนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ปัญหา มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น เรามาเน้นที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - มันง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีหลายประเภท:

1. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
3. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

1. ฉัน. เพราะเรารู้วิธีสกัด รากที่สองแล้วลองเขียนจากสมการนี้ดู

นิพจน์อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นเสมอ จำนวนบวกดังนั้น: ถ้า แล้วสมการก็ไม่มีคำตอบ

และถ้า, เราได้สองราก. ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยไปกว่านี้

เรามาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากออกจากด้านซ้ายและด้านขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากออกได้ไหม?

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

โอ้! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จะมีไอคอนพิเศษขึ้นมา - (เซตว่าง) และคำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำตอบ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองอัน ที่นี่ไม่มีข้อจำกัด เนื่องจากเราไม่ได้แยกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ดังนั้น,

สมการนี้มีสองราก

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่ง่ายที่สุด (ถึงแม้จะง่ายทั้งหมดเลยใช่ไหม?) แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

เราจะแจกตัวอย่างที่นี่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)

จดจำ, สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีราก เอาใจใส่เป็นพิเศษก้าวไป Discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2.

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

คำตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า .

ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

คำตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับเฉลี่ย

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ

ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง, - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป.

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:

I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

สาม. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้กัน

แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า

คำตอบ:

ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ

คำตอบ:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

สารละลาย:

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:

คำตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร จำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรากเหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

ทำไมจึงเป็นไปได้ ปริมาณที่แตกต่างกันราก? หันมากันดีกว่า ความรู้สึกทางเรขาคณิตสมการกำลังสอง. กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน) พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

คำตอบ: .

คำตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตตา

การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มาจากเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

สารละลาย:

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า . ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; .

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา

คำตอบ: ; .

ตัวอย่าง #2:

สารละลาย:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอแล้วที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็น: และท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์

คำตอบ:

ตัวอย่าง #3:

สารละลาย:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็น จำนวนลบ. สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณและมีผลต่างเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยมีรากหนึ่งอันเป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:

แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ

คำตอบ:

เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้าให้บ่อยที่สุด

แต่ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นมีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหารากเหง้า เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

โซลูชั่นสำหรับงานสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1 ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 2

และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน

แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหนล่ะ?

คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:

ยอดเยี่ยม. แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.

ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 4

สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์

ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก

คำตอบ: ; .

ภารกิจที่ 5

คุณควรทำอะไรก่อน? ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

คำตอบ: ; .

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบคู่ปัจจัยที่เหมาะสมของคำอิสระ แสดงว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

โดยทั่วไป การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

นี่หมายถึง: .

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

• หากเป็นสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
• ถ้ามีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีรากสองอัน

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก

1) ลองลดสมการลงเป็น มุมมองมาตรฐาน: ,

2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์

สมการกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ ขวาน 2 + bx + c = 0สามารถนำมาคิดได้ x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, ถ้าคุณหารแต่ละเทอมก่อนด้วยสัมประสิทธิ์ a ก่อนหน้า x2. และถ้าเราแนะนำสัญลักษณ์ใหม่ (ข/ก) = หน้าและ (ค/ก) = คิวแล้วเราจะได้สมการ x 2 + px + q = 0ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า ให้สมการกำลังสอง.

รากของสมการกำลังสองและค่าสัมประสิทธิ์รีดิวซ์ พีและ ถามเชื่อมต่อถึงกัน ได้รับการยืนยันแล้ว ทฤษฎีบทของเวียตตา, การตั้งชื่อตาม นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสฟรองซัวส์ เวียตา ซึ่งอาศัยอยู่ที่ ปลายเจ้าพระยาศตวรรษ.

ทฤษฎีบท. ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง x 2 + px + q = 0เท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง พี, เอามาจาก เครื่องหมายตรงข้ามและผลคูณของรากคือพจน์อิสระ ถาม.

ให้เราเขียนความสัมพันธ์เหล่านี้ในรูปแบบต่อไปนี้:

อนุญาต x1และ x2รากที่แตกต่างกันของสมการที่กำหนด x 2 + px + q = 0. ตามทฤษฎีบทของเวียตตา x 1 + x 2 = -พีและ x 1 x 2 = คิว.

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ลองแทนราก x 1 และ x 2 แต่ละตัวลงในสมการ เราได้รับความเท่าเทียมกันที่แท้จริงสองประการ:

x 1 2 + พิกเซล 1 + q = 0

x 2 2 + พิกเซล 2 + q = 0

ให้เราลบอันที่สองจากความเท่าเทียมกันอันแรก เราได้รับ:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

เราขยายสองคำแรกโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

ตามเงื่อนไข ราก x 1 และ x 2 จะต่างกัน ดังนั้นเราจึงสามารถลดความเท่าเทียมกันเป็น (x 1 – x 2) ≠ 0 และแสดง p

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p

ความเท่าเทียมกันครั้งแรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันอันที่สอง เราจะแทนลงในสมการแรก

x 1 2 + px 1 + q = 0 แทนที่จะเป็นสัมประสิทธิ์ p จำนวนที่เท่ากันคือ (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

เมื่อแปลงด้านซ้ายของสมการเราจะได้:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบทของเวียตต้านั้นดีเพราะว่า แม้จะไม่ทราบรากของสมการกำลังสอง เราก็สามารถคำนวณผลรวมและผลคูณของสมการได้ .

ทฤษฎีบทของเวียตาช่วยหารากจำนวนเต็มของสมการกำลังสองที่กำหนด แต่สำหรับนักเรียนหลายคน สิ่งนี้ทำให้เกิดปัญหาเนื่องจากพวกเขาไม่ทราบอัลกอริธึมการดำเนินการที่ชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากรากของสมการมีสัญญาณต่างกัน

ดังนั้น สมการกำลังสองข้างต้นจะมีรูปแบบ x 2 + px + q = 0 โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นรากของมัน ตามทฤษฎีบทของเวียตา x 1 + x 2 = -p และ x 1 · x 2 = q

สามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้.

หากในสมการมีเครื่องหมายลบก่อนเทอมสุดท้าย แสดงว่าราก x 1 และ x 2 มี สัญญาณต่างๆ. นอกจากนี้ เครื่องหมายของรากที่เล็กกว่าเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ที่สองในสมการ

โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อบวกเลขด้วย สัญญาณที่แตกต่างกันโมดูลของพวกเขาจะถูกลบออกและเครื่องหมายของค่าสัมบูรณ์ที่มากขึ้นของตัวเลขจะถูกวางไว้ด้านหน้าผลลัพธ์ที่ได้รับ ให้ดำเนินการดังนี้:

1. กำหนดปัจจัยของจำนวน q เพื่อให้ผลต่างเท่ากับจำนวน p
2. ใส่เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการไว้หน้าตัวเลขที่น้อยกว่าของผลลัพธ์ รากที่สองจะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1.

แก้สมการ x 2 – 2x – 15 = 0

สารละลาย.

ลองแก้สมการนี้โดยใช้กฎที่เสนอข้างต้น แล้วเราบอกได้เลยว่าสมการนี้จะมีรากที่ต่างกัน 2 อัน เพราะ ง = ข 2 – 4เอซี = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0

ตอนนี้จากปัจจัยทั้งหมดของตัวเลข 15 (1 และ 15, 3 และ 5) เราเลือกตัวที่มีความแตกต่างคือ 2 ซึ่งจะเป็นตัวเลข 3 และ 5 เราใส่เครื่องหมายลบหน้าตัวเลขที่น้อยกว่านั่นคือ เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการ ดังนั้นเราจึงได้รากของสมการ x 1 = -3 และ x 2 = 5

คำตอบ. x 1 = -3 และ x 2 = 5

ตัวอย่างที่ 2.

แก้สมการ x 2 + 5x – 6 = 0

สารละลาย.

ลองตรวจสอบว่าสมการนี้มีรากหรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราพบว่ามีการเลือกปฏิบัติ:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0 สมการนี้มีรากที่แตกต่างกันสองแบบ

ตัวประกอบที่เป็นไปได้ของเลข 6 คือ 2 และ 3, 6 และ 1 ผลต่างคือ 5 สำหรับคู่ที่ 6 และ 1 ในตัวอย่างนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมที่สองจะมีเครื่องหมายบวก ดังนั้น จำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีป้ายเหมือนกัน แต่ก่อนเลขตัวที่สองจะมีเครื่องหมายลบ

คำตอบ: x 1 = -6 และ x 2 = 1

ทฤษฎีบทของเวียตาสามารถเขียนเป็นสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้ ดังนั้นถ้าเป็นสมการกำลังสอง ขวาน 2 + bx + c = 0มีราก x 1 และ x 2 แล้วค่าเท่ากันก็จะยังคงอยู่

x 1 + x 2 = -(ข/ก)และ x 1 x 2 = (ค/ก). อย่างไรก็ตาม การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้ในสมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นค่อนข้างมีปัญหา เนื่องจาก หากมีรากอย่างน้อยก็มีหนึ่งอัน จำนวนเศษส่วน. และการทำงานกับการเลือกเศษส่วนก็ค่อนข้างยาก แต่ยังมีทางออกอยู่

พิจารณาสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ax 2 + bx + c = 0 คูณด้านซ้ายและขวาด้วยสัมประสิทธิ์ a สมการจะอยู่ในรูปแบบ (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ทีนี้มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน เช่น t = ax

ในกรณีนี้สมการที่ได้จะกลายเป็นสมการกำลังสองลดลงในรูปแบบ t 2 + bt + ac = 0 ซึ่งรากของ t 1 และ t 2 (ถ้ามี) สามารถกำหนดได้โดยทฤษฎีบทของ Vieta

ในกรณีนี้ รากของสมการกำลังสองดั้งเดิมจะเป็นดังนี้

x 1 = (t 1 / a) และ x 2 = (t 2 / a)

ตัวอย่างที่ 3.

แก้สมการ 15x 2 – 11x + 2 = 0

สารละลาย.

มาสร้างสมการเสริมกันดีกว่า ลองคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

เราทำการแทนที่ t = 15x เรามี:

เสื้อ 2 – 11t + 30 = 0.

ตามทฤษฎีบทของเวียตา รากของสมการนี้จะเป็น t 1 = 5 และ t 2 = 6

เรากลับไปแทนที่ t = 15x:

5 = 15x หรือ 6 = 15x ดังนั้น x 1 = 5/15 และ x 2 = 6/15 เราลดและรับคำตอบสุดท้าย: x 1 = 1/3 และ x 2 = 2/5

คำตอบ. x 1 = 1/3 และ x 2 = 2/5

หากต้องการเชี่ยวชาญการแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นักเรียนจะต้องฝึกฝนให้มากที่สุด นี่เป็นเคล็ดลับแห่งความสำเร็จอย่างแน่นอน

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ก่อนที่จะพูดถึงทฤษฎีบทของ Vieta เราจะแนะนำคำจำกัดความก่อน สมการกำลังสองของแบบฟอร์ม x² + พิกเซล + ถาม= 0 เรียกว่าลดลง ในสมการนี้ ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างเช่นสมการ x² - 3 x- 4 = 0 ลดลง สมการกำลังสองใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ ขวาน² + ข x + ค= 0 สามารถลดได้โดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย ก≠ 0 ตัวอย่างเช่น สมการ 4 x² + 4 x— 3 = 0 หารด้วย 4 จะได้รูปดังนี้ x² + x— 3/4 = 0 เราจะได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่ลดลง ในกรณีนี้ เราใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง ปริทัศน์: ขวาน² + บีเอ็กซ์ + ค = 0

สมการที่ลดลง x² + พิกเซล + ถาม= 0 เกิดขึ้นพร้อมกับสมการทั่วไปซึ่ง ก = 1, ข = พี, ค = ถามดังนั้น สำหรับสมการกำลังสองที่กำหนด สูตรจะอยู่ในรูปแบบ:

นิพจน์สุดท้ายเรียกว่าสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองลดลงสะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้สูตรนี้เมื่อใด ร — เลขคู่. ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการกัน x² — 14 x — 15 = 0

ในการตอบสนอง เราเขียนสมการที่มีรากสองอัน

สำหรับสมการกำลังสองที่ลดลงด้วยค่าบวก ทฤษฎีบทต่อไปนี้ยังคงอยู่

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ถ้า x 1 และ x 2 - รากของสมการ x² + พิกเซล + ถาม= 0 ดังนั้นสูตรจึงถูกต้อง:

x 1 + x 2 = — ร

x 1 * x 2 = คิวนั่นคือ ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลงเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ

จากสูตรรากของสมการกำลังสองข้างต้น เราได้:

เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมเหล่านี้ เราจะได้: x 1 + x 2 = —ร.

การคูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสองที่เราได้รับ:

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทของเวียตต้ายังใช้ได้เมื่อตัวแยกแยะมีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าเราสมมุติว่าในกรณีนี้ สมการกำลังสองมีรากที่เหมือนกันสองราก: x 1 = x 2 = — ร/2.

โดยไม่ต้องแก้สมการ x² — 13 x+ 30 = 0 ค้นหาผลรวมและผลคูณของรากของมัน x 1 และ x 2. สมการนี้ ดี= 169 – 120 = 49 > 0 ดังนั้นทฤษฎีบทของเวียตต้าจึงสามารถนำไปใช้ได้: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน รากหนึ่งของสมการ x² — พิกเซล- 12 = 0 เท่ากัน x 1 = 4. ค้นหาสัมประสิทธิ์ รและรากที่สอง x 2 ของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทของเวียตตา x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — ร.เพราะ x 1 = 4 จากนั้น 4 x 2 = - 12 ดังนั้น x 2 = — 3, ร = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. ในคำตอบเราเขียนรากที่สอง x 2 = - 3, สัมประสิทธิ์ พี = — 1.

โดยไม่ต้องแก้สมการ x² + 2 x- 4 = 0 ลองหาผลบวกของกำลังสองของรากของมัน อนุญาต x 1 และ x 2 - รากของสมการ โดยทฤษฎีบทของเวียตตา x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. เพราะ x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 แล้ว x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12

ลองหาผลรวมและผลคูณของรากของสมการ 3 กัน x² + 4 x- 5 = 0 สมการนี้มีรากที่แตกต่างกันสองราก เนื่องจากเป็นการแบ่งแยก ดี= 16 + 4*3*5 > 0 ในการแก้สมการ เราใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับสมการกำลังสองที่กำหนด ลองหารสมการนี้ด้วย 3 กัน

ดังนั้น ผลรวมของรากจึงเท่ากับ -4/3 และผลิตภัณฑ์ของพวกมันเท่ากับ -5/3

โดยทั่วไปแล้วรากของสมการ ขวาน² + ข x + ค= 0 มีความสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,เพื่อให้ได้สูตรเหล่านี้ ก็เพียงพอที่จะหารทั้งสองข้างของสมการกำลังสองนี้ด้วย ก ≠ 0 และใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้ากับผลลัพธ์ของสมการกำลังสองที่ลดลง ลองพิจารณาตัวอย่าง: คุณต้องสร้างสมการกำลังสองลดลงซึ่งมีราก x 1 = 3, x 2 = 4. เพราะ x 1 = 3, x 2 = 4 - รากของสมการกำลังสอง x² + พิกเซล + ถาม= 0 จากนั้นตามทฤษฎีบทของเวียตตา ร = — (x 1 + x 2) = — 7, ถาม = x 1 x 2 = 12 เราเขียนคำตอบเป็น x² — 7 x+ 12 = 0 เมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่างจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทสนทนากับทฤษฎีบทของเวียตตา

ถ้าเป็นตัวเลข ร, ถาม, x 1 , x 2 อย่างนั้น x 1 + x 2 = — พี, x 1 * x 2 = คิว, ที่ x1และ x2- รากของสมการ x² + พิกเซล + ถาม= 0 แทนเข้าไปทางด้านซ้าย x² + พิกเซล + ถามแทน รการแสดงออก - ( x 1 + x 2) และแทน ถาม- งาน x 1 * x 2 .เราได้รับ: x² + พิกเซล + ถาม = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2)ดังนั้นหากเป็นตัวเลข ร, ถาม, x 1 และ x 2 เชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์เหล่านี้ และเพื่อทุกคน เอ็กซ์ความเท่าเทียมกันถือ x² + พิกเซล + ถาม = (x - x 1) (x - x 2)ซึ่งเป็นไปตามนั้น x 1 และ x 2 - รากของสมการ x² + พิกเซล + ถาม= 0 การใช้ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา บางครั้งคุณสามารถค้นหารากของสมการกำลังสองได้ด้วยการเลือก ลองดูตัวอย่าง x² — 5 x+ 6 = 0 ตรงนี้ ร = — 5, ถาม= 6. ลองเลือกตัวเลขสองตัวกัน x 1 และ x 2 อย่างนั้น x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. สังเกตว่า 6 = 2 * 3 และ 2 + 3 = 5 ตามทฤษฎีบท การสนทนาของทฤษฎีบทเวียตต้า เราเข้าใจแล้ว x 1 = 2, x 2 = 3 - รากของสมการ x² — 5 x + 6 = 0.