ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel มีความหมายทางปรัชญา คำสารภาพของนักตรรกวิทยาผู้ยิ่งใหญ่

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Godel

Uspensky V.A.

บางทีทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของGödelอาจมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว มีเอกลักษณ์เฉพาะที่พวกเขาอ้างถึงเมื่อพวกเขาต้องการพิสูจน์ "ทุกสิ่งในโลก" - ตั้งแต่การปรากฏตัวของเทพเจ้าไปจนถึงการไร้เหตุผล ฉันสนใจ "คำถามหลัก" มากกว่าเสมอ - และใครที่อ้างถึงทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ไม่เพียงแต่สามารถกำหนดได้ แต่ยังพิสูจน์ได้ด้วย ฉันโพสต์ บทความนี้ด้วยเหตุผลที่นำเสนอสูตรทฤษฎีบทของเกอเดลที่เข้าถึงได้ง่าย ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทความโดย Tullio Regge Kurt Gödel และทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาก่อน

ข้อสรุปเกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ของเกณฑ์ความจริงที่เป็นสากลเป็นผลโดยตรงของผลลัพธ์ที่ได้รับจาก Tarski โดยการรวมทฤษฎีบทที่ตัดสินใจไม่ได้ของ Gödel เข้ากับทฤษฎีความจริงของเขาเอง ซึ่งไม่สามารถเป็นเกณฑ์สากลของความจริงได้แม้ในพื้นที่ที่ค่อนข้างแคบ ของทฤษฎีจำนวนและด้วยเหตุนี้สำหรับวิทยาศาสตร์ใด ๆ ที่ใช้เลขคณิต โดยธรรมชาติแล้ว ผลลัพธ์นี้จะนำ fortiori ไปใช้กับแนวคิดของความจริงในสาขาความรู้ที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ซึ่งใช้เลขคณิตอย่างแพร่หลาย

Karl Popper

Uspensky Vladimir Andreevich เกิดเมื่อวันที่ 27 พฤศจิกายน พ.ศ. 2473 ที่กรุงมอสโก สำเร็จการศึกษาจากคณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก (1952) วิทยาศาสตรดุษฎีบัณฑิตสาขากายภาพและคณิตศาสตร์ (1964) ศาสตราจารย์ หัวหน้าภาควิชาลอจิกคณิตศาสตร์และทฤษฎีอัลกอริทึม คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ (พ.ศ. 2509) อ่านหลักสูตรการบรรยาย "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับลอจิกทางคณิตศาสตร์", "ฟังก์ชันที่คำนวณได้", "ทฤษฎีบทความสมบูรณ์ของโกเดล" เตรียมผู้สมัคร 25 คน และ แพทย์ศาสตร์ 2 คน

1. คำชี้แจงปัญหา

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ ซึ่งเป็นสูตรที่แน่นอนที่เราจะให้ในตอนท้ายของบทนี้ และบางทีในภายหลัง (หากผู้อ่านสนใจในเรื่องนี้) และการพิสูจน์ ระบุโดยประมาณดังต่อไปนี้: ภายใต้เงื่อนไขบางประการในภาษาใด ๆ ก็มีจริง แต่ ข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้

เมื่อเรากำหนดทฤษฎีบทในลักษณะนี้ เกือบทุกคำต้องมีคำอธิบาย ดังนั้น เราจะเริ่มด้วยการอธิบายความหมายของคำต่างๆ ที่เราใช้ในสูตรนี้

1.1. ภาษา

เราจะไม่ให้คำจำกัดความที่กว้างที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ของภาษา โดยเลือกที่จะจำกัดตัวเองให้อยู่กับแนวคิดภาษาเหล่านั้นที่เราต้องการในภายหลัง มีสองแนวคิดดังกล่าว: "ตัวอักษรของภาษา" และ "ชุดข้อความที่แท้จริงของภาษา"

1.1.1. ตัวอักษร

ตามตัวอักษร เราหมายถึงชุดสัญญาณเบื้องต้นจำนวนจำกัด (นั่นคือ สิ่งที่ไม่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบได้) อักขระเหล่านี้เรียกว่าตัวอักษรของตัวอักษร โดยคำว่าตัวอักษรเราหมายถึง ลำดับสุดท้ายตัวอักษร ตัวอย่างเช่น คำทั่วไปในภาษาอังกฤษ (รวมถึงชื่อที่เหมาะสม) คือคำที่มีตัวอักษร 54 ตัว (อักษรตัวเล็ก 26 ตัว, ตัวพิมพ์ใหญ่ 26 ตัว, ขีดกลางและอะพอสทรอฟี) อีกตัวอย่างหนึ่งคือจำนวนธรรมชาติใน สัญกรณ์ทศนิยมเป็นคำของตัวอักษร 10 ตัว ซึ่งมีตัวอักษรเป็นเครื่องหมาย: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เพื่อแสดงตัวอักษร เราจะใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ธรรมดา ถ้า L เป็นตัวอักษร แล้ว L? จะแสดงชุดของคำทั้งหมดของตัวอักษร L - คำที่เกิดขึ้นจากตัวอักษร เราจะถือว่าภาษาใด ๆ มีตัวอักษรของตัวเอง ดังนั้นการแสดงออกทั้งหมดของภาษานี้ (เช่น - ชื่อของวัตถุต่าง ๆ ข้อความเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้ ฯลฯ ) เป็นคำของตัวอักษรนี้ ตัวอย่างเช่น ข้อเสนอใด ๆ ของภาษาอังกฤษเช่นเดียวกับข้อความใดๆ ที่เขียนเป็นภาษาอังกฤษ ถือได้ว่าเป็นคำที่มีตัวอักษรยาว 54 ตัว ซึ่งรวมถึงเครื่องหมายวรรคตอน การเว้นวรรคระหว่างคำ ป้ายเส้นสีแดง และอาจเป็นอักขระที่มีประโยชน์อื่นๆ สมมติว่านิพจน์ภาษาเป็นคำของตัวอักษรบางตัว เราจึงแยกนิพจน์ "หลายเลเยอร์" ออกจากการพิจารณา เช่น ???f(x)dx อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดนี้ไม่มีนัยสำคัญเกินไป เนื่องจากนิพจน์ใดๆ ดังกล่าว โดยใช้อนุสัญญาที่เหมาะสม สามารถ "ขยาย" ให้อยู่ในรูปแบบเชิงเส้นได้ ชุด M ใดที่มีอยู่ใน L? เรียกว่าชุดคำของตัวอักษร L ถ้าเราพูดง่ายๆ ว่า M เป็นชุดคำ แสดงว่าเป็นคำของตัวอักษรบางตัว ตอนนี้ สมมติฐานภาษาด้านบนสามารถเรียบเรียงใหม่ได้ดังนี้: ในภาษาใดๆ ชุดของนิพจน์ใดๆ ก็ตามคือชุดคำ

1.1.2. การเรียกร้องที่แท้จริงมากมาย

สมมติว่าเราได้รับเซตย่อย T ของเซต L? (โดยที่ L คือตัวอักษรของบางภาษาที่เรากำลังพิจารณาอยู่) ซึ่งเรียกว่าชุดของ "ข้อความจริง" (หรือเพียงแค่ "ความจริง") ผ่านโดยตรงไปยังเซตย่อย T เราละเว้นขั้นตอนกลางของการให้เหตุผลต่อไปนี้: ประการแรกคำของตัวอักษร L เป็นนิพจน์ที่มีรูปแบบที่ดีของภาษานั่นคือมี ค่าบางอย่างในการแปลความหมายของภาษานี้ (เช่น 2+3, x+3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 เป็นนิพจน์ที่มีรูปแบบที่ดี ในขณะที่นิพจน์เช่น +=x ไม่ใช่) ประการที่สอง นิพจน์ใดเป็นสูตร เช่น อาจขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ (เช่น x=3, x=y, 2=3, 2=2); ประการที่สาม สูตรใดเป็นสูตรปิด กล่าวคือ คำสั่งที่ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ (เช่น 2=3, 2=2); และสุดท้าย สูตรปิดใดเป็นข้อความจริง (เช่น 2=2)

1.1.3. คู่ภาษาพื้นฐาน

1.2. "พิสูจน์ไม่ได้"

“พิสูจน์ไม่ได้” หมายความว่าไม่มีหลักฐาน

1.3. การพิสูจน์

แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าคำว่า "การพิสูจน์" อาจเป็นหนึ่งในสิ่งที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ (Bourbaki เริ่มต้นหนังสือของพวกเขา "พื้นฐานของคณิตศาสตร์" ด้วยคำว่า: "ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ การพูดว่า "คณิตศาสตร์" ก็มีความหมายเหมือนกับ พูดว่า "พิสูจน์"") เขาไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน โดยทั่วไป แนวความคิดของการพิสูจน์กับสาขาความหมายทั้งหมดเป็นของสาขาจิตวิทยามากกว่าคณิตศาสตร์ แต่อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์เป็นเพียงข้อโต้แย้งที่ตัวเราเองพบว่าค่อนข้างน่าเชื่อถือเพื่อโน้มน้าวคนอื่น

เมื่อเขียนลงไป หลักฐานจะกลายเป็นคำในตัวอักษร P เหมือนกับตัวอื่นๆ ข้อความภาษาอังกฤษเป็นคำของตัวอักษร L ตัวอย่างที่ได้รับข้างต้น ชุดของการพิสูจน์ทั้งหมดเป็นเซตย่อย (และค่อนข้างเป็นเซตย่อยที่ค่อนข้างใหญ่) ของเซต P? เราจะไม่พยายามให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของแนวคิดการพิสูจน์ทั้ง "ไร้เดียงสา" และ "สัมบูรณ์" หรือ - ซึ่งเทียบเท่า - เพื่อกำหนดชุดย่อยที่สอดคล้องกันของ P? แต่เราจะพิจารณาความคล้ายคลึงอย่างเป็นทางการของแนวคิดที่คลุมเครือนี้ ซึ่งเราจะยังคงใช้คำว่า "การพิสูจน์" ในสิ่งที่ตามมา แอนะล็อกนี้มีคุณสมบัติที่สำคัญมากสองประการที่แยกความแตกต่างจากแนวคิดที่ใช้งานง่าย ก่อนอื่น เราคิดว่ามีแนวคิดที่แตกต่างกันของการพิสูจน์ นั่นคือ อนุญาตให้ใช้ชุดย่อยของการพิสูจน์ที่แตกต่างกันใน P? และยิ่งกว่านั้น: อันที่จริง เราจะถือว่าพยัญชนะการพิสูจน์ของ P นั้นสามารถเปลี่ยนแปลงได้ . ในสิ่งต่อไปนี้ เราจะต้องการให้แนวคิดการพิสูจน์แต่ละข้อมีวิธีการที่มีประสิทธิภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อัลกอริธึมที่จำเป็นต้องกำหนดว่า ให้คำตัวอักษร P พิสูจน์ได้หรือไม่ เรายังสันนิษฐานว่ามีอัลกอริธึมที่สามารถระบุได้ว่าคำสั่งใดพิสูจน์ได้เสมอ หลักฐานที่ได้รับ. (ในหลาย ๆ สถานการณ์ ข้อความที่กำลังพิสูจน์เป็นเพียงคำสั่งสุดท้ายในลำดับขั้นตอนที่ก่อให้เกิดการพิสูจน์)

ดังนั้น คำนิยามสุดท้ายของเราจึงเป็นดังนี้:

(1) เรามีตัวอักษร L (ตัวอักษรของภาษา) และตัวอักษร P (ตัวอักษรของหลักฐาน)

(2) เราได้รับเซต P ซึ่งเป็นสับเซตของ P และองค์ประกอบที่เรียกว่า "หลักฐาน" ในอนาคต เราจะสันนิษฐานว่าเรายังมีอัลกอริธึมที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดได้ว่าคำใด ๆ ของตัวอักษร P เป็นองค์ประกอบของเซต P นั่นคือ หลักฐาน หรือไม่

(3) นอกจากนี้เรายังมีฟังก์ชั่น? (สำหรับการค้นหาสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์อย่างแน่นอน) โดเมนของใคร? เป็นไปตามเงื่อนไข P???P? และช่วงใดอยู่ใน P? เราคิดว่าเรามีอัลกอริทึมที่คำนวณฟังก์ชันนี้ (ความหมายที่แท้จริงของคำว่า "อัลกอริทึมคำนวณฟังก์ชัน" มีดังต่อไปนี้: ค่าของฟังก์ชันจะได้รับโดยใช้อัลกอริทึมนี้ - ชุดของกฎการแปลงพิเศษ) เราจะบอกว่าองค์ประกอบ p? P เป็นข้อพิสูจน์ของคำ?(p) ของตัวอักษร L.

ทรอยก้า<Р, Р, ?>เงื่อนไขที่น่าพอใจ (1)-(3) เรียกว่าระบบนิรนัยเหนือตัวอักษร L.

สำหรับผู้อ่านที่คุ้นเคยกับวิธีปกติในการกำหนด "การพิสูจน์" ในแง่ของ "สัจพจน์" และ "กฎของการอนุมาน" เราจะอธิบายว่าวิธีนี้ถือเป็นกรณีพิเศษของคำจำกัดความที่ให้ไว้ในหัวข้อ 1.3.2 ได้อย่างไร กล่าวคือ การพิสูจน์มักจะถูกกำหนดเป็นลำดับของนิพจน์ภาษาดังกล่าว ซึ่งแต่ละอันเป็นสัจพจน์หรือได้รับมาก่อนหน้านี้จากข้อความสั่งที่มีอยู่แล้วโดยใช้กฎการอนุมานข้อใดข้อหนึ่ง หากเราเพิ่มคำใหม่ * ให้กับตัวอักษรในภาษาของเรา เราสามารถเขียนการพิสูจน์ดังกล่าวเป็นคำที่ประกอบขึ้นโดยใช้ตัวอักษรที่ได้: ลำดับของนิพจน์จะกลายเป็นคำว่า C1*C2*...*Cn ในกรณีนี้ ฟังก์ชันที่กำหนดสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้วนั้นมีค่าในส่วนของคำนี้โดยทันทีต่อจากอักษรตัวสุดท้าย * ในลำดับ อัลกอริทึมที่จำเป็นต้องมีอยู่ในส่วนที่ 1.3.2 คำจำกัดความสามารถสร้างขึ้นได้อย่างง่ายดายเมื่อเราได้กำหนดความหมายที่ยอมรับได้อย่างแม่นยำของคำว่า "สัจพจน์" และ "กฎการอนุมาน"

1.4. ความพยายามที่จะกำหนดทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ให้ถูกต้อง

1.4.1. ครั้งแรกลอง

"ภายใต้เงื่อนไขบางประการสำหรับคู่พื้นฐานของภาษาของตัวอักษร L และระบบนิรนัย<Р, Р, ?>ส่วน L จะมีคำในภาษา T ที่ไม่มีข้อพิสูจน์เสมอ ตัวเลือกนี้ยังดูคลุมเครือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถคิดระบบนิรนัยได้มากเท่าที่เราชอบซึ่งมีคำที่พิสูจน์ได้น้อยมาก ?) ไม่มีคำใดๆ ก็ย่อมมีหลักฐาน.

1.4.2. ลองครั้งที่สอง

มีอีกมาก วิถีธรรมชาติ. สมมติว่าเราได้รับภาษา - ในแง่ที่เราได้รับคู่พื้นฐานของภาษานี้ ตอนนี้เราจะมองหาระบบนิรนัยบน L (โดยสัญชาตญาณเรากำลังหาเทคนิคการพิสูจน์) ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า คำเพิ่มเติมจาก T ในขอบเขต ทุกคำจากทฤษฎีบทของ T. Gödel อธิบายสถานการณ์ที่ไม่มีระบบนิรนัย (โดยวิธีการที่ทุกคำใน T จะสามารถพิสูจน์ได้) ดังนั้น เราจึงอยากจะสร้างข้อความต่อไปนี้:

"ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับคู่พื้นฐาน ไม่มีระบบนิรนัยที่ทุกคำจาก T จะต้องมีการพิสูจน์"

อย่างไรก็ตาม ข้อความดังกล่าวเห็นได้ชัดว่าเป็นเท็จ เนื่องจากจำเป็นต้องใช้ระบบนิรนัยเท่านั้น ซึ่ง P = L, P = P? และ?(p) = p สำหรับ p ทั้งหมดใน P?; แล้วทุกคำจาก L? เป็นสิ่งที่พิสูจน์ได้เล็กน้อย ดังนั้นเราจึงต้องยอมรับข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับระบบนิรนัยที่เราใช้

1.5. ความสม่ำเสมอ

ค่อนข้างเป็นธรรมชาติที่จะกำหนดให้พิสูจน์ได้เฉพาะ "ข้อความจริง" นั่นคือคำจาก T เท่านั้นที่สามารถพิสูจน์ได้ เราจะบอกว่าระบบการหักเงิน<Р, Р, ?>สอดคล้องกับคู่ปัจจัยพื้นฐาน if?(P)?T. ในการให้เหตุผลภายหลังทั้งหมด เราจะสนใจเฉพาะระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันเท่านั้น หากเราได้รับภาษา คงจะเป็นการเย้ายวนอย่างยิ่งที่จะค้นหาระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันซึ่งทุกข้อความจริงจะมีข้อพิสูจน์ ความแตกต่างของทฤษฎีบทของ Gödel ที่เราสนใจอย่างชัดเจนระบุว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับคู่ปัจจัยพื้นฐาน เป็นไปไม่ได้ที่จะพบระบบนิรนัยเช่นนี้

1.6. ความสมบูรณ์

ว่ากันว่าระบบการหักเงิน<Р,Р,?>สมบูรณ์ด้วยความเคารพคู่พื้นฐาน โดยมีเงื่อนไขว่า?(P)?T. จากนั้นการกำหนดทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเราจะมีรูปแบบดังนี้:

ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับคู่เงินพื้นฐาน จะไม่มีระบบการหักลดหย่อนดังกล่าว<Р,Р,?>ส่วน L นั้นจะมีความสมบูรณ์และค่อนข้างสม่ำเสมอ

บรรณานุกรม

ในการจัดเตรียมงานนี้ ใช้วัสดุจากเว็บไซต์ http://filosof.historic.ru

หนึ่งในที่สุด ทฤษฎีบทที่รู้จัก ตรรกะทางคณิตศาสตร์โชคดีและโชคร้ายในเวลาเดียวกัน ในนี้เธอเป็นเหมือน ทฤษฎีพิเศษสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ ในอีกด้านหนึ่ง เกือบทุกคนเคยได้ยินบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา ในทางกลับกัน ในการตีความที่นิยม ทฤษฎีของไอน์สไตน์ อย่างที่คุณทราบ "บอกว่าทุกอย่างในโลกนี้เป็นญาติกัน". และทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel (ต่อไปนี้เรียกง่ายๆ ว่า TGN) ในสูตรพื้นบ้านที่ฟรีพอๆ กันโดยประมาณ “พิสูจน์ว่ามีบางสิ่งที่จิตใจมนุษย์ไม่สามารถเข้าใจได้”. ดังนั้นบางคนจึงพยายามดัดแปลงเป็นข้อโต้แย้งต่อลัทธิวัตถุนิยม ในขณะที่บางคนกลับพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือว่าไม่มีพระเจ้า เป็นเรื่องตลกที่ไม่เพียงแต่ทั้งสองฝ่ายจะไม่ถูกต้องในเวลาเดียวกันเท่านั้น แต่ยังไม่มีใครมารบกวนที่จะคิดให้ออกว่า อันที่จริง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าอย่างไร

แล้วไง? ด้านล่างฉันจะพยายาม "บนนิ้ว" เพื่อพูดถึงมัน แน่นอนว่าการแสดงออกของฉันจะไม่เข้มงวดและหยั่งรู้ แต่ฉันจะขอให้นักคณิตศาสตร์ไม่ตัดสินฉันอย่างเคร่งครัด เป็นไปได้ว่าสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ซึ่งอันที่จริงฉันก็เป็นสมาชิกด้วย) จะมีสิ่งใหม่และมีประโยชน์ในสิ่งที่บอกไว้ด้านล่าง

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน และที่สำคัญที่สุดคือไม่คุ้นเคย ต้องใช้ความระมัดระวังและเข้มงวด ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนกับข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วว่า "ชัดเจนแล้ว" อย่างไรก็ตาม ฉันหวังว่าเพื่อให้เข้าใจ "โครงร่างการพิสูจน์ TGN" ต่อไปนี้ผู้อ่านจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์โรงเรียน / วิทยาการคอมพิวเตอร์ทักษะเท่านั้น การคิดอย่างมีตรรกะและเวลา 15-20 นาที

ทำให้เข้าใจง่ายขึ้นบ้าง TGN อ้างว่าเพียงพอแล้ว ภาษายากมีข้อความที่ไม่มีเงื่อนไข แต่ในวลีนี้ เกือบทุกคำต้องการคำอธิบาย

เริ่มจากพยายามหาว่าหลักฐานคืออะไร ลองใช้ปัญหาของโรงเรียนในทางเลขคณิตกัน ตัวอย่างเช่น ให้จำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรที่ไม่ซับซ้อนต่อไปนี้: "" (ฉันขอเตือนคุณว่าสัญลักษณ์นี้อ่านว่า "สำหรับอะไรก็ได้" และเรียกว่า "universal quantifier") สามารถพิสูจน์ได้โดยการแปลงเหมือนกันดังนี้:

การเปลี่ยนจากสูตรหนึ่งไปอีกสูตรหนึ่งเกิดขึ้นตามบางสูตร กฎที่รู้กัน. การเปลี่ยนจากสูตรที่ 4 เป็นสูตรที่ 5 เกิดขึ้นเพราะว่าทุกจำนวนมีค่าเท่ากับตัวมันเอง - นั่นคือสัจพจน์ของเลขคณิต และขั้นตอนการพิสูจน์ทั้งหมดจึงแปลสูตรเป็นค่าบูลีน TRUE ผลลัพธ์อาจเป็นเท็จ - ถ้าเราหักล้างสูตรบางอย่าง ในกรณีนี้ เราจะพิสูจน์การปฏิเสธ เป็นไปได้ที่จะจินตนาการถึงโปรแกรม (และโปรแกรมดังกล่าวถูกเขียนขึ้นจริง ๆ ) ที่จะพิสูจน์ข้อเสนอดังกล่าว (และซับซ้อนกว่า) โดยไม่มีการแทรกแซงของมนุษย์

มาพูดถึงสิ่งเดียวกันให้เป็นทางการกว่านี้หน่อย สมมติว่าเรามีชุดที่ประกอบด้วยสตริงอักขระของตัวอักษรบางตัวและมีกฎที่ชุดย่อยของสิ่งที่เรียกว่า งบ- นั่นคือ วลีที่มีความหมายตามหลักไวยากรณ์ ซึ่งแต่ละวลีจริงหรือเท็จ เราสามารถพูดได้ว่ามีฟังก์ชันที่ตรงกับข้อความสั่งจากค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่า: TRUE หรือ FALSE (นั่นคือ แมปกับชุดบูลีนของสององค์ประกอบ)

ลองเรียกคู่นี้ว่า - ชุดคำสั่งและฟังก์ชันจาก ถึง - "ภาษาของคำสั่ง". โปรดทราบว่าในความหมายในชีวิตประจำวัน แนวคิดของภาษาค่อนข้างกว้าง ตัวอย่างเช่น วลีภาษารัสเซีย “งั้นมานี่เลย!”ไม่จริงและไม่ใช่เท็จ กล่าวคือ จากมุมมองของตรรกะทางคณิตศาสตร์ มันไม่ใช่คำสั่ง

สำหรับสิ่งต่อไปนี้ เราต้องการแนวคิดของอัลกอริทึม ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการที่นี่ - สิ่งนี้จะนำเราไปไกลพอสมควร ฉันจะ จำกัด ตัวเองให้ไม่เป็นทางการ: "อัลกอริทึม"- ลำดับของคำสั่งที่ชัดเจน ("โปรแกรม") ซึ่ง ต่อ จำนวนจำกัดขั้นตอนแปลงข้อมูลอินพุตเป็นเอาต์พุต ตัวเอียงมีความสำคัญโดยพื้นฐาน - หากโปรแกรมหยุดการทำงานกับข้อมูลเริ่มต้น จะไม่อธิบายอัลกอริทึม เพื่อความเรียบง่ายและนำไปใช้ในกรณีของเรา ผู้อ่านสามารถพิจารณาว่าอัลกอริทึมเป็นโปรแกรมที่เขียนด้วยภาษาการเขียนโปรแกรมใดๆ ก็ตามที่เขารู้จัก ซึ่งรับประกันว่าสำหรับข้อมูลอินพุตจากคลาสที่กำหนด จะเสร็จสิ้นการทำงานด้วยผลลัพธ์แบบบูลีน

ให้เราถามตัวเองว่า มี "อัลกอริธึมการพิสูจน์" สำหรับทุกฟังก์ชันหรือไม่ (หรือเรียกสั้นๆ ว่า "หัก") เทียบเท่ากับฟังก์ชันนี้ นั่นคือ การแปลแต่ละคำสั่งเป็นค่าบูลีนที่เหมือนกันทุกประการหรือไม่ ให้กระชับยิ่งขึ้น คำถามเดียวกันสามารถกำหนดได้ดังนี้ คือ ทุกฟังก์ชันเหนือชุดของข้อเสนอ คำนวณได้? อย่างที่คุณเดาได้แล้ว จากความถูกต้องของ TGN นั้นไม่มี ไม่มีเลย มีฟังก์ชันที่คำนวณไม่ได้ในประเภทนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่ใช่ทุกข้อความจริงสามารถพิสูจน์ได้

เป็นไปได้มากที่ข้อความนี้จะทำให้คุณเกิดการประท้วงภายใน ทั้งนี้เนื่องมาจากหลายสถานการณ์ ประการแรกเมื่อเราได้รับการสอน คณิตศาสตร์โรงเรียนจากนั้นบางครั้งก็มีการแสดงผลที่ผิดพลาดเกี่ยวกับตัวตนเกือบทั้งหมดของวลี "ทฤษฎีบทเป็นความจริง" และ "เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์หรือตรวจสอบทฤษฎีบท" แต่ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับมัน มันก็ไม่ชัดเจนเลย ทฤษฎีบทบางข้อได้รับการพิสูจน์ค่อนข้างง่าย (เช่น โดยการแจงนับตัวเลือกจำนวนน้อย) และบางทฤษฎีก็ยากมาก ยกตัวอย่าง Last Theorem อันโด่งดังของแฟร์มาต์:

หลักฐานที่พบเพียงสามศตวรรษครึ่งหลังจากการกำหนดครั้งแรก (และอยู่ไกลจากระดับประถมศึกษา) จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างความจริงของข้อความและการพิสูจน์ได้ มันไม่ได้ติดตามจากทุกที่ที่ไม่มีข้อความจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ (และไม่สามารถตรวจสอบได้อย่างเต็มที่)

อาร์กิวเมนต์ที่สองที่เข้าใจได้ง่ายสำหรับ TGN นั้นละเอียดอ่อนกว่า สมมติว่าเรามีคำสั่งที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ (ภายในกรอบของการอนุมานนี้) อะไรขัดขวางไม่ให้เรายอมรับว่าเป็นสัจธรรมใหม่ ดังนั้น เราจะทำให้ระบบการพิสูจน์ของเราซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่ก็ไม่ได้เลวร้ายอะไร อาร์กิวเมนต์นี้จะถูกต้องอย่างสมบูรณ์หากมีข้อเสนอที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้จำนวนจำกัด ในทางปฏิบัติ สิ่งต่อไปนี้อาจเกิดขึ้น - หลังจากตั้งสัจพจน์ใหม่ คุณจะสะดุดกับข้อความใหม่ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ ใช้เป็นสัจธรรมอื่น - คุณจะสะดุดกับข้อที่สาม และอื่น ๆ โฆษณาไม่สิ้นสุด เขาว่าเดดักติกาจะอยู่ ไม่สมบูรณ์. นอกจากนี้เรายังสามารถใช้มาตรการที่เข้มงวดเพื่อให้อัลกอริธึมการพิสูจน์สิ้นสุดหลังจากขั้นตอนจำนวนจำกัดพร้อมผลลัพธ์สำหรับคำสั่งภาษาใดๆ แต่ในเวลาเดียวกัน เขาจะเริ่มโกหก - นำไปสู่ความจริงสำหรับข้อความที่ไม่ถูกต้องหรือเพื่อโกหก - สำหรับผู้ซื่อสัตย์ ในกรณีเช่นนี้ เรียกว่า นิรนัย ขัดแย้ง. ดังนั้นการกำหนด TGN อีกรูปแบบหนึ่งจึงเป็นดังนี้: "มีภาษาประพจน์ที่การหักล้างที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์เป็นไปไม่ได้" - ดังนั้นชื่อของทฤษฎีบท

บางครั้งเรียกว่า "ทฤษฎีบทของเกอเดล" เป็นคำกล่าวที่ว่าทฤษฎีใดๆ มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ภายในกรอบของทฤษฎีนั้นเอง และต้องการลักษณะทั่วไปของทฤษฎีนั้น ในแง่หนึ่งสิ่งนี้เป็นความจริง แม้ว่าสูตรดังกล่าวจะบดบังปัญหาแทนที่จะชี้แจง

ฉันยังทราบด้วยว่าถ้าเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันปกติที่แสดง set ตัวเลขจริงในนั้น "การคำนวณไม่ได้" ของฟังก์ชันจะไม่ทำให้ใครแปลกใจ (อย่าสับสน "ฟังก์ชันที่คำนวณได้" และ "ตัวเลขที่คำนวณได้" - สิ่งเหล่านี้ต่างกัน) นักเรียนคนใดรู้ว่า ในกรณีของฟังก์ชัน คุณต้องโชคดีมากกับอาร์กิวเมนต์ เพื่อให้กระบวนการคำนวณแทนค่าทศนิยมที่แน่นอนของค่าของฟังก์ชันนี้สิ้นสุดในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด และเป็นไปได้มากว่าคุณจะคำนวณโดยใช้อนุกรมอนันต์ และการคำนวณนี้จะไม่นำไปสู่ ผลลัพธ์ที่แน่นอนถึงแม้ว่ามันสามารถเข้าใกล้มันได้มากเท่าที่คุณต้องการ - เพียงเพราะค่าของไซน์ของอาร์กิวเมนต์ส่วนใหญ่นั้นไม่มีเหตุผล TGN เพียงบอกเราว่าแม้ในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นสตริงและมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่งฟังก์ชันที่ไม่สามารถคำนวณได้แม้ว่าจะจัดเรียงในลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงก็ตาม

สำหรับสิ่งต่อไปนี้ เราจะอธิบาย "ภาษาของเลขคณิตอย่างเป็นทางการ" พิจารณาคลาสของสตริงข้อความที่มีความยาวจำกัด ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขอารบิก ตัวแปร (ตัวอักษร อักษรละติน) เอาค่าธรรมชาติ ช่องว่าง ตัวอักษร การดำเนินการเลขคณิตความเสมอภาคและความไม่เท่าเทียมกัน ตัวระบุปริมาณ ("มีอยู่") และ ("สำหรับสิ่งใดๆ") และบางทีสัญลักษณ์อื่นๆ บางอย่าง (จำนวนที่แน่นอนและองค์ประกอบนั้นไม่สำคัญสำหรับเรา) เป็นที่ชัดเจนว่าไม่ใช่ทุกบรรทัดที่มีความหมาย (เช่น "" เป็นเรื่องไร้สาระ) ชุดย่อยของนิพจน์ที่มีความหมายจากคลาสนี้ (นั่นคือ สตริงที่เป็นจริงหรือเท็จในแง่ของเลขคณิตธรรมดา) จะเป็นชุดคำสั่งของเรา

ตัวอย่างงบเลขคณิตที่เป็นทางการ:

เป็นต้น ทีนี้มาเรียก "สูตรที่มีพารามิเตอร์อิสระ" (FSP) ว่าสตริงที่จะกลายเป็นคำสั่งถ้าเราแทนที่มันเป็นพารามิเตอร์นี้ ตัวเลขธรรมชาติ. ตัวอย่างของ FSP (พร้อมพารามิเตอร์):

เป็นต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง FSP เทียบเท่ากับฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติที่มีค่าบูลีน

ระบุชุดของ FSP ทั้งหมดด้วยตัวอักษร เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถสั่งซื้อได้ (เช่น อันดับแรก เราเขียนสูตรที่มีตัวอักษรหนึ่งตัวเรียงตามลำดับตัวอักษร ตามด้วยสูตรตัวอักษรสองตัวอักษร ฯลฯ การจัดลำดับตามตัวอักษรนั้นไม่ใช่พื้นฐานสำหรับเรา) ดังนั้น FSP ใด ๆ ที่สอดคล้องกับหมายเลขในรายการสั่งซื้อและเราจะแสดงว่า

ตอนนี้ให้เราหันไปร่างการพิสูจน์ TGN ในสูตรต่อไปนี้:

สำหรับภาษาประพจน์ของเลขคณิตที่เป็นทางการ ไม่มีการหักเงินที่สม่ำเสมออย่างสมบูรณ์

เราจะพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง

สมมุติว่าการนิรนัยนั้นมีอยู่จริง มาอธิบายอัลกอริทึมเสริมต่อไปนี้ซึ่งกำหนดค่าบูลีนเป็นจำนวนธรรมชาติดังนี้:

พูดง่ายๆ อัลกอริทึมจะให้ผลลัพธ์เป็นค่า TRUE หากผลลัพธ์ของการแทนที่ตัวเลขใน FSP ในรายการของเราให้ข้อความเท็จ

ที่นี่เรามาถึงที่เดียวที่ฉันจะขอให้ผู้อ่านใช้คำพูดของฉัน

เห็นได้ชัดว่า ภายใต้สมมติฐานข้างต้น FSP ใดๆ จากสามารถเชื่อมโยงกับอัลกอริธึมที่มีตัวเลขธรรมชาติที่อินพุตและค่าบูลีนที่เอาต์พุต ชัดเจนน้อยกว่าเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม:

การพิสูจน์บทแทรกนี้อย่างน้อยต้องมีคำจำกัดความอย่างเป็นทางการ ไม่ใช่สัญชาตญาณของแนวคิดของอัลกอริทึม อย่างไรก็ตาม ถ้าลองคิดดูดีๆ ก็น่าจะเป็นไปได้ อันที่จริงอัลกอริธึมเขียนด้วยภาษาอัลกอริธึมซึ่งมีภาษาแปลกใหม่เช่น Brainfuck ซึ่งประกอบด้วยคำที่มีอักขระหนึ่งตัวแปดคำซึ่งอย่างไรก็ตามอัลกอริธึมใด ๆ ก็สามารถนำมาใช้ได้ คงจะแปลกถ้าภาษาที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นของสูตรเลขคณิตที่เป็นทางการที่เราได้อธิบายไปแล้วจะกลับกลายเป็นว่าด้อยกว่า - ไม่ต้องสงสัยเลย มันไม่เหมาะกับการเขียนโปรแกรมทั่วไปมากนัก

ผ่านที่ลื่นๆ นี้ไปก็รีบไปสุดทาง

ดังนั้นเราจึงได้อธิบายอัลกอริทึมข้างต้น ตามบทแทรกที่ฉันขอให้คุณเชื่อ มี FSP ที่เทียบเท่าอยู่ มันมีตัวเลขอยู่ในรายการ - สมมุติว่า ลองถามตัวเองว่า ประเด็นคืออะไร? ปล่อยให้มันเป็นจริง จากนั้น ตามโครงสร้างของอัลกอริทึม (และด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันที่เทียบเท่ากับมัน) นี่หมายความว่าผลลัพธ์ของการแทนที่ตัวเลขลงในฟังก์ชันนั้นเป็น FALSE ตรงกันข้ามถูกตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน: จาก FALSE ตามด้วย TRUE เราได้มาถึงความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานเดิมผิด ดังนั้น สำหรับเลขคณิตที่เป็นทางการ จะไม่มีการหักที่สม่ำเสมออย่างสมบูรณ์ คิวอีดี

ที่นี่เหมาะสมที่จะระลึกถึง Epimenides (ดูภาพเหมือนในชื่อ) ซึ่งดังที่คุณทราบแล้วว่าชาวครีตทุกคนเป็นคนโกหกโดยเป็นตัวของตัวเองชาวครีต ในการกำหนดที่รัดกุมยิ่งขึ้น คำพูดของเขา (รู้จักกันในชื่อ "liar paradox") สามารถกำหนดเป็น: "ฉันกำลังโกหก" เป็นคำแถลงดังกล่าวซึ่งประกาศความเท็จได้อย่างแม่นยำซึ่งเราใช้ในการพิสูจน์

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่า TGN ไม่ได้อ้างสิทธิ์อะไรที่น่าประหลาดใจเป็นพิเศษ ท้ายที่สุด ทุกคนคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าไม่ใช่ตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ (โปรดจำไว้ว่า ข้อความนี้มีหลักฐานที่สง่างามมากซึ่งมีอายุมากกว่าสองพันปี?) และรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะก็ไม่ใช่จำนวนทั้งหมดเช่นกัน และตอนนี้ปรากฎว่าไม่สามารถคำนวณฟังก์ชันทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติได้

ภาพร่างหลักฐานที่ให้ไว้สำหรับ เลขคณิตอย่างเป็นทางการแต่ก็ไม่ยากที่จะเห็นว่า THN ใช้ได้กับภาษาประพจน์อื่นๆ อีกมากเช่นกัน แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกภาษาที่เป็นแบบนั้น ตัวอย่างเช่น มากำหนดภาษาดังนี้:

“ประโยคอะไรก็ได้ ชาวจีนเป็นข้อความจริงหากมีอยู่ในหนังสืออ้างอิงของสหาย Mao Tse Tung และไม่ถูกต้องหากไม่มีอยู่

จากนั้นอัลกอริธึมการพิสูจน์ที่สมบูรณ์และสม่ำเสมอที่สอดคล้องกัน (สามารถเรียกได้ว่า "การหักล้างแบบไม่เชื่อฟัง") จะมีลักษณะดังนี้:

“พลิกดูหนังสืออ้างอิงของสหายเหมาเจ๋อตุงจนกว่าคุณจะพบข้อความที่คุณต้องการ หากพบก็เป็นความจริงและหากหนังสืออ้างอิงสิ้นสุดลงและไม่พบข้อความแสดงว่าเป็นเท็จ

ที่นี่เรารอดจากข้อเท็จจริงที่ว่าการอ้างอิงใดๆ มีขอบเขตจำกัด ดังนั้นกระบวนการ "พิสูจน์" จะสิ้นสุดลงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้น TGN จึงใช้ไม่ได้กับภาษาของคำสั่งที่ไม่เชื่อฟัง แต่เรากำลังพูดถึงภาษาที่ซับซ้อนใช่ไหม

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Kurt Gödel เป็นจุดหักเหของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 และในต้นฉบับของเขาซึ่งตีพิมพ์หลังจากการตายของเขา หลักฐานเชิงตรรกะของการดำรงอยู่ของพระเจ้าก็ถูกเก็บรักษาไว้ ในการอ่านคริสต์มาสครั้งล่าสุด รายงานที่น่าสนใจเกี่ยวกับมรดกที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักนี้จัดทำโดยรองศาสตราจารย์ของวิทยาลัยศาสนศาสตร์โทโบลสค์ ผู้สมัครของศาสนศาสตร์ นักบวชดิมิทรี คีร์ยานอฟ “น.ส.” ขออธิบายแนวคิดหลักของนักวิทยาศาสตร์

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel: A Hole in Mathematics

- คุณช่วยอธิบายทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel อย่างเป็นที่นิยมได้ไหม? ช่างตัดผมโกนเฉพาะผู้ที่ไม่โกนหนวดเท่านั้น ช่างตัดผมโกนเองหรือไม่? ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงนี้เกี่ยวข้องกับพวกเขาหรือไม่?

วิทยานิพนธ์หลักของข้อพิสูจน์เชิงตรรกะของการมีอยู่ของพระเจ้า นำเสนอโดย Kurt Gödel: "พระเจ้ามีอยู่ในการคิด แต่การดำรงอยู่ในความเป็นจริงนั้นยิ่งใหญ่กว่าการดำรงอยู่ในความคิดเพียงอย่างเดียว ดังนั้น พระเจ้าจึงต้องดำรงอยู่" ในภาพ: ผู้เขียนทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์ Kurt Godel กับเพื่อนของเขาผู้เขียนทฤษฎีสัมพัทธภาพ Albert Einstein เพรสตัน. อเมริกา. 1950

— ใช่ แน่นอน มันมี ก่อนโกเดลมีปัญหาเรื่องสัจพจน์ของคณิตศาสตร์และปัญหาของประโยคที่ขัดแย้งกันซึ่งสามารถเขียนเป็นภาษาใดก็ได้อย่างเป็นทางการ ตัวอย่างเช่น: "คำสั่งนี้เป็นเท็จ" อะไรคือความจริงของข้อความนี้? ถ้าจริงก็เท็จ ถ้าจริงก็จริง ทำให้เกิดความขัดแย้งทางภาษา Gödel ได้ตรวจสอบเลขคณิตและแสดงให้เห็นในทฤษฎีบทของเขาว่าไม่สามารถพิสูจน์ความสม่ำเสมอของมันได้จากหลักการที่เห็นได้ชัดเจนในตัวเอง: สัจพจน์ของการบวก การลบ การหาร การคูณ และอื่นๆ เราต้องการสมมติฐานเพิ่มเติมเพื่อพิสูจน์เหตุผล มันอยู่บนสุด ทฤษฎีที่ง่ายที่สุดแต่สิ่งที่ซับซ้อนกว่านั้น (สมการฟิสิกส์ ฯลฯ) ล่ะ! เพื่อปรับระบบการให้เหตุผลบางอย่าง เรามักถูกบังคับให้ใช้เหตุผลเพิ่มเติมบางอย่าง ซึ่งไม่สมเหตุสมผลภายในกรอบของระบบ

ประการแรก สิ่งนี้บ่งบอกถึงข้อจำกัดของการเรียกร้องของจิตใจมนุษย์ในความรู้เรื่องความเป็นจริง นั่นคือ เราไม่สามารถพูดได้ว่าเราจะสร้างทฤษฎีที่ครอบคลุมบางอย่างของจักรวาลที่จะอธิบายทุกสิ่งทุกอย่าง - ทฤษฎีดังกล่าวไม่สามารถเป็นวิทยาศาสตร์ได้

นักคณิตศาสตร์รู้สึกอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทของโกเดล ไม่มีใครพยายามที่จะหักล้างพวกเขา หลีกเลี่ยง?

“มันเหมือนกับการพยายามพิสูจน์หักล้างทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทมีหลักฐานเชิงตรรกะที่เข้มงวด ในเวลาเดียวกัน มีการพยายามหาข้อจำกัดในการบังคับใช้ทฤษฎีบทของโกเดล แต่ความขัดแย้งส่วนใหญ่เกี่ยวกับความหมายเชิงปรัชญาของทฤษฎีบทของโกเดล

หลักฐานของGödelเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพระเจ้านั้นซับซ้อนเพียงใด? เสร็จแล้วเหรอ?

- มันทำงานอย่างละเอียดแม้ว่านักวิทยาศาสตร์เองก็ไม่กล้าเผยแพร่จนกว่าเขาจะเสียชีวิต Gödel พัฒนา ontological (เลื่อนลอย. — "เอ็นเอส") ข้อโต้แย้งที่เสนอโดย Anselm of Canterbury เป็นครั้งแรก ในรูปแบบย่อ อาร์กิวเมนต์นี้สามารถแสดงได้ดังนี้: “ตามคำจำกัดความแล้ว พระเจ้าเป็นผู้ทรงยิ่งใหญ่เกินกว่าจะไม่มีใครสามารถตั้งครรภ์ได้ พระเจ้าอยู่ในความคิด แต่การมีอยู่ในความเป็นจริงนั้นยิ่งใหญ่กว่าการดำรงอยู่ในความคิดเพียงลำพัง ดังนั้นพระเจ้าจึงต้องดำรงอยู่” ข้อโต้แย้งของ Anselm ได้รับการพัฒนาในภายหลังโดยRené Descartes และ Gottfried Wilhelm Leibniz ดังนั้น ตามคำกล่าวของ Descartes การคิดว่า Higher Perfect Being ซึ่งขาดการดำรงอยู่ หมายถึงการตกอยู่ในความขัดแย้งเชิงตรรกะ ในบริบทของแนวคิดเหล่านี้ Gödel ได้พัฒนาข้อพิสูจน์ในแบบฉบับของเขาเอง ซึ่งเหมาะกับสองหน้าอย่างแท้จริง น่าเสียดายที่การนำเสนอข้อโต้แย้งของเขาเป็นไปไม่ได้หากไม่มีการแนะนำตรรกะแบบโมดัลที่ซับซ้อนมากลงในฐานราก

แน่นอนความไร้ที่ติเชิงตรรกะของข้อสรุปของ Godel ไม่ได้บังคับให้บุคคลกลายเป็นผู้เชื่อภายใต้แรงกดดันของหลักฐาน เราไม่ควรไร้เดียงสาและเชื่อว่าเราสามารถโน้มน้าวใจใครๆ ได้อย่างสมเหตุสมผล คนคิดเชื่อในพระเจ้าผ่านการโต้แย้งทางออนโทโลยีหรือหลักฐานอื่นๆ ศรัทธาเกิดขึ้นเมื่อคนๆ หนึ่งเผชิญหน้ากับการมีอยู่ของความเป็นจริงที่เหนือธรรมชาติของพระเจ้าอย่างชัดแจ้ง แต่มีอย่างน้อยหนึ่งคนที่ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับออนโทโลยีนำไปสู่ความเชื่อทางศาสนา และนั่นคือนักเขียนไคลฟ์ สเตเปิลส์ ลูอิส ซึ่งตัวเขาเองก็ยอมรับเรื่องนี้

อนาคตอันไกลโพ้นคืออดีตอันไกลโพ้น

คนรุ่นเดียวกันของ Gödel รู้สึกอย่างไรกับเขา? เขาเป็นเพื่อนกับนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนหนึ่งหรือไม่?

ผู้ช่วยของไอน์สไตน์ที่พรินซ์ตันให้การว่า คนเดียวที่เขาเป็นเพื่อนใน ปีที่แล้วชีวิตคือ Kurt Gödel พวกเขาแตกต่างกันในเกือบทุกอย่าง - Einstein เข้ากับคนง่าย ร่าเริง และ Gödel เป็นคนจริงจัง โดดเดี่ยว และไม่ไว้วางใจ แต่พวกเขามี คุณภาพโดยรวม: ทั้งสองดำเนินไปอย่างตรงไปตรงมาและจริงใจต่อคำถามสำคัญของวิทยาศาสตร์และปรัชญา แม้เขาจะเป็นเพื่อนกับไอน์สไตน์ แต่โกเดลก็มีมุมมองเฉพาะเกี่ยวกับศาสนาของเขาเอง เขาปฏิเสธความคิดของพระเจ้าในฐานะสิ่งมีชีวิตที่ไม่มีตัวตนเหมือนที่พระเจ้ามีไว้เพื่อไอน์สไตน์ ในโอกาสนี้ โกเดลกล่าวว่า “ศาสนาของไอน์สไตน์เป็นนามธรรมเกินไป เช่นเดียวกับศาสนาของสปิโนซาและปรัชญาอินเดีย พระเจ้าของสปิโนซาน้อยกว่าบุคคล พระเจ้าของข้าพเจ้าเป็นมากกว่าบุคคล เพราะพระเจ้าสามารถเล่นบทบาทของบุคคลได้” อาจมีวิญญาณที่ไม่มีร่างกาย แต่สามารถสื่อสารกับเราและมีอิทธิพลต่อโลกได้”

Gödel ลงเอยที่อเมริกาได้อย่างไร? หนีจากพวกนาซี?

- ใช่เขามาอเมริกาในปี 2483 จากเยอรมนีแม้ว่าพวกนาซีจะจำเขาได้ว่าเป็นชาวอารยันและนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ทำให้เขาพ้นจาก การรับราชการทหาร. เขาและภรรยาของเขา Adele เดินทางไปรัสเซียตามเส้นทางรถไฟสายทรานส์ไซบีเรีย เขาไม่ทิ้งความทรงจำเกี่ยวกับการเดินทางครั้งนี้ อเดลเท่านั้นที่จำได้ ความกลัวอย่างต่อเนื่องในเวลากลางคืนว่าพวกเขาจะหยุดและกลับมา หลังจากแปดปีที่อาศัยอยู่ในอเมริกา Gödel ก็กลายเป็นพลเมืองสหรัฐฯ เช่นเดียวกับผู้สมัครเพื่อขอสัญชาติ เขาต้องตอบคำถามเกี่ยวกับรัฐธรรมนูญของสหรัฐอเมริกา ด้วยความที่เป็นคนรอบคอบ เขาจึงเตรียมตัวสำหรับการสอบนี้อย่างระมัดระวัง ในที่สุด เขากล่าวว่าเขาได้พบความไม่สอดคล้องกันในรัฐธรรมนูญ: "ฉันค้นพบความเป็นไปได้ที่ถูกต้องตามหลักเหตุผลในการที่สหรัฐฯ จะกลายเป็นเผด็จการ" เพื่อน ๆ ของเขายอมรับว่า แม้จะมีเหตุผลที่ดีในการโต้แย้งของ Gödel ความเป็นไปได้นี้เป็นเพียงการสมมุติอย่างหมดจด และเตือนว่าไม่ควรสนทนากันยาวในหัวข้อในข้อสอบ

Gödel และ Einstein ใช้ความคิดของกันและกันหรือไม่? งานวิทยาศาสตร์?

— ในปี 1949 Gödel ได้แสดงความคิดเกี่ยวกับจักรวาลวิทยาของเขาในเรียงความทางคณิตศาสตร์ ซึ่งตามคำกล่าวของ Albert Einstein นั้นมีส่วนสำคัญต่อ ทฤษฎีทั่วไปทฤษฎีสัมพัทธภาพ โกเดลเชื่อว่าครั้งนั้น - "สิ่งที่ลึกลับและในขณะเดียวกันก็ขัดแย้งกันเองซึ่งเป็นพื้นฐานของโลกและการดำรงอยู่ของเราเอง" - ในที่สุดก็จะกลายเป็น ภาพลวงตาที่ยิ่งใหญ่ที่สุด. มัน "สักวัน" จะหมดไป และรูปแบบอื่นของการดำรงอยู่จะมา ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นนิรันดร์ แนวคิดเรื่องเวลานี้ทำให้นักตรรกวิทยาผู้ยิ่งใหญ่ได้ข้อสรุปที่คาดไม่ถึง เขาเขียนว่า: “ฉันเชื่อมั่นในชีวิตหลังความตายโดยไม่คำนึงถึงเทววิทยา ถ้าโลกถูกสร้างขึ้นอย่างชาญฉลาด ก็จะต้องมีชีวิตหลังความตาย"

“เวลาเป็นสิ่งที่ขัดแย้งในตัวเอง” ฟังดูแปลก ๆ ; มันมีบ้าง ความหมายทางกายภาพ?

Gödel แสดงให้เห็นว่าภายใต้กรอบของสมการ Einstein เป็นไปได้ที่จะสร้างแบบจำลองจักรวาลวิทยาที่มีเวลาปิดซึ่งอดีตอันห่างไกลและอนาคตอันไกลโพ้น ในรูปแบบนี้จะกลายเป็นในทางทฤษฎี การเดินทางที่เป็นไปได้ภายในเวลาที่กำหนด. ฟังดูแปลกแต่ก็แสดงออกทางคณิตศาสตร์ได้ นั่นคือประเด็น โมเดลนี้อาจมีหรือไม่มีผลการทดลองก็ได้ เป็นโครงสร้างทางทฤษฎีที่อาจมีประโยชน์หรือไม่มีประโยชน์ในการสร้างแบบจำลองจักรวาลวิทยาใหม่ ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีสมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจักรวาลวิทยาควอนตัม มีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนจนเป็นเรื่องยากมากที่จะให้โครงสร้างเหล่านี้มีความเข้าใจเชิงปรัชญาที่ชัดเจน นอกจากนี้ โครงสร้างทางทฤษฎีบางส่วนยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ในเชิงทดลอง ด้วยเหตุผลง่ายๆ ที่ว่าการตรวจสอบต้องอาศัยการตรวจจับอนุภาคพลังงานสูงมาก จำได้ไหมว่าผู้คนคลั่งไคล้การเปิดตัว Large Hadron Collider: fund สื่อมวลชนผู้คนตื่นตระหนกตลอดเวลาด้วยการเข้าใกล้จุดจบของโลก อันที่จริง การทดลองทางวิทยาศาสตร์เพื่อทดสอบแบบจำลองจักรวาลวิทยาควอนตัมและที่เรียกว่า "ทฤษฎีการรวมกลุ่มอันยิ่งใหญ่" หากสามารถตรวจจับสิ่งที่เรียกว่าอนุภาคฮิกส์ได้ นี่จะเป็นขั้นตอนต่อไปในความเข้าใจของเรามากที่สุด ระยะแรกการมีอยู่ของจักรวาลของเรา แต่จนกว่าจะมีข้อมูลการทดลอง แบบจำลองจักรวาลวิทยาควอนตัมที่แข่งขันกันยังคงเป็นเพียงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

ศรัทธาและสัญชาตญาณ

“…พระเจ้าของฉันเป็นมากกว่าบุคคล เนื่องจากพระเจ้าสามารถเล่นบทบาทของบุคคลได้…” ความเชื่อของโกเดลยังห่างไกลจากคำสารภาพตามออร์โธดอกซ์หรือไม่?

— คำพูดของ Gödel เกี่ยวกับความเชื่อของเขาน้อยมากที่ได้รับการเก็บรักษาไว้ พวกเขาถูกรวบรวมทีละเล็กทีละน้อย แม้ว่า Gödel จะสร้างร่างข้อโต้แย้งฉบับแรกของเขาเองตั้งแต่ต้นปี 1941 จนถึงปี 1970 ด้วยความกลัวว่าเพื่อนร่วมงานจะเยาะเย้ย เขาไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้ ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2513 เมื่อรู้สึกว่าใกล้จะถึงแก่กรรม เขาจึงอนุญาตให้ผู้ช่วยคัดลอกหลักฐานฉบับหนึ่งของเขา หลังจากการเสียชีวิตของ Gödel ในปี 1978 มีการพบข้อโต้แย้งเกี่ยวกับ ontological รุ่นต่าง ๆ เล็กน้อยในเอกสารของเขา Adele ภรรยาของ Kurt Gödel กล่าวว่าสองวันหลังจากการตายของสามีของเธอ Gödel "แม้ว่าเขาจะไม่ได้ไปโบสถ์ แต่ก็เคร่งศาสนาและอ่านพระคัมภีร์บนเตียงทุกเช้าวันอาทิตย์"

เมื่อเราพูดถึงนักวิทยาศาสตร์เช่น Gödel, Einstein หรือ Galileo หรือ Newton สิ่งสำคัญคือต้องเน้นว่าพวกเขาไม่ใช่พระเจ้า พวกเขาเห็นว่าเบื้องหลังจักรวาลมีเหตุผลบางอย่าง พลังสูง. สำหรับนักวิทยาศาสตร์หลายๆ คน ความเชื่อในการมีอยู่ หน่วยสืบราชการลับสูงสุดเป็นหนึ่งในผลที่ตามมาของการไตร่ตรองทางวิทยาศาสตร์ของพวกเขา และการไตร่ตรองนี้ไม่ได้นำไปสู่การเกิดขึ้นของการเชื่อมต่อทางศาสนาที่ลึกซึ้งระหว่างมนุษย์กับพระเจ้าเสมอไป เกี่ยวกับโกเดล เราสามารถพูดได้ว่าเขารู้สึกถึงความจำเป็นในการเชื่อมโยงนี้ เนื่องจากเขาเน้นว่าเขาเป็นผู้นับถือศาสนา เขาคิดว่าพระเจ้าเป็นบุคคล แต่แน่นอนว่าศรัทธาของเขาไม่สามารถเรียกว่าออร์โธดอกซ์ได้ เขาเป็น "บ้าน Lutheran"

- คุณสามารถให้ ตัวอย่างทางประวัติศาสตร์: นักวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ มาเชื่อในพระเจ้าได้อย่างไร? นี่คือพันธุกรรมของฟรานซิส คอลลินส์ ตามคำสารภาพของเขา การศึกษาโครงสร้างของ DNA นำไปสู่ศรัทธาในพระเจ้า ...

“ในตัวมันเอง ความรู้ตามธรรมชาติของพระเจ้าไม่เพียงพอสำหรับความรู้ของพระเจ้า การค้นพบพระเจ้าโดยการศึกษาธรรมชาติไม่เพียงพอ การเรียนรู้ที่จะรู้จักพระองค์ผ่านการเปิดเผยที่พระเจ้าประทานให้กับมนุษย์เป็นสิ่งสำคัญ ไม่ว่าเขาจะเป็นนักวิทยาศาสตร์หรือไม่ก็ตาม มักจะอาศัยบางสิ่งที่นอกเหนือไปจากการโต้แย้งเชิงตรรกะหรือทางวิทยาศาสตร์ ฟรานซิส คอลลินส์เขียนว่าเขามาสู่ความเชื่อเมื่ออายุ 27 ปี หลังจากทะเลาะวิวาททางปัญญากับตัวเองและภายใต้อิทธิพลของไคลฟ์ สเตเปิลส์ ลูอิสมานาน คนสองคนอยู่ในสถานการณ์ทางประวัติศาสตร์เดียวกัน ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกัน คนหนึ่งกลายเป็นผู้เชื่อ อีกคนเป็นผู้ไม่เชื่อในพระเจ้า การศึกษาดีเอ็นเอเพียงอย่างเดียวนำไปสู่ความเชื่อในการดำรงอยู่ของพระเจ้า ที่ศึกษาอื่น ๆ ไม่ได้มาเลย คนสองคนมองภาพ: คนหนึ่งคิดว่ามันสวย และอีกคนพูดว่า: "พอดูได้ ภาพธรรมดา!" คนหนึ่งมีรสนิยม สัญชาตญาณ และอีกคนไม่มี ศาสตราจารย์แห่งนิกายออร์โธดอกซ์ St. Tikhon มหาวิทยาลัยมนุษยธรรมวลาดิมีร์ นิโคเลวิช คาตาโซนอฟ ดุษฎีบัณฑิต ปรัชญาดุษฎีบัณฑิต นักคณิตศาสตร์จากการศึกษาครั้งแรกกล่าวว่า: “ไม่มีข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่จะเกิดขึ้นได้หากปราศจากสัญชาตญาณ นักคณิตศาสตร์เห็นภาพก่อนแล้วจึงกำหนดข้อพิสูจน์”

คำถามเกี่ยวกับการมาสู่ศรัทธาของบุคคลมักจะเป็นคำถามที่นอกเหนือไปจากการให้เหตุผลเชิงตรรกะ จะอธิบายสิ่งที่ทำให้คุณมีศรัทธาได้อย่างไร ชายคนนั้นตอบว่า: ฉันไปวัด, คิด, อ่านสิ่งนี้และสิ่งนั้น, เห็นความกลมกลืนของจักรวาล; แต่ช่วงเวลาที่สำคัญที่สุด พิเศษที่สุด ที่จู่ๆ บุคคลหนึ่งก็ตระหนักได้ว่าเขาได้พบกับการประทับของพระเจ้า ไม่สามารถแสดงออกได้ มันเป็นความลับเสมอ

- คุณสามารถระบุปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ วิทยาศาสตร์สมัยใหม่?

— เช่นเดียวกัน วิทยาศาสตร์เป็นองค์กรที่มีความมั่นใจ เป็นอิสระและมั่นคงเพียงพอที่จะพูดออกมาได้อย่างเฉียบขาด เป็นเครื่องมือที่ดีและมีประโยชน์มากในมือของมนุษย์ ตั้งแต่สมัยของฟรานซิส เบคอน ความรู้ได้กลายเป็นพลังที่เปลี่ยนแปลงโลกอย่างแท้จริง วิทยาศาสตร์พัฒนาขึ้นตามกฎภายใน: นักวิทยาศาสตร์พยายามทำความเข้าใจกฎของจักรวาล และไม่ต้องสงสัยเลยว่าการค้นหานี้จะนำไปสู่ความสำเร็จ แต่ในขณะเดียวกันก็จำเป็นต้องตระหนักถึงขอบเขตของวิทยาศาสตร์ เราไม่ควรสับสนระหว่างวิทยาศาสตร์กับคำถามเชิงอุดมคติที่สามารถหยิบยกขึ้นมาเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ได้ ประเด็นสำคัญวันนี้มีความเกี่ยวข้องไม่มากกับวิธีการทางวิทยาศาสตร์เช่นเดียวกับ ทิศทางค่า. วิทยาศาสตร์ในช่วงศตวรรษที่ 20 อันยาวนานถูกมองว่าเป็นความดีที่สมบูรณ์ซึ่งก่อให้เกิดความก้าวหน้าของมนุษยชาติ และเราเห็นว่าศตวรรษที่ 20 กลายเป็นสิ่งที่โหดร้ายที่สุดในแง่ของการเสียชีวิตของมนุษย์ แล้วก็มีคำถามเรื่องค่านิยม ความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์, ความรู้ทั่วไป. คุณค่าทางจริยธรรมไม่ได้เป็นไปตามวิทยาศาสตร์เอง นักวิทยาศาสตร์ที่เก่งกาจสามารถประดิษฐ์อาวุธเพื่อทำลายล้างมนุษยชาติได้ และคำถามเกี่ยวกับความรับผิดชอบทางศีลธรรมของนักวิทยาศาสตร์ก็เกิดขึ้น ซึ่งวิทยาศาสตร์ไม่สามารถตอบได้ วิทยาศาสตร์ไม่สามารถบอกความหมายและจุดประสงค์ของการดำรงอยู่ของเขาแก่มนุษย์ได้ วิทยาศาสตร์จะไม่มีวันตอบคำถามว่าทำไมเราถึงมาอยู่ที่นี่? ทำไมจักรวาลถึงมีอยู่? คำถามเหล่านี้ได้รับการแก้ไขในระดับความรู้ที่แตกต่างกัน เช่น ปรัชญาและศาสนา

— นอกเหนือจากทฤษฎีบทของ Gödel แล้ว มีหลักฐานอื่นใดอีกที่แสดงว่าวิธีการทางวิทยาศาสตร์มีขีดจำกัดหรือไม่? นักวิทยาศาสตร์เองรู้จักสิ่งนี้หรือไม่?

- เมื่อต้นศตวรรษที่ 20 นักปรัชญา Bergson และ Husserl ชี้ไปที่ ค่าสัมพัทธ์ ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. ตอนนี้ได้กลายเป็นความเชื่อสากลในหมู่นักปรัชญาวิทยาศาสตร์ว่าทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เป็นตัวแทนของแบบจำลองสมมุติฐานสำหรับการอธิบายปรากฏการณ์ หนึ่งในผู้สร้าง กลศาสตร์ควอนตัมเออร์วิน ชโรดิงเงอร์ กล่าวว่า อนุภาคมูลฐานเป็นเพียงภาพเท่านั้น แต่เราสามารถทำได้โดยไม่มีพวกเขา ตามที่นักปรัชญาและนักตรรกวิทยา Karl Popper ได้กล่าวไว้ว่า ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เป็นเหมือนตาข่ายที่เราพยายามจะจับโลก พวกมันไม่เหมือนรูปถ่าย ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์อยู่ในการพัฒนาและการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ผู้สร้างกลศาสตร์ควอนตัม เช่น Pauli, Bohr, Heisenberg กล่าวถึงข้อจำกัดของวิธีการทางวิทยาศาสตร์ Pauli เขียนว่า: “...ฟิสิกส์และจิตใจถือได้ว่าเป็น ด้านเพิ่มเติมความเป็นจริงเดียวกัน" - และเน้นที่ความไม่ลดทอนลง ระดับที่สูงขึ้นอยู่ที่ด้านล่าง คำอธิบายต่างๆ ครอบคลุมเพียงแง่มุมหนึ่งของเรื่องในแต่ละครั้ง แต่จะไม่มีวันบรรลุถึงทฤษฎีที่ครอบคลุม

ความงามและความกลมกลืนของจักรวาลบ่งบอกถึงความเป็นไปได้ของความรู้ วิธีการทางวิทยาศาสตร์. ในเวลาเดียวกัน คริสเตียนมักเข้าใจถึงความลึกลับที่ไม่อาจเข้าใจได้เบื้องหลังจักรวาลวัตถุนี้ จักรวาลไม่มีรากฐานในตัวเองและชี้ไปที่แหล่งกำเนิดที่สมบูรณ์แบบของการเป็น - พระเจ้า

หนึ่งในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุด ทั้งเรื่องโชคดีและโชคร้ายในเวลาเดียวกัน ซึ่งคล้ายกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ ในอีกด้านหนึ่ง เกือบทุกคนเคยได้ยินบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา ในทางกลับกัน ในการตีความที่นิยม ทฤษฎีของไอน์สไตน์ อย่างที่คุณทราบ "บอกว่าทุกอย่างในโลกนี้เป็นญาติกัน". และทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel (ต่อไปนี้เรียกง่ายๆ ว่า TGN) ในสูตรพื้นบ้านที่ฟรีพอๆ กันโดยประมาณ “พิสูจน์ว่ามีบางสิ่งที่จิตใจมนุษย์ไม่สามารถเข้าใจได้”. ดังนั้นบางคนจึงพยายามดัดแปลงเป็นข้อโต้แย้งต่อลัทธิวัตถุนิยม ในขณะที่บางคนกลับพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือว่าไม่มีพระเจ้า เป็นเรื่องตลกที่ไม่เพียงแต่ทั้งสองฝ่ายจะไม่ถูกต้องในเวลาเดียวกันเท่านั้น แต่ยังไม่มีใครมารบกวนที่จะคิดให้ออกว่า อันที่จริง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าอย่างไร

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน และที่สำคัญที่สุดคือไม่คุ้นเคย ต้องใช้ความระมัดระวังและเข้มงวด ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนกับข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วว่า "ชัดเจนแล้ว" อย่างไรก็ตาม ฉันหวังว่าเพื่อให้เข้าใจ "โครงร่างของการพิสูจน์ TGN" ต่อไปนี้ ผู้อ่านจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในโรงเรียน / วิทยาการคอมพิวเตอร์ ทักษะการคิดเชิงตรรกะ และเวลา 15-20 นาทีเท่านั้น

ทำให้ง่ายขึ้นบ้าง TGN ยืนยันว่าในภาษาที่ซับซ้อนเพียงพอมีข้อเสนอที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ แต่ในวลีนี้ เกือบทุกคำต้องการคำอธิบาย

การเปลี่ยนจากสูตรหนึ่งไปเป็นอีกสูตรหนึ่งเกิดขึ้นตามกฎที่ทราบกันดีบางประการ การเปลี่ยนจากสูตรที่ 4 เป็นสูตรที่ 5 เกิดขึ้นเพราะว่าทุกจำนวนมีค่าเท่ากับตัวมันเอง - นั่นคือสัจพจน์ของเลขคณิต และขั้นตอนการพิสูจน์ทั้งหมดจึงแปลสูตรเป็นค่าบูลีน TRUE ผลลัพธ์อาจเป็นเท็จ - ถ้าเราหักล้างสูตรบางอย่าง ในกรณีนี้ เราจะพิสูจน์การปฏิเสธ เป็นไปได้ที่จะจินตนาการถึงโปรแกรม (และโปรแกรมดังกล่าวถูกเขียนขึ้นจริง ๆ ) ที่จะพิสูจน์ข้อเสนอดังกล่าว (และซับซ้อนกว่า) โดยไม่มีการแทรกแซงของมนุษย์

สำหรับสิ่งต่อไปนี้ เราต้องการแนวคิดของอัลกอริทึม ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการที่นี่ - สิ่งนี้จะนำเราไปไกลพอสมควร ฉันจะ จำกัด ตัวเองให้ไม่เป็นทางการ: "อัลกอริทึม"- ลำดับของคำสั่งที่ชัดเจน ("โปรแกรม") ซึ่ง ในจำนวนที่จำกัดแปลงข้อมูลอินพุตเป็นเอาต์พุต ตัวเอียงมีความสำคัญโดยพื้นฐาน - หากโปรแกรมหยุดการทำงานกับข้อมูลเริ่มต้น จะไม่อธิบายอัลกอริทึม เพื่อความเรียบง่ายและนำไปใช้ในกรณีของเรา ผู้อ่านสามารถพิจารณาว่าอัลกอริทึมเป็นโปรแกรมที่เขียนด้วยภาษาการเขียนโปรแกรมใดๆ ก็ตามที่เขารู้จัก ซึ่งรับประกันว่าสำหรับข้อมูลอินพุตจากคลาสที่กำหนด จะเสร็จสิ้นการทำงานด้วยผลลัพธ์แบบบูลีน

เป็นไปได้มากที่ข้อความนี้จะทำให้คุณเกิดการประท้วงภายใน ทั้งนี้เนื่องมาจากหลายสถานการณ์ ประการแรก เมื่อเราสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียน บางครั้งมีความรู้สึกผิดว่าวลี "ทฤษฎีบทเป็นความจริง" และ "เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์หรือตรวจสอบทฤษฎีบท" เกือบจะเหมือนกันทุกประการ แต่ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับมัน มันก็ไม่ชัดเจนเลย ทฤษฎีบทบางข้อได้รับการพิสูจน์ค่อนข้างง่าย (เช่น โดยการแจงนับตัวเลือกจำนวนน้อย) และบางทฤษฎีก็ยากมาก ยกตัวอย่าง Last Theorem อันโด่งดังของแฟร์มาต์:

ฉันยังทราบด้วยว่าถ้าเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันปกติที่จับคู่ชุดของจำนวนจริงเข้าไป "ความไม่สามารถคำนวณได้" ของฟังก์ชันจะไม่ทำให้ใครแปลกใจ (อย่าสับสน "ฟังก์ชันที่คำนวณได้" และ "ตัวเลขที่คำนวณได้" - นี่เป็นสิ่งที่แตกต่างกัน) นักเรียนคนใดรู้ว่า ในกรณีของฟังก์ชัน คุณต้องโชคดีมากกับอาร์กิวเมนต์ เพื่อให้กระบวนการคำนวณแทนค่าทศนิยมที่แน่นอนของค่าของฟังก์ชันนี้สิ้นสุดในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด และเป็นไปได้มากว่าคุณจะคำนวณโดยใช้อนุกรมอนันต์ และการคำนวณนี้จะไม่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่แน่นอน แม้ว่าจะเข้าใกล้ได้มากเท่าที่คุณต้องการก็ตาม เพียงเพราะค่าของไซน์ของอาร์กิวเมนต์ส่วนใหญ่ไม่ลงตัว TGN เพียงบอกเราว่าแม้ในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นสตริงและมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่งฟังก์ชันที่ไม่สามารถคำนวณได้แม้ว่าจะจัดเรียงในลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงก็ตาม

สำหรับสิ่งต่อไปนี้ เราจะอธิบาย "ภาษาของเลขคณิตอย่างเป็นทางการ" พิจารณาคลาสของสตริงข้อความที่มีความยาวจำกัด ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขอารบิก ตัวแปร (ตัวอักษรของตัวอักษรละติน) ที่ใช้ค่าธรรมชาติ ช่องว่าง เครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ความเสมอภาคและความไม่เท่าเทียมกัน quantifiers ("มีอยู่") และ ("สำหรับใดๆ" ) และบางที สัญลักษณ์อื่นๆ (จำนวนและองค์ประกอบที่แน่นอนนั้นไม่สำคัญสำหรับเรา) เป็นที่ชัดเจนว่าไม่ใช่ทุกบรรทัดที่มีความหมาย (เช่น "" เป็นเรื่องไร้สาระ) ชุดย่อยของนิพจน์ที่มีความหมายจากคลาสนี้ (นั่นคือ สตริงที่เป็นจริงหรือเท็จในแง่ของเลขคณิตธรรมดา) จะเป็นชุดคำสั่งของเรา

ตัวอย่างงบเลขคณิตที่เป็นทางการ:

เป็นต้น ตอนนี้ เรามาเรียก "สูตรที่มีพารามิเตอร์อิสระ" (FSP) ว่าสตริงที่จะกลายเป็นคำสั่งถ้าแทนที่ตัวเลขธรรมชาติเป็นพารามิเตอร์นี้ ตัวอย่างของ FSP (พร้อมพารามิเตอร์):

ตอนนี้ให้เราหันไปร่างการพิสูจน์ TGN ในสูตรต่อไปนี้:

สำหรับภาษาประพจน์ของเลขคณิตที่เป็นทางการ ไม่มีการหักเงินที่สม่ำเสมออย่างสมบูรณ์

เราจะพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง

ที่นี่เรามาถึงที่เดียวที่ฉันจะขอให้ผู้อ่านใช้คำพูดของฉัน

ผ่านที่ลื่นๆ นี้ไปก็รีบไปสุดทาง

ภาพร่างข้อพิสูจน์ที่ให้ไว้ใช้สำหรับเลขคณิตที่เป็นทางการ แต่ไม่ยากที่จะเห็นว่า THN ใช้กับภาษาเชิงประพจน์อื่นๆ ได้เช่นกัน แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกภาษาที่เป็นแบบนั้น ตัวอย่างเช่น มากำหนดภาษาดังนี้:

"วลีใด ๆ ในภาษาจีนเป็นข้อความจริงหากมีอยู่ในหนังสืออ้างอิงของสหายเหมาเจ๋อตุงและไม่ถูกต้องหากไม่มีอยู่"

“พลิกดูหนังสืออ้างอิงของสหายเหมาเจ๋อตุงจนกว่าคุณจะพบข้อความที่คุณต้องการ หากพบก็เป็นความจริงและหากหนังสืออ้างอิงสิ้นสุดลงและไม่พบข้อความแสดงว่าเป็นเท็จ

แท็ก: เพิ่มแท็ก

ระบบสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่เริ่มต้นจากระดับความซับซ้อนระดับหนึ่ง อาจไม่สอดคล้องกันภายในหรือไม่สมบูรณ์

ในปี 1900 การประชุมนักคณิตศาสตร์โลกถูกจัดขึ้นที่ปารีส ซึ่ง David Hilbert (1862-1943) นำเสนอในรูปแบบของบทคัดย่อ 23 ปัญหาที่สำคัญที่สุดในความคิดของเขาซึ่งเขากำหนดขึ้นซึ่งจะต้องแก้ไขโดยนักวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎี ของศตวรรษที่ยี่สิบที่จะถึงนี้ อันดับสองในรายการของเขาคือหนึ่งในนั้น งานง่ายๆคำตอบที่ดูเหมือนชัดเจนจนคุณขุดลึกลงไปอีกเล็กน้อย การพูด ภาษาสมัยใหม่นั่นคือคำถาม: คณิตศาสตร์เพียงพอในตัวเองหรือไม่ ปัญหาที่สองของฮิลเบิร์ตคือการพิสูจน์อย่างจริงจังว่าระบบ สัจพจน์- ข้อความพื้นฐานที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานโดยไม่มีการพิสูจน์ - สมบูรณ์แบบและสมบูรณ์ นั่นคือช่วยให้คุณสามารถอธิบายทุกอย่างที่มีอยู่ทางคณิตศาสตร์ได้ จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าเป็นไปได้ที่จะกำหนดระบบสัจพจน์ดังกล่าว ประการแรก พวกเขาจะสอดคล้องกัน และประการที่สอง เราสามารถสรุปผลจากพวกเขาเกี่ยวกับความจริงหรือความเท็จของข้อความใดๆ

ลองมาดูตัวอย่างจากเรขาคณิตของโรงเรียนกัน มาตรฐาน การวัดระนาบแบบยุคลิด(เรขาคณิตบนระนาบ) เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์โดยไม่มีเงื่อนไขว่าข้อความ "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°" เป็นจริง และข้อความว่า "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 137°" เป็นเท็จ โดยพื้นฐานแล้ว ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ข้อความใด ๆ ก็ตามที่เป็นเท็จหรือจริง และจะไม่ให้ประโยคที่สาม และในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์เชื่ออย่างไร้เดียงสาว่าควรสังเกตสถานการณ์เดียวกันนี้ในระบบที่สอดคล้องกันทางตรรกะใดๆ

จากนั้นในปี 1931 เคิร์ต โกเดล นักคณิตศาสตร์ที่สวมแว่นตาชาวเวียนนาบางคนก็หยิบและตีพิมพ์บทความสั้น ๆ ที่พลิกโลกทั้งใบของสิ่งที่เรียกว่า "ตรรกะทางคณิตศาสตร์" หลังจากคำนำทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีที่ยาวและซับซ้อน เขาได้สร้างสิ่งต่อไปนี้อย่างแท้จริง สมมติว่ามีข้อความเช่น: "สมมติฐาน #247 พิสูจน์ไม่ได้ในระบบสัจพจน์นี้" และเรียกมันว่า "คำสั่ง A" ดังนั้นโกเดลจึงได้พิสูจน์คุณสมบัติที่น่าทึ่งดังต่อไปนี้ ใดๆระบบสัจพจน์:

"ถ้าคำ A พิสูจน์ได้ ประโยคที่ไม่ใช่ A ก็พิสูจน์ได้"

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความ "อัสสัมชัญ 247 ไม่ พิสูจน์ได้" แล้วจึงเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความว่า "อัสสัมชัญ 247 พิสูจน์ได้". นั่นคือกลับไปที่การกำหนดของปัญหา Hilbert ที่สองหากระบบสัจพจน์สมบูรณ์ (นั่นคือคำสั่งใด ๆ ในนั้นสามารถพิสูจน์ได้) ก็ไม่สอดคล้องกัน

วิธีเดียวที่จะออกจากสถานการณ์นี้คือการยอมรับระบบสัจพจน์ที่ไม่สมบูรณ์ นั่นคือต้องทนกับความจริงที่ว่าในบริบทใด ๆ ระบบตรรกะเราจะเหลือข้อความ "ประเภท A" ที่รู้ว่าจริงหรือเท็จ - และเราสามารถตัดสินความจริงของพวกเขาเท่านั้น ข้างนอกกรอบของสัจพจน์ที่เรานำมาใช้ หากไม่มีข้อความดังกล่าว สัจพจน์ของเราก็ขัดแย้งกัน และภายในกรอบการทำงานจะมีสูตรที่สามารถพิสูจน์และหักล้างได้อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

ดังนั้นถ้อยคำ แรก,หรือ อ่อนแอ ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel: "ระบบสัจพจน์ที่เป็นทางการใด ๆ มีข้อสันนิษฐานที่ยังไม่ได้แก้ไข" แต่โกเดลไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น คิดค้นและพิสูจน์ ที่สอง,หรือ แข็งแกร่ง ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Godel: “ความสมบูรณ์เชิงตรรกะ (หรือความไม่สมบูรณ์) ของระบบสัจพจน์ใดๆ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในกรอบของระบบนี้ เพื่อพิสูจน์หรือหักล้างมัน จำเป็นต้องมีสัจพจน์เพิ่มเติม (การเสริมความแข็งแกร่งของระบบ)”

มันจะปลอดภัยกว่าถ้าคิดว่าทฤษฎีบทของ Godel เป็นนามธรรมและไม่เกี่ยวกับเรา แต่มีเพียงพื้นที่ของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น แต่กลับกลายเป็นว่าเกี่ยวข้องโดยตรงกับโครงสร้างของสมองมนุษย์ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษและนักฟิสิกส์ โรเจอร์ เพนโรส (เกิดปี 1931) แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของโกเดลสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสมองของมนุษย์กับคอมพิวเตอร์ได้ ประเด็นของการให้เหตุผลของเขานั้นเรียบง่าย คอมพิวเตอร์ทำงานอย่างมีเหตุผลและไม่สามารถระบุได้ว่าคำสั่ง A เป็นจริงหรือเท็จหากเกินขอบเขตของสัจพจน์ และข้อความดังกล่าวตามทฤษฎีบทของโกเดลมีอยู่อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ บุคคลที่ต้องเผชิญกับข้อความ A ที่พิสูจน์ไม่ได้และหักล้างไม่ได้อย่างมีเหตุมีผล จะสามารถระบุความจริงหรือความเท็จได้เสมอ โดยอิงจากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน อย่างน้อยก็ในนี้ สมองมนุษย์มีประสิทธิภาพเหนือกว่าคอมพิวเตอร์ที่ใส่กุญแจมือที่สะอาด วงจรลอจิก. สมองของมนุษย์สามารถเข้าใจความจริงอย่างลึกซึ้งที่มีอยู่ในทฤษฎีบทของโกเดลได้ แต่คอมพิวเตอร์ไม่สามารถทำได้ ดังนั้น สมองของมนุษย์จึงเป็นอะไรก็ได้นอกจากคอมพิวเตอร์ เขามีความสามารถ เพื่อการตัดสินใจและการทดสอบทัวริงจะผ่าน

ฉันสงสัยว่าฮิลเบิร์ตมีความคิดว่าคำถามของเขาจะพาเราไปได้ไกลแค่ไหน?

เคิร์ท โกเดล 2449-2521

ชาวออสเตรียแล้วนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เกิดที่เมืองบรุนน์ (Brünn ปัจจุบันคือเมืองเบอร์โน สาธารณรัฐเช็ก) เขาจบการศึกษาจากมหาวิทยาลัยเวียนนาซึ่งเขายังคงเป็นอาจารย์ในภาควิชาคณิตศาสตร์ (ตั้งแต่ 1,930 - ศาสตราจารย์). ในปีพ.ศ. 2474 เขาได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทหนึ่งซึ่งต่อมาได้รับชื่อของเขา เขารอดชีวิตจากการฆาตกรรมเพื่อนและลูกจ้างของแผนกโดยนักศึกษานาซีอย่างหนัก และตกอยู่ในภาวะซึมเศร้าอย่างสุดซึ้ง ซึ่งอาการกำเริบที่หลอกหลอนเขาไปจนสิ้นชีวิต ในช่วงทศวรรษที่ 1930 เขาอพยพไปยังสหรัฐอเมริกา แต่กลับไปบ้านเกิดที่ประเทศออสเตรียและแต่งงานกัน ในปีพ.ศ. 2483 ที่จุดสูงสุดของสงคราม เขาถูกบังคับให้หนีไปอเมริกาโดยผ่านสหภาพโซเวียตและญี่ปุ่น เคยทำงานที่ Princeton Institute การวิจัยขั้นสูง. น่าเสียดายที่จิตใจของนักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถยืนได้และเขาเสียชีวิตจากความอดอยากในคลินิกจิตเวชปฏิเสธที่จะกินเพราะเขาเชื่อว่าพวกเขาตั้งใจจะวางยาพิษเขา