เนื้อหาทางทฤษฎีในโมดูล "ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์"

คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกลดแนวคิดของความน่าจะเป็นไปสู่แนวคิดของความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกัน (ความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน) ของเหตุการณ์ซึ่งถือเป็นเหตุการณ์หลักและไม่อยู่ภายใต้คำจำกัดความที่เป็นทางการ คำจำกัดความนี้ใช้ในกรณีที่สามารถแยกกลุ่มของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และมีความเป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดออกจากกัน - ผลลัพธ์เบื้องต้น. ตัวอย่างเช่น พิจารณาโกศที่มีลูกบอล

ให้โกศบรรจุลูกบอลที่เหมือนกัน 7 ลูก ผสมอย่างระมัดระวัง สีแดง 2 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และสีขาว 4 ลูก การทดสอบจะประกอบด้วยความจริงที่ว่าลูกบอลหนึ่งลูกถูกสุ่มออกมาจากโกศ แต่ละเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นในการทดลองที่กำลังดำเนินอยู่นั้นเป็นผลลัพธ์เบื้องต้น ที่ ตัวอย่างนี้ผลลัพธ์เบื้องต้นเจ็ดประการซึ่งเราจะแสดง อี 1 , อี 2 ,..., อี 7. ผลลัพธ์ อี 1 , อี 2 - ลักษณะของลูกบอลสีแดง อี 3 - ลักษณะของลูกบอลสีน้ำเงิน อี 4 , อี 5 , อี 6 , อี 7 - ลักษณะ ลูกบอลสีขาว. ในตัวอย่างของเรา เหตุการณ์ อี 1 , อี 2 ,... อี 7 - จับคู่กันไม่ได้ นอกจากนี้ พวกเขายังมีโอกาสพอๆ กันในการทดสอบนี้อีกด้วย ปล่อยให้เหตุการณ์ และคือลูกบอลที่สุ่มหยิบออกมาจากโกศกลายเป็นสี (แดงหรือน้ำเงิน)

ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เหตุการณ์ที่เราสนใจ และมาเรียกว่า ผลลัพธ์ที่ดี เหตุการณ์ และ. ในตัวอย่างของเรา ผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ และเป็นผล อี 1 , อี 2 และ อี 3 . มีเหตุผลเป็นตัวชี้วัดความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น และนั่นคือความน่าจะเป็น ร(และ), ยอมรับจำนวนที่เท่ากับอัตราส่วนของผลลัพธ์ที่สนับสนุนการเกิดเหตุการณ์ และ,เพื่อผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในตัวอย่างของเรา

รตัวอย่างข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของความน่าจะเป็น ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่า คลาสสิก .

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และเรียกว่าอัตราส่วนของจำนวน มผลดีสำหรับเหตุการณ์นี้เพื่อ จำนวนทั้งหมด นทั้งหมด ผลลัพธ์เบื้องต้น:

ร(และ) = . (1.4.4)

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นทำหน้าที่ได้ดี แบบจำลองทางคณิตศาสตร์การทดลองสุ่มเหล่านั้น จำนวนผลลัพธ์มีจำกัด และผลลัพธ์เองก็มีความเป็นไปได้เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2. วิ่ง ลูกเต๋า. จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ไม่เกินสี่แต้ม

การตัดสินใจ. จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด น= 6 (ทอยได้ 1, 2, 3, 4, 5, 6) ในบรรดาผลลัพธ์เหล่านี้สนับสนุนเหตุการณ์ และ(ตกไม่เกินสี่แต้ม) ออกแค่สี่แต้มเท่านั้น ม= 4. ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 3. ความน่าจะเป็นในการเดาตัวเลข 4 ตัวโดยกรอกการ์ดล็อตโต้กีฬา "6" จาก "49" เป็นเท่าใด

การตัดสินใจ. จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นของประสบการณ์เท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถขีดฆ่า 6 ตัวเลขจาก 49 ออก นั่นคือ น = ค. มาหาเลขกันเถอะผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ที่เราสนใจ
และ= (เดา 4 หมายเลข) สามารถขีดฆ่า 4 หมายเลขจาก 6 หมายเลขได้ คส่วนเลขสองตัวที่เหลือต้องไม่ถูกรางวัล คุณสามารถขีดฆ่าหมายเลขผิด 2 หมายเลขจากหมายเลขที่ไม่ชนะ 43 หมายเลข ควิธี ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่ดี ม = ค× ค. เมื่อพิจารณาว่าผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบนั้นเข้ากันไม่ได้และเป็นไปได้เท่ากัน เราค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก:

พี(เอ) =

ตัวอย่างที่ 4ดำเนินการโดยการสุ่ม หมายเลขโทรศัพท์ประกอบด้วย 5 หลัก ความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในนั้นมากเพียงใด: 1) ตัวเลขทั้งหมดแตกต่างกัน 2) ตัวเลขทั้งหมดเป็นเลขคี่หรือไม่?

การตัดสินใจ. 1. เนื่องจากแต่ละตำแหน่งจากห้าตำแหน่งในจำนวนห้าหลักสามารถมีตัวเลขใดก็ได้: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ดังนั้นตัวเลขห้าหลักที่แตกต่างกันทั้งหมดจะเป็น 10 5 (00000 - 1 -th, 00001 - 2nd, 00002 -3rd, ..., 99998 - 99999 และสุดท้าย 99999 - 100000) ตัวเลขที่ตัวเลขทั้งหมดต่างกันคือตำแหน่งของ 10 องค์ประกอบของ 5

สูตรสำหรับหมายเลข ตำแหน่งจาก นองค์ประกอบโดย เค:

เค! == n (n - 1) ... (n - k + 1).

ดังนั้นจำนวนกรณีที่ดี ม= = 10× 9× 8× 7× 6 และความน่าจะเป็นที่ต้องการ

พี(เอ) = = 0,3024.

2. จาก 5 เลขคี่ (1, 3, 5, 7, 9) คุณสามารถสร้าง 5 5 ตัวเลขห้าหลักที่แตกต่างกัน 5 5 คือจำนวนผลลัพธ์ที่ดี ม . เนื่องจากทุกกรณีเป็นไปได้เท่าเทียมกัน n= 10 5 , แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P(A) ====0.03125.

ตัวอย่าง 5. ไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) จะถูกแบ่งแบบสุ่มออกเป็นสองห่อๆ ละ 26 แผ่น จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้

และ- ในแต่ละแพ็คจะมีเอซสองตัว

ที่- ในแพ็คหนึ่งจะไม่มีเอซและอีกอันหนึ่ง - ทั้งสี่

กับ- ในหนึ่งแพ็คจะมีเอซหนึ่งตัวและอีกสามตัว

การตัดสินใจ. จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ของการทดสอบจะเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถจั่วไพ่ได้ 26 ใบจาก 52 ใบ นั่นคือ จำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ 52 ถึง 26 น= . ตัวเลข เหตุการณ์ที่ดี และกรณี
ม= (ตามกฎพื้นฐานของ combinatorics) โดยที่ปัจจัยแรกแสดงให้เห็นว่าเอซสองในสี่สามารถรับได้ ปัจจัยที่สองแสดงว่าไพ่ที่เหลืออีก 24 ใบนำมาจากไพ่ 48 ใบที่ไม่มีเอซ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ และถึงจำนวนรวมของผลลัพธ์ทั้งหมด:

เหตุการณ์ ที่สามารถรับรู้ได้สองวิธีเท่า ๆ กัน: ในแพ็คแรกจะมีเอซทั้งสี่และในแพ็คที่สอง - ไม่มีหรือในทางกลับกัน:

ในทำนองเดียวกัน:

สังเกตว่า คำนิยามคลาสสิกความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้สำหรับกรณีเมื่อช่องว่าง เหตุการณ์ระดับประถมศึกษาแน่นอน ผลลัพธ์และการทดลองทั้งหมดเป็นไปได้เท่ากันและเข้ากันไม่ได้

งาน 174tv

ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก
b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

งาน 176tv

โกศมีลูกบอลสีดำ 6 ลูกและสีขาว 5 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มี:
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก
b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

งาน178tv

โกศบรรจุลูกบอลสีดำ 4 ลูกและสีขาว 5 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มี:
ก) ลูกบอลสีขาว 2 ลูก
b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 2 ลูก;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

งาน180tv

โกศมีลูกบอลสีดำ 6 ลูกและสีขาว 7 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มี:
ก) ลูกบอลสีขาว 4 ลูก
b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 4 ลูก;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

งาน 184tv

โกศมีลูกบอลสีดำ 8 ลูกและสีขาว 6 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มี:
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก
b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

งาน 186tv

โกศบรรจุลูกบอลสีดำ 4 ลูกและสีขาว 6 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มี:
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก
b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

งาน 188tv

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 5 ลูกและสีขาว 6 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มี:
ก) ลูกบอลสีขาว 4 ลูก
b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 4 ลูก;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

จากโกศที่พวกเขาอยู่ ลูกรวมถึง ดำขาวดึงออกมาโดยไม่ตั้งใจ ลูก ความน่าจะเป็นที่จะมีในหมู่พวกเขาคืออะไร ลูกขาวดำ?

ตัวอย่างที่ 1 ในโกศแรก: ลูกบอลสีแดงสามลูก สีขาวหนึ่งลูก ในโกศที่สอง: ลูกบอลสีแดงหนึ่งลูก สีขาวสามลูก เหรียญถูกโยนแบบสุ่ม: หากเลือกเสื้อคลุมแขนจากโกศแรกมิฉะนั้นจากโกศที่สอง
การตัดสินใจ:
ก) ความน่าจะเป็นที่จะวาดลูกบอลสีแดง
A - ได้ลูกบอลสีแดง
P 1 - เสื้อคลุมแขนหลุดออก P 2 - อย่างอื่น

b) เลือกลูกบอลสีแดง จงหาความน่าจะเป็นที่จะนำมาจากโกศแรก จากโกศที่สอง
B 1 - จากโกศแรก B 2 - จากโกศที่สอง
,

ตัวอย่างที่ 2 มีลูกบอล 4 ลูกในกล่อง สามารถเป็น: สีขาวเท่านั้น สีดำเท่านั้น หรือ สีขาวและสีดำ (ไม่ทราบองค์ประกอบ).
การตัดสินใจ:
A คือความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวจะปรากฏขึ้น
ก) สีขาวทั้งหมด:
(ความน่าจะเป็นหนึ่งในสามตัวเลือกที่มีสีขาวถูกจับได้)
(ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้นโดยที่ทั้งหมดเป็นสีขาว)

b) ดึงออกมาในที่ที่ทุกคนดำ



c) ดึงตัวแปรออกมาโดยที่ทั้งหมดเป็นสีขาวหรือ/และสีดำ

- อย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นสีขาว

P a + P b + P c =

ตัวอย่างที่ 3 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 4 ลูก ลูกบอล 2 ลูกถูกนำออกมาติดต่อกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาว
การตัดสินใจ:
สีขาว 5 ลูก สีดำ 4 ลูก
P(A 1) - วาดลูกบอลสีขาว

P(A 2) คือความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่สองเป็นสีขาวเช่นกัน

P(A) – เลือกลูกบอลสีขาวในแถว

ตัวอย่างที่ 3a มีธนบัตรปลอม 2 ใบและธนบัตรจริง 8 ใบในแพ็ค ธนบัตร 2 ใบถูกดึงออกมาจากซองติดต่อกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสองจะเป็นเท็จ
การตัดสินใจ:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

ตัวอย่างที่ 4 มี 10 โกศ 9 โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 2 ลูกและสีขาว 2 ลูก มี 5 สีขาวและสีดำ 1 ใน 1 โกศ ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศโดยการสุ่ม
การตัดสินใจ:
พ(ก)-? ลูกบอลสีขาวถูกนำมาจากโกศที่มีสีขาว 5 ลูก
B - ความน่าจะเป็นที่จะถูกนำออกจากโกศโดยที่ 5 เป็นสีขาว
, - นำออกมาจากผู้อื่น
C 1 - ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของลูกบอลสีขาวในระดับ 9

C 2 - ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้นซึ่งมี 5 ลูก

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

ตัวอย่างที่ 5 ลูกกลิ้งทรงกระบอก 20 ลูก และลูกกลิ้งทรงกรวย 15 ลูก ตัวเลือกใช้ลูกกลิ้ง 1 อันและอีกอัน
การตัดสินใจ:
ก) ลูกกลิ้งทั้งสองเป็นทรงกระบอก
ป(ค 1)=; พี(ซี 2)=
C 1 - กระบอกแรก C 2 - กระบอกที่สอง
P(A)=P(C 1)P(C 2) =
b) อย่างน้อยหนึ่งกระบอก
K 1 - กรวยแรก
K 2 - กรวยที่สอง
P(B)=P(C 1)P(K 2)+P(C 2)P(K 1)+P(C 1)P(C 2)
;

c) กระบอกแรกและกระบอกที่สองไม่ใช่
P(C)=P(C 1)P(K 2)

จ) ไม่ใช่กระบอกเดียว
P(D)=P(K 1)P(K 2)

จ) 1 กระบอกพอดี
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

ตัวอย่างที่ 6 มีชิ้นส่วนมาตรฐาน 10 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้นในกล่องเดียว
สุ่มจับสามชิ้น
ก) หนึ่งในนั้นมีข้อบกพร่อง
P n (K)=C n k p k คิว n-k ,
P คือความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง

q คือความน่าจะเป็นของชิ้นส่วนมาตรฐาน

n=3 สามส่วน


b) สองในสามส่วนมีข้อบกพร่อง P(2)
c) อย่างน้อยหนึ่งมาตรฐาน
P(0) - ไม่มีข้อบกพร่อง

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งส่วนจะเป็นมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 7 . โกศที่ 1 มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 3 ลูก และโกศที่ 2 มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 4 ลูก ลูกบอล 2 ลูกถูกถ่ายโอนจากโกศที่ 1 ไปยังโกศที่ 2 โดยไม่ต้องมอง จากนั้นลูกบอล 2 ลูกจะถูกดึงจากโกศที่ 2 อะไรคือความน่าจะเป็นที่พวกเขา สีที่ต่างกัน?
การตัดสินใจ:
เมื่อย้ายลูกบอลจากโกศแรก มีตัวเลือกดังต่อไปนี้:
ก) จับลูกบอลสีขาว 2 ลูกติดต่อกัน
P WB 1 =
จะมีลูกบอลน้อยกว่าหนึ่งลูกเสมอในขั้นตอนที่สอง เนื่องจากลูกบอลหนึ่งลูกถูกนำออกไปแล้วในขั้นตอนแรก
b) ลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำหนึ่งลูกถูกดึงออกมา
สถานการณ์เมื่อลูกบอลสีขาวถูกดึงก่อน จากนั้นจึงจับลูกบอลสีดำ
พ.ศ. =
สถานการณ์เมื่อจับลูกบอลสีดำก่อน จากนั้นจึงจับลูกบอลสีขาว
พี บีดับบลิว =
รวม: P CU 1 =
c) ลูกบอลสีดำ 2 ลูกถูกดึงติดต่อกัน
พี เอช 1 =
เนื่องจากลูกบอล 2 ลูกถูกย้ายจากโกศแรกไปยังโกศที่สองแล้ว ปริมาณทั้งหมดลูกบอลในโกศที่สองจะเป็น 9 (7 + 2) ดังนั้นเราจะมองหาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
ก) ขั้นแรกให้ดึงลูกบอลสีขาวและสีดำจากโกศที่สอง

P BC 2 P BB 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงขึ้นมาก่อน จากนั้นจึงจับลูกบอลสีดำ โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาว 2 ลูกถูกดึงออกมาจากโกศแรกติดต่อกัน นั่นคือเหตุผลที่จำนวนลูกบอลสีขาวในกรณีนี้คือ 5 (3+2)
P BC 2 P BC 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวก่อน จากนั้นจึงจับลูกบอลสีดำ โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาวและสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก นั่นคือเหตุผลที่จำนวนลูกบอลสีขาวในกรณีนี้คือ 4 (3+1) และจำนวนลูกบอลสีดำคือ 5 (4+1)
P BC 2 P BC 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกหยิบออกมาก่อน จากนั้นจึงนำลูกบอลสีดำออก โดยที่ลูกบอลสีดำทั้งสองถูกนำออกจากโกศแรกติดต่อกัน นั่นคือเหตุผลที่จำนวนของลูกบอลสีดำในกรณีนี้คือ 6 (4+2)

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ลูกที่จับออกมาจะมีสีต่างกันเท่ากับ:

คำตอบ: P = 0.54

ตัวอย่างที่ 7a จากโกศที่ 1 ที่มีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 3 ลูก ลูกบอล 2 ลูกจะถูกสุ่มส่งไปยังโกศที่ 2 ซึ่งมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 6 ลูก จากนั้นสุ่มจับลูกบอล 1 ลูกจากเทิร์นที่ 2
1) ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่ดึงออกมาจากโกศ 2 เป็นสีขาวคืออะไร?
2) ลูกบอลที่ดึงออกมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกย้ายจากโกศ 1 ไปยังโกศ 2 สีที่ต่างกัน.
การตัดสินใจ.
1) เหตุการณ์ A - ลูกบอลที่ดึงออกมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว พิจารณาตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการเกิดเหตุการณ์นี้
ก) วางลูกบอลสีขาวสองลูกจากโกศแรกไปยังลูกที่สอง: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56
มีลูกบอลสีขาว 4 ลูกในโกศที่สอง จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศที่สองคือ P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) วางลูกบอลสีขาวและสีดำจากโกศแรกไปยังโกศที่สอง: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56
มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกอยู่ในโกศที่สอง จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวจากโกศที่สองคือ P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
ค) วางลูกบอลสีดำสองลูกจากโกศแรกไปยังลูกที่สอง: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56
มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกอยู่ในโกศที่สอง จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศที่สองคือ P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
จากนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่ดึงออกมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาวเท่ากับ:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) ลูกบอลที่ดึงออกมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาวนั่นคือ ความน่าจะเป็นอย่างเต็มที่เท่ากับ P(A)=13/32
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่มีสีต่างกัน (ขาวดำ) ถูกย้ายไปยังโกศที่สองและสีขาวถูกเลือก: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

ตัวอย่าง 7b โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและสีดำ 3 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 3 ลูก หนึ่งลูกจะถูกสุ่มเลือกจากลูกแรก และสองลูกจากลูกที่สอง หลังจากนั้น ลูกบอลหนึ่งลูกจะถูกสุ่มจากสามลูกที่เลือก ลูกสุดท้ายนี้กลายเป็นสีดำ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกเลือกจากโกศแรก
การตัดสินใจ.
ลองพิจารณารูปแบบต่างๆ ทั้งหมดของเหตุการณ์ A - จากลูกบอลสามลูก ลูกบอลที่จับออกมาเป็นสีดำ เป็นไปได้อย่างไรที่ลูกบอลทั้งสามลูกเป็นสีดำ?
ก) ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวสองลูกถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก และลูกบอลสีดำสองลูกถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวและสีดำหนึ่งลูกถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาจากโกศแรก และลูกบอลสีดำสองลูกถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
จ) ลูกบอลสีขาวถูกนำออกจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำหนึ่งลูกถูกนำออกจากโกศที่สอง
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
ความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกเลือกจากโกศสีขาวคือ:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
จากนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกเลือกจากโกศแรก โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกเลือกจากลูกบอลสามลูก จะเท่ากับ:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

ตัวอย่าง 7c โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 12 ลูกและสีดำ 16 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและสีดำ 10 ลูก ในเวลาเดียวกัน ลูกบอลจะถูกดึงจากโกศที่ 1 และ 2 ผสมและส่งคืนทีละลูกไปยังแต่ละโกศ จากนั้นจะมีการดึงลูกบอลจากโกศแต่ละอัน พวกเขากลายเป็นสีเดียวกัน กำหนดความน่าจะเป็นที่มีลูกบอลสีขาวเหลืออยู่ในโกศที่ 1 เท่าที่มีในตอนแรก

การตัดสินใจ.
เหตุการณ์ A - ในเวลาเดียวกัน มีการดึงลูกบอลจากโกศที่ 1 และ 2
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศแรก: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำจากโกศแรก: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศที่สอง: P2(B) = 8/18 = 4/9
ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำจากโกศที่สอง: P2(H) = 10/18 = 5/9

เหตุการณ์ A เกิดขึ้น เหตุการณ์ B - ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศแต่ละอัน หลังจากสับแล้ว ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวหรือสีดำจะกลับเข้าโกศคือ ½
พิจารณาตัวแปรของเหตุการณ์ B ซึ่งกลายเป็นสีเดียวกัน

สำหรับโกศแรก
1) ลูกบอลสีขาวถูกวางไว้ในโกศแรก และลูกบอลสีขาวถูกดึงขึ้นมา โดยก่อนหน้านี้ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) ลูกบอลสีขาวถูกวางในโกศแรกและลูกบอลสีขาวถูกดึงขึ้น โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกดึงก่อนหน้านี้ P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) ลูกบอลสีขาวถูกวางไว้ในโกศแรกและลูกบอลสีดำถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาวถูกดึงมาก่อนหน้านี้ P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) ลูกบอลสีขาวถูกวางไว้ในโกศแรกและลูกบอลสีดำถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกดึงก่อนหน้านี้ P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) ลูกบอลสีดำถูกวางในโกศแรกและลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาวถูกดึงมาก่อนหน้านี้ P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) ลูกบอลสีดำถูกวางไว้ในโกศแรกและลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกดึงมาก่อนหน้านี้ P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) ลูกบอลสีดำถูกวางในโกศแรก และลูกบอลสีดำถูกดึงออกมา โดยก่อนหน้านี้มีการจับลูกบอลสีขาว P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) ลูกบอลสีดำถูกวางไว้ในโกศแรก และลูกบอลสีดำถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกดึงก่อนหน้านี้ P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

สำหรับโกศที่สอง
1) ลูกบอลสีขาวถูกวางไว้ในโกศแรก และลูกบอลสีขาวถูกดึงขึ้นมา โดยก่อนหน้านี้ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) ลูกบอลสีขาวถูกวางในโกศแรก และลูกบอลสีขาวถูกดึงขึ้น โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกดึงก่อนหน้านี้ P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) ลูกบอลสีขาวถูกวางไว้ในโกศแรกและลูกบอลสีดำถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาวถูกดึงก่อนหน้านี้ P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) ลูกบอลสีขาวถูกวางไว้ในโกศแรกและลูกบอลสีดำถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกดึงก่อนหน้านี้ P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) ลูกบอลสีดำถูกวางในโกศแรกและลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาวถูกดึงมาก่อนหน้านี้ P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) ลูกบอลสีดำถูกวางในโกศแรกและลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำถูกดึงมาก่อนหน้านี้ P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) ลูกบอลสีดำถูกวางไว้ในโกศแรก และลูกบอลสีดำถูกดึงออกมา โดยก่อนหน้านี้มีการจับลูกบอลสีขาว P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) ลูกบอลสีดำถูกวางในโกศแรก และลูกบอลสีดำถูกดึงขึ้นมา หากลูกบอลสีดำถูกดึงก่อนหน้านี้ P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

ลูกบอลกลายเป็นสีเดียวกัน:
ก) สีขาว
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
ข) สีดำ
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

ตัวอย่าง 7g. กล่องแรกมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีน้ำเงิน 4 ลูก ลูกที่สอง 3 และ 1 และลูกที่สาม 4 และ 5 ตามลำดับ กล่องถูกสุ่มเลือกและลูกบอลที่จับออกมาจะกลายเป็นสีน้ำเงิน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้มาจากกล่องที่สองเป็นเท่าใด

การตัดสินใจ.
A - เหตุการณ์สกัดลูกโป่งสีน้ำเงิน พิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ของเหตุการณ์ดังกล่าว
H1 - ดึงบอลจากกล่องแรก
H2 - ดึงลูกบอลจากกล่องที่สอง
H3 - ลูกบอลที่ดึงออกมาจากกล่องที่สาม
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
ตามสภาพของปัญหา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ A คือ:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้มาจากกล่องที่สองคือ:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

ตัวอย่างที่ 8 . กล่องห้ากล่องมีลูกบอล 30 ลูก แต่ละกล่องมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก (นี่คือกล่ององค์ประกอบ H1) กล่องอีกหกกล่องที่มีลูกบอล 20 ลูก แต่ละกล่องมีลูกบอลสีแดง 4 ลูก (นี่คือกล่ององค์ประกอบ H2) ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีลูกบอลสีแดงสุ่มอยู่ในหนึ่งในห้ากล่องแรก
วิธีแก้ปัญหา: งานของการใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

ความน่าจะเป็นนั้น ใดๆลูกบอลที่รับอยู่ในหนึ่งในห้ากล่องแรก:
P(H 1) = 5/11
ความน่าจะเป็นนั้น ใดๆลูกบอลที่ถูกบรรจุอยู่ในหนึ่งในหกกล่อง:
P(H 2) = 6/11
เหตุการณ์เกิดขึ้น - ลูกบอลสีแดงถูกดึงออกมา ดังนั้นสิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้สองกรณี:
ก) ดึงออกมาจากห้ากล่องแรก
P 5 = ลูกบอลสีแดง 5 ลูก * 5 กล่อง / (30 ลูก * 5 กล่อง) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) ดึงออกมาจากอีกหกกล่อง
P 6 = ลูกบอลสีแดง 4 ลูก * 6 กล่อง / (20 ลูก * 6 กล่อง) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
รวม: P(P 5 /H 1) + P (P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีแดงสุ่มอยู่ในกล่องใดกล่องหนึ่งจากห้ากล่องแรกคือ:
พี เค.เอส. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P (P 5 /H 1) + P (P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

ตัวอย่างที่ 9 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีดำ 3 ลูก และสีแดง 4 ลูก สุ่มจับลูกบอลสามลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลอย่างน้อยสองลูกมีสีเดียวกันเป็นเท่าใด
การตัดสินใจ. มีสามผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์:
ก) ในบรรดาลูกบอลสามลูกที่สุ่มออกมา มีลูกบอลสีขาวอย่างน้อยสองลูก
P b (2) = P 2b
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการทดลองเหล่านี้เท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถดึงลูกบอล 3 ลูกจาก 9 ลูก:

จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ใน 3 ลูกเป็นสีขาว

จำนวนตัวเลือกให้เลือกจากลูกบอลสีขาว 2 ลูก:

จำนวนตัวเลือกให้เลือกอีก 7 ลูก ลูกที่สาม:

b) ในบรรดาลูกบอลสามลูกที่สุ่มออกมา มีอย่างน้อยสองลูกที่เป็นสีดำ (เช่น สีดำ 2 ลูกหรือสีดำ 3 ลูก)
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ใน 3 ลูกเป็นสีดำ

จำนวนตัวเลือกให้เลือกจากลูกบอลสีดำ 3 ลูก:

จำนวนตัวเลือกให้เลือกจาก 6 ลูกอื่น ๆ ของลูกเดียว:


P 2h = 0.214
ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกทั้งหมดเป็นสีดำ

พีเอช (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

ค) ในบรรดาลูกบอลสามลูกที่จับฉลาก มีสีแดงอย่างน้อยสองลูก (เช่น สีแดง 2 ลูกหรือสีแดง 3 ลูก)
ลองหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 3 ลูกที่เลือก 2 ลูกเป็นสีแดง

จำนวนตัวเลือกให้เลือกจากลูกบอลสีดำ 4 ลูก:

จำนวนตัวเลือกให้เลือกจากลูกบอลสีขาว 5 ลูก เหลือสีขาว 1 ลูก:


จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกทั้งหมดเป็นสีแดง

P ถึง (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
จากนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกบอลอย่างน้อยสองลูกจะมีสีเดียวกันคือ: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

ตัวอย่างที่ 10 . โกศแรกบรรจุลูกบอล 10 ลูก โดย 7 ลูกเป็นสีขาว โกศที่สองบรรจุลูกบอล 20 ลูก โดย 5 ลูกเป็นสีขาว สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละโกศ จากนั้นสุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากสองลูกนี้ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว
การตัดสินใจ. ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงจากโกศแรกคือ P(b)1 = 7/10 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำคือ P(h)1 = 3/10
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาจากโกศที่สองคือ P(b)2 = 5/20 = 1/4 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำคือ P(h)2 = 15/20 = 3/4
เหตุการณ์ A - ลูกบอลสีขาวถูกนำมาจากลูกบอลสองลูก
พิจารณาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ A

1. ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง จากนั้นลูกบอลสีขาวก็ถูกดึงออกมาจากลูกบอลทั้งสองนี้ P1=7/10*1/4=7/40
2. ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาจากโกศแรก และลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง จากนั้นลูกบอลสีขาวก็ถูกดึงออกมาจากลูกบอลทั้งสองนี้ P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง จากนั้นลูกบอลสีขาวก็ถูกดึงออกมาจากลูกบอลทั้งสองนี้ P3=3/10*1/4=3/40

ดังนั้นความน่าจะเป็นสามารถหาได้จากผลรวมของความน่าจะเป็นข้างต้น
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

ตัวอย่างที่ 11 . ในกล่องมี n ลูกเทนนิส ของพวกเขาเล่นม. สำหรับเกมแรก พวกเขาสุ่มหยิบลูกบอลสองลูกแล้วนำกลับไปหลังจบเกม สำหรับเกมที่สอง พวกเขาก็สุ่มจับได้สองลูกเช่นกัน ความน่าจะเป็นที่เกมที่สองจะเล่นด้วยลูกบอลใหม่คืออะไร?
การตัดสินใจ. พิจารณาเหตุการณ์ A - เกมนี้เล่นเป็นครั้งที่สองด้วยลูกบอลใหม่ มาดูกันว่าเหตุการณ์ใดที่นำไปสู่สิ่งนี้ได้บ้าง
แสดงด้วย g = n-m จำนวนลูกใหม่ก่อนที่จะดึงออก
ก) มีการจับลูกบอลใหม่สองลูกสำหรับเกมแรก
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) สำหรับเกมแรก พวกเขาดึงลูกบอลใหม่ออกมาหนึ่งลูกและอีกลูกหนึ่งเล่นไปแล้ว
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 มก./(n(n-1))
c) สำหรับเกมแรก ดึงลูกบอลที่เล่นแล้วสองลูกออกมา
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

พิจารณาเหตุการณ์ของเกมที่สอง
ก) ลูกบอลใหม่สองลูกถูกจับโดยให้ P1: เนื่องจากลูกบอลใหม่ถูกจับมาแล้วในเกมแรก ดังนั้นสำหรับเกมที่สองจำนวนจึงลดลง 2, g-2
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*ก(ก-1)/(น(n-1))
b) จับลูกบอลใหม่สองลูก ขึ้นอยู่กับ P2: เนื่องจากมีการจับลูกบอลใหม่หนึ่งลูกสำหรับเกมแรก ดังนั้นสำหรับเกมที่สองจำนวนจึงลดลง 1 g-1
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2มก. /(n(n-1))
c) พวกเขาดึงลูกบอลใหม่สองลูกออกมา โดย P3: เนื่องจากไม่มีการใช้ลูกบอลใหม่ในเกมแรก จำนวนจึงไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับเกมที่สอง g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (น-1))

ความน่าจะเป็นทั้งหมด P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
คำตอบ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

ตัวอย่างที่ 12 . กล่องที่หนึ่ง สอง และสามมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก กล่องที่สี่และห้ามีลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 1 ลูก กล่องสุ่มเลือกและดึงลูกบอลออกมา อะไรคือความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่เลือกกล่องที่สี่หรือห้าหากลูกบอลที่จับเป็นสีขาว?
การตัดสินใจ.
ความน่าจะเป็นที่จะเลือกแต่ละช่องคือ P(H) = 1/5
พิจารณาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A - การวาดลูกบอลสีขาว
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่จะวาดลูกบอลสีขาว:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกกล่องที่สี่
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่เลือกกล่องที่ห้า
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
ดังนั้น ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่เลือกกล่องที่สี่หรือห้าคือ
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

ตัวอย่างที่ 13 . โกศมีลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีแดง 4 ลูก จากนั้นใส่ลูกบอลสีขาวหรือสีแดงหรือสีดำอีกลูกลงในโกศและหลังจากผสมแล้วหนึ่งลูกก็นำออกมา เขากลายเป็นสีแดง อะไรคือความน่าจะเป็นที่ a) วางลูกบอลสีแดง? ข) ลูกบอลสีดำ?
การตัดสินใจ.
ก) ลูกบอลสีแดง
เหตุการณ์ A - ลูกบอลสีแดงถูกดึงออกมา เหตุการณ์ H - วางลูกบอลสีแดง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีแดงถูกวางในโกศ P(H=K) = 1 / 3
จากนั้น P(A|H=K)= 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0.139
b) ลูกบอลสีดำ
เหตุการณ์ A - ลูกบอลสีแดงถูกดึงออกมา เหตุการณ์ H - วางลูกบอลสีดำ
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีดำถูกวางในโกศคือ P(H=H) = 1/3
จากนั้น P(A|H=H)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

ตัวอย่างที่ 14 . มีสองโกศกับลูกบอล ลูกหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 10 ลูกและสีน้ำเงิน 5 ลูก อีกลูกมีลูกบอลสีแดง 5 ลูกและสีน้ำเงิน 7 ลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีแดงจะถูกสุ่มจับจากโกศแรกและลูกบอลสีน้ำเงินจากโกศที่สองโดยสุ่มเป็นเท่าใด
การตัดสินใจ.ปล่อยให้เหตุการณ์ A1 - ลูกบอลสีแดงถูกดึงออกมาจากโกศแรก A2 - ลูกบอลสีน้ำเงินถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง:
,
เหตุการณ์ A1 และ A2 เป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมกัน A1 และ A2 เท่ากับ

ตัวอย่างที่ 15 . มีสำรับไพ่ (36 ชิ้น) ไพ่สองใบจะถูกสุ่มออกมา ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสองใบที่จั่วออกมาเป็นสีแดงเป็นเท่าไหร่?
การตัดสินใจ.ให้เหตุการณ์ A 1 เป็นไพ่ใบแรกของชุดสีแดง เหตุการณ์ A 2 - ไพ่ใบที่สองของชุดสีแดง B - ไพ่ชุดแดงที่จั่วได้ทั้งสองใบ เนื่องจากทั้งเหตุการณ์ A 1 และเหตุการณ์ A 2 ต้องเกิดขึ้น ดังนั้น B = A 1 · A 2 เหตุการณ์ A 1 และ A 2 ขึ้นอยู่กับ ดังนั้น P(B) :
,
จากที่นี่

ตัวอย่างที่ 16 . สองโกศบรรจุลูกบอลที่แตกต่างกันเฉพาะสีและในโกศแรกมีลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีดำ 11 ลูกและสีแดง 8 ลูก และลูกที่สอง 10, 8, 6 ลูกตามลำดับ สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากทั้งสองโกศ ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองสีเหมือนกันคืออะไร?
การตัดสินใจ.ให้ดัชนี 1 หมายถึง สีขาว, ดัชนี 2 - สีดำ; 3 - สีแดง ปล่อยให้เหตุการณ์ A i - ลูกบอลสี i-th ถูกดึงออกมาจากโกศแรก เหตุการณ์ Bj - ลูกบอลสี j ถูกนำมาจากโกศที่สอง เหตุการณ์ A - ลูกบอลทั้งสองมีสีเดียวกัน
ก \u003d ก 1 ข 1 + ก 2 ข 2 + ก 3 ข 3. เหตุการณ์ A i และ B j เป็นอิสระต่อกัน ในขณะที่ A i · B i และ A j · B j เข้ากันไม่ได้สำหรับ i ≠ j เพราะเหตุนี้,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

ตัวอย่างที่ 17 . จากโกศที่มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 2 ลูกจะถูกดึงออกมาทีละลูกจนกระทั่งสีดำปรากฏขึ้น ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศเป็นเท่าไหร่? 5 ลูก?
การตัดสินใจ.
1) ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศ (เช่น ลูกที่สามจะเป็นสีดำ และ 2 ลูกแรกจะเป็นสีขาว)
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) ความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 5 ลูกจะถูกดึงออกจากโกศ
สถานการณ์ดังกล่าวเป็นไปไม่ได้เพราะ ลูกบอลสีขาวเพียง 3 ลูก
พี = 0

งาน #1

เหตุการณ์สุ่ม

6 ตัวเลือก

งาน 1.1โยนสามเหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ "ตราอาร์ม" ปรากฏบนเหรียญเพียงสองเหรียญ

ตรวจสอบเหตุการณ์ A - มีเพียงสองเหรียญจากสามเหรียญเท่านั้นที่จะมีตราแผ่นดิน เหรียญมี 2 ด้าน ซึ่งหมายความว่าจะมี 8 เหตุการณ์เมื่อโยนเหรียญ 3 เหรียญ ใน 3 กรณี จะมีเพียง 2 เหรียญเท่านั้นที่มีตราอาร์ม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คำนวณโดยใช้สูตร:

P(A) = ม./น. = 3/8.

ตอบ: ความน่าจะเป็น 3/8.

งาน 1.2คำว่า EVENT ประกอบด้วยการ์ดซึ่งแต่ละใบมีตัวอักษรหนึ่งตัวเขียนอยู่ จากนั้นไพ่จะถูกผสมและนำออกมาโดยไม่คืนทีละใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรถูกดึงออกมาตามลำดับของคำที่กำหนด

การทดสอบประกอบด้วยการนำการ์ดที่มีตัวอักษรออกแบบสุ่มโดยไม่ต้องส่งคืน เหตุการณ์เบื้องต้นคือลำดับของจดหมายที่ได้รับ เหตุการณ์ A คือการได้รับ คำที่เหมาะสมเหตุการณ์ . เหตุการณ์ระดับประถมศึกษาเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษร 7 ตัว ซึ่งหมายความว่าตามสูตรเรามี n= 7!

ตัวอักษรในคำว่า EVENT จะไม่ซ้ำกัน ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนจึงเป็นไปไม่ได้โดยที่คำนั้นไม่เปลี่ยนแปลง จำนวนของพวกเขาคือ 1

ดังนั้น,

P(A) = 1/7! = 1/5040.

ตอบ: P(A) = 1/5040.

ภารกิจ 1.3.เช่นเดียวกับในปัญหาก่อนหน้านี้ ค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันของกรณีที่คำที่กำหนดคือคำว่า ANTONOV ILYA

ปัญหานี้แก้ไขได้เหมือนกับปัญหาก่อนหน้า

n=11!; M = 2!*2! = 4.

P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

ตอบ: P(A)=1/9979200.

ภารกิจ 1.4.โกศมีลูกบอลสีดำ 8 ลูกและสีขาว 6 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มี:

ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก

b) ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก;

c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

8 ชั่วโมง การทดสอบจะเป็นการสุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ประถมศึกษา

เหตุการณ์ 6 b คือการรวมกันของลูกบอล 5 จาก 14 ลูกที่เป็นไปได้ทั้งหมด จำนวนของพวกเขาคือ

ก) A 1 - ในบรรดาลูกบอลที่จับออกมา 3 ลูกเป็นสีขาว ดังนั้น ในบรรดาลูกบอลที่จับออกมา 3 ลูกเป็นสีขาวและ 2 ลูกเป็นสีดำ เราได้รับโดยใช้กฎการคูณ

P (A 1) \u003d 560/2002 \u003d 280/1001

b) A 2 - ในบรรดาลูกบอลที่จับฉลากมีลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยสามเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:

ใน 1 - ในบรรดาลูกบอลที่จับออกมามีเพียงลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก

B 2 - ในบรรดาลูกบอลที่จับออกมามีเพียงลูกบอลสีขาวและสีดำ 4 ลูกเท่านั้น

ใน 3 - ไม่มีลูกบอลสีขาวสักลูกในบรรดาลูกบอลที่จับฉลาก ทั้ง 5 ลูกเป็นสีดำ:

ใน 2 ใน 3

เนื่องจากเหตุการณ์ B 1 , B 2 และ B 3 เข้ากันไม่ได้ คุณสามารถใช้สูตร:

P (A 2) \u003d P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);

P (A 2) \u003d 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 \u003d 483/1001

- ไม่มีลูกบอลสีขาวในลูกบอลที่จับฉลาก ในกรณีนี้:

พี(เอ 3) = 1 - พี(

) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

ตอบ: P (A 1) \u003d 280/1001, P (A 2) \u003d 483/1001, P (A 3) \u003d 973/1001

ปัญหา 1.6.โกศแรกบรรจุลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 7 ลูก และโกศที่สองบรรจุลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก สุ่มจับลูกบอล 2 ลูกจากโกศแรกและ 2 ลูกจากโกศที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ระหว่างลูกบอลที่จับออกมา:

ก) ลูกบอลที่มีสีเดียวกันทั้งหมด

b) ลูกบอลสีขาวสามลูกเท่านั้น

c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

โกศ 1 โกศ 2 ลูกบอลถูกดึงออกจากโกศทั้งสองอย่างอิสระ การทดลอง

5 b 6 b กำลังวาดลูกบอลสองลูกจากโกศแรกและลูกบอลสองลูก

7h 4h จากโกศที่สอง กิจกรรมระดับประถมศึกษาจะเป็นการรวมกัน

2 หรือ 2 จาก 12 หรือ 10 ลูกตามลำดับ

2 2 a) A 1 - ลูกบอลสีเดียวกันที่จับออกมาทั้งหมด เช่น พวกเขาทั้งหมดเป็นสีขาว

หรือสีดำทั้งหมด

เรากำหนดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับแต่ละโกศ:

ใน 1 - 2 ลูกบอลสีขาวถูกนำออกจากโกศแรก

B 2 - ลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 1 ลูกถูกดึงออกมาจากโกศแรก

ใน 3 - 2 ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก

C 1 - ลูกบอลสีขาว 2 ลูกถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง

C 2 - ลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 1 ลูกถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง

C 3 - ลูกบอลสีดำ 2 ลูกถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง

ดังนั้น A 1 =

ดังนั้นเราจึงได้รับโดยคำนึงถึงความเป็นอิสระและความไม่ลงรอยกันของเหตุการณ์

P (A 1) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3)

ลองหาจำนวนเหตุการณ์เบื้องต้น n 1 และ n 2 สำหรับโกศที่หนึ่งและสองตามลำดับ เรามี:

ค้นหาจำนวนของแต่ละองค์ประกอบของเหตุการณ์ที่กำหนดเหตุการณ์ต่อไปนี้:

ค 1: ม. 21 = ค 2: ม. 22 = ค 3: ม. 23 =

เพราะเหตุนี้,

P (A 1) \u003d 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 \u003d 5/99 + 7/165 \u003d 46/495

b) A 2 - ในบรรดาลูกบอลที่จับฉลากมีเพียง 3 ลูกเท่านั้นที่เป็นสีขาว ในกรณีนี้

ซี 2 (บี 2 ซี 1);

P (A 2) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 2) * P (C 2)

P (A 2) \u003d 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 \u003d 33/99 \u003d 1/3

c) A 3 - ในบรรดาลูกบอลที่จับฉลากมีลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

- ไม่มีลูกบอลสีขาวแม้แต่ลูกเดียวในลูกบอลที่แยกออกมา จากนั้น ) \u003d P (B 3) * P (C 3) \u003d 21/66 * 6/45 \u003d 7/165;

พี(เอ 3) = 1 - พี(

) = 1 - 7/165 = 158/165.

ตอบ: P (A 1) \u003d 46/495, P (A 2) \u003d 1/3, P (A 3) \u003d 158/165

ปัญหา 1.7.โกศบรรจุลูกบอลสีดำและสีขาว 5 ลูก เพิ่มลูกบอลสีขาว 4 ลูกเข้าไป หลังจากนั้นจะมีการสุ่มลูกบอล 3 ลูกจากโกศ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่จับออกมาทั้งหมดเป็นสีขาว โดยสมมติว่าประโยคที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกี่ยวกับเนื้อหาดั้งเดิมของโกศนั้นมีโอกาสเท่าๆ กัน

ที่นี่มีการทดสอบอยู่ 2 ประเภท: อย่างแรก ให้เนื้อหาเริ่มต้นของโกศ จากนั้นสุ่มจับลูกบอลลูกที่ 3 และผลการทดสอบครั้งที่สองขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดสอบแรก ดังนั้นจึงใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

เหตุการณ์ A - สุ่มจับลูกบอลสีขาว 3 ลูก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ขึ้นอยู่กับว่า องค์ประกอบดั้งเดิมลูกในโกศ

พิจารณาเหตุการณ์:

ใน 1 - มีลูกบอลสีขาว 5 ลูกอยู่ในโกศ

ใน 2 - มีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 1 ลูกอยู่ในโกศ

ใน 3 - มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 2 ลูกอยู่ในโกศ

ใน 4 - มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูกอยู่ในโกศ

ที่ 5 - มีลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 4 ลูกอยู่ในโกศ

ที่ 6 - มีลูกบอลสีดำ 5 ลูกอยู่ในโกศ

จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด

ให้เราหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A ภายใต้เงื่อนไขต่างๆ

P (A / B 1) \u003d 1. P (A / B 2) \u003d 56/84 \u003d 2/3 P (A / B 3) \u003d 35/84 \u003d 5/12 P (A / B 4) \u003d 5/21 P (A / B 5) \u003d 5/42 P (A / B 6) \u003d 1/21

P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

ปัญหา 1.10ในร้านประกอบมอเตอร์ไฟฟ้าเชื่อมต่อกับอุปกรณ์ มอเตอร์ไฟฟ้าจัดทำโดยผู้ผลิตสามราย มีมอเตอร์ไฟฟ้าของโรงงานเหล่านี้อยู่ในคลังสินค้าตามลำดับ จำนวน M 1 =13, M 2 =12 และ M 3 = 17 ชิ้น ซึ่งสามารถทำงานได้โดยไม่เกิดข้อผิดพลาดจนสิ้นสุดระยะเวลาการรับประกันโดยมีความน่าจะเป็น 0.91 , 0.82 และ 0.77 ตามลำดับ คนงานสุ่มใช้มอเตอร์ไฟฟ้าหนึ่งตัวและติดตั้งเข้ากับอุปกรณ์ ค้นหาความน่าจะเป็นที่มอเตอร์ไฟฟ้าติดตั้งและทำงานโดยไม่มีข้อผิดพลาดจนกระทั่งสิ้นสุดระยะเวลาการรับประกันโดยผู้ผลิตรายแรก รายที่สอง หรือรายที่สามตามลำดับ