การคำนวณพื้นที่จำลอง 10 ปริพันธ์ที่แน่นอน

ที่จริงแล้ว ในการหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องมากขึ้น ในแง่นี้ จะเป็นประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก และอย่างน้อยที่สุด ก็สามารถสร้างเส้นตรงและไฮเพอร์โบลาได้

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอบซิสซ่า:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลบางตัว. อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก

ในแง่ของเรขาคณิต อินทิกรัลแน่นอนคือ AREA.

นั่นคือ,อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องกับเรขาคณิตกับพื้นที่ของตัวเลขบางส่วน ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลแน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นเท่ากับตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง 1

นี่เป็นคำสั่งงานทั่วไป ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด. ยิ่งกว่านั้นต้องสร้างภาพวาด ขวา.

เมื่อสร้างพิมพ์เขียว ฉันแนะนำลำดับต่อไปนี้: แรกเป็นการดีกว่าที่จะสร้างทุกบรรทัด (ถ้ามี) และเท่านั้น หลังจาก- พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ กราฟฟังก์ชันสร้างกำไรได้มากกว่า ตามจุด

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้
มาวาดรูปกันเถอะ (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ที่ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

ตอบ:

หลังจากทำงานเสร็จแล้ว จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและค้นหาว่าคำตอบนั้นเป็นของจริงหรือไม่ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 ครั้งดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้น - เซลล์ 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างน้อยหนึ่งโหล หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานก็แก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

วิธีการแก้: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากตำแหน่งของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสูตรสามารถหาพื้นที่ได้:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! อย่าสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต มันสามารถเป็นค่าลบได้

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาโรงเรียนที่ง่ายที่สุด เราจะไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของร่างแบนล้อมรอบด้วยเส้น , .

วิธีการแก้: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด หาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม

เป็นการดีที่สุดที่จะไม่ใช้วิธีนี้ถ้าเป็นไปได้.

การสร้างเส้นทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่ค้นพบข้อจำกัดของการบูรณาการราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ในบางครั้ง ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือการสร้างเธรดไม่เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีบางฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรง สามารถพบได้โดยสูตร:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าร่างนั้นอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกนและพูดคร่าวๆ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา จะเห็นได้ชัดเจนว่าในส่วนของพาราโบลานั้นอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

ความสมบูรณ์ของการแก้ปัญหาอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง
ในส่วน ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

วิธีการแก้: มาวาดรูปกันก่อน:

รูปที่เราต้องการหาพื้นที่นั้นถูกแรเงาเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างระมัดระวัง - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจจึงมักเกิด "ความผิดพลาด" ซึ่งคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาด้วยสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการที่พื้นที่ของตัวเลขคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองอัน

จริงๆ:

1) บนส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนเหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถเพิ่ม (และควร) ได้ดังนั้น:

งาน 1(ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง).

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม xOy ให้ตัวเลข (ดูรูป) ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง x \u003d a, x \u003d b (สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของ \ u200b\u200bสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
วิธีการแก้.เรขาคณิตทำให้เรามีสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมและบางส่วนของวงกลม (ส่วน ส่วน) เมื่อใช้การพิจารณาทางเรขาคณิต เราจะสามารถหาเฉพาะค่าโดยประมาณของพื้นที่ที่ต้องการเท่านั้น โดยโต้แย้งดังนี้

มาแบ่งส่วนกัน [a; b] (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง) ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน; พาร์ติชั่นนี้เป็นไปได้ด้วยความช่วยเหลือของจุด x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 ให้เราลากเส้นผ่านจุดเหล่านี้ขนานกับแกน y จากนั้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ให้มาจะถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน เป็น n คอลัมน์แคบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์

พิจารณาแยกคอลัมน์ที่ k นั่นคือ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งฐานเป็นส่วน ลองแทนที่ด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากัน f(x k) (ดูรูป) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ โดยที่ $\Delta x_k $ คือความยาวของส่วน เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาผลิตภัณฑ์ที่รวบรวมเป็นค่าโดยประมาณของพื้นที่ของคอลัมน์ kth

หากตอนนี้เราทำเช่นเดียวกันกับคอลัมน์อื่นๆ ทั้งหมด เราก็มาถึงผลลัพธ์ต่อไปนี้ พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่กำหนดจะเท่ากับพื้นที่ S n ของรูปขั้นบันไดที่ประกอบขึ้นจาก n สี่เหลี่ยมโดยประมาณ (ดูรูป):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ที่นี่เพื่อความสม่ำเสมอของสัญกรณ์เราถือว่า a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - ความยาวเซ็กเมนต์ , $\Delta x_1 $ - ความยาวเซ็กเมนต์ ฯลฯ ; ในขณะที่ตามที่ตกลงกันไว้ข้างต้น $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

ดังนั้น $S \ประมาณ S_n $ และความเท่าเทียมกันโดยประมาณนี้ยิ่งแม่นยำ ยิ่ง n มีขนาดใหญ่ขึ้น
ตามคำจำกัดความจะถือว่าพื้นที่ที่ต้องการของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

งาน2(เกี่ยวกับการย้ายจุด)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง การพึ่งพาความเร็วตรงเวลาแสดงโดยสูตร v = v(t) ค้นหาการกระจัดของจุดในช่วงเวลา [a; ข].
วิธีการแก้.หากการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขอย่างง่าย ๆ : s = vt, i.e. s = วี(b-a). สำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ ต้องใช้แนวคิดเดียวกันกับที่ใช้แก้ปัญหาก่อนหน้านี้
1) แบ่งช่วงเวลา [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน
2) พิจารณาช่วงเวลาและสมมติว่าในช่วงเวลานี้ ความเร็วคงที่ เช่น ที่เวลา t k . ดังนั้นเราจึงถือว่า v = v(t k)
3) ค้นหาค่าโดยประมาณของการกระจัดจุดในช่วงเวลา ค่าโดยประมาณนี้จะแสดงด้วย s k
$s_k = v(t_k) \เดลต้า t_k $
4) ค้นหาค่าโดยประมาณของการกระจัด s:
$s \ประมาณ S_n $ โดยที่
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) การกระจัดที่ต้องการเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

มาสรุปกัน การแก้ปัญหาต่าง ๆ ถูกลดขนาดเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ปัญหามากมายจากสาขาวิชาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ นำไปสู่รูปแบบเดียวกันในกระบวนการแก้ปัญหา ดังนั้น ควรศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้เป็นพิเศษ

แนวคิดของปริพันธ์ที่แน่นอน

ให้เราให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองที่สร้างขึ้นในสามปัญหาที่พิจารณาสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งต่อเนื่องกัน (แต่ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นค่าลบ ตามที่สันนิษฐานไว้ในปัญหาที่พิจารณา) ในส่วน [ ก; ข]:
1) แบ่งส่วน [a; b] เป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน;
2) ผลรวม $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) คำนวณ $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีการพิสูจน์แล้วว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่แล้วในกรณีของฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือต่อเนื่องทีละส่วน) เขาถูกเรียก ปริพันธ์ที่แน่นอนของฟังก์ชัน y = f(x) เหนือเซกเมนต์ [a; ข]และแสดงดังนี้:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
ตัวเลข a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการรวม (ล่างและบนตามลำดับ)

กลับไปที่งานที่กล่าวถึงข้างต้น คำจำกัดความของพื้นที่ที่กำหนดในปัญหาที่ 1 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ที่นี่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่แสดงในรูปด้านบน นี่คืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลแน่นอน

คำจำกัดความของการกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดช่วงเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b ในปัญหาที่ 2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

นิวตัน - สูตรไลบนิซ

เริ่มต้นด้วย มาตอบคำถาม: อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลแน่นอนกับแอนติเดริเวทีฟ?

คำตอบสามารถพบได้ในปัญหาที่ 2 ในด้านหนึ่ง การกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ในช่วงเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b และคำนวณโดย สูตร
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

ในทางกลับกัน พิกัดของจุดเคลื่อนที่คือแอนติเดริเวทีฟของความเร็ว - ให้แทนค่า s(t); ดังนั้นการกระจัด s จึงแสดงโดยสูตร s = s(b) - s(a) เป็นผลให้เราได้รับ:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
โดยที่ s(t) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ v(t)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ [a; b] แล้วสูตร
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f(x)

สูตรนี้มักจะเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบนิซเพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Isaac Newton (1643-1727) และนักปรัชญาชาวเยอรมัน Gottfried Leibniz (1646-1716) ซึ่งได้รับมันอย่างอิสระจากกันและกันและเกือบจะพร้อมกัน

ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเขียน F(b) - F(a) พวกเขาใช้สัญกรณ์ $\left. F(x)\right|_a^b $ (บางครั้งเรียกว่า การทดแทนสองครั้ง) และด้วยเหตุนี้ ให้เขียนสูตร Newton-Leibniz ใหม่ในรูปแบบนี้:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

การคำนวณอินทิกรัลแน่นอน ขั้นแรกให้หาแอนติเดริเวทีฟ แล้วทำการแทนที่แบบทวีคูณ

จากสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ เราสามารถหาสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอนได้สองคุณสมบัติ

ทรัพย์สิน 1อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

ทรัพย์สิน 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ได้:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขระนาบโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อใช้อินทิกรัล คุณสามารถคำนวณพื้นที่ได้ ไม่เพียงแต่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวเลขระนาบของประเภทที่ซับซ้อนกว่าด้วย เช่น พื้นที่ที่แสดงในรูป รูป P ถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x), y = g(x) และบนเซ็กเมนต์ [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ ถือ ในการคำนวณพื้นที่ S ของตัวเลขดังกล่าว เราจะดำเนินการดังนี้:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

ดังนั้น พื้นที่ S ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), y = g(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ และดังนั้น x ใดๆ จาก ส่วน [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ เป็นที่พอใจคำนวณโดยสูตร
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางอย่าง

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

ภารกิจที่ 3 วาดรูปและคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลในการแก้ปัญหาประยุกต์

การคำนวณพื้นที่

อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันต่อเนื่องไม่เป็นลบ f(x) มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y \u003d f (x), แกน O x และเส้นตรง x \u003d a และ x \u003d b ดังนั้นสูตรพื้นที่จึงเขียนดังนี้:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขระนาบ

งานหมายเลข 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2

วิธีการแก้.มาสร้างร่างกัน พื้นที่ที่เราจะต้องคำนวณกัน

y \u003d x 2 + 1 เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้นไปข้างบน และพาราโบลาถูกเลื่อนขึ้นด้านบนหนึ่งหน่วยเทียบกับแกน O y (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 1

งานหมายเลข 2 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1

วิธีการแก้.กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาของกิ่งซึ่งชี้ขึ้น และพาราโบลาถูกเลื่อนลงหนึ่งหน่วยที่สัมพันธ์กับแกน O y (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 1

ภารกิจที่ 3 วาดรูปและคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

y = 8 + 2x - x 2 และ y = 2x - 4

วิธีการแก้.เส้นแรกของสองเส้นนี้คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เป็นลบ และเส้นที่สองเป็นเส้นตรงที่ตัดผ่านแกนพิกัดทั้งสอง

ในการสร้างพาราโบลา ให้หาพิกัดของจุดยอดของมัน: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – จุดยอด abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 คือพิกัด N(1;9) คือจุดยอด

ตอนนี้เราพบจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรงโดยการแก้ระบบสมการ:

เท่ากับด้านขวาของสมการที่มีด้านซ้ายเท่ากัน

เราได้ 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 หรือ x 2 - 12 \u003d 0 จากที่ไหน .

ดังนั้น จุดคือจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรง (ภาพที่ 1)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

มาสร้างเส้นตรง y = 2x - 4 มันผ่านจุด (0;-4), (2; 0) บนแกนพิกัดกัน

ในการสร้างพาราโบลา คุณยังสามารถมีจุดตัดกับแกน 0x นั่นคือรากของสมการ 8 + 2x - x 2 = 0 หรือ x 2 - 2x - 8 = 0 โดยทฤษฎีบท Vieta มันคือ หารากได้ง่าย: x 1 = 2, x 2 = สี่

รูปที่ 3 แสดงรูป (ส่วนพาราโบลา M 1 N M 2) ที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้

ส่วนที่สองของปัญหาคือการหาพื้นที่ของรูปนี้ พื้นที่ของมันสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้สูตร .

สำหรับเงื่อนไขนี้ เราได้รับอินทิกรัล:

2 การคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติ

ปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของเส้นโค้ง y \u003d f (x) รอบแกน O x คำนวณโดยสูตร:

เมื่อหมุนรอบแกน O y สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

งานหมายเลข 4 กำหนดปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x \u003d 0 x \u003d 3 และเส้นโค้ง y \u003d รอบแกน O x

วิธีการแก้.มาสร้างภาพวาดกันเถอะ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 กราฟของฟังก์ชัน y =

ปริมาณที่ต้องการเท่ากับ

งานหมายเลข 5 คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูทรงโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x 2 และเส้นตรง y = 0 และ y = 4 รอบแกน O y

วิธีการแก้.เรามี:

ทบทวนคำถาม

ก)

วิธีการแก้.

ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด.

มาวาดรูปกันเถอะ:

สมการ y=0 กำหนดแกน x;

- x=-2 และ x=1 - ตรงขนานกับแกน อ.;

- y \u003d x 2 +2 - พาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้นไป โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0;2)

ความคิดเห็นในการสร้างพาราโบลา การหาจุดตัดด้วยแกนพิกัดก็เพียงพอแล้วที่จะหาจุดตัด นั่นคือ วาง x=0 หาจุดตัดกับแกน OU และแก้สมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน หาจุดตัดกับแกน โอ้ .

จุดยอดของพาราโบลาสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

คุณสามารถวาดเส้นและชี้ทีละจุด

บนช่วงเวลา [-2;1] กราฟของฟังก์ชัน y=x 2 +2 ตั้งอยู่ เหนือแกน วัว นั่นเป็นเหตุผล:

ตอบ: ส \u003d 9 ตารางหน่วย

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา โอ้?

ข)คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=-e x , x=1 และแกนพิกัด

วิธีการแก้.

มาวาดรูปกันเถอะ

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง อยู่ใต้เพลาอย่างสมบูรณ์ โอ้ , จากนั้นจะหาพื้นที่ได้จากสูตร:

ตอบ: ส=(อี-1) ตร. ยูนิต" 1.72 ตร. ยูนิต

ความสนใจ! อย่าสับสนงานทั้งสองประเภท:

ในทางปฏิบัติส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง

กับ)หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

วิธีการแก้.

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป โดยทั่วไป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด หาจุดตัดของพาราโบลา และกำกับ สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์

เราแก้สมการ:

ดังนั้นขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ a=0 , ขีด จำกัด บนของการบูรณาการ b=3 .

เราสร้างเส้นที่กำหนด: 1. Parabola - จุดยอดที่จุด (1;1); ทางแยกแกน โอ้ -คะแนน (0;0) และ (0;2) 2. เส้นตรง - แบ่งครึ่งของมุมพิกัดที่ 2 และ 4 และตอนนี้โปรดทราบ! ถ้าอยู่ในส่วน [ a;b] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง เอฟ(x)มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางส่วน กรัม(x)จากนั้นสูตรสามารถหาพื้นที่ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องได้: .

และไม่สำคัญว่ารูปจะอยู่ที่ใด - เหนือแกนหรือใต้แกน แต่สิ่งสำคัญคือแผนภูมิใดสูงกว่า (เทียบกับแผนภูมิอื่น) และแผนภูมิใดอยู่ด้านล่าง ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา จะเห็นได้ชัดเจนว่าในส่วนของพาราโบลานั้นอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

เป็นไปได้ที่จะสร้างเส้นทีละจุด ในขณะที่ขอบเขตของการรวมถูกค้นพบราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ในบางครั้ง ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือการสร้างเธรดไม่เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล)

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง

ในส่วนของ ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

ตอบ: ส \u003d 4.5 ตร. ยูนิต

ในบทความนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้การคำนวณแบบอินทิกรัล เป็นครั้งแรกที่เราพบปัญหาดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายเมื่อการศึกษาปริพันธ์บางส่วนเพิ่งเสร็จสิ้นและถึงเวลาที่จะเริ่มการตีความทางเรขาคณิตของความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ

ดังนั้นสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลให้สำเร็จ:

ความสามารถในการวาดภาพวาดอย่างถูกต้อง
ความสามารถในการแก้อินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้สูตร Newton-Leibniz ที่รู้จักกันดี
ความสามารถในการ "มองเห็น" โซลูชันที่ทำกำไรได้มากกว่า นั่นคือ เพื่อทำความเข้าใจว่าในกรณีนี้จะสะดวกกว่าที่จะดำเนินการบูรณาการอย่างไร ตามแกน x (OX) หรือแกน y (OY)?
แล้วไม่มีการคำนวณที่ถูกต้องตรงไหน?) ซึ่งรวมถึงการทำความเข้าใจวิธีแก้อินทิกรัลประเภทอื่นนั้นและการคำนวณเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

1. เราสร้างภาพวาด ขอแนะนำให้ทำเช่นนี้บนแผ่นกระดาษในกรงขนาดใหญ่ เราเซ็นชื่อด้วยดินสอเหนือกราฟแต่ละอันของชื่อฟังก์ชันนี้ ลายเซ็นของกราฟทำขึ้นเพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติมเท่านั้น เมื่อได้รับกราฟของตัวเลขที่ต้องการแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่จะชัดเจนในทันทีว่าจะใช้ขีดจำกัดการรวมแบบใด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาแบบกราฟิก อย่างไรก็ตามมันเกิดขึ้นที่ค่าของขีด จำกัด เป็นเศษส่วนหรือไม่ลงตัว ดังนั้น คุณสามารถทำการคำนวณเพิ่มเติม ไปที่ขั้นตอนที่สอง

2. หากไม่ได้ตั้งค่าขีดจำกัดการรวมไว้อย่างชัดเจน เราจะพบจุดตัดของกราฟซึ่งกันและกัน และดูว่าโซลูชันแบบกราฟิกของเราตรงกับจุดวิเคราะห์หรือไม่

3. ถัดไป คุณต้องวิเคราะห์รูปวาด มีวิธีที่แตกต่างกันในการค้นหาพื้นที่ของรูปทั้งนี้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของกราฟของฟังก์ชัน ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัล

3.1. ปัญหาที่คลาสสิกและง่ายที่สุดคือเมื่อคุณต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร? นี่คือรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน x (ป=0), ตรง x = ก, x = ขและเส้นโค้งใด ๆ ที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาจาก เอก่อน ข. ในขณะเดียวกัน ตัวเลขนี้ไม่เป็นค่าลบและไม่ต่ำกว่าแกน x ในกรณีนี้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ:

ตัวอย่าง 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

เส้นอะไรกำหนดรูป? เรามีพาราโบลา y = x2 - 3x + 3ซึ่งอยู่เหนือแกน โอ้ไม่เป็นลบเพราะ ทุกจุดของพาราโบลานี้เป็นบวก ต่อไปให้เส้นตรง x = 1และ x = 3ที่วิ่งขนานกับแกน OU, คือเส้นเขตของรูปทางซ้ายและขวา ดี y = 0เธอเป็นแกน x ซึ่งจำกัดตัวเลขจากด้านล่าง ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกแรเงาดังที่เห็นในรูปทางด้านซ้าย ในกรณีนี้ คุณสามารถเริ่มแก้ปัญหาได้ทันที ก่อนที่เราจะเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง ซึ่งเราจะแก้โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ

3.2. ในย่อหน้าที่ 3.1 ก่อนหน้านี้ กรณีนี้ได้รับการวิเคราะห์เมื่อสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งอยู่เหนือแกน x ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน ยกเว้นว่าฟังก์ชันอยู่ภายใต้แกน x เครื่องหมายลบถูกเพิ่มลงในสูตรมาตรฐานของนิวตัน-ไลบนิซ วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวเราจะพิจารณาเพิ่มเติม

ตัวอย่าง 2 . คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

ในตัวอย่างนี้ เรามีพาราโบลา y=x2+6x+2ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากใต้แกน โอ้, ตรง x=-4, x=-1, y=0. ที่นี่ y = 0จำกัดตัวเลขที่ต้องการจากด้านบน โดยตรง x = -4และ x = -1เหล่านี้เป็นขอบเขตภายในที่จะคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน หลักการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปนั้นเกือบจะทั้งหมดตรงกับตัวอย่างที่ 1 ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันที่กำหนดไม่เป็นค่าบวกและยังต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [-4; -1] . อะไรไม่บวกหมายความว่าอย่างไร ดังที่เห็นได้จากรูป ตัวเลขที่อยู่ภายใน x ที่กำหนดมีพิกัด "เชิงลบ" เท่านั้น ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องดูและจดจำเมื่อแก้ปัญหา เรากำลังมองหาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้สูตร Newton-Leibniz โดยมีเครื่องหมายลบที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น

บทความยังไม่เสร็จ