มุมมองสามเหลี่ยมของเมทริกซ์ คุณสมบัติของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์ Unitrian(บนหรือล่าง) - เมทริกซ์สามเหลี่ยมที่องค์ประกอบทั้งหมดในแนวทแยงหลักมีค่าเท่ากับหนึ่ง

เมทริกซ์สามเหลี่ยมใช้เป็นหลักในการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการเมื่อเมทริกซ์ของระบบถูกลดรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

โซลูชันระบบ สมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์สามเหลี่ยม ( จังหวะย้อนกลับ) ได้ไม่ยาก

คุณสมบัติ

• ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามเหลี่ยม เท่ากับสินค้าองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก
• ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หน่วยสามเหลี่ยมเท่ากับหนึ่ง
• เซตของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมบนแบบไม่เสื่อมของลำดับ นโดยการคูณด้วยองค์ประกอบจากสนาม kก่อรูปหมู่ซึ่งมีความหมายว่า UT(น, k) หรือ UT น (k).
• เซตของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมล่างที่ไม่เสื่อมของลำดับ นโดยการคูณด้วยองค์ประกอบจากสนาม kก่อรูปหมู่ซึ่งหมายถึง LT(น, k) หรือ LT น (k).
• ชุดเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมตอนบนที่มีองค์ประกอบจากสนาม kสร้างกลุ่มย่อย UT น (k) โดยการคูณซึ่งแสดงไว้ มท(น, k) หรือ มท น (k). กลุ่มย่อยที่คล้ายคลึงกันของเมทริกซ์หน่วยสามเหลี่ยมล่างแสดงแทน SLT(น, k) หรือ SLT น (k).
• ชุดของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมด้านบนทั้งหมดที่มีองค์ประกอบจากวงแหวน k จะสร้างพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการบวก การคูณด้วยองค์ประกอบวงแหวน และการคูณเมทริกซ์ ข้อความที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
• กลุ่ม UT nแก้ได้และกลุ่มย่อยหน่วยสามเหลี่ยม ม.อไม่มีอำนาจ

ดูสิ่งนี้ด้วย

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ดูว่า "Upper Triangular Matrix" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งรายการทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ... Wikipedia

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งรายการทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนคือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ... ... Wikipedia

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งรายการทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนคือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ... ... Wikipedia

คุณต้องการปรับปรุงบทความนี้หรือไม่: ค้นหาและจัดทำเชิงอรรถสำหรับการอ้างอิงถึงแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ซึ่งยืนยันสิ่งที่เขียน วางเชิงอรรถ ระบุแหล่งที่มาได้แม่นยำยิ่งขึ้น เพิ่มภาพประกอบ ... Wikipedia

การแสดงเมทริกซ์ที่แน่นอนบวกสมมาตรในรูปแบบที่เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีองค์ประกอบบวกอย่างเคร่งครัดในแนวทแยง บางครั้งการขยายจะถูกเขียนในรูปแบบที่เทียบเท่า: เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนอยู่ที่ไหน ... ... Wikipedia

SFLASH เป็นอัลกอริธึมลายเซ็นดิจิทัลแบบอสมมาตรที่แนะนำโดยโครงการ NESSIE European ในปี 2546 SFLASH อิงตามโครงการมัตสึโมโตะ อิมาอิ (MI) หรือที่เรียกว่า C* อัลกอริทึมเป็นของตระกูลคีย์สาธารณะแบบหลายมิติ จากนั้น ... ... Wikipedia

กระบวนการตั้งฉาก อัลกอริธึมการก่อสร้างสำหรับเส้นตรงที่กำหนด ระบบอิสระเวกเตอร์ของ Euclidean หรือ Hermitian space V ของระบบมุมฉากของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่สร้าง subspace เดียวกันใน V. ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์- (ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์) ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์คือ สถิติการพึ่งพาอาศัยกันของสอง ตัวแปรสุ่มความหมายของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ประเภทของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ การคำนวณและการประยุกต์ใช้ ... ... สารานุกรมของนักลงทุน

วิธีการอ่อนตัว วิธีการ วิธีแก้ปัญหาแบบวนซ้ำระบบพีชคณิตเชิงเส้น สมการ Ax = b ขั้นตอนเบื้องต้นของ rho ประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงเพียงองค์ประกอบเดียวของเวกเตอร์ที่ไม่ทราบค่า และจำนวนองค์ประกอบตัวแปรจะถูกเลือกในบางวัฏจักร ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

โดยที่องค์ประกอบทั้งหมดด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์ Unitrian(บนหรือล่าง) - เมทริกซ์สามเหลี่ยมที่องค์ประกอบทั้งหมดในแนวทแยงหลักมีค่าเท่ากับหนึ่ง

เมทริกซ์สามเหลี่ยมใช้เป็นหลักในการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการเมื่อเมทริกซ์ของระบบถูกลดรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์สามเหลี่ยม (การเคลื่อนที่ย้อนกลับ) ไม่ใช่เรื่องยาก

คุณสมบัติ

• ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงหลัก
• ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หน่วยสามเหลี่ยมเท่ากับหนึ่ง
• เซตของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมบนแบบไม่เสื่อมของลำดับ นโดยการคูณด้วยองค์ประกอบจากสนาม kก่อรูปหมู่ซึ่งมีความหมายว่า UT(น, k) หรือ UT น (k).
• เซตของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมล่างที่ไม่เสื่อมของลำดับ นโดยการคูณด้วยองค์ประกอบจากสนาม kก่อรูปหมู่ซึ่งหมายถึง LT(น, k) หรือ LT น (k).
• ชุดเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมตอนบนที่มีองค์ประกอบจากสนาม kสร้างกลุ่มย่อย UT น (k) โดยการคูณซึ่งแสดงไว้ มท(น, k) หรือ มท น (k). กลุ่มย่อยที่คล้ายคลึงกันของเมทริกซ์หน่วยสามเหลี่ยมล่างแสดงแทน SLT(น, k) หรือ SLT น (k).
• ชุดของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมด้านบนทั้งหมดที่มีองค์ประกอบจากวงแหวน k จะสร้างพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการบวก การคูณด้วยองค์ประกอบวงแหวน และการคูณเมทริกซ์ ข้อความที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
• กลุ่ม UT nแก้ได้และกลุ่มย่อยหน่วยสามเหลี่ยม ม.อไม่มีอำนาจ

ดูสิ่งนี้ด้วย

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ดูว่า "เมทริกซ์สามเหลี่ยม" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

เมทริกซ์สามเหลี่ยม- — เมทริกซ์สามเหลี่ยม เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ (cf. เมทริกซ์แนวทแยง) กรณีแรกเรามี...

เมทริกซ์สามเหลี่ยม- เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ (cf. เมทริกซ์แนวทแยง) ในกรณีแรกเรามี T.m. บน ในที่สองล่าง ...

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่าง (หรือด้านบน) ของเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ในกรณีแรกเมทริกซ์เรียกว่า เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ในเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่สอง ดีเทอร์มีแนนต์ของ T. m. เท่ากับผลคูณของ ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

เมทริกซ์สามเหลี่ยม MOB- เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์ความสมดุลระหว่างภาค (IRB) ซึ่งสอดคล้องกับค่าดังกล่าว ระบบการผลิตซึ่งผลิตภัณฑ์ใด ๆ สามารถใช้ในการผลิตของตนเองและในการผลิตดังต่อไปนี้ ... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

เมทริกซ์สามเหลี่ยม MOB- เมทริกซ์สมดุลอินพุต-เอาต์พุต (IRB) ที่สอดคล้องกับระบบการผลิตดังกล่าวซึ่งผลิตภัณฑ์ใด ๆ สามารถใช้ในการผลิตของตนเองและในการผลิตผลิตภัณฑ์ใด ๆ ที่ตามมา แต่ไม่มี ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งรายการทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนคือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ... ... Wikipedia

บล็อกเมทริกซ์สามเหลี่ยม- เป็นเมทริกซ์ที่สามารถแบ่งออกเป็นเมทริกซ์ย่อยในลักษณะที่มีศูนย์อยู่ที่ด้านหนึ่งของ "เส้นทแยงมุมหลัก" ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์ย่อย ตัวอย่างของเมทริกซ์บล็อกสามเหลี่ยมคือ ... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

บล็อกเมทริกซ์สามเหลี่ยม- เมทริกซ์ที่สามารถแบ่งออกเป็นเมทริกซ์ย่อยในลักษณะที่ศูนย์อยู่ด้านหนึ่งของ "เส้นทแยงมุมหลัก" ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์ย่อย ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบล็อกคือเมทริกซ์สามเหลี่ยมและเมทริกซ์แนวทแยงบล็อก... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

เมทริกซ์- ระบบองค์ประกอบ (ตัวเลข ฟังก์ชัน และปริมาณอื่น ๆ ) ที่จัดเรียงเป็นตารางสี่เหลี่ยมที่คุณสามารถดำเนินการได้ การกระทำบางอย่าง. โต๊ะมี มุมมองถัดไป: องค์ประกอบเมทริกซ์ใน ปริทัศน์แสดงว่า aij คือ ... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

เมทริกซ์- เครือข่ายลอจิกที่กำหนดค่าเป็นอาร์เรย์สี่เหลี่ยมของทางแยกช่องสัญญาณเข้า/ออก เมทริกซ์ ระบบขององค์ประกอบ (ตัวเลข ฟังก์ชัน และปริมาณอื่น ๆ ) จัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

เมทริกซ์เป็นวัตถุพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ มันถูกวาดในรูปแบบของตารางสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมประกอบด้วยแถวและคอลัมน์จำนวนหนึ่ง ในวิชาคณิตศาสตร์ มีเมทริกซ์หลายประเภท ซึ่งมีขนาดหรือเนื้อหาต่างกัน ตัวเลขของแถวและคอลัมน์เรียกว่าคำสั่ง วัตถุเหล่านี้ใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อจัดระเบียบการเขียนระบบสมการเชิงเส้นและค้นหาผลลัพธ์ได้อย่างสะดวก สมการที่ใช้เมทริกซ์ได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีการของ Carl Gauss, Gabriel Cramer, minors และ algebraic added และวิธีอื่นๆ อีกมากมาย ทักษะพื้นฐานเมื่อทำงานกับเมทริกซ์คือการลดลงถึง แบบฟอร์มมาตรฐาน. อย่างไรก็ตาม ก่อนอื่น มาคิดกันก่อนว่าเมทริกซ์ประเภทใดที่นักคณิตศาสตร์แยกแยะได้

ประเภทศูนย์

องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ประเภทนี้เป็นศูนย์ ในขณะเดียวกัน จำนวนแถวและคอลัมน์ต่างกันโดยสิ้นเชิง

แบบสี่เหลี่ยม

จำนวนคอลัมน์และแถวของเมทริกซ์ประเภทนี้เท่ากัน กล่าวคือเป็นตารางรูปทรง "สี่เหลี่ยม" จำนวนคอลัมน์ (หรือแถว) เรียกว่าลำดับ กรณีพิเศษคือการมีอยู่ของเมทริกซ์ของลำดับที่สอง (เมทริกซ์ 2x2) ลำดับที่สี่ (4x4) ลำดับที่สิบ (10x10) ลำดับที่สิบเจ็ด (17x17) เป็นต้น

เวกเตอร์คอลัมน์

นี่เป็นหนึ่งในประเภทเมทริกซ์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งประกอบด้วยคอลัมน์เดียว ซึ่งรวมถึงค่าตัวเลขสามค่า มันแสดงถึงเงื่อนไขอิสระจำนวนหนึ่ง (ตัวเลขที่ไม่ขึ้นกับตัวแปร) ในระบบของสมการเชิงเส้น

ดูคล้ายกับก่อนหน้านี้ ประกอบด้วยองค์ประกอบตัวเลขสามตัว จัดเรียงเป็นบรรทัดเดียว

ประเภทแนวทแยง

ค่าตัวเลขในรูปแบบเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์ใช้เฉพาะส่วนประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (เน้น สีเขียว). เส้นทแยงมุมหลักเริ่มต้นด้วยองค์ประกอบทางด้านขวา มุมบนและลงท้ายด้วยตัวเลขในคอลัมน์ที่สามของแถวที่สาม ส่วนประกอบที่เหลือเป็นศูนย์ ประเภทเส้นทแยงมุมเป็นเพียงเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของบางลำดับเท่านั้น ในบรรดาเมทริกซ์ของรูปแบบเส้นทแยงมุม เราสามารถเลือกสเกลาร์หนึ่งอันได้ ส่วนประกอบทั้งหมดใช้ค่าเดียวกัน

ชนิดย่อยของเมทริกซ์แนวทแยง ทั้งหมดของเธอ ค่าตัวเลขเป็นหน่วย การใช้ตารางเมทริกซ์ประเภทเดียว การแปลงพื้นฐานจะดำเนินการหรือพบเมทริกซ์ที่ผกผันกับตารางดั้งเดิม

ประเภท Canonical

รูปแบบบัญญัติของเมทริกซ์ถือเป็นหนึ่งในรูปแบบหลัก การคัดเลือกนักแสดงมักจะจำเป็นในการทำงาน จำนวนแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์มาตรฐานแตกต่างกัน ไม่จำเป็นต้องเป็นของ แบบสี่เหลี่ยม. เธอค่อนข้างคล้ายกับ เมทริกซ์เอกลักษณ์อย่างไรก็ตาม ในกรณีขององค์ประกอบนั้น ไม่ใช่ส่วนประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักจะรับค่า เท่ากับหนึ่ง. สามารถมีหน่วยแนวทแยงหลักได้สองหรือสี่หน่วย (ทั้งหมดขึ้นอยู่กับความยาวและความกว้างของเมทริกซ์) หรืออาจจะไม่มีหน่วยเลยก็ได้ (แล้วถือว่าเป็นศูนย์) ส่วนประกอบที่เหลือของประเภทบัญญัติ เช่นเดียวกับองค์ประกอบของประเภทแนวทแยงและหน่วย มีค่าเท่ากับศูนย์

แบบสามเหลี่ยม

หนึ่งใน ประเภทที่สำคัญที่สุดเมทริกซ์ ใช้เพื่อค้นหาดีเทอร์มีแนนต์และเมื่อดำเนินการอย่างง่าย ประเภทสามเหลี่ยมมาจากประเภทเส้นทแยงมุม ดังนั้นเมทริกซ์จึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย มุมมองสามเหลี่ยมของเมทริกซ์แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมบนและสามเหลี่ยมล่าง

ในเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (รูปที่ 1) เฉพาะองค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักเท่านั้นที่จะได้รับค่าเท่ากับศูนย์ ส่วนประกอบของเส้นทแยงมุมและส่วนของเมทริกซ์ด้านล่างประกอบด้วยค่าตัวเลข

ในเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (รูปที่ 2) ในทางกลับกัน องค์ประกอบที่อยู่ในส่วนล่างของเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์

แบบฟอร์มนี้จำเป็นสำหรับการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ เช่นเดียวกับการดำเนินการเบื้องต้นกับพวกมัน (พร้อมกับประเภทสามเหลี่ยม) สเต็ปเมทริกซ์ตั้งชื่ออย่างนั้นเพราะมันมี "ขั้นตอน" ที่เป็นลักษณะเฉพาะของศูนย์ (ดังแสดงในรูป) ในประเภทขั้นบันไดจะมีการสร้างเส้นทแยงมุมของศูนย์ (ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์หลัก) และองค์ประกอบทั้งหมดภายใต้เส้นทแยงมุมนี้ก็มีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน ข้อกำหนดเบื้องต้นมีดังต่อไปนี้: if เมทริกซ์ก้าวมีสตริงว่าง จากนั้นสตริงอื่นๆ ด้านล่างจะไม่มีค่าตัวเลข

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณา ประเภทที่สำคัญที่สุดเมทริกซ์ที่จำเป็นในการทำงานกับพวกเขา ทีนี้มาจัดการกับงานการแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่ต้องการ

ลดรูปสามเหลี่ยม

จะนำเมทริกซ์ไปอยู่ในรูปสามเหลี่ยมได้อย่างไร? บ่อยครั้งในงานมอบหมาย คุณต้องแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมเพื่อหาดีเทอร์มีแนนต์ หรือเรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์ เมื่อดำเนินการตามขั้นตอนนี้ เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้อง "รักษา" เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ไว้ เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือผลคูณของส่วนประกอบในแนวทแยงหลัก ผมขอเตือนคุณถึงวิธีอื่นในการหาดีเทอร์มีแนนต์ ดีเทอร์มีแนนต์แบบสี่เหลี่ยมหาได้จากสูตรพิเศษ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้วิธีสามเหลี่ยม สำหรับเมทริกซ์อื่นๆ จะใช้วิธีการสลายตัวตามแถว คอลัมน์ หรือองค์ประกอบ คุณยังสามารถใช้วิธีการของผู้เยาว์และการเติมเต็มเชิงพีชคณิตของเมทริกซ์ได้

ให้เราวิเคราะห์รายละเอียดกระบวนการนำเมทริกซ์มาสู่รูปสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอย่างงานบางงาน

แบบฝึกหัด 1

จำเป็นต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่นำเสนอโดยใช้วิธีการทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

เมทริกซ์ที่ให้เราเป็นเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สาม ดังนั้น เพื่อแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม เราจำเป็นต้องลบสององค์ประกอบของคอลัมน์แรกและอีกองค์ประกอบหนึ่งของคอลัมน์ที่สอง

ในการทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยม เราเริ่มการแปลงจากมุมล่างซ้ายของเมทริกซ์ - จากหมายเลข 6 หากต้องการเปลี่ยนเป็นศูนย์ เราคูณแถวแรกด้วยสามแล้วลบออกจากแถวสุดท้าย

สำคัญ! บรรทัดบนสุดไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเหมือนเดิมในเมทริกซ์ดั้งเดิม คุณไม่จำเป็นต้องเขียนสตริงสี่ครั้งของสตริงเดิม แต่ค่าของแถวที่ต้องตั้งค่าคอมโพเนนต์เป็นศูนย์จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

เหลือเท่านั้น ค่าสุดท้าย- องค์ประกอบของแถวที่สามของคอลัมน์ที่สอง นี่คือตัวเลข (-1) หากต้องการเปลี่ยนเป็นศูนย์ ให้ลบส่วนที่สองออกจากบรรทัดแรก

มาตรวจสอบกัน:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22

ดังนั้น คำตอบของงานคือ -22

งาน2

จำเป็นต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์โดยการทำให้มันเป็นรูปสามเหลี่ยม

เมทริกซ์ที่นำเสนอเป็นของประเภทสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเป็นเมทริกซ์ของลำดับที่สี่ ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องลบองค์ประกอบของคอลัมน์แรกสามองค์ประกอบ สององค์ประกอบของคอลัมน์ที่สอง และองค์ประกอบหนึ่งในคอลัมน์ที่สาม

เริ่มจากองค์ประกอบที่อยู่มุมล่างซ้าย - จากหมายเลข 4 เราต้องย้อนกลับ ให้หมายเลขเป็นศูนย์ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการคูณแถวบนด้วยสี่แล้วลบออกจากแถวที่สี่ ให้เราเขียนผลลัพธ์ของขั้นตอนแรกของการเปลี่ยนแปลง

ดังนั้น ส่วนประกอบของแถวที่สี่จึงถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ ไปที่องค์ประกอบแรกของบรรทัดที่สามไปที่หมายเลข 3 เราทำการดำเนินการที่คล้ายกัน คูณด้วยสามแถวแรก ลบออกจากแถวที่สามแล้วเขียนผลลัพธ์

เราจัดการให้องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้เป็นศูนย์ได้ ยกเว้นหมายเลข 1 ซึ่งเป็นองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักที่ไม่ต้องการการแปลง ตอนนี้มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะเก็บค่าศูนย์ที่เป็นผลลัพธ์เอาไว้ ดังนั้นเราจะทำการแปลงด้วยแถว ไม่ใช่คอลัมน์ ไปที่คอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ที่นำเสนอ

เริ่มจากด้านล่างอีกครั้ง - จากองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สองของแถวสุดท้าย นี่คือตัวเลข (-7) อย่างไรก็ตาม ใน กรณีนี้จะสะดวกกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยตัวเลข (-1) - องค์ประกอบของคอลัมน์ที่สองของแถวที่สาม หากต้องการเปลี่ยนเป็นศูนย์ ให้ลบแถวที่สองออกจากแถวที่สาม จากนั้นเราคูณแถวที่สองด้วยเจ็ดแล้วลบออกจากแถวที่สี่ เราได้ศูนย์แทนที่จะเป็นองค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่สี่ของคอลัมน์ที่สอง ทีนี้มาต่อกันที่คอลัมน์ที่สามกัน

ในคอลัมน์นี้ เราต้องเปลี่ยนเป็นศูนย์เพียงตัวเลขเดียว - 4 ซึ่งทำได้ง่าย เพียงเพิ่มตัวที่สามในแถวสุดท้ายแล้วดูศูนย์ที่เราต้องการ

หลังจากการแปลงทั้งหมด เรานำเมทริกซ์ที่เสนอมาเป็นรูปสามเหลี่ยม ทีนี้ ในการหาดีเทอร์มีแนนต์ คุณก็แค่คูณองค์ประกอบผลลัพธ์ของเส้นทแยงมุมหลักเท่านั้น เราได้รับ: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160ดังนั้น คำตอบคือหมายเลข 160

ดังนั้น ในตอนนี้ คำถามในการนำเมทริกซ์ไปอยู่ในรูปสามเหลี่ยมจะไม่ทำให้ยากสำหรับคุณ

การลดลงสู่รูปแบบขั้นบันได

สำหรับการดำเนินการเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ รูปแบบขั้นเป็น "ความต้องการ" น้อยกว่ารูปแบบสามเหลี่ยม โดยทั่วไปจะใช้เพื่อค้นหาอันดับของเมทริกซ์ (เช่น จำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์) หรือเพื่อกำหนดแถวที่ขึ้นกับเชิงเส้นและอิสระ อย่างไรก็ตาม มุมมองแบบขั้นบันไดของเมทริกซ์นั้นมีความหลากหลายมากกว่า เนื่องจากไม่เหมาะสำหรับประเภทสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้น แต่สำหรับคนอื่นๆ

เพื่อนำเมทริกซ์มาที่ มุมมองขั้นบันไดก่อนอื่นคุณต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของมัน ด้วยเหตุนี้วิธีการข้างต้นจึงเหมาะสม จุดประสงค์ในการหาดีเทอร์มีแนนต์คือหาว่าสามารถแปลงเป็นเมทริกซ์ขั้นตอนได้หรือไม่ หากดีเทอร์มีแนนต์มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ คุณสามารถดำเนินการได้อย่างปลอดภัย หากเท่ากับศูนย์ จะไม่สามารถลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดได้ ในกรณีนี้ คุณต้องตรวจสอบว่ามีข้อผิดพลาดในเร็กคอร์ดหรือการแปลงเมทริกซ์หรือไม่ ถ้าไม่มีความไม่ถูกต้องดังกล่าว งานไม่สามารถแก้ไขได้

ลองพิจารณาวิธีการนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบขั้นบันไดโดยใช้ตัวอย่างงานต่างๆ

แบบฝึกหัดที่ 1ค้นหาอันดับของตารางเมทริกซ์ที่กำหนด

ก่อนหน้าเราคือเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สาม (3x3) เราทราบดีว่าการหาอันดับนั้นจำเป็นต้องลดอันดับลงเป็นขั้นบันได ดังนั้น เราต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ก่อน ลองใช้วิธีสามเหลี่ยม: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

ดีเทอร์มิแนนต์ = 12 มีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์สามารถถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดได้ มาเริ่มแปลงร่างกันเลย

เริ่มจากองค์ประกอบของคอลัมน์ด้านซ้ายของแถวที่สาม - หมายเลข 2 เราคูณแถวบนด้วยสองแล้วลบออกจากแถวที่สาม ต้องขอบคุณการดำเนินการนี้ ทั้งองค์ประกอบที่เราต้องการและหมายเลข 4 ซึ่งเป็นองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สองของแถวที่สามกลายเป็นศูนย์

เราเห็นว่าจากการลดลงนั้นทำให้เกิดเมทริกซ์สามเหลี่ยมขึ้น ในกรณีของเรา การแปลงไม่สามารถดำเนินต่อไปได้ เนื่องจากส่วนประกอบที่เหลือไม่สามารถเปลี่ยนเป็นศูนย์ได้

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าจำนวนแถวที่มีค่าตัวเลขในเมทริกซ์นี้ (หรืออันดับ) คือ 3 คำตอบสำหรับงาน: 3

ภารกิจที่ 2กำหนดจำนวนแถวอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ที่กำหนด

เราจำเป็นต้องค้นหาสตริงที่ไม่สามารถแปลงเป็นศูนย์โดยการแปลงใดๆ อันที่จริง เราจำเป็นต้องหาจำนวนแถวที่ไม่เป็นศูนย์ หรืออันดับของเมทริกซ์ที่แสดงแทน การทำเช่นนี้มาทำให้ง่ายขึ้น

เราเห็นเมทริกซ์ที่ไม่ได้อยู่ในประเภทสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาด 3x4 เรามาเริ่มการร่ายกันจากองค์ประกอบของมุมล่างซ้าย - ตัวเลข (-1)

ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมได้ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าจำนวนเส้นอิสระในนั้นและคำตอบของงานคือ 3

ตอนนี้การนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบขั้นบันไดไม่ใช่งานที่เป็นไปไม่ได้สำหรับคุณ

ในตัวอย่างงานเหล่านี้ เราวิเคราะห์การลดขนาดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมและแบบขั้นบันได เพื่อทำให้เป็นโมฆะ ค่าที่ต้องการตารางเมทริกซ์, แต่ละกรณีคุณต้องแสดงจินตนาการและแปลงคอลัมน์หรือแถวอย่างถูกต้อง ขอให้โชคดีในวิชาคณิตศาสตร์และทำงานกับเมทริกซ์!

หน้า 2

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดด้านหนึ่งของเส้นทแยงมุมหลักหรือเส้นทแยงมุมรองมีค่าเท่ากับศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือข้อใด

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดด้านหนึ่งของเส้นทแยงมุมหลักหรือเส้นทแยงมุมรองมีค่าเท่ากับศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือข้อใด

การดำเนินการสำหรับการเคลื่อนไปข้างหน้าของวิธีเกาส์ตามทฤษฎีบทของพีชคณิตเชิงเส้นจะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มีแนนต์ เห็นได้ชัดว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยง

การแทนค่าแบบสัญชาตญาณนี้จะพบนิพจน์เชิงปริมาณที่แน่นอนในบางกรณี ตัวอย่างเช่น เรารู้ (ดู (6) จาก § 1) ว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยม (บนหรือล่าง) เท่ากับผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก

เมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติเด่นหลายประการ เนื่องจากมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้างมากที่สุด วิธีการต่างๆการแก้ปัญหาพีชคณิต ตัวอย่างเช่น สำหรับ เมทริกซ์สี่เหลี่ยมผลรวมและผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่มีชื่อเดียวกันคือเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่มีชื่อเดียวกัน ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยง ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมที่ตรงกับองค์ประกอบในแนวทแยง เมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมจะกลับด้านได้ง่าย และส่วนผกผันของมันจะเป็นสามเหลี่ยมด้วย

มีการระบุไว้ก่อนหน้านี้แล้วว่าการกำหนดโดยตรงของดีเทอร์มีแนนต์ต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก ในเวลาเดียวกัน ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคำนวณได้ง่าย: เท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยง

ยังไง ศูนย์เพิ่มเติมในบรรดาองค์ประกอบของเมทริกซ์ A และยิ่งอยู่ในตำแหน่งที่ดีกว่า การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ det A ก็ยิ่งง่ายขึ้น การแทนค่าแบบสัญชาตญาณนี้จะพบนิพจน์เชิงปริมาณที่แน่นอนในบางกรณี ตัวอย่างเช่น เรารู้ (ดู (6) จาก § 1) ว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยม (บนหรือล่าง) เท่ากับผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่างเช่น การคูณดีเทอร์มีแนนต์ด้วยสเกลาร์นั้นเทียบเท่ากับการคูณองค์ประกอบของแถวใดๆ หรือคอลัมน์ใดๆ ของเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์นั้น จากสมการ (40) และจากการที่การขยายใช้ได้กับ การบวกพีชคณิตเช่นเดียวกับดีเทอร์มีแนนต์ ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยง

ความเป็นไปได้นี้เกิดจากสาม คุณสมบัติพื้นฐานปัจจัยกำหนด การเพิ่มหลาย ๆ ของสตริงหนึ่งไปยังอีกสตริงหนึ่งจะไม่เปลี่ยนดีเทอร์มีแนนต์ การสลับสองสตริงจะเปลี่ยนเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์ ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเพียงผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยง DECOMP ใช้องค์ประกอบสุดท้ายของ pivot vector เพื่อใส่ค่า 1 ไว้ตรงนั้น ถ้ามี เลขคู่พีชคณิตและค่าเป็น 1 ถ้าคี่ เพื่อให้ได้ดีเทอร์มีแนนต์ ค่านี้ต้องคูณด้วยผลคูณขององค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์เอาต์พุต