ตรีโกณมิติมีการอธิบายรายละเอียดตั้งแต่ต้น บทเรียน: ตรีโกณมิติ

กาลครั้งหนึ่งที่โรงเรียนมีหลักสูตรแยกสำหรับการศึกษาวิชาตรีโกณมิติ ใบรับรองนี้รวมเกรดในสาขาวิชาคณิตศาสตร์สามสาขา ได้แก่ พีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติ

จากนั้น เป็นส่วนหนึ่งของการปฏิรูปการศึกษาของโรงเรียน ตรีโกณมิติจึงหยุดเป็นวิชาแยกต่างหาก ในโรงเรียนสมัยใหม่ ความคุ้นเคยกับตรีโกณมิติครั้งแรกเกิดขึ้นในหลักสูตรเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 การศึกษาเชิงลึกเพิ่มเติมของวิชานี้ยังคงดำเนินต่อไปในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 10

คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ให้ไว้ตั้งแต่แรกในเรขาคณิตผ่านความสัมพันธ์ของด้านต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม

คำจำกัดความเหล่านี้ใช้กับมุมแหลมเท่านั้น (0° ถึง 90°)

ตัวอย่างเช่น,

ในรูปสามเหลี่ยม ABC โดยที่ ∠C=90°, BC คือขาตรงข้ามกับมุม A, AC คือขาที่อยู่ติดกับมุม A, AB คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

หลักสูตรพีชคณิตเกรด 10 แนะนำคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมต่างๆ (รวมถึงค่าลบ)

พิจารณาวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด - จุด O(0;0) ให้เราแสดงจุดตัดของวงกลมด้วยทิศทางบวกของแกน abscissa เป็น P 0 .

ในเรขาคณิต มุมถือเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้น ด้วยคำจำกัดความนี้ มุมจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0° ถึง 180°

ในวิชาตรีโกณมิติ มุมจะถือว่าเป็นผลมาจากการหมุนของรังสี OP 0 รอบจุดเริ่มต้น O

ในเวลาเดียวกัน พวกเขาตกลงที่จะพิจารณาหมุนลำแสงทวนเข็มนาฬิกาเป็นทิศทางการเคลื่อนที่เชิงบวก และหมุนตามเข็มนาฬิกาเป็นลบ (ข้อตกลงนี้เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ที่แท้จริงของดวงอาทิตย์รอบโลก)

ตัวอย่างเช่น เมื่อรังสี OP 0 หมุนรอบจุด O ด้วยมุม α ทวนเข็มนาฬิกา จุด P 0 จะไปที่จุด P α

เมื่อหมุนตามมุม α ตามเข็มนาฬิกา - ถึงจุด F

ด้วยคำจำกัดความนี้ มุมสามารถรับค่าใดๆ ก็ได้

หากเราหมุนลำแสงต่อไป OP 0 ทวนเข็มนาฬิกา เมื่อหมุนผ่านมุม α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (n∈ Ζ) มาที่จุด P α อีกครั้ง:

มุมวัดเป็นองศาและเรเดียน

1° คือมุมเท่ากับ 1/180 ของการวัดระดับของมุมที่พัฒนาแล้ว

1 เรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม:

∠AOB=1 ราด

ปกติแล้วสัญลักษณ์เรเดียนจะไม่ได้เขียนไว้ ไม่สามารถละเว้นการกำหนดปริญญาจากรายการได้

ตัวอย่างเช่น,

จุด P α ได้มาจากจุด P 0 โดยการหมุนรังสี OP 0 รอบจุด O ด้วยมุม α ทวนเข็มนาฬิกา มีพิกัด P α (x;y)

ให้เราปล่อย P α A ตั้งฉากจากจุด P α ไปยังแกนแอบซิสซา

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก OP α A:

P α A - ขาตรงข้ามกับมุม α

OA - ขาที่อยู่ติดกับมุม α

OP α คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

P α A=y, OA=x, OP α =R

ตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจะได้:

ดังนั้น ในกรณีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของรัศมีใดๆ ไซน์มุม α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด P α ต่อความยาวของรัศมี

โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด P α ต่อความยาวของรัศมี

แทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด P α ต่อจุดหักมุม

โคแทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด P α ต่อพิกัด

ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับค่าของ α เท่านั้น และไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของรัศมี R (ซึ่งตามมาจากความคล้ายคลึงกันของวงกลม)

ดังนั้นจึงสะดวกที่จะเลือก R=1

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี R=1 เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย

คำจำกัดความ

1) ไซนัสมุม α เรียกว่าพิกัดของจุด P α (x;y) ของวงกลมหน่วย:

2) โคไซน์มุม α เรียกว่า abscissa ของจุด P α (x;y) ของวงกลมหน่วย:

3) แทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด P α (x;y) ต่อ abscissa นั่นคืออัตราส่วนของsinαต่อcosα (โดยที่ cosα≠0):

4) โคแทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด P α (x;y) ต่อการจัดเรียงนั่นคืออัตราส่วนของcosαต่อsinα (โดยที่sinα≠0):

คำจำกัดความที่แนะนำในลักษณะนี้ช่วยให้เราพิจารณาไม่เพียงแต่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขด้วย (ถ้าเราพิจารณาsinα, cosα, tanα และ ctgα เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันของมุมในหน่วย α เรเดียน นั่นคือ ไซน์ของจำนวน α คือไซน์ของมุมใน α เรเดียน โคไซน์ของจำนวน α คือโคไซน์ของมุมใน α เรเดียน เป็นต้น)

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้รับการศึกษาเป็นหัวข้อแยกต่างหากในหลักสูตรพีชคณิตในระดับ 10 หรือ 11 ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์

หมวดหมู่: |

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

1. บทนำ.

เมื่อใกล้ถึงโรงเรียน ฉันได้ยินเสียงหนุ่มๆ จากยิม ฉันเดินหน้าต่อไป - พวกเขาร้องเพลง วาดรูป... มีอารมณ์และความรู้สึกอยู่ทุกที่ ห้องทำงานของฉัน บทเรียนพีชคณิต นักเรียนเกรด 10 นี่คือหนังสือเรียนของเราซึ่งมีหลักสูตรตรีโกณมิติคิดเป็นครึ่งหนึ่งของปริมาตรและมีที่คั่นหนังสือสองอันอยู่ในนั้น - นี่คือสถานที่ที่ฉันพบคำที่ไม่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีตรีโกณมิติ

ในบรรดานักเรียนไม่กี่คนที่รักคณิตศาสตร์ รู้สึกถึงความสวยงามของมัน และไม่ถามว่าทำไมจึงจำเป็นต้องเรียนวิชาตรีโกณมิติ เนื้อหาที่เรียนไปนำไปใช้ที่ไหน? ส่วนใหญ่เป็นผู้ที่เพียงทำงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จสิ้นเพื่อไม่ให้ได้เกรดไม่ดี และเราเชื่อมั่นอย่างยิ่งว่าคุณค่าที่ประยุกต์ของคณิตศาสตร์คือการได้รับความรู้เพียงพอที่จะผ่านการสอบ Unified State และเข้ามหาวิทยาลัยได้สำเร็จ (ลงทะเบียนและลืม)

เป้าหมายหลักของบทเรียนที่นำเสนอคือการแสดงค่าตรีโกณมิติที่ใช้ในกิจกรรมต่างๆ ของมนุษย์ ตัวอย่างที่ให้ไว้จะช่วยให้นักเรียนเห็นความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์หมวดนี้กับวิชาอื่นๆ ที่เรียนในโรงเรียน เนื้อหาของบทเรียนนี้เป็นองค์ประกอบของการฝึกอบรมวิชาชีพสำหรับนักเรียน

บอกเล่าสิ่งใหม่ๆ เกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่ดูเหมือนรู้จักกันมานาน แสดงความเชื่อมโยงเชิงตรรกะระหว่างสิ่งที่เรารู้อยู่แล้วกับสิ่งที่ยังต้องเรียนรู้ เปิดประตูสักนิดมองให้ไกลกว่าหลักสูตรของโรงเรียน งานที่ไม่ธรรมดา ความเชื่อมโยงกับเหตุการณ์ปัจจุบัน - นี่คือเทคนิคที่ฉันใช้เพื่อให้บรรลุเป้าหมาย ท้ายที่สุดแล้ว วิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนไม่ได้มีส่วนช่วยมากนักในการเรียนรู้เกี่ยวกับการพัฒนาบุคคล ความคิด และวัฒนธรรมของเขา

2. สรุปบทเรียนพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ (เกรด 10)

ช่วงเวลาขององค์กร:จัดเรียงโต๊ะหกโต๊ะเป็นรูปครึ่งวงกลม (แบบจำลองไม้โปรแทรกเตอร์) ใบงานสำหรับนักเรียนบนโต๊ะ (ภาคผนวก 1).

ประกาศหัวข้อบทเรียน: “ตรีโกณมิตินั้นเรียบง่ายและชัดเจน”

ในหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้น เราเริ่มศึกษาวิชาตรีโกณมิติ ผมอยากพูดถึงความสำคัญประยุกต์ของคณิตศาสตร์ส่วนนี้

วิทยานิพนธ์บทเรียน:

“หนังสืออันยิ่งใหญ่แห่งธรรมชาติเท่านั้นที่สามารถอ่านได้โดยผู้ที่รู้ภาษาที่ใช้เขียนเท่านั้น และภาษานั้นคือคณิตศาสตร์”
(ก. กาลิเลโอ).

ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะคิดร่วมกันว่าเราสามารถดูหนังสือเล่มนี้และเข้าใจภาษาที่ใช้เขียนได้หรือไม่

ตรีโกณมิติของมุมแหลม

ตรีโกณมิติเป็นคำภาษากรีกและแปลว่า "การวัดรูปสามเหลี่ยม" การเกิดขึ้นของตรีโกณมิติสัมพันธ์กับการวัดบนโลก การก่อสร้าง และดาราศาสตร์ และการพบกันครั้งแรกของคุณเกิดขึ้นเมื่อคุณหยิบไม้โปรแทรกเตอร์ขึ้นมา คุณสังเกตไหมว่าตารางมีการวางตำแหน่งอย่างไร? ลองคิดในใจ: ถ้าเราเอาตารางหนึ่งเป็นคอร์ด แล้วส่วนโค้งที่ใช้รองรับนั้นมีกี่องศา?

จำการวัดมุม: 1 ° = 1/360ส่วนหนึ่งของวงกลม (“ องศา” - จากผู้สำเร็จการศึกษาภาษาละติน - ขั้นตอน) คุณรู้ไหมว่าทำไมวงกลมถึงถูกแบ่งออกเป็น 360 ส่วน ทำไมไม่แบ่งออกเป็น 10, 100 หรือ 1,000 ส่วน ดังที่เกิดขึ้น เช่น เมื่อวัดความยาว ฉันจะบอกคุณหนึ่งในเวอร์ชัน

ก่อนหน้านี้ผู้คนเชื่อว่าโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาลและไม่มีการเคลื่อนไหว และดวงอาทิตย์ทำการปฏิวัติรอบโลกหนึ่งรอบต่อวัน ซึ่งเป็นระบบศูนย์กลางทางภูมิศาสตร์ของโลก "ภูมิศาสตร์" - โลก ( รูปที่ 1- นักบวชชาวบาบิโลนที่ทำการสังเกตทางดาราศาสตร์ค้นพบว่าในวันวสันตวิษุวัต ดวงอาทิตย์ตั้งแต่พระอาทิตย์ขึ้นจนถึงพระอาทิตย์ตก บรรยายถึงครึ่งวงกลมในห้องนิรภัยแห่งสวรรค์ ซึ่งเส้นผ่านศูนย์กลางปรากฏ (เส้นผ่านศูนย์กลาง) ของดวงอาทิตย์พอดีพอดี 180 เท่าพอดี 1 ° - ร่องรอยของดวงอาทิตย์ - รูปที่ 2).

เป็นเวลานานมาแล้วที่ตรีโกณมิติมีลักษณะเป็นรูปทรงเรขาคณิตล้วนๆ ในตัวคุณดำเนินการแนะนำวิชาตรีโกณมิติต่อไปโดยการแก้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณเรียนรู้ว่าไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดและโคแทนเจนต์ คืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม และจำไว้ว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมที่กำหนด อัตราส่วนของด้านไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของรูปสามเหลี่ยม เรียนรู้ทฤษฎีบทไซน์และโคไซน์สำหรับการแก้รูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ในปี 2010 รถไฟใต้ดินมอสโกมีอายุ 75 ปี ทุกๆวันเราลงรถไฟใต้ดินแล้วไม่ได้สังเกตว่า...

ภารกิจที่ 1มุมเอียงของบันไดเลื่อนทั้งหมดในรถไฟใต้ดินมอสโกคือ 30 องศา เมื่อทราบสิ่งนี้ จำนวนโคมไฟบนบันไดเลื่อน และระยะห่างโดยประมาณระหว่างโคมไฟต่างๆ คุณสามารถคำนวณความลึกโดยประมาณของสถานีได้ บนบันไดเลื่อนมีโคมไฟ 15 ดวงที่สถานี Tsvetnoy Boulevard และโคมไฟ 2 ดวงที่สถานี Prazhskaya คำนวณความลึกของสถานีเหล่านี้หากระยะห่างระหว่างโคมไฟจากทางเข้าบันไดเลื่อนถึงโคมไฟแรกและจากโคมไฟสุดท้ายถึงทางออกบันไดเลื่อนคือ 6 เมตร ( รูปที่ 3- คำตอบ: 48 ม. และ 9 ม

การบ้าน. สถานีที่ลึกที่สุดของรถไฟใต้ดินมอสโกคือวิคตอรีพาร์ค ความลึกของมันคืออะไร? ฉันขอแนะนำให้คุณค้นหาข้อมูลที่ขาดหายไปอย่างอิสระเพื่อแก้ไขปัญหาการบ้านของคุณ

ฉันมีตัวชี้เลเซอร์อยู่ในมือ ซึ่งเป็นเครื่องค้นหาระยะด้วย ตัวอย่างเช่น ลองวัดระยะทางถึงกระดาน

Huan Qiaokun นักออกแบบชาวจีนเดาว่าจะรวมเครื่องวัดระยะเลเซอร์สองตัวและไม้โปรแทรกเตอร์ไว้ในอุปกรณ์เครื่องเดียวและได้รับเครื่องมือที่ช่วยให้คุณกำหนดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบิน ( รูปที่ 4- คุณคิดว่าทฤษฎีบทใดสามารถแก้ปัญหานี้ได้ จำสูตรของทฤษฎีบทโคไซน์ไว้ คุณเห็นด้วยกับฉันหรือไม่ว่าความรู้ของคุณเพียงพอที่จะสร้างสิ่งประดิษฐ์ดังกล่าวแล้ว? แก้ปัญหาเรขาคณิตและค้นพบสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ทุกวัน!

ตรีโกณมิติทรงกลม

นอกจากเรขาคณิตเรียบของ Euclid (ระนาบ) แล้ว อาจมีรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ที่ถือว่าคุณสมบัติของตัวเลขไม่ได้อยู่บนระนาบ แต่อยู่บนพื้นผิวอื่น ๆ เช่น บนพื้นผิวของลูกบอล ( รูปที่ 5- นักคณิตศาสตร์คนแรกที่วางรากฐานสำหรับการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดคือ N.I. Lobachevsky - "โคเปอร์นิคัสแห่งเรขาคณิต" ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2370 เป็นเวลา 19 ปีเขาเป็นอธิการบดีของมหาวิทยาลัยคาซาน

ตรีโกณมิติทรงกลมซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตทรงกลม พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างและมุมของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมที่เกิดจากส่วนโค้งของวงกลมใหญ่บนทรงกลม ( รูปที่ 6).

ในอดีต ตรีโกณมิติและเรขาคณิตทรงกลมเกิดขึ้นจากความต้องการด้านดาราศาสตร์ ธรณีวิทยา การนำทาง และการทำแผนที่ ลองนึกถึงด้านใดต่อไปนี้ที่ได้รับการพัฒนาอย่างรวดเร็วในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาซึ่งผลลัพธ์ที่ได้ได้ถูกนำมาใช้ในนักสื่อสารยุคใหม่แล้ว ... แอปพลิเคชั่นการนำทางที่ทันสมัยคือระบบนำทางด้วยดาวเทียมซึ่งช่วยให้คุณระบุตำแหน่งและความเร็วของวัตถุจากสัญญาณจากเครื่องรับ

ระบบนำทางทั่วโลก (GPS) ในการกำหนดละติจูดและลองจิจูดของเครื่องรับจำเป็นต้องรับสัญญาณจากดาวเทียมอย่างน้อยสามดวง การรับสัญญาณจากดาวเทียมดวงที่สี่ทำให้สามารถกำหนดความสูงของวัตถุเหนือพื้นผิวได้ ( รูปที่ 7).

คอมพิวเตอร์เครื่องรับจะแก้สมการสี่สมการโดยไม่ทราบค่าสี่ค่า จนกระทั่งพบวิธีแก้ปัญหาที่ดึงวงกลมทั้งหมดผ่านจุดเดียว ( รูปที่ 8).

ความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติมุมเฉียบพลันไม่เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เมื่อศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมุนและแบบวงกลม ค่าของมุมและส่วนโค้งของวงกลมจะไม่ถูกจำกัด ความจำเป็นเกิดขึ้นเพื่อย้ายไปที่ตรีโกณมิติของการโต้แย้งทั่วไป

ตรีโกณมิติของการโต้แย้งทั่วไป

วงกลม ( รูปที่ 9- มุมบวกจะถูกพล็อตทวนเข็มนาฬิกา มุมลบจะถูกพล็อตตามเข็มนาฬิกา คุณคุ้นเคยกับประวัติของข้อตกลงดังกล่าวหรือไม่?

ดังที่คุณทราบ นาฬิกากลไกและนาฬิกาดวงอาทิตย์ได้รับการออกแบบในลักษณะที่เข็มนาฬิกาหมุน “ไปตามดวงอาทิตย์” กล่าวคือ ในทิศทางเดียวกับที่เราเห็นการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงอาทิตย์รอบโลก (จำจุดเริ่มต้นของบทเรียน - ระบบศูนย์กลางโลกของโลก) แต่ด้วยการค้นพบการเคลื่อนที่ที่แท้จริง (เชิงบวก) ของโลกรอบดวงอาทิตย์โดยโคเปอร์นิคัส การเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์รอบโลกที่เราเห็น (กล่าวคือ ปรากฏชัดเจน) ถือเป็นเรื่องสมมติ (เชิงลบ) ระบบเฮลิโอเซนตริกของโลก (เฮลิโอ-ดวงอาทิตย์) ( รูปที่ 10).

วอร์มอัพ.

1. เหยียดแขนขวาออกไปข้างหน้า ขนานกับพื้นโต๊ะ แล้วหมุนเป็นวงกลม 720 องศา
2. เหยียดแขนซ้ายออกไปข้างหน้า ขนานกับพื้นผิวโต๊ะ และหมุนเป็นวงกลมที่ (–1,080) องศา
3. วางมือบนไหล่แล้วเคลื่อนไหวเป็นวงกลม 4 ครั้งไปมา ผลรวมของมุมการหมุนเป็นเท่าใด?

ในปี 2010 การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกฤดูหนาวจัดขึ้นที่แวนคูเวอร์ เราเรียนรู้เกณฑ์ในการให้คะแนนการออกกำลังกายของนักเล่นสเก็ตโดยการแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 2หากนักเล่นสเก็ตหมุน 10,800 องศาขณะออกกำลังกายแบบ "สกรู" ภายใน 12 วินาที เขาก็จะได้รับคะแนน "ดีเยี่ยม" กำหนดจำนวนรอบที่นักเล่นสเก็ตจะทำในช่วงเวลานี้และความเร็วในการหมุนของเขา (รอบต่อวินาที) คำตอบ: 2.5 รอบ/วินาที

การบ้าน. นักเล่นสเก็ตหันไปในมุมใดซึ่งได้รับคะแนน "ไม่น่าพอใจ" หากในเวลาเดียวกันความเร็วของเขาคือ 2 รอบต่อวินาที

การวัดส่วนโค้งและมุมที่สะดวกที่สุดที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบหมุนกลายเป็นการวัดเรเดียน (รัศมี) เนื่องจากเป็นหน่วยวัดมุมหรือส่วนโค้งที่ใหญ่กว่า ( รูปที่ 11- การวัดมุมนี้เข้าสู่วงการวิทยาศาสตร์ผ่านผลงานอันน่าทึ่งของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ชาวสวิสโดยกำเนิดเขาอาศัยอยู่ในรัสเซียเป็นเวลา 30 ปีและเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก สำหรับเขาแล้วเราเป็นหนี้การตีความ "เชิงวิเคราะห์" ของตรีโกณมิติทั้งหมดเขาได้รับสูตรที่คุณกำลังศึกษาอยู่แนะนำสัญญาณที่เหมือนกัน: บาป x,คอส x, ทีจี x,กะรัต x.

หากจนถึงศตวรรษที่ 17 การพัฒนาหลักคำสอนของฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานทางเรขาคณิต จากนั้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 17 เป็นต้นมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็เริ่มถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาในกลศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ไฟฟ้า เพื่ออธิบายกระบวนการออสซิลเลชันและคลื่น การขยายพันธุ์ ไม่ว่าเราต้องจัดการกับกระบวนการและการแกว่งเป็นคาบ ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็มีประโยชน์ ฟังก์ชั่นที่แสดงกฎของกระบวนการเป็นระยะมีคุณสมบัติพิเศษเฉพาะในตัวพวกเขาเท่านั้น: พวกเขาทำซ้ำค่าของพวกเขาผ่านช่วงเวลาเดียวกันของการเปลี่ยนแปลงในการโต้แย้ง การเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันใดๆ จะถูกถ่ายทอดอย่างชัดเจนที่สุดบนกราฟ ( รูปที่ 12).

เราได้หันไปหาร่างกายของเราเพื่อขอความช่วยเหลือในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหมุน มาฟังเสียงหัวใจของเรากันดีกว่า หัวใจเป็นอวัยวะอิสระ สมองควบคุมกล้ามเนื้อใดๆ ของเรา ยกเว้นหัวใจ มีศูนย์ควบคุมของตัวเอง - โหนดไซนัส ทุกครั้งที่หัวใจหดตัว กระแสไฟฟ้าจะกระจายไปทั่วร่างกาย โดยเริ่มจากโหนดไซนัส (ขนาดเท่าเมล็ดข้าวฟ่าง) สามารถบันทึกได้โดยใช้เครื่องตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ เขาทำการตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ (ไซนัสอยด์) ( รูปที่ 13).

ตอนนี้เรามาพูดถึงดนตรีกันดีกว่า คณิตศาสตร์คือดนตรี เป็นการผสมผสานระหว่างความฉลาดและความงาม
ดนตรีเป็นคณิตศาสตร์ในการคำนวณ พีชคณิตในนามธรรม ตรีโกณมิติในความงาม การสั่นแบบฮาร์มอนิก (ฮาร์มอนิก) คือการสั่นแบบไซนูซอยด์ กราฟแสดงให้เห็นว่าความกดอากาศบนแก้วหูของผู้ฟังเปลี่ยนแปลงอย่างไร: ขึ้นและลงในส่วนโค้งเป็นระยะๆ อากาศอัด ตอนนี้แรงขึ้น ตอนนี้อ่อนลง แรงกระแทกมีขนาดเล็กมากและการสั่นสะเทือนเกิดขึ้นอย่างรวดเร็ว: แรงกระแทกนับร้อยนับพันครั้งต่อวินาที เรารับรู้การสั่นสะเทือนเป็นระยะ ๆ เช่นเสียง การเพิ่มฮาร์โมนิคที่แตกต่างกันสองตัวจะทำให้การสั่นสะเทือนมีรูปทรงที่ซับซ้อนมากขึ้น ผลรวมของฮาร์โมนิคทั้งสามจะซับซ้อนยิ่งขึ้น และเสียงที่เป็นธรรมชาติของเครื่องดนตรีก็ประกอบด้วยฮาร์โมนิคจำนวนมาก - รูปที่ 14.)

ฮาร์มอนิกแต่ละตัวจะมีพารามิเตอร์สามตัว ได้แก่ แอมพลิจูด ความถี่ และเฟส ความถี่การสั่นจะแสดงจำนวนแรงกระแทกของแรงดันอากาศที่เกิดขึ้นในหนึ่งวินาที ความถี่สูงถูกมองว่าเป็นเสียง "สูง" และ "บาง" สูงกว่า 10 KHz - รับสารภาพ, นกหวีด ความถี่ขนาดเล็กถูกมองว่าเป็นเสียง "ต่ำ", "เบส", เสียงดังก้อง แอมพลิจูดคือช่วงของการสั่นสะเทือน ยิ่งขอบเขตกว้างเท่าใด ผลกระทบต่อแก้วหูก็จะยิ่งมากขึ้น และเสียงที่เราได้ยินก็จะยิ่งดังมากขึ้น ( รูปที่ 15- เฟสคือการกระจัดของการแกว่งตามเวลา เฟสสามารถวัดได้เป็นองศาหรือเรเดียน จุดศูนย์บนกราฟจะเปลี่ยนไป ขึ้นอยู่กับเฟส ในการตั้งค่าฮาร์มอนิกก็เพียงพอที่จะระบุเฟสตั้งแต่ –180 ถึง +180 องศา เนื่องจากที่ค่าสูงการสั่นจะเกิดซ้ำ สัญญาณไซน์ซอยด์สองตัวที่มีแอมพลิจูดและความถี่เท่ากัน แต่มีเฟสต่างกันจะถูกเพิ่มเข้าไปทางพีชคณิต ( รูปที่ 16).

สรุปบทเรียนคุณคิดว่าเราสามารถอ่านหนังสือ Great Book of Nature ได้สองสามหน้าหรือไม่? เมื่อได้เรียนรู้เกี่ยวกับความสำคัญที่ประยุกต์ของตรีโกณมิติแล้ว บทบาทของมันในกิจกรรมของมนุษย์ในด้านต่างๆ มีความชัดเจนมากขึ้นสำหรับคุณ คุณเข้าใจเนื้อหาที่นำเสนอหรือไม่ จากนั้นจำและเขียนรายการการประยุกต์ใช้ตรีโกณมิติที่คุณพบในปัจจุบันหรือเคยรู้มาก่อน ฉันหวังว่าคุณแต่ละคนจะพบสิ่งใหม่และน่าสนใจในบทเรียนของวันนี้ บางทีสิ่งใหม่นี้อาจเป็นแนวทางในการเลือกอาชีพในอนาคต แต่ไม่ว่าคุณจะเป็นใคร การศึกษาทางคณิตศาสตร์จะช่วยให้คุณกลายเป็นมืออาชีพและพัฒนาสติปัญญาได้

การบ้าน. อ่านสรุปบทเรียน (

ย้อนกลับไปในปี 1905 นักอ่านชาวรัสเซียสามารถอ่านหนังสือเรื่องจิตวิทยาของวิลเลียม เจมส์ได้ โดยให้เหตุผลของเขาว่า

“ความรู้ที่ได้รับจากการเรียนรู้ท่องจำง่ายๆ แทบจะลืมไม่ลงอย่างไร้ร่องรอยอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ตรงกันข้าม วัตถุทางจิตซึ่งได้มาโดยความทรงจำทีละน้อย วันแล้ววันเล่า เกี่ยวข้องกับบริบทต่างๆ เชื่อมโยงกับเหตุการณ์ภายนอกอื่นๆ และถูกอภิปรายซ้ำแล้วซ้ำเล่า ก่อให้เกิดระบบดังกล่าว เข้าสู่การเชื่อมโยงดังกล่าวกับด้านอื่น ๆ ของเรา สติปัญญาย่อมกลับคืนสู่ความทรงจำได้ง่ายด้วยเหตุภายนอกมากมาย ซึ่งคงไว้ซึ่งการได้มาอย่างถาวรเป็นเวลานาน”

ตั้งแต่นั้นมา เป็นเวลากว่า 100 ปีแล้ว และคำเหล่านี้ยังคงเป็นหัวข้อที่น่าอัศจรรย์ คุณจะมั่นใจในสิ่งนี้ทุกวันเมื่อทำงานกับเด็กนักเรียน ช่องว่างความรู้ขนาดใหญ่นั้นยิ่งใหญ่จนสามารถโต้แย้งได้: หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในด้านการสอนและจิตวิทยาไม่ใช่ระบบ แต่เป็นอุปกรณ์ชนิดหนึ่งที่ส่งเสริมความจำระยะสั้นและไม่สนใจเกี่ยวกับความจำระยะยาวเลย .

การรู้หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนหมายถึงการเรียนรู้เนื้อหาของแต่ละสาขาวิชาคณิตศาสตร์และสามารถอัปเดตได้ตลอดเวลา เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ คุณจะต้องติดต่อกับแต่ละฝ่ายอย่างเป็นระบบ ซึ่งบางครั้งก็ไม่สามารถทำได้เสมอไปเนื่องจากมีงานหนักในบทเรียน

มีอีกวิธีหนึ่งในการท่องจำข้อเท็จจริงและสูตรในระยะยาว - นี่คือสัญญาณอ้างอิง

ตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ของโรงเรียน มีการศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตในเกรด 8, 9 และในหลักสูตรพีชคณิตในเกรด 9 พีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นในเกรด 10

ปริมาณวัสดุที่ศึกษามากที่สุดในวิชาตรีโกณมิติอยู่ที่เกรด 10 เนื้อหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่สามารถเรียนรู้และจดจำได้ วงกลมตรีโกณมิติ(วงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) ภาคผนวก1.ppt

ต่อไปนี้เป็นแนวคิดเรื่องตรีโกณมิติ:

• คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุม
• การวัดมุมเรเดียน
• โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขและเชิงมุม
• คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• การเพิ่มและลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• สูตรลด;
• ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
• การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
• การแก้อสมการง่ายๆ
• สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ลองพิจารณาแนวคิดเหล่านี้เกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ

1) คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

หลังจากแนะนำแนวคิดของวงกลมตรีโกณมิติ (วงกลมที่มีหน่วยรัศมีโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) รัศมีเริ่มต้น (รัศมีของวงกลมในทิศทางของแกน Ox) และมุมการหมุน นักเรียนจะได้รับคำจำกัดความอย่างอิสระ สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติโดยใช้คำจำกัดความจากเรขาคณิตของรายวิชา กล่าวคือ พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1

โคไซน์ของมุมคือค่าขาดของจุดบนวงกลมเมื่อรัศมีเริ่มต้นถูกหมุนตามมุมที่กำหนด

ไซน์ของมุมคือพิกัดของจุดบนวงกลมเมื่อรัศมีเริ่มต้นหมุนตามมุมที่กำหนด

2) การวัดมุมเรเดียนบนวงกลมตรีโกณมิติ

หลังจากแนะนำการวัดเรเดียนของมุมแล้ว (1 เรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลาง ซึ่งสอดคล้องกับความยาวของส่วนโค้งเท่ากับความยาวของรัศมีของวงกลม) นักเรียนสรุปว่าการวัดเรเดียนของมุมนั้นเป็นค่าตัวเลขของ มุมการหมุนบนวงกลม เท่ากับความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกันเมื่อรัศมีเริ่มต้นถูกหมุนตามมุมที่กำหนด -

วงกลมตรีโกณมิติแบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กันตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เมื่อรู้ว่ามุมมีหน่วยเป็นเรเดียน คุณสามารถกำหนดหน่วยวัดเรเดียนสำหรับมุมที่เป็นผลทวีคูณของ

และการวัดเรเดียนของมุมทวีคูณจะได้รับในทำนองเดียวกัน:

3) โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ความสอดคล้องระหว่างมุมการหมุนกับค่าพิกัดของจุดบนวงกลมจะเป็นฟังก์ชันหรือไม่?

แต่ละมุมของการหมุนจะสัมพันธ์กับจุดเดียวบนวงกลม ซึ่งหมายความว่าความสอดคล้องนี้คือฟังก์ชัน

รับฟังก์ชั่น

บนวงกลมตรีโกณมิติ คุณจะเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และช่วงของค่าคือ .

ให้เราแนะนำแนวคิดเรื่องเส้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

1) เอาล่ะ ให้เราแนะนำเส้นตรงเสริมที่ขนานกับแกน Oy ซึ่งเส้นสัมผัสกันถูกกำหนดสำหรับอาร์กิวเมนต์ตัวเลขใดๆ

2) ในทำนองเดียวกัน เราได้รับเส้นโคแทนเจนต์ ให้ y=1 แล้ว ซึ่งหมายความว่าค่าโคแทนเจนต์ถูกกำหนดบนเส้นตรงขนานกับแกน Ox

บนวงกลมตรีโกณมิติคุณสามารถกำหนดโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อย่างง่ายดาย:

สำหรับแทนเจนต์ -

สำหรับโคแทนเจนต์ -

4) ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติบนวงกลมตรีโกณมิติ

ขาที่อยู่ตรงข้ามมุมใน เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือขาอีกข้างตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ซึ่งหมายความว่าด้วยการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ คุณสามารถกำหนดค่าของมุมที่เป็นทวีคูณหรือเรเดียนได้ ค่าไซน์ถูกกำหนดตามแกน Oy ค่าโคไซน์ตามแกน Ox และสามารถกำหนดค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้โดยใช้แกนเพิ่มเติมที่ขนานกับแกน Oy และแกน Ox ตามลำดับ

ค่าตารางของไซน์และโคไซน์จะอยู่บนแกนที่สอดคล้องกันดังต่อไปนี้:

ค่าตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ -

5) ช่วงเวลาของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ในวงกลมตรีโกณมิติคุณจะเห็นว่าค่าของไซน์และโคไซน์ถูกทำซ้ำทุกๆ เรเดียน และแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ - ทุกเรเดียน

6) ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คุณสมบัตินี้สามารถได้รับโดยการเปรียบเทียบค่าของการหมุนมุมบวกและมุมตรงข้ามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราเข้าใจแล้ว

ซึ่งหมายความว่าโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ ส่วนฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่

7) การเพิ่มและลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

วงกลมตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันไซน์เพิ่มขึ้น และลดลง

การให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราได้ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

8) สูตรลด

สำหรับมุม เราใช้ค่าที่น้อยกว่าของมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ สูตรทั้งหมดได้มาจากการเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เลือก

อัลกอริทึมสำหรับการใช้สูตรลด:

1) กำหนดสัญลักษณ์ของฟังก์ชันเมื่อหมุนผ่านมุมที่กำหนด

เมื่อเลี้ยวโค้ง ฟังก์ชั่นจะถูกเก็บรักษาไว้เมื่อหมุนเป็นมุม - จำนวนเต็ม, เลขคี่, โคฟังก์ชัน (

9) ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ให้เราแนะนำฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้คำจำกัดความของฟังก์ชัน

แต่ละค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเดียวของมุมการหมุน ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความคือ ช่วงของค่าคือ - สำหรับฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความคือ ช่วงของค่าคือ ในทำนองเดียวกันเราได้รับโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันผกผันสำหรับโคไซน์และโคแทนเจนต์

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

1) การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันบนแกนที่สอดคล้องกัน

2) ค้นหามุมการหมุนของรัศมีเริ่มต้นโดยคำนึงถึงช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ตัวอย่างเช่น:

10) การแก้สมการง่ายๆ บนวงกลมตรีโกณมิติ

ในการแก้สมการของรูปแบบ เราจะค้นหาจุดบนวงกลมที่มีพิกัดเท่ากันและเขียนมุมที่สอดคล้องกันโดยคำนึงถึงคาบของฟังก์ชัน

สำหรับสมการ เราจะหาจุดบนวงกลมที่มีจุดหักมุมเท่ากันและจดมุมที่ตรงกันโดยคำนึงถึงคาบของฟังก์ชันด้วย

ในทำนองเดียวกันสำหรับสมการของแบบฟอร์ม ค่าจะถูกกำหนดบนเส้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์และบันทึกมุมการหมุนที่สอดคล้องกัน

นักเรียนจะเรียนรู้แนวคิดและสูตรตรีโกณมิติทั้งหมดด้วยตนเองภายใต้คำแนะนำที่ชัดเจนของครูโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ ในอนาคต "วงกลม" นี้จะทำหน้าที่เป็นสัญญาณอ้างอิงหรือปัจจัยภายนอกเพื่อให้พวกเขาทำซ้ำแนวคิดและสูตรของตรีโกณมิติในหน่วยความจำ

การเรียนตรีโกณมิติบนวงกลมตรีโกณมิติช่วย:

• การเลือกรูปแบบการสื่อสารที่เหมาะสมที่สุดสำหรับบทเรียนที่กำหนด การจัดความร่วมมือทางการศึกษา
• เป้าหมายบทเรียนมีความสำคัญต่อนักเรียนแต่ละคน
• เนื้อหาใหม่จะขึ้นอยู่กับประสบการณ์ส่วนตัวของนักเรียนในด้านการกระทำ การคิด และความรู้สึก
• บทเรียนประกอบด้วยงานรูปแบบต่างๆ และวิธีการได้มาและซึมซับความรู้
• มีองค์ประกอบของการเรียนรู้ร่วมกันและการเรียนรู้ด้วยตนเอง

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ - เมื่อออกเสียงคำเหล่านี้ต่อหน้านักเรียนมัธยมปลาย คุณสามารถมั่นใจได้ว่าสองในสามของพวกเขาจะหมดความสนใจในการสนทนาต่อไป เหตุผลก็คือความจริงที่ว่าพื้นฐานของวิชาตรีโกณมิติที่โรงเรียนได้รับการสอนโดยแยกจากความเป็นจริงโดยสิ้นเชิง ดังนั้นนักเรียนจึงไม่เห็นประเด็นในการศึกษาสูตรและทฤษฎีบท

ในความเป็นจริงเมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดความรู้ในด้านนี้น่าสนใจมากเช่นเดียวกับการนำไปใช้ - ตรีโกณมิติใช้ในดาราศาสตร์การก่อสร้างฟิสิกส์ดนตรีและสาขาอื่น ๆ อีกมากมาย

มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานและบอกเหตุผลหลายประการในการศึกษาสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้

เรื่องราว

ไม่มีใครรู้ว่าในช่วงเวลาใดที่มนุษยชาติเริ่มสร้างตรีโกณมิติในอนาคตตั้งแต่เริ่มต้น อย่างไรก็ตามมีบันทึกไว้ว่าในช่วงสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช ชาวอียิปต์คุ้นเคยกับพื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้: นักโบราณคดีพบกระดาษปาปิรัสโดยมีหน้าที่ต้องค้นหามุมเอียงของปิรามิดจากสองด้านที่รู้จัก

นักวิทยาศาสตร์แห่งบาบิโลนโบราณประสบความสำเร็จอย่างจริงจังมากขึ้น ตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมาในการศึกษาดาราศาสตร์พวกเขาเชี่ยวชาญทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งแนะนำวิธีการพิเศษในการวัดมุมซึ่งเราใช้อยู่ในปัจจุบัน: องศานาทีและวินาทีถูกยืมโดยวิทยาศาสตร์ยุโรปในวัฒนธรรมกรีก - โรมันซึ่ง หน่วยเหล่านี้มาจากชาวบาบิโลน

สันนิษฐานว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียงซึ่งเกี่ยวข้องกับพื้นฐานของตรีโกณมิติเป็นที่รู้จักของชาวบาบิโลนเมื่อเกือบสี่พันปีก่อน

ชื่อ

จริงๆ แล้ว คำว่า "ตรีโกณมิติ" สามารถแปลได้ว่า "การวัดรูปสามเหลี่ยม" วัตถุหลักของการศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์นี้มานานหลายศตวรรษคือสามเหลี่ยมมุมฉากหรือแม่นยำยิ่งขึ้นคือความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมกับความยาวของด้านข้าง (วันนี้การศึกษาตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นเริ่มต้นด้วยส่วนนี้) . มักจะมีสถานการณ์ในชีวิตที่เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติที่จะวัดพารามิเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดของวัตถุ (หรือระยะห่างจากวัตถุ) จากนั้นจึงจำเป็นต้องรับข้อมูลที่ขาดหายไปผ่านการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น ในอดีตผู้คนไม่สามารถวัดระยะทางถึงวัตถุในอวกาศได้ แต่ความพยายามที่จะคำนวณระยะทางเหล่านี้เกิดขึ้นนานก่อนการกำเนิดของยุคของเรา ตรีโกณมิติยังมีบทบาทสำคัญในการนำทาง ด้วยความรู้บางอย่าง กัปตันสามารถนำทางโดยดวงดาวในเวลากลางคืนและปรับเส้นทางได้

แนวคิดพื้นฐาน

การเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นต้องอาศัยความเข้าใจและจดจำคำศัพท์พื้นฐานหลายคำ

ไซน์ของมุมหนึ่งคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้เราชี้แจงว่าขาตรงข้ามเป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เรากำลังพิจารณา ดังนั้น ถ้ามุมหนึ่งเป็น 30 องศา ไซน์ของมุมนี้จะเท่ากับ ½ เสมอ ไม่ว่ารูปสามเหลี่ยมจะมีขนาดใดก็ตาม โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด (หรืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ที่เท่ากัน) โคแทนเจนต์คือหน่วยที่หารด้วยแทนเจนต์

ควรกล่าวถึงตัวเลขอันโด่งดัง ไพ (3.14...) ซึ่งมีความยาวครึ่งหนึ่งของวงกลมและมีรัศมี 1 หน่วย

ข้อผิดพลาดยอดนิยม

คนที่เรียนรู้ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นมักทำผิดพลาดหลายครั้ง ส่วนใหญ่เกิดจากการไม่ตั้งใจ

อันดับแรก เมื่อแก้ปัญหาเรขาคณิต คุณต้องจำไว้ว่าการใช้ไซน์และโคไซน์สามารถทำได้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น มันเกิดขึ้นที่นักเรียน "โดยอัตโนมัติ" จะใช้ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากและได้ผลลัพธ์การคำนวณที่ไม่ถูกต้อง

ประการที่สอง ในตอนแรกมันง่ายที่จะสร้างความสับสนให้กับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับมุมที่เลือก: จำไว้ว่าไซน์ของ 30 องศาเป็นตัวเลขเท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน หากคุณทดแทนตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง การคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดจะไม่ถูกต้อง

ประการที่สาม จนกว่าปัญหาจะได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ คุณไม่ควรปัดเศษค่าใดๆ แยกราก หรือเขียนเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยม บ่อยครั้งที่นักเรียนพยายามหาตัวเลขที่ "สวยงาม" ในปัญหาตรีโกณมิติและแยกรากของสามออกทันที แม้ว่าหลังจากการกระทำเพียงครั้งเดียว รากก็สามารถลดลงได้

นิรุกติศาสตร์ของคำว่า "ไซน์"

ประวัติความเป็นมาของคำว่า "ไซน์" นั้นไม่ธรรมดาจริงๆ ความจริงก็คือการแปลคำนี้จากภาษาละตินตามตัวอักษรแปลว่า "กลวง" นี่เป็นเพราะว่าความเข้าใจที่ถูกต้องของคำนั้นหายไประหว่างการแปลจากภาษาหนึ่งไปอีกภาษาหนึ่ง

ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานมาจากอินเดียโดยที่แนวคิดของไซน์แสดงด้วยคำว่า "สตริง" ในภาษาสันสกฤต - ความจริงก็คือส่วนนั้นเมื่อรวมกับส่วนโค้งของวงกลมที่วางอยู่นั้นดูเหมือนคันธนู . ในช่วงรุ่งเรืองของอารยธรรมอาหรับ ความสำเร็จของอินเดียในด้านตรีโกณมิติถูกยืมมา และคำนี้ส่งต่อเป็นภาษาอาหรับเพื่อถอดความ มันเกิดขึ้นที่ภาษานี้มีคำที่คล้ายกันอยู่แล้วซึ่งแสดงถึงภาวะซึมเศร้าและหากชาวอาหรับเข้าใจความแตกต่างทางสัทศาสตร์ระหว่างคำพื้นเมืองและคำที่ยืมมาชาวยุโรปที่แปลบทความทางวิทยาศาสตร์เป็นภาษาละตินก็แปลคำภาษาอาหรับผิดตามตัวอักษรซึ่งไม่มีอะไรเลย เกี่ยวข้องกับแนวคิดของไซน์ เรายังคงใช้มันมาจนถึงทุกวันนี้

ตารางค่า

มีตารางที่มีค่าตัวเลขสำหรับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมด ด้านล่างนี้เรานำเสนอข้อมูลสำหรับมุม 0, 30, 45, 60 และ 90 องศา ซึ่งต้องเรียนรู้เป็นส่วนบังคับของตรีโกณมิติสำหรับ "หุ่นจำลอง" โชคดีที่ง่ายต่อการจดจำ

ถ้ามันเกิดขึ้นที่ค่าตัวเลขของไซน์หรือโคไซน์ของมุม “ออกไปจากหัวของคุณ” ก็มีวิธีหามันด้วยตัวเอง

การแสดงทางเรขาคณิต

ลองวาดวงกลมแล้ววาดแอ๊บซิสซาแล้วจัดแกนผ่านจุดศูนย์กลาง แกนอับซิสซาอยู่ในแนวนอน แกนกำหนดเป็นแนวตั้ง โดยปกติจะมีลายเซ็นเป็น "X" และ "Y" ตามลำดับ ตอนนี้เราจะวาดเส้นตรงจากศูนย์กลางของวงกลมเพื่อให้ได้มุมที่เราต้องการระหว่างมันกับแกน X สุดท้าย จากจุดที่เส้นตรงตัดกับวงกลม ให้วางตั้งฉากกับแกน X ความยาวของส่วนที่เป็นผลลัพธ์จะเท่ากับค่าตัวเลขของไซน์ของมุมของเรา

วิธีนี้จะเกี่ยวข้องมากหากคุณลืมค่าที่ต้องการ เช่น ระหว่างทำข้อสอบ และคุณไม่มีหนังสือเรียนตรีโกณมิติอยู่ในมือ คุณจะไม่ได้จำนวนที่แน่นอนด้วยวิธีนี้ แต่คุณจะเห็นความแตกต่างระหว่าง ½ ถึง 1.73/2 อย่างแน่นอน (ไซน์และโคไซน์ของมุม 30 องศา)

แอปพลิเคชัน

ผู้เชี่ยวชาญกลุ่มแรกๆ บางส่วนที่ใช้ตรีโกณมิติคือกะลาสีเรือที่ไม่มีจุดอ้างอิงอื่นในทะเลเปิด ยกเว้นท้องฟ้าเหนือศีรษะ ทุกวันนี้ กัปตันเรือ (เครื่องบินและการขนส่งรูปแบบอื่น) ไม่ได้มองหาเส้นทางที่สั้นที่สุดโดยใช้ดวงดาว แต่หันไปใช้การนำทางด้วย GPS อย่างแข็งขัน ซึ่งจะเป็นไปไม่ได้หากไม่มีการใช้ตรีโกณมิติ

ในเกือบทุกส่วนของฟิสิกส์ คุณจะพบการคำนวณโดยใช้ไซน์และโคไซน์ ไม่ว่าจะเป็นการใช้แรงในกลศาสตร์ การคำนวณเส้นทางของวัตถุในจลนศาสตร์ การสั่นสะเทือน การแพร่กระจายคลื่น การหักเหของแสง - คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีตรีโกณมิติพื้นฐานใน สูตร

อีกอาชีพหนึ่งที่คิดไม่ถึงหากไม่มีตรีโกณมิติคือนักสำรวจ การใช้กล้องสำรวจและระดับ หรืออุปกรณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น เครื่องวัดวามเร็ว คนเหล่านี้จะวัดความแตกต่างในความสูงระหว่างจุดต่างๆ บนพื้นผิวโลก

การทำซ้ำ

ตรีโกณมิติไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับมุมและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเท่านั้น แม้ว่านี่จะเป็นจุดเริ่มต้นของการดำรงอยู่ของมันก็ตาม ในทุกพื้นที่ที่มีวัฏจักร (ชีววิทยา การแพทย์ ฟิสิกส์ ดนตรี ฯลฯ) คุณจะพบกราฟที่มีชื่อคุณคงคุ้นเคย - นี่คือคลื่นไซน์

กราฟดังกล่าวเป็นวงกลมที่กางออกตามแกนเวลาและดูเหมือนคลื่น หากคุณเคยทำงานกับออสซิลโลสโคปในชั้นเรียนฟิสิกส์ คุณจะรู้ว่าเรากำลังพูดถึงอะไร ทั้งอีควอไลเซอร์เพลงและเครื่องวัดอัตราการเต้นของหัวใจใช้สูตรตรีโกณมิติในการทำงาน

สรุปแล้ว

เมื่อคิดถึงวิธีเรียนวิชาตรีโกณมิติ นักเรียนมัธยมต้นและมัธยมปลายส่วนใหญ่เริ่มคิดว่ามันเป็นวิทยาศาสตร์ที่ยากและปฏิบัติไม่ได้ เนื่องจากพวกเขาจะคุ้นเคยกับข้อมูลที่น่าเบื่อจากหนังสือเรียนเท่านั้น

สำหรับความเป็นไปไม่ได้ เราได้เห็นแล้วว่าในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น ความสามารถในการจัดการไซน์และแทนเจนต์เป็นสิ่งจำเป็นในเกือบทุกกิจกรรม ส่วนความซับซ้อน... ลองคิดดูว่า ถ้าคนใช้ความรู้นี้เมื่อกว่าสองพันปีก่อน ผู้ใหญ่มีความรู้น้อยกว่านักเรียนมัธยมปลายในปัจจุบัน จะเป็นไปได้ไหมที่คุณจะเรียนสาขาวิทยาศาสตร์นี้เป็นการส่วนตัวในระดับพื้นฐาน? ฝึกฝนการแก้ปัญหาอย่างรอบคอบสองสามชั่วโมง - แล้วคุณจะบรรลุเป้าหมายโดยการเรียนหลักสูตรพื้นฐานที่เรียกว่าตรีโกณมิติสำหรับหุ่นจำลอง

ในบทนี้เราจะเรียนรู้คำจำกัดความ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและคุณสมบัติพื้นฐานเรียนรู้วิธีการทำงานด้วย วงกลมตรีโกณมิติมาดูกันว่ามันคืออะไร ระยะเวลาของฟังก์ชันและจดจำสิ่งต่างๆ วิธีการวัดมุม- นอกจากนี้เราจะเข้าใจการใช้งาน สูตรลด.

บทเรียนนี้จะช่วยคุณเตรียมความพร้อมสำหรับงานประเภทใดประเภทหนึ่ง B7.

การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

การทดลอง

บทที่ 7ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

ทฤษฎี

สรุปบทเรียน

วันนี้เราจะมาเริ่มหัวข้อที่มีชื่อที่น่ากลัวว่า “ตรีโกณมิติ” สำหรับหลายๆ คน ขอให้ชัดเจนทันทีว่านี่ไม่ใช่วิชาแยกที่คล้ายกับชื่อเรขาคณิตอย่างที่บางคนคิด แม้ว่าคำแปลจากภาษากรีกคำว่า "ตรีโกณมิติ" หมายถึง "การวัดรูปสามเหลี่ยม" และเกี่ยวข้องโดยตรงกับเรขาคณิต นอกจากนี้การคำนวณตรีโกณมิติยังใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์และเทคโนโลยี แต่เราจะเริ่มต้นด้วยการพิจารณาว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากอย่างไร

เราเพิ่งใช้คำว่า "ฟังก์ชันตรีโกณมิติ" ซึ่งหมายความว่าเราจะแนะนำกฎการโต้ตอบบางอย่างระหว่างตัวแปรหนึ่งกับอีกตัวแปรหนึ่งทั้งคลาส

ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเพื่อความสะดวกจะใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับด้านข้างและมุมซึ่งคุณสามารถดูได้ในรูป:

ลองพิจารณามุมต่างๆ เป็นตัวอย่างและป้อนการดำเนินการต่อไปนี้:

ลองเรียกอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับไซน์ด้านตรงข้ามมุมฉากนั่นคือ

ลองเรียกอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉากโคไซน์นั่นคือ -

อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกันจะเรียกว่าแทนเจนต์นั่นคือ -

อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามจะเรียกว่าโคแทนเจนต์นั่นคือ -

การกระทำทั้งหมดนี้เรียกว่ามุม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- โดยปกติจะเรียกว่ามุม อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและสามารถเขียนแทนด้วย X ตามปกติในพีชคณิต

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจทันทีว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยเฉพาะ ไม่ใช่ที่ด้านข้าง นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ถ้าเราพิจารณาสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันนี้ ซึ่งความยาวของด้านจะแตกต่างกัน แต่มุมและอัตราส่วนของด้านทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมก็จะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน

หลังจากคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ คำถามอาจเกิดขึ้น: “มีหรือไม่ เช่น- ท้ายที่สุดแล้วมุมไม่สามารถอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้» - น่าแปลกที่คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้รับการยืนยันและค่าของนิพจน์นี้เท่ากับ และนี่เป็นเรื่องที่น่าแปลกใจยิ่งกว่านั้นเนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและความยาวของด้านคือ ตัวเลขบวก

แต่ไม่มีความขัดแย้งในเรื่องนี้ ความจริงก็คือตัวอย่างเช่นในฟิสิกส์เมื่ออธิบายกระบวนการบางอย่างจำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมไม่เพียง แต่ใหญ่ แต่ยังใหญ่และสม่ำเสมอด้วย ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องแนะนำกฎทั่วไปเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สิ่งที่เรียกว่า "หน่วยวงกลมตรีโกณมิติ".

เป็นวงกลมที่มีหน่วยรัศมี วาดให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบคาร์ทีเซียน

ในการพรรณนามุมต่างๆ ในวงกลมนี้ คุณต้องตกลงกันว่าจะนำมุมเหล่านั้นมาจากที่ใด เป็นที่ยอมรับกันว่าจะใช้ทิศทางบวกของแกนแอบซิสซาเป็นรังสีอ้างอิงมุม กล่าวคือ แกน x. ทิศทางการทับถมของมุมถือเป็นทวนเข็มนาฬิกาตามข้อตกลงเหล่านี้ ให้เรากันมุมแหลมไว้ก่อน สำหรับมุมแหลมดังกล่าวเรารู้วิธีคำนวณค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว ปรากฎว่าการใช้วงกลมที่ปรากฎทำให้คุณสามารถคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติได้สะดวกยิ่งขึ้นเท่านั้น

ค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมแหลมคือพิกัดของจุดตัดของด้านข้างของมุมนี้กับวงกลมหน่วย:

สิ่งนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

:

โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า พิกัดตามแนวแกน x จะแสดงค่าของโคไซน์ และพิกัดตามแนวแกน y จะแสดงค่าของไซน์ของมุมจะสะดวกในการเปลี่ยนชื่อแกนในระบบพิกัดด้วยวงกลมหน่วยดังรูป:

แกนแอบซิสซาถูกเปลี่ยนชื่อเป็นแกนโคไซน์ และแกนกำหนดเป็นแกนไซน์

กฎที่ระบุในการกำหนดไซน์และโคไซน์นั้นใช้โดยทั่วไปกับทั้งมุมป้านและมุมที่อยู่ในพิสัยจากถึง ในกรณีนี้ ไซน์และโคไซน์สามารถรับได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ หลากหลาย สัญญาณของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้ขึ้นอยู่กับว่ามุมที่เป็นปัญหานั้นอยู่ในไตรมาสใด เป็นเรื่องปกติที่จะพรรณนาดังนี้:

อย่างที่คุณเห็น สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกกำหนดโดยทิศทางบวกและลบของแกนที่สอดคล้องกัน

นอกจากนี้ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเนื่องจากพิกัดที่ใหญ่ที่สุดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยทั้งตามแนวแกนแอบซิสซาและแกนกำหนดมีค่าเท่ากับหนึ่งและค่าที่เล็กที่สุดคือลบหนึ่งแล้ว ค่าไซน์และโคไซน์จำกัดเพียงตัวเลขเหล่านี้:

บันทึกเหล่านี้มักจะเขียนในรูปแบบนี้เช่นกัน:

เพื่อที่จะแนะนำฟังก์ชันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติจำเป็นต้องวาดองค์ประกอบเพิ่มเติม: แทนเจนต์ของวงกลมที่จุด A - ค่าของแทนเจนต์ของมุมจะถูกกำหนดจากนั้นและแทนเจนต์ถึงที่ จุด B - ค่าของโคแทนเจนต์ของมุมถูกกำหนดจากมัน

อย่างไรก็ตาม เราจะไม่เจาะลึกถึงคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติเพราะว่า สามารถคำนวณได้ง่าย ๆ โดยการรู้ค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมที่กำหนดซึ่งเรารู้อยู่แล้วว่าต้องทำอย่างไร หากคุณสนใจที่จะเรียนรู้วิธีการคำนวณแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ ให้ทบทวนหลักสูตรวิชาพีชคณิตเกรด 10

เราระบุเฉพาะภาพบนวงกลม สัญญาณของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับมุม:

โปรดทราบว่า คุณสามารถระบุช่วงของค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้ เช่นเดียวกับช่วงของค่าไซน์และโคไซน์ ตามคำจำกัดความของวงกลมตรีโกณมิติ ความหมายของฟังก์ชันเหล่านี้ไม่จำกัด:

มีอะไรอีกที่สามารถเขียนได้เช่นนี้:

นอกจากมุมในช่วงจากถึงแล้ว วงกลมตรีโกณมิติยังช่วยให้คุณทำงานกับมุมที่ใหญ่กว่าและแม้กระทั่งกับมุมลบด้วย ค่ามุมดังกล่าวแม้จะดูไม่มีความหมายสำหรับเรขาคณิต แต่ก็ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายกระบวนการทางกายภาพบางอย่าง เช่น คุณจะตอบคำถามอย่างไร: “เข็มนาฬิกาในหนึ่งวันจะหมุนไปมุมไหน”ในช่วงเวลานี้ มันจะเสร็จสิ้นการปฏิวัติสองครั้งเต็ม และในการปฏิวัติครั้งเดียวมันจะผ่านไป กล่าวคือ ภายในหนึ่งวันก็จะเปลี่ยนเป็น อย่างที่คุณเห็นค่าดังกล่าวมีความหมายเชิงปฏิบัติมาก เครื่องหมายมุมใช้เพื่อระบุทิศทางการหมุน - ทิศทางใดทิศทางหนึ่งตกลงที่จะวัดด้วยมุมบวกและอีกทิศทางหนึ่งเห็นด้วยมุมลบ สิ่งนี้จะนำมาพิจารณาในวงกลมตรีโกณมิติได้อย่างไร?

บนวงกลมที่มีมุมดังกล่าวจะทำงานดังนี้:

1) มุมที่มากกว่า , จะถูกพล็อตทวนเข็มนาฬิกาโดยผ่านจุดกำเนิดหลาย ๆ ครั้งตามความจำเป็น ตัวอย่างเช่น ในการสร้างมุม คุณต้องผ่านการปฏิวัติเต็มสองครั้งและอีกครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดจะถูกคำนวณสำหรับตำแหน่งสุดท้าย จะเห็นได้ง่ายว่าค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดสำหรับและสำหรับจะเท่ากัน

2) มุมลบจะถูกจัดวางตามหลักการเดียวกันกับมุมบวกทุกประการตามเข็มนาฬิกาเท่านั้น

จากวิธีการสร้างมุมขนาดใหญ่แล้วเราสามารถสรุปได้ว่าค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมที่แตกต่างกันจะเท่ากัน หากเราวิเคราะห์ค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ก็จะเท่ากันสำหรับมุมที่แตกต่างกัน .

เมื่อเพิ่มเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ ตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์น้อยที่สุดดังกล่าวจะไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชันจะถูกเรียก ระยะเวลาฟังก์ชั่นนี้

ดังนั้น, ระยะเวลาไซน์และโคไซน์เท่ากันและแทนเจนต์และโคแทนเจนต์- ซึ่งหมายความว่าไม่ว่าคุณจะเพิ่มหรือลบช่วงเวลาเหล่านี้จากมุมที่พิจารณาเท่าใด ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างเช่น, , และอื่น ๆ

เราจะกลับมาที่คำอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติมและการประยุกต์คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้

มีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เดียวกันที่มักใช้และถูกเรียก อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:

1) ที่เรียกว่า "หน่วยตรีโกณมิติ"

3)

4)

5)

โปรดทราบว่า ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์หมายความว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นกำลังสอง เหล่านั้น. สามารถแสดงได้ในรูปแบบนี้: - สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าสิ่งนี้ไม่เท่ากับสัญกรณ์ เช่น ในกรณีนี้ มีเพียงอาร์กิวเมนต์เท่านั้นที่ถูกยกกำลังสอง และไม่ใช่ฟังก์ชันทั้งหมด นอกจากนี้ นิพจน์ประเภทนี้ยังพบได้น้อยมาก

มีข้อพิสูจน์ที่มีประโยชน์มากสองประการจากอัตลักษณ์แรกที่สามารถเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาหลายประเภท หลังจากการแปลงอย่างง่าย คุณสามารถแสดงไซน์ผ่านโคไซน์ของมุมเดียวกันและในทางกลับกัน:

เครื่องหมายนิพจน์ที่เป็นไปได้สองรายการปรากฏขึ้นเนื่องจาก การใช้รากที่สองทางคณิตศาสตร์จะให้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ และไซน์และโคไซน์ดังที่เราได้เห็นแล้วว่าสามารถมีค่าเป็นลบได้ ยิ่งไปกว่านั้น จะสะดวกที่สุดในการกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันเหล่านี้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับว่ามีมุมใดบ้างที่อยู่ในนั้น

โปรดจำไว้ว่ามุมสามารถวัดได้สองวิธี: เป็นองศาและเรเดียน ให้เราระบุคำจำกัดความของหนึ่งองศาและหนึ่งเรเดียน

ระดับหนึ่ง- คือมุมที่เกิดจากรัศมีสองรัศมีที่ค้ำส่วนโค้งเท่ากับวงกลม

หนึ่งเรเดียน- นี่คือมุมที่เกิดจากรัศมีสองรัศมีต่อด้วยส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมี

เหล่านั้น. มันเป็นเพียงสองวิธีในการวัดมุมที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ในการอธิบายกระบวนการทางกายภาพที่มีลักษณะเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้การวัดมุมเรเดียน ดังนั้นเราจะต้องคุ้นเคยกับมันด้วย

เป็นเรื่องปกติที่จะวัดมุมเป็นเรเดียนเป็นเศษส่วนของพาย เป็นต้น ในกรณีนี้สามารถทดแทนค่า pi ซึ่งเท่ากับ 3.14 ได้ แต่ไม่ค่อยทำได้

เพื่อแปลงหน่วยวัดองศาของมุมเป็นเรเดียนใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่ามุมคือ ซึ่งง่ายต่อการรับสูตรการแปลทั่วไป:

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเป็นเรเดียน: .

นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่ตรงกันข้าม สูตรการแปลงจากเรเดียนเป็นองศา:

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเป็นองศา: .

เราจะใช้การวัดมุมเรเดียนค่อนข้างบ่อยในหัวข้อนี้

ตอนนี้เป็นเวลาที่ต้องจำไว้ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่างๆ สามารถให้ค่าเฉพาะใดได้บ้าง สำหรับมุมบางมุมที่เป็นผลทวีคูณของ ก็มี ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เพื่อความสะดวก มุมจะแสดงเป็นหน่วยวัดองศาและเรเดียน

มุมเหล่านี้มักพบกับปัญหามากมาย และขอแนะนำให้สามารถนำทางในตารางนี้ได้อย่างมั่นใจ ค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของบางมุมไม่สมเหตุสมผลซึ่งระบุในตารางเป็นเส้นประ คิดด้วยตัวเองว่าทำไมจึงเป็นเช่นนี้หรืออ่านรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนแทรกของบทเรียน

สิ่งสุดท้ายที่เราต้องทำความคุ้นเคยในบทเรียนตรีโกณมิติบทเรียนแรกของเราคือ การแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สูตรที่เรียกว่าสูตรลด

ปรากฎว่ามีนิพจน์บางประเภทสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ค่อนข้างธรรมดาและทำให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น เหล่านี้คือนิพจน์: ฯลฯ

เหล่านั้น. เราจะพูดถึงฟังก์ชันที่ใช้เป็นมุมโต้แย้งโดยพลการซึ่งเปลี่ยนเป็นทั้งหมดหรือครึ่งส่วน ฟังก์ชั่นดังกล่าวทำให้ง่ายขึ้นเป็นอาร์กิวเมนต์ที่เท่ากับมุมบวกหรือลบส่วนต่างๆ ตัวอย่างเช่น, , ก - อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์อาจเป็นฟังก์ชันตรงกันข้าม และฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้

ดังนั้นกฎสำหรับการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันดังกล่าวจึงสามารถแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน ขั้นแรก คุณต้องพิจารณาว่าคุณจะได้ฟังก์ชันใดหลังจากการแปลง:

1) หากอาร์กิวเมนต์ใด ๆ ถูกเปลี่ยนเป็นจำนวนเต็มฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันประเภท โดยที่จำนวนเต็มใดๆ