มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น มุมระหว่างเส้นบนระนาบ

วัสดุนี้ทุ่มเทให้กับแนวคิดเช่นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน ในย่อหน้าแรก เราจะอธิบายว่ามันคืออะไรและแสดงในภาพประกอบ จากนั้นเราจะวิเคราะห์ว่าคุณสามารถหาไซน์โคไซน์ของมุมนี้และมุมได้อย่างไร (เราจะพิจารณากรณีที่มีระนาบและพื้นที่สามมิติแยกกัน) สูตรที่จำเป็นและแสดงตัวอย่างการใช้งานจริง

Yandex.RTB R-A-339285-1

เพื่อให้เข้าใจว่ามุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นคืออะไร เราต้องระลึกถึงคำจำกัดความของมุม ความตั้งฉาก และจุดตัดกัน

คำจำกัดความ 1

เราเรียกเส้นสองเส้นที่ตัดกันหากมีจุดร่วมหนึ่งจุด จุดนี้เรียกว่าจุดตัดของสองเส้น

แต่ละเส้นแบ่งตามจุดตัดกันเป็นรังสี ในกรณีนี้ เส้นทั้งสองสร้างมุม 4 มุม โดยสองเส้นเป็นแนวตั้งและสองเส้นอยู่ติดกัน หากเราทราบการวัดของหนึ่งในนั้น เราก็สามารถกำหนดขนาดที่เหลือได้

สมมุติว่าเรารู้ว่ามุมหนึ่งเท่ากับ α ในกรณีเช่นนี้ มุมที่เป็นแนวตั้งกับมุมนั้นจะเท่ากับ α ด้วย ในการหามุมที่เหลือ เราต้องคำนวณความแตกต่าง 180 ° - α . ถ้า α เท่ากับ 90 องศา มุมทั้งหมดจะเป็นมุมขวา เส้นที่ตัดกันที่มุมฉากเรียกว่าตั้งฉาก (บทความแยกต่างหากมีไว้สำหรับแนวคิดเรื่องการตั้งฉาก)

ลองดูที่ภาพ:

ให้เราดำเนินการกำหนดคำจำกัดความหลัก

คำจำกัดความ 2

มุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นคือการวัดมุมที่เล็กกว่าของมุมทั้งสี่ที่สร้างเส้นสองเส้นนี้

ข้อสรุปที่สำคัญจะต้องดึงออกมาจากคำจำกัดความ: ขนาดของมุมในกรณีนี้จะถูกแสดงโดยใดๆ เบอร์จริงในช่วงเวลา (0 , 90 ] . หากเส้นตั้งฉากมุมระหว่างพวกเขาจะเท่ากับ 90 องศาในทุกกรณี

ความสามารถในการหาค่ามุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นนั้นมีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง วิธีการแก้ปัญหาสามารถเลือกได้จากหลายตัวเลือก

สำหรับการเริ่มต้น เราสามารถใช้วิธีทางเรขาคณิต ถ้าเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับมุมเพิ่มเติม เราก็สามารถเชื่อมมันเข้ากับมุมที่เราต้องการได้โดยใช้คุณสมบัติของรูปทรงที่เท่ากันหรือคล้ายกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรารู้ด้านของสามเหลี่ยมและจำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงที่ด้านเหล่านี้ตั้งอยู่ ทฤษฎีบทโคไซน์ก็เหมาะสำหรับการแก้สมการ ถ้าเรามีสภาพ สามเหลี่ยมมุมฉากสำหรับการคำนวณ เราจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมด้วย

วิธีการพิกัดยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ มาอธิบายวิธีการใช้งานอย่างถูกต้องกันเถอะ

เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) O x y ที่มีเส้นตรงสองเส้น ลองแทนด้วยตัวอักษร a และ b ในกรณีนี้ คุณสามารถอธิบายเส้นตรงโดยใช้สมการใดก็ได้ เส้นเดิมมีจุดตัด M จะกำหนดมุมที่ต้องการได้อย่างไร (ให้แทนค่า α) ระหว่างเส้นเหล่านี้

เริ่มจากการกำหนดหลักการพื้นฐานของการหามุมภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด

เรารู้ว่าแนวคิดเช่นการกำกับและเวกเตอร์ปกติมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของเส้นตรง ถ้าเรามีสมการของเส้นตรง เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จากมันได้ เราสามารถทำได้สำหรับสองเส้นตัดกันในครั้งเดียว

มุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นสามารถหาได้โดยใช้:

• มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
• มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ
• มุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ทิศทางของอีกเส้นหนึ่ง

ทีนี้มาดูแต่ละวิธีแยกกัน

1. สมมติว่าเรามีเส้น a ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง b → (b x , b y) ทีนี้ลองกันเวกเตอร์สองตัว a → และ b → จากจุดตัดกัน หลังจากนั้นเราจะมาดูกันว่าพวกเขาแต่ละคนจะอยู่ในสายของตัวเอง จากนั้นเรามีสี่ตัวเลือกสำหรับพวกเขา ตำแหน่งสัมพัทธ์. ดูภาพประกอบ:

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวไม่ป้าน มันจะเป็นมุมที่เราต้องการระหว่างเส้นตัด a กับ b ถ้าเป็นป้านจะได้มุมที่ต้องการ เท่ากับมุม, ติดกับมุม a → , b → ^ . ดังนั้น α = a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° และ α = 180 ° - a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 °

จากข้อเท็จจริงที่ว่าโคไซน์ของมุมเท่ากันนั้นเท่ากัน เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ใหม่ได้ดังนี้: cos α = cos a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 ° .

ในกรณีที่สอง ใช้สูตรการลดขนาด ทางนี้,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

ลองเขียนสูตรสุดท้ายเป็นคำ:

คำจำกัดความ 3

โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นคือ เท่ากับโมดูโลโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของมัน

รูปแบบทั่วไปของสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว a → = (a x, a y) และ b → = (b x, b y) มีลักษณะดังนี้:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

จากนั้นเราจะได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างสองบรรทัดที่กำหนด:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

จากนั้นสามารถหามุมได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

โดยที่ a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด

ให้เรายกตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1

ในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะมีเส้นตัดกันสองเส้น a และ b บนระนาบ สามารถอธิบายได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R และ x 5 = y - 6 - 3 . คำนวณมุมระหว่างเส้นเหล่านี้

วิธีการแก้

เรามีสภาพ สมการพาราเมตริกซึ่งหมายความว่าสำหรับเส้นตรงนี้ เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของมันได้ทันที ในการทำเช่นนี้ เราต้องใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่พารามิเตอร์นั่นคือ เส้น x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R จะมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (4 , 1) .

บรรทัดที่สองอธิบายโดยใช้ สมการบัญญัติ x 5 = y - 6 - 3 . ที่นี่เราสามารถหาพิกัดจากตัวส่วนได้ ดังนั้น เส้นนี้มีเวกเตอร์ทิศทาง b → = (5 , - 3) .

ต่อไปเราดำเนินการค้นหามุมโดยตรง ในการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่พิกัดที่มีอยู่ของเวกเตอร์ทั้งสองลงในสูตรข้างต้น α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

ตอบ: เส้นเหล่านี้เป็นมุม 45 องศา

เราสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้โดยการหามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉาก ถ้าเรามีเส้น a ที่มีเวกเตอร์ปกติ n a → = (n a x , n a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) มุมระหว่างพวกมันจะเท่ากับมุมระหว่าง n a → และ n b → หรือมุมที่จะอยู่ติดกับ n a → , n b → ^ . วิธีนี้แสดงในรูปภาพ:

สูตรสำหรับคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกับมุมนี้เองโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติมีลักษณะดังนี้:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

ในที่นี้ n a → และ n b → หมายถึงเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดสองเส้น

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงสองเส้นอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ 3 x + 5 y - 30 = 0 และ x + 4 y - 17 = 0 หาไซน์ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน และขนาดของมุมนั้นเอง

วิธีการแก้

เส้นตรงเดิมใช้ สมการปกติเส้นของรูปแบบ A x + B y + C = 0 . แสดงถึงเวกเตอร์ปกติ n → = (A , B) . หาพิกัดของตัวแรก เวกเตอร์ปกติสำหรับเส้นตรงหนึ่งเส้นแล้วจดไว้: n a → = (3 , 5) . สำหรับบรรทัดที่สอง x + 4 y - 17 = 0 เวกเตอร์ปกติจะมีพิกัด n b → = (1 , 4) ตอนนี้เพิ่มค่าที่ได้รับลงในสูตรและคำนวณผลรวม:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

ถ้าเรารู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมุมนั้นได้โดยใช้ฐาน เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ. เนื่องจากมุม α ที่เกิดจากเส้นตรงนั้นไม่ป้าน ดังนั้นบาป α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34

ในกรณีนี้ α = a rc cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

คำตอบ: cos α = 23 2 34 , บาป α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c บาป 7 2 34

มาวิเคราะห์กัน กรณีสุดท้าย- การหามุมระหว่างเส้น ถ้าเรารู้พิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ปกติของอีกเส้น

สมมติว่าเส้น a มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้น b มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) เราจำเป็นต้องเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดตัดและพิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ ดูภาพ:

ถ้ามุมระหว่าง ให้เวกเตอร์ไม่เกิน 90 องศาปรากฎว่ามันจะเสริมมุมระหว่าง a และ b ให้เป็นมุมฉาก

a → , n b → ^ = 90 ° - α ถ้า a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

หากน้อยกว่า 90 องศา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

a → , n b → ^ > 90 ° จากนั้น a → , n b → ^ = 90 ° + α

ใช้กฎความเท่าเทียมกันของโคไซน์ของมุมเท่ากัน เราเขียน:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = บาป α สำหรับ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - บาป α ที่ a → , n b → ^ > 90 ° .

ทางนี้,

บาป α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ บาป α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

มาสร้างข้อสรุปกัน

คำจำกัดความ 4

ในการหาค่าไซน์ของมุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันในระนาบ คุณต้องคำนวณโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรกกับเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

มาเขียนกันเถอะ สูตรที่จำเป็น. หาไซน์ของมุม:

บาป α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

ค้นหามุมตัวเอง:

α = a r c บาป = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

โดยที่ a → คือเวกเตอร์ทิศทางของบรรทัดแรก และ n b → คือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

ตัวอย่างที่ 3

เส้นตัดกันสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการ x - 5 = y - 6 3 และ x + 4 y - 17 = 0 . หามุมของทางแยก

วิธีการแก้

เราใช้พิกัดของทิศทางและเวกเตอร์ปกติจากสมการที่กำหนด ปรากฎว่า a → = (- 5 , 3) ​​​​และ n → b = (1 , 4) . เราใช้สูตร α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 และพิจารณา:

α = a r c บาป = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c บาป 7 2 34

โปรดทราบว่าเราใช้สมการจากปัญหาก่อนหน้านี้และได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันทุกประการ แต่ในวิธีที่ต่างออกไป

ตอบ:α = a rc บาป 7 2 34

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการค้นหา มุมที่ต้องการโดยใช้สัมประสิทธิ์ความชันของเส้นที่กำหนด

เรามีเส้น a ซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ y = k 1 · x + b 1 และเส้น b กำหนดเป็น y = k 2 · x + b 2 นี่คือสมการของเส้นที่มีความชัน ในการหามุมของทางแยก ให้ใช้สูตร:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 โดยที่ k 1 และ k 2 คือความชันของเส้นที่กำหนด เพื่อให้ได้เร็กคอร์ดนี้ มีการใช้สูตรสำหรับกำหนดมุมผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ตัวอย่างที่ 4

มีเส้นตรงสองเส้นตัดกันในระนาบ กำหนดโดยสมการ y = - 3 5 x + 6 และ y = - 1 4 x + 17 4 . คำนวณมุมของทางแยก

วิธีการแก้

ความชันของเส้นตรงของเราเท่ากับ k 1 = - 3 5 และ k 2 = - 1 4 . มาบวกกันในสูตร α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 แล้วคำนวณ:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

ตอบ:α = a rc cos 23 2 34

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ ควรสังเกตว่าสูตรสำหรับหามุมที่ให้มาไม่จำเป็นต้องเรียนรู้ด้วยใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพิกัดของไกด์และ/หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดและสามารถกำหนดได้จาก ประเภทต่างๆสมการ แต่สูตรการคำนวณโคไซน์ของมุมควรจำหรือจดไว้ดีกว่า

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเส้นตัดกันในอวกาศ

การคำนวณมุมดังกล่าวสามารถลดลงเป็นการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและการกำหนดขนาดของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ สำหรับตัวอย่างดังกล่าว เราใช้เหตุผลเดียวกันกับที่เราให้ไว้ก่อนหน้านี้

เอาเป็นว่าเรามี ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดที่อยู่ใน พื้นที่สามมิติ. ประกอบด้วยสองบรรทัด a และ b ที่มีจุดตัด M . ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เราต้องรู้สมการของเส้นเหล่านี้ ระบุเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) ในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เราใช้สูตร:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ในการหามุมนั้น เราต้องการสูตรนี้:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ตัวอย่างที่ 5

เรามีเส้นตรงที่กำหนดในพื้นที่ 3 มิติโดยใช้สมการ x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 เป็นที่ทราบกันดีว่ามันตัดกับแกน O z คำนวณมุมของจุดตัดกับโคไซน์ของมุมนั้น

วิธีการแก้

แสดงว่ามุมที่จะคำนวณด้วยตัวอักษร α ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรงเส้นแรก - a → = (1 , - 3 , - 2) สำหรับแกนประยุกต์ เราสามารถนำเวกเตอร์พิกัด k → = (0 , 0 , 1) เป็นแนวทางได้ เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นแล้วและสามารถเพิ่มลงในสูตรที่ต้องการได้:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

เป็นผลให้เราได้ว่ามุมที่เราต้องการจะเท่ากับ a r c cos 1 2 = 45 °

ตอบ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนทุกคนที่เตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อทำซ้ำหัวข้อ "การหามุมระหว่างบรรทัด" ตามสถิติแสดงให้เห็นว่าเมื่อผ่านการทดสอบการรับรองงานสำหรับ ส่วนนี้ stereometry ทำให้เกิดปัญหาสำหรับ จำนวนมากนักเรียน. ในขณะเดียวกัน งานที่ต้องการหามุมระหว่างเส้นตรงจะพบใน USE ทั้งแบบพื้นฐานและ ระดับโปรไฟล์. ซึ่งหมายความว่าทุกคนควรจะสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

ช่วงเวลาพื้นฐาน

การจัดเรียงเส้นร่วมกันในช่องว่างมี 4 ประเภท พวกเขาสามารถตรง, ตัด, ขนานหรือตัดกัน. มุมระหว่างพวกเขาสามารถเป็นแบบเฉียบพลันหรือตรง

เพื่อหามุมระหว่างเส้นในการสอบ Unified State หรือตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาเด็กนักเรียนในมอสโกและเมืองอื่น ๆ สามารถใช้วิธีการหลายวิธีในการแก้ปัญหาในส่วนนี้ของ stereometry คุณสามารถทำงานให้สำเร็จด้วยโครงสร้างแบบคลาสสิก ในการทำเช่นนี้ การเรียนรู้สัจพจน์พื้นฐานและทฤษฎีบทของสเตอริโอเมทรีนั้นคุ้มค่า นักเรียนต้องสามารถสร้างเหตุผลอย่างมีเหตุมีผลและสร้างภาพวาดเพื่อที่จะนำงานไปสู่ปัญหาเชิงพลานิเมทริก

คุณยังสามารถใช้วิธีพิกัดเวกเตอร์โดยใช้ สูตรง่ายๆกฎและอัลกอริทึม สิ่งสำคัญในกรณีนี้คือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้อง ฝึกฝนทักษะการแก้ปัญหาของคุณใน stereometry และหัวข้ออื่นๆ หลักสูตรโรงเรียนจะช่วยคุณ โครงการการศึกษา"ชโคลโกโว"

คำแนะนำ

บันทึก

ระยะเวลา ฟังก์ชันตรีโกณมิติแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมเอียงของเส้นตรงไม่สามารถ โมดูโล เกินค่านี้

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ถ้า ปัจจัยความชันมีค่าเท่ากัน ดังนั้นมุมระหว่างเส้นดังกล่าวจึงเท่ากับ 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวจะตรงหรือขนานกัน

ในการกำหนดมุมระหว่างเส้นตัดขวาง จำเป็นต้องย้ายทั้งสองเส้น (หรือเส้นใดเส้นหนึ่ง) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยวิธีการถ่ายโอนแบบขนานไปยังทางแยก หลังจากนั้น คุณควรหามุมระหว่างเส้นตัดกันที่เกิดขึ้น

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด สามเหลี่ยมมุมฉาก ดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำ

ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ แล้วโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N คือ: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))

ในการคำนวณค่ามุมในหน่วยองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ กล่าวคือ อาร์คโคไซน์: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: find มุมระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบิน, ที่ให้ไว้ สมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ปัญหา: เขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ N = (2, -5, 3) ทดแทนทุกอย่าง ค่าที่รู้จักในสูตรข้างต้น: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เส้นตรงที่มีหนึ่งวงกลม จุดร่วม, คือสัมผัสกับวงกลม คุณลักษณะอีกประการของแทนเจนต์คือมันตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสเสมอ นั่นคือ แทนเจนต์และรัศมีสร้างเป็นเส้นตรง มุม. ถ้าแทนเจนต์สองเส้นของวงกลม AB และ AC ถูกดึงจากจุด A หนึ่งจุด พวกมันจะเท่ากันเสมอ ความหมายของมุมระหว่างแทนเจนต์ ( มุม ABC) ผลิตขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำแนะนำ

ในการกำหนดมุม คุณต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดกำเนิดของเส้นสัมผัสจากจุดศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้น มุม ABO และ ACO จะเท่ากัน รัศมี OB ตัวอย่างเช่น 10 ซม. และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. กำหนดความยาวของแทนเจนต์ตามสูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: AB = รากที่สองจาก AO2 - OB2 หรือ 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

ฉันจะพูดสั้นๆ มุมระหว่างเส้นสองเส้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้น หากคุณจัดการหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a \u003d (x 1; y 1; z 1) และ b \u003d (x 2; y 2; z 2) คุณจะพบมุมได้ แม่นยำยิ่งขึ้น โคไซน์ของมุมตามสูตร:

มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. จุด E และ F ถูกทำเครื่องหมายในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของลูกบาศก์ เราจึงตั้งค่า AB = 1 เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A และแกน x, y, z มุ่งตรงไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ . ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นของเรากัน

หาพิกัดของเวกเตอร์ AE ในการทำเช่นนี้ เราต้องการคะแนน A = (0; 0; 0) และ E = (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E อยู่ตรงกลางของเซ็กเมนต์ A 1 B 1 พิกัดของมันจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของปลาย โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด ดังนั้น AE = (0.5; 0; 1)

ทีนี้มาจัดการกับเวกเตอร์ BF กัน ในทำนองเดียวกัน เราวิเคราะห์จุด B = (1; 0; 0) และ F = (1; 0.5; 1) เนื่องจาก F - ตรงกลางของส่วน B 1 C 1 . เรามี:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

เวกเตอร์ทิศทางก็พร้อม โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นเราจึงได้:

งาน. ในปริซึมสามส่วนแบบปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด D และ E จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AD กับ BE

เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x ชี้ไปตาม AB, z - ตาม AA 1 เรากำหนดแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับ เครื่องบิน ABC. ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นที่ต้องการ

ก่อนอื่น ให้หาพิกัดของเวกเตอร์ AD กัน พิจารณาจุด: A = (0; 0; 0) และ D = (0.5; 0; 1) เนื่องจาก D - ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 . เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด เราจึงได้ AD = (0.5; 0; 1)

ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ BE กัน จุด B = (1; 0; 0) คำนวณได้ง่าย ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - ยากขึ้นเล็กน้อย เรามี:

มันยังคงค้นหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด K และ L จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AK และ BL

เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: เราวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่ศูนย์กลางของฐานล่าง กำหนดแกน x ไปตาม FC แกน y ผ่านจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ AB และ DE และแกน z ในแนวตั้งขึ้นไป ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 อีกครั้ง ให้เราเขียนพิกัดของจุดที่น่าสนใจให้เรา:

จุด K และ L เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ดังนั้นจะหาพิกัดได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อทราบจุด เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:

ทีนี้ลองหาโคไซน์ของมุมกัน:

งาน. ทางขวา พีระมิดทรงสี่เหลี่ยม SABCD ซึ่งขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด E และ F ถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของด้าน SB และ SC ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y มุ่งตรงไปตาม AB และ AD ตามลำดับ และแกน z จะพุ่งขึ้นไปในแนวตั้ง ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1

จุด E และ F คือจุดกึ่งกลางของกลุ่ม SB และ SC ตามลำดับ ดังนั้นจะพบพิกัดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของปลาย เราเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เรา:
A = (0; 0; 0); ข = (1; 0; 0)

เมื่อทราบจุดแล้ว เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AE และ BF:

พิกัดของเวกเตอร์ AE ตรงกับพิกัดของจุด E เนื่องจากจุด A เป็นจุดกำเนิด มันยังคงค้นหาโคไซน์ของมุม: