มุมระหว่างนิยามเวกเตอร์ โพสต์ติดแท็ก "ค้นหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์"

ตามคำขอของคุณ!

1. กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน:

3. แก้สมการเลขชี้กำลัง:

4. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

รากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบ และจะแสดงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเกิดขึ้นกับทุกคน เอ็กซ์เป็นไปตามเงื่อนไข: 2-х≥0 จากตรงนี้เราจะได้: x≤2 เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาตัวเลข: (-∞; 2]

5. แก้อสมการ: 7 x > -1

ตามคำจำกัดความ: ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = a x เรียกว่าเลขชี้กำลัง โดยที่ a >0, a≠1, x คือตัวเลขใดๆ ช่วงของค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือชุดของจำนวนบวกทั้งหมดเนื่องจากจำนวนบวกยกกำลังใดๆ จะเป็นค่าบวก นั่นคือสาเหตุที่ 7 x >0 สำหรับ x ใดๆ และยิ่งกว่านั้น 7 x > -1 นั่นคือ อสมการเป็นจริงสำหรับ x ∈ ทั้งหมด (-∞; +∞)

6. แปลงเป็นผลิตภัณฑ์:

ลองใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์: ผลรวมของไซน์ของมุมสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้กับโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่ง

8. เป็นที่รู้กันว่า f(x) = -15x+3 f(x)=0 มีค่า x เท่าใด

แทนที่ตัวเลข 0 แทน f(x) แล้วแก้สมการ:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5

11 - ในโลหะผสมที่หนึ่งและที่สอง ทองแดงและสังกะสีจะมีอัตราส่วน 5:2 และ 3:4 ต้องใช้โลหะผสมแต่ละชนิดในปริมาณเท่าใดจึงจะได้โลหะผสมใหม่ 28 กิโลกรัมที่มีทองแดงและสังกะสีเท่ากัน

เราเข้าใจว่าโลหะผสมใหม่นี้จะประกอบด้วยทองแดง 14 กิโลกรัม และสังกะสี 14 กิโลกรัม ปัญหาที่คล้ายกันทั้งหมดได้รับการแก้ไขด้วยวิธีเดียวกัน: สร้างสมการที่ด้านซ้ายและด้านขวามีปริมาณสารเท่ากัน (ลองเอาทองแดง) เขียนต่างกัน (ตามเงื่อนไขเฉพาะของปัญหา) ทองแดง 14 กิโลกรัมของเราในโลหะผสมใหม่จะประกอบด้วยทองแดงจากโลหะผสมทั้งสองนี้ ปล่อยให้มวลของโลหะผสมอันแรก เอ็กซ์กิโลกรัม ดังนั้นมวลของโลหะผสมตัวที่สองคือ ( 28)กก. โลหะผสมชนิดแรกประกอบด้วยทองแดง 5 ส่วนและสังกะสี 2 ส่วน ดังนั้นทองแดงจะมีค่า (5/7) จาก x กิโลกรัม หากต้องการหาเศษส่วนของตัวเลข คุณต้องคูณเศษส่วนด้วยจำนวนที่กำหนด โลหะผสมที่สองประกอบด้วยทองแดง 3 ส่วนและสังกะสี 4 ส่วน ได้แก่ ทองแดงประกอบด้วย (3/7) จาก (28) กก. ดังนั้น:

12. แก้สมการ: บันทึก 2 8 x = -1

ตามคำจำกัดความของลอการิทึม:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3

15. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = -ln cosx 2 .

20. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โมดูลัสของตัวเลขสามารถแสดงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้นหากมีนิพจน์เชิงลบใต้เครื่องหมายโมดูลัส จากนั้นเมื่อเปิดวงเล็บแบบโมดูลาร์ คำศัพท์ทั้งหมดจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

22. แก้ระบบอสมการ:

ขั้นแรก เราจะแก้อสมการแต่ละรายการแยกกัน

โปรดทราบว่าคาบร่วมที่เล็กที่สุดสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้คือ 2π,จึงประกอบทั้งซ้ายและขวา 2πn- ตอบ ค)

23. ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน y=3-|x-3| และเส้นตรง y=0

กราฟของฟังก์ชันนี้จะประกอบด้วยเส้นครึ่งเส้นสองเส้นที่โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง มาเขียนสมการของเส้นตรงกัน สำหรับ x≥3 เราเปิดวงเล็บโมดูลาร์แล้วได้: y=3-x+3 ⇒ y=6-xที่เอ็กซ์<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ ย=x.

สามเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันและส่วนของแกน Ox คือตัวเลขที่ต้องการหาพื้นที่ แน่นอน เราสามารถทำได้โดยไม่ต้องอินทิกรัลตรงนี้ ให้เราหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่ลากมายังฐานนี้ ฐานของเราเท่ากับ 6 ส่วนหน่วย และความสูงที่วาดมาที่ฐานนี้เท่ากับ 3 ส่วนหน่วย พื้นที่จะมี 9 ตารางเมตร ม. หน่วย

24. ค้นหาโคไซน์ของมุม A ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่จุด A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2)

ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของจุดสิ้นสุด คุณจะต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด

มุม A เกิดจากเวกเตอร์:

25. ในกล่องมีลูกบอล 23 ลูก: แดง ขาว และดำ มีลูกบอลสีขาวมากกว่าลูกบอลสีแดงถึง 11 เท่า มีลูกบอลสีดำกี่ลูก?

ปล่อยให้มันนอนอยู่ในกล่อง เอ็กซ์ลูกบอลสีแดง แล้วขาว 11xลูกบอล

แดงและขาว x+11x= 12xลูกบอล ดังนั้นลูกบอลสีดำ 23-12x.เนื่องจากนี่คือจำนวนลูกบอล ค่าเดียวที่เป็นไปได้คือ x=1- ปรากฎว่า: ลูกบอลสีแดง 1 ลูก, ลูกบอลสีขาว 11 ลูกและ 11 ลูกบอลสีดำ

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว , :

หากมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเป็นแบบเฉียบพลัน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นจะเป็นบวก ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นลบ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากเท่านั้น

ออกกำลังกาย.ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์และ

สารละลาย.โคไซน์ของมุมที่ต้องการ

16. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง เส้นตรง และระนาบ

มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบซึ่งตัดเส้นนี้และไม่ตั้งฉากกับมัน คือมุมระหว่างเส้นตรงกับเส้นโครงบนระนาบนี้

การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรงและระนาบช่วยให้เราสรุปได้ว่ามุมระหว่างเส้นตรงและระนาบคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น: เส้นตรงและเส้นโครงบนเครื่องบิน ดังนั้น มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบจึงเป็นมุมแหลม

มุมระหว่างเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบถือว่าเท่ากับ และมุมระหว่างเส้นตรงขนานกับระนาบไม่ได้ถูกกำหนดเลยหรือถือว่าเท่ากับ

§ 69. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับบนเครื่องบิน (§ 32) ให้เราแสดงด้วย φ ขนาดของมุมระหว่างเส้น ล 1 และ ล 2 และถึง ψ - ขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ก และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ 90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ แน่นอน ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (1) § 20 เรามี

เพราะฉะนั้น,

ให้เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของมัน

จากนั้นมุม φ ระหว่างเส้นจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองเส้น) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่ใช่แบบบัญญัติ คุณจะต้องคำนวณมุมโดยต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ จากนั้นใช้สูตร (1)

17. เส้นขนาน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนาน

คำนิยาม.เรียกว่าสองบรรทัดในเครื่องบิน ขนานหากไม่มีจุดร่วม

เส้นสองเส้นในอวกาศสามมิติเรียกว่า ขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

จากคำจำกัดความของดอทโปรดัค:

.

เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว:

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตีของเวกเตอร์สองตัว:

.

ตามมาจากคำจำกัดความที่ 5 - . แท้จริงแล้ว จากนิยามผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข เป็นไปตามนั้น ดังนั้นตามกฎความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เราจึงเขียน , , ซึ่งบอกเป็นนัย - แต่เวกเตอร์ที่เกิดจากการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์:

.

ตัวอย่างที่ 4- ให้คะแนน , , , .

ค้นหาผลคูณดอท

สารละลาย- เราพบว่าใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัด เนื่องจาก

, ,

ตัวอย่างที่ 5ให้คะแนน , , , .

ค้นหาการฉายภาพ

สารละลาย- เนื่องจาก

, ,

ตามสูตรการฉายภาพเรามี

.

ตัวอย่างที่ 6ให้คะแนน , , , .

จงหามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

สารละลาย- โปรดทราบว่าเวกเตอร์

, ,

ไม่เป็นเส้นตรงเนื่องจากพิกัดไม่สมส่วน:

.

เวกเตอร์เหล่านี้ไม่ได้ตั้งฉากกัน เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของพวกมันคือ

มาหากัน.

มุม เราหาได้จากสูตร:

.

ตัวอย่างที่ 7กำหนดว่าเวกเตอร์และอะไร คอลลิเนียร์

สารละลาย- ในกรณีของการชนกัน พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และต้องเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

.

ดังนั้นและ.

ตัวอย่างที่ 8- จงพิจารณาว่าเวกเตอร์มีค่าเท่าใด และ ตั้งฉาก

สารละลาย- เวกเตอร์ และตั้งฉากถ้าผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์ จากเงื่อนไขนี้เราได้รับ: . ดังนั้น, .

ตัวอย่างที่ 9- หา , ถ้า , , .

สารละลาย- เนื่องจากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เรามี:

ตัวอย่างที่ 10- ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ และ , ที่ไหน และ - เวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่างเวกเตอร์ และเท่ากับ 120°

สารละลาย- เรามี: , ,

ในที่สุดเราก็มี: .

5.ข. งานศิลปะของเว็กเตอร์.

คำนิยาม 21.งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ต่อเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ หรือกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้:

1) โมดูลัสของเวกเตอร์เท่ากับ ที่ไหน คือมุมระหว่างเวกเตอร์ และ คือ .

ตามมาว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และทั้งสองด้าน

2) เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ ( ; ) เช่น ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ และ

3) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางในลักษณะที่หากมองจากจุดสิ้นสุด การหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา (เวกเตอร์ , เป็นรูปสามเท่าของมือขวา)

จะคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเป็นพิเศษเมื่อจำเป็นต้องค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์

เงื่อนไขพื้นฐาน

ก่อนที่จะดูมุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์ก่อน

เวกเตอร์คือส่วนที่มีทิศทาง ซึ่งก็คือส่วนที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมกันคือมุมที่เล็กกว่าตามจำนวนเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งที่ต้องเคลื่อนที่ไปรอบจุดร่วมจนกระทั่งทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและวิธีกำหนดมุมของเวกเตอร์ คุณก็จะสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่าย และผลลัพธ์ของการประยุกต์จะเป็นค่าโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลหารของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คำนวณจากผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวประกอบคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสของเวกเตอร์ คำนวณเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้โดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

เมื่อคุณรู้วิธีคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะง่ายและชัดเจน ตัวอย่างเช่น ควรพิจารณาปัญหาง่ายๆ ในการค้นหาค่าของมุม

ประการแรกจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา จากคำอธิบายที่แสดงข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

จำนวนนี้ไม่ใช่หนึ่งในห้าค่าโคไซน์ทั่วไป ดังนั้นเพื่อให้ได้มุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติแบรดิส แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ คุณสามารถทำให้สูตรง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบส่วนเกิน:

เพื่อรักษาความถูกต้องแม่นยำ คุณสามารถคงคำตอบสุดท้ายไว้ตามเดิม หรือคุณสามารถคำนวณค่าของมุมเป็นองศาได้ ตามตารางแบรดิส ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศา 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิสามมิติ จะยากกว่ามากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมไหนหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่สร้างมุมที่เล็กที่สุดระหว่างส่วนเหล่านั้นได้ นี่จะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้ว่าจะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลัสของเวกเตอร์ โคไซน์ส่วนโค้งของผลหารของพวกมันจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต มักมีปัญหากับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขาแล้ว อัลกอริธึมในการค้นหาคำตอบก็ดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์ขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการเท่ากับ 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้รับค่ามุมเป็น 0 องศาจากการแก้โจทย์แล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นแบบโคไดนามิก นั่นคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน หากได้มุม 180 องศา เวกเตอร์จะมีทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์จำเพาะ

เมื่อพบมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว คุณสามารถค้นหาประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่งได้ นอกเหนือจากมุมร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายไว้ข้างต้น

• เวกเตอร์หลายตัวที่ขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
• เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
• เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันไม่ว่าจะมีทิศทางใดก็ตาม เรียกว่า คอลลิเนียร์
• หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และถ้าเป็นหนึ่งก็จะเป็นหน่วย

จะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

โปรดช่วยด้วย! ฉันรู้สูตรแต่คำนวณไม่ได้ ((
เวกเตอร์ ก (8; 10; 4) เวกเตอร์ ข (5; -20; -10)

อเล็กซานเดอร์ ติตอฟ

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัดนั้นพบได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน ก่อนอื่น คุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 เราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ที่นี่แล้วคำนวณ:
(ก,ข) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200
ต่อไป เราจะกำหนดความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ความยาวหรือโมดูลัสของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
|a| = รากของ (x1^2 + y1^2 + z1^2) = รากของ (8^2 + 10^2 + 4^2) = รากของ (64 + 100 + 16) = รากของ 180 = 6 รากของ 5
|ข| = รากของ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = รากของ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = รากของ (25 + 400 + 100) = ราก ของ 525 = 5 รากของ 21
เราคูณความยาวเหล่านี้ เราได้ 30 รากจาก 105
และสุดท้าย เราหารผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ เราได้ -200/(30 รากของ 105) หรือ
- (4 รากของ 105) / 63 นี่คือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และมุมเองก็เท่ากับส่วนโค้งโคไซน์ของเลขนี้
f = ส่วนโค้ง(-4 รากของ 105) / 63
ถ้าฉันนับทุกอย่างถูกต้อง

วิธีการคำนวณไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์

มิคาอิล ทาคาเชฟ

ลองคูณเวกเตอร์พวกนี้กัน ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้
เราไม่ทราบมุม แต่ทราบพิกัดแล้ว
ลองเขียนมันลงไปทางคณิตศาสตร์แบบนี้
ให้เวกเตอร์ a(x1;y1) และ b(x2;y2) มอบให้
แล้ว

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

มาคุยกันเถอะ
a*b-ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกันของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือ เท่ากับ x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-ผลคูณของความยาวเวกเตอร์ เท่ากับ √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

ซึ่งหมายความว่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

เมื่อรู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมันได้ เรามาหารือกันถึงวิธีการทำสิ่งนี้:

ถ้าโคไซน์ของมุมเป็นบวก มุมนี้จะอยู่ในจตุภาคที่ 1 หรือ 4 ซึ่งหมายความว่าไซน์ของมุมนั้นจะเป็นบวกหรือลบ แต่เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศา ไซน์ของมันจึงเป็นบวก เราให้เหตุผลทำนองเดียวกันถ้าโคไซน์เป็นลบ

SinA=√(1-คอส^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( ย2)^2))^2)

แค่นั้นแหละ)))) ขอให้โชคดีในการหามัน)))

มิทรี เลวิชชอฟ

ความจริงที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำไซน์โดยตรงนั้นไม่เป็นความจริง
นอกเหนือจากสูตร:
(ก,ข)=|ก|*|b|*cos ก
มีอันนี้ด้วย:
||=|ก|*|b|*บาป ก
นั่นคือ แทนที่จะใช้ผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถใช้โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเป็นพิเศษเมื่อจำเป็นต้องค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์

เงื่อนไขพื้นฐาน

ก่อนที่จะดูมุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์ก่อน

เวกเตอร์คือส่วนที่มีทิศทาง ซึ่งก็คือส่วนที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมกันคือมุมที่เล็กกว่าตามจำนวนเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งที่ต้องเคลื่อนที่ไปรอบจุดร่วมจนกระทั่งทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและวิธีกำหนดมุมของเวกเตอร์ คุณก็จะสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่าย และผลลัพธ์ของการประยุกต์จะเป็นค่าโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลหารของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คำนวณจากผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวประกอบคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสของเวกเตอร์ คำนวณเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้โดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

เมื่อคุณรู้วิธีคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะง่ายและชัดเจน ตัวอย่างเช่น ควรพิจารณาปัญหาง่ายๆ ในการค้นหาค่าของมุม

ประการแรกจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา จากคำอธิบายที่แสดงข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

จำนวนนี้ไม่ใช่หนึ่งในห้าค่าโคไซน์ทั่วไป ดังนั้นเพื่อให้ได้มุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติแบรดิส แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ คุณสามารถทำให้สูตรง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบส่วนเกิน:

เพื่อรักษาความถูกต้องแม่นยำ คุณสามารถคงคำตอบสุดท้ายไว้ตามเดิม หรือคุณสามารถคำนวณค่าของมุมเป็นองศาได้ ตามตารางแบรดิส ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศา 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิสามมิติ จะยากกว่ามากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมไหนหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่สร้างมุมที่เล็กที่สุดระหว่างส่วนเหล่านั้นได้ นี่จะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้ว่าจะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลัสของเวกเตอร์ โคไซน์ส่วนโค้งของผลหารของพวกมันจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต มักมีปัญหากับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขาแล้ว อัลกอริธึมในการค้นหาคำตอบก็ดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์ขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการเท่ากับ 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้รับค่ามุมเป็น 0 องศาจากการแก้โจทย์แล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นแบบโคไดนามิก นั่นคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน หากได้มุม 180 องศา เวกเตอร์จะมีทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์จำเพาะ

เมื่อพบมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว คุณสามารถค้นหาประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่งได้ นอกเหนือจากมุมร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายไว้ข้างต้น

• เวกเตอร์หลายตัวที่ขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
• เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
• เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันไม่ว่าจะมีทิศทางใดก็ตาม เรียกว่า คอลลิเนียร์
• หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และถ้าเป็นหนึ่งก็จะเป็นหน่วย

คำแนะนำ

ปล่อยให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวอยู่บนระนาบ โดยพล็อตจากจุดหนึ่ง: เวกเตอร์ A ที่มีพิกัด (x1, y1) B ที่มีพิกัด (x2, y2) มุมระหว่างนั้นถูกกำหนดให้เป็น θ ในการค้นหาการวัดระดับของมุม θ คุณต้องใช้คำจำกัดความของผลคูณสเกลาร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวคือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น นั่นคือ (A,B)=|A|*|B|*cos( θ) ตอนนี้ คุณต้องแสดงโคไซน์ของมุมจากสิ่งนี้: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|)

ผลคูณสเกลาร์ยังสามารถพบได้โดยใช้สูตร (A,B)=x1*x2+y1*y2 เนื่องจากผลคูณของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน หากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เท่ากับศูนย์ เวกเตอร์จะตั้งฉากกัน (มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้นคือ 90 องศา) และสามารถละเว้นการคำนวณเพิ่มเติมได้ ถ้าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นบวก แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์เฉียบพลัน และถ้าเป็นลบ มุมก็จะเป็นมุมป้าน

ตอนนี้คำนวณความยาวของเวกเตอร์ A และ B โดยใช้สูตร: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²) ความยาวของเวกเตอร์คำนวณเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

แทนค่าที่พบของผลิตภัณฑ์สเกลาร์และความยาวเวกเตอร์ลงในสูตรสำหรับมุมที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 นั่นคือ cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)) ตอนนี้เมื่อรู้ค่าของ แล้ว ก็สามารถหาระดับของมุมระหว่างได้ เวกเตอร์คุณต้องใช้ตาราง Bradis หรือใช้จากสิ่งนี้: θ=arccos(cos(θ))

ถ้าเวกเตอร์ A และ B ถูกกำหนดไว้ในปริภูมิสามมิติและมีพิกัด (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) ตามลำดับ เมื่อค้นหาโคไซน์ของมุม จะมีการเพิ่มพิกัดอีกหนึ่งพิกัดเข้าไป ในกรณีนี้ โคไซน์: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²))

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากเวกเตอร์สองตัวไม่ได้พล็อตจากจุดเดียวกัน หากต้องการค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้นด้วยการแปลแบบขนาน คุณจะต้องรวมต้นกำเนิดของเวกเตอร์เหล่านี้เข้าด้วยกัน
มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวต้องไม่เกิน 180 องศา

แหล่งที่มา:

• วิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์
• มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

เพื่อแก้ปัญหาต่างๆ ทั้งเชิงประยุกต์และเชิงทฤษฎีในฟิสิกส์และพีชคณิตเชิงเส้น จำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ งานที่เรียบง่ายนี้อาจทำให้เกิดปัญหาได้มากมาย หากคุณไม่เข้าใจสาระสำคัญของผลิตภัณฑ์สเกลาร์อย่างชัดเจน และค่าใดที่ปรากฏเป็นผลจากผลิตภัณฑ์นี้

คำแนะนำ

มุมระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นของเวกเตอร์คือมุมต่ำสุดที่ทำให้เวกเตอร์มีทิศทางร่วมได้ วาดเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งรอบๆ จุดเริ่มต้น จากคำจำกัดความจะเห็นได้ชัดว่าค่ามุมต้องไม่เกิน 180 องศา (ดูขั้นตอน)

ในกรณีนี้ สันนิษฐานได้ค่อนข้างถูกต้องว่าในปริภูมิเชิงเส้น เมื่อทำการถ่ายโอนเวกเตอร์แบบขนาน มุมระหว่างพวกมันจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นสำหรับการคำนวณเชิงวิเคราะห์ของมุม การวางแนวเชิงพื้นที่ของเวกเตอร์จึงไม่สำคัญ

ผลลัพธ์ของผลคูณดอทคือตัวเลข ไม่เช่นนั้นจะเป็นสเกลาร์ โปรดจำไว้ว่า (สิ่งสำคัญที่ต้องรู้) เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มเติม สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ที่อยู่บนระนาบหรือในปริภูมิของเวกเตอร์มีรูปแบบ (ดูรูปสำหรับขั้นตอน)

หากเวกเตอร์อยู่ในอวกาศ ให้ทำการคำนวณในลักษณะเดียวกัน การปรากฏของเงื่อนไขในการจ่ายเงินปันผลเพียงอย่างเดียวคือระยะเวลาของผู้สมัคร กล่าวคือ องค์ประกอบที่สามของเวกเตอร์ ดังนั้น เมื่อคำนวณโมดูลัสของเวกเตอร์ จะต้องคำนึงถึงองค์ประกอบ z ด้วย ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ในอวกาศ นิพจน์สุดท้ายจะถูกแปลงดังนี้ (ดูรูปที่ 6 สำหรับขั้นตอน)

เวกเตอร์คือส่วนที่มีทิศทางที่กำหนด มุมระหว่างเวกเตอร์มีความหมายทางกายภาพ เช่น เมื่อค้นหาความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน

คำแนะนำ

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยการคำนวณผลคูณดอท ตามคำจำกัดความ ผลคูณจะเท่ากับผลคูณของความยาวและมุมระหว่างความยาวเหล่านั้น ในทางกลับกัน ผลคูณสเกลาร์สำหรับเวกเตอร์สองตัว a ที่มีพิกัด (x1; y1) และ b ที่มีพิกัด (x2; y2) จะถูกคำนวณ: ab = x1x2 + y1y2 จากทั้งสองวิธีนี้ ผลคูณดอทจะเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์อย่างง่ายดาย

ค้นหาความยาวหรือขนาดของเวกเตอร์ สำหรับเวกเตอร์ a และ b ของเรา: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2

ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์โดยการคูณพิกัดของเวกเตอร์เป็นคู่: ab = x1x2 + y1y2 จากนิยามผลคูณสเกลาร์ ab = |a|*|b|*cos α โดยที่ α คือมุมระหว่างเวกเตอร์ จากนั้นเราจะได้ x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α จากนั้น cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2

ค้นหามุม α โดยใช้ตาราง Bradis

วิดีโอในหัวข้อ

โปรดทราบ

ผลคูณสเกลาร์เป็นคุณลักษณะสเกลาร์ของความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์

ระนาบเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานในเรขาคณิต ระนาบคือพื้นผิวที่ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง เส้นตรงใดๆ ที่เชื่อมจุดสองจุดจะเป็นของพื้นผิวนี้ทั้งหมด ระนาบมักแสดงด้วยตัวอักษรกรีก α, β, γ เป็นต้น ระนาบสองลำจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่เป็นของระนาบทั้งสองเสมอ

คำแนะนำ

ลองพิจารณาครึ่งระนาบ α และ β ที่เกิดจากจุดตัดของ มุมที่เกิดจากเส้นตรง a และระนาบครึ่งระนาบ α และ β สองอันด้วยมุมไดฮีดรัล ในกรณีนี้ ระนาบครึ่งระนาบที่สร้างมุมไดฮีดรัลโดยหันหน้าเข้าหากัน เส้นตรง a ตามแนวที่ระนาบตัดกัน เรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล

มุมไดฮีดรัลก็เหมือนกับมุมระนาบที่มีหน่วยเป็นองศา ในการสร้างมุมไดฮีดรัล คุณต้องเลือกจุด O บนใบหน้า โดยที่รังสี a ทั้งสองเส้นจะลากผ่านจุด O มุม AOB ที่เกิดขึ้น เรียกว่า มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น a

ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ จากนั้นโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N เท่ากับ: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))

ในการคำนวณมุมเป็นองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ เช่น อาร์คโคไซน์:α = อาร์คอส ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: ค้นหา มุมระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x – 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ไข: เขียนพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ N = (2, -5, 3) แทนค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสูตรที่กำหนด: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 data 0.8 → α = 36.87°

วิดีโอในหัวข้อ

สร้างความเท่าเทียมกันและแยกโคไซน์ออกจากมัน ตามสูตรหนึ่ง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับความยาวของพวกมันคูณกันและด้วยโคไซน์ มุมและอีกด้านหนึ่ง - ผลรวมของผลคูณของพิกัดตามแต่ละแกน เมื่อเทียบทั้งสองสูตรแล้ว เราก็สรุปได้ว่าโคไซน์ มุมจะต้องเท่ากับอัตราส่วนของผลรวมผลคูณของพิกัดต่อผลคูณของความยาวของเวกเตอร์

เขียนความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องกำหนดเวกเตอร์ทั้งสองตัว สมมติว่าพวกมันได้รับในระบบคาร์ทีเซียนสามมิติและจุดเริ่มต้นอยู่ในตารางพิกัด ทิศทางและขนาดของเวกเตอร์แรกจะได้รับจากจุด (X₁,Y₁,Z₁) จุดที่สอง - (X₂,Y₂,Z₂) และมุมจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษร γ จากนั้น ความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวสามารถเป็นได้ เช่น โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ สร้างขึ้นโดยการฉายลงบนแกนพิกัดแต่ละแกน: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) และ √(X₂² + Y₂² + Z₂²) แทนนิพจน์เหล่านี้ลงในสูตรที่สร้างไว้ในขั้นตอนก่อนหน้า แล้วคุณจะได้ความเท่าเทียมกัน: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) + Y₂² + Z₂² ))

ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของกำลังสอง ไซน์และร่วม ไซน์จาก มุมที่มีปริมาณเท่ากันจะให้อย่างใดอย่างหนึ่งเสมอ ซึ่งหมายความว่าโดยการเพิ่มสิ่งที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าเพื่อ ไซน์ยกกำลังสองและลบออกจากหนึ่งแล้ว