มุมเป็นบวกและลบ มุมลบ

การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

เกือบจะเหมือนกับในบทเรียนที่แล้ว มีแกน เป็นวงกลม มีมุม ทุกอย่างเป็นจีน เพิ่มจำนวนไตรมาส (ในมุมของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่) - จากที่หนึ่งถึงสี่ แล้วจู่ๆใครก็ไม่รู้? อย่างที่คุณเห็น ไตรมาส (เรียกอีกอย่างว่าคำว่า "จตุภาค") ที่สวยงามจะมีเลขทวนเข็มนาฬิกา เพิ่มค่ามุมบนแกน ทุกอย่างชัดเจนไม่มีจีบ

และเพิ่มลูกศรสีเขียว พร้อมบวก. เธอหมายถึงอะไร? ผมขอเตือนคุณว่าด้านคงที่ของมุม เสมอ ตอกกับแกนบวก OH ดังนั้น หากเราบิดด้านที่เคลื่อนที่ของมุม บวกลูกศร, เช่น. ในตัวเลขไตรมาสจากน้อยไปมาก มุมจะถือเป็นบวกตัวอย่างเช่น รูปภาพแสดงมุมบวกที่ +60°

ถ้าเราเลื่อนโค้ง ในทิศทางตรงกันข้ามตามเข็มนาฬิกา มุมจะถือเป็นลบวางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) คุณจะเห็นลูกศรสีน้ำเงินพร้อมเครื่องหมายลบ นี่คือทิศทางของการอ่านค่าลบของมุม แสดงมุมลบ (-60°) เป็นตัวอย่าง และคุณจะเห็นว่าตัวเลขบนแกนเปลี่ยนไปอย่างไร ... ฉันยังแปลมันเป็นมุมลบด้วย การนับของจตุภาคไม่เปลี่ยนแปลง

โดยปกติแล้ว ความเข้าใจผิดครั้งแรกเริ่มต้นขึ้นที่นี่ ยังไง!? แล้วถ้ามุมลบบนวงกลมตรงกับค่าบวกล่ะ!? และโดยทั่วไปปรากฎว่าตำแหน่งเดียวกันของด้านที่เคลื่อนที่ได้ (หรือจุดบนวงกลมจำนวน) เรียกได้ว่าเป็นทั้งมุมลบและมุมบวก!?

ใช่. อย่างแน่นอน. สมมุติว่ามุมบวก 90 องศาใช้วงกลม เหมือนเดิมทุกประการ ตำแหน่งเป็นมุมลบลบ 270 องศา มุมบวก เช่น +110 องศา จะได้ เหมือนเดิมทุกประการ ตำแหน่งเป็นมุมลบคือ -250 °

ไม่มีปัญหา. ทุกอย่างถูกต้อง) ทางเลือกของการคำนวณมุมบวกหรือลบขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของงาน ถ้าเงื่อนไขไม่บอกอะไร ข้อความธรรมดา เกี่ยวกับเครื่องหมายของมุม (เช่น "กำหนดจุดเล็กที่สุด เชิงบวกมุม" เป็นต้น) จากนั้นเราก็ทำงานด้วยค่านิยมที่สะดวกแก่เรา

ข้อยกเว้น (และจะไม่มีได้อย่างไร!) คือความไม่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติ แต่เราจะเชี่ยวชาญเคล็ดลับนี้

และตอนนี้คำถามสำหรับคุณ ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าตำแหน่งของมุม 110° เหมือนกับตำแหน่งของมุม -250°
ฉันจะบอกใบ้ว่านี่เป็นเพราะการหมุนเวียนเต็มจำนวน ใน 360°... ไม่ชัดเจน? จากนั้นเราวาดวงกลม เราวาดบนกระดาษ ทำเครื่องหมายมุม เกี่ยวกับ 110° และ เชื่อเหลือเท่าไหร่จนกว่าจะถึงเทิร์นเต็ม เหลือเพียง 250 องศา...

เข้าใจแล้ว? และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ถ้ามุม 110° และ -250° ครอบครองวงกลม เดียวกัน ตำแหน่ง แล้วไง ใช่ ความจริงที่ว่ามุมคือ 110 °และ -250 ° เหมือนเดิมทุกประการ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์!
เหล่านั้น. sin110° = บาป (-250°), ctg110° = ctg(-250°) เป็นต้น ตอนนี้มันสำคัญมาก! และในตัวของมันเอง - มีงานมากมายที่จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ และเป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาสูตรการลดขนาดและความซับซ้อนอื่นๆ ของตรีโกณมิติในภายหลัง

แน่นอน ฉันสุ่ม 110 ° และ -250 ° สุ่มตัวอย่างล้วนๆ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทุกมุมที่มีตำแหน่งเดียวกันบนวงกลม 60° และ -300 °, -75 ° และ 285° เป็นต้น ฉันทราบทันทีว่ามุมในคู่รักเหล่านี้ - หลากหลาย.แต่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ - เหมือน.

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่ามุมลบคืออะไร มันค่อนข้างง่าย ทวนเข็มนาฬิกาเป็นการนับบวก ระหว่างทางก็เป็นลบ พิจารณามุมบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเรา. จากความปรารถนาของเรา แน่นอน และอีกมากมายจากงาน ... ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีย้ายฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมลบเป็นมุมบวก และในทางกลับกัน วาดวงกลม มุมโดยประมาณ ดูว่าขาดไปเท่าไหร่ก่อนถึงโค้งเต็ม กล่าวคือ สูงถึง 360°

มุมที่มากกว่า 360°

มาจัดการกับมุมที่มากกว่า 360° กัน และสิ่งเหล่านี้เกิดขึ้น? มีแน่นอน วิธีการวาดพวกเขาบนวงกลม? ไม่ใช่ปัญหา! สมมติว่าเราต้องเข้าใจว่ามุม 1,000 °จะตกลงมาในไตรมาสใด อย่างง่ายดาย! เราหมุนทวนเข็มนาฬิกาเต็มหนึ่งรอบ (มุมที่เราได้รับเป็นบวก!) กรอกลับ 360° เอาล่ะ ไปกันเลย! อีกเทิร์น - มันเปิดออกแล้ว 720 ° เหลือเท่าไหร่? 280 องศา ไม่เพียงพอสำหรับการเลี้ยวเต็ม ... แต่มุมมากกว่า 270 ° - และนี่คือเส้นขอบระหว่างไตรมาสที่สามและสี่ ดังนั้นมุม 10000° ของเราจึงอยู่ในควอเตอร์ที่สี่ ทุกอย่าง.

อย่างที่คุณเห็น มันค่อนข้างง่าย ผมขอเตือนคุณอีกครั้งว่ามุม 1,000 ° และมุม 280 ° ซึ่งเราได้รับจากการทิ้ง "พิเศษ" เต็มเทิร์นนั้นพูดอย่างเคร่งครัด หลากหลายมุม แต่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้ เหมือนเดิมทุกประการ! เหล่านั้น. sin10000° = sin280°, cos10000° = cos280° เป็นต้น ถ้าผมเป็นไซน์ ผมจะไม่สังเกตเห็นความแตกต่างระหว่างสองมุมนี้...

ทำไมทั้งหมดนี้จึงจำเป็น? ทำไมเราต้องแปลมุมจากที่อื่น? ใช่ ทั้งหมดเหมือนกัน) เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ อันที่จริงการลดความซับซ้อนของนิพจน์เป็นงานหลักของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน ระหว่างทางหัวหน้ากำลังฝึก)

งั้นเรามาฝึกกันไหม?)

เราตอบคำถาม ง่าย ๆ ในตอนแรก

1. มุม -325 องศาลดลงในไตรมาสใด

2. มุม 30000° ตกลงมาในไตรมาสใด

3. มุม -3000 ° ตกลงมาในไตรมาสใด

มีปัญหา? หรือความไม่มั่นคง? ไปที่หมวด 555 งานภาคปฏิบัติกับวงกลมตรีโกณมิติ ในบทเรียนแรกของ "งานจริง ... " นี้ทุกอย่างมีรายละเอียด ... In เช่นคำถามแห่งความไม่แน่นอน ไม่ควร!

4. เครื่องหมายของบาป 555° คืออะไร?

5. สัญลักษณ์ของ tg555° คืออะไร?

มุ่งมั่น? ยอดเยี่ยม! สงสัย? มันเป็นสิ่งจำเป็นในมาตรา 555 ... อย่างไรก็ตาม คุณจะได้เรียนรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ สิ่งที่มีประโยชน์มาก

และตอนนี้คำถามที่ฉลาดกว่า

6. นำนิพจน์ sin777° ไปที่ไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

7. นำนิพจน์ cos777° มาที่โคไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

8. แปลงนิพจน์ cos(-777°) เป็นโคไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

9. นำนิพจน์ sin777° ไปที่ไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

อะไรนะ คำถามที่ 6-9 งง? ทำความคุ้นเคยกับมันไม่มีสูตรดังกล่าวในการสอบ ... ดังนั้นฉันจะแปลมัน สำหรับคุณคนเดียว!

คำว่า "ลดนิพจน์เป็น ..." หมายถึงการแปลงนิพจน์ให้มีค่า ไม่เปลี่ยนแปลงและรูปลักษณ์ก็เปลี่ยนไปตามภารกิจ ดังนั้น ในงาน 6 และ 9 เราต้องได้ไซน์ ซึ่งข้างในคือ มุมบวกที่เล็กที่สุดอย่างอื่นไม่สำคัญ

ฉันจะให้คำตอบตามลำดับ (ละเมิดกฎของเรา) แต่จะทำอย่างไร มีเพียงสองสัญญาณและเพียงสี่ในสี่ ... คุณจะไม่กระจายในตัวเลือก

6. บาป57°

7.cos(-57°).

8.cos57°

9.-บาป(-57°)

ฉันคิดว่าคำตอบของคำถาม 6-9 ทำให้บางคนสับสน โดยเฉพาะ -บาป(-57°)ใช่ไหม) ที่จริงแล้วในกฎพื้นฐานสำหรับการนับมุมมีที่ว่างสำหรับข้อผิดพลาด ... นั่นคือเหตุผลที่ฉันต้องทำบทเรียน: "จะกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันและให้มุมบนวงกลมตรีโกณมิติได้อย่างไร" ในมาตรา 555 มีงานที่ 4 - 9 แยกออก จัดเรียงอย่างดีพร้อมข้อผิดพลาดทั้งหมด และพวกเขาอยู่ที่นี่)

ในบทต่อไป เราจะจัดการกับเรเดียนลึกลับและตัวเลข "พาย" เรียนรู้วิธีแปลงองศาเป็นเรเดียนอย่างง่ายดายและถูกต้องและในทางกลับกัน และเราจะแปลกใจที่พบว่าข้อมูลเบื้องต้นนี้บนเว็บไซต์ พอแล้ว เพื่อไขปริศนาตรีโกณมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน!

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ในบทเรียนที่แล้ว เราเชี่ยวชาญ (หรือทำซ้ำ - อย่างที่ใครๆ ก็ชอบ) ได้สำเร็จ แนวคิดหลักของตรีโกณมิติทั้งหมด มัน วงกลมตรีโกณมิติ , มุมบนวงกลม , ไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ และยังเชี่ยวชาญ สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในไตรมาส . ได้เรียนรู้อย่างละเอียด บนนิ้วใครๆ ก็บอกว่า

แต่นี่ก็ยังไม่เพียงพอ เพื่อที่จะใช้แนวคิดง่ายๆเหล่านี้ในทางปฏิบัติได้สำเร็จ เราต้องการทักษะที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่ง กล่าวคือถูกต้อง ทำงานกับมุม ในตรีโกณมิติ ไม่มีทักษะนี้ในตรีโกณมิติ - ไม่มีอะไร แม้แต่ในตัวอย่างดั้งเดิมที่สุด ทำไม ใช่ เพราะมุมคือตัวแสดงหลักในตรีโกณมิติทั้งหมด! ไม่ใช่ ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไม่ใช่ไซน์กับโคไซน์ ไม่ใช่แทนเจนต์กับโคแทนเจนต์ กล่าวคือ มุมตัวเอง. ไม่มีมุม - ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ ใช่ ...

วิธีการทำงานกับมุมบนวงกลม? ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องเรียนรู้สองประเด็นอย่างแดกดัน

1) ยังไงมุมบนวงกลมถูกนับหรือไม่?

2) อะไรพวกเขานับ (วัด) หรือไม่?

คำตอบสำหรับคำถามแรกคือหัวข้อของบทเรียนวันนี้ เราจะจัดการกับคำถามแรกโดยละเอียดที่นี่และตอนนี้ จะไม่มีคำตอบสำหรับคำถามที่สองที่นี่ เพราะมันค่อนข้างพัฒนา เช่นเดียวกับคำถามที่สอง มันลื่นมาก ใช่) ฉันจะไม่ลงรายละเอียดในตอนนี้ นี่คือหัวข้อของบทเรียนแยกถัดไป

เราควรจะเริ่มเลย?

มุมคำนวณบนวงกลมอย่างไร มุมบวกและมุมลบ

ผู้ที่อ่านชื่อย่อหน้าอาจมีผมที่ปลายอยู่แล้ว ยังไงล่ะ! มุมลบ? เป็นไปได้หรือไม่?

ในทางลบ ตัวเลขเราเคยชินกับมันแล้ว เราสามารถแทนค่าเหล่านั้นบนแกนตัวเลข: บวกทางด้านขวาของศูนย์ ลบทางด้านซ้ายของศูนย์ ใช่ และเราดูเทอร์โมมิเตอร์นอกหน้าต่างเป็นระยะ โดยเฉพาะในฤดูหนาว อากาศหนาวจัด) และเงินในโทรศัพท์เป็น "ลบ" (เช่น หน้าที่) บางครั้งหายไป ทุกอย่างคุ้นเคย

แต่สิ่งที่เกี่ยวกับมุม? ปรากฎว่ามุมลบในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเกิดขึ้น!ทุกอย่างขึ้นอยู่กับวิธีการนับมุมนี้ ... ไม่ ไม่ใช่บนเส้นจำนวน แต่อยู่บนวงกลมจำนวน! ฉันหมายถึงในวงกลม วงกลม - นี่คืออะนาล็อกของเส้นจำนวนในตรีโกณมิติ!

ดังนั้น, มุมบนวงกลมคำนวณอย่างไร?ไม่มีอะไรจะทำเราต้องวาดวงกลมนี้ก่อน

ฉันจะวาดภาพที่สวยงามนี้:

คล้ายกับภาพจากบทเรียนที่แล้วมาก มีแกน มีวงกลม มีมุม แต่ยังมีข้อมูลใหม่

ฉันยังเพิ่มตัวเลขสำหรับ 0°, 90°, 180°, 270° และ 360° บนแกนด้วย น่าสนใจกว่านี้) ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? ถูกต้อง! นี่คือค่าของมุมที่วัดจากด้านคงที่ของเราซึ่งตกลงมา บนแกนพิกัดเราจำได้ว่าด้านคงที่ของมุมนั้นติดแน่นกับกึ่งแกนบวก OX อย่างแน่นหนาเสมอ และมุมใดๆ ในตรีโกณมิติก็วัดจากกึ่งแกนนี้ ต้นกำเนิดพื้นฐานของมุมนี้ต้องจำไว้อย่างแดกดัน และแกน -- พวกมันตัดกันเป็นมุมฉาก จริงไหม? ดังนั้นเราจึงบวก 90 °ในแต่ละไตรมาส

และเพิ่มมากขึ้น ลูกศรสีแดง พร้อมบวก. สีแดงมีจุดประสงค์เพื่อดึงดูดสายตา และติดอยู่ในความทรงจำของฉันเป็นอย่างดี สำหรับสิ่งนี้จะต้องจำได้อย่างน่าเชื่อถือ) ลูกศรนี้หมายความว่าอย่างไร?

ปรากฎว่าถ้าเราเลี้ยวมุมของเรา บวกลูกศร(ทวนเข็มนาฬิกาในการนับไตรมาส) จากนั้นมุม จะถือเป็นบวก!รูปแสดงมุม +45° เป็นตัวอย่าง อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่ามุมในแนวแกน 0°, 90°, 180°, 270° และ 360° นั้นมีการกรอกลับอย่างแม่นยำในค่าบวก! โดยลูกศรสีแดง

ทีนี้มาดูอีกภาพหนึ่ง:

เกือบทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ เฉพาะมุมบนแกนเท่านั้นที่มีหมายเลข ย้อนกลับตามเข็มนาฬิกา และมีเครื่องหมายลบ) ลูกศรสีน้ำเงิน ด้วยเครื่องหมายลบ ลูกศรนี้เป็นทิศทางการอ่านค่าลบของมุมบนวงกลม เธอแสดงให้เราเห็นว่าถ้าเราเลื่อนมุมออกไป ตามเข็มนาฬิกา, แล้ว มุมจะถือเป็นลบตัวอย่างเช่น ฉันแสดงมุม -45°

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าจำนวนไตรมาสไม่เคยเปลี่ยนแปลง! ไม่สำคัญว่าเราจะหมุนมุมเป็นบวกหรือลบ ทวนเข็มนาฬิกาอย่างเคร่งครัดเสมอ)

จดจำ:

1. จุดเริ่มต้นของการนับมุมมาจากเซมิแกนบวก ОХ ตามชั่วโมง - "ลบ" เทียบกับนาฬิกา - "บวก"

2. การนับไตรมาสจะเป็นทวนเข็มนาฬิกาเสมอ โดยไม่คำนึงถึงทิศทางของการคำนวณมุม

อย่างไรก็ตาม การเซ็นชื่อมุมบนแกน 0°, 90°, 180°, 270°, 360° แต่ละครั้งที่วาดวงกลมนั้นไม่จำเป็นเลย นี่เป็นเพียงการทำความเข้าใจแก่นแท้ แต่ต้องมีเลขเหล่านี้ ในหัวของคุณเมื่อแก้โจทย์ตรีโกณมิติ ทำไม ใช่ เพราะความรู้เบื้องต้นนี้ให้คำตอบสำหรับคำถามอื่นๆ มากมายในวิชาตรีโกณมิติทั้งหมด! คำถามที่สำคัญที่สุดคือ ไตรมาสใดที่เราสนใจในการตก? เชื่อหรือไม่ คำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ช่วยแก้ปัญหาอื่นๆ ทั้งหมดเกี่ยวกับตรีโกณมิติได้ เราจะจัดการกับบทเรียนสำคัญนี้ (การกระจายมุมในสี่ส่วน) ในบทเรียนเดียวกัน แต่ในภายหลัง

ต้องจำค่าของมุมที่วางอยู่บนแกนพิกัด (0°, 90°, 180°, 270° และ 360°)! จำไว้อย่างแน่นหนาสำหรับระบบอัตโนมัติ และทั้งในบวกและลบ

แต่ตั้งแต่วินาทีนี้เป็นต้นไป ความประหลาดใจครั้งแรกก็เริ่มต้นขึ้น และพร้อมกับพวกเขาด้วยคำถามยุ่งยากที่ส่งถึงฉันใช่ ... ) และจะเกิดอะไรขึ้นถ้ามุมลบบนวงกลม ตรงกับบวก?ปรากฎว่า จุดเดียวกันบนวงกลมสามารถแสดงเป็นมุมบวกและลบมุม ???

ถูกต้อง! เป็นเช่นนั้น) ตัวอย่างเช่น มุมบวก +270° อยู่บนวงกลม ตำแหน่งเดียวกัน ซึ่งเป็นมุมลบ -90 ° หรือตัวอย่างเช่น มุมบวก +45° บนวงกลมจะได้ ตำแหน่งเดียวกัน ซึ่งเป็นมุมลบ -315°

เราดูภาพถัดไปและเห็นทุกอย่าง:

ในทำนองเดียวกัน มุมบวก +150° จะไปที่มุมลบ -210° มุมบวกที่ +230° จะไปที่เดียวกันกับมุมลบที่ -130° และอื่นๆ…

และตอนนี้ฉันทำอะไรได้บ้าง จะนับมุมได้อย่างไรถ้าเป็นไปได้ด้วยวิธีนี้? ถูกยังไง?

ตอบ: ถูกต้องอยู่แล้ว!คณิตศาสตร์ไม่ได้ห้ามการนับมุมทั้งสองทิศทาง และการเลือกทิศทางเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับงานเท่านั้น หากงานไม่ได้พูดอะไรเป็นข้อความธรรมดาเกี่ยวกับเครื่องหมายของมุม (เช่น "กำหนดที่ใหญ่ที่สุด เชิงลบมุม"เป็นต้น) จากนั้นเราก็ทำงานด้วยมุมที่สะดวกที่สุดสำหรับเรา

ตัวอย่างเช่น ในหัวข้อเจ๋งๆ เช่น สมการตรีโกณมิติและอสมการ ทิศทางของการคำนวณมุมอาจส่งผลกระทบอย่างมากต่อคำตอบ และในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง เราจะพิจารณาข้อผิดพลาดเหล่านี้

จดจำ:

จุดใดก็ได้บนวงกลมสามารถแสดงด้วยมุมบวกและมุมลบ ใครก็ได้! สิ่งที่เราต้องการ

ทีนี้ลองคิดดู เราพบว่ามุม 45° นั้นเหมือนกับมุมที่ -315° ทุกประการ? ฉันรู้ได้อย่างไรเกี่ยวกับ315 .คนเดียวกันเหล่านี้° ? คุณไม่สามารถเดา? ใช่! เลี้ยวเต็ม) ใน 360 ° เรามีมุม 45 องศา ขาดเท่าไหร่ก่อนถึงเทิร์นเต็ม? ลบ 45° จาก 360° - ที่นี่เราได้รับ 315° . เราหมุนไปในทิศทางลบ - และเราได้มุม -315 ° ยังไม่ชัดเจน? แล้วดูภาพด้านบนอีกครั้ง

และควรทำสิ่งนี้เสมอเมื่อแปลมุมบวกเป็นมุมลบ (และในทางกลับกัน) - วาดวงกลม เกี่ยวกับในมุมที่กำหนด เราจะพิจารณาว่ามีกี่องศาที่หายไปก่อนที่จะเลี้ยวเต็ม และเราไขผลต่างที่เกิดขึ้นในทิศทางตรงกันข้าม แค่นั้นเอง)

มีอะไรน่าสนใจอีกบ้างเกี่ยวกับมุมที่มีตำแหน่งเดียวกันบนวงกลม คุณคิดอย่างไร? และความจริงที่ว่ามุมดังกล่าว เหมือนเดิมทุกประการ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์! ตลอดเวลา!

ตัวอย่างเช่น:

Sin45° = บาป (-315°)

Cos120 ° = cos (-240 °)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

และตอนนี้มันสำคัญมาก! เพื่ออะไร? ใช่ ทั้งหมดเหมือนกัน!) เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ สำหรับการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเป็นขั้นตอนสำคัญสำหรับการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จ ใดๆงานในวิชาคณิตศาสตร์ และตรีโกณมิติอีกด้วย

ดังนั้นเราจึงหากฎทั่วไปสำหรับการนับมุมบนวงกลมได้ ถ้าที่นี่เราบอกเป็นนัยถึงการเลี้ยวเต็มประมาณไตรมาสก็ถึงเวลาที่จะบิดและวาดมุมเหล่านี้ เรามาวาดกันไหม?)

มาเริ่มกันที่ เชิงบวกมุม พวกเขาจะวาดได้ง่ายขึ้น

วาดมุมภายในหนึ่งรอบ (ระหว่าง 0 ° ถึง 360 °)

มาวาดกัน เช่น มุม 60° ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ไม่หรูหรา เราวาดแกนพิกัดวงกลม คุณสามารถใช้มือได้โดยตรงโดยไม่ต้องใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด เราวาด แผนผังตอบ: เราไม่มีร่างจดหมายกับคุณ ไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตาม GOST พวกเขาจะไม่ถูกลงโทษ)

คุณสามารถ (สำหรับตัวคุณเอง) ทำเครื่องหมายค่าของมุมบนแกนและระบุลูกศรในทิศทาง กับนาฬิกาท้ายที่สุดเราจะประหยัดเงินเป็นข้อดีหรือไม่) คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ แต่คุณต้องเก็บทุกอย่างไว้ในหัวของคุณ

และตอนนี้เราวาดด้านที่สอง (เคลื่อนย้ายได้) ของมุม ไตรมาสอะไร? ในครั้งแรกแน่นอน! สำหรับ 60 องศา จะต้องอยู่ระหว่าง 0 ° ถึง 90° อย่างเคร่งครัด ดังนั้นเราจึงวาดในไตรมาสแรก เป็นมุม เกี่ยวกับ 60 องศาไปด้านคงที่ วิธีการนับ เกี่ยวกับ 60 องศาไม่มีไม้โปรแทรกเตอร์? อย่างง่ายดาย! 60° คือ สองในสามของมุมฉาก!เราแบ่งไตรมาสแรกของวงกลมออกเป็นสามส่วนทางใจเราเอาสองในสามเป็นของตัวเอง และเราวาด ... เราไปถึงที่นั่นได้มากแค่ไหน (ถ้าเราติดไม้โปรแทรกเตอร์แล้ววัด) - 55 องศาหรือ 64 - ไม่สำคัญ! มันเป็นสิ่งสำคัญที่ยังคงอยู่ที่ไหนสักแห่ง ประมาณ 60°.

เราได้รับภาพ:

นั่นคือทั้งหมดที่ และไม่จำเป็นต้องใช้เครื่องมือใดๆ เราพัฒนาตา! มันจะมีประโยชน์ในปัญหาเรขาคณิต) การวาดภาพที่ไม่น่าดูนี้สามารถขาดไม่ได้เมื่อคุณต้องการเกาวงกลมและมุมอย่างเร่งรีบ โดยไม่ต้องคิดถึงความงามจริงๆ แต่ในขณะเดียวกันก็ขีดเขียน ขวาโดยไม่มีข้อผิดพลาดพร้อมข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด ตัวอย่างเช่นเป็นตัวช่วยในการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ

ทีนี้ลองวาดมุมกัน เช่น 265° คาดเดาที่มันอาจจะ? เป็นที่ชัดเจนว่าไม่ใช่ในไตรมาสแรกและไม่ใช่แม้แต่ในไตรมาสที่สอง พวกเขาสิ้นสุดที่ 90 และ 180 องศา คุณสามารถคิดได้ว่า 265° คือ 180° บวกอีก 85° นั่นคือต้องเพิ่มครึ่งแกนลบ OX (โดยที่ 180 °) เกี่ยวกับ 85° หรือง่ายยิ่งขึ้นไปอีก หากเดาว่า 265 ° ไม่ถึง OY กึ่งแกนเชิงลบ (ที่ 270 °) ของ 5 °ที่โชคร้าย ในไตรมาสที่สามจะมีมุมนี้ ใกล้กับแกนลบ OY ถึง 270 องศา แต่ยังอยู่ในตำแหน่งที่สาม!

วาด:

อีกครั้ง ไม่จำเป็นต้องมีความแม่นยำแน่นอนที่นี่ ให้มุมนี้กลายเป็นว่า 263 องศา แต่คำถามที่สำคัญที่สุด (ไตรมาสอะไร?)เราตอบถูก ทำไมคำถามนี้จึงเป็นคำถามที่สำคัญที่สุด? ใช่ เพราะงานใดๆ ที่มีมุมเป็นตรีโกณมิติ (ไม่ว่าเราจะวาดมุมนี้หรือไม่ก็ตาม) เริ่มต้นด้วยคำตอบของคำถามนี้! ตลอดเวลา. หากคุณเพิกเฉยต่อคำถามนี้หรือพยายามตอบคำถามทางจิตใจ ความผิดพลาดนั้นแทบจะหลีกเลี่ยงไม่ได้ ใช่ ... คุณต้องการไหม

จดจำ:

งานใดๆ ที่มีมุม (รวมถึงการวาดมุมนี้บนวงกลม) มักจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดไตรมาสที่มุมนี้ตกลงมา

ตอนนี้ ฉันหวังว่าคุณจะวาดมุมได้ถูกต้อง เช่น 182°, 88°, 280° ที่ ถูกต้องไตรมาส ในที่สามที่หนึ่งและสี่ถ้ามี ... )

ไตรมาสที่สี่สิ้นสุดที่มุม 360° นี่คือเทิร์นหนึ่งเต็ม พริกไทยมีความชัดเจนว่ามุมนี้อยู่ในตำแหน่งเดียวกันบนวงกลมเท่ากับ 0 ° (กล่าวคือ จุดอ้างอิง) แต่มุมไม่สิ้นสุดเพียงแค่นั้น ใช่...

จะทำอย่างไรกับมุมที่มากกว่า 360°?

“มีของแบบนั้นด้วยเหรอ?”- คุณถาม. มียังไง! มันเกิดขึ้นเช่นมุม 444 ° และบางครั้งก็ทำมุม 1,000 องศา มีมุมต่างๆ มากมาย) เมื่อมองด้วยสายตา มุมที่แปลกตาเหล่านี้จะถูกมองว่าซับซ้อนกว่ามุมปกติเล็กน้อยภายในรอบเดียว แต่คุณต้องสามารถวาดและคำนวณมุมดังกล่าวได้ด้วยใช่

ในการวาดมุมบนวงกลมอย่างถูกต้องคุณต้องทำสิ่งเดียวกัน - ค้นหา ในไตรมาสใดที่มุมของดอกเบี้ยตก ความสามารถในการกำหนดไตรมาสอย่างแม่นยำมีความสำคัญมากกว่ามุมตั้งแต่ 0 ° ถึง 360 °! ขั้นตอนในการพิจารณาไตรมาสนั้นซับซ้อนเพียงขั้นตอนเดียว ที่หนึ่งคุณจะเห็นในไม่ช้า

ตัวอย่างเช่น เราจำเป็นต้องค้นหาว่ามุม 444° ตกลงไปในสี่ส่วนใด เราเริ่มหมุน ที่ไหน? แน่นอนบวก! พวกเขาให้มุมบวกแก่เรา! +444° เราบิดเราบิด ... เราบิดหนึ่งรอบ - เราถึง 360 °

เหลือ 444° เท่าไหร่?เรานับหางที่เหลือ:

444°-360° = 84°

ดังนั้น 444° คือหนึ่งเทิร์นเต็ม (360°) บวกอีก 84° แน่นอนว่านี่เป็นไตรมาสแรก มุม 444° ตกลงมา ในไตรมาสแรกเสร็จแล้วครึ่งหนึ่ง

ตอนนี้ยังคงวาดภาพมุมนี้ ยังไง? ง่ายมาก! เราเลี้ยวเต็มหนึ่งครั้งตามลูกศรสีแดง (บวก) และเพิ่มอีก 84 °

แบบนี้:

ที่นี่ฉันไม่เกะกะภาพวาด - ลงนามในสี่แยก, วาดมุมบนแกน ความดีทั้งหมดนี้ควรจะอยู่ในหัวของฉันมานานแล้ว)

แต่ฉันแสดงด้วย "หอยทาก" หรือเกลียวว่ามุม 444 °เกิดจากมุม 360 °และ 84 °อย่างไร เส้นประสีแดงเป็นหนึ่งเทิร์นเต็ม ที่ 84° ถูกขันเพิ่มเติม (เส้นทึบ) อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าหากการเลี้ยวเต็มครั้งนี้ถูกยกเลิก จะไม่ส่งผลต่อตำแหน่งมุมของเราแต่อย่างใด!

แต่นี่เป็นสิ่งสำคัญ! ตำแหน่งมุม 444° เกิดขึ้นพร้อมกันหมดด้วยตำแหน่งมุม 84° ไม่มีปาฏิหาริย์ มันเกิดขึ้นเอง)

เป็นไปได้ไหมที่จะทิ้งไม่ครบหนึ่งเทิร์น แต่สองหรือมากกว่านั้น?

ทำไมจะไม่ล่ะ? หากเข้าโค้งหนักก็เป็นไปไม่ได้ แต่จำเป็นด้วย! มุมไม่เปลี่ยน! แม่นยำกว่านั้นแน่นอนมุมจะเปลี่ยนขนาด แต่ตำแหน่งของเขาบนวงกลม - ไม่มีทาง!) นั่นคือเหตุผลที่พวกเขา เต็มโมเมนตัม ที่ไม่ว่าจะเพิ่มกี่ชุด ลบเท่าไหร่ ก็ยังไปถึงจุดเดิม ดีใช่มั้ย?

จดจำ:

ถ้าเราบวก (ลบ) กับมุมใดๆ ทั้งหมดจำนวนรอบที่สมบูรณ์ ตำแหน่งของมุมเดิมบนวงกลมจะไม่เปลี่ยนแปลง!

ตัวอย่างเช่น:

มุม 10000° ตกลงมาในไตรมาสใด

ไม่มีปัญหา! เราพิจารณาว่ามีการปฏิวัติเต็มรูปแบบกี่ครั้งในหนึ่งพันองศา หนึ่งรอบคือ 360° อีกรอบคือ 720° รอบที่สามคือ 1080°... หยุด! หน้าอก! ดังนั้นในมุม 1,000 °นั่ง สองมูลค่าการซื้อขายเต็ม โยนมันออกจาก 1,000 °แล้วคำนวณส่วนที่เหลือ:

1,000 ° - 2 360° = 280°

ดังนั้นตำแหน่งของมุม 10000° บนวงกลม เดียวกันซึ่งเท่ากับมุม 280 องศา ใครที่ทำงานด้วยแล้วสบายใจกว่ากันมาก) และมุมนี้ตกที่ไหน? มันตกอยู่ในไตรมาสที่สี่: 270 ° (OY ครึ่งแกนเชิงลบ) บวกอีกสิบ

วาด:

ที่นี่ฉันไม่ได้ดึงสองรอบเต็มด้วยเกลียวประ: มันยาวอย่างเจ็บปวด แค่วาดหางม้าที่เหลือ จากศูนย์, ทิ้ง ทั้งหมดรอบพิเศษ เหมือนไม่มีอยู่จริง)

อีกครั้ง ในทางที่ดี มุม 444° และ 84° รวมถึง 1,000° และ 280° นั้นแตกต่างกัน แต่สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มุมเหล่านี้คือ เหมือน!

อย่างที่คุณเห็น ในการทำงานกับมุมที่ใหญ่กว่า 360° คุณต้องกำหนด กี่รอบเต็มนั่งในมุมกว้างที่กำหนด นี่เป็นขั้นตอนเพิ่มเติมที่ต้องทำล่วงหน้าเมื่อทำงานกับมุมดังกล่าว ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม

แน่นอนว่าการผลัดกันเต็มถือเป็นประสบการณ์ที่น่าพึงพอใจ) แต่ในทางปฏิบัติ เมื่อทำงานกับมุมที่น่าหวาดเสียวอย่างยิ่ง ปัญหาก็เกิดขึ้นเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น:

มุม 31240° ตกลงมาในไตรมาสใด

แล้วเราจะเพิ่ม 360 องศาหลาย ๆ ครั้งล่ะ? เป็นไปได้ถ้ามันไม่ไหม้โดยเฉพาะ แต่เราเพิ่มไม่ได้เท่านั้น) เรายังสามารถแบ่งได้!

ลองแบ่งมุมใหญ่ของเราออกเป็น 360 องศากัน!

ด้วยการกระทำนี้ เราเพิ่งทราบจำนวนรอบทั้งหมดที่ซ่อนอยู่ใน 31240 องศาของเรา คุณสามารถแบ่งปันมุมคุณสามารถ (กระซิบข้างหูของคุณ :)) บนเครื่องคิดเลข)

เราได้ 31240:360 = 86.777777….

ความจริงที่ว่าตัวเลขกลายเป็นเศษส่วนก็ไม่น่ากลัว เราเท่านั้น ทั้งหมดฉันสนใจในการหมุนเวียน! จึงไม่ต้องแบ่งให้จบ)

ดังนั้นในมุมที่มีขนดกของเราจึงนั่งได้มากถึง 86 รอบ สยองขวัญ…

องศามันจะเป็น86 360° = 30960°

แบบนี้. นั่นคือจำนวนองศาที่สามารถโยนออกจากมุมที่กำหนด 31240 °อย่างไม่ลำบาก ส่วนที่เหลือ:

31240° - 30960° = 280°

ทุกอย่าง! ตำแหน่งมุม 31240° ระบุครบแล้ว! ในที่เดียวกับ 280 ° เหล่านั้น. ไตรมาสที่สี่.) ดูเหมือนว่าเราได้วาดภาพมุมนี้มาก่อนแล้ว? มุม 1,000 องศาถูกดึงเมื่อใด) ที่นั่นเราก็ไป 280 องศาด้วย เหตุบังเอิญ.)

ดังนั้นคุณธรรมของเรื่องคือ:

หากเราได้รับมุมที่หนักหน่วงเช่นนั้น:

1. กำหนดจำนวนรอบเต็มนั่งในมุมนี้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แบ่งมุมเดิมด้วย 360 แล้วทิ้งส่วนที่เป็นเศษส่วน

2. เราพิจารณาจำนวนการปฏิวัติที่ได้รับกี่องศา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณจำนวนรอบด้วย 360

3. ลบการปฏิวัติเหล่านี้ออกจากมุมเดิมและทำงานกับมุมปกติในช่วงตั้งแต่ 0 °ถึง 360 °

วิธีการทำงานกับมุมลบ?

ไม่มีปัญหา! เช่นเดียวกับในทางบวก โดยมีข้อแตกต่างเพียงข้อเดียว อะไร ใช่! คุณต้องเลี้ยวโค้ง ด้านหลังลบ! ตามเข็มนาฬิกา)

ลองวาดตัวอย่างเช่นมุม -200 ° ในตอนแรกทุกอย่างเป็นปกติสำหรับมุมบวก - แกน, วงกลม ลองวาดลูกศรสีน้ำเงินด้วยเครื่องหมายลบแล้วเซ็นมุมบนแกนด้วยวิธีที่ต่างออกไป แน่นอนว่าพวกเขาจะต้องนับไปในทิศทางลบด้วย สิ่งเหล่านี้จะเป็นมุมเดียวกันทั้งหมด ก้าวผ่าน 90° แต่นับในทิศทางตรงกันข้าม ลบ: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°

รูปภาพจะมีลักษณะดังนี้:

เมื่อทำงานกับมุมลบ มักมีความรู้สึกสับสนเล็กน้อย ยังไงล่ะ! ปรากฎว่าแกนเดียวกันคือทั้ง +90° และ -270°? ไม่ มีบางอย่างผิดปกติที่นี่...

ใช่ ทุกอย่างสะอาดและโปร่งใส! เรารู้อยู่แล้วว่าจุดใดๆ บนวงกลมสามารถเรียกได้ว่าเป็นมุมบวกและมุมลบ! แต่อย่างใด รวมถึงบางแกนพิกัดด้วย ในกรณีของเรา เราต้องการ เชิงลบการคำนวณมุม ดังนั้นเราจึงหักมุมทั้งหมดเป็นลบ)

ตอนนี้การวาดมุมฉากที่ -200 °ก็ไม่มีปัญหา นี่คือ -180° และ ลบอีก 20 ° เราเริ่มคดเคี้ยวจากศูนย์ถึงลบ: เราบินผ่านไตรมาสที่สี่ส่วนที่สามก็ผ่านไปเช่นกันเราถึง -180 ° ที่จะไขส่วนที่เหลืออีกยี่สิบ? ใช่ มันอยู่ที่นั่นแล้ว! ตามนาฬิกา) มุมรวม -200 ° ตกลงไปใน ที่สองหนึ่งในสี่.

ตอนนี้คุณเข้าใจแล้วว่าการจำมุมบนแกนพิกัดสำคัญแค่ไหน?

ต้องจำมุมบนแกนพิกัด (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) อย่างแม่นยำ เพื่อที่จะระบุไตรมาสที่มุมตกลงมาอย่างแม่นยำ!

และถ้าเป็นมุมที่ใหญ่เต็มโค้งหลายรอบล่ะ? ไม่เป็นไร! การเปลี่ยนความเร็วเต็มที่เหล่านี้ทำให้เกิดความแตกต่างอย่างไร - เป็นบวกหรือลบ จุดบนวงกลมจะไม่เปลี่ยนตำแหน่ง!

ตัวอย่างเช่น:

มุม -2000° ตกลงในจตุภาคใด

เหมือนกันทั้งหมด! เริ่มต้นด้วยการพิจารณาว่ามีการปฏิวัติเต็มรูปแบบกี่ครั้งในมุมที่ชั่วร้ายนี้ เพื่อไม่ให้เลอะในสัญญาณ ให้ทิ้งเครื่องหมายลบไว้ก่อนแล้วหาร 2,000 ด้วย 360 เราได้ 5 ด้วยหาง หางยังไม่รบกวนเราเราจะนับมันในภายหลังเมื่อเราวาดมุม พวกเราเชื่อว่า ห้าการปฏิวัติเต็มรูปแบบในหน่วยองศา:

5 360° = 1800°

โวต นั่นคือจำนวนองศาพิเศษที่คุณสามารถโยนออกจากมุมของเราได้อย่างปลอดภัยโดยไม่เป็นอันตรายต่อสุขภาพ

เรานับหางที่เหลือ:

2000 ° – 1800 ° = 200°

และตอนนี้คุณสามารถจำค่าลบได้) เราจะไขหาง 200 °ที่ไหน? ข้อเสีย แน่นอน! เราได้รับมุมลบ)

20000° = -1800° - 200°

ดังนั้นเราจึงวาดมุม -200 °โดยไม่ต้องเลี้ยวพิเศษเท่านั้น ฉันเพิ่งวาดมัน แต่ไม่เป็นไร ฉันจะทาสีใหม่อีกครั้ง ด้วยมือ.

พริกไทยมีความชัดเจนว่ามุมที่กำหนด -2000 °และ -200 °ตกอยู่ใน ไตรมาสที่สอง.

ดังนั้นเราจึงหมุนตัวเองเป็นวงกลม ... ขอโทษ ... บนหนวด:

หากให้มุมลบที่ใหญ่มาก ส่วนแรกของการทำงานกับมุมนั้น (การหาจำนวนรอบเต็มและละทิ้ง) จะเหมือนกับเมื่อทำงานกับมุมบวก เครื่องหมายลบไม่มีบทบาทใดๆ ในขั้นนี้ของการแก้ปัญหา เครื่องหมายถูกนำมาพิจารณาในตอนท้ายเท่านั้นเมื่อทำงานกับมุมที่เหลือหลังจากการเลี้ยวเต็ม

อย่างที่คุณเห็น การวาดมุมลบบนวงกลมนั้นไม่ยากไปกว่าการวาดมุมบวก

ทุกอย่างเหมือนเดิม แต่ในอีกทางหนึ่งเท่านั้น! เป็นชั่วโมง!

และตอนนี้ - น่าสนใจที่สุด! เราได้ครอบคลุมมุมบวก มุมลบ มุมใหญ่ มุมเล็ก - ช่วงเต็มแล้ว นอกจากนี้เรายังพบว่าจุดใด ๆ บนวงกลมสามารถเรียกได้ว่าเป็นมุมบวกและลบเราทิ้งรอบเต็ม ... ไม่มีความคิด? น่าจะเลื่อน...

ใช่! จุดใดบนวงกลมที่คุณทำ มันจะสอดคล้องกับ มุมไม่มีที่สิ้นสุด! ใหญ่และไม่มาก ทั้งบวกและลบ - ทุกคน! และความแตกต่างระหว่างมุมเหล่านี้จะเป็น ทั้งหมด จำนวนรอบที่สมบูรณ์ ตลอดเวลา! ดังนั้นการจัดเรียงวงกลมตรีโกณมิติใช่ ... ) นั่นคือเหตุผล ย้อนกลับภารกิจคือการหามุมด้วยไซน์ / โคไซน์ / แทนเจนต์ / โคแทนเจนต์ที่รู้จัก - ได้รับการแก้ไข คลุมเครือ. และยากกว่ามาก ตรงกันข้ามกับปัญหาโดยตรง - เพื่อค้นหาชุดฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งชุดสำหรับมุมที่กำหนด และในหัวข้อตรีโกณมิติที่จริงจังมากขึ้น ( ซุ้มประตู, ตรีโกณมิติ สมการและ ความไม่เท่าเทียมกัน ) เราจะพบชิปนี้อย่างต่อเนื่อง นำไปใช้)

1. มุม -345° ตกลงมาในสี่ส่วนใด

2. มุม 666° ตกลงมาในไตรมาสใด

3. มุม 5555 อยู่ในไตรมาสใด?

4. มุม -370° อยู่ในไตรมาสใด

5. เครื่องหมายคืออะไรcos999°?

6. เครื่องหมายคืออะไรctg999°?

และมันก็ได้ผล? มหัศจรรย์! มีปัญหา? แล้วคุณ.

คำตอบ:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

คราวนี้ ให้คำตอบตามลำดับ ผิดธรรมเนียม เพราะมีเพียงสี่ไตรมาสและมีเพียงสองป้าย จะไม่หนี...)

ในบทต่อไป เราจะพูดถึงเรเดียนเกี่ยวกับตัวเลขลึกลับ "pi" เราจะเรียนรู้วิธีแปลงเรเดียนเป็นองศาได้อย่างง่ายดายและง่ายดาย และในทางกลับกัน และเราจะประหลาดใจที่พบว่าแม้แต่ความรู้และทักษะง่ายๆ เหล่านี้ก็เพียงพอแล้วสำหรับเราในการแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญมากมายในวิชาตรีโกณมิติได้สำเร็จ!

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

รังสีคู่ Oa และ Ob ที่มาจากจุดเดียวกัน O เรียกว่ามุมและแสดงด้วยสัญลักษณ์ (a, b) จุด O เรียกว่าจุดยอดของมุม และรังสี Oa u Ob คือด้านของมุม ถ้า A และ B เป็นสองจุดของรังสี Oa และ Ob ดังนั้น (a, b) จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ AOB (รูปที่ 1.1)

มุม (a, b) เรียกว่ากางออกถ้ารังสี Oa และ Ob ซึ่งโผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและไม่ตรงกัน (กล่าวคือ มีทิศทางตรงกันข้าม)

รูปที่ 1.1

มุมสองมุมจะถือว่าเท่ากันหากมุมหนึ่งสามารถซ้อนทับกันเพื่อให้ด้านของมุมตรงกัน bisector ของมุมคือรังสีที่เริ่มต้นที่จุดยอดของมุมและแบ่งมุมออกเป็นสองมุมเท่ากัน

พวกเขาบอกว่า ray OS ที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม AOB อยู่ระหว่างด้านข้างของมัน ถ้ามันตัดกับเซ็กเมนต์ AB (รูปที่ 1.2) กล่าวได้ว่าจุด C อยู่ระหว่างด้านข้างของมุม หากรังสีสามารถลากผ่านจุดนี้ได้ โดยเริ่มต้นที่จุดยอดของมุม และอยู่ระหว่างด้านข้างของมุม ชุดของจุดทั้งหมดของระนาบที่วางอยู่ระหว่างด้านข้างของมุมก่อให้เกิดพื้นที่ด้านในของมุม (รูปที่ 1.3) ชุดของจุดในระนาบที่ไม่อยู่ในบริเวณด้านในและด้านข้างของมุมจะสร้างพื้นที่ด้านนอกของมุม

มุม (a, b) ถือว่ามากกว่ามุม (c, d) ถ้ามุม (c, d) สามารถซ้อนทับบนมุม (a, b) ดังนั้นหลังจากรวมด้านหนึ่งคู่เข้าด้วยกันแล้ว ด้านที่สองของ มุม (c, d) จะอยู่ระหว่างด้านของมุม (a, b) ในรูป 1.4 AOB มากกว่า AOC

ให้รังสี c อยู่ระหว่างด้านข้างของมุม (a, b) (รูปที่ 1.5) รังสีคู่ a, c และ c, b สร้างมุมสองมุม มุม (a, b) เป็นผลรวมของมุมสองมุม (a, c) และ (c, b) และเขียนว่า: (a, b) = (a, c) + (c, b)

รูปที่ 1.3

โดยปกติในเรขาคณิตจะจัดการกับมุมที่เล็กกว่ามุมที่ขยาย อย่างไรก็ตาม จากการเพิ่มมุมสองมุม คุณจะได้มุมที่ใหญ่กว่ามุมที่ขยาย ในกรณีนี้ ส่วนนั้นของระนาบซึ่งถือเป็นบริเวณด้านในของมุมนั้นจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้ง ในรูป 1.6 ส่วนด้านในของมุม AOB ซึ่งได้มาจากการเพิ่มมุม AOC และ COB และมุมที่ขยายใหญ่ขึ้น จะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้ง

รูปที่ 1.5

นอกจากนี้ยังมีมุมที่มากกว่า 360° มุมดังกล่าวเกิดขึ้นจากการหมุนของใบพัดเครื่องบิน การหมุนของดรัมที่เชือกถูกพัน ฯลฯ

ในอนาคต เมื่อพิจารณาแต่ละมุม เราจะเห็นชอบให้พิจารณาด้านหนึ่งของมุมนี้เป็นด้านเริ่มต้น และอีกด้านหนึ่งเป็นด้านสุดท้าย

มุมใดก็ได้ เช่น มุม AOB (รูปที่ 1.7) สามารถรับได้จากการหมุนของลำแสงเคลื่อนที่รอบจุดยอด O จากด้านเริ่มต้นของมุม (OA) ไปยังด้านสุดท้าย (OB) เราจะวัดมุมนี้โดยคำนึงถึงจำนวนรอบทั้งหมดที่เกิดขึ้นรอบจุด O รวมถึงทิศทางที่เกิดการหมุน

มุมบวกและมุมลบ

ให้เรามีมุมที่เกิดจากรังสี OA และ OB (รูปที่ 1.8) ลำแสงที่เคลื่อนที่ได้ซึ่งหมุนรอบจุด O จากตำแหน่งเริ่มต้น (OA) สามารถรับตำแหน่งสุดท้าย (OB) ด้วยทิศทางการหมุนที่แตกต่างกันสองทิศทาง ทิศทางเหล่านี้แสดงในรูปที่ 1.8 โดยลูกศรที่เกี่ยวข้อง

รูปที่ 1.7

เช่นเดียวกับบนแกนตัวเลข ทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสองทิศทางถือเป็นค่าบวกและอีกทิศทางเป็นลบ ทิศทางการหมุนที่แตกต่างกันสองทิศทางของลำแสงเคลื่อนที่ก็มีความแตกต่างกันเช่นกัน เราตกลงที่จะพิจารณาทิศทางการหมุนที่เป็นบวกกับทิศทางที่ตรงกันข้ามกับทิศทางการหมุนตามเข็มนาฬิกา ทิศทางการหมุนที่สอดคล้องกับทิศทางการหมุนของเข็มชั่วโมงถือเป็นค่าลบ

ตามคำจำกัดความเหล่านี้ มุมยังแบ่งออกเป็นค่าบวกและค่าลบ

มุมบวกคือมุมที่เกิดจากการหมุนของลำแสงที่เคลื่อนที่ได้รอบจุดเริ่มต้นในทิศทางบวก

รูปที่ 1.9 แสดงมุมบวกบางส่วน (ทิศทางการหมุนของลำแสงเคลื่อนที่จะแสดงด้วยลูกศรในภาพวาด)

มุมลบคือมุมที่เกิดจากการหมุนของลำแสงที่เคลื่อนที่ได้รอบจุดเริ่มต้นในทิศทางลบ

รูปที่ 1.10 แสดงมุมลบบางส่วน (ทิศทางการหมุนของลำแสงเคลื่อนที่จะแสดงด้วยลูกศรในภาพวาด)

แต่ลำแสงที่อยู่ติดกันสองอันสามารถสร้างมุมได้ +360°n และ -360°n (n = 0,1,2,3,...) ให้เราแสดงด้วย b มุมการหมุนที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุดที่แปลจากลำแสง OA ให้อยู่ในตำแหน่ง OB หากตอนนี้ลำแสง OB ทำการหมุนเพิ่มเติมรอบจุด O อย่างสมบูรณ์ เราจะได้ค่ามุมที่ต่างออกไป กล่าวคือ: ABO \u003d b + 360 °

การวัดมุมด้วยส่วนโค้งวงกลม หน่วยอาร์คและมุม

ในบางกรณี การวัดมุมโดยใช้ส่วนโค้งแบบวงกลมจะสะดวก ความเป็นไปได้ของการวัดดังกล่าวขึ้นอยู่กับข้อเสนอที่รู้จักกันดีของ planimetry ซึ่งในวงกลมเดียว (หรือในวงกลมที่เท่ากัน) มุมศูนย์กลางและส่วนโค้งที่สอดคล้องกับพวกมันนั้นเป็นสัดส่วนโดยตรง

ให้ส่วนโค้งของวงกลมที่กำหนดมาเป็นหน่วยวัดส่วนโค้ง มุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกับส่วนโค้งนี้จะถูกนำมาเป็นหน่วยวัดมุม ภายใต้เงื่อนไขนี้ ส่วนโค้งวงกลมและมุมศูนย์กลางใดๆ ที่สอดคล้องกับส่วนโค้งนี้จะมีจำนวนหน่วยเท่ากัน ดังนั้น โดยการวัดส่วนโค้งของวงกลม จึงสามารถกำหนดค่าของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกับส่วนโค้งเหล่านี้ได้

พิจารณาสองระบบที่ใช้กันทั่วไปในการวัดส่วนโค้งและมุม

องศาวัดมุม

เมื่อวัดมุมเป็นองศา หน่วยพื้นฐานของการวัดมุม (มุมอ้างอิงที่มีการเปรียบเทียบมุมต่างกัน) จะถูกนำมาเป็นมุมหนึ่งองศา (แสดงด้วย 1?) มุมหนึ่งองศาเท่ากับ 1/180 ของมุมตรง มุมเท่ากับ 1/60 ของมุมใน 1° คือมุมหนึ่งนาที (แสดงเป็น 1") มุมที่เท่ากับ 1/60 ของมุมในหนึ่งนาทีคือมุมหนึ่งวินาที (แสดงเป็น 1")

การวัดมุมเรเดียน

นอกจากการวัดองศาของมุมในเรขาคณิตและตรีโกณมิติแล้ว ยังมีการวัดมุมอีกแบบหนึ่งที่เรียกว่าเรเดียน พิจารณาวงกลมรัศมี R ที่มีจุดศูนย์กลาง O วาดรัศมีสองเส้น O A และ OB เพื่อให้ความยาวของส่วนโค้ง AB เท่ากับรัศมีของวงกลม (รูปที่ 1.12) มุมศูนย์กลางที่เป็นผลลัพธ์ AOB จะเป็นมุมหนึ่งเรเดียน มุม 1 เรเดียนถูกใช้เป็นหน่วยวัดสำหรับการวัดมุมเรเดียน เมื่อวัดมุมเป็นเรเดียน มุมที่พัฒนาแล้วจะเท่ากับ p เรเดียน

หน่วยองศาและเรเดียนของการวัดมุมสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน:

1 เรเดียน \u003d 180? / p57 ° 17 "45"; 1? \u003d p / 180 เรเดียน 0.017453 เรเดียน;

1"=p/180*60 เรเดียน0.000291 เรเดียน;

1""=p/180*60*60 เรเดียน 0.000005 เรเดียน

การวัดองศา (หรือเรเดียน) ของมุมเรียกอีกอย่างว่าขนาดของมุม ค่าของมุม AOB บางครั้งแสดง /

การจำแนกมุม

มุมเท่ากับ 90° หรือในหน่วยเรเดียน p/2 เรียกว่ามุมฉาก มันมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร d มุมที่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม มุมที่มากกว่า 90° แต่น้อยกว่า 180° เรียกว่ามุมป้าน

มุมสองมุมที่มีด้านเท่ากันและรวมกันได้ถึง 180° เรียกว่ามุมประชิด มุมสองมุมที่มีด้านเท่ากันและรวมกันได้ 90° เรียกว่ามุมประกอบ