มุมแนวตั้งและมุมประชิดเป็นคุณสมบัติของมัน มุม

บทที่ 1

แนวคิดพื้นฐาน.

§สิบเอ็ด มุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราทำต่อด้านหนึ่งของมุมเลยจุดยอด เราจะได้สองมุม (รูปที่ 72): / ดวงอาทิตย์และ / SVD ซึ่งด้านหนึ่งเป็น BC เหมือนกัน และอีกสองด้านเป็น AB และ BD เป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเท่ากันและอีกสองมุมเป็นเส้นตรงเรียกว่ามุมประชิด

นอกจากนี้ยังสามารถรับมุมที่อยู่ติดกันได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นตรงที่กำหนด) เราก็จะได้มุมที่อยู่ติดกัน
ตัวอย่างเช่น, / ADF และ / FDВ - มุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมประชิดรวมกันเป็นมุมตรง เป็นต้น ummah ของสอง มุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 2ง.

ดังนั้น มุมฉากสามารถกำหนดให้เป็นมุมที่เท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบค่าของมุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่ง เราสามารถหาค่าของมุมที่อยู่ติดกันอีกมุมหนึ่งได้

ตัวอย่างเช่น ถ้าหนึ่งในมุมที่อยู่ติดกันคือ 3/5 งแล้วมุมที่สองจะเท่ากับ:

2ง- 3 / 5 ง= ล. 2 / 5 ง.

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านของมุมออกไปเลยจุดยอด เราจะได้ มุมแนวตั้ง. ในภาพวาด 75 มุม EOF และ AOC อยู่ในแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นส่วนต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

ปล่อยให้เป็น / 1 = 7 / 8 ง(รูปที่ 76) อยู่ติดกันเลย / 2 จะเท่ากับ 2 ง- 7 / 8 งเช่น 1 1/8 ง.

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณสิ่งที่เท่ากับ / 3 และ / 4.
/ 3 = 2ง - 1 1 / 8 ง = 7 / 8 ง; / 4 = 2ง - 7 / 8 ง = 1 1 / 8 ง(รูปที่ 77)

เราเห็นอย่างนั้น / 1 = / 3 และ / 2 = / 4.

คุณสามารถแก้ปัญหาเดียวกันนี้ได้อีกหลายครั้ง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เหมือนเดิม นั่นคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งเท่ากันเสมอ การพิจารณาแต่ละมุมนั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างตัวเลขเนื่องจากการสรุปบนพื้นฐานของตัวอย่างเฉพาะบางครั้งอาจผิดพลาดได้

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งโดยใช้เหตุผลโดยการพิสูจน์

สามารถดำเนินการพิสูจน์ได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

/ +/ ค = 2ง;
/ ข +/ ค = 2ง;

(เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 2 ง).

/ +/ ค = / ข +/ ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับ 2 งและด้านขวาก็เท่ากับ 2 ด้วย ง).

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมที่เหมือนกัน กับ.

ถ้าเรามาจาก ค่าเท่ากันลบเท่าๆ กัน ก็จะเหลือเท่าๆ กัน ผลลัพธ์จะเป็น: / ก = / ขนั่นคือมุมแนวตั้งเท่ากัน

เมื่อพิจารณาคำถามเกี่ยวกับมุมแนวตั้ง ก่อนอื่นเราจะอธิบายว่ามุมใดเรียกว่าแนวตั้ง นั่นคือเราให้ คำนิยามมุมแนวตั้ง

จากนั้นเราทำการตัดสิน (คำแถลง) เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของมุมแนวตั้ง และเราเชื่อมั่นในความถูกต้องของการตัดสินนี้โดยการพิสูจน์ การตัดสินดังกล่าวซึ่งความถูกต้องจะต้องได้รับการพิสูจน์เรียกว่า ทฤษฎีบท. ดังนั้น ในส่วนนี้เราได้ให้คำจำกัดความของมุมแนวตั้ง และยังระบุและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมนั้นด้วย

ในอนาคตเมื่อเรียนเรขาคณิตเราจะต้องพบกับคำจำกัดความและการพิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างต่อเนื่อง

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วมกัน

บนภาพวาด 79 / 1, / 2, / 3 และ / 4 อยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตรงและมีจุดยอดร่วมกันบนเส้นตรงนี้ สรุปแล้ว มุมเหล่านี้ประกอบกันเป็นมุมตรง นั่นคือ
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ง.

บนภาพวาด 80 / 1, / 2, / 3, / 4 และ / 5 มีด้านบนทั่วไป ผลรวมของมุมเหล่านี้คือ เต็มมุม, เช่น. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ง.

การออกกำลังกาย.

1. หนึ่งในมุมที่อยู่ติดกันคือ 0.72 ง.คำนวณมุมที่เกิดจากเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันเหล่านี้

2. พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก

3. พิสูจน์ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมประชิดของมุมทั้งสองก็จะเท่ากันด้วย

4. รูปวาด 81 มีมุมติดกันกี่คู่

5. มุมที่อยู่ติดกัน 1 คู่ประกอบด้วยมุมแหลม 2 มุมได้หรือไม่ จากสองมุมป้าน? จากมุมขวาและมุมป้าน? จากมุมขวาและมุมแหลม?

6. ถ้ามุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง ค่าของมุมที่อยู่ติดกันนั้นบอกอะไรได้บ้าง

7. ถ้าที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นมีมุมฉากหนึ่งมุม ขนาดของมุมที่เหลืออีกสามมุมจะบอกอะไรได้บ้าง

ในหัวข้อ: มุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้งคุณสมบัติของมัน

(3 บทเรียน)

จากการศึกษาหัวข้อนี้ คุณต้องการ:

สามารถ:

แนวคิด: มุมประชิดและแนวตั้ง เส้นตั้งฉาก

แยกความแตกต่างระหว่างมุมประชิดและมุมแนวตั้ง

ทฤษฎีบทของมุมประชิดและมุมดิ่ง

แก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติของมุมประชิดและแนวตั้ง

คุณสมบัติมุมติดกันและแนวตั้ง

สร้างมุมประชิดและแนวตั้งฉากกับเส้น

วรรณกรรม:

1. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 Zh. Kaidasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev อัลมาตี "เม็กเทป" 2555

2. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 K.O. Bukubaeva, A.T. มิราซอฟ. อัลมาตีอาตามูระ". 2555

3. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 คู่มือระเบียบวิธี เค.โอ. บูคูบาเอวา อัลมาตีอาตามูระ". 2555

4. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 วัสดุการสอน. A.N.Shynybekov อัลมาตีอาตามูระ". 2555

5. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การรวบรวมงานและแบบฝึกหัด K.O. Bukubaeva, A.T. มิราโซวา อัลมาตีอาตามูระ". 2555

จำไว้ว่าคุณต้องทำงานตามอัลกอริทึม!

อย่าลืมที่จะผ่านการทดสอบจดบันทึกที่ระยะขอบ

โปรดอย่าทิ้งคำถามใด ๆ ที่คุณยังไม่ได้ตอบ

เป็นกลางระหว่างการตรวจสอบโดยเพื่อน มันจะช่วยทั้งคุณและเพื่อน

คุณกำลังตรวจสอบใคร

ขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

งาน№1

อ่านคำจำกัดความและเรียนรู้ (2b):

คำนิยาม. มุมที่มีด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกสองด้านเป็นรังสีเพิ่มเติม เรียกว่า ประชิด

2) เรียนรู้และจดทฤษฎีบทลงในสมุดบันทึกของคุณ: (2b)

ผลบวกของมุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180

ที่ให้ไว้:

∠ เอเอ็นเอ็มและ∠ DOV - กำหนดมุมที่อยู่ติดกัน

โอดี - ด้านทั่วไป

พิสูจน์:

∠ ออด+∠ DOV = 180

การพิสูจน์:

ขึ้นอยู่กับสัจพจน์สาม 4:

∠ ออด+∠ DOV =∠ อ.ว.

∠ AOV - ปรับใช้ เพราะเหตุนี้,

∠ ออด+∠ DOV = 180

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

3) ตามมาจากทฤษฎีบท: (2b)

1) ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากัน

2) ถ้ามุมประชิดเท่ากัน ดังนั้น การวัดระดับแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 90°

จดจำ!

มุมที่มีขนาดเท่ากับ 90° เรียกว่ามุมฉาก

มุมที่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม

มุมที่มากกว่า 90° และน้อยกว่า 180° เรียกว่า มุมป้าน.

มุมฉาก มุมแหลม มุมป้าน

เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180° ดังนั้น

1) มุมประชิดมุมฉาก ขวา;

2) มุมที่อยู่ติดกับมุมแหลมนั้นป้าน

3) มุมที่อยู่ติดกับมุมป้านเป็นมุมแหลม

4) พิจารณาวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง hอาดาจิ:

ก) ให้:∠ ชม.เคและ∠ KL- ติดกัน;∠ ชม.เคมากกว่า∠ KLที่ 50°

หา:∠ ชม.เคและ∠ KL.

วิธีแก้ปัญหา: ให้∠ KL= x แล้ว∠ ชม.เค= x + 50° ตามคุณสมบัติเกี่ยวกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน∠ KL + ∠ ชม.เค= 180°.

x + x + 50° = 180°;

2x = 180° - 50°;

2x = 130°;

x = 65°.

∠ KL= 65°;∠ ชม.เค= 65°+ 50° = 115°.

คำตอบ: 115° และ 65°

ข) ให้∠ KL= x แล้ว∠ ชม.เค= 3 เท่า

x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ KL= 45°;∠ ฮ่องกง= 135°.

คำตอบ: 135° และ 45°

5) ทำงานกับคำจำกัดความของมุมที่อยู่ติดกัน: (2 b)

6) ค้นหาข้อผิดพลาดในคำจำกัดความ: (2b)

ผ่านการทดสอบ #1

งานหมายเลข 2

1) สร้างมุมประชิด 2 มุมเพื่อให้ด้านร่วมผ่านจุด C และด้านหนึ่งของมุมใดมุมหนึ่งตรงกับรังสี AB (2b)

2). งานจริงเพื่อค้นหาคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน: (5b)

ขั้นตอนการทำงาน

1. สร้างมุมมุมที่อยู่ติดกันก , ถ้าก : เฉียบ, ตรง, ป้าน.

2. วัดมุม

3. ป้อนข้อมูลการวัดในตาราง

4. ค้นหาอัตราส่วนระหว่างค่าของมุมก และ.

5. วาดข้อสรุปเกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน

ผ่านการทดสอบ #2

งานหมายเลข 3

วาดไม่ขยาย∠ AOB และตั้งชื่อรังสีที่เป็นด้านของมุมนี้

วาดลำแสง O ซึ่งเป็นความต่อเนื่องของลำแสง OA และลำแสง OD ซึ่งเป็นความต่อเนื่องของลำแสง OB

เขียนในสมุดบันทึกของคุณ: มุม∠ อ.บ.ต.และ∠ SOD เรียกว่าแนวตั้ง (3b)

เรียนรู้และเขียนในสมุดบันทึก: (4b)

คำนิยาม: มุมที่ด้านหนึ่งเป็นรังสีคู่สมของอีกมุมหนึ่งเรียกว่ามุมแนวตั้ง

< 1 และ<2, <3 и <4 มุมแนวตั้ง

รังสีของและสสจ , อคและสพปเป็นรังสีคู่สม

ทฤษฎีบท: มุมแนวตั้งเท่ากัน

การพิสูจน์.

มุมแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน ให้เส้น a และขตัดกันที่จุด O∠ 1 และ∠ 2 - มุมแนวตั้ง

∠ วิธีการปรับใช้ AOC∠ AOC= 180° อย่างไรก็ตาม∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC เช่น

∠ 3+ ∠ 1= 180° ดังนั้นเราจึงได้:

∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)

เรายังมีสิ่งนั้น∠ DOV = 180° ดังนั้น∠ 2+ ∠ 3= 180° หรือ∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)

เนื่องจากในความเท่ากัน (1) และ (2) ส่วนตรงจึงเท่ากัน ดังนั้น∠ 1= ∠ 2.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ห้า). ทำงานกับคำจำกัดความของมุมแนวตั้ง: (2b)

6) ค้นหาข้อผิดพลาดในคำจำกัดความ: (2b)

ผ่านการทดสอบ #3

งานหมายเลข 4

1) การฝึกปฏิบัติเพื่อค้นหาคุณสมบัติของมุมแนวตั้ง: (5b)

ขั้นตอนการทำงาน:

1. สร้างมุม β มุมดิ่งα , ถ้าα :

แหลมตรงป้าน.

2. วัดมุม

3. ป้อนข้อมูลการวัดในตาราง

4. ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุม α และ β

5. ให้ข้อสรุปเกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมแนวตั้ง

2) การพิสูจน์คุณสมบัติของมุมประชิดและมุมดิ่ง (3b)

2) พิจารณาวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างนรก.

งาน. เส้น AB และ CD ตัดกันที่จุด O ดังนั้น∠ AOD = 35° ค้นหามุม AOC และ BOC

การตัดสินใจ:

1) มุม AOD และ AOC จึงอยู่ติดกัน∠ ธปท= 180° - 35° = 145°.

2) มุม AOC และ BOC ก็อยู่ติดกันเช่นกัน∠ ธปท= 180° - 145° = 35°.

วิธี,∠ ธปท = ∠ AOD = 35° และมุมเหล่านี้อยู่ในแนวตั้ง คำถาม: มุมแนวตั้งเท่ากันทุกมุมจริงหรือ?

3) การแก้ปัญหาเมื่อวาดเสร็จแล้ว: (3b)

1. หามุม AOB, AOD, COD

3) ค้นหามุม BOC, FOA.: (3b)

3. หามุมประชิดและมุมตั้งในรูป ให้ทราบค่าของมุมทั้งสองที่ทำเครื่องหมายบนภาพวาด 28? และ 90?. เป็นไปได้ไหมที่จะหาค่าของมุมที่เหลือโดยไม่ต้องทำการวัด (2b)

ผ่านการทดสอบ #4

งานหมายเลข 5

ทดสอบความรู้ของคุณโดยการกรอกงานตรวจสอบหมายเลข 1

งานหมายเลข 6

1) พิสูจน์คุณสมบัติของมุมดิ่งด้วยตัวคุณเองและจดหลักฐานเหล่านี้ลงในสมุดบันทึก (3b)

นักเรียนอย่างเป็นอิสระโดยใช้คุณสมบัติของมุมแนวตั้งและมุมประชิดต้องพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าที่จุดตัดของเส้นสองเส้นมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก มุมอื่นๆ ก็จะถูกต้องด้วย

2) แก้ปัญหาสองข้อให้เลือก:

1. การวัดองศาของมุมประชิดสัมพันธ์กันเป็น 7:2 ค้นหามุมเหล่านี้ (2b)

2. มุมหนึ่งที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นนั้นเล็กกว่าอีกมุมหนึ่ง 11 เท่า จงหาแต่ละมุม (3b)

3. ค้นหามุมที่อยู่ติดกันหากความแตกต่างและผลรวมของมุมนั้นสัมพันธ์กันเป็น 2: 9 (3b)

งานหมายเลข 7

ทำได้ดี! คุณสามารถดำเนินการทดสอบงานที่ 2 ได้

งานตรวจสอบหมายเลข 1

ตัดสินใจเลือกตัวเลือกใดก็ได้ (10b)

ตัวเลือกที่ 1

<1 и <2,

<3 и <2,

ช)<1 и <3. Какие это углы?

ที่เกี่ยวข้อง

e) วาด (ด้วยตา) ที่มุม 30 ° และ< เอบีซี, ติดกับที่กำหนด

f) มุมแนวตั้งคืออะไร?

สองมุมเรียกว่าแนวตั้งหาก orni เท่ากัน

g) จากจุด A วาดเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นก

สามารถลากเส้นตรงได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ตัวเลือก 2

1. นักเรียนตอบคำถามของครูให้คำตอบที่เหมาะสม ตรวจสอบว่าถูกต้องหรือไม่โดยทำเครื่องหมายในคอลัมน์ที่สามด้วยคำว่า "ใช่", "ไม่", "ฉันไม่รู้" ถ้า “ไม่” ให้เขียนคำตอบที่ถูกต้องลงไปหรือเพิ่มคำตอบที่ขาดหายไป

<1 и <4,

<2 и <4

ง)<1 и < 3 смежные?

เลขที่ พวกมันอยู่ในแนวตั้ง

จ) เส้นใดเรียกว่าตั้งฉาก?

เส้นสองเส้นเรียกว่าตั้งฉากหากตัดกันเป็นมุมฉาก

G) วาดมุมแนวตั้งเพื่อให้ด้านข้างเป็นเส้นตั้งฉาก

2. ตั้งชื่อมุมแนวตั้งในรูปนี้

ทั้งหมด: 10 คะแนน

"5" -10 คะแนน;

"4" -8-9 คะแนน;

"3" -5-7 คะแนน

งานตรวจสอบหมายเลข 2

ตัดสินใจเลือกตัวเลือกใดก็ได้

ตัวเลือก I

หามุมที่อยู่ติดกันถ้าผลต่างและผลรวมของมันอยู่ในอัตราส่วน 2:9 (4b)

ค้นหามุมที่ไม่ขยายทั้งหมดที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้น ถ้าหนึ่งในนั้นน้อยกว่าผลรวมของอีกสองเส้น 240 ° (6b)

ตัวเลือกที่สอง

1) ค้นหามุมที่อยู่ติดกันหากผลต่างและผลรวมของมุมนั้นสัมพันธ์กันเป็น 5:8(4b)

2) ค้นหามุมที่ไม่ขยายทั้งหมดที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้น ถ้าหนึ่งในนั้นมากกว่าผลรวมของอีกสองเส้น 60 ° (6b)

ทั้งหมด: 10 คะแนน

"5" -10 คะแนน;

"4" -8-9 คะแนน;

"3" -5-7 คะแนน

เรียกว่ามุมประชิดสองมุมหากมีด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกด้านของมุมเหล่านี้เป็นรังสีคู่สม ในรูปที่ 20 มุม AOB และ BOC อยู่ติดกัน

ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

ทฤษฎีบท 1 ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

การพิสูจน์. ลำแสง OB (ดูรูปที่ 1) ผ่านระหว่างด้านข้างของมุมที่พัฒนาแล้ว นั่นเป็นเหตุผล ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

จากทฤษฎีบทที่ 1 ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากัน

มุมแนวตั้งเท่ากัน

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้งหากด้านของมุมหนึ่งเป็นรังสีประกอบของอีกมุมหนึ่ง มุม AOB และ COD, BOD และ AOC ที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นจะเป็นแนวตั้ง (รูปที่ 2)

ทฤษฎีบทที่ 2 มุมดิ่งเท่ากัน

การพิสูจน์. พิจารณามุมแนวตั้ง AOB และ COD (ดูรูปที่ 2) มุม BOD อยู่ติดกับแต่ละมุม AOB และ COD ตามทฤษฎีบทที่ 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ∠ AOB = ∠ COD

ข้อสังเกต 1. มุมที่อยู่ติดกับมุมฉากคือมุมฉาก

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน AC และ BD (รูปที่ 3) พวกมันก่อตัวเป็นสี่มุม หากมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง (มุม 1 ในรูปที่ 3) มุมอื่นๆ ก็ถูกเช่นกัน (มุม 1 และ 2, 1 และ 4 อยู่ติดกัน มุม 1 และ 3 อยู่ในแนวตั้ง) ในกรณีนี้ เส้นเหล่านี้ตัดกันเป็นมุมฉากและเรียกว่าตั้งฉาก (หรือตั้งฉากกัน) เส้นตั้งฉากของเส้น AC และ BD แสดงได้ดังนี้: AC ⊥ BD

เส้นแบ่งครึ่งที่ตั้งฉากของส่วนคือเส้นที่ตั้งฉากกับส่วนนี้และผ่านจุดกึ่งกลางของมัน

AN - ตั้งฉากกับเส้น

พิจารณาเส้น a และจุด A ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น (รูปที่ 4) เชื่อมต่อจุด A กับส่วนไปยังจุด H ด้วยเส้นตรง a ส่วน AH เรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด A ไปยังเส้น a ถ้าเส้น AN และ a ตั้งฉาก จุด H เรียกว่าฐานของเส้นตั้งฉาก

วาดสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 3. จากจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง เราสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นนี้ได้ และยิ่งไปกว่านั้น จุดเดียวเท่านั้น

ในการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงในภาพวาด จะใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 5)

ความคิดเห็น คำสั่งของทฤษฎีบทมักจะประกอบด้วยสองส่วน ส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่ได้รับ ส่วนนี้เรียกว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบท ส่วนอื่นพูดถึงสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ส่วนนี้เรียกว่าข้อสรุปของทฤษฎีบท ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขของทฤษฎีบท 2 คือมุมดิ่ง; สรุป - มุมเหล่านี้เท่ากัน

ทฤษฎีบทใดๆ สามารถแสดงรายละเอียดเป็นคำพูดได้ ดังนั้นเงื่อนไขของทฤษฎีบทจะขึ้นต้นด้วยคำว่า "ถ้า" และลงท้ายด้วยคำว่า "แล้ว" ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทที่ 2 สามารถระบุรายละเอียดได้ดังนี้: "ถ้ามุมสองมุมอยู่ในแนวตั้ง ก็จะเท่ากัน"

ตัวอย่างที่ 1หนึ่งในมุมที่อยู่ติดกันคือ 44° อีกอันเท่ากับอะไร?

การตัดสินใจ. แสดงค่าองศาของอีกมุมหนึ่งด้วย x จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1
44° + x = 180°
การแก้สมการที่ได้ เราพบว่า x \u003d 136 ° ดังนั้น อีกมุมหนึ่งคือ 136°

ตัวอย่างที่ 2ให้มุม COD ในรูป 21 เป็น 45° มุม AOB และ AOC คืออะไร

การตัดสินใจ. มุม COD และ AOB อยู่ในแนวตั้ง ดังนั้น ตามทฤษฎีบท 1.2 จึงมีค่าเท่ากัน นั่นคือ ∠ AOB = 45° มุม AOC อยู่ติดกับมุม COD ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่ 1
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°

ตัวอย่างที่ 3หามุมที่อยู่ติดกันหากมุมหนึ่งเป็น 3 คูณของอีกมุมหนึ่ง

การตัดสินใจ. แสดงค่าองศาของมุมที่เล็กกว่าด้วย x จากนั้นการวัดองศาของมุมที่ใหญ่กว่าจะเป็น Zx เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180° (ทฤษฎีบท 1) ดังนั้น x + 3x = 180° ดังนั้น x = 45°
ดังนั้นมุมประชิดคือ 45° และ 135°

ตัวอย่างที่ 4ผลรวมของมุมแนวตั้งสองมุมคือ 100° หาค่าของมุมทั้งสี่แต่ละมุม

การตัดสินใจ. ให้รูปที่ 2 สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหา มุมแนวตั้งของ COD กับ AOB เท่ากัน (ทฤษฎีบท 2) ซึ่งหมายความว่าการวัดระดับของพวกมันก็เท่ากันเช่นกัน ดังนั้น ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ผลรวมของพวกมันคือ 100° ตามเงื่อนไข) มุม BOD (เช่น มุม AOC) อยู่ติดกับมุม COD ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่ 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°

ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณาและทำความเข้าใจแนวคิดของมุมที่อยู่ติดกันด้วยตนเอง พิจารณาทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับพวกเขา มาแนะนำแนวคิดของ "มุมแนวตั้ง" พิจารณาข้อเท็จจริงสนับสนุนเกี่ยวกับมุมเหล่านี้ ต่อไป เราจะกำหนดและพิสูจน์สองผลสรุปเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมแนวตั้ง ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้

เริ่มต้นบทเรียนของเราด้วยแนวคิดของ "มุมที่อยู่ติดกัน" รูปที่ 1 แสดงมุมที่พัฒนาขึ้น ∠AOC และ ray OB ซึ่งแบ่งมุมนี้ออกเป็น 2 มุม

ข้าว. 1. มุม ∠AOC

พิจารณามุม ∠AOB และ ∠BOC เห็นได้ชัดว่าพวกเขามี VO ด้านเดียวกัน ในขณะที่ด้าน AO และ OS นั้นตรงกันข้าม Rays OA และ OS เสริมซึ่งกันและกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งสองอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุม ∠AOB และ ∠BOC อยู่ติดกัน

คำจำกัดความ: ถ้ามุมสองมุมมีด้านร่วมกัน และอีกสองด้านเป็นรังสีคู่สมกัน จะเรียกว่ามุมเหล่านี้ ที่เกี่ยวข้อง.

ทฤษฎีบทที่ 1: ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 o

ข้าว. 2. การวาดภาพสำหรับทฤษฎีบท 1

∠MOL + ∠LON = 180o ข้อความนี้เป็นจริงเนื่องจากรังสี OL แบ่งมุมตรง ∠MON ออกเป็นสองมุมที่อยู่ติดกัน นั่นคือเราไม่ทราบการวัดองศาของมุมที่อยู่ติดกัน แต่เรารู้เพียงผลรวมของมุมนั้น - 180 o

พิจารณาจุดตัดของเส้นสองเส้น รูปแสดงจุดตัดของเส้นสองเส้นที่จุด O

ข้าว. 3. มุมแนวตั้ง ∠BOA และ ∠COD

คำจำกัดความ: ถ้าด้านของมุมหนึ่งต่อเนื่องจากมุมที่สอง มุมดังกล่าวจะเรียกว่าแนวตั้ง นั่นคือเหตุผลที่รูปแสดงมุมแนวตั้งสองคู่: ∠AOB และ ∠COD รวมถึง ∠AOD และ ∠BOC

ทฤษฎีบทที่ 2 มุมแนวตั้งเท่ากัน

ลองใช้รูปที่ 3 พิจารณามุมที่พัฒนาแล้ว ∠AOC ∠AOB \u003d ∠AOC - ∠BOC \u003d 180 o - β พิจารณามุมที่พัฒนาขึ้น ∠BOD ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β

จากการพิจารณาเหล่านี้ เราสรุปได้ว่า ∠AOB = ∠COD = α ในทำนองเดียวกัน ∠AOD = ∠BOC = β

ข้อสังเกตที่ 1: มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันคือ 90°

ข้าว. 4. การวาดเพื่อผล 1

เนื่องจาก OL เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ∠BOA ดังนั้นมุม ∠LOB = คล้ายกับ ∠BOK = ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . ผลรวมของมุม α + β เท่ากับ 180 o เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ติดกัน

ข้อสังเกต 2: มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมแนวตั้งคือ 180°

ข้าว. 5. การวาดเพื่อผล 2

KO คือเส้นแบ่งครึ่งของ ∠AOB, LO คือเส้นแบ่งครึ่งของ ∠COD เห็นได้ชัดว่า ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o ผลรวมของมุม α + β เท่ากับ 180 o เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ติดกัน

ลองพิจารณางานบางอย่าง:

ค้นหามุมที่อยู่ติดกับ ∠AOC ถ้า ∠AOC = 111 o

มาวาดรูปสำหรับงานกันเถอะ:

ข้าว. 6. ตัวอย่างการวาดภาพ1

เนื่องจาก ∠AOC = β และ ∠COD = α เป็นมุมประชิด ดังนั้น α + β = 180 o นั่นคือ 111 o + β \u003d 180 o

ดังนั้น β = 69 o

ปัญหาประเภทนี้ใช้ประโยชน์จากทฤษฎีบทผลรวมของมุมประชิด

มุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่งเป็นมุมฉาก ส่วนอีกมุมหนึ่ง (แหลม ป้าน หรือมุมฉาก) คือมุมใด

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้องและผลรวมของมุมทั้งสองมุมเท่ากับ 180° มุมอีกมุมหนึ่งก็จะถูกต้องเช่นกัน งานนี้ทดสอบความรู้เกี่ยวกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน

จริงหรือไม่ว่าถ้ามุมประชิดเท่ากันก็เป็นมุมฉาก?

สร้างสมการกัน: α + β = 180 o แต่เนื่องจาก α = β ดังนั้น β + β = 180 o ซึ่งหมายความว่า β = 90 o

คำตอบ: ใช่ ข้อความนี้เป็นความจริง

ให้สองมุมเท่ากัน จริงหรือไม่ที่มุมที่อยู่ติดกับพวกมันจะเท่ากันด้วย?

ข้าว. 7. ตัวอย่างการวาดภาพ4

หากมุมสองมุมเท่ากับ α มุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180 o - α นั่นคือพวกเขาจะเท่ากัน

คำตอบ: ข้อความนี้เป็นความจริง

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. ฯลฯ เรขาคณิต 7. - ม.: การตรัสรู้.
Atanasyan L.S. , Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. et al. เรขาคณิต 7. 5th ed. - ม.: การตรัสรู้.
\Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Prasolova V.V. เรขาคณิต 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov แก้ไขโดย V.A. ซาดอฟนิชี่. - ม.: การศึกษา, 2553.

การวัดส่วน ()
บทเรียนทั่วไปเกี่ยวกับเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ()
เส้นตรง ส่วน ()

หมายเลข 13, 14. Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Prasolova V.V. เรขาคณิต 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov แก้ไขโดย V.A. ซาดอฟนิชี่. - ม.: การศึกษา, 2553.
หามุมที่อยู่ติดกัน 2 มุม ถ้ามุมหนึ่งเป็น 4 คูณของอีกมุมหนึ่ง
ให้มุม สร้างมุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้งสำหรับมัน สามารถสร้างมุมดังกล่าวได้กี่มุม?
* ในกรณีใดจะได้มุมแนวตั้งมากกว่ากัน: เมื่อมีเส้นสามเส้นตัดกันที่จุดหนึ่งหรือสามจุด

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราต่อด้านของมุมบางมุมเลยจุดยอดไป เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): ∠ABC และ ∠CBD ซึ่งด้านหนึ่งของ BC เป็นมุมร่วม และอีกสองมุมคือ AB และ BD ประกอบเป็นเส้นตรง .

นอกจากนี้ยังสามารถรับมุมที่อยู่ติดกันได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นตรงที่กำหนด) เราก็จะได้มุมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างเช่น ∠ADF และ ∠FDВ เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมประชิดรวมกันเป็นมุมตรง เป็นต้น ผลบวกของสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°

ดังนั้น มุมฉากสามารถกำหนดให้เป็นมุมที่เท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

ตัวอย่างเช่น ถ้ามุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งเป็น 54° มุมที่สองจะเป็น:

180° - 54° = l26°.

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านของมุมออกไปเลยจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในรูปที่ 75 มุม EOF และ AOC อยู่ในแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

ให้ ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 76) ∠2 ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° เช่น 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณว่า ∠3 และ ∠4 คืออะไร

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 77)

เราจะเห็นว่า ∠1 = ∠3 และ ∠2 = ∠4

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งเท่ากันเสมอ การพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละตัวนั้นไม่เพียงพอ เนื่องจากข้อสรุปที่ได้จากตัวอย่างเฉพาะอาจผิดพลาดได้ในบางครั้ง

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งโดยการพิสูจน์

สามารถดำเนินการพิสูจน์ได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

∠+∠ค= 180°;

∠ข +∠ค= 180°;

(เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°)

∠+∠ค = ∠ข +∠ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้คือ 180° และด้านขวาของมันคือ 180° ด้วย)

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมที่เหมือนกัน กับ.

ถ้าเราลบเท่าๆ กันจากค่าที่เท่ากัน มันจะเหลือเท่าๆ กัน ผลลัพธ์จะเป็น: ∠ก = ∠ขนั่นคือมุมแนวตั้งเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วมกัน

ในรูปวาด 79 ∠1 ∠2 ∠3 และ ∠4 อยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตรงและมีจุดยอดร่วมกันบนเส้นนี้ สรุปแล้ว มุมเหล่านี้ประกอบกันเป็นมุมตรง นั่นคือ

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°