สมการของเส้นสัมผัสกับระนาบนั้นชัดเจนและโดยปริยาย ระนาบสัมผัสกับพื้นผิว

ในบางจุดและมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องอย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์ที่ไม่หายไป จากนั้นในบริเวณใกล้เคียงกับจุดนี้ พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ (1) จะเป็น พื้นผิวที่ถูกต้อง.

นอกเหนือจากที่กล่าวมา วิธีการตั้งค่าโดยปริยายสามารถกำหนดพื้นผิวได้ อย่างชัดเจนถ้าหนึ่งในตัวแปร เช่น z สามารถแสดงในรูปของตัวแปรอื่นๆ:

นอกจากนี้ยังมี พาราเมตริกวิธีการมอบหมาย ในกรณีนี้ พื้นผิวถูกกำหนดโดยระบบสมการ:

แนวคิดของพื้นผิวที่เรียบง่าย

แม่นยำยิ่งขึ้น พื้นผิวที่เรียบง่าย เป็นภาพของการแมปแบบโฮมโอมอร์ฟิก (นั่นคือ การแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งและแบบต่อเนื่องร่วมกัน) ของการตกแต่งภายในของยูนิตสแควร์ คำจำกัดความนี้สามารถให้นิพจน์เชิงวิเคราะห์ได้

ให้สี่เหลี่ยมถูกกำหนดบนระนาบที่มีระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า u และ v พิกัดของจุดภายในที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

ตัวอย่าง พื้นผิวที่เรียบง่ายเป็นซีกโลก พื้นที่ทั้งหมดไม่ได้ พื้นผิวที่เรียบง่าย. สิ่งนี้จำเป็นต้องมีการสรุปแนวคิดของพื้นผิวเพิ่มเติม

ส่วนย่อยของพื้นที่ซึ่งแต่ละจุดมีย่านที่เป็น พื้นผิวที่เรียบง่าย, ถูกเรียก พื้นผิวที่ถูกต้อง .

พื้นผิวในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เฮลิคอยด์

คาทีนอยด์

เมตริกไม่ได้กำหนดรูปร่างของพื้นผิวโดยเฉพาะ ตัวอย่างเช่น เมตริกของเฮลิคอยด์และคาทีนอยด์ กำหนดพารามิเตอร์ในลักษณะที่เหมาะสม ตรงกัน นั่นคือมีความสอดคล้องกันระหว่างภูมิภาคที่รักษาความยาวทั้งหมด (ไอโซเมตริก) คุณสมบัติที่ถูกรักษาไว้ภายใต้การแปลงไอโซเมตริกเรียกว่า เรขาคณิตภายในพื้นผิว รูปทรงเรขาคณิตภายในไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพื้นผิวในอวกาศ และไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อโค้งงอโดยไม่มีแรงดึงและแรงอัด (เช่น เมื่อทรงกระบอกงอเป็นกรวย)

ค่าสัมประสิทธิ์เมตริกไม่ได้กำหนดเฉพาะความยาวของเส้นโค้งทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลลัพธ์ของการวัดทั้งหมดภายในพื้นผิวด้วย (มุม พื้นที่ ความโค้ง ฯลฯ) ดังนั้นทุกสิ่งที่ขึ้นอยู่กับเมตริกเท่านั้นจึงหมายถึงรูปทรงเรขาคณิตภายใน

ภาคปกติและภาคปกติ

เวกเตอร์ปกติที่จุดพื้นผิว

ลักษณะสำคัญอย่างหนึ่งของพื้นผิวคือ ปกติ- เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับระนาบสัมผัส ณ จุดที่กำหนด:

สัญลักษณ์ของปกติขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัด

ส่วนของพื้นผิวโดยระนาบที่มีเส้นปกติ ( ณ จุดที่กำหนด) จะสร้างเส้นโค้งบนพื้นผิวซึ่งเรียกว่า ส่วนปกติพื้นผิว ค่าปกติหลักสำหรับส่วนปกติเกิดขึ้นพร้อมกับค่าปกติที่พื้นผิว (ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย)

ถ้าเส้นโค้งบนพื้นผิวไม่ใช่ส่วนปกติ เส้นปกติหลักจะสร้างมุม θ กับพื้นผิวปกติ จากนั้นความโค้ง เคเส้นโค้งเกี่ยวข้องกับความโค้ง เค นส่วนปกติ (ที่มีเส้นสัมผัสเดียวกัน) สูตรของ Meunier:

พิกัดของเวกเตอร์ปกติสำหรับวิธีต่างๆ ในการระบุพื้นผิวแสดงไว้ในตาราง:

	พิกัดปกติที่จุดพื้นผิว
การมอบหมายโดยปริยาย
การมอบหมายอย่างชัดเจน
งานพาราเมตริก

ความโค้ง

สำหรับทิศทางต่างๆ ณ จุดที่กำหนดบนพื้นผิว จะได้ความโค้งที่แตกต่างกันของส่วนปกติ ซึ่งเรียกว่า ความโค้งปกติ; จะมีการกำหนดเครื่องหมายบวกหากเส้นปกติหลักของเส้นโค้งไปในทิศทางเดียวกันกับเส้นปกติไปยังพื้นผิว หรือเครื่องหมายลบหากทิศทางของเส้นปกติอยู่ตรงข้ามกัน

โดยทั่วไปแล้ว ทุกๆ จุดบนพื้นผิวจะมีทิศทางตั้งฉากกันสองทิศทาง อี 1 และ อี 2 ซึ่งความโค้งปกติใช้ค่าต่ำสุดและสูงสุด ทิศทางเหล่านี้เรียกว่า หลัก. ข้อยกเว้นคือกรณีที่ความโค้งปกติเท่ากันในทุกทิศทาง (เช่น ใกล้ทรงกลมหรือที่จุดสิ้นสุดของวงรีของการหมุน) ดังนั้นทุกทิศทางที่จุดหนึ่งจะเป็นหลัก

พื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบ (ซ้าย) เป็นศูนย์ (ตรงกลาง) และมีความโค้งเป็นบวก (ขวา)

ความโค้งปกติในทิศทางหลักเรียกว่า ความโค้งหลัก; มาแทนค่าด้วย κ 1 และ κ 2 กัน ขนาด:

เค= κ 1 κ 2

เรียกว่า ความโค้งแบบเกาส์เซียน, ความโค้งเต็มหรือเพียงแค่ ความโค้งพื้นผิว มีคำว่า สเกลาร์ความโค้งซึ่งแสดงถึงผลลัพธ์ของการบิดงอของเทนเซอร์ความโค้ง ; ในกรณีนี้ สเกลาร์ความโค้งจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของความโค้งแบบเกาส์เซียน

ความโค้งแบบเกาส์สามารถคำนวณได้ในแง่ของเมตริก ดังนั้นจึงเป็นวัตถุของรูปทรงเรขาคณิตภายในของพื้นผิว (โปรดทราบว่าความโค้งหลักไม่ได้อยู่ในรูปทรงเรขาคณิตภายใน) ด้วยเครื่องหมายของความโค้ง คุณสามารถจำแนกจุดต่างๆ ของพื้นผิวได้ (ดูรูป) ความโค้งของระนาบเป็นศูนย์ ความโค้งของทรงกลมรัศมี R ทุกที่เท่ากับ นอกจากนี้ยังมีพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบคงที่ - ทรงกลมเทียม

เส้นจีโอเดสิก ความโค้งพิภพ

เส้นโค้งบนพื้นผิวเรียกว่า เส้นจีโอเดติกหรือง่ายๆ พิกัดถ้าในทุกจุด เส้นปกติหลักกับเส้นโค้งเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นปกติกับพื้นผิว ตัวอย่าง: บนระนาบ geodesic จะเป็นเส้นตรงและส่วนของเส้นตรง บนทรงกลม - วงกลมขนาดใหญ่และส่วนต่างๆ

คำจำกัดความที่เท่ากัน: สำหรับเส้นธรณี การฉายภาพเส้นปกติหลักไปยังระนาบที่ต่อเนื่องกันคือเวกเตอร์ศูนย์ ถ้าเส้นโค้งไม่ใช่ค่าธรณีภาค การฉายภาพที่ระบุจะไม่ใช่ศูนย์ ความยาวเรียกว่า ความโค้งพิภพ เค ชเส้นโค้งบนพื้นผิว มีความสัมพันธ์:

ที่ไหน เคคือความโค้งของเส้นโค้งนี้ เค น- ความโค้งของส่วนปกติที่มีเส้นสัมผัสเดียวกัน

เส้นเนื้อที่หมายถึงรูปทรงเรขาคณิตภายใน เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของพวกเขา

หนึ่งและเพียงหนึ่งเดียวผ่านจุดที่กำหนดบนพื้นผิวในทิศทางที่กำหนด
บนพื้นที่ขนาดเล็กเพียงพอของพื้นผิวจุดสองจุดสามารถเชื่อมต่อกันด้วย geodesic และยิ่งกว่านั้นเพียงจุดเดียว คำอธิบาย: บนทรงกลม ขั้วตรงข้ามเชื่อมต่อกันโดยเส้นเมอริเดียนจำนวนไม่สิ้นสุด และจุดปิดสองจุดสามารถเชื่อมต่อได้ ไม่เพียงแต่โดยส่วนของวงกลมขนาดใหญ่ แต่ยังรวมถึงวงกลมเต็มด้วย เพื่อให้สังเกตความเป็นเอกลักษณ์เท่านั้น ในขนาดเล็ก
geodesic นั้นสั้นที่สุด เคร่งครัดกว่านั้น: บนพื้นผิวชิ้นเล็กๆ เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดที่กำหนดนั้นอยู่ตามแนวธรณี

สี่เหลี่ยม

คุณลักษณะที่สำคัญอีกประการหนึ่งของพื้นผิวคือ สี่เหลี่ยมซึ่งคำนวณโดยสูตร:

ในพิกัดที่เราได้รับ:

	การมอบหมายอย่างชัดเจน	งานพาราเมตริก
การแสดงออกของพื้นที่

กล่าวคือเกี่ยวกับสิ่งที่คุณเห็นในชื่อเรื่อง โดยพื้นฐานแล้วนี่คือ "แอนะล็อกเชิงพื้นที่" ปัญหาในการหาเส้นสัมผัสและ ปกติกับกราฟของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาใด ๆ เกิดขึ้น

เริ่มจากคำถามพื้นฐานกันก่อน: ระนาบสัมผัสกันคืออะไร และระนาบปกติคืออะไร หลายคนตระหนักถึงแนวคิดเหล่านี้ในระดับสัญชาตญาณ แบบจำลองที่ง่ายที่สุดที่อยู่ในใจคือลูกบอลที่วางกระดาษแข็งแบนบาง กระดาษแข็งอยู่ใกล้ทรงกลมมากที่สุดและแตะที่จุดเดียว นอกจากนี้ที่จุดสัมผัสจะยึดด้วยเข็มที่ยื่นตรงขึ้น

ในทางทฤษฎี มีคำจำกัดความที่ค่อนข้างฉลาดของระนาบสัมผัส ลองนึกภาพตามอำเภอใจ พื้นผิวและจุดที่เป็นของมัน. เห็นได้ชัดว่าผ่านจุดนั้นมามาก เส้นอวกาศที่เป็นของพื้นผิวนี้ ใครมีสมาคมอะไรบ้าง? =) …ฉันแนะนำปลาหมึกเป็นการส่วนตัว สมมติว่าแต่ละบรรทัดดังกล่าวมี แทนเจนต์เชิงพื้นที่ที่จุด

คำจำกัดความ 1: ระนาบสัมผัสให้กับผิวหน้าเป็นจุดๆ เครื่องบินซึ่งบรรจุแทนเจนต์ของเส้นโค้งทั้งหมดที่เป็นของพื้นผิวที่กำหนดและผ่านจุดนั้น

คำจำกัดความ 2: ปกติให้กับผิวหน้าเป็นจุดๆ ตรงผ่านจุดที่กำหนดให้ตั้งฉากกับระนาบสัมผัส

เรียบง่ายและสง่างาม โดยวิธีการที่คุณจะไม่ตายด้วยความเบื่อหน่ายจากความเรียบง่ายของเนื้อหา หลังจากนั้นไม่นานฉันจะแบ่งปันความลับอันสง่างามหนึ่งข้อที่ช่วยให้คุณลืมเกี่ยวกับการยัดเยียดคำจำกัดความต่าง ๆ เพียงครั้งเดียวและตลอดไป

เราจะทำความคุ้นเคยกับสูตรการทำงานและอัลกอริทึมการแก้ปัญหาโดยตรงจากตัวอย่างเฉพาะ ในปัญหาส่วนใหญ่ จำเป็นต้องสร้างทั้งสมการของระนาบสัมผัสและสมการของเส้นปกติ:

ตัวอย่างที่ 1

การตัดสินใจ: ถ้าพื้นผิวถูกกำหนดโดยสมการ (กล่าวโดยปริยาย)จากนั้นสมการของระนาบสัมผัสพื้นผิวที่กำหนด ณ จุดหนึ่งสามารถหาได้จากสูตรต่อไปนี้:

ฉันให้ความสนใจเป็นพิเศษกับอนุพันธ์บางส่วนที่ผิดปกติ - ของพวกเขา ไม่ควรสับสนกับ อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย (แม้ว่าจะกำหนดพื้นผิวไว้โดยปริยาย). เมื่อค้นหาอนุพันธ์เหล่านี้ ควรได้รับคำแนะนำจาก กฎการหาความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวนั่นคือเมื่อแยกความแตกต่างตามตัวแปรใด ๆ ตัวอักษรอีกสองตัวที่เหลือจะถือว่าเป็นค่าคงที่:

เราพบอนุพันธ์บางส่วนที่จุด:

ในทำนองเดียวกัน:

นี่เป็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ที่สุดในการตัดสินใจซึ่งหากไม่ได้รับอนุญาตให้จินตนาการถึงข้อผิดพลาด อย่างไรก็ตาม มีเทคนิคการตรวจสอบที่มีประสิทธิภาพซึ่งฉันได้พูดถึงในบทเรียนแล้ว อนุพันธ์เชิงทิศทางและการไล่ระดับสี.

พบ "ส่วนผสม" ทั้งหมดแล้ว และตอนนี้ก็ขึ้นอยู่กับการทดแทนอย่างระมัดระวังด้วยการทำให้ง่ายขึ้น:

– สมการทั่วไประนาบสัมผัสที่ต้องการ

ฉันขอแนะนำให้ตรวจสอบขั้นตอนการตัดสินใจนี้ ก่อนอื่นคุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าพิกัดของจุดสัมผัสตรงตามสมการที่พบ:

- ความเท่าเทียมที่แท้จริง

ตอนนี้เรา "ลบ" ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของระนาบและตรวจสอบความบังเอิญหรือสัดส่วนด้วยค่าที่สอดคล้องกัน ในกรณีนี้เป็นสัดส่วน เท่าที่จำได้จาก หลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์, - มัน เวกเตอร์ปกติระนาบสัมผัสกัน และเขา - เวกเตอร์นำทางเส้นตรงปกติ มาแต่งกันเถอะ สมการตามบัญญัติบรรทัดฐานโดยเวกเตอร์จุดและทิศทาง:

โดยหลักการแล้ว ตัวส่วนสามารถลดลงได้ด้วย "สอง" แต่ไม่มีความจำเป็นพิเศษสำหรับสิ่งนี้

ตอบ:

ห้ามมิให้กำหนดสมการด้วยตัวอักษรบางตัว แต่อย่างใด - ทำไม? ที่นี่และเป็นที่ชัดเจนว่าอะไรเป็นอะไร

สองตัวอย่างต่อไปนี้เป็นโซลูชันอิสระ "ทวิสเตอร์ลิ้นคณิตศาสตร์" ขนาดเล็ก:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาสมการของระนาบสัมผัสและเส้นตั้งฉากที่จุด

และงานที่น่าสนใจจากมุมมองทางเทคนิค:

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของระนาบสัมผัสและเส้นปกติกับพื้นผิว ณ จุดหนึ่ง

ที่จุด

มีโอกาสทุกครั้งที่ไม่เพียงแค่สับสนเท่านั้น แต่ยังต้องเผชิญกับความยากลำบากในการเขียนอีกด้วย สมการบัญญัติของเส้น. และสมการปกติอย่างที่คุณเข้าใจ มักจะเขียนในรูปแบบนี้ แม้ว่าเนื่องจากความหลงลืมหรือความไม่รู้ถึงความแตกต่างบางประการ รูปแบบพาราเมตริกจึงเป็นสิ่งที่ยอมรับได้มากกว่า

ตัวอย่างการแก้ปัญหาท้ายบทเรียน

มีระนาบสัมผัสที่จุดใดบนพื้นผิวหรือไม่? โดยทั่วไปไม่แน่นอน ตัวอย่างคลาสสิกคือ พื้นผิวทรงกรวย และจุด - เส้นสัมผัส ณ จุดนี้ก่อตัวเป็นพื้นผิวรูปกรวยโดยตรงและแน่นอนว่าไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน ง่ายต่อการตรวจสอบความไม่ลงรอยกันและวิเคราะห์:

แหล่งที่มาของปัญหาก็คือข้อเท็จจริง การไม่มีอยู่จริงอนุพันธ์บางส่วน ณ จุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีระนาบสัมผัสเดียว ณ จุดที่กำหนด

แต่มันเป็นวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างเป็นที่นิยมมากกว่าข้อมูลที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติ และเรากลับไปที่เรื่องเร่งด่วน:

วิธีเขียนสมการของระนาบสัมผัสและเส้นปกติที่จุด
หากกำหนดพื้นผิวโดยฟังก์ชันที่ชัดเจน?

ลองเขียนใหม่โดยปริยาย:

และด้วยหลักการเดียวกัน เราพบอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้นสูตรระนาบสัมผัสจึงเปลี่ยนเป็นสมการต่อไปนี้:

และสมการมาตรฐานของค่าปกติ:

เพราะคาดเดาได้ง่าย - มันคือ "ของจริง" อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันสองตัวแปรที่จุด ที่เราเคยกำหนดด้วยตัวอักษร "Z" และพบ 100500 ครั้ง

โปรดทราบว่าในบทความนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะจำสูตรแรกซึ่งหากจำเป็นก็สามารถหาอย่างอื่นได้ง่าย (เห็นได้ชัดว่ามีการฝึกในระดับพื้นฐาน). แนวทางนี้ควรใช้ในการศึกษาศาสตร์ที่แน่นอน กล่าวคือ จากข้อมูลขั้นต่ำเราควรพยายาม "ดึง" ข้อสรุปและผลที่ตามมาให้ได้มากที่สุด "Soobrazhalovka" และความรู้ที่มีอยู่แล้วเพื่อช่วย! หลักการนี้ยังมีประโยชน์เพราะมีความเป็นไปได้สูงที่จะช่วยคุณในสถานการณ์คับขันเมื่อคุณรู้น้อยมาก

มาคำนวณสูตร "แก้ไข" ด้วยตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของระนาบสัมผัสและเส้นปกติกับพื้นผิว ที่จุด

การซ้อนทับเล็ก ๆ ที่นี่กลายเป็นสัญลักษณ์ - ตอนนี้ตัวอักษรหมายถึงจุดของระนาบ แต่คุณจะทำอย่างไร - จดหมายยอดนิยมเช่นนี้ ....

การตัดสินใจ: เราจะเขียนสมการของระนาบสัมผัสที่ต้องการตามสูตร:

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด:

คำนวณ อนุพันธ์ย่อยของอันดับ 1ณ จุดนี้:

ดังนั้น:

อย่างระมัดระวัง อย่าเร่งรีบ:

ให้เราเขียนสมการมาตรฐานของจุดปกติที่จุด :

ตอบ:

และตัวอย่างสุดท้ายสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการของระนาบสัมผัสและเส้นปกติกับพื้นผิวที่จุด

ข้อสุดท้ายเป็นเพราะฉันได้อธิบายประเด็นทางเทคนิคทั้งหมดแล้วและไม่มีอะไรพิเศษที่จะเพิ่มเติม แม้แต่ฟังก์ชันที่มีให้ในงานนี้ก็น่าเบื่อและซ้ำซากจำเจ - ในทางปฏิบัติ คุณเกือบจะรับประกันได้ว่าจะเจอ "โพลิโนเมียล" และในแง่นี้ ตัวอย่างที่ 2 ที่มีเลขชี้กำลังดูเหมือน "แกะดำ" อย่างไรก็ตาม มีความเป็นไปได้สูงกว่ามากที่จะพบกับพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ และนี่ก็เป็นอีกสาเหตุหนึ่งว่าทำไมฟังก์ชันนี้จึงถูกรวมไว้ในบทความด้วยชื่อ "ตัวเลขที่สอง"

และสุดท้าย ความลับที่สัญญาไว้: แล้วจะหลีกเลี่ยงการยัดเยียดคำจำกัดความได้อย่างไร (แน่นอน ฉันไม่ได้หมายถึงสถานการณ์ที่นักเรียนยัดเยียดอะไรบางอย่างก่อนสอบ)

คำจำกัดความของแนวคิด/ปรากฏการณ์/วัตถุใด ๆ ก่อนอื่นให้คำตอบสำหรับคำถามต่อไปนี้ มันคืออะไร? (ใคร/เช่น/เช่น/ดังกล่าว). อย่างมีสติในการตอบคำถามนี้ คุณควรพยายามไตร่ตรอง สำคัญสัญญาณ, อย่างแน่นอนระบุสิ่งนี้หรือแนวคิด/ปรากฏการณ์/วัตถุนั้น ใช่ในตอนแรกมันค่อนข้างผูกติดลิ้นไม่ถูกต้องและซ้ำซ้อน (ครูจะแก้ไข =)) แต่เมื่อเวลาผ่านไปคำพูดทางวิทยาศาสตร์ที่คู่ควรก็พัฒนาขึ้น

ฝึกฝนเกี่ยวกับวัตถุที่เป็นนามธรรมที่สุด เช่น ตอบคำถามว่า Cheburashka คือใคร? มันไม่ง่ายเลย ;-) มันเป็น "ตัวละครในเทพนิยายที่มีหูโต ตา และผมสีน้ำตาล" หรือไม่? ห่างไกลจากคำจำกัดความ - คุณไม่มีทางรู้ว่ามีตัวละครที่มีลักษณะดังกล่าว .... แต่นี่ใกล้เคียงกับคำจำกัดความมากขึ้น: "Cheburashka เป็นตัวละครที่นักเขียน Eduard Uspensky คิดค้นขึ้นในปี 1966 ซึ่ง ... (แสดงรายการคุณสมบัติเด่นหลัก)". ให้ความสนใจกับการเริ่มต้นที่ดี

ระนาบสัมผัสมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิต การสร้างระนาบสัมผัสกันในทางปฏิบัติมีความสำคัญเนื่องจากการมีอยู่ของมันช่วยให้คุณสามารถกำหนดทิศทางของพื้นผิวปกติที่จุดสัมผัสได้ ปัญหานี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรม ระนาบสัมผัสยังใช้เพื่อสร้างภาพร่างของรูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิด ในแง่ทฤษฎี ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวถูกใช้ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เพื่อศึกษาคุณสมบัติของพื้นผิวในบริเวณจุดสัมผัส

แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

ควรพิจารณาระนาบสัมผัสกับพื้นผิวเป็นตำแหน่งจำกัดของระนาบเซแคนต์ (คล้ายกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นตำแหน่งลิมิตของเซแคนต์ด้วย)

ระนาบสัมผัสกับพื้นผิว ณ จุดที่กำหนดบนพื้นผิวคือชุดของเส้นทั้งหมด - เส้นสัมผัสที่ลากไปยังพื้นผิวผ่านจุดที่กำหนด

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ มีการพิสูจน์แล้วว่าเส้นสัมผัสทั้งหมดกับพื้นผิวที่วาดที่จุดธรรมดานั้นเป็นระนาบเดียวกัน (อยู่ในระนาบเดียวกัน)

ให้เราค้นหาว่าเส้นตรงสัมผัสกับพื้นผิวถูกวาดอย่างไร เส้นสัมผัส t กับพื้นผิว β ที่จุด M ที่ระบุบนพื้นผิว (รูปที่ 203) แสดงถึงตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด l j ที่ตัดกับพื้นผิวที่จุดสองจุด (MM 1, MM 2, ..., MM n) เมื่อ จุดตัดตรงกัน (M ≡ M n , l n ≡ l M) เห็นได้ชัดว่า (M 1 , M 2 , ..., M n ) ∈ g เนื่องจาก g ⊂ β คำจำกัดความต่อไปนี้ตามมาจากด้านบน: เส้นสัมผัสกับพื้นผิวเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่เป็นของพื้นผิว.

เนื่องจากระนาบถูกกำหนดโดยเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน หากต้องการตั้งระนาบสัมผัสกับพื้นผิว ณ จุดที่กำหนด ก็เพียงพอแล้วที่จะลากเส้นสองเส้นที่เป็นของพื้นผิวโดยพลการ (ควรมีรูปทรงที่เรียบง่าย) ผ่านจุดนี้และสร้างเส้นสัมผัสให้กับแต่ละเส้น ของพวกเขาที่จุดตัดของเส้นเหล่านี้ . เส้นสัมผัสที่สร้างขึ้นจะกำหนดระนาบสัมผัสกันโดยเฉพาะ การแสดงภาพของการถือระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิว β ณ จุด M ที่กำหนด แสดงไว้ในรูปที่ 204. รูปนี้ยังแสดง n ปกติที่พื้นผิว β

เส้นปกติของพื้นผิว ณ จุดที่กำหนดคือเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบสัมผัสและผ่านจุดสัมผัส

เส้นตัดกันของพื้นผิวโดยระนาบที่ผ่านเส้นปกติเรียกว่าส่วนปกติของพื้นผิว ขึ้นอยู่กับชนิดของพื้นผิว ระนาบสัมผัสสามารถมีจุด (เส้น) หนึ่งจุดหรือหลายจุดกับพื้นผิวก็ได้ เส้นสัมผัสสามารถเป็นเส้นตัดกันของพื้นผิวกับระนาบในเวลาเดียวกัน

นอกจากนี้ยังมีบางกรณีที่มีจุดบนพื้นผิวซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกับพื้นผิว จุดดังกล่าวเรียกว่าเอกพจน์ ตัวอย่างของจุดเอกพจน์ เราสามารถให้จุดที่ขอบยอดของพื้นผิวลำตัว หรือจุดตัดของเส้นเมอริเดียนของพื้นผิวของการปฏิวัติกับแกนของมัน ถ้าเส้นเมอริเดียนและแกนไม่ตัดกันเป็นมุมฉาก .

ประเภทของการสัมผัสขึ้นอยู่กับลักษณะของความโค้งของพื้นผิว

ความโค้งของพื้นผิว

คำถามเกี่ยวกับความโค้งของพื้นผิวได้รับการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เอฟ. ดูปิน (พ.ศ. 2327-2416) ซึ่งเสนอวิธีการแสดงภาพการเปลี่ยนแปลงของความโค้งของส่วนปกติของพื้นผิว

ในการทำเช่นนี้ในระนาบสัมผัสกับพื้นผิวภายใต้การพิจารณาที่จุด M (รูปที่ 205, 206) บนเส้นสัมผัสกับส่วนปกติทั้งสองด้านของจุดนี้ ส่วนจะถูกลงจุดเท่ากับรากที่สองของค่าของ รัศมีความโค้งที่สอดคล้องกันของส่วนเหล่านี้ ชุดของจุด - ส่วนท้ายของส่วนกำหนดเส้นโค้งที่เรียกว่า ตัวบ่งชี้ของ Dupin. อัลกอริทึมสำหรับการสร้าง Dupin indicatrix (รูปที่ 205) สามารถเขียนได้:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(Rl 1), = √(Rl 2),..., = √(Rl n)

โดยที่ R คือรัศมีของความโค้ง

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) คืออินดิเคทริกซ์ Dupin

หากตัวบ่งชี้ Dupin ของพื้นผิวเป็นวงรี จุด M จะเรียกว่าวงรี และพื้นผิวจะเรียกว่าพื้นผิวที่มีจุดวงรี(รูปที่ 206) ในกรณีนี้ ระนาบสัมผัสมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับพื้นผิว และเส้นทั้งหมดที่เป็นของพื้นผิวและจุดตัดกัน ณ จุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะอยู่ที่ด้านเดียวกันของระนาบสัมผัส ตัวอย่างของพื้นผิวที่มีจุดวงรี ได้แก่ พาราโบลาลอยด์ของการปฏิวัติ, วงรีของการปฏิวัติ, ทรงกลม (ในกรณีนี้ Dupin indicatrix คือวงกลม ฯลฯ )

เมื่อวาดระนาบสัมผัสพื้นผิวลำตัว ระนาบจะสัมผัสพื้นผิวนี้ตามแนวเส้นตรง จุดของเส้นนี้เรียกว่า พาราโบลาและพื้นผิวเป็นพื้นผิวที่มีจุดพาราโบลา. ตัวบ่งชี้ Dupin ในกรณีนี้คือเส้นขนานสองเส้น (รูปที่ 207*)

บนมะเดื่อ 208 แสดงพื้นผิวที่ประกอบด้วยจุดที่

* เส้นโค้งของลำดับที่สอง - พาราโบลา - ภายใต้เงื่อนไขบางประการสามารถแบ่งออกเป็นเส้นขนานจริงสองเส้น เส้นขนานในจินตนาการสองเส้น เส้นที่ประจวบกันสองเส้น บนมะเดื่อ 207 เรากำลังเผชิญกับเส้นขนานจริงสองเส้น

ระนาบสัมผัสหลวมตัดกับพื้นผิว พื้นผิวดังกล่าวเรียกว่า ไฮเปอร์โบลิกและจุดที่เป็นของมัน - จุดไฮเปอร์โบลิก ตัวบ่งชี้ของ Dupin ในกรณีนี้คืออติพจน์

พื้นผิวซึ่งทุกจุดเป็นไฮเปอร์โบลิกมีรูปแบบของอานม้า (ระนาบเฉียง, ไฮเพอร์โบลอยด์แผ่นเดียว, พื้นผิวเว้าของการปฏิวัติ ฯลฯ )

พื้นผิวหนึ่งจุดสามารถมีจุดประเภทต่างๆ ได้ เช่น ที่พื้นผิวลำตัว (รูปที่ 209) จุด M เป็นวงรี จุด N - พาราโบลา; จุด K เป็นไฮเปอร์โบลิก

ในรูปทรงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มีการพิสูจน์ว่าส่วนปกติซึ่งค่าความโค้ง K j = 1/ R j (โดยที่ R j คือรัศมีความโค้งของส่วนที่พิจารณา) มีค่ามากอยู่ใน ระนาบสองระนาบที่ตั้งฉากกัน

ความโค้งดังกล่าว K 1 = 1/R สูงสุด K 2 \u003d 1 / R นาทีเรียกว่าค่าหลักและค่าของ H \u003d (K 1 + K 2) / 2 และ K \u003d K 1 K 2 - ตามลำดับความโค้งเฉลี่ยของ พื้นผิวและความโค้งทั้งหมด (เกาส์เซียน) ของพื้นผิว ณ จุดที่พิจารณา สำหรับจุดวงรี K > 0, ไฮเปอร์โบลิก K

การตั้งค่าระนาบสัมผัสกับพื้นผิวบนแผนภาพ Monge

ด้านล่าง โดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง เราจะแสดงการสร้างระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่มีจุดวงรี (ตัวอย่างที่ 1) พาราโบลา (ตัวอย่างที่ 2) และไฮเปอร์โบลิก (ตัวอย่างที่ 3)

ตัวอย่าง 1. สร้างระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิวของการปฏิวัติ β ด้วยจุดวงรี พิจารณาสองทางเลือกในการแก้ปัญหานี้ a) จุด M ∈ β และ b) จุด M ∉ β

ตัวเลือก ก (รูปที่ 210)

ระนาบสัมผัสถูกกำหนดโดยสองเส้นสัมผัส t 1 และ t 2 วาดที่จุด M ไปยังเส้นขนานและเส้นเมอริเดียนของพื้นผิว β

เส้นโครงของเส้นสัมผัส t 1 ไปยังเส้นขนาน h ของพื้นผิว β จะเท่ากับ t" 1 ⊥ (S"M") และ t" 1 || แกน x การฉายภาพแนวนอนของเส้นสัมผัส t "2 ไปยังเส้นเมริเดียน d ของพื้นผิว β ซึ่งผ่านจุด M จะตรงกับเส้นเมริเดียนในแนวนอน ในการหาเส้นโครงหน้าของเส้นสัมผัส t" 2 ระนาบเส้นเมอริเดียน γ (γ ∋ M) โดยการหมุนรอบแกนของพื้นผิว β ถูกแปลเป็นตำแหน่ง γ 1 ขนานกับระนาบ π 2 ในกรณีนี้ จุด M → M 1 (M "1, M" 1) เส้นโครงของเส้นสัมผัส t "2 rarr; t" 2 1 ถูกกำหนดโดย (M "1 S") หากตอนนี้เราคืนระนาบ γ 1 กลับสู่ตำแหน่งเดิม จุด S "จะยังคงอยู่ที่เดิม (เป็นของแกนหมุน) และ M" 1 → M "และการฉายภาพด้านหน้าของเส้นสัมผัส t" 2 จะ ถูกกำหนด (M "S")

เส้นสัมผัสสองเส้น t 1 และ t 2 ตัดกันที่จุด M ∈ β กำหนดระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิว β

ตัวเลือก b (รูปที่ 211)

ในการสร้างระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในพื้นผิวนั้น เราต้องพิจารณาดังต่อไปนี้: ผ่านจุดที่อยู่นอกพื้นผิวซึ่งประกอบด้วยจุดวงรี เราสามารถวาดระนาบหลายระนาบสัมผัสกับพื้นผิวได้ เปลือกของพื้นผิวเหล่านี้จะเป็นพื้นผิวรูปกรวย ดังนั้นหากไม่มีข้อบ่งชี้เพิ่มเติม แสดงว่าปัญหามีวิธีแก้ปัญหามากมาย และในกรณีนี้ให้ลดการวาดพื้นผิวรูปกรวย γ สัมผัสกับพื้นผิวที่กำหนด β

บนมะเดื่อ 211 แสดงการสร้างพื้นผิวทรงกรวย γ สัมผัสกับทรงกลม β ระนาบใดๆ α สัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวย γ จะสัมผัสกับพื้นผิว β

ในการสร้างเส้นโครงของพื้นผิว γ จากจุด M "และ M" เราวาดเส้นสัมผัสกับวงกลม h "และ f" - เส้นโครงของทรงกลม ทำเครื่องหมายจุดสัมผัส 1 (1" และ 1"), 2 (2" และ 2"), 3 (3" และ 3") และ 4 (4" และ 4") เส้นโครงแนวนอนของวงกลม - เส้นสัมผัสระหว่างพื้นผิวทรงกรวยและทรงกลมจะถูกฉายออกเป็น [ 1"2"] เพื่อหาจุดของวงรีที่วงกลมนี้ถูกฉายลงบนระนาบด้านหน้าของเส้นโครง เราจะ ใช้เส้นขนานของทรงกลม

บนมะเดื่อ 211 ด้วยวิธีนี้จะมีการกำหนดการฉายภาพด้านหน้าของจุด E และ F (E "และ F") มีพื้นผิวทรงกรวย γ เราสร้างระนาบสัมผัส α ให้กับมัน ลักษณะและลำดับของกราฟิก

โครงสร้างบางอย่างที่ต้องทำเพื่อการนี้แสดงในตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 2 สร้างระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิว β ด้วยจุดพาราโบลา

ดังตัวอย่างที่ 1 ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสองข้อ a) จุด N ∈ β; b) จุด N ∉ β

ตัวเลือก ก (ข้าว 212)

พื้นผิวทรงกรวยหมายถึงพื้นผิวที่มีจุดพาราโบลา (ดูรูปที่ 207) ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวยสัมผัสกับพื้นผิวตามแนวเส้นตรงในการสร้าง คุณต้อง:

1) วาด generatrix SN (S"N" และ S"N") ผ่านจุดที่กำหนดให้ N;

2) ทำเครื่องหมายจุดตัดของ generatrix (SN) ด้วยคำแนะนำ d: (SN) ∩ d = A;

3) วาดและสัมผัส t ถึง d ที่จุด A

เจเนราทริกซ์ (SA) และเส้นสัมผัส t ที่ตัดกันกำหนดระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวย β ที่จุดที่กำหนด N*

ในการวาดระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวย β และผ่านจุด N ที่ไม่ใช่ของ

* เนื่องจากพื้นผิว β ประกอบด้วยจุดพาราโบลา (ยกเว้นจุดยอด S) ระนาบ α สัมผัสกับมันจึงไม่ใช่จุด N เพียงจุดเดียว แต่เป็นจุดเส้นตรง (SN)

กดพื้นผิวที่กำหนด จำเป็น:

1) ผ่านจุดที่กำหนด N และจุดยอด S ของพื้นผิวทรงกรวย β วาดเส้นตรง a (a "และ a");

2) กำหนดร่องรอยแนวนอนของบรรทัดนี้ H a ;

3) วาดเส้นสัมผัส t "1 และ t" 2 ของเส้นโค้ง ชั่วโมง 0β ถึง H a - ร่องรอยแนวนอนของพื้นผิวทรงกรวย

4) เชื่อมต่อจุดสัมผัส A (A "และ A") และ B (B "และ B") เข้ากับด้านบนของพื้นผิวทรงกรวย S (S "และ S")

เส้นตัดกัน t 1 , (AS) และ t 2 , (BS) กำหนดระนาบสัมผัสที่ต้องการ α 1 และ α 2

ตัวอย่าง 3. สร้างระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิว β ด้วยจุดไฮเปอร์โบลิก

จุด K (รูปที่ 214) ตั้งอยู่บนพื้นผิวของทรงกลม (พื้นผิวด้านในของวงแหวน)

ในการกำหนดตำแหน่งของระนาบสัมผัส α จำเป็นต้องมี:

1) วาดเส้นขนานกับพื้นผิว β h(h", h") ผ่านจุด K;

2) วาดเส้นสัมผัสผ่านจุด K" t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) เพื่อกำหนดทิศทางของเส้นโครงของเส้นสัมผัสไปยังส่วน meridional จำเป็นต้องวาดระนาบ γ ผ่านจุด K และแกนของพื้นผิว เส้นโครงแนวนอน t "2 จะตรงกับ h 0γ; เพื่อสร้าง เส้นโครงด้านหน้าของเส้นสัมผัส t" 2 ก่อนอื่นเราจะแปลระนาบ γ โดยการหมุนรอบแกนของพื้นผิวของการปฏิวัติไปยังตำแหน่ง γ 1 || พาย 2 . ในกรณีนี้ ส่วนเส้นเมอริเดียนของระนาบ γ จะตรงกับส่วนโค้งโครงร่างด้านซ้ายของการฉายภาพด้านหน้า - ครึ่งวงกลม g".

จุด K (K", K") ซึ่งอยู่ในส่วนโค้งของเส้นเมอริเดียนจะย้ายไปที่ตำแหน่ง K 1 (K" 1, K" 1) ผ่าน K" 1 เราวาดโครงหน้าของเส้นสัมผัส t" 2 1 ซึ่งจัดแนวกับระนาบ γ 1 || π 2 วางตำแหน่งและทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยการฉายภาพด้านหน้าของแกนหมุน S "1 เราคืนระนาบ γ 1 กลับสู่ตำแหน่งเดิม จุด K" 1 → K "(จุด S" 1 ≡ S ") . เส้นโครงด้านหน้าของเส้นสัมผัส t" 2 ถูกกำหนดโดยจุด K" และ S"

แทนเจนต์ t 1 และ t 2 กำหนดระนาบสัมผัสที่ต้องการ α ซึ่งตัดกับพื้นผิว β ตามเส้นโค้ง ล.

ตัวอย่าง 4. สร้างระนาบ α สัมผัสกับพื้นผิว β ที่จุด K จุด K ตั้งอยู่บนพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติ (รูปที่ 215)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยทำตามอัลกอริทึมที่ใช้ในตัวอย่างที่แล้ว แต่ต้องคำนึงว่าพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติแบบแผ่นเดียวเป็นพื้นผิวที่มีกฎที่มีตัวสร้างเส้นตรงสองตระกูล แต่ละตัวกำเนิดของตระกูลหนึ่งตัดกัน เครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดของตระกูลอื่น (ดู§ 32, รูปที่ 138) ผ่านแต่ละจุดของพื้นผิวนี้ สามารถวาดเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน - เครื่องกำเนิดที่จะสัมผัสพร้อมกันกับพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติแผ่นเดียว

เส้นสัมผัสเหล่านี้กำหนดระนาบสัมผัส นั่นคือ ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติตัดกับพื้นผิวนี้ตามเส้นตรงสองเส้น g 1 และ g 2 ในการสร้างเส้นโครงของเส้นเหล่านี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้เส้นโครงแนวนอนของจุด K เพื่อนำเส้นสัมผัส t "1 และ t" 2 ไปที่แนวนอน

เส้นโครงของวงกลม d "2 - คอของพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติ กำหนดจุดที่ 1" และ 2 ซึ่ง t "1 และ t" 2 ตัดกันหนึ่งในตัวกั้นพื้นผิว d 1 จาก 1" และ 2" เราพบ 1" และ 2" ซึ่งร่วมกับ K" กำหนดการฉายด้านหน้าของเส้นที่ต้องการ

พื้นผิวถูกกำหนดให้เป็นชุดของจุดที่พิกัดเป็นไปตามสมการบางประเภท:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

ถ้าฟังก์ชั่น F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))ต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่งและมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องที่จุดนั้น อย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์ไม่หายไป จากนั้นในบริเวณใกล้เคียงของจุดนี้ พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ (1) จะเป็น พื้นผิวที่ถูกต้อง.

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

เคร่งครัดยิ่งขึ้น พื้นผิวที่เรียบง่าย เป็นภาพของการแมปแบบโฮมโอมอร์ฟิก (นั่นคือ การแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งและแบบต่อเนื่องร่วมกัน) ของการตกแต่งภายในของยูนิตสแควร์ คำจำกัดความนี้สามารถให้นิพจน์เชิงวิเคราะห์ได้

พื้นผิวในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เฮลิคอยด์

คาทีนอยด์

ค่าสัมประสิทธิ์เมตริก E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G)ไม่เพียงแต่กำหนดความยาวของส่วนโค้งทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลลัพธ์ของการวัดทั้งหมดภายในพื้นผิวด้วย (มุม พื้นที่ ความโค้ง ฯลฯ) ดังนั้นทุกสิ่งที่ขึ้นอยู่กับเมตริกเท่านั้นจึงหมายถึงรูปทรงเรขาคณิตภายใน

ภาคปกติและภาคปกติ

เวกเตอร์ปกติที่จุดพื้นผิว

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

สัญลักษณ์ของปกติขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัด

ส่วนของพื้นผิวโดยระนาบที่มีพื้นผิวปกติ ณ จุดที่กำหนดทำให้เกิดเส้นโค้งซึ่งเรียกว่า ส่วนปกติพื้นผิว ค่าปกติหลักสำหรับส่วนปกติเกิดขึ้นพร้อมกับค่าปกติที่พื้นผิว (ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย)

ถ้าเส้นโค้งบนพื้นผิวไม่ใช่ส่วนปกติ เส้นปกติหลักจะสร้างมุมกับพื้นผิวปกติ θ (\displaystyle \theta ). จากนั้นความโค้ง k (\displaystyle k)เส้นโค้งเกี่ยวข้องกับความโค้ง k n (\displaystyle k_(n))ส่วนปกติ (ที่มีเส้นสัมผัสเดียวกัน) สูตรของ Meunier:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

พิกัดของเวกเตอร์ปกติสำหรับวิธีต่างๆ ในการระบุพื้นผิวแสดงไว้ในตาราง:

	พิกัดปกติที่จุดพื้นผิว
การมอบหมายโดยปริยาย	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
การมอบหมายอย่างชัดเจน	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ x บางส่วน))\right)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
งานพาราเมตริก	(D (y , z) D (u , v) ; D (z , x) D (u , v) ; D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( คุณ,v)))\right)^(2)))))

ที่นี่ D (y , z) D (u , v) = | y u ′y v ′z u ′z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′z v ′ x u ′x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′x v ′ y u ′y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ เริ่มต้น(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

อนุพันธ์ทั้งหมดถูกนำมาที่จุด (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

ความโค้ง

โดยทั่วไปแล้ว ทุกๆ จุดบนพื้นผิวจะมีทิศทางตั้งฉากกันสองทิศทาง e 1 (\displaystyle e_(1))และ e 2 (\displaystyle e_(2))ซึ่งความโค้งปกติใช้ค่าต่ำสุดและสูงสุด ทิศทางเหล่านี้เรียกว่า หลัก. ข้อยกเว้นคือกรณีที่ความโค้งปกติเท่ากันในทุกทิศทาง (เช่น ใกล้ทรงกลมหรือที่จุดสิ้นสุดของวงรีของการหมุน) ดังนั้นทุกทิศทางที่จุดหนึ่งจะเป็นหลัก

ความโค้งปกติในทิศทางหลักเรียกว่า ความโค้งหลัก; มาแสดงถึงพวกเขากันเถอะ κ 1 (\displaystyle \คัปปา _(1))และ κ 2 (\displaystyle \คัปปา _(2)). ขนาด:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

เรียกว่าความโค้งแบบเกาส์ ความโค้งทั้งหมด หรือเรียกง่ายๆ ว่าความโค้งของพื้นผิว มีคำว่า สเกลาร์ความโค้งซึ่งแสดงถึงผลลัพธ์ของการบิดงอของเทนเซอร์ความโค้ง ; ในกรณีนี้ สเกลาร์ความโค้งจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของความโค้งแบบเกาส์เซียน

ความโค้งแบบเกาส์สามารถคำนวณได้ในแง่ของเมตริก ดังนั้นจึงเป็นวัตถุของรูปทรงเรขาคณิตภายในของพื้นผิว (โปรดทราบว่าความโค้งหลักไม่ได้อยู่ในรูปทรงเรขาคณิตภายใน) ด้วยเครื่องหมายของความโค้ง คุณสามารถจำแนกจุดต่างๆ ของพื้นผิวได้ (ดูรูป) ความโค้งของระนาบเป็นศูนย์ ความโค้งของทรงกลมรัศมี R ทุกที่เท่ากับ 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). นอกจากนี้ยังมีพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบคงที่ -

ให้เรามีพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการของแบบฟอร์ม

เราแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้

คำจำกัดความ 1. เส้นตรงเรียกว่าเส้นสัมผัสกับพื้นผิว ณ จุดใดจุดหนึ่ง ถ้าเป็นเช่นนั้น

สัมผัสกับเส้นโค้งที่วางอยู่บนพื้นผิวและผ่านจุด

เนื่องจากจำนวนโค้งที่แตกต่างกันจำนวนนับไม่ถ้วนที่วางอยู่บนพื้นผิวผ่านจุด P โดยทั่วไปจะมีเส้นสัมผัสกับพื้นผิวที่ผ่านจุดนี้เป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

ให้เราแนะนำแนวคิดของจุดเอกพจน์และจุดธรรมดาของพื้นผิว

ถ้า ณ จุดหนึ่งอนุพันธ์ทั้งสามมีค่าเท่ากับศูนย์หรืออย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์เหล่านี้ไม่มีอยู่ ดังนั้นจุด M จะเรียกว่าจุดเอกพจน์ของพื้นผิว หาก ณ จุดหนึ่งอนุพันธ์ทั้งสามมีอยู่และต่อเนื่องกัน และอย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์นั้นแตกต่างจากศูนย์ จุด M จะเรียกว่าจุดธรรมดาของพื้นผิว

ตอนนี้เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. เส้นสัมผัสทั้งหมดไปยังพื้นผิวที่กำหนด (1) ที่จุดธรรมดา P อยู่ในระนาบเดียวกัน

การพิสูจน์. ให้เราพิจารณาเส้น L บนพื้นผิว (รูปที่ 206) ผ่านจุด P ที่กำหนดของพื้นผิว ให้เส้นโค้งที่พิจารณากำหนดโดยสมการพาราเมตริก

เส้นสัมผัสกับเส้นโค้งจะสัมผัสกับพื้นผิว สมการของแทนเจนต์นี้มีรูปแบบ

ถ้านิพจน์ (2) ถูกแทนลงในสมการ (1) สมการนี้จะกลายเป็นเอกลักษณ์เมื่อเทียบกับ t เนื่องจากเส้นโค้ง (2) อยู่บนพื้นผิว (1) แยกความแตกต่างตามที่เราได้รับ

เส้นโครงของเวกเตอร์นี้ขึ้นอยู่กับ - พิกัดของจุด Р; โปรดทราบว่าเนื่องจากจุด P เป็นจุดปกติ เส้นโครงเหล่านี้ที่จุด P จะไม่หายไปพร้อมกัน และด้วยเหตุนี้

สัมผัสกับเส้นโค้งที่ผ่านจุด P และนอนบนพื้นผิว เส้นโครงของเวกเตอร์นี้คำนวณจากสมการ (2) ด้วยค่าของพารามิเตอร์ t ที่สอดคล้องกับจุด R

ให้เราคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ N ซึ่งเท่ากับผลรวมของผลคูณของเส้นโครงที่มีชื่อเดียวกัน:

ตามความเท่าเทียมกัน (3) นิพจน์ทางด้านขวาจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น

จากความเท่าเทียมกันสุดท้ายที่เวกเตอร์ LG และเวกเตอร์สัมผัสกับเส้นโค้ง (2) ที่จุด P นั้นตั้งฉาก เหตุผลข้างต้นใช้ได้กับเส้นโค้งใดๆ (2) ที่ผ่านจุด P และนอนบนพื้นผิว ดังนั้น เส้นสัมผัสแต่ละเส้นที่จุด P จึงตั้งฉากกับเวกเตอร์ N เดียวกัน ดังนั้นเส้นสัมผัสเหล่านี้ทั้งหมดจึงอยู่ในระนาบเดียวกันในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ LG ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม 2. ระนาบที่เส้นสัมผัสทั้งหมดตั้งอยู่กับเส้นบนพื้นผิวที่ผ่านจุด P ที่กำหนดเรียกว่าระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่จุด P (รูปที่ 207)

โปรดทราบว่าระนาบเส้นสัมผัสอาจไม่มีอยู่ที่จุดเดียวของพื้นผิว ที่จุดดังกล่าว เส้นสัมผัสกับพื้นผิวอาจไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ตัวอย่างเช่น จุดยอดของพื้นผิวทรงกรวยเป็นจุดเอกพจน์

เส้นสัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวย ณ จุดนี้ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน (พวกมันก่อตัวเป็นพื้นผิวทรงกรวย)

ให้เราเขียนสมการของระนาบสัมผัสพื้นผิว (1) ที่จุดธรรมดา เนื่องจากระนาบนี้ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (4) สมการจึงมีรูปแบบ

หากกำหนดสมการพื้นผิวในรูปแบบหรือสมการระนาบสัมผัสในกรณีนี้จะอยู่ในรูปแบบ

ความคิดเห็น หากเราตั้งค่าในสูตร (6) สูตรนี้จะใช้รูปแบบ

ด้านขวาคือส่วนต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน เพราะเหตุนี้, . ดังนั้น ผลต่างรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ณ จุดที่สอดคล้องกับส่วนเพิ่มของตัวแปรอิสระ x และ y จะเท่ากับส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของระนาบสัมผัสพื้นผิว ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันนี้

คำจำกัดความ 3 เส้นตรงที่ลากผ่านจุดหนึ่งของพื้นผิว (1) ตั้งฉากกับระนาบสัมผัสเรียกว่าเส้นปกติกับพื้นผิว (รูปที่ 207)