สมการของแมกซ์เวลล์คือกฎปัจจุบันทั้งหมด สมการของแมกซ์เวลล์และความหมายทางกายภาพ

ระบบสมการของแมกซ์เวลล์เป็นการสรุปกฎพื้นฐานของปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าและแม่เหล็กไฟฟ้า เธออธิบาย ทุกอย่างปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า ระบบสมการนี้เป็นพื้นฐานของทฤษฎีสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่เกิดจากการกระจายประจุไฟฟ้าและกระแสที่กำหนด สมการของแมกซ์เวลล์เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ ทฤษฎีของแมกซ์เวลล์เผยให้เห็นธรรมชาติแม่เหล็กไฟฟ้าของแสง สมการนี้กำหนดสูตรโดย J. Maxwell ในช่วงอายุหกสิบเศษของศตวรรษที่ 19 โดยอาศัยหลักการทั่วไปของกฎเชิงประจักษ์และการพัฒนาแนวคิดของนักวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าก่อนหน้าเขา (กฎของ Coulomb, Biot-Savart, Ampère และ โดยเฉพาะการศึกษาของฟาราเดย์) แมกซ์เวลล์เองได้เขียนสมการ 20 สมการใน 20 ค่าที่ไม่ทราบค่าในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล ซึ่งต่อมาถูกแปลงเป็น รูปแบบที่ทันสมัยของ Maxwell ได้รับจากนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน G. Hertz และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ O. Heaviside เราเขียนสมการโดยใช้ระบบหน่วยเกาส์เซียน

ระบบสมการของแมกซ์เวลล์

ระบบสมการแมกซ์เวลล์ประกอบด้วยสี่สมการ

สมการแรก:

นี่คือกฎของฟาราเดย์ (กฎของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า)

โดยที่ความแรงของสนามไฟฟ้าคือเวกเตอร์เหนี่ยวนำแม่เหล็ก c คือความเร็วของแสงในสุญญากาศ

สมการนี้บอกว่าความโค้งของสนามไฟฟ้าเท่ากับฟลักซ์ (เช่น อัตราการเปลี่ยนแปลงตามเวลา) ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านวงจรนี้ สมการ (1.1) เป็นสมการแรกของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

สมการเดียวกันสามารถเขียนในรูปแบบอินทิกรัล จากนั้นจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่การฉายภาพลงสู่พื้นที่ปกติกับพื้นที่ dS ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก

- สนามแม่เหล็ก.

ข้าว. 2.

การหมุนเวียนของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าตามวงปิด L (แรงเคลื่อนไฟฟ้าอุปนัย) ถูกกำหนดโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านพื้นผิวที่ล้อมรอบด้วยวงนี้ เครื่องหมายลบตามกฎของ Lenz หมายถึงทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำ

ตามคำกล่าวของ Maxwell กฎของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า (และนี่คือสิ่งที่ถูกต้อง) ใช้ได้กับวงจรปิดใดๆ ก็ตาม ซึ่งถูกเลือกโดยพลการในสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากระแสสลับ

ความหมายของสมการนี้: สนามแม่เหล็กแปรผัน ณ จุดใด ๆ ในอวกาศจะสร้างสนามไฟฟ้ากระแสน้ำวน

โดยที่เวกเตอร์ของความเข้มแม่เหล็กคือความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้าคือเวกเตอร์ของการกระจัดไฟฟ้า

สมการแมกซ์เวลล์นี้เป็นลักษณะทั่วไปของกฎเชิงประจักษ์ของไบโอต-ซาวาร์ตที่สนามแม่เหล็กถูกกระตุ้นด้วยกระแสไฟฟ้า ความหมายของสมการที่สองคือที่มาของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากระแสสลับก็เป็นสนามไฟฟ้ากระแสสลับเช่นกัน ซึ่งผลของสนามแม่เหล็กจะมีลักษณะเฉพาะด้วยกระแสการกระจัด (-displacement ความหนาแน่นกระแส).

ในรูปปริพันธ์ สมการที่สองของแมกซ์เวลล์ (ทฤษฎีการหมุนเวียนของสนามแม่เหล็ก) แสดงได้ดังนี้:

การหมุนเวียนของเวกเตอร์ความแรงของสนามแม่เหล็กตามวงจรโดยพลการจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของกระแสการนำและกระแสการกระจัดที่ประกอบกับวงจร

เมื่อแมกซ์เวลล์แนะนำสมการ (มากกว่าหนึ่งร้อยปีที่แล้ว!) ธรรมชาติของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าไม่ชัดเจน ในปัจจุบันได้มีการชี้แจงลักษณะของทุ่งนาและเป็นที่ชัดเจนว่าสามารถเรียกได้ว่าเป็น "กระแส" อย่างเป็นทางการเท่านั้น ด้วยเหตุผลหลายประการในการคำนวณ ชื่อดังกล่าวโดยไม่ได้ให้ความหมายทางกายภาพโดยตรง สมควรที่จะคงไว้ซึ่งทำในวิศวกรรมไฟฟ้า ด้วยเหตุผลเดียวกัน เวกเตอร์ D ที่รวมอยู่ในนิพจน์สำหรับกระแสการกระจัดจึงเรียกว่าเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้า

นอกจากสมการสองสมการแรกแล้ว ระบบสมการของแมกซ์เวลล์ยังรวมถึงทฤษฎีบทเกาส์-ออสโตรกราดสกีสำหรับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กด้วย:

ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้าอยู่ที่ไหน

ซึ่งในรูปแบบอินทิกรัลมีดังต่อไปนี้:

ที่ไหน - ฟลักซ์การกระจัดไฟฟ้า - ฟลักซ์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดที่ครอบคลุมประจุฟรี q

ความหมายของสมการ 3.2 ประจุไฟฟ้าเป็นแหล่งกำเนิดของการเหนี่ยวนำไฟฟ้า

สมการที่ 4.2 เป็นการแสดงออกถึงความจริงที่ว่าไม่มีประจุแม่เหล็กอิสระ

ระบบสมบูรณ์ของสมการของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล (แสดงลักษณะของสนามในแต่ละจุดในอวกาศ):

ระบบสมบูรณ์ของสมการแมกซ์เวลล์ในรูปแบบอินทิกรัล

ระบบสมบูรณ์ของสมการของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบอินทิกรัล (รูปแบบที่สมบูรณ์ของสมการการเขียนช่วยให้การตีความทางกายภาพง่ายขึ้น เนื่องจากทำให้มองเห็นได้ใกล้เคียงกับกฎเชิงประจักษ์ที่ทราบ):

ระบบสมการของแมกซ์เวลล์เสริมด้วย "สมการวัสดุ" ซึ่งเชื่อมต่อเวกเตอร์กับปริมาณที่อธิบายคุณสมบัติทางไฟฟ้าและแม่เหล็กของตัวกลาง

โดยที่สัมพัทธ์การยอมจำนนสัมพัทธ์คือการซึมผ่านของแม่เหล็กสัมพัทธ์คือค่าการนำไฟฟ้าคือค่าคงที่ทางไฟฟ้าและเป็นค่าคงที่แม่เหล็ก สื่อจะถือว่าเป็นไอโซโทรปิก ไม่ใช่เฟอร์โรแมกเนติก ไม่ใช่เฟอโรอิเล็กทริก

ที่ส่วนต่อประสานระหว่างสื่อทั้งสองจะเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตต่อไปนี้:

โดยที่ความหนาแน่นของพื้นผิวของประจุอิสระ n คือเวกเตอร์หน่วยของเส้นปกติถึงส่วนต่อประสานที่ดึงมาจากตัวกลาง 2 ถึง 1 เวกเตอร์หน่วยสัมผัสกับส่วนต่อประสานคือการฉายภาพของเวกเตอร์ความหนาแน่นของกระแสการนำพื้นผิวบนเวกเตอร์หน่วย .

สมการเหล่านี้แสดงความต่อเนื่องของส่วนประกอบปกติของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กและการกระโดดของส่วนประกอบปกติของเวกเตอร์การกระจัด ความต่อเนื่องขององค์ประกอบสัมผัสของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าที่ส่วนต่อประสานและการกระโดดของส่วนประกอบเหล่านี้เพื่อความแรงของสนามแม่เหล็ก

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1

ออกกำลังกาย	จากระบบสมการของแมกซ์เวลล์ หาสมการความต่อเนื่องของกระแสและกฎการอนุรักษ์ประจุ
วิธีการแก้	เราใช้สมการ: มาดำเนินการไดเวอร์เจนซ์ ( หรือ ) สำหรับมัน เราได้รับ: จากระบบสมการแมกซ์เวลล์ เรารู้ว่า , (ค) แทนที่ (c) เป็น (b) เราได้รับ: นี่หมายความว่า หรือในรูปแบบปริพันธ์: ดังนั้น สำหรับพื้นที่ห่างไกลที่ห่างไกล เราได้รับ: นี่คือสมการความต่อเนื่องของกระแสซึ่งมีกฎการอนุรักษ์ประจุซึ่งเป็นหนึ่งในหลักการพื้นฐานซึ่งได้รับการยืนยันโดยการทดลอง

ในสภาพแวดล้อมโดยพลการ สมการแมกซ์เวลล์สูตรโดย J.K. Maxwell ในยุค 60 ของศตวรรษที่ 19 บนพื้นฐานของการสรุปกฎเชิงประจักษ์ของปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าและแม่เหล็ก ตามกฎเหล่านี้และพัฒนาความคิดที่มีผลของ M. ฟาราเดย์ ที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่มีประจุไฟฟ้าผ่าน สนามแม่เหล็กไฟฟ้า , Maxwell ได้สร้างทฤษฎีของกระบวนการแม่เหล็กไฟฟ้า, แสดงออกทางคณิตศาสตร์ สมการแมกซ์เวลล์รูปทรงทันสมัย สมการแมกซ์เวลล์มอบให้โดยนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน G. เฮิรตซ์ และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ O. เฮฟวิไซด์.

สมการแมกซ์เวลล์พวกเขาเชื่อมโยงปริมาณที่กำหนดลักษณะของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากับแหล่งกำเนิดนั่นคือด้วยการกระจายประจุไฟฟ้าและกระแสในอวกาศ ในสุญญากาศสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีลักษณะเฉพาะด้วยปริมาณเวกเตอร์สองปริมาณที่ขึ้นอยู่กับพิกัดและเวลาเชิงพื้นที่: ความแรงของสนามไฟฟ้า อีและการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก ที่. ปริมาณเหล่านี้จะกำหนดแรงที่กระทำจากสนามต่อประจุและกระแส การกระจายตัวในอวกาศนั้นกำหนดโดยความหนาแน่นของประจุ r (ประจุต่อหน่วยปริมาตร) และความหนาแน่นกระแส เจ(ประจุที่โอนต่อหน่วยเวลาผ่านพื้นที่หน่วยตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่ของประจุ) เพื่ออธิบายกระบวนการทางแม่เหล็กไฟฟ้าในสภาพแวดล้อมทางวัตถุ (ในเรื่อง) ยกเว้นเวกเตอร์ อีและ ที่, ปริมาณเวกเตอร์เสริมถูกนำมาใช้ ขึ้นอยู่กับสถานะและคุณสมบัติของตัวกลาง: การเหนี่ยวนำไฟฟ้า ดีและความแรงของสนามแม่เหล็ก ชม.

สมการแมกซ์เวลล์อนุญาตให้กำหนดลักษณะสำคัญของสนาม ( E, B, Dและ ชม) ในแต่ละจุดในอวกาศได้ตลอดเวลาหากทราบแหล่งที่มาของสนาม เจและ r เป็นฟังก์ชันของพิกัดและเวลา สมการแมกซ์เวลล์สามารถเขียนในรูปแบบอินทิกรัลหรือดิฟเฟอเรนเชียล (ระบุไว้ด้านล่างในระบบสัมบูรณ์ของหน่วยเกาส์เซียน ดูด้านล่าง) ระบบ cgs ของหน่วย ).

สมการแมกซ์เวลล์ในรูปแบบปริพันธ์ ไม่ใช่เวกเตอร์สนามที่กำหนดโดยประจุและกระแสที่กำหนด E, B, D, Hที่จุดแยกกันในอวกาศ และปริมาณอินทิกรัลบางส่วนขึ้นอยู่กับการกระจายของลักษณะเฉพาะของสนามเหล่านี้: การไหลเวียน เวกเตอร์ อีและ ชมตามรูปทรงปิดโดยพลการและ ลำธาร เวกเตอร์ ดีและ ผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ

อันดับแรก สมการแมกซ์เวลล์เป็นลักษณะทั่วไปของเขตข้อมูลตัวแปรของเชิงประจักษ์ กฎหมายแอมป์ เกี่ยวกับการกระตุ้นของสนามแม่เหล็กด้วยกระแสไฟฟ้า แมกซ์เวลล์ตั้งสมมติฐานว่าสนามแม่เหล็กถูกสร้างขึ้นไม่เพียงโดยกระแสที่ไหลในตัวนำเท่านั้น แต่ยังเกิดจากการสลับสนามไฟฟ้าในไดอิเล็กทริกหรือสุญญากาศด้วย ค่าสัดส่วนกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้าในเวลาถูกเรียกโดยแม็กซ์เวลล์กระแสการกระจัด กระแสดิสเพลสเมนต์กระตุ้นสนามแม่เหล็กตามกฎเดียวกับกระแสนำไฟฟ้า (ภายหลังได้รับการยืนยันจากการทดลอง) กระแสรวมเท่ากับผลรวมของกระแสนำและกระแสการกระจัดจะถูกปิดเสมอ

อันดับแรก สมการแมกซ์เวลล์ดูเหมือน:

นั่นคือการหมุนเวียนของเวกเตอร์ความแรงของสนามแม่เหล็กตามวงปิด หลี่(ผลรวมของดอทโปรดัคของเวกเตอร์ ชมที่จุดที่กำหนดของรูปร่างไปยังส่วนที่เล็กที่สุด ดลรูปร่าง) ถูกกำหนดโดยกระแสรวมผ่านพื้นผิวโดยพลการ เจ น- การฉายภาพความหนาแน่นกระแสการนำไฟฟ้า เจสู่ความปกติสู่พื้นที่เล็กๆ อย่างอนันต์ dsซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิว S คือ การฉายภาพความหนาแน่นกระแสการกระจัดบนเส้นปกติเดียวกัน และ กับ= 3×10 10 ซม./วินาที -ค่าคงที่เท่ากับความเร็วการแพร่กระจายของปฏิกิริยาทางแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ

ที่สอง สมการแมกซ์เวลล์เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ของกฎการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้าของฟาราเดย์ (ดู การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า ) เขียนเป็น:

, (1, ข)

นั่นคือ การหมุนเวียนของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าตามวงปิด หลี่(emf ของการเหนี่ยวนำ) ถูกกำหนดโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านพื้นผิว สถูกโอบล้อมด้วยร่างนี้ ที่นี่ น- การฉายภาพบนปกติไปยังไซต์ dsเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก ที่; เครื่องหมายลบตรงกัน กฎของเลนซ์ สำหรับทิศทางกระแสเหนี่ยวนำ

ที่สาม สมการแมกซ์เวลล์แสดงข้อมูลการทดลองที่ไม่มีประจุแม่เหล็กคล้ายกับประจุไฟฟ้า (สนามแม่เหล็กถูกสร้างขึ้นโดยกระแสเท่านั้น):

นั่นคือฟลักซ์ของเวกเตอร์เหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ สเท่ากับศูนย์

ที่สี่ สมการแมกซ์เวลล์(เรียกกันทั่วไปว่า ทฤษฎีบทเกาส์ ) เป็นลักษณะทั่วไปของกฎปฏิสัมพันธ์ของประจุไฟฟ้าคงที่ - จี้กฎหมาย :

, (1, ง)

นั่นคือการไหลของเวกเตอร์เหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ สถูกกำหนดโดยประจุไฟฟ้าที่อยู่ภายในพื้นผิวนี้ (ในปริมาตร ถูกโอบล้อมด้วยพื้นผิวนี้)

หากสมมุติว่าเวกเตอร์ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ( E, B, D, H) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของพิกัด เมื่อพิจารณาถึงการหมุนเวียนของเวกเตอร์ ชมและ อีตามเส้นชั้นความสูงและการไหลของเวกเตอร์ และ ดีผ่านพื้นผิวที่จำกัดปริมาตรที่น้อยมาก เราสามารถไปจากความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์ (1, a - d) เป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้ได้ในทุกจุดในอวกาศ นั่นคือ ได้รูปแบบอนุพันธ์ สมการแมกซ์เวลล์(มักจะสะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ):

เน่า ,

ที่นี่ rot และ div เป็นโอเปอเรเตอร์โรเตอร์ส่วนต่าง (ดูด้านล่าง) กระแสน้ำวน ) และ ความแตกต่าง ทำหน้าที่เกี่ยวกับเวกเตอร์ ชม, อี, และ ดี. ความหมายทางกายภาพของสมการ (2) เหมือนกับสมการ (1)

สมการแมกซ์เวลล์ในรูปแบบ (1) หรือ (2) ไม่สร้างระบบปิดที่สมบูรณ์ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณกระบวนการทางแม่เหล็กไฟฟ้าในสภาพแวดล้อมของวัสดุได้ มีความจำเป็นต้องเสริมด้วยความสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อเวกเตอร์ E, H, D, Bและ เจซึ่งไม่เป็นอิสระ การเชื่อมต่อระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของตัวกลางและสถานะของมันและ ดีและ เจแสดงผ่าน อี, แ - ผ่าน ชม:

ดี = ดี(อี), = (ชม), เจ = เจ(อี). (3)

สมการทั้งสามนี้เรียกว่าสมการสถานะหรือสมการวัสดุ อธิบายคุณสมบัติทางแม่เหล็กไฟฟ้าของตัวกลางและมีรูปแบบเฉพาะสำหรับตัวกลางแต่ละตัว ในสุญญากาศ ดีº อีและ º ชม. ชุดของสมการสนาม (2) และสมการสถานะ (3) ก่อให้เกิดระบบสมการที่สมบูรณ์

มหภาค สมการแมกซ์เวลล์อธิบายปรากฏการณ์ของตัวกลางโดยไม่คำนึงถึงกลไกที่ซับซ้อนของการโต้ตอบของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากับอนุภาคที่มีประจุของตัวกลาง สมการแมกซ์เวลล์สามารถหาได้จาก ลอเรนซ์ - สมการแมกซ์เวลล์ สำหรับเขตข้อมูลด้วยกล้องจุลทรรศน์และแนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับโครงสร้างของสสารโดยการหาค่าเฉลี่ยของไมโครฟิลด์ในช่วงเวลาช่องว่างเล็กๆ ด้วยวิธีนี้ จะได้ทั้งสมการสนามพื้นฐาน (2) และรูปแบบเฉพาะของสมการสถานะ (3) และรูปแบบของสมการสนามไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของตัวกลาง

สมการของรัฐโดยทั่วไปจะซับซ้อนมาก เนื่องจากเวกเตอร์ ดี, และ เจณ จุดที่กำหนดในอวกาศ ณ เวลาที่กำหนดอาจขึ้นอยู่กับทุ่งนา อีและ ชมในทุกจุดของสิ่งแวดล้อม ณ จุดก่อนหน้าทั้งหมด ในบางสภาพแวดล้อม เวกเตอร์ ดีและ อาจแตกต่างจากศูนย์ อีและ เท่ากับศูนย์ ( เฟอร์โรอิเล็กทริก และ เฟอร์โรแม่เหล็ก ). อย่างไรก็ตาม สำหรับตัวกลางไอโซโทรปิกส่วนใหญ่ จนถึงสนามที่เข้มมาก สมการสถานะมีรูปแบบเชิงเส้นอย่างง่าย:

ดี= อี อี, = ม ชม, เจ= ส อี+ เจค tr. (สี่)

ที่นี่ อี ( x, y, z) - ค่าคงที่ไดอิเล็กตริก , และ ม ( x, y, z) - การซึมผ่านของแม่เหล็ก สื่อแสดงคุณสมบัติทางไฟฟ้าและแม่เหล็กตามลำดับ (ในระบบที่เลือกของหน่วยสุญญากาศ e = m = 1); ค่า s( x, y, z) เรียกว่าการนำไฟฟ้า เจ cp คือความหนาแน่นของสิ่งที่เรียกว่ากระแสภายนอก นั่นคือ กระแสที่สนับสนุนโดยแรงใดๆ ที่ไม่ใช่แรงของสนามไฟฟ้า (เช่น สนามแม่เหล็ก การแพร่ ฯลฯ) ในทฤษฎีปรากฏการณ์วิทยาของแมกซ์เวลล์ จะต้องพบลักษณะมหภาคของคุณสมบัติทางแม่เหล็กไฟฟ้าของตัวกลาง e, m และ s ในการทดลอง ในทฤษฎีลอเรนซ์-แมกซ์เวลล์ด้วยกล้องจุลทรรศน์สามารถคำนวณได้

การซึมผ่านของ e และ m เป็นตัวกำหนดการมีส่วนร่วมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งเกิดจากประจุที่เรียกว่าประจุซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอะตอมและโมเลกุลที่เป็นกลางทางไฟฟ้าของสาร การกำหนดการทดลองของ e, m, s ทำให้สามารถคำนวณสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในตัวกลางได้โดยไม่ต้องแก้ปัญหาเสริมที่ยากของการกระจายประจุที่ถูกผูกไว้และกระแสที่สอดคล้องกันในเรื่อง ความหนาแน่นของประจุ r และความหนาแน่นกระแส เจใน สมการแมกซ์เวลล์คือ ความหนาแน่นของประจุและกระแสอิสระ และเวกเตอร์เสริม ชมและ ดีถูกนำมาใช้เพื่อให้การไหลเวียนของเวกเตอร์ ชมถูกกำหนดโดยการเคลื่อนที่ของประจุอิสระเท่านั้นและการไหลของเวกเตอร์ ดี- ความหนาแน่นของการกระจายประจุเหล่านี้ในอวกาศ

หากพิจารณาสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในตัวกลางสองตัวที่อยู่ติดกัน จากนั้นบนพื้นผิวของการแยก เวกเตอร์สนามสามารถเกิดการไม่ต่อเนื่องกัน (กระโดด) ในกรณีนี้ต้องเสริมสมการ (2) ด้วยเงื่อนไขขอบเขต:

[nH] 2 - [nH] 1 = ,

[นี] 2 - [นี] 1 = 0, (5)

(nD) 2 - (nD) 1 = 4ps,

(nB) 2 - (nB) 1 = 0.

ที่นี่ j povและ s คือความหนาแน่นกระแสพื้นผิวและประจุ วงเล็บเหลี่ยมและกลมเป็นเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ตามลำดับ น- เวกเตอร์หน่วยของค่าปกติไปยังส่วนต่อประสานในทิศทางจากสภาพแวดล้อมแรกถึงวินาที (1®2) และดัชนีอ้างอิงถึงด้านต่าง ๆ ของอินเทอร์เฟซ

สมการพื้นฐานสำหรับสนาม (2) เป็นแบบเส้นตรง ในขณะที่สมการของรัฐ (3) สามารถไม่เป็นเชิงเส้นได้เช่นกัน โดยปกติแล้วจะพบเอฟเฟกต์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นในบริเวณที่มีความเข้มเพียงพอ ในสื่อเชิงเส้น [ความสัมพันธ์ที่น่าพอใจ (4)] และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสุญญากาศ สมการแมกซ์เวลล์เป็นเส้นตรงจึงกลายเป็นจริง หลักการทับซ้อน: เมื่อฟิลด์ซ้อนทับกันจะไม่ส่งผลกระทบซึ่งกันและกัน

จาก สมการแมกซ์เวลล์กฎหมายอนุรักษ์จำนวนหนึ่งปฏิบัติตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จากสมการ (1, a) และ (1, d) เราสามารถหาความสัมพันธ์ได้ (เรียกว่าสมการความต่อเนื่อง):

, (6)

ซึ่งเป็นกฎการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า คือ กระแสรวมที่ไหลต่อหน่วยเวลาผ่านพื้นผิวปิดใดๆ สเท่ากับการเปลี่ยนแปลงประจุภายในปริมาตร วีล้อมรอบด้วยพื้นผิวนี้ หากไม่มีกระแสไหลผ่านพื้นผิว ประจุในปริมาตรจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จาก สมการแมกซ์เวลล์ตามมาด้วยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีพลังงานและโมเมนตัม (โมเมนตัม) ความหนาแน่นของพลังงาน w (พลังงานต่อหน่วยปริมาตรของสนาม) เท่ากับ:

, (7)

พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเคลื่อนที่ได้ในอวกาศ ความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ Poynting ที่เรียกว่า

ทิศทางของเวกเตอร์ Poynting ตั้งฉากเป็น อี, และ ชมและตรงกับทิศทางการแพร่กระจายของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าและมีค่าเท่ากับพลังงานที่ถ่ายโอนต่อหน่วยเวลาผ่านพื้นผิวหน่วยตั้งฉากกับเวกเตอร์ พี. หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าให้อยู่ในรูปแบบอื่นแล้วตาม สมการแมกซ์เวลล์การเปลี่ยนแปลงของพลังงานในปริมาตรหนึ่งต่อหน่วยเวลาจะเท่ากับการไหลของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าผ่านพื้นผิวที่กั้นปริมาตรนี้ หากความร้อนถูกปล่อยออกมาภายในปริมาตรเนื่องจากพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า กฎการอนุรักษ์พลังงานจะถูกเขียนในรูปแบบ:

(9)

ที่ไหน Q- ปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาต่อหน่วยเวลา

ความหนาแน่นโมเมนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า g(โมเมนตัมต่อหน่วยปริมาตรของสนาม) สัมพันธ์กับความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานโดยความสัมพันธ์:

การมีอยู่ของพัลส์สนามแม่เหล็กไฟฟ้าถูกค้นพบครั้งแรกในการทดลองของ P.N. เลเบเดฟ ในการวัดความดันแสง (1899)

ดังที่เห็นได้จาก (7), (8) และ (10) สนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีพลังงานเสมอ และฟลักซ์พลังงานและแรงกระตุ้นแม่เหล็กไฟฟ้าไม่เป็นศูนย์เฉพาะในกรณีที่สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กมีอยู่พร้อมกัน (และสนามเหล่านี้คือ ไม่ขนานกัน ).

สมการแมกซ์เวลล์นำไปสู่ข้อสรุปพื้นฐานเกี่ยวกับความจำกัดของความเร็วการแพร่กระจายของปฏิกิริยาทางแม่เหล็กไฟฟ้า (เท่ากับ กับ= 3×10 10 ซม./วินาที). ซึ่งหมายความว่าเมื่อความหนาแน่นของประจุหรือกระแสเปลี่ยนแปลง ณ จุดใดจุดหนึ่งในอวกาศ สนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่สร้างขึ้น ณ จุดสังเกตจะไม่เปลี่ยนแปลงในเวลาเดียวกัน แต่เมื่อเวลาผ่านไป t = R/c, ที่ไหน R- ระยะทางจากองค์ประกอบของกระแสหรือประจุถึงจุดสังเกต เนื่องจากความเร็วจำกัดของการแพร่กระจายของปฏิกิริยาทางแม่เหล็กไฟฟ้า การมีอยู่ของ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งเป็นกรณีพิเศษ (ดังที่ Maxwell แสดงให้เห็นในตอนแรก) เป็นคลื่นแสง

ปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าดำเนินไปในลักษณะเดียวกันทั้งหมด ระบบอ้างอิงเฉื่อย, นั่นคือพวกเขาตอบสนองหลักการสัมพัทธภาพ ตามนี้ค่ะ สมการแมกซ์เวลล์อย่าเปลี่ยนรูปร่างเมื่อย้ายจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง (ไม่แปรผันเชิงสัมพันธ์) การดำเนินการตามหลักการสัมพัทธภาพสำหรับกระบวนการแม่เหล็กไฟฟ้ากลายเป็นว่าไม่เข้ากันกับแนวคิดคลาสสิกของอวกาศและเวลา จำเป็นต้องมีการแก้ไขแนวคิดเหล่านี้และนำไปสู่การสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (A. ไอน์สไตน์, 2448; ซม. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ ). แบบฟอร์ม สมการแมกซ์เวลล์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการเปลี่ยนไปใช้กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ หากช่องว่าง พิกัดและเวลา เป็นเวกเตอร์ภาคสนาม E, H, B, D, ความหนาแน่นกระแส เจและความหนาแน่นของประจุ r เปลี่ยนตาม การแปลงร่างของลอเรนซ์ (แสดงแนวคิดใหม่เชิงสัมพัทธภาพเกี่ยวกับอวกาศและเวลา) รูปแบบคงที่สัมพัทธภาพ สมการแมกซ์เวลล์เน้นความจริงที่ว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กรวมกันเป็นหนึ่งเดียว

สมการแมกซ์เวลล์บรรยายถึงปรากฏการณ์อันกว้างใหญ่ไพศาล พวกเขาอยู่ภายใต้วิศวกรรมไฟฟ้าและวิทยุและมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาพื้นที่เฉพาะเช่นฟิสิกส์สมัยใหม่เช่นฟิสิกส์ พลาสม่า และปัญหาของการควบคุม ปฏิกิริยาเทอร์โมนิวเคลียร์, อุทกพลศาสตร์แม่เหล็ก, เลนส์ไม่เชิงเส้น, การก่อสร้าง เครื่องเร่งอนุภาค , ฟิสิกส์ดาราศาสตร์ เป็นต้น สมการแมกซ์เวลล์จะใช้ไม่ได้เฉพาะที่ความถี่สูงของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเมื่อเอฟเฟกต์ควอนตัมมีความสำคัญนั่นคือเมื่อพลังงานของควอนตัมแต่ละตัวของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า - โฟตอน - มีขนาดใหญ่และโฟตอนจำนวนค่อนข้างน้อยมีส่วนร่วมในกระบวนการ

ย่อ: Maxwell J.K., Selected Works on the Theory of the Electromagnetic Field, แปลจากภาษาอังกฤษ, M. , 1952; Tamm I. E. , พื้นฐานของทฤษฎีไฟฟ้า, 7th ed., M. , 2500; Kalashnikov S. G. , Electricity, M. , 1956 (หลักสูตรฟิสิกส์ทั่วไป vol. 2); Feynman R. , Layton R. , Sands M. , Feynman Lectures on Physics, (แปลจากภาษาอังกฤษ), v. 5, 6, 7, M. , 1966; Landau L. D. , Lifshitz E. M. , Field Theory , 5th ed., M ., 1967 (ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี, เล่ม 2), Electrodynamics of continuous media, M. , 1959.

G. Ya. Myakishev.

บทความเกี่ยวกับคำว่า สมการแมกซ์เวลล์" ในสารานุกรม Great Soviet ถูกอ่าน 36718 ครั้ง

สมการแมกซ์เวลล์ที่สามเป็นลักษณะทั่วไปของกฎเกาส์สำหรับกรณีของกระบวนการแปรผัน กฎเกาส์เกี่ยวข้องกับการไหลของเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ S โดยมีประจุ Q กระจุกตัวอยู่ภายในพื้นผิวนี้:

โดยที่ dS = n0 dS; n0 คือเวกเตอร์หน่วยของเส้นตั้งฉากด้านนอกกับพื้นผิว S

ก่อน Maxwell สมการ (1.40) ถูกพิจารณาว่าใช้กับฟิลด์คงที่เท่านั้น แมกซ์เวลล์แนะนำว่ามันใช้ได้ในกรณีของฟิลด์ตัวแปร

ประจุ Q สามารถกระจายได้ตามอำเภอใจภายในพื้นผิว S ดังนั้นในกรณีทั่วไป

โดยที่ ρ คือความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร วี- ปริมาตรที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว S. ความหนาแน่นของประจุจำนวนมาก

โดยที่ ΔQ คือประจุที่มีความเข้มข้นในปริมาตร ΔV มิติ ρ คือจี้ต่อลูกบาศก์เมตร (C/m3)

แทนที่ (1.41) เป็น (1.40) เราได้รับ

. (1.43)

สมการ (1.43) มักจะเรียกว่า สมการที่สามของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบอินทิกรัลในการส่งผ่านไปยังรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล เราแปลงด้านซ้ายของสมการนี้ตามทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss (P. 19) เป็นผลให้เราได้รับ:

.

ความเท่าเทียมกันนี้ต้องถือไว้สำหรับปริมาณโดยพลการ วี, ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ

divD = หน้า (1.44)

ความสัมพันธ์ (1.44) มักจะเรียกว่าสมการที่สามของแมกซ์เวลล์ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เขียนเป็น

.

จากความเท่าเทียมกัน (1.44) ที่ไดเวอร์เจนต์ของเวกเตอร์ D ไม่เป็นศูนย์ ณ จุดเหล่านั้นในอวกาศที่มีประจุฟรี ณ จุดเหล่านี้ เส้นของเวกเตอร์ D มีจุดเริ่มต้น (ต้นทาง) หรือจุดสิ้นสุด (ท่อระบายน้ำ) เส้นของเวกเตอร์ D เริ่มต้นที่ประจุบวกและสิ้นสุดที่ประจุลบ

ต่างจากเวกเตอร์ D แหล่งที่มา (จม) ของเวกเตอร์ E สามารถเป็นได้ทั้งประจุแบบฟรีและแบบผูกมัด เพื่อแสดงสิ่งนี้ เราเขียนสมการ (1.44) ใหม่สำหรับเวกเตอร์ E แทนความสัมพันธ์ (1.4) เป็น (1.44) เราได้รับสภาพแวดล้อม (ประจุดังกล่าวจะถูกเรียก โพลาไรซ์):

divP=-. (1.45)

ให้เราอธิบายการเกิดขึ้นของประจุโพลาไรซ์โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้ ให้มีตัวกลางโพลาไรซ์ (รูปที่ 1.8) ให้เราแยกปริมาตร ΔV ที่อยู่ในนั้นออกทางจิตใจ ที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว ΔS อันเป็นผลมาจากโพลาไรเซชันในตัวกลาง ประจุที่เกี่ยวข้องกับโมเลกุลของสารจะเปลี่ยนไป หากปริมาตร ΔV มีขนาดเล็ก และโพลาไรซ์ไม่เท่ากัน ประจุจำนวนมากขึ้นสามารถเข้าสู่ปริมาตร ΔV ที่ด้านหนึ่งมากกว่าทางออกอีกด้านหนึ่ง (ในรูปที่ 1.8 ปริมาตร ΔV จะแสดงด้วยเส้นประ) เราเน้นว่าประจุโพลาไรซ์นั้น "ถูกผูกมัด" และเกิดขึ้นภายใต้การกระทำของสนามไฟฟ้าเท่านั้น สูตรเครื่องหมายลบ (1.45) ตามมาจากนิยามของเวกเตอร์ P (ดู 1.2.1)

ข้าว. 1.8. ตัวกลางโพลาไรซ์

เส้นของเวกเตอร์ P เริ่มต้นด้วยประจุลบและสิ้นสุดด้วยประจุบวก โดยคำนึงถึงสูตร (1.45) เรามาถึงความสัมพันธ์ εоdiv Е = ρ + ρp ซึ่งข้อความข้างต้นตามว่าแหล่งที่มา (จม) ของเส้นเวกเตอร์ Е (เส้นแรงสนามไฟฟ้า) มีทั้งประจุอิสระและประจุที่ถูกผูกไว้ .

สมการที่สี่ของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบอินทิกรัลตรงกับกฎเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก ซึ่งสามารถกำหนดได้ดังนี้ การไหลของเวกเตอร์ B ผ่านพื้นผิวปิดใดๆ S เท่ากับศูนย์ นั่นคือ

.(1.46)

ซึ่งหมายความว่าไม่มีเส้นของเวกเตอร์ B ที่เข้าสู่พื้นผิวปิด S เท่านั้น (หรือในทางกลับกัน ออกจากพื้นผิว S เท่านั้น): พวกมันจะทะลุผ่านได้เสมอ (รูปที่ 1.9)

ข้าว. 1.9. เส้นของเวกเตอร์ B ทะลุพื้นผิว S

สมการ (1.46) เรียกว่า สมการที่สี่ของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบอินทิกรัลสามารถส่งผ่านไปยังรูปแบบอนุพันธ์ของสมการ (1.46) โดยใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss ในลักษณะเดียวกับที่ทำในกรณีของสมการ Maxwell ที่สาม เป็นผลให้เราได้รับ

divB = 0. (1.47)

สมการ (1.47) คือสมการที่สี่ของแมกซ์เวลล์ มันแสดงให้เห็นว่าในธรรมชาติไม่มีประจุแม่เหล็กเดียวที่มีเครื่องหมายเดียวกัน จากสมการนี้เส้นของเวกเตอร์ B (เส้นสนามของสนามแม่เหล็ก) จะต่อเนื่องกันจากสมการนี้

ในกรณีของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่อยู่กับที่ (ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) ซึ่งต้นกำเนิดจะสัมพันธ์กับประจุพักสำหรับสนามไฟฟ้าและกระแสคงที่สำหรับสนามแม่เหล็ก สนามเหล่านี้เป็นอิสระจากกัน ซึ่ง อนุญาตให้พิจารณาแยกจากกัน

สมการของแมกซ์เวลล์เป็นระบบสมการอธิบายธรรมชาติของแหล่งกำเนิดและคุณสมบัติของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก

สมการของแมกซ์เวลล์สำหรับสนามนิ่ง:

ทางนี้, สมการของแมกซ์เวลล์สำหรับสนามนิ่ง:

ฉัน.; ครั้งที่สอง ;

สาม.; IV. .

ลักษณะเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าสถิต และ สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ดังนี้

,

ที่ไหน คือค่าคงที่ทางไฟฟ้า  – ค่าความเป็นฉนวนของตัวกลาง

ลักษณะเวกเตอร์ของสนามแม่เหล็ก และ สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ดังนี้

,

ที่ไหน คือค่าคงที่แม่เหล็ก – การซึมผ่านของแม่เหล็กของตัวกลาง

หัวข้อที่ 8 สมการของแมกซ์เวลล์สำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

ตาม ทฤษฎีสนามแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ในกรณีของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่ไม่คงที่ (นั่นคือ แปรตามเวลา) แหล่งกำเนิดของสนามไฟฟ้าอาจเป็นได้ทั้งประจุไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กแปรผันตามเวลา และแหล่งกำเนิดของสนามแม่เหล็กสามารถเคลื่อนที่ได้ทั้ง ประจุไฟฟ้า (กระแสไฟฟ้า) หรือสนามไฟฟ้ากระแสสลับ

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากระแสสลับไม่ต่างจากสนามอยู่กับที่และถือเป็นสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

สมการของแมกซ์เวลล์เป็นระบบสมการอธิบายธรรมชาติของแหล่งกำเนิดและคุณสมบัติของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก เมื่อไร สนามแม่เหล็กไฟฟ้าดูเหมือน:

ฉัน.
นั่นคือการไหลเวียนของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าถูกกำหนดโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็ก ( อัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์เหนี่ยวนำ ).

สมการนี้แสดงให้เห็นว่าแหล่งกำเนิดของสนามไฟฟ้าไม่เพียงแต่เป็นประจุไฟฟ้าเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสนามแม่เหล็กที่แปรผันตามเวลาด้วย

II.
นั่นคือฟลักซ์ของเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้า ผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ สเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของประจุที่อยู่ในปริมาตร วีล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิดที่กำหนด ส ( คือความหนาแน่นของประจุจำนวนมาก)

สาม.
นั่นคือการไหลเวียนของเวกเตอร์ความเข้ม ตามรูปร่างปิดโดยพลการ หลี่ กำหนดโดยกระแสรวม ฉัน เต็มเจาะพื้นผิว สล้อมรอบด้วยเส้นขอบที่กำหนด หลี่.

-เต็มปัจจุบัน ฉัน เต็มซึ่งประกอบด้วยการนำกระแส ฉัน และ อคติปัจจุบัน ฉัน ซม., นั่นคือ ฉัน เต็ม = ฉัน + ฉัน ซม. .

การนำไฟฟ้าทั้งหมดในปัจจุบัน ฉันถูกกำหนดในกรณีทั่วไปผ่านความหนาแน่นกระแสพื้นผิว เจ (
) บูรณาการ นั่นคือ

.

อคติปัจจุบัน ฉัน ซมเจาะพื้นผิว ส, ถูกกำหนดโดยทั่วไป

กรณีผ่านความหนาแน่นกระแสอคติพื้นผิว
(
) การบูรณาการ กล่าวคือ
.

แนวคิดของ "displacement current" ที่ Maxwell นำเสนอ ค่าที่กำหนดโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้า นั่นก็คือค่า แสดงให้เห็นว่าสนามแม่เหล็กสามารถตื่นเต้นได้ไม่เพียงแค่ประจุเคลื่อนที่ (กระแสนำไฟฟ้า) แต่ยังเกิดจากการสลับสนามไฟฟ้าด้วย

IV.
นั่นคือการไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำ สนามแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ สเท่ากับศูนย์

การแนะนำแนวคิดของกระแสการกระจัดโดย Maxwell นำไปสู่ความสมบูรณ์ของทฤษฎีมหภาคของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่เขาสร้างขึ้น ซึ่งช่วยให้จากมุมมองที่เป็นหนึ่งเดียวกันสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าและแม่เหล็กไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังทำนายปรากฏการณ์ใหม่อีกด้วย การมีอยู่ซึ่งได้รับการยืนยันในภายหลัง

ทฤษฎีของแมกซ์เวลล์อยู่บนพื้นฐานของสมการ 4 สมการ:

1. สนามไฟฟ้าสามารถเป็นได้ทั้งศักย์ไฟฟ้าและกระแสน้ำวน ดังนั้นความแรงของสนามไฟฟ้าที่ได้คือ:

สมการนี้แสดงว่า สนามแม่เหล็กนั้นสามารถตื่นเต้นได้โดยการเคลื่อนที่ของประจุ (กระแสไฟฟ้า) หรือโดยการสลับสนามไฟฟ้า

3. ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับภาคสนาม:

เราได้รับ

ดังนั้น ระบบสมบูรณ์ของสมการของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบอินทิกรัล:

	1),
	2),

ปริมาณที่รวมอยู่ในสมการของแมกซ์เวลล์ไม่เป็นอิสระและมีความเชื่อมโยงระหว่างกัน

สำหรับสื่อไอโซโทรปิก ที่ไม่ใช่เฟอโรอิเล็กทริก และไม่ใช่เฟอร์โรแมกเนติก เราเขียนสูตรการเชื่อมต่อ:

	ข) ,
	ใน) ,

โดยที่ค่าคงที่ทางไฟฟ้าคือค่าคงที่แม่เหล็ก

ค่าความเป็นฉนวนของตัวกลาง m - การซึมผ่านของแม่เหล็กของตัวกลาง

r - ความต้านทานไฟฟ้า - การนำไฟฟ้า

จากสมการของแมกซ์เวลล์ว่า อะไร:

แหล่งที่มาของสนามไฟฟ้าอาจเป็นประจุไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ซึ่งสามารถกระตุ้นได้โดยการเคลื่อนประจุไฟฟ้า (กระแส) หรือโดยการสลับสนามไฟฟ้า

สมการของแมกซ์เวลล์ไม่สมมาตรเมื่อเทียบกับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก เนื่องจากไม่มีประจุแม่เหล็กในธรรมชาติ

ถ้า และ (ฟิลด์คงที่) สมการของแมกซ์เวลล์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

แหล่งกำเนิดของสนามไฟฟ้านิ่งเป็นเพียงประจุไฟฟ้า แหล่งกำเนิดของสนามแม่เหล็กนิ่งเป็นเพียงกระแสนำไฟฟ้า .

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กในกรณีนี้เป็นอิสระจากกัน ซึ่งทำให้สามารถศึกษาสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กคงที่แยกกันได้

รูปแบบเชิงอนุพันธ์ของการเขียนสมการของแมกซ์เวลล์:

	3) ,

รูปแบบอินทิกรัลของสมการของแมกซ์เวลล์จะเป็นแบบทั่วไปมากขึ้นหากมีพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่องกัน รูปแบบความแตกต่างของการเขียนสมการของแมกซ์เวลล์ถือว่าปริมาณทั้งหมดในอวกาศและเวลาเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง

สมการของแมกซ์เวลล์เป็นสมการทั่วไปที่สุดสำหรับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กในตัวกลางที่อยู่นิ่ง พวกมันมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าเช่นเดียวกับกฎของนิวตันในกลศาสตร์ จากสมการของแมกซ์เวลล์พบว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากระแสสลับมักสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้ากระแสสลับ และสนามไฟฟ้ากระแสสลับจะสัมพันธ์กับสนามแม่เหล็กที่เกิดจากสนามแม่เหล็กเสมอ กล่าวคือ สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก - ก่อตัวเป็นสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเดียว

คุณสมบัติของสมการแมกซ์เวลล์

สมการของแมกซ์เวลล์เป็นแบบเส้นตรง ประกอบด้วยอนุพันธ์อันดับ 1 ของสนาม E และ B ที่สัมพันธ์กับเวลาและพิกัดเชิงพื้นที่ และระดับความหนาแน่นแรกของประจุไฟฟ้าและกระแส j คุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงของสมการของแมกซ์เวลล์เชื่อมโยงกับหลักการของการทับซ้อน หากสองเขตข้อมูลใดเป็นไปตามสมการของแมกซ์เวลล์ สิ่งนี้ก็จะนำไปใช้กับผลรวมของเขตข้อมูลเหล่านี้ด้วย

สมการของแมกซ์เวลล์ประกอบด้วยสมการความต่อเนื่องที่แสดงกฎการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า เพื่อให้ได้สมการความต่อเนื่อง จำเป็นต้องหาไดเวอร์เจนซ์จากทั้งสองส่วนของสมการแรกของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล:

สมการของแมกซ์เวลล์ใช้ได้ในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย พวกมันไม่แปรเปลี่ยนสัมพัทธภาพ นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากหลักการสัมพัทธภาพ ซึ่งกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดมีค่าเท่ากันทางกายภาพ รูปแบบของสมการของแมกซ์เวลล์ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง แต่ปริมาณที่รวมอยู่ในนั้นจะถูกแปลงตามกฎเกณฑ์บางประการ เหล่านั้น. สมการของแมกซ์เวลล์เป็นสมการสัมพัทธภาพที่ถูกต้อง ไม่เหมือนกับสมการกลศาสตร์ของนิวตัน

สมการของแมกซ์เวลล์ไม่สมมาตรเมื่อเทียบกับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในธรรมชาติมีประจุไฟฟ้าอยู่ แต่ประจุแม่เหล็กไม่มี

ข้อสรุปที่สำคัญดังต่อไปนี้จากสมการของแมกซ์เวลล์เกี่ยวกับการมีอยู่ของปรากฏการณ์ใหม่โดยพื้นฐาน: สนามแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถดำรงอยู่อย่างอิสระ - โดยไม่มีประจุไฟฟ้าและกระแส ในเวลาเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงจำเป็นต้องมีลักษณะของคลื่น สนามประเภทนี้เรียกว่าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในสุญญากาศ พวกมันแพร่กระจายด้วยความเร็วแสงเสมอ ทฤษฎีของแมกซ์เวลล์ทำนายการมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าและทำให้สามารถกำหนดคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดได้