สมการที่อธิบายการสั่นของฮาร์มอนิก การเคลื่อนที่แบบสั่น

แปรผันตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์:

ที่ไหน เอ็กซ์- มูลค่าของปริมาณที่ผันผวน ณ ขณะนั้น ที, ก- แอมพลิจูด ω - ความถี่วงกลม φ — ระยะเริ่มต้นของการสั่น ( φt + φ ) - การแกว่งแบบเต็มเฟส ขณะเดียวกันก็มีคุณค่า ก, ω และ φ - ถาวร.

สำหรับการสั่นสะเทือนทางกลที่มีขนาดผันผวน เอ็กซ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจัดและความเร็วสำหรับการสั่นสะเทือนทางไฟฟ้า - แรงดันและกระแส

การแกว่งของฮาร์มอนิกครอบครองสถานที่พิเศษในบรรดาการแกว่งทุกประเภท เนื่องจากนี่เป็นการแกว่งประเภทเดียวที่รูปร่างไม่บิดเบี้ยวเมื่อผ่านตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ คลื่นที่แพร่กระจายจากแหล่งกำเนิดของการสั่นของฮาร์มอนิกก็จะเป็นแบบฮาร์มอนิกเช่นกัน การสั่นแบบไม่ฮาร์มอนิกใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวม (จำนวนเต็ม) ของการสั่นแบบฮาร์มอนิกต่างๆ (ในรูปของสเปกตรัมของการสั่นแบบฮาร์มอนิก)

การเปลี่ยนแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

ในระหว่างกระบวนการออสซิลเลชัน การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์เกิดขึ้น วพีถึงจลน์ศาสตร์ สัปดาห์และในทางกลับกัน ที่ตำแหน่งเบี่ยงเบนสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์คือสูงสุด พลังงานจลน์เป็นศูนย์ เมื่อมันกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ความเร็วของตัวการสั่นจะเพิ่มขึ้น และพลังงานจลน์ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน โดยถึงจุดสูงสุดในตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์ลดลงเหลือศูนย์ การเคลื่อนไหวเพิ่มเติมจะเกิดขึ้นพร้อมกับความเร็วที่ลดลง ซึ่งจะลดลงเหลือศูนย์เมื่อการโก่งตัวถึงค่าสูงสุดที่สอง พลังงานศักย์ที่นี่จะเพิ่มขึ้นเป็นค่าเริ่มต้น (สูงสุด) (ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน) ดังนั้น การแกว่งของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จึงเกิดขึ้นด้วยความถี่เป็นสองเท่า (เมื่อเทียบกับการแกว่งของลูกตุ้มเอง) และอยู่ในแอนติเฟส (กล่าวคือ มีการเปลี่ยนเฟสระหว่างความถี่ทั้งสองเท่ากับ π - พลังงานการสั่นสะเทือนทั้งหมด วยังคงไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับวัตถุที่แกว่งไปมาภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น จะเท่ากับ:

ที่ไหน วี ม— ความเร็วสูงสุดของร่างกาย (ในตำแหน่งสมดุล) x ม. = ก- แอมพลิจูด

เนื่องจากการมีอยู่ของแรงเสียดทานและความต้านทานของตัวกลาง การสั่นสะเทือนอิสระจึงลดทอนลง: พลังงานและแอมพลิจูดของพวกมันจะลดลงเมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้นในทางปฏิบัติ ออสซิลเลชันแบบบังคับจึงมักใช้มากกว่าแบบอิสระ

เราตรวจสอบระบบที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงทางกายภาพหลายระบบ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการการเคลื่อนที่ถูกลดทอนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน

ความแตกต่างระหว่างระบบทางกายภาพจะปรากฏเฉพาะในคำจำกัดความที่ต่างกันของปริมาณเท่านั้น และความรู้สึกทางกายภาพที่แตกต่างกันของตัวแปร x: นี่อาจเป็นพิกัด มุม ประจุ กระแส ฯลฯ โปรดทราบว่าในกรณีนี้ จากโครงสร้างสมการ (1.18) ต่อไปนี้ ปริมาณจะมีมิติของเวลาผกผันเสมอ

สมการ (1.18) อธิบายสิ่งที่เรียกว่า การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก.

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก (1.18) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง (เนื่องจากมีอนุพันธ์อันดับสองของตัวแปร x). ความเป็นเส้นตรงของสมการหมายความว่าอย่างนั้น

ถ้าฟังก์ชั่นบางอย่าง เอ็กซ์(ที)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วก็ฟังก์ชัน ซีเอ็กซ์(ที)จะเป็นทางออกของเขาด้วย ( ค– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ);

ถ้าฟังก์ชั่น x 1(ท)และ x 2(ท)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วจึงผลรวม x 1 (เสื้อ) + x 2 (เสื้อ)จะเป็นคำตอบของสมการเดียวกันด้วย

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ยังได้รับการพิสูจน์แล้ว โดยสมการอันดับสองมีคำตอบที่เป็นอิสระสองข้อ สารละลายอื่นๆ ทั้งหมดตามคุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นสามารถหาได้จากผลรวมเชิงเส้น ง่ายต่อการตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์โดยตรงว่าฟังก์ชันอิสระและเป็นไปตามสมการ (1.18) ซึ่งหมายความว่าคำตอบทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบดังนี้

ที่ไหน ค 1ค 2- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ วิธีนี้สามารถนำเสนอในรูปแบบอื่นได้ มาใส่ค่ากัน

และกำหนดมุมตามความสัมพันธ์:

จากนั้นคำตอบทั่วไป (1.19) เขียนเป็น

ตามสูตรตรีโกณมิติ นิพจน์ในวงเล็บจะเท่ากับ

ในที่สุดเราก็มาถึง คำตอบทั่วไปของสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกในรูปแบบ:

ค่าที่ไม่เป็นลบ กเรียกว่า แอมพลิจูดการสั่นสะเทือน, - ระยะเริ่มต้นของการสั่น. อาร์กิวเมนต์โคไซน์ทั้งหมด - การรวมกัน - เรียกว่า เฟสการสั่น.

นิพจน์ (1.19) และ (1.23) เทียบเท่ากันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นเราจึงสามารถใช้นิพจน์ใดก็ได้ โดยพิจารณาจากความเรียบง่าย คำตอบทั้งสองเป็นฟังก์ชันคาบของเวลา อันที่จริงไซน์และโคไซน์นั้นมีคาบเป็นคาบ . ดังนั้น สถานะต่างๆ ของระบบที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง เสื้อ*ซึ่งในระหว่างนั้นเฟสการสั่นจะได้รับการเพิ่มขึ้นซึ่งเป็นผลคูณของ :

มันเป็นไปตามนั้น

อย่างน้อยครั้งนี้

เรียกว่า ระยะเวลาของการสั่น (รูปที่ 1.8) และ - ของเขา วงกลม (วงจร) ความถี่.

ข้าว. 1.8.

พวกเขายังใช้ ความถี่ ความผันผวน

ดังนั้น ความถี่วงกลมจึงเท่ากับจำนวนการแกว่งต่อ วินาที

ดังนั้นหากระบบในขณะนั้น ทีโดดเด่นด้วยค่าของตัวแปร x(เสื้อ)จากนั้นตัวแปรจะมีค่าเท่ากันหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (รูปที่ 1.9) กล่าวคือ

ความหมายเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นซ้ำตามธรรมชาติเมื่อเวลาผ่านไป 2ต, ซีทีฯลฯ

ข้าว. 1.9. ระยะเวลาการสั่น

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปประกอบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจสองตัว ( ค 1, ค 2หรือ ก, ก) ค่าที่ต้องถูกกำหนดโดยสอง เงื่อนไขเริ่มต้น. โดยปกติ (แต่ไม่จำเป็น) บทบาทของพวกเขาจะเล่นตามค่าเริ่มต้นของตัวแปร x(0)และอนุพันธ์ของมัน

ลองยกตัวอย่าง ให้คำตอบ (1.19) ของสมการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสปริง ค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจขึ้นอยู่กับวิธีที่เรานำลูกตุ้มออกจากสมดุล เช่น เราดึงสปริงไปไกลๆ และปล่อยบอลโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น ในกรณีนี้

การทดแทน เสื้อ = 0ใน (1.19) เราจะหาค่าของค่าคงที่ ค 2

วิธีแก้ปัญหาจึงมีลักษณะดังนี้:

เราค้นหาความเร็วของโหลดโดยการแยกส่วนตามเวลา

เข้ามาทดแทนที่นี่. ที = 0 จงหาค่าคงที่ ค 1:

ในที่สุด

เมื่อเปรียบเทียบกับ (1.23) เราจะพบว่า คือแอมพลิจูดของการแกว่ง และเฟสเริ่มต้นคือศูนย์:

ให้เราทำให้ลูกตุ้มสมดุลในอีกทางหนึ่ง ลองตีโหลดเพื่อให้ได้ความเร็วเริ่มต้น แต่ในทางปฏิบัติแล้วจะไม่เคลื่อนที่ระหว่างการกระแทก จากนั้นเราก็มีเงื่อนไขเริ่มต้นอื่นๆ:

โซลูชันของเราดูเหมือน

ความเร็วของการโหลดจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย:

มาแทนที่ที่นี่:

การเคลื่อนไหวที่มีระดับการทำซ้ำต่างกันเรียกว่า ความผันผวน

หากค่าของปริมาณทางกายภาพที่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนไหวถูกทำซ้ำในช่วงเวลาที่เท่ากัน การเคลื่อนไหวดังกล่าวจะถูกเรียก เป็นระยะๆ ขึ้นอยู่กับลักษณะทางกายภาพของกระบวนการออสซิลเลชัน การสั่นทางกลและแม่เหล็กไฟฟ้าจะแตกต่างกัน ตามวิธีการกระตุ้น การสั่นสะเทือนแบ่งออกเป็น: ฟรี(ของตัวเอง) เกิดขึ้นในระบบที่แสดงตัวมันเองใกล้กับตำแหน่งสมดุลหลังจากการกระแทกครั้งแรก ถูกบังคับ– เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลภายนอกเป็นระยะ

เงื่อนไขสำหรับการเกิดขึ้นของการแกว่งอย่างอิสระ: ก) เมื่อวัตถุถูกย้ายออกจากตำแหน่งสมดุล แรงจะต้องเกิดขึ้นในระบบและมีแนวโน้มที่จะกลับสู่ตำแหน่งสมดุล b) แรงเสียดทานในระบบจะต้องมีน้อยเพียงพอ

ก แอมพลิจูด A คือโมดูลัสของการเบี่ยงเบนสูงสุดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล

การสั่นของจุดที่เกิดขึ้นกับแอมพลิจูดคงที่เรียกว่า ไม่ทำให้ชื้น, และการแกว่งโดยแอมพลิจูดจะค่อยๆ ลดลง – ซีดจาง

เรียกว่าเวลาที่เกิดการสั่นโดยสมบูรณ์ ระยะเวลา(ท).

ความถี่ การสั่นเป็นคาบคือจำนวนการสั่นที่สมบูรณ์ที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา:

หน่วยความถี่การสั่นสะเทือน - เฮิรตซ์(เฮิร์ตซ์) เฮิรตซ์คือความถี่ของการสั่นซึ่งมีคาบเท่ากับ 1 วินาที: 1 เฮิร์ตซ์ = 1 วินาที –1

วงจรหรือ ความถี่วงกลมการแกว่งเป็นคาบคือจำนวนการแกว่งที่สมบูรณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง 2p ด้วย: . = ราด/วินาที

ฮาร์มอนิก- สิ่งเหล่านี้เป็นการแกว่งที่อธิบายโดยกฎเป็นระยะ:

หรือ (1)

โดยที่ คือปริมาณที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ (การกระจัด ความเร็ว แรง ฯลฯ) A คือแอมพลิจูด

ระบบที่กฎการเคลื่อนที่มีรูปแบบ (1) เรียกว่า ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก - อาร์กิวเมนต์ไซน์หรือโคไซน์ เรียกว่า เฟสการสั่นเฟสของการสั่นจะกำหนดการกระจัดที่เวลา t ระยะเริ่มแรกจะกำหนดการกระจัดของร่างกาย ณ เวลาที่เริ่มจับเวลา

พิจารณาการชดเชย xตัวที่สั่นเมื่อเทียบกับตำแหน่งสมดุลของมัน สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

อนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวลาแสดงถึงความเร็วของการเคลื่อนไหวของร่างกาย: ; (2)

ความเร็วถึงค่าสูงสุด ณ เวลาที่ =1: - การกระจัดของจุดในขณะนี้เร็วถึงศูนย์ =0 (รูปที่ 17.1, ข).

ความเร่งยังเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎฮาร์มอนิก:

โดยที่ค่าความเร่งสูงสุดคือ เครื่องหมายลบหมายความว่าความเร่งมีทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด กล่าวคือ ความเร่งและการกระจัดที่เปลี่ยนแปลงในแอนติเฟส (รูปที่ 17.1 วี- จะเห็นได้ว่าความเร็วถึงค่าสูงสุดเมื่อจุดที่แกว่งผ่านตำแหน่งสมดุล ในขณะนี้ การกระจัดและความเร่งเป็นศูนย์

1.18. การสั่นสะเทือนของฮาร์โมนิกและลักษณะเฉพาะของพวกมัน

คำจำกัดความของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ลักษณะเฉพาะของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก: การกระจัดจากตำแหน่งสมดุล แอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน เฟสของการออสซิลเลชัน ความถี่และคาบการออสซิลเลชัน ความเร็วและความเร่งของจุดสั่น พลังงานของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก ตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก: ทางคณิตศาสตร์ สปริง แรงบิด และกายภาพ ลูกตุ้มจีน

อะคูสติก วิศวกรรมวิทยุ ออพติก และวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีสาขาอื่นๆ มีพื้นฐานมาจากการศึกษาการแกว่งและคลื่น ทฤษฎีการสั่นสะเทือนมีบทบาทสำคัญในกลศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการคำนวณกำลังของเครื่องบิน สะพาน ตลอดจนเครื่องจักรและส่วนประกอบบางประเภท

การสั่น เป็นกระบวนการที่ทำซ้ำในช่วงเวลาสม่ำเสมอ (และไม่ใช่ทุกกระบวนการที่ทำซ้ำจะเกิดการแกว่ง!) ขึ้นอยู่กับลักษณะทางกายภาพของกระบวนการทำซ้ำ การสั่นสะเทือนจะแตกต่างกันระหว่างเครื่องกล แม่เหล็กไฟฟ้า เครื่องกลไฟฟ้า ฯลฯ ในระหว่างการสั่นสะเทือนทางกล ตำแหน่งและพิกัดของวัตถุจะเปลี่ยนไปเป็นระยะ

กำลังฟื้นฟู - แรงภายใต้อิทธิพลของกระบวนการสั่นที่เกิดขึ้น แรงนี้มีแนวโน้มที่จะทำให้วัตถุหรือจุดวัตถุซึ่งเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งที่เหลือกลับสู่ตำแหน่งเดิม

ขึ้นอยู่กับลักษณะของอิทธิพลที่มีต่อตัวสั่น ความแตกต่างเกิดขึ้นระหว่างการสั่นสะเทือนอิสระ (หรือตามธรรมชาติ) และการสั่นสะเทือนแบบบังคับ

ขึ้นอยู่กับลักษณะของผลกระทบต่อระบบการสั่น การสั่นแบบอิสระ การสั่นแบบบังคับ การสั่นในตัวเอง และการสั่นแบบพารามิเตอร์ มีความแตกต่างกัน

ฟรี (เป็นเจ้าของ) การสั่นคือการสั่นที่เกิดขึ้นในระบบทิ้งไว้กับตัวเองหลังจากถูกผลักหรือถูกลบออกจากตำแหน่งสมดุล กล่าวคือ

· เมื่อแรงกลับคืนมาเท่านั้นที่กระทำต่อตัวการสั่น ตัวอย่างคือการสั่นของลูกบอลที่แขวนอยู่บนเส้นด้าย เพื่อทำให้เกิดการสั่นสะเทือน คุณต้องดันลูกบอลหรือเลื่อนไปด้านข้างแล้วปล่อย ในกรณีที่ไม่มีการกระจายพลังงาน การแกว่งอิสระจะไม่ถูกทำให้หมาด อย่างไรก็ตาม กระบวนการสั่นจริงนั้นถูกทำให้หมาด ๆ เนื่องจาก ตัวที่สั่นนั้นอยู่ภายใต้แรงต้านทานการเคลื่อนที่ (ส่วนใหญ่เป็นแรงเสียดทาน) บังคับ

· เรียกว่าการสั่นดังกล่าว ซึ่งในระหว่างนั้นระบบการสั่นจะสัมผัสกับแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ๆ (เช่น การสั่นของสะพานที่เกิดขึ้นเมื่อมีคนเดินไปตามสะพานนั้น, เดินเป็นขั้น ๆ ) ในหลายกรณี ระบบจะเกิดการสั่นซึ่งถือได้ว่าเป็นฮาร์มอนิก , การสั่นด้วยตนเอง

· เช่นเดียวกับการสั่นแบบบังคับ สิ่งเหล่านี้จะมาพร้อมกับอิทธิพลของแรงภายนอกที่มีต่อระบบการสั่น อย่างไรก็ตาม ช่วงเวลาที่อิทธิพลเหล่านี้เกิดขึ้นนั้นถูกกำหนดโดยระบบการสั่นเอง การแกว่งเกิดขึ้นเมื่อพารามิเตอร์ของระบบการสั่นเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ (บุคคลที่แกว่งบนวงสวิงจะยกและลดจุดศูนย์ถ่วงเป็นระยะ ๆ ซึ่งจะเป็นการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบ) ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ระบบจะไม่เสถียร - การเบี่ยงเบนแบบสุ่มจากตำแหน่งสมดุลนำไปสู่การเกิดขึ้นและการแกว่งที่เพิ่มขึ้น

ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการกระตุ้นแบบพาราเมตริกของการแกว่ง (เช่น การแกว่งจะตื่นเต้นโดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบ) และการสั่นนั้นเรียกว่าพาราเมตริก แม้จะมีลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน แต่การสั่นสะเทือนก็มีรูปแบบเดียวกันซึ่งศึกษาโดยวิธีการทั่วไป ลักษณะทางจลนศาสตร์ที่สำคัญคือรูปร่างของการสั่นสะเทือน ถูกกำหนดโดยประเภทของฟังก์ชันเวลาที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงของปริมาณทางกายภาพอย่างใดอย่างหนึ่งระหว่างการแกว่ง ความผันผวนที่สำคัญที่สุดคือความผันผวนที่ปริมาณที่ผันผวนเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ - พวกเขาถูกเรียกว่า .

ฮาร์มอนิกการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

เรียกว่าการสั่นซึ่งปริมาณทางกายภาพของการสั่นเปลี่ยนแปลงไปตามกฎของไซน์ (หรือโคไซน์)

การแกว่งประเภทนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ประการแรก การสั่นสะเทือนในธรรมชาติและเทคโนโลยีมักจะมีลักษณะที่ใกล้เคียงกับฮาร์โมนิคมาก ประการที่สอง กระบวนการที่เป็นคาบของรูปแบบที่แตกต่างกัน (โดยขึ้นอยู่กับเวลาที่แตกต่างกัน) สามารถแสดงเป็นการวางซ้อนหรือการซ้อนทับของการสั่นของฮาร์มอนิกได้

สมการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

การสั่นของฮาร์มอนิกอธิบายโดยกฎคาบ:

ข้าว. 18.1. การสั่นแบบฮาร์มอนิก

ซี
ที่นี่ - มีลักษณะ เปลี่ยน ก - ปริมาณทางกายภาพใดๆ ในระหว่างการแกว่ง (การแทนที่ตำแหน่งของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล แรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุในวงจรออสซิลเลเตอร์ ฯลฯ) ,
- แอมพลิจูดการสั่นสะเทือน , - เฟสการสั่น ,
- ระยะเริ่มแรก ความถี่วงจร
- ขนาด เรียกอีกอย่างว่า เป็นเจ้าของ ความถี่ของการสั่น ชื่อนี้เน้นว่าความถี่นี้ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ของระบบออสซิลเลเตอร์ ระบบที่กฎการเคลื่อนที่มีรูปแบบ (18.1) เรียกว่า ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกหนึ่งมิติ - นอกเหนือจากปริมาณที่ระบุไว้แล้ว แนวคิดของ ระยะเวลา

, เช่น. เวลาของการสั่นหนึ่งครั้ง (ช่วงการสั่น ต

และ เรียกว่าช่วงเวลาที่สั้นที่สุด หลังจากนั้นสถานะของระบบการสั่นจะถูกทำซ้ำ (การสั่นที่สมบูรณ์หนึ่งครั้งเสร็จสมบูรณ์) และระยะการสั่นจะเพิ่มขึ้น 2p)
ซึ่งกำหนดจำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลา หน่วยความถี่คือความถี่ของการสั่นซึ่งมีคาบ 1 วินาที หน่วยนี้มีชื่อว่า เฮิรตซ์ (เฮิรตซ์ ).

ความถี่การสั่นn คือส่วนกลับของคาบการสั่น - จำนวนการสั่นที่สมบูรณ์ที่ทำต่อหน่วยเวลา

แอมพลิจูด- ค่าสูงสุดของการกระจัดหรือการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรระหว่างการแกว่งหรือการเคลื่อนที่ของคลื่น

เฟสการสั่น- อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันคาบหรืออธิบายกระบวนการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก (ω - ความถี่เชิงมุม ที- เวลา - ระยะเริ่มต้นของการแกว่ง นั่นคือ ระยะของการแกว่ง ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น ที = 0).

อนุพันธ์ของครั้งแรกและครั้งที่สองของปริมาณการสั่นแบบฮาร์มอนิกยังทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกในความถี่เดียวกันด้วย:

ในกรณีนี้จะใช้สมการของการแกว่งฮาร์มอนิกที่เขียนตามกฎโคไซน์เป็นพื้นฐาน ในกรณีนี้ สมการแรกของสมการ (18.2) อธิบายกฎตามที่ความเร็วของจุดวัสดุที่มีการสั่น (วัตถุ) เปลี่ยนไป สมการที่สองอธิบายกฎตามที่ความเร่งของจุดการสั่น (วัตถุ) เปลี่ยนแปลงไป

แอมพลิจูด
และ
เท่ากันตามลำดับ
และ
- ความลังเล
ข้างหน้า
ในระยะโดย ; และความลังเล
ข้างหน้า
บน - ค่านิยม กและ สามารถกำหนดได้จากเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
และ
:

,
. (18.3)

พลังงานของการสั่นของออสซิลเลเตอร์

ป

ข้าว. 18.2.

ลูกตุ้มสปริง ตอนนี้เรามาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้น . พลังงานการสั่นสะเทือน เป็นตัวอย่างของการสั่นแบบฮาร์มอนิก ให้พิจารณาการสั่นแบบหนึ่งมิติที่ทำโดยตัวมวล ม ภายใต้อิทธิพล ยืดหยุ่น
ความแข็งแกร่ง (เช่น ลูกตุ้มสปริง ดูรูปที่ 18.2) แรงที่มีลักษณะแตกต่างจากความยืดหยุ่น แต่เรียกว่าเป็นไปตามเงื่อนไข F = -kxกึ่งยืดหยุ่น

ภายใต้อิทธิพลของแรงเหล่านี้ ร่างกายก็ทำการสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิกด้วย อนุญาต:
อคติ:
ความเร็ว:

การเร่งความเร็ว:
เหล่านั้น. สมการของการแกว่งดังกล่าวมีรูปแบบ (18.1) ที่มีความถี่ธรรมชาติ - แรงกึ่งยืดหยุ่นคือ . ซึ่งอนุรักษ์นิยม ดังนั้นพลังงานรวมของการแกว่งฮาร์มอนิกดังกล่าวจะต้องคงที่ ในระหว่างกระบวนการออสซิลเลชัน พลังงานจลน์จะถูกแปลง อีถึง ดังนั้นพลังงานรวมของการแกว่งฮาร์มอนิกดังกล่าวจะต้องคงที่ ในระหว่างกระบวนการออสซิลเลชัน พลังงานจลน์จะถูกแปลง สู่ศักยภาพ n

และในทางกลับกัน และในช่วงเวลาที่มีการเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลมากที่สุด พลังงานทั้งหมดจะเท่ากับค่าสูงสุดของพลังงานศักย์ และเมื่อระบบผ่านตำแหน่งสมดุล พลังงานทั้งหมดจะเท่ากับค่าสูงสุด ของพลังงานจลน์ มาดูกันว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป:

พลังงานจลน์:

(18.5)

พลังงานศักย์:

ดังนั้นพลังงานรวมของการสั่นของฮาร์มอนิกจึงมีค่าคงที่ จากความสัมพันธ์ (18.4) และ (18.5) ตามมาด้วยว่าค่าเฉลี่ยของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์มีค่าเท่ากันและครึ่งหนึ่งของพลังงานทั้งหมดเนื่องจากค่าเฉลี่ย
และ
ต่องวดเท่ากับ 0.5 เมื่อใช้สูตรตรีโกณมิติ เราจะพบว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์เปลี่ยนแปลงตามความถี่
, เช่น. โดยมีความถี่เป็นสองเท่าของความถี่ของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

ตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกได้แก่ ลูกตุ้มสปริง ลูกตุ้มทางกายภาพ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ และลูกตุ้มบิด

1. ลูกตุ้มสปริง- นี่คือภาระของมวล m ซึ่งแขวนอยู่บนสปริงที่ยืดหยุ่นอย่างยิ่งและทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น F = –kx โดยที่ k คือความแข็งของสปริง สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มมีรูปแบบ หรือ (18.8) จากสูตร (18.8) เป็นไปตามที่ลูกตุ้มสปริงทำการแกว่งฮาร์มอนิกตามกฎ x = Ас(ω 0 t+φ) ด้วยความถี่ไซคลิก

(18.9) และระยะเวลา

(18.10) สูตร (18.10) เป็นจริงสำหรับการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นภายในขอบเขตที่เป็นไปตามกฎของฮุค กล่าวคือ ถ้ามวลของสปริงมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย พลังงานศักย์ของลูกตุ้มสปริงโดยใช้ (18.9) และสูตรพลังงานศักย์ของหัวข้อที่แล้ว มีค่าเท่ากับ (ดู 18.5)

2. ลูกตุ้มทางกายภาพเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งไปมาภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงรอบแกนนอนคงที่ซึ่งผ่านจุด O ซึ่งไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางมวล C ของร่างกาย (รูปที่ 1)

มะเดื่อ 18.3 ลูกตุ้มทางกายภาพ

หากลูกตุ้มถูกเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุม α จากนั้นใช้สมการพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง โมเมนต์ M ของแรงคืนสภาพ (18.11) โดยที่ J คือโมเมนต์ความเฉื่อยของ ลูกตุ้มสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดแขวน O, l คือระยะห่างระหว่างแกนและศูนย์กลางของมวลของลูกตุ้ม, F τ θ –mgsinα µ – –mgα คือแรงฟื้นฟู (เครื่องหมายลบบ่งชี้ว่าทิศทางของ F τ และ α อยู่ตรงข้ามกันเสมอ sinα γ α เนื่องจากการแกว่งของลูกตุ้มถือว่าเล็ก เช่น ลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุมเล็ก ๆ เราเขียนสมการ (18.11) เป็น

หรือการรับ (18.12) เราได้สมการ

เหมือนกับ (18.8) ซึ่งจะพบคำตอบและเขียนเป็น:

(18.13) จากสูตร (18.13) ตามมาว่าด้วยการแกว่งเล็กน้อย ลูกตุ้มทางกายภาพจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยความถี่ไซคลิก ω 0 และคาบ

(18.14) โดยที่ค่า L=J/(m ล- จุด O" บนความต่อเนื่องของระบบปฏิบัติการเส้นตรงซึ่งอยู่ที่ระยะทางตามความยาวที่กำหนด L จากจุด O ของระบบกันสะเทือนลูกตุ้มเรียกว่า ศูนย์สวิงลูกตุ้มทางกายภาพ (รูปที่ 18.3) เราพบการใช้ทฤษฎีบทของสไตเนอร์กับโมเมนต์ความเฉื่อยของแกน

นั่นคือ OO" มีค่ามากกว่า OS เสมอ จุดกันสะเทือน O ของลูกตุ้มและจุดศูนย์กลางการแกว่ง O" มี ทรัพย์สินที่สามารถทดแทนกันได้: หากจุดกันสะเทือนถูกย้ายไปยังจุดศูนย์กลางของการแกว่ง จุดกันสะเทือนก่อนหน้า O จะเป็นจุดศูนย์กลางของการแกว่งใหม่ และคาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพจะไม่เปลี่ยนแปลง

3. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์เป็นระบบอุดมคติที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่มีมวล m ซึ่งแขวนอยู่บนเส้นด้ายไร้น้ำหนักที่ยืดออกไม่ได้ และแกว่งไปมาภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง การประมาณที่ดีของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือลูกบอลหนักขนาดเล็กที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายเส้นบางยาว โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

(8) ที่ไหน ล- ความยาวของลูกตุ้ม

เนื่องจากลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษของลูกตุ้มทางกายภาพ ถ้าเราถือว่ามวลทั้งหมดมีความเข้มข้นที่จุดหนึ่งซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางมวล จากนั้นเมื่อแทน (8) ลงใน (7) เราจะพบนิพจน์สำหรับคาบนั้น ของการสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (18.15) เมื่อเปรียบเทียบสูตร (18.13 ) และ (18.15) เราจะเห็นว่าถ้าความยาวที่ลดลง L ของลูกตุ้มทางกายภาพเท่ากับความยาว ลลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ คาบการสั่นของลูกตุ้มเหล่านี้จะเท่ากัน วิธี, ลดความยาวของลูกตุ้มทางกายภาพ- นี่คือความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีคาบการสั่นเกิดขึ้นพร้อมกับคาบการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพที่กำหนด สำหรับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (จุดวัสดุที่มีมวล เป็นตัวอย่างของการสั่นแบบฮาร์มอนิก ให้พิจารณาการสั่นแบบหนึ่งมิติที่ทำโดยตัวมวลห้อยอยู่บนเส้นด้ายที่ยืดยาวไร้น้ำหนักได้ ลในสนามแรงโน้มถ่วงที่มีความเร่งอิสระตกเท่ากับ ก) ที่มุมเบี่ยงเบนเล็กน้อย (ไม่เกิน 5-10 องศาเชิงมุม) จากตำแหน่งสมดุล ความถี่ธรรมชาติของการสั่น:
.

4. วัตถุที่แขวนอยู่บนด้ายยางยืดหรือองค์ประกอบยืดหยุ่นอื่น ๆ ซึ่งแกว่งไปมาในระนาบแนวนอน ลูกตุ้มบิด

นี่คือระบบออสซิลลาทอรีทางกลที่ใช้แรงการเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่น ในรูป รูปที่ 18.4 แสดงอะนาล็อกเชิงมุมของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงเส้นที่ทำการสั่นแบบบิด ดิสก์ที่อยู่ในแนวนอนจะแขวนอยู่บนด้ายยางยืดที่ติดอยู่กับจุดศูนย์กลางมวล เมื่อจานหมุนในมุม θ จะเกิดแรงชั่วครู่หนึ่ง มการควบคุมการเปลี่ยนรูปบิดแบบยืดหยุ่น:

ที่ไหน ฉัน = ฉันคคือโมเมนต์ความเฉื่อยของจานเทียบกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ε คือความเร่งเชิงมุม

โดยการเปรียบเทียบกับโหลดบนสปริงคุณจะได้

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับการสั่นสะเทือน

บทที่ 6 การเคลื่อนที่แบบสั่น

การสั่นกระบวนการที่แตกต่างกันตามระดับความสามารถในการทำซ้ำที่แตกต่างกันเรียกว่ากระบวนการ

คุณสมบัติของความสามารถในการทำซ้ำนี้มีอยู่ เช่น โดยการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา การสั่นสะเทือนของสายหรือขาของส้อมเสียง แรงดันไฟฟ้าระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุในวงจรเครื่องรับวิทยุ เป็นต้น

ขึ้นอยู่กับลักษณะทางกายภาพของกระบวนการทำซ้ำ การสั่นสะเทือนจะแตกต่างกัน:

– เครื่องกล;

– แม่เหล็กไฟฟ้า;

– ระบบเครื่องกลไฟฟ้า ฯลฯ

ขึ้นอยู่กับลักษณะของผลกระทบต่อระบบการสั่นดังต่อไปนี้:

– ฟรี (หรือเป็นเจ้าของ);

– บังคับ;

– การสั่นไหวในตัวเอง;

– การแกว่งแบบพาราเมตริก

ฟรีหรือ เป็นเจ้าของเรียกว่าการสั่นที่เกิดขึ้นในระบบทิ้งไว้กับตัวมันเองหลังจากที่ถูกผลักหรือถูกดึงออกจากตำแหน่งสมดุล ตัวอย่างคือการแกว่งของลูกบอลที่แขวนอยู่บนเส้นด้าย (ลูกตุ้ม)

เมื่อแรงกลับคืนมาเท่านั้นที่กระทำต่อตัวการสั่น ตัวอย่างคือการสั่นของลูกบอลที่แขวนอยู่บนเส้นด้าย เพื่อทำให้เกิดการสั่นสะเทือน คุณต้องดันลูกบอลหรือเลื่อนไปด้านข้างแล้วปล่อย ในกรณีที่ไม่มีการกระจายพลังงาน การแกว่งอิสระจะไม่ถูกทำให้หมาด อย่างไรก็ตาม กระบวนการสั่นจริงนั้นถูกทำให้หมาด ๆ เนื่องจาก ตัวที่สั่นนั้นอยู่ภายใต้แรงต้านทานการเคลื่อนที่ (ส่วนใหญ่เป็นแรงเสียดทาน)เรียกว่าการสั่นดังกล่าว ในระหว่างที่ระบบการสั่นสัมผัสกับแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ

เรียกว่าการสั่นดังกล่าว ซึ่งในระหว่างนั้นระบบการสั่นจะสัมผัสกับแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ๆ (เช่น การสั่นของสะพานที่เกิดขึ้นเมื่อมีคนเดินไปตามสะพานนั้น, เดินเป็นขั้น ๆ ) ในหลายกรณี ระบบจะเกิดการสั่นซึ่งถือได้ว่าเป็นฮาร์มอนิกจะมาพร้อมกับอิทธิพลของแรงภายนอกที่มีต่อระบบการสั่น อย่างไรก็ตาม ช่วงเวลาเมื่ออิทธิพลเหล่านี้ถูกดำเนินการจะถูกกำหนดโดยระบบการสั่นนั้นเอง - ระบบเองจะควบคุมอิทธิพลภายนอก ตัวอย่างของระบบการสั่นในตัวเองคือนาฬิกาที่ลูกตุ้มรับแรงกระแทกเนื่องจากพลังงานของน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นหรือสปริงที่บิดเบี้ยว และแรงกระแทกเหล่านี้เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ลูกตุ้มผ่านตำแหน่งตรงกลาง

ที่ พารามิเตอร์ในการแกว่งเนื่องจากอิทธิพลภายนอก การเปลี่ยนแปลงเป็นระยะในพารามิเตอร์บางอย่างของระบบจะเกิดขึ้น เช่น ความยาวของเกลียวลูกตุ้ม

ที่ง่ายที่สุดคือ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกกล่าวคือ การแกว่งซึ่งปริมาณการสั่น (เช่น การโก่งตัวของลูกตุ้ม) เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์

การเคลื่อนไหวที่สำคัญที่สุดในการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลชั่นคือสิ่งที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลชั่นแบบง่ายหรือแบบฮาร์โมนิค

ธรรมชาติของการเคลื่อนไหวดังกล่าวสามารถเปิดเผยได้ดีที่สุดโดยใช้แบบจำลองจลนศาสตร์ต่อไปนี้ ให้เราสมมุติว่าจุดเรขาคณิต มหมุนอย่างสม่ำเสมอรอบวงกลมรัศมี a ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ (รูปที่ 6.1) การฉายภาพของเธอ เอ็นต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง เช่น ต่อเพลา เอ็กซ์จะทำการเคลื่อนไหวแบบสั่นจากตำแหน่งสุดขั้วไปยังตำแหน่งสุดขั้วอีกตำแหน่งหนึ่งและถอยหลัง การสั่นของจุดดังกล่าว เอ็นเรียกว่าการสั่นสะเทือนแบบธรรมดาหรือแบบฮาร์มอนิก

ในการอธิบาย คุณต้องหาพิกัดก่อน xคะแนน เอ็นเป็นหน้าที่ของเวลา ที- ให้เราสมมติว่า ณ เวลาเริ่มต้น รัศมี OM ก่อตัวขึ้นพร้อมกับแกน เอ็กซ์มุม . หลังจากเวลา t มุมนี้จะเพิ่มขึ้นและเท่ากัน จากรูป 6.1. มันชัดเจนว่า

. (6.1)

สูตรนี้อธิบายการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกของจุดในเชิงวิเคราะห์ เอ็นตามเส้นผ่านศูนย์กลาง

ขนาด กให้ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของจุดที่สั่นจากตำแหน่งสมดุล มันเรียกว่า แอมพลิจูดความผันผวน เรียกว่าค่า 0 ความถี่วงจร- ปริมาณเรียกว่า เฟสการแกว่ง และค่าของมันที่ เช่น ขนาด – หลักเฟส หลังจากเวลาผ่านไป

เฟสได้รับการเพิ่มขึ้น และจุดที่สั่นจะกลับสู่ตำแหน่งเดิมในขณะที่ยังคงทิศทางการเคลื่อนที่เริ่มต้นไว้ เวลา (ช่วงการสั่นเรียกว่าช่วงเวลาแห่งความสั่นคลอน

ความเร็วของจุดสั่นสามารถพบได้โดยการแสดงออกที่แตกต่าง (6.1) ตามเวลา นี้จะช่วยให้

เมื่อสร้างความแตกต่างเป็นครั้งที่สอง เราจะได้ความเร่ง

หรือใช้ (6.1)

แรงที่กระทำต่อจุดวัสดุระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกมีค่าเท่ากับ

. (6.6)

เป็นสัดส่วนกับส่วนเบี่ยงเบน x และมีทิศทางตรงกันข้าม มันจะมุ่งสู่ตำแหน่งสมดุลเสมอ

ลองพิจารณาการแกว่งของฮาร์มอนิกของโหลดบนสปริง ซึ่งปลายด้านหนึ่งได้รับการแก้ไขแล้ว และวัตถุที่มีมวลถูกแขวนลอยจากอีกด้านหนึ่ง เป็นตัวอย่างของการสั่นแบบฮาร์มอนิก ให้พิจารณาการสั่นแบบหนึ่งมิติที่ทำโดยตัวมวล(รูปที่ 6.2) อนุญาต เป็นความยาวของสปริงที่ไม่มีรูปร่าง หากสปริงถูกยืดหรือบีบอัดจนมีความยาว ลแล้วพลังก็เกิดขึ้น เอฟโดยมุ่งหวังให้ร่างกายกลับสู่สภาวะสมดุล สำหรับการยืดเส้นเล็ก ๆ ก็ใช้ได้ กฎของฮุค– แรงแปรผันตามการยืดตัวของสปริง: ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ สมการการเคลื่อนที่ของร่างกายจะมีรูปแบบ

คงที่ เคเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นหรือความแข็งของสปริง เครื่องหมายลบหมายถึงความแข็งแกร่ง เอฟมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด xนั่นคือสู่ตำแหน่งสมดุล

เมื่อได้สมการ (6.7) สันนิษฐานว่าไม่มีแรงอื่นมากระทำต่อร่างกาย ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าสมการเดียวกันนี้ควบคุมการเคลื่อนที่ของวัตถุที่แขวนอยู่บนสปริงในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ ในกรณีนี้เราแสดงด้วยตัวอักษร เอ็กซ์การยืดตัวของสปริงเช่น ความแตกต่าง . สปริงจะดึงโหลดขึ้นด้วยแรง และแรงโน้มถ่วงจะดึงโหลดลง สมการการเคลื่อนที่มีรูปแบบ

ให้แสดงถึงการยืดตัวของสปริงในตำแหน่งสมดุล แล้ว - ไม่รวมน้ำหนักเราก็ได้ - เราใช้สัญกรณ์ แล้วสมการการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูปแบบเดียวกัน (6.7) ค่า x ยังคงหมายถึงการกระจัดของโหลดจากตำแหน่งสมดุล อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้เมื่อมีแรงโน้มถ่วง ความหมายของปริมาณก็จะเปลี่ยนไป ตอนนี้หมายถึงผลลัพธ์ของแรงดึงของสปริงและน้ำหนักของโหลด แต่ทั้งหมดนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น เราจึงสามารถให้เหตุผลราวกับว่าไม่มีแรงโน้มถ่วงเลย นั่นคือสิ่งที่เราจะทำ

แรงที่เกิดขึ้นจะมีรูปแบบเดียวกับแรงในนิพจน์ (6.6) ถ้าเราตั้งค่า สมการ (6.7) จะกลายเป็น

. (6.8)

สมการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (6.5) ฟังก์ชัน (6.1) เป็นวิธีแก้สมการสำหรับค่าคงที่ใด ๆ กและก. นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป จากที่กล่าวมาข้างต้น ภาระบนสปริงจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยความถี่วงกลม

และช่วงเวลา

. (6.10)

การแกว่งที่อธิบายโดยสมการ (6.8) คือ ฟรี(หรือ เป็นเจ้าของ).

พลังงานศักย์และพลังงานจลน์ของร่างกายได้มาจากการแสดงออก

. (6.11)

แต่ละคนเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา อย่างไรก็ตามผลรวมของพวกเขา ดังนั้นพลังงานรวมของการแกว่งฮาร์มอนิกดังกล่าวจะต้องคงที่ ในระหว่างกระบวนการออสซิลเลชัน พลังงานจลน์จะถูกแปลงจะต้องคงที่ตลอดเวลา:

(6.12)

ทุกสิ่งที่ระบุในที่นี้ใช้ได้กับการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกของระบบกลไกใดๆ ที่มีอิสระระดับหนึ่ง ตำแหน่งทันทีของระบบกลไกที่มีระดับความอิสระหนึ่งระดับสามารถกำหนดได้โดยใช้ปริมาณใดปริมาณหนึ่ง ถามเรียกว่าพิกัดทั่วไป เช่น มุมการหมุน การกระจัดตามเส้นบางเส้น เป็นต้น อนุพันธ์ของพิกัดทั่วไปเทียบกับเวลาเรียกว่าความเร็วทั่วไป เมื่อพิจารณาการแกว่งของระบบเครื่องกลด้วยระดับความอิสระระดับหนึ่ง จะสะดวกกว่าที่จะพิจารณาว่าเป็นสมการเริ่มต้น ไม่ใช่สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน แต่เป็นสมการพลังงาน ให้เราสมมติว่าระบบกลไกนั้นมีศักยภาพและพลังงานจลน์ของมันแสดงออกมาตามสูตรของรูปแบบ

, (6.14)

โดยที่ d และ b เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก (พารามิเตอร์ของระบบ) จากนั้นกฎการอนุรักษ์พลังงานจะนำไปสู่สมการ

. (6.15)

มันแตกต่างจากสมการ (6.12) ในรูปแบบสัญกรณ์เท่านั้น ซึ่งไม่สำคัญเมื่อพิจารณาทางคณิตศาสตร์ จากอัตลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของสมการ (6.12) และ (6.15) ผลเฉลยทั่วไปของสมการทั้งสองจะเหมือนกัน ดังนั้นหากสมการพลังงานลดลงเหลือรูปแบบ (6.15) แล้ว

, (6.16)

เช่น พิกัดทั่วไป ถามทำการสั่นฮาร์มอนิกด้วยความถี่วงกลม