สมการพาราโบลามีรูปแบบ พาราโบลา - คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

พิจารณาเส้นในระนาบและจุดที่ไม่อยู่บนเส้นนี้ และ วงรี, และ ไฮเปอร์โบลาสามารถกำหนดแบบรวมเป็นหนึ่งเดียวได้ว่า ตำแหน่งของจุด ซึ่งอัตราส่วนของระยะทางถึงจุดที่กำหนดต่อระยะทางไปยังเส้นตรงที่กำหนดเป็นค่าคงที่

อันดับ ε ที่ 0 1 - อติพจน์ พารามิเตอร์ ε is ความเยื้องศูนย์กลางของทั้งวงรีและไฮเพอร์โบลา. จากค่าบวกที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์ ε ค่าหนึ่งคือ ε = 1 กลายเป็นว่าไม่ได้ใช้ ค่านี้สอดคล้องกับตำแหน่งของคะแนนที่เท่ากันจากจุดที่กำหนดและจากเส้นที่กำหนด

คำจำกัดความ 8.1.ตำแหน่งของจุดในระนาบเท่ากันจากจุดคงที่และจากเส้นคงที่เรียกว่า พาราโบลา

จุดคงที่เรียกว่า จุดเน้นของพาราโบลาและเส้นตรง ไดเรกทริกซ์ของพาราโบลา. ในขณะเดียวกันก็สันนิษฐานว่า ความเบี้ยวของพาราโบลามีค่าเท่ากับหนึ่ง

จากการพิจารณาทางเรขาคณิต พาราโบลามีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา เส้นนี้เรียกว่า แกนสมมาตรของพาราโบลา หรือ ง่ายๆ แกนพาราโบลา. พาราโบลาตัดกับแกนสมมาตรที่จุดเดียว จุดนี้เรียกว่า ด้านบนของพาราโบลา. มันตั้งอยู่ตรงกลางของส่วนที่เชื่อมจุดโฟกัสของพาราโบลากับจุดตัดของแกนกับไดเรกทริกซ์ (รูปที่ 8.3)

สมการพาราโบลาเพื่อให้ได้สมการพาราโบลา เราเลือกบนระนาบ ต้นทางที่ด้านบนสุดของพาราโบลา as abscissa- แกนของพาราโบลา ซึ่งเป็นทิศทางบวกที่กำหนดโดยตำแหน่งของโฟกัส (ดูรูปที่ 8.3) ระบบพิกัดนี้เรียกว่า บัญญัติสำหรับพาราโบลาที่กำลังพิจารณา และตัวแปรที่เกี่ยวข้องคือ บัญญัติ.

ให้เราแสดงระยะทางจากโฟกัสไปยังไดเรกทริกซ์เป็น p เขาถูกเรียก พาราโบลาโฟกัสพารามิเตอร์.

จากนั้นโฟกัสจะมีพิกัด F(p/2; 0) และไดเรกทริกซ์ d ถูกอธิบายโดยสมการ x = - p/2 ตำแหน่งของจุด M(x; y) เท่ากันจากจุด F และจากเส้น d ถูกกำหนดโดยสมการ

เรายกกำลังสองสมการ (8.2) และให้สมการที่คล้ายกัน เราจะได้สมการ

ซึ่งเรียกว่า สมการบัญญัติของพาราโบลา.

โปรดทราบว่าการยกกำลังสองในกรณีนี้คือการแปลงสมการเทียบเท่า (8.2) เนื่องจากสมการทั้งสองส่วนไม่เป็นลบ เช่นเดียวกับนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์

ประเภทของพาราโบลาหากพาราโบลา y 2 \u003d x รูปแบบที่เราถือว่ารู้จักนั้นถูกบีบอัดด้วยสัมประสิทธิ์ 1 / (2p) ตาม abscissa เราก็ได้พาราโบลาของรูปแบบทั่วไปซึ่งอธิบายโดยสมการ (8.3)

ตัวอย่างที่ 8.2ให้เราหาพิกัดของจุดโฟกัสและสมการของไดเรกทริกซ์ของพาราโบลาถ้ามันผ่านจุดที่มีพิกัดตามบัญญัติ (25; 10)

ในพิกัดตามรูปแบบบัญญัติ สมการพาราโบลามีรูปแบบ y 2 = 2px เนื่องจากจุด (25; 10) อยู่บนพาราโบลา ดังนั้น 100 = 50p ดังนั้น p = 2 ดังนั้น y 2 = 4x คือสมการบัญญัติของพาราโบลา x = - 1 คือสมการของไดเร็กทริกซ์ และ โฟกัสอยู่ที่จุด (1; 0 )

คุณสมบัติทางแสงของพาราโบลาพาราโบลามีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติทางแสง. หากแหล่งกำเนิดแสงอยู่ที่จุดโฟกัสของพาราโบลา รังสีแสงทั้งหมดหลังจากการสะท้อนจากพาราโบลาจะขนานกับแกนของพาราโบลา (รูปที่ 8.4) คุณสมบัติทางแสงหมายความว่า ณ จุดใด ๆ M ของพาราโบลา เวกเตอร์ปกติแทนเจนต์สร้างมุมเดียวกันกับรัศมีโฟกัส MF และแกน abscissa

สำหรับผู้อ่านที่เหลือ ฉันเสนอให้เติมความรู้ในโรงเรียนเกี่ยวกับพาราโบลาและไฮเปอร์โบลาอย่างมีนัยสำคัญ ไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา - ง่ายไหม? … อย่ารอช้า =)

ไฮเพอร์โบลาและสมการบัญญัติของมัน

โครงสร้างทั่วไปของการนำเสนอเนื้อหาจะคล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า เริ่มจากแนวคิดทั่วไปของไฮเปอร์โบลาและปัญหาของการสร้างมัน

สมการมาตรฐานของไฮเปอร์โบลามีรูปแบบ โดยที่เป็นจำนวนจริงบวก โปรดทราบว่าไม่เหมือน วงรี, เงื่อนไขไม่ได้กำหนดไว้ ณ ที่นี้ กล่าวคือ ค่าของ "a" อาจน้อยกว่าค่าของ "เป็น"

ฉันต้องบอกว่าค่อนข้างกะทันหัน ... สมการของอติพจน์ "โรงเรียน" ไม่ได้ใกล้เคียงกับบันทึกบัญญัติ แต่ปริศนานี้ยังคงต้องรอเรา แต่สำหรับตอนนี้ ให้เราเกาด้านหลังศีรษะของเรา และจำลักษณะเฉพาะของเส้นโค้งที่พิจารณามีอะไรบ้าง? มาฉายบนหน้าจอแห่งจินตนาการกันเถอะ กราฟฟังก์ชัน ….

ไฮเปอร์โบลามีสองกิ่งที่สมมาตร

ก้าวหน้าดี! อติพจน์ใด ๆ มีคุณสมบัติเหล่านี้และตอนนี้เราจะดูด้วยความชื่นชมอย่างแท้จริงที่ขอบเสื้อผู้หญิงตอนหน้าอกของบรรทัดนี้:

ตัวอย่างที่ 4

สร้างไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ

วิธีการแก้: ในขั้นตอนแรก เรานำสมการนี้มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติ โปรดจำขั้นตอนทั่วไป ทางด้านขวา คุณต้องได้ "หนึ่ง" ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองส่วนของสมการเดิมด้วย 20:

ที่นี่คุณสามารถลดเศษส่วนทั้งสองได้ แต่ควรแยกเศษส่วนให้เหมาะสมที่สุด สามชั้น:

และหลังจากนั้นเพื่อดำเนินการลด:

เราเลือกช่องสี่เหลี่ยมในตัวส่วน:

เหตุใดจึงดีกว่าที่จะดำเนินการเปลี่ยนแปลงในลักษณะนี้ ท้ายที่สุดแล้วเศษส่วนของด้านซ้ายสามารถลดและรับได้ทันที ความจริงก็คือในตัวอย่างที่พิจารณา เราโชคดีเล็กน้อย: ตัวเลข 20 หารด้วย 4 และ 5 ลงตัว ในกรณีทั่วไป ตัวเลขดังกล่าวใช้ไม่ได้ ยกตัวอย่าง สมการ . ที่นี่ด้วยความแตกแยก ทุกสิ่งจึงเศร้าโศกและไม่มี เศษส่วนสามชั้นไม่ต้องการอีกต่อไป:

ลองใช้ผลงานของเรา - สมการบัญญัติ:

จะสร้างอติพจน์ได้อย่างไร?

มีสองวิธีในการสร้างไฮเปอร์โบลา - เรขาคณิตและพีชคณิต
จากมุมมองที่ใช้งานได้จริง การวาดภาพด้วยเข็มทิศ ... ฉันจะบอกว่าเป็นอุดมคติ ดังนั้นมันจึงทำกำไรได้มากกว่าที่จะนำการคำนวณง่ายๆ มาช่วยเหลืออีกครั้ง

ขอแนะนำให้ปฏิบัติตามอัลกอริธึมต่อไปนี้ ขั้นแรกให้วาดรูปเสร็จแล้ว ตามด้วยความคิดเห็น:

ในทางปฏิบัติ มักพบการรวมกันของการหมุนผ่านมุมที่กำหนดเองและการแปลแบบขนานของไฮเพอร์โบลา สถานการณ์นี้จะกล่าวถึงในบทเรียน การลดสมการบรรทัดลำดับที่ 2 เป็นรูปแบบบัญญัติ.

พาราโบลาและสมการบัญญัติ

มันจบแล้ว! เธอคือที่สุด พร้อมเปิดเผยความลับมากมาย สมการมาตรฐานของพาราโบลามีรูปแบบ โดยที่ เป็นจำนวนจริง สังเกตได้ง่ายว่าในตำแหน่งมาตรฐาน พาราโบลา "อยู่ด้านข้าง" และจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะตั้งค่าสาขาบนของบรรทัดนี้ และฟังก์ชันจะตั้งค่าสาขาที่ต่ำกว่า เห็นได้ชัดว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน จริงๆแล้วสิ่งที่จะอาบน้ำ:

ตัวอย่างที่ 6

สร้างพาราโบลา

วิธีการแก้: ทราบจุดยอดแล้ว หาจุดเพิ่มเติมกัน สมการ กำหนดส่วนโค้งบนของพาราโบลา สมการกำหนดส่วนโค้งล่าง

ในการย่อบันทึก เราจะทำการคำนวณ "ภายใต้แปรงเดียวกัน":

สำหรับโน้ตย่อ ผลลัพธ์สามารถสรุปได้ในตาราง

ก่อนทำการวาดแบบจุดต่อจุดเบื้องต้น เรากำหนดความเข้มงวด

คำจำกัดความของพาราโบลา:

พาราโบลาคือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่เท่ากันจากจุดที่กำหนดและเส้นที่กำหนดที่ไม่ผ่านจุดนั้น

ประเด็นที่เรียกว่า จุดสนใจพาราโบลา เส้นตรง อาจารย์ใหญ่ (เขียนด้วยตัว "es")พาราโบลา ค่าคงที่ "pe" ของสมการบัญญัติเรียกว่า พารามิเตอร์โฟกัสซึ่งเท่ากับระยะทางจากโฟกัสไปยังไดเรกทริกซ์ ในกรณีนี้ . ในกรณีนี้ โฟกัสมีพิกัด และไดเรกทริกซ์ถูกกำหนดโดยสมการ .
ในตัวอย่างของเรา:

คำจำกัดความของพาราโบลานั้นเข้าใจง่ายกว่าคำจำกัดความของวงรีและไฮเปอร์โบลา สำหรับจุดใดๆ ของพาราโบลา ความยาวของเซ็กเมนต์ (ระยะห่างจากจุดโฟกัสไปยังจุด) จะเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉาก (ระยะห่างจากจุดไปยังไดเรกทริกซ์):

ยินดีด้วย! พวกคุณหลายคนได้ค้นพบความจริงในวันนี้ ปรากฎว่าไฮเปอร์โบลาและพาราโบลาไม่ใช่กราฟของฟังก์ชัน "ธรรมดา" แต่มีจุดกำเนิดทางเรขาคณิตที่เด่นชัด

เห็นได้ชัดว่า ด้วยพารามิเตอร์โฟกัสที่เพิ่มขึ้น กิ่งก้านของกราฟจะ "กระจาย" ขึ้นและลง โดยเข้าใกล้แกนอย่างไม่สิ้นสุด ด้วยการลดลงของค่า "pe" พวกเขาจะเริ่มหดตัวและยืดไปตามแกน

ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลาใด ๆ เท่ากับหนึ่ง:

การหมุนและการแปลพาราโบลา

พาราโบลาเป็นหนึ่งในเส้นที่ใช้บ่อยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ และคุณจะต้องสร้างมันบ่อยๆ ดังนั้น โปรดให้ความสนใจเป็นพิเศษกับย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน ซึ่งผมจะวิเคราะห์ตัวเลือกทั่วไปสำหรับตำแหน่งของเส้นโค้งนี้

! บันทึก : เช่นเดียวกับกรณีที่มีส่วนโค้งก่อนหน้านี้ ถูกต้องมากกว่าที่จะพูดถึงการหมุนและการแปลแกนพิกัดคู่ขนาน แต่ผู้เขียนจะจำกัดตัวเองให้นำเสนอเวอร์ชันที่เรียบง่ายเพื่อให้ผู้อ่านมีแนวคิดเบื้องต้นเกี่ยวกับ ​​การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้

เราแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยที่ ให้แกนผ่านโฟกัส F พาราโบลาและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ และแกนผ่านกึ่งกลางระหว่างโฟกัสและไดเรกทริกซ์ ระบุด้วยระยะห่างระหว่างโฟกัสและไดเรกทริกซ์ แล้วสมการไดเรกทริกซ์

ตัวเลขนี้เรียกว่าพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา อนุญาต เป็นจุดปัจจุบันของพาราโบลา อนุญาต เป็นรัศมีโฟกัสของจุดไฮเปอร์โบลา คือ ระยะทางจากจุดไปยังไดเรกทริกซ์ แล้ว( วาด 27.)

วาด 27.

โดยนิยามของพาราโบลา เพราะเหตุนี้,

มายกกำลังสองสมการกัน เราจะได้:

(15)

โดยที่ (15) คือสมการบัญญัติของพาราโบลาสมมาตรเกี่ยวกับแกนและผ่านจุดกำเนิด

การตรวจสอบคุณสมบัติของพาราโบลา

1) ด้านบนของพาราโบลา:

สมการ (15) เป็นที่พอใจด้วยตัวเลข ดังนั้นพาราโบลาจึงผ่านจุดกำเนิด

2) สมมาตรพาราโบลา:

ให้มันอยู่ในพาราโบลา นั่นคือ ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง จุดจะสมมาตรกับจุดรอบแกน ดังนั้น พาราโบลาจะสมมาตรรอบแกน x

ความเบี้ยวของพาราโบลา:

คำจำกัดความ 4.2ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลาเป็นจำนวนเท่ากับหนึ่ง

เนื่องจากโดยนิยามพาราโบลา

4) แทนเจนต์ของพาราโบลา:

แทนเจนต์ของพาราโบลาที่จุดสัมผัสถูกกำหนดโดยสมการ

ที่ไหน ( ภาพวาด 28.)

วาด 28.

รูปภาพของพาราโบลา

วาด 29.

ใช้ ESO-Mathcad:

ภาพวาด 30.)

วาด30.

ก) การก่อสร้างโดยไม่ต้องใช้ไอซีที: ในการสร้างพาราโบลา เราตั้งระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุด O และส่วนของหน่วย เรากำหนดจุดโฟกัสบนแกน OX เนื่องจากเราวาดแบบนั้น และไดเรกทริกซ์ของพาราโบลา เราสร้างวงกลมที่จุดหนึ่งและมีรัศมีเท่ากับระยะทางจากเส้นตรงถึงไดเรกทริกซ์ของพาราโบลา วงกลมตัดกับเส้นตรงจุด เราสร้างพาราโบลาเพื่อให้ผ่านจุดกำเนิดและผ่านจุดต่างๆ ( การวาดภาพ 31.)

การวาดภาพ 31.

b) การใช้ ESO-Mathcad:

สมการที่ได้จะมีรูปแบบดังนี้ . ในการสร้างบรรทัดลำดับที่สองใน Mathcad เรานำสมการมาอยู่ในรูปแบบ: .( ภาพวาด 32.)

การวาดภาพ 32.

เพื่อสรุปงานเกี่ยวกับทฤษฎีของลำดับที่สองในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นและเพื่อความสะดวกในการใช้ข้อมูลเกี่ยวกับเส้นในการแก้ปัญหา เราได้สรุปข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับบรรทัดลำดับที่สองในตารางที่ 1

ตารางที่ 1

เส้นลำดับที่สองในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น

ชื่อรายการสั่งซื้อที่ 2	วงกลม	วงรี	ไฮเพอร์โบลา	พาราโบลา
คุณสมบัติลักษณะ
สมการเส้น
ความเยื้องศูนย์
สมการแทนเจนต์ที่จุด (x 0 ; y 0 )
จุดสนใจ
เส้นผ่านศูนย์กลางของเส้น		โดยที่ k คือความชัน	โดยที่ k ความชัน	โดยที่ k ความชัน

ความเป็นไปได้ของการใช้ ICT ในการศึกษาลำดับที่สอง

กระบวนการให้ข้อมูลซึ่งปัจจุบันครอบคลุมทุกด้านของชีวิตสังคมสมัยใหม่ มีประเด็นสำคัญหลายประการ ซึ่งแน่นอนว่ารวมถึงการให้ข้อมูลการศึกษาด้วย เป็นพื้นฐานพื้นฐานสำหรับการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของกิจกรรมทางปัญญาของมนุษย์ทั่วโลกผ่านการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร (ICT)

กลางยุค 90 ของศตวรรษที่ผ่านมาและจนถึงทุกวันนี้มีลักษณะเด่นและความพร้อมของคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลในรัสเซียการใช้โทรคมนาคมอย่างแพร่หลายซึ่งทำให้สามารถแนะนำเทคโนโลยีสารสนเทศที่พัฒนาแล้วของการศึกษาในกระบวนการศึกษา ปรับปรุงและปรับปรุงให้ทันสมัย ​​ปรับปรุงคุณภาพความรู้ เพิ่มแรงจูงใจในการเรียนรู้ ใช้หลักการศึกษาเฉพาะบุคคลให้เกิดประโยชน์สูงสุด เทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อการศึกษาเป็นเครื่องมือที่จำเป็นในการจัดข้อมูลการศึกษาในระดับนี้

เทคโนโลยีสารสนเทศไม่เพียงแต่อำนวยความสะดวกในการเข้าถึงข้อมูลและเปิดโอกาสสำหรับความแปรปรวนของกิจกรรมการศึกษา ความเป็นปัจเจก และความแตกต่างเท่านั้น แต่ยังช่วยให้จัดระเบียบปฏิสัมพันธ์ของทุกวิชาของการศึกษาในรูปแบบใหม่ สร้างระบบการศึกษาที่นักเรียนจะเป็น ผู้มีส่วนร่วมอย่างแข็งขันและเท่าเทียมกันในกิจกรรมการศึกษา

การก่อตัวของเทคโนโลยีสารสนเทศใหม่ภายในกรอบของบทเรียนวิชากระตุ้นความจำเป็นในการสร้างซอฟต์แวร์ใหม่และความซับซ้อนของระเบียบวิธีมุ่งเป้าไปที่การปรับปรุงคุณภาพของบทเรียน ดังนั้น สำหรับการใช้เครื่องมือเทคโนโลยีสารสนเทศที่ประสบความสำเร็จและมีเป้าหมายในกระบวนการศึกษา ครูต้องทราบคำอธิบายทั่วไปของหลักการทำงานและความสามารถในการสอนของซอฟต์แวร์และเครื่องมือแอปพลิเคชัน จากนั้นจึงอิงจากประสบการณ์และคำแนะนำ "ฝัง ” เหล่านั้นเข้าสู่กระบวนการศึกษา

ปัจจุบันการศึกษาคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับคุณลักษณะและความยากลำบากหลายประการในการพัฒนาการศึกษาของโรงเรียนในประเทศของเรา

วิกฤตที่เรียกว่าการศึกษาคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้น เหตุผลมีดังนี้:

ในการเปลี่ยนแปลงลำดับความสำคัญในสังคมและในวิทยาศาสตร์ นั่นคือ ปัจจุบันมีการจัดลำดับความสำคัญของมนุษยศาสตร์เพิ่มขึ้น

ในการลดจำนวนบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

การแยกเนื้อหาของการศึกษาคณิตศาสตร์ออกจากชีวิต

ในผลกระทบเล็กน้อยต่อความรู้สึกและอารมณ์ของนักเรียน

ทุกวันนี้ คำถามยังคงเปิดอยู่: "วิธีการใช้ศักยภาพของเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสารสมัยใหม่ในการสอนเด็กนักเรียน รวมถึงการสอนคณิตศาสตร์อย่างมีประสิทธิภาพสูงสุด"

คอมพิวเตอร์เป็นผู้ช่วยที่ยอดเยี่ยมในการศึกษาหัวข้อเช่น "ฟังก์ชันกำลังสอง" เนื่องจากการใช้โปรแกรมพิเศษคุณสามารถพล็อตฟังก์ชันต่างๆ สำรวจฟังก์ชัน กำหนดพิกัดของจุดตัดกันได้อย่างง่ายดาย คำนวณพื้นที่ของตัวเลขปิด ฯลฯ ตัวอย่างเช่น ในบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ซึ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงของกราฟ (การยืด การบีบอัด การขยับของแกนพิกัด) คุณจะเห็นเฉพาะผลลัพธ์ที่หยุดนิ่งของการก่อสร้าง และการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของการดำเนินการที่ต่อเนื่องกัน ของครูและนักเรียนสามารถตรวจสอบได้บนหน้าจอมอนิเตอร์

คอมพิวเตอร์นั้นไม่เหมือนวิธีการทางเทคนิคอื่นใด แม่นยำ มองเห็นได้ชัดเจน และน่าดึงดูดใจ เปิดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติสำหรับนักเรียน กล่าวคือ สิ่งที่เด็กควรมุ่งมั่นในการปฏิบัติจริง

ครูวิชาคณิตศาสตร์ต้องประสบความยุ่งยากมากน้อยเพียงใดเพื่อโน้มน้าวใจนักเรียนว่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ณ จุดสัมผัสจะผสานเข้ากับกราฟของฟังก์ชันในทางปฏิบัติ มันง่ายมากที่จะแสดงข้อเท็จจริงนี้บนคอมพิวเตอร์ - เพียงพอที่จะจำกัดช่วงเวลาให้แคบลงตามแกน Ox และพบว่าในบริเวณใกล้เคียงที่เล็กมากของจุดสัมผัสกัน กราฟของฟังก์ชันและแทนเจนต์ตรงกัน กิจกรรมทั้งหมดนี้เกิดขึ้นต่อหน้านักเรียน ตัวอย่างนี้เป็นแรงผลักดันให้เกิดการไตร่ตรองอย่างกระตือรือร้นในบทเรียน การใช้คอมพิวเตอร์เป็นไปได้ทั้งในการอธิบายเนื้อหาใหม่ในบทเรียนและในขั้นตอนการควบคุม ด้วยความช่วยเหลือของโปรแกรมเหล่านี้ เช่น "การทดสอบของฉัน" นักเรียนสามารถตรวจสอบระดับความรู้ในทางทฤษฎี ปฏิบัติงานตามทฤษฎีและปฏิบัติได้อย่างอิสระ โปรแกรมสะดวกสำหรับความเก่งกาจ สามารถใช้ได้ทั้งสำหรับการควบคุมตนเองและสำหรับการควบคุมของครู

การผสมผสานที่สมเหตุสมผลของคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์จะช่วยให้มองเห็นกระบวนการในการแก้ปัญหาได้ดียิ่งขึ้นและลึกซึ้งยิ่งขึ้น หลักสูตรการทำความเข้าใจรูปแบบทางคณิตศาสตร์ นอกจากนี้คอมพิวเตอร์จะช่วยในการสร้างวัฒนธรรมกราฟิกคณิตศาสตร์และจิตใจของนักเรียนและการใช้คอมพิวเตอร์คุณสามารถเตรียมสื่อการสอน: การ์ด ใบสำรวจ แบบทดสอบ ฯลฯ ในขณะเดียวกันก็ให้โอกาสเด็ก ๆ อย่างอิสระ พัฒนาการทดสอบในหัวข้อระหว่างความสนใจและความคิดสร้างสรรค์

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้คอมพิวเตอร์ในบทเรียนคณิตศาสตร์ให้กว้างกว่าที่เป็นอยู่ถ้าเป็นไปได้ การใช้เทคโนโลยีสารสนเทศจะช่วยปรับปรุงคุณภาพความรู้ ขยายขอบเขตการศึกษาฟังก์ชันกำลังสอง จึงช่วยในการค้นหามุมมองใหม่ๆ เพื่อรักษาความสนใจของนักเรียนในเรื่องและหัวข้อ ดังนั้นจึงมีทัศนคติที่ใส่ใจมากขึ้น กับมัน ทุกวันนี้ เทคโนโลยีสารสนเทศที่ทันสมัยกำลังกลายเป็นเครื่องมือที่สำคัญที่สุดในการปรับปรุงโรงเรียนโดยรวมให้ทันสมัย ​​ตั้งแต่การจัดการไปจนถึงการศึกษา และการรับรองความพร้อมของการศึกษา

ระดับที่สาม

3.1. อติพจน์แตะเส้น 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0 เขียนสมการของไฮเพอร์โบลา โดยที่แกนของมันตรงกับแกนพิกัด

3.2. เขียนสมการแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลา

1) ผ่านจุด อา(4, 1), บี(5, 2) และ ค(5, 6);

2) ขนานกับเส้นตรง 10 x – 3y + 9 = 0;

3) ตั้งฉากกับเส้นตรง 10 x – 3y + 9 = 0.

พาราโบลาคือโลคัสของจุดในระนาบซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการ

พารามิเตอร์พาราโบลา:

Dot F(พี/2, 0) เรียกว่า จุดสนใจ พาราโบลา ขนาด พี – พารามิเตอร์ , ดอท โอ(0, 0) – ประชุมสุดยอด . ในขณะเดียวกันทางตรง ของซึ่งพาราโบลามีความสมมาตร กำหนดแกนของเส้นโค้งนี้

ค่า ที่ไหน เอ็ม(x, y) เป็นจุดโดยพลการของพาราโบลาเรียกว่า รัศมีโฟกัส , ตรง ดี: x = –พี/2 – อาจารย์ใหญ่ (ไม่ตัดกับภายในของพาราโบลา) ค่า เรียกว่า ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลา

คุณสมบัติลักษณะสำคัญของพาราโบลา: ทุกจุดของพาราโบลาอยู่ห่างจากไดเรกทริกซ์และโฟกัสเท่ากัน (รูปที่ 24)

มีรูปแบบอื่นของสมการพาราโบลาบัญญัติที่กำหนดทิศทางอื่นของกิ่งก้านในระบบพิกัด (รูปที่ 25):

สำหรับ นิยามพารามิเตอร์ของพาราโบลา เป็นพารามิเตอร์ tค่าของพิกัดของจุดพาราโบลาสามารถหาได้:

ที่ไหน tเป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ

ตัวอย่าง 1กำหนดพารามิเตอร์และรูปร่างของพาราโบลาจากสมการบัญญัติ:

วิธีการแก้. 1. สมการ y 2 = –8xกำหนดพาราโบลาที่มีจุดยอด ณ จุดหนึ่ง โอ วัว. กิ่งก้านของมันหันไปทางซ้าย เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ y 2 = –2px, เราพบ: 2 พี = 8, พี = 4, พี/2 = 2 ดังนั้น จุดโฟกัสอยู่ที่จุด F(–2; 0), สมการไดเรกทริกซ์ ดี: x= 2 (รูปที่ 26)

2. สมการ x 2 = –4yกำหนดพาราโบลาที่มีจุดยอด ณ จุดหนึ่ง โอ(0; 0) สมมาตรรอบแกน ออย. กิ่งก้านของมันชี้ลง เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ x 2 = –2พาย, เราพบ: 2 พี = 4, พี = 2, พี/2 = 1 ดังนั้น จุดโฟกัสอยู่ที่จุด F(0; –1), สมการไดเรกทริกซ์ ดี: y= 1 (รูปที่ 27)

ตัวอย่าง 2กำหนดพารามิเตอร์และประเภทของเส้นโค้ง x 2 + 8x – 16y– 32 = 0 วาดรูป

วิธีการแก้.เราแปลงด้านซ้ายของสมการโดยใช้วิธีเต็มกำลังสอง:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

เป็นผลให้เราได้รับ

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

นี่คือสมการมาตรฐานของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (–4; –3) พารามิเตอร์ พี= 8 กิ่งก้านชี้ขึ้น (), axis x= -4. โฟกัสอยู่ที่จุด F(–4; –3 + พี/2) เช่น F(–4; 1) อาจารย์ใหญ่ ดีถูกกำหนดโดยสมการ y = –3 – พี/2 หรือ y= -7 (รูปที่ 28)

ตัวอย่างที่ 4เขียนสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด วี(3; –2) และโฟกัสที่จุด F(1; –2).

วิธีการแก้.จุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลานี้อยู่บนเส้นตรงขนานกับแกน วัว(พิกัดเดียวกัน) กิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางซ้าย (จุดโฟกัสน้อยกว่าจุดยอด) ระยะห่างจากจุดโฟกัสถึงจุดยอดคือ พี/2 = 3 – 1 = 2, พี= 4. ดังนั้น สมการที่ต้องการ

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) หรือ ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

ฉันระดับ

1.1. กำหนดพารามิเตอร์ของพาราโบลาและสร้างมัน:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. เขียนสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดกำเนิดถ้าคุณรู้ว่า:

1) พาราโบลาตั้งอยู่ในครึ่งระนาบด้านซ้ายแบบสมมาตรรอบแกน วัวและ พี = 4;

2) พาราโบลาตั้งอยู่อย่างสมมาตรรอบแกน ออยและผ่านจุด เอ็ม(4; –2).

3) directrix ถูกกำหนดโดยสมการ3 y + 4 = 0.

1.3. เขียนสมการของเส้นโค้ง ซึ่งทุกจุดห่างจากจุด (2; 0) และเส้นตรงเท่ากัน x = –2.

ระดับที่สอง

2.1. กำหนดประเภทและพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง

ทุกคนรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร แต่จะใช้งานอย่างไรให้ถูกต้อง มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติต่างๆ เราจะเข้าใจด้านล่าง

อันดับแรก ให้เราแสดงแนวคิดพื้นฐานที่พีชคณิตและเรขาคณิตมอบให้กับเทอมนี้ พิจารณากราฟนี้ทุกประเภทที่เป็นไปได้

เราเรียนรู้คุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันนี้ มาทำความเข้าใจพื้นฐานของการสร้างเส้นโค้ง (เรขาคณิต) มาเรียนรู้วิธีหาค่าพื้นฐานอื่นๆ ของกราฟประเภทนี้กัน

เราจะหาคำตอบ: วิธีสร้างเส้นโค้งที่ต้องการอย่างถูกต้องตามสมการ สิ่งที่คุณต้องใส่ใจ เรามาดูการใช้งานจริงหลักของค่านิยมอันเป็นเอกลักษณ์นี้ในชีวิตมนุษย์

พาราโบลาคืออะไรและมีลักษณะอย่างไร

พีชคณิต: คำนี้หมายถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เรขาคณิต: นี่คือเส้นโค้งอันดับสองที่มีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ:

สมการพาราโบลา Canonical

รูปแสดงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (XOY) ส่วนปลาย ทิศทางของฟังก์ชันที่วาดกิ่งก้านตามแกน abscissa

สมการบัญญัติคือ:

y 2 \u003d 2 * p * x,

โดยที่สัมประสิทธิ์ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา (AF)

ในพีชคณิตเขียนต่างกัน:

y = a x 2 + b x + c (รูปแบบที่จดจำได้: y = x 2)

คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันนี้มีแกนสมมาตรและจุดศูนย์กลาง (สุดขั้ว) โดเมนของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของแกน x

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน - (-∞, M) หรือ (M, +∞) ขึ้นอยู่กับทิศทางของกิ่งของเส้นโค้ง พารามิเตอร์ M ในที่นี้หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่ด้านบนสุดของบรรทัด

วิธีการกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

ในการหาทิศทางของเส้นโค้งประเภทนี้จากนิพจน์ คุณต้องระบุเครื่องหมายด้านหน้าพารามิเตอร์ตัวแรกของนิพจน์พีชคณิต หาก ˃ 0 จะถูกชี้ขึ้นด้านบน อย่างอื่นลง.

วิธีหาจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

การหาจุดสุดยอดเป็นขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติมากมาย แน่นอน คุณสามารถเปิดเครื่องคิดเลขออนไลน์แบบพิเศษได้ แต่จะดีกว่าถ้าทำเองได้

จะกำหนดได้อย่างไร? มีสูตรพิเศษ. เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 เราต้องมองหาพิกัดของจุดนี้

สูตรการหายอด:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0)

ตัวอย่าง.

มีฟังก์ชัน y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 ลองหาจุดยอดของฟังก์ชันนี้กัน

สำหรับบรรทัดดังกล่าว:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41

เราได้พิกัดของจุดยอด (-2, -41)

ออฟเซ็ตพาราโบลา

กรณีคลาสสิกคือเมื่ออยู่ในฟังก์ชันกำลังสอง y = a x 2 + b x + c พารามิเตอร์ที่สองและสามคือ 0 และ = 1 - จุดยอดอยู่ที่จุด (0; 0)

การเคลื่อนที่ตามแนว abscissa หรือแกนประสานเกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ b และ c ตามลำดับการเปลี่ยนเส้นบนเครื่องบินจะดำเนินการตามจำนวนหน่วยซึ่งเท่ากับค่าของพารามิเตอร์

ตัวอย่าง.

เรามี: b = 2, c = 3

ซึ่งหมายความว่ามุมมองแบบคลาสสิกของเส้นโค้งจะเลื่อนทีละ 2 ส่วนตามแกน abscissa และ 3 ส่วนตามแกนกำหนด

วิธีสร้างพาราโบลาโดยใช้สมการกำลังสอง

เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะเรียนรู้วิธีการวาดพาราโบลาอย่างถูกต้องตามพารามิเตอร์ที่กำหนด

โดยการวิเคราะห์นิพจน์และสมการ คุณสามารถดูสิ่งต่อไปนี้:

1. จุดตัดของเส้นที่ต้องการกับเวกเตอร์พิกัดจะมีค่าเท่ากับ c
2. ทุกจุดของกราฟ (ตามแนวแกน x) จะสมมาตรตามส่วนปลายหลักของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ เราสามารถหาทางแยกที่มี OX ได้ด้วยการรู้จัก discriminant (D) ของฟังก์ชันดังกล่าว:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c)

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำให้นิพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์

การปรากฏตัวของรากพาราโบลาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์:

• D ˃ 0 จากนั้น x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D \u003d 0 จากนั้น x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0 แล้วไม่มีจุดตัดกับเวกเตอร์ OX

เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับการสร้างพาราโบลา:

• กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน
• ค้นหาพิกัดของจุดยอด
• หาจุดตัดกับแกน y
• หาจุดตัดกับแกน x

ตัวอย่าง 1

รับฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 5 * x + 4 จำเป็นต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึม:

1. a \u003d 1 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้น
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. ตัดกับแกน y ที่ค่า y = 4;
4. ค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D = 25 - 16 = 9;
5. กำลังมองหาราก

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (สิบ).

ตัวอย่าง 2

สำหรับฟังก์ชัน y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 คุณต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึมข้างต้น:

1. a \u003d 3 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้น
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. ด้วยแกน y จะตัดกันที่ค่า y \u003d -1;
4. ค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. ดังนั้นราก:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

จากคะแนนที่ได้รับ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้

Directrix, ความเยื้องศูนย์กลาง, จุดโฟกัสของพาราโบลา

ตามสมการบัญญัติ โฟกัส F มีพิกัด (p/2, 0)

เส้นตรง AB เป็นไดเรกทริกซ์ (ชนิดของคอร์ดพาราโบลาที่มีความยาวที่แน่นอน) สมการของเธอคือ x = -p/2

ความเยื้องศูนย์ (คงที่) = 1

บทสรุป

เราดูหัวข้อที่นักเรียนเรียนในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย ตอนนี้ คุณก็รู้ เมื่อดูที่ฟังก์ชันกำลังสองของพาราโบลา วิธีหาจุดยอดของมัน ในทิศทางที่กิ่งก้านจะถูกชี้นำ ไม่ว่าจะมีการชดเชยตามแกนหรือไม่ และเมื่อมีอัลกอริธึมการก่อสร้าง คุณสามารถวาดกราฟของมันได้