สมการของเครื่องบิน จะเขียนสมการของระนาบได้อย่างไร? การจัดเครื่องบินร่วมกัน

ในตัวมาก กรณีทั่วไปปกติของพื้นผิวแสดงถึงความโค้งเฉพาะที่ และดังนั้นทิศทางของการสะท้อนของแสงสะท้อน (รูปที่ 3.5) ตามความรู้ของเรา เราสามารถพูดได้ว่าเส้นปกติคือเวกเตอร์ที่กำหนดทิศทางของใบหน้า (รูปที่ 3.6)

ข้าว. 3.5 รูป 3.6

อัลกอริธึมการลบเส้นและพื้นผิวที่ซ่อนอยู่จำนวนมากใช้เฉพาะขอบและจุดยอดเท่านั้น ดังนั้นเพื่อที่จะรวมเข้ากับโมเดลการจัดแสง คุณจำเป็นต้องทราบค่าโดยประมาณของเส้นปกติที่ขอบและจุดยอด ให้สมการของระนาบของใบหน้ารูปหลายเหลี่ยม จากนั้นค่าปกติถึงจุดยอดร่วมจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของค่าปกติของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มาบรรจบกันที่จุดยอดนี้ ตัวอย่างเช่นในรูป. 3.7 ทิศทางของเส้นปกติโดยประมาณ ณ จุดหนึ่ง วี 1 มี:

n เวอร์ชัน 1 = (ก 0 +ก 1 +ก 4 )ผม + (ข 0 +ข 1 +ข 4 )เจ + (ค 0 +ค 1 +ค 4 )เค, (3.15)

ที่ไหน ก 0 , ก 1 , ก 4 ,ข 0 ,ข 1 ,ข 4 , ค 0 , ค 1 , ค 4 - สัมประสิทธิ์ของสมการของระนาบของรูปหลายเหลี่ยมสามรูป ป 0 , ป 1 , ป 4 , คนรอบข้าง วี 1 - โปรดทราบว่าหากคุณต้องการค้นหาทิศทางของเส้นปกติเท่านั้น ก็ไม่จำเป็นต้องหารผลลัพธ์ด้วยจำนวนหน้า

หากไม่ได้ให้สมการของระนาบมา ก็จะสามารถหาค่าตั้งฉากของจุดยอดได้โดยการหาค่าเฉลี่ยผลคูณเวกเตอร์ของขอบทั้งหมดที่ตัดกันที่จุดยอด อีกครั้ง โดยดูที่จุดยอด V 1 ในรูป 3.7 เราจะหาทิศทางของเส้นปกติโดยประมาณ:

n เวอร์ชัน 1 = วี 1 วี 2 วี 1 วี 4 +วี 1 วี 5 วี 1 วี 2 + วี 1 วี 4  วี 1 วี 5 (3.16)

ข้าว. 3.7 - การประมาณพื้นผิวปกติถึงพื้นผิวหลายเหลี่ยม

โปรดทราบว่าจำเป็นต้องใช้เพียงสภาวะปกติภายนอกเท่านั้น นอกจากนี้หากเวกเตอร์ผลลัพธ์ไม่ได้ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน ค่าของมันจะขึ้นอยู่กับจำนวนและพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเฉพาะ รวมถึงจำนวนและความยาวของขอบเฉพาะ อิทธิพลของรูปหลายเหลี่ยมด้วย พื้นที่ขนาดใหญ่และซี่โครงยาวขึ้น

เมื่อใช้พื้นผิวปกติเพื่อกำหนดความเข้มและทำการเปลี่ยนแปลงเปอร์สเปคทีฟกับวัตถุหรือภาพในฉาก จะต้องคำนวณนอร์มัลก่อนการแบ่งเปอร์สเปคทีฟ มิฉะนั้นทิศทางของเส้นปกติจะบิดเบี้ยว ซึ่งจะทำให้ความเข้มที่ระบุโดยแบบจำลองแสงถูกกำหนดไม่ถูกต้อง

หากทราบคำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของระนาบ (พื้นผิว) ระบบจะคำนวณค่าปกติโดยตรง เมื่อรู้สมการของระนาบของแต่ละหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม คุณจะสามารถหาทิศทางของเส้นปกติด้านนอกได้

หากสมการของระนาบคือ:

จากนั้นเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้จะถูกเขียนดังนี้:

, (3.18)

ที่ไหน
- เวกเตอร์หน่วยของแกน x,y,zตามลำดับ

ขนาด งคำนวณโดยใช้จุดใดก็ได้ที่เป็นของระนาบ ตัวอย่างเช่น สำหรับจุด (
)

ตัวอย่าง. พิจารณารูปหลายเหลี่ยมแบน 4 ด้านที่อธิบายโดยจุดยอด 4 จุด V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) และ V4(1,1,1) (ดูรูปที่ 1) .3.7).

สมการของระนาบคือ:

x + y + z - 1 = 0

ลองหาค่าปกติของระนาบนี้โดยใช้ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์คู่หนึ่งซึ่งอยู่ติดกับขอบของจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง เช่น V1:

อัลกอริธึมการลบเส้นและพื้นผิวที่ซ่อนอยู่จำนวนมากใช้เฉพาะขอบหรือจุดยอดเท่านั้น ดังนั้นเพื่อที่จะรวมเข้ากับโมเดลการจัดแสง จำเป็นต้องทราบค่าโดยประมาณของเส้นปกติที่ขอบและจุดยอด

ให้สมการของระนาบของใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม จากนั้นค่าปกติของจุดยอดร่วมจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของค่าปกติของทุกใบหน้าที่มาบรรจบกันที่จุดยอดนี้

คือเกี่ยวกับสิ่งที่คุณเห็นในชื่อเรื่อง โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือ "อะนาล็อกเชิงพื้นที่" ปัญหาการค้นหาแทนเจนต์และ ปกติไปยังกราฟของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาใดๆ เกิดขึ้น

เริ่มจากคำถามพื้นฐานกันก่อน: ระนาบแทนเจนต์คืออะไร และระนาบปกติคืออะไร หลายคนเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ในระดับสัญชาตญาณ แบบจำลองที่ง่ายที่สุดที่นึกถึงคือลูกบอลซึ่งมีกระดาษแข็งแบนบางวางอยู่ กระดาษแข็งตั้งอยู่ใกล้กับทรงกลมมากที่สุดและสัมผัสที่จุดเดียว นอกจากนี้ ณ จุดที่สัมผัสกันนั้นจะถูกยึดด้วยเข็มที่ยื่นออกมาตรงๆ

ตามทฤษฎีแล้ว มีคำจำกัดความที่ค่อนข้างแยบยลของระนาบแทนเจนต์ ลองนึกภาพฟรี พื้นผิวและประเด็นที่เป็นของมัน เห็นได้ชัดว่าผ่านประเด็นไปมาก เส้นเชิงพื้นที่ซึ่งอยู่ในพื้นผิวนี้ ใครมีสมาคมอะไรบ้าง? =) ...โดยส่วนตัวแล้วจินตนาการถึงปลาหมึกยักษ์ ให้เราสมมติว่าแต่ละบรรทัดดังกล่าวมี แทนเจนต์เชิงพื้นที่ณ จุด

คำจำกัดความ 1: ระนาบแทนเจนต์สู่พื้นผิว ณ จุดหนึ่ง - นี่คือ เครื่องบินซึ่งมีแทนเจนต์ของเส้นโค้งทั้งหมดที่เป็นของพื้นผิวที่กำหนดและผ่านจุดนั้น

คำจำกัดความ 2: ปกติสู่พื้นผิว ณ จุดหนึ่ง - นี่คือ ตรงโดยผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับระนาบแทนเจนต์

เรียบง่ายและสง่างาม อย่างไรก็ตาม เพื่อที่คุณจะได้ไม่เบื่อหน่ายกับความเรียบง่ายของเนื้อหา หลังจากนั้นอีกหน่อยฉันจะแบ่งปันความลับอันสง่างามข้อหนึ่งที่ช่วยให้คุณลืมเกี่ยวกับการยัดเยียดคำจำกัดความต่าง ๆ เพียงครั้งเดียวและตลอดไป

เราจะมาทำความรู้จักกับสูตรการทำงานและอัลกอริธึมการแก้ปัญหาโดยตรงที่ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- ในปัญหาส่วนใหญ่ จำเป็นต้องสร้างทั้งสมการระนาบแทนเจนต์และสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย: ถ้าพื้นผิวถูกกำหนดโดยสมการ (กล่าวคือโดยปริยาย)จากนั้นสมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่กำหนด ณ จุดหนึ่งสามารถหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ฉันให้ความสนใจเป็นพิเศษกับอนุพันธ์บางส่วนที่ผิดปกติ - พวกเขา ไม่ควรสับสนกับ อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย (แม้จะระบุพื้นผิวโดยปริยายก็ตาม)- เมื่อค้นหาอนุพันธ์เหล่านี้ จะต้องได้รับคำแนะนำจาก กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามนั่นคือเมื่อแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อตัวแปรใด ๆ ตัวอักษรอีกสองตัวจะถือเป็นค่าคงที่:

โดยไม่ต้องออกจากเครื่องบันทึกเงินสด เราจะพบอนุพันธ์บางส่วน ณ จุดนั้น:

เช่นเดียวกัน:

นี่เป็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ที่สุดในการตัดสินใจซึ่งข้อผิดพลาดหากไม่ได้รับอนุญาตก็จะปรากฏขึ้นอย่างต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามก็มี เทคนิคที่มีประสิทธิภาพตรวจสอบที่ฉันพูดถึงในชั้นเรียน อนุพันธ์เชิงทิศทางและการไล่ระดับสี.

พบ "ส่วนผสม" ทั้งหมดแล้ว และตอนนี้มันเป็นเรื่องของการทดแทนอย่างระมัดระวังด้วยการลดความซับซ้อนเพิ่มเติม:

– สมการทั่วไประนาบแทนเจนต์ที่ต้องการ

ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบขั้นตอนการแก้ปัญหานี้ด้วย ขั้นแรก คุณต้องแน่ใจว่าพิกัดของจุดแทนเจนต์เป็นไปตามสมการที่พบจริงๆ:

- ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

ตอนนี้เรา "ลบ" ค่าสัมประสิทธิ์ สมการทั่วไประนาบและตรวจสอบความบังเอิญหรือสัดส่วนด้วยค่าที่สอดคล้องกัน ใน ในกรณีนี้สัดส่วน ตามที่คุณจำได้จาก หลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์, - นี้ เวกเตอร์ปกติระนาบแทนเจนต์ และเขาก็เช่นกัน เวกเตอร์นำทางเส้นตรงปกติ มาเขียนกันเถอะ สมการบัญญัติบรรทัดฐานตามเวกเตอร์จุดและทิศทาง:

โดยหลักการแล้ว ตัวส่วนสามารถลดลงได้สองเท่า แต่ไม่มีความจำเป็นใดๆ เป็นพิเศษสำหรับสิ่งนี้

คำตอบ:

ห้ามมิให้กำหนดสมการด้วยตัวอักษรบางตัว แต่ทำไมอีกครั้ง? ที่นี่ชัดเจนแล้วว่าอะไรคืออะไร

สองตัวอย่างต่อไปนี้มีไว้สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- “ทวิสเตอร์ลิ้นทางคณิตศาสตร์” เล็กๆ น้อยๆ:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาสมการของระนาบแทนเจนต์และเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวที่จุดนั้น

และงานที่น่าสนใจจากมุมมองทางเทคนิค:

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของระนาบแทนเจนต์และตั้งฉากกับพื้นผิวที่จุดหนึ่ง

ตรงจุด.

มีโอกาสไม่เพียงแต่จะสับสน แต่ยังประสบปัญหาในการบันทึกอีกด้วย สมการมาตรฐานของเส้นตรง- และสมการปกติอย่างที่คุณคงเข้าใจ มักจะเขียนในรูปแบบนี้ แม้ว่าเนื่องจากการหลงลืมหรือไม่รู้ถึงความแตกต่างบางประการ แต่รูปแบบพาราเมตริกจึงเป็นที่ยอมรับมากกว่า

ตัวอย่างโดยประมาณของการดำเนินการแก้ไขปัญหาขั้นสุดท้ายในตอนท้ายของบทเรียน

มีระนาบสัมผัสกัน ณ จุดใด ๆ บนพื้นผิวหรือไม่? โดยทั่วไปแล้วไม่แน่นอน ตัวอย่างคลาสสิก- นี้ พื้นผิวทรงกรวย และจุด - แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อตัวโดยตรง พื้นผิวทรงกรวยและแน่นอนว่าอย่านอนอยู่ในระนาบเดียวกัน มันง่ายที่จะตรวจสอบว่ามีบางอย่างผิดปกติในเชิงวิเคราะห์: .

แหล่งที่มาของปัญหาก็คือข้อเท็จจริง การไม่มีอยู่จริงอนุพันธ์ย่อยใดๆ ณ จุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่า ณ จุดที่กำหนดจะไม่มีระนาบแทนเจนต์เส้นเดียว

แต่มันเป็นวิทยาศาสตร์ที่ได้รับความนิยมมากกว่าข้อมูลที่สำคัญในทางปฏิบัติ และเรากลับไปสู่เรื่องเร่งด่วน:

วิธีเขียนสมการสำหรับระนาบแทนเจนต์และเส้นปกติที่จุดหนึ่ง
ถ้าพื้นผิวถูกระบุโดยฟังก์ชันที่ชัดเจน?

ลองเขียนมันใหม่โดยปริยาย:

และใช้หลักการเดียวกันนี้เราจะพบอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น สูตรระนาบแทนเจนต์จึงถูกแปลงเป็นสมการต่อไปนี้:

และด้วยเหตุนี้ สมการบัญญัติปกติ:

อย่างที่คุณอาจคาดเดาได้ว่า - สิ่งเหล่านี้เป็น "ของจริง" อยู่แล้ว อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวณ จุดที่เราเคยแสดงด้วยตัวอักษร “z” และพบได้ 100,500 ครั้ง

โปรดทราบว่าในบทความนี้ก็เพียงพอที่จะจำสูตรแรกสุดซึ่งหากจำเป็นก็สามารถหาอย่างอื่นได้ง่าย (แน่นอนว่ามี. ระดับพื้นฐานการตระเตรียม)- นี่เป็นแนวทางที่ควรนำมาใช้ในการเรียน วิทยาศาสตร์ที่แน่นอน, เช่น. จากข้อมูลขั้นต่ำเราต้องพยายาม "ดึง" ข้อสรุปและผลที่ตามมาสูงสุด “การพิจารณา” และความรู้ที่มีอยู่จะช่วยได้! หลักการนี้ยังมีประโยชน์เพราะอาจช่วยให้คุณรอดพ้นจากสถานการณ์วิกฤติได้เมื่อคุณรู้น้อยมาก

มาดูสูตร "แก้ไข" ด้วยตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของระนาบแทนเจนต์และตั้งฉากกับพื้นผิว ณ จุด

มีการซ้อนทับเล็กน้อยที่นี่พร้อมสัญลักษณ์ - ตอนนี้ตัวอักษรหมายถึงจุดบนระนาบ แต่คุณจะทำอย่างไร - ตัวอักษรยอดนิยมเช่นนี้...

สารละลาย: ลองเขียนสมการของระนาบแทนเจนต์ที่ต้องการโดยใช้สูตร:

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น:

มาคำนวณกัน อนุพันธ์ย่อยอันดับ 1ณ จุดนี้:

ดังนั้น:

อย่างระมัดระวัง อย่ารีบเร่ง:

ให้เราเขียนสมการบัญญัติของภาวะปกติ ณ จุดนั้น:

คำตอบ:

และตัวอย่างสุดท้ายสำหรับโซลูชันของคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการสำหรับระนาบแทนเจนต์และเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวที่จุดนั้น

สุดท้าย - เนื่องจากฉันได้อธิบายประเด็นทางเทคนิคเกือบทั้งหมดแล้ว และไม่มีอะไรพิเศษที่จะเพิ่มเติม แม้แต่ฟังก์ชันที่เสนอในงานนี้ก็ยังน่าเบื่อและซ้ำซากจำเจ - ในทางปฏิบัติคุณเกือบจะรับประกันว่าจะเจอ "พหุนาม" และในแง่นี้ ตัวอย่างหมายเลข 2 ที่มีเลขชี้กำลังดูเหมือน "แกะดำ" โดยวิธีการนี้มีแนวโน้มที่จะเผชิญกับพื้นผิวมากขึ้น กำหนดโดยสมการและนี่คืออีกสาเหตุหนึ่งว่าทำไมฟังก์ชันนี้จึงถูกรวมไว้ในบทความเป็นอันดับสอง

และสุดท้ายความลับที่สัญญาไว้: แล้วจะหลีกเลี่ยงการยัดเยียดคำจำกัดความได้อย่างไร? (แน่นอนว่าฉันไม่ได้หมายถึงสถานการณ์ที่นักเรียนกำลังยัดเยียดอะไรบางอย่างก่อนสอบ)

คำจำกัดความของแนวคิด/ปรากฏการณ์/วัตถุใดๆ ประการแรกคือให้คำตอบ คำถามถัดไป: นี่คืออะไร? (ใคร/เช่น/เช่น/เป็น). อย่างมีสติกำลังตอบ คำถามนี้คุณควรพยายามไตร่ตรอง สำคัญสัญญาณ, อย่างแน่นอนการระบุแนวคิด/ปรากฏการณ์/วัตถุเฉพาะ ใช่ในตอนแรกดูเหมือนจะค่อนข้างผูกลิ้นไม่ถูกต้องและซ้ำซ้อน (ครูจะแก้ไขคุณ =)) แต่เมื่อเวลาผ่านไปคำพูดทางวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างดีก็พัฒนาขึ้น

ตัวอย่างเช่นฝึกฝนกับวัตถุที่เป็นนามธรรมที่สุดตอบคำถาม: Cheburashka คือใคร? มันไม่ง่ายขนาดนั้น ;-) นี่คือ " ตัวละครในเทพนิยายมีหูใหญ่ มีตาและมีขนสีน้ำตาล"? ห่างไกลจากคำจำกัดความมาก - คุณไม่มีทางรู้เลยว่ามีตัวละครที่มีลักษณะเช่นนี้... แต่นี่ใกล้เคียงกับคำจำกัดความมากขึ้น: “ Cheburashka เป็นตัวละครที่คิดค้นโดยนักเขียน Eduard Uspensky ในปี 1966 ซึ่ง ... (รายชื่อหลัก คุณสมบัติที่โดดเด่น)» - สังเกตว่ามันเริ่มต้นได้ดีแค่ไหน

คุณสามารถตั้งค่าได้ ในรูปแบบที่แตกต่างกัน(หนึ่งจุดและเวกเตอร์ หนึ่งจุดและเวกเตอร์ สามจุด ฯลฯ) ด้วยเหตุนี้เองที่สมการของระนาบสามารถมีได้ ประเภทต่างๆ- นอกจากนี้ ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ระนาบสามารถขนาน ตั้งฉาก ตัดกัน ฯลฯ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในบทความนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีสร้างสมการทั่วไปของระนาบและอื่นๆ อีกมากมาย

รูปแบบสมการปกติ

สมมติว่ามีช่องว่าง R 3 ที่มีระบบพิกัด XYZ แบบสี่เหลี่ยม ให้เรานิยามเวกเตอร์ α ซึ่งจะปล่อยออกมาจากจุดเริ่มต้น O จนถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ α เราวาดระนาบ P ซึ่งจะตั้งฉากกับมัน

ให้เราแสดงจุดใดก็ได้บน P เป็น Q = (x, y, z) ลองลงนามเวกเตอร์รัศมีของจุด Q ด้วยตัวอักษร p กัน ในกรณีนี้ ความยาวของเวกเตอร์ α เท่ากับ р=IαI และ Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)

นี้ เวกเตอร์หน่วยซึ่งชี้ไปด้านข้างเหมือนกับเวกเตอร์ α α, β และ γ คือมุมที่เกิดขึ้นระหว่างเวกเตอร์ Ʋ และทิศทางบวกของแกนอวกาศ x, y, z ตามลำดับ เส้นโครงของจุดใดๆ QϵП ลงบนเวกเตอร์ Ʋ คือ ค่าคงที่ซึ่งเท่ากับ p: (p,Ʋ) = p(p≥0)

สมการข้างต้นสมเหตุสมผลเมื่อ p=0 สิ่งเดียวคือระนาบ P ในกรณีนี้จะตัดกับจุด O (α = 0) ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด และเวกเตอร์หน่วย Ʋ ที่ปล่อยออกมาจากจุด O จะตั้งฉากกับ P แม้ว่าจะมีทิศทางก็ตาม ซึ่ง หมายความว่าเวกเตอร์ Ʋ ถูกกำหนดด้วยเครื่องหมายที่แม่นยำ สมการก่อนหน้าคือสมการของระนาบ P ของเรา ซึ่งแสดงอยู่ในรูปเวกเตอร์ แต่ในพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

P ตรงนี้มากกว่าหรือเท่ากับ 0 เราพบสมการของระนาบในอวกาศในรูปแบบปกติแล้ว

สมการทั่วไป

หากเราคูณสมการในพิกัดด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้ โดยกำหนดระนาบนั้น มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

โดยที่ A, B, C คือตัวเลขที่แตกต่างจากศูนย์พร้อมกัน สมการนี้เรียกว่าสมการระนาบทั่วไป

สมการของเครื่องบิน กรณีพิเศษ

สมการใน มุมมองทั่วไปอาจแก้ไขได้ตามเงื่อนไขเพิ่มเติม ลองดูบางส่วนของพวกเขา

สมมติว่าสัมประสิทธิ์ A เป็น 0 ซึ่งหมายความว่าระนาบนี้ขนานกับแกน Ox ที่กำหนด ในกรณีนี้ รูปแบบของสมการจะเปลี่ยน: Ву+Cz+D=0

ในทำนองเดียวกัน รูปแบบของสมการจะเปลี่ยนไปภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

• ประการแรก ถ้า B = 0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Ax + Cz + D = 0 ซึ่งจะบ่งบอกถึงความขนานกับแกน Oy
• ประการที่สอง ถ้า C=0 สมการจะถูกแปลงเป็น Ax+By+D=0 ซึ่งจะบ่งบอกถึงความขนานกับแกน Oz ที่กำหนด
• ประการที่สาม หาก D=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้ Ax+By+Cz=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบตัดกัน O (จุดกำเนิด)
• ประการที่สี่ ถ้า A=B=0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Cz+D=0 ซึ่งจะพิสูจน์ขนานกับ Oxy
• ประการที่ห้า ถ้า B=C=0 สมการจะกลายเป็น Ax+D=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบที่ไปยังออยซ์นั้นขนานกัน
• ประการที่หก ถ้า A=C=0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ Ву+D=0 นั่นคือ มันจะรายงานความขนานให้กับ Oxz

ประเภทของสมการในส่วนต่างๆ

ในกรณีที่ตัวเลข A, B, C, D แตกต่างจากศูนย์ รูปแบบของสมการ (0) อาจเป็นได้ดังนี้

x/a + y/b + z/c = 1,

โดยที่ a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C

เราได้รับผลลัพธ์เป็นที่น่าสังเกตว่าระนาบนี้จะตัดแกน Ox ที่จุดที่มีพิกัด (a,0,0), Oy - (0,b,0) และ Oz - (0,0,c ).

เมื่อคำนึงถึงสมการ x/a + y/b + z/c = 1 ไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะจินตนาการถึงตำแหน่งของระนาบที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดที่กำหนดด้วยสายตา

พิกัดเวกเตอร์ปกติ

เวกเตอร์ตั้งฉาก n ไปยังระนาบ P มีพิกัดที่เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของระนาบนี้ ซึ่งก็คือ n (A, B, C)

เพื่อที่จะหาพิกัดของค่า n ปกติ ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้สมการทั่วไปของระนาบที่กำหนด

เมื่อใช้สมการในส่วนซึ่งมีรูปแบบ x/a + y/b + z/c = 1 เช่นเดียวกับเมื่อใช้สมการทั่วไป คุณสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติใดๆ ของระนาบที่กำหนดได้: (1/a + 1/b + 1/ ด้วย)

เป็นที่น่าสังเกตว่าเวกเตอร์ปกติช่วยแก้ปัญหาต่างๆ ได้ ปัญหาที่พบบ่อยที่สุด ได้แก่ ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ความตั้งฉากหรือความขนานของระนาบ ปัญหาในการหามุมระหว่างระนาบหรือมุมระหว่างระนาบกับเส้นตรง

ประเภทของสมการระนาบตามพิกัดของจุดและเวกเตอร์ปกติ

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดเรียกว่าปกติสำหรับระนาบที่กำหนด

ให้เราสมมติว่าในพื้นที่พิกัด (ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) Oxyz จะได้รับ:

• จุด Mₒ พร้อมพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ);
• เวกเตอร์ศูนย์ n=A*i+B*j+C*k

จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับระนาบที่จะผ่านจุด Mₒ ซึ่งตั้งฉากกับ n ปกติ

เราเลือกจุดใดก็ได้ในอวกาศและแสดงว่าเป็น M (x y, z) ปล่อยให้เวกเตอร์รัศมีของจุดใดๆ M (x,y,z) เป็น r=x*i+y*j+z*k และเวกเตอร์รัศมีของจุด Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k จุด M จะอยู่ในระนาบที่กำหนดหากเวกเตอร์ MₒM ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n ให้เราเขียนเงื่อนไขตั้งฉากโดยใช้ผลคูณสเกลาร์:

[MₒM, n] = 0

เนื่องจาก MₒM = r-rₒ สมการเวกเตอร์ของระนาบจะมีลักษณะดังนี้:

สมการนี้สามารถมีรูปแบบอื่นได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะใช้คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ และการเปลี่ยนแปลงก็คือ ด้านซ้ายสมการ

- ถ้าเราแสดงว่ามันเป็น c เราจะได้สมการต่อไปนี้: - c = 0 หรือ = c ซึ่งแสดงออกถึงความคงตัวของเส้นโครงบนเวกเตอร์ปกติของเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนดให้ซึ่งอยู่ในระนาบ ตอนนี้คุณสามารถได้รับมุมมองการประสานงาน

การเขียนสมการเวกเตอร์ของระนาบของเรา = 0 เนื่องจาก r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k และ n = A*i+B*j+ ค*เค เรามี:

ปรากฎว่าเรามีสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับจุดปกติ n:

ประเภทของสมการระนาบตามพิกัดของจุดสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

ให้เราระบุจุดที่ต้องการสองจุด M′ (x′,y′,z′) และ M″ (x″,y″,z″) เช่นเดียวกับเวกเตอร์ a (a′,a″,a‴)

ตอนนี้เราสามารถสร้างสมการสำหรับระนาบที่กำหนด ซึ่งจะผ่านจุด M′ และ M″ ที่มีอยู่ รวมถึงจุด M ใดๆ ที่มีพิกัด (x, y, z) ในแบบคู่ขนาน เวกเตอร์ที่กำหนดก.

ในกรณีนี้ เวกเตอร์ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) และ M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) จะต้องอยู่ในระนาบเดียวกับเวกเตอร์ a=(a′,a″,a‴) ซึ่งหมายความว่า (M′M, M″M, a)=0

ดังนั้น สมการระนาบของเราในอวกาศจะเป็นดังนี้:

ประเภทของสมการของระนาบที่ตัดกันสามจุด

สมมติว่าเรามีจุดสามจุด: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ซึ่งไม่อยู่ในบรรทัดเดียวกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านโดยมีจุดสามจุด ทฤษฎีเรขาคณิตอ้างว่าระนาบประเภทนี้มีอยู่จริง แต่เป็นระนาบเดียวและไม่เหมือนใคร เนื่องจากระนาบนี้ตัดกับจุด (x′,y′,z′) รูปแบบของสมการจะเป็นดังนี้:

ที่นี่ A, B, C แตกต่างจากศูนย์ในเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ ระนาบที่กำหนดยังตัดจุดอีกสองจุด: (x″,y″,z″) และ (x‴,y‴,z‴) ในการนี้จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

ตอนนี้เราสามารถเขียนได้แล้ว ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยที่ไม่รู้จัก u, v, w:

ในตัวเรา กรณี x,yหรือ z ยื่นออกมา จุดใดก็ได้ซึ่งเป็นไปตามสมการ (1) เมื่อกำหนดสมการ (1) และระบบสมการ (2) และ (3) ระบบสมการที่ระบุในรูปด้านบนจะพึงพอใจกับเวกเตอร์ N (A,B,C) ซึ่งไม่สำคัญ นั่นคือสาเหตุที่ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้เท่ากับศูนย์

สมการ (1) ที่เราได้รับคือสมการของระนาบ ผ่าน 3 จุดพอดี เช็คได้ง่ายๆ เพื่อจะทำสิ่งนี้ เราต้องขยายดีเทอร์มิแนนต์ของเราเข้าไปในองค์ประกอบในแถวแรก จากคุณสมบัติที่มีอยู่ของดีเทอร์มิแนนต์ ระนาบของเราตัดกับจุดที่กำหนดตั้งแต่แรกสามจุดพร้อมกัน (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . นั่นคือเราได้แก้ไขงานที่มอบหมายให้เราแล้ว

มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ

มุมไดฮีดรัลแสดงถึงอวกาศ รูปทรงเรขาคณิตเกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองอันที่เล็ดลอดออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูกจำกัดโดยระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้

สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบที่มีสมการต่อไปนี้:

เรารู้ว่าเวกเตอร์ N=(A,B,C) และ N¹=(A¹,B¹,C¹) ตั้งฉากกันตาม ให้เครื่องบิน- ในเรื่องนี้ มุม φ ระหว่างเวกเตอร์ N และ N¹ เท่ากับมุม (ไดฮีดรัล) ที่อยู่ระหว่างระนาบเหล่านี้ สินค้าดอทมีรูปแบบ:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

แม่นยำเพราะว่า

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))

ก็เพียงพอที่จะคำนึงถึง0≤φ≤πนั้น

ในความเป็นจริง ระนาบสองอันที่ตัดกันเป็นสองมุม (ไดฮีดรัล): φ 1 และ φ 2 ผลรวมของพวกเขาเท่ากับ π (φ 1 + φ 2 = π) สำหรับโคไซน์ค่าสัมบูรณ์เท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกันนั่นคือ cos φ 1 = -cos φ 2 หากในสมการ (0) เราแทนที่ A, B และ C ด้วยตัวเลข -A, -B และ -C ตามลำดับ สมการที่เราได้รับจะกำหนดระนาบเดียวกัน เพียงอันเดียวคือมุม φ ใน สมการคอสφ=NN 1 /|N||N 1 | จะถูกแทนที่ด้วย π-φ

สมการของระนาบตั้งฉาก

ระนาบที่มีมุมเป็น 90 องศา เรียกว่าตั้งฉาก จากการใช้วัสดุที่นำเสนอข้างต้น เราสามารถหาสมการของระนาบที่ตั้งฉากกับอีกระนาบหนึ่งได้ สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบ: Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D=0 เราสามารถพูดได้ว่าพวกมันจะตั้งฉากถ้า cosφ=0 ซึ่งหมายความว่า NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0

สมการระนาบขนาน

ระนาบสองระนาบที่ไม่มีจุดร่วมเรียกว่าขนานกัน

เงื่อนไข (สมการเหมือนกับในย่อหน้าก่อนหน้า) คือเวกเตอร์ N และ N¹ ซึ่งตั้งฉากกับพวกมัน เป็นเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าพวกเขาสมหวังแล้ว เงื่อนไขต่อไปนี้สัดส่วน:

A/A¹=B/B¹=C/C¹

หากมีการขยายเงื่อนไขสัดส่วน - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹

นี่แสดงว่าเครื่องบินเหล่านี้ตรงกัน ซึ่งหมายความว่าสมการ Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 อธิบายระนาบเดียว

ระยะทางถึงเครื่องบินจากจุด

สมมติว่าเรามีระนาบ P ซึ่งกำหนดโดยสมการ (0) จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำให้สมการของระนาบ P อยู่ในรูปแบบปกติ:

(ρ,v)=р (р≥0)

ในกรณีนี้ ρ (x,y,z) คือเวกเตอร์รัศมีของจุด Q ของเราซึ่งตั้งอยู่บน P, p คือความยาวของเส้นตั้งฉาก P ที่ปล่อยออกมาจากจุดศูนย์, v คือเวกเตอร์หน่วยซึ่งอยู่ใน ทิศทาง

ผลต่างเวกเตอร์รัศมีρ-ρºของบางจุด Q = (x, y, z) ที่เป็นของ P เช่นเดียวกับเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนด Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) เป็นเวกเตอร์ดังกล่าว ค่าสัมบูรณ์ซึ่งการฉายภาพบน v เท่ากับระยะทาง d ซึ่งจำเป็นต้องหาจาก Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) ถึง P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)| แต่

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)

ดังนั้นปรากฎว่า

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

ดังนั้นเราจะพบ ค่าสัมบูรณ์นิพจน์ผลลัพธ์นั่นคือ d ที่ต้องการ

เมื่อใช้ภาษาพารามิเตอร์ เราจะได้ความชัดเจน:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²)

ถ้า จุดที่กำหนด Q 0 อยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบ P เช่นเดียวกับจุดกำเนิดของพิกัด ดังนั้น ระหว่างเวกเตอร์ ρ-ρ 0 และ v จึงอยู่:

d=-(ρ-ρ 0 ,วี)=(ρ 0 ,วี)-р>0

ในกรณีที่จุด Q 0 พร้อมด้วยจุดกำเนิดของพิกัดอยู่ที่ด้านเดียวกันของ P ดังนั้นมุมที่สร้างขึ้นจะเป็นแบบเฉียบพลันนั่นคือ:

d=(ρ-ρ 0 ,วี)=р - (ρ 0 , โวลต์)>0

ผลปรากฎว่าในกรณีแรก (ρ 0 ,v)>р ในกรณีที่สอง (ρ 0 ,v)<р.

ระนาบแทนเจนต์และสมการของมัน

ระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิว ณ จุดที่สัมผัส M° เป็นระนาบที่มีแทนเจนต์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดกับเส้นโค้งที่ลากผ่านจุดนี้บนพื้นผิว

ด้วยสมการพื้นผิวประเภทนี้ F(x,y,z)=0 สมการของระนาบแทนเจนต์ที่จุดแทนเจนต์ M°(x°,y°,z°) จะมีลักษณะดังนี้:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0

หากคุณระบุพื้นผิวในรูปแบบที่ชัดเจน z=f (x,y) ระนาบแทนเจนต์จะถูกอธิบายด้วยสมการ:

z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°)

จุดตัดของเครื่องบินสองลำ

ในระบบพิกัด (สี่เหลี่ยม) Oxyz ตั้งอยู่นั้น จะมีระนาบ П′ และ П″ สองลำซึ่งตัดกันและไม่ตรงกัน เนื่องจากระนาบใดๆ ที่อยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป เราจะถือว่า P′ และ P″ กำหนดโดยสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x +B″y+ С″z+D″=0. ในกรณีนี้ เรามี n′ ปกติ (A′,B′,C′) ของระนาบ P′ และ n″ ปกติ (A″,B″,C″) ของระนาบ P″ เนื่องจากระนาบของเราไม่ขนานกันและไม่ตรงกัน เวกเตอร์เหล่านี้จึงไม่ขนานกัน เมื่อใช้ภาษาคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนเงื่อนไขนี้ได้ดังนี้: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ให้เส้นตรงที่อยู่ตรงจุดตัดของ P′ และ P″ เขียนแทนด้วยตัวอักษร a ในกรณีนี้ a = P′ ∩ P″

a เป็นเส้นตรงที่ประกอบด้วยเซตของจุดทุกจุดของระนาบ (ทั่วไป) P′ และ P″ ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของเส้น a จะต้องเป็นไปตามสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x+B″y+C″z+D″=0 ไปพร้อมๆ กัน . ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดจะเป็นคำตอบบางส่วนของระบบสมการต่อไปนี้:

ผลปรากฎว่าการแก้ (ทั่วไป) ของระบบสมการนี้จะกำหนดพิกัดของแต่ละจุดของเส้นซึ่งจะทำหน้าที่เป็นจุดตัดของ P′ และ P″ และกำหนดเส้นตรง a ในระบบพิกัด Oxyz (สี่เหลี่ยม) ในอวกาศ

อะไรเป็นเรื่องปกติ? พูดง่ายๆ ก็คือ เส้นปกตินั้นตั้งฉากกัน นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด แน่นอนว่า เส้นตรงใดๆ มีจำนวนอนันต์ (เช่นเดียวกับเวกเตอร์ทิศทาง) และเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงทั้งหมดจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ ก็ไม่ทำให้เกิดความแตกต่าง)

การจัดการกับพวกมันจะง่ายกว่าการใช้เวกเตอร์นำทาง:

ถ้าเส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แล้วเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้

หากพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางต้องถูก "ดึงออก" ออกจากสมการอย่างระมัดระวัง พิกัดของเวกเตอร์ปกติก็สามารถ "ลบออก" ได้ง่ายๆ

เวกเตอร์ปกติตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเสมอ ให้เราตรวจสอบมุมตั้งฉากของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้ผลคูณสเกลาร์:

ฉันจะยกตัวอย่างด้วยสมการเดียวกันกับเวกเตอร์ทิศทาง:

เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างสมการของเส้นตรงโดยให้จุดหนึ่งจุดกับเวกเตอร์ปกติ? หากทราบเวกเตอร์ปกติ ทิศทางของเส้นตรงก็จะถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน - นี่คือ "โครงสร้างแข็ง" ที่มีมุม 90 องศา

จะเขียนสมการของเส้นตรงโดยให้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

หากทราบจุดหนึ่งของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

วิธีแก้ไข: ใช้สูตร:

เราได้สมการทั่วไปของเส้นตรงแล้ว มาตรวจสอบกัน:

1) “ลบ” พิกัดของเวกเตอร์ปกติออกจากสมการ: – ใช่ จริงๆ แล้วเวกเตอร์ดั้งเดิมได้มาจากเงื่อนไข (หรือควรได้รับเวกเตอร์คอลลิเนียร์)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการหรือไม่:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

หลังจากที่เรามั่นใจว่าสมการนั้นประกอบขึ้นอย่างถูกต้องแล้ว เราจะทำงานส่วนที่สองที่ง่ายกว่าให้เสร็จ เรานำเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงออกมา:

คำตอบ:

ในรูปวาดสถานการณ์จะเป็นดังนี้:

เพื่อวัตถุประสงค์ในการฝึกอบรม งานที่คล้ายกันในการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ส่วนสุดท้ายของบทเรียนจะเน้นไปที่สมการเส้นบนระนาบที่พบได้น้อยกว่า แต่ยังรวมถึงสมการประเภทเส้นบนเครื่องบินที่สำคัญด้วย

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
สมการของเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ มีรูปแบบ โดยที่ค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการบางประเภทไม่สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ เช่น สัดส่วนโดยตรง (เนื่องจากเทอมอิสระเท่ากับศูนย์และไม่มีทางจะได้สมการที่อยู่ทางด้านขวา)

หากพูดในเชิงเปรียบเทียบแล้ว นี่คือสมการประเภท "ทางเทคนิค" งานทั่วไปคือการแสดงสมการทั่วไปของเส้นเป็นสมการของเส้นในส่วนต่างๆ สะดวกยังไง? สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ ช่วยให้คุณค้นหาจุดตัดของเส้นด้วยแกนพิกัดได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งอาจมีความสำคัญมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ระดับสูงบางข้อ

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกับแกนกัน เรารีเซ็ต "y" ให้เป็นศูนย์ และสมการจะอยู่ในรูปแบบ . ได้รับจุดที่ต้องการโดยอัตโนมัติ: .

เช่นเดียวกับแกน – จุดที่เส้นตรงตัดกับแกนพิกัด

การกระทำที่ฉันเพิ่งอธิบายโดยละเอียดนั้นเป็นการกระทำด้วยวาจา

โดยให้เป็นเส้นตรง เขียนสมการของเส้นตรงเป็นส่วนๆ และกำหนดจุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด

วิธีแก้ไข: ลองลดสมการให้อยู่ในรูปแบบ ขั้นแรกเราย้ายคำศัพท์อิสระไปทางด้านขวา:

หากต้องการให้อยู่ทางขวา ให้หารแต่ละเทอมในสมการด้วย –11:

การสร้างเศษส่วนสามชั้น:

จุดตัดของเส้นตรงกับแกนพิกัดปรากฏขึ้น:

คำตอบ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการติดไม้บรรทัดแล้ววาดเส้นตรง

เห็นได้ง่ายว่าเส้นนี้ถูกกำหนดโดยส่วนสีแดงและสีเขียวโดยเฉพาะ จึงเป็นที่มาของชื่อ - "สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ"

แน่นอนว่าการหาคะแนนจากสมการนั้นไม่ใช่เรื่องยากนัก แต่งานก็ยังมีประโยชน์ อัลกอริธึมที่พิจารณาจะต้องค้นหาจุดตัดของระนาบด้วยแกนพิกัด เพื่อลดสมการของเส้นลำดับที่สองให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน และในปัญหาอื่นๆ ดังนั้นเส้นตรงสองสามเส้นสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ:

วาดสมการของเส้นตรงเป็นส่วนๆ และกำหนดจุดตัดกันด้วยแกนพิกัด

คำตอบและคำตอบในตอนท้าย อย่าลืมว่าคุณสามารถวาดทุกอย่างได้หากต้องการ

จะเขียนสมการพาราเมตริกสำหรับเส้นตรงได้อย่างไร?

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงมีความเกี่ยวข้องกับเส้นตรงในอวกาศมากกว่า แต่หากไม่มีเส้นตรง นามธรรมของเราก็จะไร้ประโยชน์

หากทราบจุดหนึ่งของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ ระบบจะกำหนดสมการพาราเมตริกของเส้นนี้:

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

การแก้ปัญหาสิ้นสุดลงก่อนที่จะเริ่มด้วยซ้ำ:

พารามิเตอร์ “te” สามารถรับค่าใดก็ได้ตั้งแต่ “ลบอนันต์” ถึง “บวกอนันต์” และค่าพารามิเตอร์แต่ละค่าจะสอดคล้องกับจุดเฉพาะบนระนาบ ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วเราจะได้ประเด็น .

ปัญหาผกผัน: จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าจุดเงื่อนไขจะเป็นของบรรทัดที่กำหนดหรือไม่

ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการพาราเมตริกผลลัพธ์:

จากสมการทั้งสองจะเป็นไปตามนั้น กล่าวคือ ระบบมีความสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

พิจารณางานที่มีความหมายเพิ่มเติม:

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรง

วิธีแก้: ตามเงื่อนไข เส้นตรงถูกกำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไป ในการเขียนสมการพาราเมตริกของเส้น คุณจำเป็นต้องรู้เวกเตอร์ทิศทางและจุดบางจุดของเส้นนี้

ลองหาเวกเตอร์ทิศทาง:

ตอนนี้คุณจำเป็นต้องค้นหาจุดที่เป็นของเส้น (ใครก็ตามจะทำ) เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้จะสะดวกในการเขียนสมการทั่วไปใหม่ในรูปแบบของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

แน่นอนว่าสิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงประเด็น

มาเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงกัน:

และสุดท้ายก็เป็นงานสร้างสรรค์เล็กๆ น้อยๆ ให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงหากทราบจุดที่เป็นของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติ

มีมากกว่าหนึ่งวิธีในการกำหนดงาน เวอร์ชันหนึ่งของโซลูชันและคำตอบในตอนท้าย

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: วิธีแก้: มาหาความชันกัน:

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4: วิธีแก้ไข: มาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตร:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 6: วิธีแก้ไข: ใช้สูตร:

คำตอบ: (แกน y)

ตัวอย่างที่ 8: สารละลาย: มาสร้างสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุดกัน:

คูณทั้งสองข้างด้วย –4:

และหารด้วย 5:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10: สารละลาย: เราใช้สูตร:

ลดลง –2:

เวกเตอร์โดยตรง:
คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 12:
ก) สารละลาย: มาแปลงสมการกันเถอะ:

ดังนั้น:

คำตอบ:

ข) สารละลาย: มาแปลงสมการกันเถอะ:

ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 15: สารละลาย: ก่อนอื่น เรามาสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงที่จุดหนึ่งกันก่อน และเวกเตอร์ปกติ :

คูณด้วย 12:

เราคูณด้วยอีก 2 เพื่อกำจัดเศษส่วนหลังจากเปิดวงเล็บที่สอง:

เวกเตอร์โดยตรง:
มาเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงจากจุดหนึ่งกันดีกว่า และเวกเตอร์ทิศทาง :
คำตอบ:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนเครื่องบิน
ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น มุมระหว่างเส้นตรง

เรายังคงพิจารณาเส้นตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุดเหล่านี้ต่อไป

จะหาระยะทางจากจุดถึงเส้นได้อย่างไร?
จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?
จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส สองบรรทัดสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนาน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทางแยกทางคณิตศาสตร์จะปรากฎบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:

เส้นสองเส้นเกิดขึ้นพร้อมกันหากค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ค่าเท่ากันคงอยู่

ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ตัดด้วย 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน: .

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่ .

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นสองเส้นตัดกันถ้าหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรนั้นไม่เป็นสัดส่วน นั่นคือไม่มีค่า "แลมบ์ดา" ดังกล่าวที่ความเท่าเทียมกันถืออยู่

ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายความว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อความสอดคล้องกันมาก แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

การแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการศึกษาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” สามารถพบได้โดยตรงจากความสัมพันธ์ของเวกเตอร์ทิศทางเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปได้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเอง: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเงื่อนไขเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์จะเป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

เส้นจึงตรงกัน

จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น

วิธีแก้ไข: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่

ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ

ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า

เส้นทางที่สั้นที่สุดอยู่ที่จุดสิ้นสุด

จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด จากนั้นพิกัดของมันคือคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ซึ่งเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนระนาบ

หาจุดตัดกันของเส้น

วิธีแก้ไข: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดแล้วค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง โดยพิกัดเหล่านั้นควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราดูวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบกราฟิกโดยใช้สมการ 2 ตัว ไม่ทราบค่า 2 ตัว

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดกันเองก็อาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงเป็นการสมควรมากกว่าที่จะค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม

การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ

หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก และฉันจะเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก

คำตอบแบบเต็มและคำตอบในตอนท้าย:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด

วิธีแก้ไข: ตามเงื่อนไขเป็นที่ทราบกันดีว่า . คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:

จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

คำตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และการใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เราได้ข้อสรุปว่าเส้นตรงตั้งฉากกัน:

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ปัญหามีหลายการกระทำ ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาทีละจุด

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ระยะทางในเรขาคณิตมักแสดงด้วยอักษรกรีก "p" ตัวอย่างเช่น: – ระยะทางจากจุด “m” ถึงเส้นตรง “d”

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

วิธีแก้ไข: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:

จะสร้างจุดที่สมมาตรรอบเส้นตรงได้อย่างไร?

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง - ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" หรือมุม "ราสเบอร์รี่" ที่ตรงกันข้ามก็ถือเป็นเช่นนี้

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถถือเป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

การใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์:

คำตอบ:

ในคำตอบของคุณ เราจะระบุค่าที่แน่นอนตลอดจนค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

มีวิธีแก้ไขที่สาม แนวคิดคือการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ในที่นี้เราไม่ได้พูดถึงมุมเชิงมุมอีกต่อไป แต่ "แค่เกี่ยวกับมุมหนึ่ง" นั่นคือผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกอย่างแน่นอน ประเด็นก็คือคุณอาจได้มุมป้าน (ไม่ใช่มุมที่คุณต้องการ) ในกรณีนี้ คุณจะต้องจองว่ามุมระหว่างเส้นตรงเป็นมุมที่เล็กกว่า และลบอาร์คโคไซน์ผลลัพธ์จากเรเดียน “pi” (180 องศา)

หามุมระหว่างเส้น.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ลองแก้ปัญหาด้วยสองวิธี

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3: วิธีแก้ไข: ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ลองเขียนสมการของเส้นตรงที่ต้องการโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

หมายเหตุ: ที่นี่สมการแรกของระบบคูณด้วย 5 จากนั้นสมการที่ 2 ลบทีละเทอมจากสมการที่ 1
คำตอบ:

หากต้องการศึกษาสมการเส้นตรง คุณต้องมีความเข้าใจเกี่ยวกับพีชคณิตเวกเตอร์เป็นอย่างดี สิ่งสำคัญคือต้องค้นหาเวกเตอร์ทิศทางและเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง บทความนี้จะพิจารณาเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงพร้อมตัวอย่างและภาพวาด ค้นหาพิกัดของมันหากทราบสมการของเส้นตรง จะมีการหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

เพื่อให้วัสดุย่อยง่ายขึ้น คุณต้องเข้าใจแนวคิดของเส้น ระนาบ และคำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ ก่อนอื่น มาทำความรู้จักกับแนวคิดของเวกเตอร์เส้นตรงกันก่อน

คำจำกัดความ 1

เวกเตอร์เส้นปกติคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่อยู่บนเส้นตรงใดๆ ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

เห็นได้ชัดว่ามีเวกเตอร์ปกติจำนวนอนันต์อยู่บนเส้นที่กำหนด ลองดูรูปด้านล่าง

เราพบว่าเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นที่กำหนด จากนั้นเส้นตั้งฉากจะขยายไปถึงเส้นขนานเส้นที่สอง จากนี้เราจะได้ว่าเซตของเวกเตอร์ปกติของเส้นขนานเหล่านี้ตรงกัน เมื่อเส้น a และ 1 ขนานกัน และ n → ถือเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น a และถือเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น a 1 เช่นกัน เมื่อเส้นตรง a มีเวกเตอร์โดยตรง ดังนั้นเวกเตอร์ t · n → จะไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ t และยังเป็นเรื่องปกติสำหรับเส้น a ด้วย

จากคำนิยามของเวกเตอร์ปกติและเวกเตอร์ทิศทาง เราสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์ปกติตั้งฉากกับทิศทาง ลองดูตัวอย่าง

หากให้ระนาบ O x y เซตของเวกเตอร์สำหรับ O x จะเป็นเวกเตอร์พิกัด j → ถือว่าไม่เป็นศูนย์และอยู่ในแกนพิกัด O y ซึ่งตั้งฉากกับ O x เวกเตอร์ปกติทั้งเซตเทียบกับ O x สามารถเขียนได้เป็น t · j →, t ∈ R, t ≠ 0

ระบบสี่เหลี่ยม O x y z มีเวกเตอร์ปกติ i → สัมพันธ์กับเส้นตรง O z เวกเตอร์ j → ก็ถือว่าเป็นเรื่องปกติเช่นกัน นี่แสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่อยู่ในระนาบใดๆ และตั้งฉากกับ O z ถือว่าเป็นเรื่องปกติสำหรับ O z

พิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้น - การค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นโดยใช้สมการที่รู้จักของเส้น

เมื่อพิจารณาระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y เราพบว่าสมการของเส้นตรงบนระนาบสอดคล้องกับมัน และการหาเวกเตอร์ปกติทำจากพิกัด หากทราบสมการของเส้นตรงและจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติก็จำเป็นต้องระบุสัมประสิทธิ์จากสมการ A x + B y + C = 0 ซึ่งสอดคล้องกับพิกัดของ เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อกำหนดเส้นตรงในรูปแบบ 2 x + 7 y - 4 = 0 _ ให้ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

สารละลาย

ตามเงื่อนไข เราพบว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติ ซึ่งหมายความว่าพิกัดของเวกเตอร์มีค่า 2, 7

คำตอบ: 2 , 7 .

มีหลายครั้งที่ A หรือ B จากสมการเท่ากับศูนย์ ลองดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับงานดังกล่าวโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2

ระบุเวกเตอร์ปกติสำหรับเส้นตรงที่กำหนด y - 3 = 0

สารละลาย

ตามเงื่อนไข เราจะได้สมการทั่วไปของเส้นตรงมา ดังนั้นลองเขียนมันแบบนี้: 0 · x + 1 · y - 3 = 0 ตอนนี้เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติได้ชัดเจน ซึ่งหมายความว่าเราพบว่าพิกัดของเวกเตอร์ปกติคือ 0, 1

คำตอบ: 0, 1.

หากให้สมการในส่วนของรูปแบบ x a + y b = 1 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = k · x + b จำเป็นต้องลดให้เหลือสมการทั่วไปของเส้นซึ่งคุณสามารถค้นหาพิกัดได้ ของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติหากให้สมการของเส้นตรง x 1 3 - y = 1

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องย้ายจากสมการในส่วน x 1 3 - y = 1 ไปเป็นสมการทั่วไป จากนั้นเราจะได้ว่า x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0

นี่แสดงว่าพิกัดของเวกเตอร์ปกติมีค่า 3, - 1

คำตอบ: 3 , - 1 .

หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐานของเส้นบนระนาบ x - x 1 a x = y - y 1 a y หรือพาราเมตริก x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · λ จากนั้นการได้รับพิกัดจะกลายเป็น ซับซ้อนมากขึ้น จากสมการเหล่านี้ชัดเจนว่าพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางจะเป็น a → = (a x , a y) . ความเป็นไปได้ที่จะค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติ n → เป็นไปได้เนื่องจากสภาวะตั้งฉากของเวกเตอร์ n → และ a →

เป็นไปได้ที่จะได้รับพิกัดของเวกเตอร์ปกติโดยการลดสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกของเส้นตรงให้เหลือสมการทั่วไป จากนั้นเราจะได้รับ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · lad ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถเลือกวิธีที่สะดวกได้

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรงที่กำหนด x - 2 7 = y + 3 - 2

สารละลาย

จากเส้นตรง x - 2 7 = y + 3 - 2 เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ทิศทางจะมีพิกัด a → = (7 , - 2) เวกเตอร์ปกติ n → = (n x , n y) ของเส้นตรงที่กำหนดจะตั้งฉากกับ a → = (7 , - 2)

ลองหาว่าผลคูณสเกลาร์เท่ากับอะไร ในการหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a → = (7, - 2) และ n → = (n x, n y) ให้เขียน a →, n → = 7 · n x - 2 · n y = 0

ควรหาค่าของ n x ตามอำเภอใจ ถ้า n x = 1 เราจะได้จากตรงนี้ว่า 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ปกติมีพิกัด 1, 7 2

วิธีแก้ปัญหาที่สองมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันจำเป็นที่จะต้องมาจากรูปแบบทั่วไปของสมการจากสมการที่เป็นที่ยอมรับ เพื่อทำเช่นนี้ เราเปลี่ยนแปลง

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 · (y + 3) = - 2 · (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

ผลลัพธ์ที่ได้ของพิกัดของเวกเตอร์ปกติคือ 2, 7

คำตอบ: 2, 7หรือ 1 , 7 2 .

ตัวอย่างที่ 5

ระบุพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง x = 1 y = 2 - 3 · แลมบ์

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องทำการเปลี่ยนแปลงเพื่อเปลี่ยนเป็นรูปแบบทั่วไปของเส้นตรง มาทำกัน:

x = 1 y = 2 - 3 · แลมบ์ดา ⇔ x = 1 + 0 · แลมบ์ = 2 - 3 · แลมบ์ ⇔ แลมบ์ = x - 1 0 แลม = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 · (x - 1) = 0 · (y - 2) ⇔ - 3 · x + 0 · y + 3 = 0

นี่แสดงว่าพิกัดของเวกเตอร์ปกติคือ - 3, 0

คำตอบ: - 3 , 0 .

ลองพิจารณาวิธีการหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติสำหรับสมการของเส้นตรงในอวกาศที่กำหนดโดยระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z

เมื่อเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการระนาบที่ตัดกัน A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 แล้วเวกเตอร์ปกติของ เครื่องบินหมายถึง A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 จากนั้นเราจะได้เวกเตอร์ที่เขียนในรูปแบบ n 1 → = (A 1, B 1, C 1) และ n 2 → = (A 2, B 2, C 2)

เมื่อกำหนดเส้นตรงโดยใช้สมการปริภูมิมาตรฐาน โดยมีรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z หรือสมการพาราเมตริก โดยมีรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · แลมซี = z 1 + a z · λ ดังนั้น a x, a y และ a z จึงถือเป็นพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่กำหนด เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ สามารถเป็นเส้นปกติสำหรับเส้นตรงที่กำหนดได้ และตั้งฉากกับเวกเตอร์ a → = (a x, a y, a z) ตามมาว่าการค้นหาพิกัดของเส้นปกติด้วยสมการพาราเมตริกและสมการบัญญัติทำได้โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x, a y, a z)

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter