สมการระนาบ จะเขียนสมการระนาบได้อย่างไร?
การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบิน งาน

เรขาคณิตเชิงพื้นที่ไม่ได้ซับซ้อนกว่าเรขาคณิต "แบน" มากนัก และเที่ยวบินของเราในอวกาศเริ่มต้นด้วยบทความนี้ การจะเข้าใจหัวข้อนั้น ต้องมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับ เวกเตอร์นอกจากนี้ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำความคุ้นเคยกับเรขาคณิตของระนาบ - จะมีความคล้ายคลึงกันมากมายการเปรียบเทียบมากมายดังนั้นข้อมูลจะถูกย่อยได้ดีขึ้นมาก ในชุดบทเรียนของฉัน โลก 2D เปิดขึ้นพร้อมกับบทความ สมการของเส้นตรงบนระนาบ. แต่ตอนนี้แบทแมนได้ก้าวออกจากทีวีจอแบนและกำลังเปิดตัวจาก Baikonur Cosmodrome

เริ่มจากภาพวาดและสัญลักษณ์กันก่อน แผนผังสามารถวาดระนาบเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งให้ความรู้สึกของพื้นที่:

เครื่องบินไม่มีที่สิ้นสุด แต่เรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น ในทางปฏิบัติ นอกจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังวาดวงรีหรือแม้แต่ก้อนเมฆด้วย ด้วยเหตุผลทางเทคนิค ฉันสะดวกกว่าที่จะพรรณนาเครื่องบินในลักษณะนี้และในตำแหน่งนี้ ระนาบจริงที่เราจะพิจารณาในตัวอย่างเชิงปฏิบัติ สามารถจัดเรียงได้ตามที่คุณต้องการ - วาดภาพในมือของคุณแล้วบิดมันในอวกาศ ทำให้ระนาบมีความลาดเอียง มุมใดก็ได้

สัญกรณ์: เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดระนาบด้วยตัวอักษรกรีกตัวเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้สับสนกับ ตรงขึ้นเครื่องบินหรือกับ ตรงไปในอวกาศ. ฉันเคยชินกับการใช้ตัวอักษร ในภาพวาด มันคือตัวอักษร "ซิกม่า" ไม่ใช่รูแต่อย่างใด แม้ว่าระนาบที่มีรูพรุน แต่ก็เป็นเรื่องตลกมาก

ในบางกรณี เป็นการสะดวกที่จะใช้อักษรกรีกตัวเดียวกันกับตัวห้อยเพื่อกำหนดระนาบ เช่น .

เห็นได้ชัดว่าระนาบถูกกำหนดโดยจุดที่แตกต่างกันสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดเครื่องบินสามตัวอักษรจึงเป็นที่นิยม - ตามคะแนนที่เป็นของพวกเขาเป็นต้น มักมีตัวอักษรอยู่ในวงเล็บ: เพื่อไม่ให้สับสนระนาบกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น

สำหรับผู้อ่านที่มีประสบการณ์ฉันจะให้ เมนูทางลัด:

• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร
• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

และเราจะไม่อ่อนระโหยโรยแรงในการรอคอยนาน

สมการทั่วไปของระนาบ

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

การคำนวณเชิงทฤษฎีและปัญหาเชิงปฏิบัติจำนวนหนึ่งใช้ได้สำหรับทั้งแบบธรรมดาและแบบธรรมดาและสำหรับพื้นฐานความผูกพันของพื้นที่ (ถ้าน้ำมันคือน้ำมัน ให้กลับไปที่บทเรียน การพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์). เพื่อความง่าย เราจะถือว่าเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นแบบออร์โธนอร์มัลและระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

และตอนนี้เรามาฝึกจินตนาการเชิงพื้นที่กันเถอะ ไม่เป็นไรถ้าคุณมีมันแย่ ตอนนี้เราจะพัฒนามันเล็กน้อย แม้แต่การเล่นประสาทก็ต้องฝึกฝน

ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ เมื่อตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องบินจะตัดกันทั้งสามแกน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเครื่องบินยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดในทุกทิศทาง และเรามีโอกาสแสดงภาพเพียงบางส่วนเท่านั้น

พิจารณาสมการระนาบที่ง่ายที่สุด:

จะเข้าใจสมการนี้ได้อย่างไร? ลองคิดดู: "Z" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "X" และ "Y" เท่ากับศูนย์ นี่คือสมการของระนาบพิกัด "ดั้งเดิม" ที่จริงแล้ว สมการอย่างเป็นทางการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: จากที่เห็นได้ชัดว่าเราไม่สนใจ ค่า "x" และ "y" ใช้อะไรเป็นสิ่งสำคัญที่ "z" เท่ากับศูนย์

ในทำนองเดียวกัน:
คือ สมการระนาบพิกัด ;
คือสมการระนาบพิกัด

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นหน่อย พิจารณาระนาบ (ที่นี่และเพิ่มเติมในย่อหน้าที่เราคิดว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ: . จะเข้าใจได้อย่างไร? "X" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" และ "z" เท่ากับจำนวนที่แน่นอน ระนาบนี้ขนานกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น เครื่องบินขนานกับระนาบและผ่านจุดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับระนาบพิกัด
- สมการระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

เพิ่มสมาชิก: . สมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: นั่นคือ "Z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ มันหมายความว่าอะไร? "X" และ "Y" เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนที่ลากเส้นตรงในระนาบ (คุณจะจำได้ สมการเส้นตรงในระนาบ?) เนื่องจาก Z สามารถเป็นอะไรก็ได้ บรรทัดนี้จึง "จำลอง" ที่ความสูงเท่าใดก็ได้ ดังนั้น สมการจึงกำหนดระนาบขนานกับแกนพิกัด

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์ เครื่องบินจะผ่านแกนที่เกี่ยวข้องโดยตรง ตัวอย่างเช่น "สัดส่วนโดยตรง" แบบคลาสสิก: ลากเส้นตรงในระนาบแล้วคูณด้วยใจขึ้นและลง (เพราะ "z" เป็นใดๆ) สรุป: ระนาบที่กำหนดโดยสมการผ่านแกนพิกัด

เราสรุปการทบทวน: สมการของระนาบ ผ่านแหล่งกำเนิด ตรงนี้ค่อนข้างชัดเจนว่าจุดนั้นตรงกับสมการที่กำหนด

และสุดท้าย กรณีที่แสดงในภาพวาด: - เครื่องบินเป็นเพื่อนกับแกนพิกัดทั้งหมด ในขณะที่มันมักจะ "ตัด" สามเหลี่ยมที่สามารถอยู่ในแปดอ็อกเทนต์ตัวใดก็ได้

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เข้าใจข้อมูล จำเป็นต้องศึกษาให้ดี ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในระนาบเพราะหลายๆ อย่างก็จะคล้ายๆ กัน ย่อหน้าจะเป็นภาพรวมโดยสังเขปพร้อมตัวอย่างบางส่วน เนื่องจากเนื้อหาค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ

หากสมการกำหนดระนาบ แสดงว่าอสมการ
ถาม ครึ่งช่องว่าง. หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด (สองรายการสุดท้ายในรายการ) วิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันนอกเหนือจากครึ่งสเปซจะรวมระนาบด้วย

ตัวอย่างที่ 5

หาเวกเตอร์ปกติหน่วยของระนาบ .

วิธีการแก้: เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่ง ลองแทนเวกเตอร์นี้ด้วย ค่อนข้างชัดเจนว่าเวกเตอร์เป็นแบบ collinear:

อันดับแรก เราลบเวกเตอร์ตั้งฉากออกจากสมการของระนาบ: .

จะหาเวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร? ในการหาเวกเตอร์หน่วย คุณต้องมี ทั้งหมดพิกัดเวกเตอร์หารด้วยความยาวเวกเตอร์.

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติใหม่ในรูปแบบและหาความยาวของมัน:

ตามข้างต้น:

ตอบ:

ตรวจสอบ: ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบ

ท่านผู้อ่านที่ศึกษาย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียนอย่างรอบคอบแล้วคงสังเกตว่า พิกัดของเวกเตอร์หน่วยคือทิศทางของโคไซน์ของเวกเตอร์:

ลองพูดนอกเรื่องจากปัญหาการถอดประกอบ: เมื่อคุณได้รับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตามอำเภอใจ, และโดยเงื่อนไข มันจะต้องค้นหาทิศทางของโคไซน์ (ดูภารกิจสุดท้ายของบทเรียน ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์) ที่จริงแล้ว คุณยังหาเวกเตอร์หน่วย collinear กับเวกเตอร์ที่กำหนดด้วย อันที่จริงสองงานในขวดเดียว

ความจำเป็นในการหาเวกเตอร์ปกติของหน่วยเกิดขึ้นในปัญหาบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เราหาการตกปลาของเวกเตอร์ปกติแล้ว ตอนนี้เราจะตอบคำถามตรงข้าม:

จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

โครงสร้างที่เข้มงวดของเวกเตอร์ปกติและจุดนี้เป็นที่รู้จักกันดีโดยเป้าหมายปาเป้า โปรดเหยียดมือไปข้างหน้าและเลือกจุดที่ต้องการในอวกาศเช่นแมวตัวเล็กในตู้ข้าง เห็นได้ชัดว่า ผ่านจุดนี้ คุณสามารถวาดระนาบเดียวตั้งฉากกับมือของคุณ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้นแสดงโดยสูตร:

ให้จำเป็นต้องหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว แทนเวกเตอร์รัศมีของพวกมัน และเวกเตอร์รัศมีปัจจุบันโดย เราสามารถหาสมการที่ต้องการในรูปแบบเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย อันที่จริง เวกเตอร์ จะต้องเป็นระนาบเดียวกัน (พวกมันทั้งหมดอยู่ในระนาบที่ต้องการ) ดังนั้นผลคูณเวกเตอร์-สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะต้องเท่ากับศูนย์:

นี่คือสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด ในรูปเวกเตอร์

เมื่อหันไปหาพิกัด เราจะได้สมการเป็นพิกัด:

ถ้าสามจุดที่กำหนดให้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเส้นตรง ดังนั้นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสองแถวสุดท้ายของดีเทอร์มีแนนต์ในสมการ (18) จะเป็นสัดส่วนและดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับศูนย์เหมือนกัน ดังนั้นสมการ (18) จะกลายเป็นเอกลักษณ์ของค่าใด ๆ ของ x, y และ z ในทางเรขาคณิต นี่หมายความว่าระนาบผ่านแต่ละจุดของอวกาศ ซึ่งจุดที่กำหนดสามจุดก็อยู่ด้วย

หมายเหตุ 1. ปัญหาเดียวกันสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้เวกเตอร์

ระบุพิกัดของจุดที่กำหนดสามจุดตามลำดับ โดยเราเขียนสมการของระนาบใดๆ ที่ผ่านจุดแรก:

เพื่อให้ได้สมการของระนาบที่ต้องการ เราต้องกำหนดให้สมการ (17) เป็นไปตามพิกัดของอีกสองจุดที่เหลือ:

จากสมการ (19) จำเป็นต้องกำหนดอัตราส่วนของสองสัมประสิทธิ์ที่สามและป้อนค่าที่พบลงในสมการ (17)

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดแรกจะเป็นดังนี้

เงื่อนไขสำหรับเครื่องบิน (17) ที่จะผ่านอีกสองจุดและจุดแรกคือ:

การเพิ่มสมการที่สองเข้ากับสมการแรก เราจะได้:

แทนสมการที่สอง เราจะได้:

แทนสมการ (17) แทน A, B, C ตามลำดับ 1, 5, -4 (ตัวเลขตามสัดส่วน) เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2)

สมการของระนาบใดๆ ที่ผ่านจุด (0, 0, 0) จะเป็น]

เงื่อนไขในการส่งเครื่องบินลำนี้ผ่านจุด (1, 1, 1) และ (2, 2, 2) คือ:

เมื่อลดสมการที่สองลง 2 เราจะเห็นว่าการหาค่าไม่ทราบค่าทั้งสองนั้น ความสัมพันธ์มีสมการเดียวด้วย

จากนี้ไปเราจะได้ ตอนนี้แทนค่าในสมการระนาบแทนค่า เราจะพบว่า:

นี่คือสมการของระนาบที่ต้องการ มันขึ้นอยู่กับพล

ปริมาณ B, C (กล่าวคือ จากอัตราส่วน กล่าวคือ มีเครื่องบินจำนวนอนันต์ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด (สามจุดที่กำหนดให้อยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น)

หมายเหตุ 2. ปัญหาของการวาดระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันนั้นแก้ไขได้ง่ายในรูปแบบทั่วไปถ้าเราใช้ดีเทอร์มีแนนต์ อันที่จริง เนื่องจากในสมการ (17) และ (19) สัมประสิทธิ์ A, B, C ไม่สามารถเท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ ดังนั้น เมื่อพิจารณาสมการเหล่านี้เป็นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยไม่ทราบค่าสามตัว A, B, C เราจึงเขียนสมการที่จำเป็นและเพียงพอ เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของโซลูชันของระบบนี้ นอกเหนือจากศูนย์ (ตอนที่ 1, ch. VI, § 6):

การขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้โดยองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้สมการของระดับแรกเทียบกับพิกัดปัจจุบัน ซึ่งจะเป็นที่พอใจโดยเฉพาะโดยพิกัดของสามจุดที่กำหนด

หลังนี้สามารถตรวจสอบได้โดยตรงหากเราแทนที่พิกัดของจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้แทนในสมการที่เขียนโดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ ทางด้านซ้ายจะได้รับดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งองค์ประกอบของแถวแรกเป็นศูนย์หรือมีสองแถวที่เหมือนกัน ดังนั้น สมการที่กำหนดขึ้นนี้จึงแทนระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

เพื่อให้ระนาบเดียวลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ในอวกาศ จำเป็นที่จุดเหล่านี้จะไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

พิจารณาจุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป

เพื่อให้จุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) อยู่ในระนาบเดียวกันกับจุด M 1 , M 2 , M 3 เวกเตอร์จะต้องเป็นระนาบเดียวกัน

(
) = 0

ทางนี้,

สมการของระนาบที่ผ่านสามจุด:

สมการระนาบเทียบกับจุดสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

ให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) และเวกเตอร์
.

ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 และ M 2 และจุดใดก็ได้ M (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์
และเวกเตอร์
ต้องเป็น coplanar นั่นคือ

(
) = 0

สมการระนาบ:

สมการระนาบเทียบกับจุดหนึ่งจุดและเวกเตอร์สองตัว

เครื่องบินคอลลิเนียร์

ให้เวกเตอร์สองตัว
และ
, เครื่องบินคอลลิเนียร์ จากนั้นสำหรับจุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เวกเตอร์
ต้องเป็นระนาบเดียวกัน

สมการระนาบ:

สมการระนาบด้วยจุดและเวกเตอร์ปกติ .

ทฤษฎีบท. ถ้าให้จุด M ในช่องว่าง 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) แล้วสมการระนาบที่ผ่านจุด M 0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งฉาก (อา, บี, ค) ดูเหมือน:

อา(x – x 0 ) + บี(y – y 0 ) + ค(z – z 0 ) = 0.

การพิสูจน์. สำหรับจุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เราสร้างเวกเตอร์ เพราะ เวกเตอร์ - เวกเตอร์ตั้งฉาก แล้วก็ตั้งฉากกับระนาบ แล้วก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์
. แล้วผลคูณสเกลาร์

= 0

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของระนาบในกลุ่ม

ถ้าในสมการทั่วไป Axe + Wu + Cz + D \u003d 0 ให้หารทั้งสองส่วนด้วย (-D)

,

แทนที่
, เราได้รับสมการของระนาบเป็นเซ็กเมนต์:

ตัวเลข a,b,c คือจุดตัดของระนาบตามลำดับโดยมีแกน x, y, z

สมการระนาบในรูปเวกเตอร์

ที่ไหน

- เวกเตอร์รัศมีของจุดปัจจุบัน M(x, y, z)

เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางตั้งฉากตกลงมาจากจุดกำเนิดบนระนาบ

,  และ  คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์นี้ด้วยแกน x, y, z

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้

ในพิกัด สมการนี้มีรูปแบบดังนี้

xcos + ycos + zcos - p = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน

ระยะทางจากจุดใดก็ได้ M 0 (x 0, y 0, z 0) ถึงระนาบ Axe + Vy + Cz + D \u003d 0 คือ:

ตัวอย่าง.หาสมการของระนาบโดยรู้ว่าจุด P (4; -3; 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

ดังนั้น A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13 ใช้สูตร:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ตัวอย่าง.หาสมการระนาบที่ผ่านจุดสองจุด P(2; 0; -1) และ

Q(1; -1; 3) ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0
ขนานกับระนาบที่ต้องการ

เราได้รับ:

ตัวอย่าง.หาสมการระนาบที่ผ่านจุด A(2, -1, 4) และ

В(3, 2, -1) ตั้งฉากกับระนาบ X + ที่ + 2z – 3 = 0.

สมการระนาบที่ต้องการมีรูปแบบดังนี้ A x+ บี y+C z+ D = 0, เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ (A, B, C). เวกเตอร์
(1, 3, -5) เป็นของเครื่องบิน เครื่องบินที่ให้เราตั้งฉากกับเครื่องบินที่ต้องการมีเวกเตอร์ปกติ (1, 1, 2). เพราะ จุด A และ B เป็นของระนาบทั้งสอง และระนาบตั้งฉากกัน ดังนั้น

ดังนั้นเวกเตอร์ปกติ (11, -7, -2). เพราะ จุด A เป็นของระนาบที่ต้องการ พิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบนี้ กล่าวคือ 12 + 71 - 24 + D= 0; D= -21

โดยรวมแล้ว เราได้สมการของระนาบ: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

ตัวอย่าง.หาสมการของระนาบโดยรู้ว่าจุด P(4, -3, 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

การหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติ
= (4, -3, 12) สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบดังนี้ 4 x – 3y + 12z+ D = 0 ในการหาสัมประสิทธิ์ D เราแทนที่พิกัดของจุด Р ลงในสมการ:

16 + 9 + 144 + D = 0

โดยรวมแล้วเราได้สมการที่ต้องการ: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

ตัวอย่าง.กำหนดพิกัดของจุดยอดพีระมิด A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

จงหาความยาวของขอบ A 1 A 2 .

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 2 และ A 1 A 4

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 4 กับหน้า A 1 A 2 A 3

ขั้นแรก ให้หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับใบหน้า A 1 A 2 A 3 เป็นผลคูณของเวกเตอร์
และ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

หามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์
.

-4 – 4 = -8.

มุมที่ต้องการ  ระหว่างเวกเตอร์กับระนาบจะเท่ากับ  = 90 0 - 

หาพื้นที่ใบหน้า A 1 A 2 A 3 .

หาปริมาตรของพีระมิด.

หาสมการระนาบ А 1 А 2 А 3 .

เราใช้สูตรสมการระนาบผ่านสามจุด

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

เมื่อใช้เวอร์ชั่น PC ของ “ หลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูง” คุณสามารถเรียกใช้โปรแกรมที่จะแก้ไขตัวอย่างข้างต้นสำหรับพิกัดใดๆ ของจุดยอดพีระมิด

ดับเบิลคลิกที่ไอคอนเพื่อเปิดโปรแกรม:

ในหน้าต่างโปรแกรมที่เปิดขึ้น ให้ป้อนพิกัดของจุดยอดพีระมิดแล้วกด Enter ดังนั้นคะแนนการตัดสินใจทั้งหมดสามารถรับได้ทีละจุด

หมายเหตุ: ในการรันโปรแกรม คุณต้องติดตั้ง Maple ( Waterloo Maple Inc.) บนคอมพิวเตอร์ของคุณ เวอร์ชันใดก็ได้ที่ขึ้นต้นด้วย MapleV รีลีส 4

ในบทนี้เราจะมาดูวิธีการใช้ดีเทอร์มีแนนต์ในการแต่ง สมการระนาบ. หากคุณไม่ทราบว่าดีเทอร์มีแนนต์คืออะไร ให้ไปที่ส่วนแรกของบทเรียน - " เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์». มิฉะนั้น คุณเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจอะไรในเนื้อหาวันนี้

สมการระนาบด้วยสามจุด

ทำไมเราถึงต้องการสมการของระนาบเลย? ง่ายมาก: เมื่อรู้แล้ว เราสามารถคำนวณมุม ระยะทาง และอึอื่นๆ ในปัญหา C2 ได้อย่างง่ายดาย โดยทั่วไปสมการนี้จะขาดไม่ได้ ดังนั้นเราจึงกำหนดปัญหา:

งาน. ช่องว่างมีสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน พิกัด:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุดนี้ และสมการควรมีลักษณะดังนี้:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

โดยที่ตัวเลข A , B , C และ D เป็นสัมประสิทธิ์ที่คุณต้องการหา

แล้วจะได้สมการของระนาบได้อย่างไรถ้ารู้พิกัดของจุดเท่านั้น? วิธีที่ง่ายที่สุดคือแทนที่พิกัดลงในสมการ Ax + By + Cz + D = 0 คุณจะได้ระบบสมการสามสมการที่แก้ได้ง่าย

นักเรียนหลายคนพบว่าวิธีแก้ปัญหานี้น่าเบื่อและไม่น่าเชื่อถืออย่างยิ่ง การสอบวิชาคณิตศาสตร์ของปีที่แล้วพบว่ามีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ

ดังนั้นครูที่ก้าวหน้าที่สุดจึงเริ่มมองหาวิธีแก้ปัญหาที่เรียบง่ายและสง่างามยิ่งขึ้น และพวกเขาก็พบมัน! จริงอยู่ เทคนิคที่ได้รับมักจะเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูง โดยส่วนตัวแล้ว ฉันต้องค้นหารายชื่อตำราเรียนของรัฐบาลกลางทั้งหมด เพื่อให้แน่ใจว่าเรามีสิทธิ์ที่จะใช้เทคนิคนี้โดยปราศจากเหตุผลและหลักฐานใดๆ

สมการระนาบผ่านดีเทอร์มีแนนต์

โวยวายพอแล้ว ลงไปทำธุรกิจกันเถอะ เริ่มต้นด้วย ทฤษฎีบทว่าดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์และสมการของระนาบมีความสัมพันธ์กันอย่างไร

ทฤษฎีบท. ให้พิกัดของสามจุดที่เครื่องบินจะต้องวาด: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3) จากนั้นสมการของระนาบนี้สามารถเขียนในรูปของดีเทอร์มีแนนต์ได้:

ตัวอย่างเช่น ลองหาคู่ของระนาบที่เกิดขึ้นจริงในปัญหา C2 ดูว่าทุกอย่างนับเร็วแค่ไหน:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์และเท่ากับศูนย์:

การเปิดดีเทอร์มิแนนต์:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z -1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

อย่างที่คุณเห็น เมื่อคำนวณตัวเลข d ฉันได้ปรับสมการเล็กน้อยเพื่อให้ตัวแปร x, y และ z อยู่ในลำดับที่ถูกต้อง นั่นคือทั้งหมด! สมการระนาบพร้อมแล้ว!

งาน. เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

แทนที่พิกัดของจุดในดีเทอร์มีแนนต์ทันที:

ขยายดีเทอร์มีแนนต์อีกครั้ง:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

ดังนั้น จะได้สมการระนาบอีกครั้ง! อีกครั้งในขั้นตอนสุดท้ายฉันต้องเปลี่ยนป้ายเพื่อให้ได้สูตรที่ "สวย" มากขึ้น ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ในโซลูชันนี้ แต่ยังคงแนะนำ - เพื่อลดความซับซ้อนในการแก้ปัญหาเพิ่มเติม

อย่างที่คุณเห็น ตอนนี้การเขียนสมการระนาบง่ายกว่ามาก เราแทนจุดต่างๆ ลงในเมทริกซ์ คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ - และนั่นแหล่ะ สมการก็พร้อม

นี่อาจเป็นจุดสิ้นสุดของบทเรียน อย่างไรก็ตาม นักเรียนหลายคนมักลืมสิ่งที่อยู่ภายในดีเทอร์มีแนนต์ ตัวอย่างเช่น บรรทัดใดมี x 2 หรือ x 3 และบรรทัดใดมีเพียง x เพื่อจัดการกับสิ่งนี้ในที่สุด เรามาติดตามว่าแต่ละหมายเลขมาจากไหน

สูตรที่มีดีเทอร์มีแนนต์มาจากไหน?

ลองหาว่าสมการรุนแรงกับดีเทอร์มีแนนต์มาจากไหน วิธีนี้จะช่วยให้คุณจำและนำไปใช้ได้สำเร็จ

ระนาบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในปัญหา C2 ถูกกำหนดโดยสามจุด จุดเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายบนภาพวาดเสมอ หรือแม้แต่ระบุโดยตรงในข้อความปัญหา ไม่ว่าในกรณีใด ในการคอมไพล์สมการ เราต้องเขียนพิกัดของมัน:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3)

พิจารณาอีกจุดหนึ่งบนเครื่องบินของเราด้วยพิกัดตามอำเภอใจ:

T = (x, y, z)

เรานำจุดใดก็ได้จากสามจุดแรก (เช่น จุด M ) และวาดเวกเตอร์จากจุดนั้นไปยังจุดที่เหลือทั้งสามจุด เราได้เวกเตอร์สามตัว:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1)

ทีนี้ มาสร้างเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสจากเวกเตอร์เหล่านี้กัน และหาดีเทอร์มีแนนต์ของมันเป็นศูนย์ พิกัดของเวกเตอร์จะกลายเป็นแถวของเมทริกซ์ - และเราจะได้รับดีเทอร์มีแนนต์เดียวกับที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท:

สูตรนี้หมายความว่าปริมาตรของกล่องที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ MN , MK และ MT เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสามจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดใดจุดหนึ่ง T = (x, y, z) คือสิ่งที่เรากำลังมองหา

การแทนที่จุดและแถวของดีเทอร์มีแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์มีคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมที่ทำให้ง่ายต่อการ การแก้ปัญหาC2. ตัวอย่างเช่น ไม่สำคัญสำหรับเราว่าจะวาดเวกเตอร์จากจุดใด ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ต่อไปนี้จึงให้สมการระนาบเดียวกับสมการข้างต้น:

คุณยังสามารถสลับเส้นของดีเทอร์มีแนนต์ได้ สมการจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น หลายคนชอบเขียนเส้นที่มีพิกัดของจุด T = (x; y; z) อยู่ด้านบนสุด ได้โปรด ถ้าสะดวกสำหรับคุณ:

ทำให้สับสนว่าบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งมีตัวแปร x , y และ z ซึ่งจะไม่หายไปเมื่อแทนที่จุด แต่ไม่ควรหายไป! โดยการแทนที่ตัวเลขลงในดีเทอร์มีแนนต์ คุณควรได้โครงสร้างต่อไปนี้:

จากนั้นดีเทอร์มีแนนต์จะถูกขยายตามแบบแผนที่ให้ไว้ตอนต้นบทเรียน และได้สมการมาตรฐานของระนาบ:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

ลองดูตัวอย่าง เขาเป็นคนสุดท้ายในบทเรียนของวันนี้ ฉันจะสลับบรรทัดโดยเจตนาเพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบจะเป็นสมการเดียวกันกับระนาบ

งาน. เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1)

ดังนั้นเราจึงพิจารณา 4 คะแนน:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

ขั้นแรก มาสร้างดีเทอร์มีแนนต์มาตรฐานและจัดให้เท่ากับศูนย์:

การเปิดดีเทอร์มิแนนต์:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x − 1) + 1 (-1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เพียงเท่านี้ เราก็ได้คำตอบ x + y + z − 2 = 0 .

ทีนี้ ลองจัดเรียงเส้นสองสามบรรทัดใหม่ในดีเทอร์มีแนนต์แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองเขียนบรรทัดด้วยตัวแปร x, y, z ไม่ใช่ด้านล่าง แต่อยู่ด้านบน:

มาขยายดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้อีกครั้ง:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เราได้สมการระนาบเดียวกันทุกประการ: x + y + z − 2 = 0 จริงๆ แล้วมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของแถว มันยังคงเขียนคำตอบ

เราได้เห็นว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของเส้นตรง เป็นไปได้ที่จะทำการคำนวณที่คล้ายกันและพิสูจน์ว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดที่เราลบพิกัดออกจากจุดอื่น

ในปัญหาที่พิจารณาข้างต้น เราใช้จุด B 1 = (1, 0, 1) แต่ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะใช้ C = (1, 1, 0) หรือ D 1 = (0, 1, 1) โดยทั่วไป จุดใดๆ ที่มีพิกัดที่ทราบอยู่บนระนาบที่ต้องการ

ภายในกรอบของวัสดุนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีหาสมการของระนาบหากเราทราบพิกัดของจุดต่างๆ สามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ในการทำเช่นนี้ เราต้องจำไว้ว่าระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคืออะไรในปริภูมิสามมิติ อันดับแรก เราแนะนำหลักการพื้นฐานของสมการนี้และแสดงวิธีใช้ในการแก้ปัญหาเฉพาะ

Yandex.RTB R-A-339285-1

เริ่มต้นด้วย เราต้องจำสัจพจน์หนึ่งซึ่งฟังดังนี้:

คำจำกัดความ 1

หากจุดสามจุดไม่ตรงกันและไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวจากนั้นในอวกาศสามมิติจะมีระนาบเดียวเท่านั้นที่ผ่าน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเรามีจุดที่แตกต่างกันสามจุดที่พิกัดไม่ตรงกันและไม่สามารถเชื่อมต่อด้วยเส้นตรงได้ เราก็สามารถกำหนดระนาบที่ผ่านจุดนั้นได้

สมมติว่าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ลองแสดงว่า O x y z . ประกอบด้วยสามจุด M พร้อมพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) ที่ไม่สามารถต่อตรงได้ ไลน์. จากเงื่อนไขเหล่านี้ เราสามารถเขียนสมการระนาบที่เราต้องการได้ มีสองวิธีในการแก้ปัญหานี้

1. วิธีแรกใช้สมการทั่วไปของระนาบ ในรูปแบบตัวอักษร เขียนเป็น A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ด้วยมัน คุณสามารถตั้งค่าอัลฟาของระนาบบางตัวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ซึ่งผ่านจุดแรกที่กำหนด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . ปรากฎว่าเวกเตอร์ระนาบปกติ α จะมีพิกัด A , B , C .

คำจำกัดความของ N

เมื่อทราบพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากและพิกัดของจุดที่เครื่องบินผ่าน เราสามารถเขียนสมการทั่วไปของระนาบนี้ได้

จากนี้ไปเราจะดำเนินการต่อไป

ดังนั้น ตามเงื่อนไขของปัญหา เรามีพิกัดของจุดที่ต้องการ (แม้แต่สามจุด) ที่ระนาบผ่าน ในการหาสมการ คุณต้องคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ปกติของมัน แสดงว่า n → .

จำกฎนี้: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของระนาบที่กำหนดจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติของระนาบเดียวกัน จากนั้นเราจะได้ว่า n → จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยจุดเริ่มต้น M 1 M 2 → และ M 1 M 3 → . จากนั้นเราสามารถแสดง n → เป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของรูปแบบ M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

ตั้งแต่ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) และ M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเหล่านี้มีอยู่ในบทความเกี่ยวกับการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์จากพิกัดของจุด) จากนั้นปรากฎว่า:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z หนึ่ง

ถ้าเราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เราจะได้พิกัดของเวกเตอร์ปกติ n → ที่เราต้องการ ตอนนี้ เราสามารถเขียนสมการที่เราต้องการสำหรับระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

2. วิธีที่สองในการหาสมการผ่าน M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) คือ ตามแนวคิดเช่น complanarity ของเวกเตอร์

หากเรามีชุดของจุด M (x, y, z) จากนั้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมพวกเขาจะกำหนดระนาบสำหรับจุดที่กำหนด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) เฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์ M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) และ M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) จะเป็นระนาบเดียวกัน

บนไดอะแกรมจะมีลักษณะดังนี้:

นี่จะหมายความว่าผลคูณผสมของเวกเตอร์ M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → จะเท่ากับศูนย์: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 เนื่องจากนี่เป็นเงื่อนไขหลักสำหรับการเปรียบเทียบ: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) และ M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1)

เราเขียนสมการผลลัพธ์ในรูปแบบพิกัด:

หลังจากที่เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์แล้ว เราก็จะได้สมการระนาบที่ต้องการสำหรับจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

จากสมการผลลัพธ์ คุณสามารถไปที่สมการของระนาบเป็นส่วนๆ หรือไปที่สมการปกติของระนาบ ถ้าจำเป็นโดยเงื่อนไขของปัญหา

ในย่อหน้าถัดไป เราจะยกตัวอย่างว่าแนวทางที่เราระบุไว้นั้นถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติอย่างไร

ตัวอย่างงานประกอบสมการระนาบที่ผ่าน 3 จุด

ก่อนหน้านี้ เราได้ระบุสองวิธีที่สามารถใช้เพื่อค้นหาสมการที่ต้องการได้ เรามาดูกันว่าจะใช้ในการแก้ปัญหาอย่างไรและเลือกอย่างไรเมื่อไร

ตัวอย่าง 1

มีจุด 3 จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว โดยมีพิกัด M 1 (-3 , 2 , - 1) , M 2 (-1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านพวกมัน

วิธีการแก้

เราใช้ทั้งสองวิธีในทางกลับกัน

1. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์สองตัวที่เราต้องการ M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

ตอนนี้เราคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ เราจะไม่อธิบายการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

เรามีเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ผ่านจุดที่ต้องการสามจุด: n → = (- 5 , 30 , 2) . ต่อไป เราต้องใช้จุดใดจุดหนึ่ง เช่น M 1 (- 3 , 2 , - 1) และเขียนสมการสำหรับระนาบด้วยเวกเตอร์ n → = (- 5 , 30 , 2) . เราได้สิ่งนั้น: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

นี่คือสมการระนาบที่เราต้องการ ซึ่งผ่านสามจุด

2. เราใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป เราเขียนสมการสำหรับระนาบที่มีสามจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) ใน แบบฟอร์มต่อไปนี้:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

คุณสามารถแทนที่ข้อมูลจากเงื่อนไขของปัญหาได้ที่นี่ เนื่องจาก x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, เป็นผลให้เราจะได้รับ:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

เราได้สมการที่เราต้องการ

ตอบ:- 5x + 30y + 2z - 73 .

แต่ถ้าจุดที่กำหนดให้ยังคงอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและเราจำเป็นต้องเขียนสมการระนาบสำหรับพวกมัน ที่นี่ต้องบอกทันทีว่าเงื่อนไขนี้จะไม่ถูกต้องทั้งหมด เครื่องบินจำนวนมากสามารถผ่านจุดดังกล่าวได้นับไม่ถ้วน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณคำตอบเดียว ให้เราพิจารณาปัญหาดังกล่าวเพื่อพิสูจน์ความไม่ถูกต้องของการกำหนดคำถามดังกล่าว

ตัวอย่าง 2

เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในพื้นที่ 3 มิติที่มีสามจุดที่มีพิกัด M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (-1 , 1 , 1) จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่าน

วิธีการแก้

เราใช้วิธีแรกและเริ่มต้นด้วยการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์สองตัว M 1 M 2 → และ M 1 M 3 → . มาคำนวณพิกัดกัน: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเท่ากับ:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ผม ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

ตั้งแต่ M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → เวกเตอร์ของเราจะเป็น collinear (อ่านบทความเกี่ยวกับพวกเขาซ้ำหากคุณลืมคำจำกัดความของแนวคิดนี้) ดังนั้น จุดเริ่มต้น M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และปัญหาของเรามีอนันต์ การตอบสนองตัวเลือกมากมาย

ถ้าเราใช้วิธีที่สอง เราจะได้:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

จากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน มันตามมาด้วยว่าจุดที่กำหนด M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) อยู่ในบรรทัดเดียวกัน

หากคุณต้องการค้นหาคำตอบสำหรับปัญหานี้อย่างน้อยหนึ่งคำตอบจากตัวเลือกที่ไม่จำกัดจำนวน คุณต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เขียนสมการของเส้นตรง M 1 M 2, M 1 M 3 หรือ M 2 M 3 (หากจำเป็น ให้ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการดำเนินการนี้)

2. ใช้จุด M 4 (x 4 , y 4 , z 4) ที่ไม่อยู่บนเส้น M 1 M 2 .

3. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างกันสามจุด M 1 , M 2 และ M 4 ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter