สมการของเส้นที่ผ่าน 2. สมการของเส้น - ประเภทของสมการของเส้น: ผ่านจุด, ทั่วไป, ตามบัญญัติ, พาราเมตริก ฯลฯ

คำนิยาม.ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B) จะตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ Ax + By + C = 0

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) ซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1)

สารละลาย- ด้วย A = 3 และ B = -1 ลองเขียนสมการของเส้นตรง: 3x – y + C = 0 ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ C เราจะแทนที่พิกัดของจุด A ที่กำหนดลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะได้: 3 – 2 + C = 0 ดังนั้น C = -1 ผลรวม: สมการที่ต้องการ: 3x – y – 1 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้จุดสองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ถูกกำหนดไว้ในอวกาศ จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้คือ:

ถ้าตัวส่วนใดๆ เท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่สอดคล้องกันควรจะเท่ากับศูนย์ บนระนาบ สมการของเส้นที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2 และ x = x 1 ถ้า x 1 = x 2

เรียกว่าเศษส่วน = k ความลาดชันโดยตรง.

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

สารละลาย.เมื่อใช้สูตรที่เขียนข้างต้น เราจะได้:

สมการของเส้นตรงจากจุดและความชัน

หากสมการทั่วไปของเส้นตรง Ax + By + C = 0 ลดลงเป็นรูปแบบ:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์ สมการของเส้นตรงกับความชันเค.

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถป้อนคำจำกัดความของเส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงได้

คำนิยาม.เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัว (α 1, α 2) ส่วนประกอบที่ตรงตามเงื่อนไข A α 1 + B α 2 = 0 เรียกว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

สารละลาย.เราจะค้นหาสมการของเส้นที่ต้องการในรูปแบบ: Ax + By + C = 0 ตามคำจำกัดความสัมประสิทธิ์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น ก = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบ: Ax + Ay + C = 0 หรือ x + y + C / A = 0 สำหรับ x = 1, y = 2 เราได้รับ C/ A = -3 เช่น สมการที่ต้องการ:

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ

ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์ก็คือค่าสัมประสิทธิ์ ก คือพิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนอ็อกซ์ และ ข – พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนออย

ตัวอย่าง.จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x – y + 1 = 0 ค้นหาสมการของเส้นตรงในส่วนนี้

C = 1, , ก = -1, ข = 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ Ax + By + C = 0 หารด้วยตัวเลข ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ตัวอย่าง- สมการทั่วไปของเส้นตรง 12x – 5y – 65 = 0 ถูกกำหนดไว้ จำเป็นต้องเขียนสมการประเภทต่างๆ สำหรับเส้นนี้

สมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นนี้กับความชัน: (หารด้วย 5)

สมการปกติของเส้นตรง:

- คอส φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี = 5.

C ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

ตัวอย่าง- เส้นตรงตัดส่วนบวกที่เท่ากันบนแกนพิกัด เขียนสมการของเส้นตรงหากพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนเหล่านี้คือ 8 ซม. 2

สารละลาย.สมการของเส้นตรงมีรูปแบบ: , ab /2 = 8; ก = 4; -4. a = -4 ไม่เหมาะตามเงื่อนไขของปัญหา รวม: หรือ x + y – 4 = 0

ตัวอย่าง- เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-2, -3) และจุดกำเนิด

สารละลาย. สมการของเส้นตรงคือ: โดยที่ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

มาดูวิธีสร้างสมการสำหรับเส้นที่ลากผ่านจุดสองจุดโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-3; 9) และ B(2;-1)

วิธีที่ 1 - สร้างสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม

สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะมีรูปแบบ . การแทนที่พิกัดของจุด A และ B ลงในสมการของเส้นตรง (x= -3 และ y=9 - ในกรณีแรก x=2 และ y= -1 - ในวินาที) เราจะได้ระบบสมการ ซึ่งเราจะพบค่าของ k และ b:

เมื่อบวกสมการที่ 1 และ 2 ทีละเทอม เราจะได้: -10=5k โดยที่ k= -2 เมื่อแทน k= -2 ลงในสมการที่สอง เราจะพบว่า b: -1=2·(-2)+b, b=3

ดังนั้น y= -2x+3 จึงเป็นสมการที่ต้องการ

วิธีที่ 2 - มาสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงกัน

สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ แทนที่พิกัดของจุด A และ B ลงในสมการเราจะได้ระบบ:

เนื่องจากจำนวนที่ไม่ทราบมีมากกว่าจำนวนสมการ ระบบจึงไม่สามารถแก้ได้ แต่ตัวแปรทั้งหมดสามารถแสดงผ่านตัวแปรเดียวได้ ตัวอย่างเช่นผ่านข

โดยการคูณสมการแรกของระบบด้วย -1 และเพิ่มเทอมต่อเทอมด้วยสมการที่สอง:

เราได้รับ: 5a-10b=0 ดังนั้น a=2b

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สอง: 2·2b -b+c=0; 3b+ค=0; ค= -3b.
แทน a=2b, c= -3b ลงในสมการ ax+by+c=0:

2bx+คูณ-3b=0. มันยังคงหารทั้งสองข้างด้วย b:

สมการทั่วไปของเส้นตรงสามารถลดลงเป็นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมได้อย่างง่ายดาย:

วิธีที่ 3 - สร้างสมการของเส้นตรงที่ผ่าน 2 จุด

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดคือ:

ลองแทนพิกัดของจุด A(-3; 9) และ B(2;-1) ลงในสมการนี้

(นั่นคือ x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

และลดความซับซ้อน:

โดยที่ 2x+y-3=0

ในหลักสูตรของโรงเรียนมักใช้สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์มุม แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาและใช้สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ความคิดเห็น

หากเมื่อแทนพิกัดของจุดที่กำหนด ให้เป็นหนึ่งในตัวส่วนของสมการ

ปรากฎว่ามีค่าเท่ากับศูนย์จากนั้นจะได้สมการที่ต้องการโดยการทำให้ตัวเศษที่ตรงกันเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด C(5; -2) และ D(7;-2)

เราแทนที่พิกัดของจุด C และ D ลงในสมการของเส้นตรงที่ผ่าน 2 จุด

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของสมการหัวข้อเส้นตรงในระนาบ ที่นี่เราจะดูจากทุกด้าน: เราจะเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ระบุรูปแบบของสมการทั่วไปของเส้น จากนั้นเราจะพิจารณาสมการทั่วไปของเส้นที่ไม่สมบูรณ์ เราจะยกตัวอย่างสมการที่ไม่สมบูรณ์ ของเส้นที่มีภาพประกอบกราฟิก และโดยสรุป เราจะอาศัยการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นไปเป็นสมการประเภทอื่นของเส้นนี้ และให้คำตอบโดยละเอียดสำหรับปัญหาทั่วไปในการเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรง

การนำทางหน้า

สมการทั่วไปของเส้นตรง-ข้อมูลพื้นฐาน

มาวิเคราะห์อัลกอริทึมนี้เมื่อแก้ไขตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการทั่วไปของเส้นตรง .

สารละลาย.

ขั้นแรก เราลดสมการทั่วไปดั้งเดิมของเส้นตรงลงเหลือสมการมาตรฐานของเส้นตรง:

ตอนนี้เราใช้ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการผลลัพธ์เท่ากับพารามิเตอร์ เรามี

คำตอบ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง เป็นไปได้ที่จะได้สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมก็ต่อเมื่อ . คุณต้องทำอะไรเพื่อทำการเปลี่ยนแปลง? ประการแรก ทางด้านซ้ายของสมการเส้นตรงทั่วไป เหลือเพียงเทอม เทอมที่เหลือจะต้องย้ายไปทางด้านขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม: - ประการที่สอง หารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วยเลข B ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ - นั่นคือทั้งหมดที่

ตัวอย่าง.

เส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy กำหนดโดยสมการทั่วไปของเส้นตรง จะได้สมการของเส้นนี้กับความชัน

สารละลาย.

มาดำเนินการตามที่จำเป็น: .

คำตอบ:

เมื่อเส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปที่สมบูรณ์ของเส้นตรง เป็นเรื่องง่ายที่จะได้สมการของเส้นตรงในส่วนของแบบฟอร์ม ในการทำเช่นนี้ เราโอนตัวเลข C ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมายตรงข้าม หารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วย –C และสุดท้ายโอนสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปร x และ y ไปยังตัวส่วน:

พิจารณาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดและเวกเตอร์ปกติ ให้จุดและเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัด (รูปที่ 1)

คำนิยาม

อย่างที่เราเห็นมีเส้นตรงเส้นเดียวที่ผ่านจุดตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ (ในกรณีนี้เรียกว่า เวกเตอร์ปกติตรง).

ข้าว. 1

ให้เราพิสูจน์ว่าสมการเชิงเส้น

นี่คือสมการของเส้นตรง กล่าวคือ พิกัดของแต่ละจุดของเส้นตรงตามสมการ (1) แต่พิกัดของจุดที่ไม่ได้วางอยู่บนนั้นไม่เป็นไปตามสมการ (1)

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ขอให้เราสังเกตว่าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ = ในรูปแบบพิกัดเกิดขึ้นพร้อมกันทางด้านซ้ายของสมการ (1)

ต่อไปเราจะใช้คุณสมบัติที่ชัดเจนของเส้น: เวกเตอร์ และจะตั้งฉากก็ต่อเมื่อจุดนั้นอยู่บน และหากเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน ผลคูณสเกลาร์ของพวกมัน (2) จะเปลี่ยนเป็นจุดทั้งหมดที่วางอยู่บน และสำหรับเวกเตอร์เท่านั้น ซึ่งหมายความว่า (1) คือสมการของเส้นตรง

คำนิยาม

เรียกสมการ (1) สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดด้วยเวกเตอร์ปกติ = .

มาแปลงสมการกัน (1)

แสดงถึง = เราได้รับ

ดังนั้นสมการเชิงเส้นของรูปแบบ (3) จึงสอดคล้องกับเส้นตรง ในทางตรงกันข้าม การใช้สมการที่กำหนดตามรูปแบบ (3) โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถสร้างเส้นตรงได้

ที่จริงแล้ว ให้คู่ตัวเลขเป็นไปตามสมการ (3) นั่นก็คือ

เมื่อลบอันหลังออกจาก (3) เราจะได้ความสัมพันธ์ที่กำหนดเส้นตรงด้านหลังเวกเตอร์และจุด

ศึกษาสมการทั่วไปของเส้นตรง

การทราบคุณลักษณะของการวางเส้นในบางกรณีจะเป็นประโยชน์เมื่อตัวเลขหนึ่งหรือสองตัวมีค่าเท่ากับศูนย์

1. สมการทั่วไปมีลักษณะดังนี้: . จุดนี้ทำให้พอใจ ซึ่งหมายความว่าเส้นจะตัดผ่านจุดกำเนิด สามารถเขียนได้: = – x (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2

เราเชื่อว่า:

ถ้าเราใส่ แล้ว เราจะได้จุดอื่น (ดูรูปที่ 2)

2. แล้วสมการจะเป็นดังนี้ โดยที่ = – เวกเตอร์ตั้งฉากอยู่บนแกนซึ่งเป็นเส้นตรง ดังนั้น เส้นตรงจึงตั้งฉากที่จุด หรือขนานกับแกน (ดูรูปที่ 3) โดยเฉพาะถ้า และ แล้ว และสมการก็คือสมการของแกนพิกัด

ข้าว. 3

3. ในทำนองเดียวกัน เมื่อเขียนสมการ โดยที่ . เวกเตอร์อยู่ในแกน เส้นตรงที่จุดหนึ่ง (รูปที่ 4)

ถ้า แล้วสมการของแกนจะเป็น

การศึกษาสามารถกำหนดได้ในรูปแบบนี้: เส้นตรงขนานกับแกนพิกัดซึ่งไม่มีการเปลี่ยนแปลงในสมการทั่วไปของเส้นตรง

ตัวอย่างเช่น:

ลองสร้างเส้นตรงโดยใช้สมการทั่วไป โดยมีเงื่อนไขว่า - ไม่เท่ากับศูนย์ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะหาจุดสองจุดที่อยู่บนเส้นนี้ บางครั้งการค้นหาจุดดังกล่าวบนแกนพิกัดจะสะดวกกว่า

งั้นเรามา = –.

เมื่อ แล้ว = –

ให้เราแสดง – = , – = . คะแนนและพบว่า ให้เราพล็อตและบนแกนแล้วลากเส้นตรงผ่านพวกมัน (ดูรูปที่ 5)

ข้าว. 5

จากเรื่องทั่วไป คุณสามารถไปยังสมการที่จะรวมตัวเลขและ:

แล้วปรากฎว่า:

หรือตามสัญกรณ์เราได้สมการ

ซึ่งเรียกว่า สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ- ตัวเลขและถูกต้องตามเครื่องหมายจะเท่ากับส่วนที่ถูกตัดออกด้วยเส้นตรงบนแกนพิกัด

สมการของเส้นตรงกับความชัน

หากต้องการทราบว่าสมการของเส้นตรงและความชันคืออะไร ให้พิจารณาสมการ (1):

แสดงถึง – = เราได้รับ

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งในทิศทางที่กำหนด เนื้อหาทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ชัดเจนจากรูปที่ 1 6.

B = = โดยที่ คือมุมที่เล็กที่สุดที่ต้องหมุนทิศทางบวกของแกนรอบจุดร่วมจนกระทั่งอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรง แน่นอน ถ้ามุมนั้นแหลม ดังนั้น title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – тупой угол, тогда .!}

ลองเปิดวงเล็บใน (5) และทำให้ง่ายขึ้น:

ที่ไหน . ความสัมพันธ์ (6) – สมการ เส้นตรงที่มีความชัน- เมื่อ คือส่วนที่ตัดเส้นตรงบนแกน (ดูรูปที่ 6)

ใส่ใจ!

หากต้องการย้ายจากสมการเส้นตรงทั่วไปไปเป็นสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน คุณต้องแก้หา เสียก่อน

ข้าว. 6

= – x + – =

โดยที่แสดงถึง = –, = – ถ้าจากการศึกษาสมการทั่วไปจะทราบแล้วว่าเส้นตรงดังกล่าวตั้งฉากกับแกน

ลองดูสมการมาตรฐานของเส้นตรงโดยใช้ตัวอย่าง

ให้ระบุจุดและเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ในระบบพิกัด (รูปที่ 7)

ข้าว. 7

จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดที่ขนานกับเวกเตอร์ ซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์ทิศทาง จุดตามอำเภอใจเป็นของบรรทัดนี้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น เนื่องจากเวกเตอร์ถูกกำหนดไว้ และเวกเตอร์คือ ดังนั้นตามเงื่อนไขความเท่าเทียม พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นสัดส่วน นั่นคือ:

คำนิยาม

ความสัมพันธ์ (7) เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนดหรือสมการบัญญัติของเส้นตรง

โปรดทราบว่าเราสามารถย้ายไปยังสมการของรูปแบบ (7) ได้ เช่น จากสมการของเส้นดินสอ (4)

หรือจากสมการของเส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ปกติ (1):

สันนิษฐานข้างต้นว่าเวกเตอร์ทิศทางไม่เป็นศูนย์ แต่อาจเกิดขึ้นได้ว่าพิกัดใดพิกัดหนึ่งของมัน เช่น จากนั้นนิพจน์ (7) จะถูกเขียนอย่างเป็นทางการ:

ซึ่งไม่สมเหตุสมผลเลย อย่างไรก็ตาม เรายอมรับและรับสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน อันที่จริงจากสมการเป็นที่ชัดเจนว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทางที่ตั้งฉากกับแกน หากเราลบตัวส่วนออกจากสมการนี้ เราจะได้:

หรือ - สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน จะได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับเวกเตอร์

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง

เพื่อทำความเข้าใจว่าสมการพาราเมตริกของเส้นตรงคืออะไร คุณต้องกลับไปที่สมการ (7) และยกเศษส่วนแต่ละส่วน (7) ให้เป็นพารามิเตอร์ เนื่องจากตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัวใน (7) ไม่เท่ากับศูนย์ และตัวเศษที่สอดคล้องกันสามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์จึงเป็นแกนตัวเลขทั้งหมด

คำนิยาม

สมการ (8) เรียกว่าสมการพาราเมตริกของเส้นตรง

ตัวอย่างปัญหาเส้นตรง

แน่นอนว่า เป็นเรื่องยากที่จะแก้ไขสิ่งใดๆ ตามคำจำกัดความเพียงอย่างเดียว เนื่องจากคุณต้องแก้ไขตัวอย่างหรือปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ด้วยตัวเองซึ่งจะช่วยรวบรวมเนื้อหาที่คุณกล่าวถึงไว้ ดังนั้นเรามาวิเคราะห์งานหลักเป็นเส้นตรงเนื่องจากปัญหาที่คล้ายกันมักเจอในการสอบและการทดสอบ

สมการ Canonical และ Parametric

ตัวอย่างที่ 1

บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ ให้หาจุดที่อยู่ห่างจากจุดของเส้นตรงนี้ 10 หน่วย

สารละลาย:

อนุญาต ตามหาจุดของเส้นตรง แล้วสำหรับระยะทางที่เราเขียน . ระบุว่า. เนื่องจากจุดเป็นของเส้นที่มีเวกเตอร์ปกติจึงสามารถเขียนสมการของเส้นได้: = = แล้วปรากฎว่า:

แล้วระยะทาง. ขึ้นอยู่กับ หรือ . จากสมการพาราเมตริก:

ตัวอย่างที่ 2

งาน

จุดจะเคลื่อนที่สม่ำเสมอด้วยความเร็วในทิศทางของเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้น ค้นหาพิกัดของจุดผ่านจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว

สารละลาย

ก่อนอื่นคุณต้องหาเวกเตอร์หน่วยก่อน พิกัดของมันคือโคไซน์ทิศทาง:

จากนั้นเวกเตอร์ความเร็ว:

เอ็กซ์ = x = .

ตอนนี้สมการ Canonical ของเส้นจะถูกเขียน:

= = , = – สมการพาราเมตริก หลังจากนั้นคุณจะต้องใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่

สารละลาย:

สมการของเส้นที่ผ่านจุดหนึ่งพบได้โดยใช้สูตรของเส้นดินสอ โดยที่ ความลาดชันสำหรับเส้นตรงและ = สำหรับเส้นตรง

เมื่อพิจารณาจากรูปซึ่งแสดงว่าระหว่างเส้นตรงกับมุมนั้นมีสองมุม มุมหนึ่งแหลม และอีกมุมป้าน ตามสูตร (9) นี่คือมุมระหว่างเส้นตรงและโดยที่คุณต้องหมุนเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกาสัมพันธ์กับจุดตัดกันจนกระทั่งมันอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรง .

เราจำสูตรได้ เราหามุมได้ และตอนนี้เราก็กลับมาที่ตัวอย่างได้แล้ว ซึ่งหมายความว่าเมื่อคำนึงถึงสูตร (9) เราจะพบสมการของขาก่อน

เนื่องจากการหมุนเส้นตรงเป็นมุมทวนเข็มนาฬิกาสัมพันธ์กับจุด ทำให้เกิดการจัดตำแหน่งกับเส้นตรง จากนั้นในสูตร (9) a . จากสมการ:

เมื่อใช้สูตรลำแสง สมการของเส้นตรงจะถูกเขียน:

ในทำนองเดียวกันเราพบ , และ ,

สมการเส้น:

สมการของเส้น – ประเภทของสมการของเส้น: การผ่านจุด, ทั่วไป, ตามรูปแบบบัญญัติ, พาราเมตริก ฯลฯอัปเดต: 22 พฤศจิกายน 2019 โดย: บทความทางวิทยาศาสตร์.Ru

คุณสมบัติของเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด

เส้นตรงสามารถลากผ่านจุดใดก็ได้ไม่จำกัดจำนวน

จากจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดใดๆ ก็สามารถลากเส้นตรงเส้นเดียวได้

เส้นตรงสองเส้นที่แยกออกจากกันในระนาบตัดกันที่จุดเดียวหรืออยู่

ขนาน (ต่อจากอันที่แล้ว)

ในพื้นที่สามมิติ มีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้น:

• เส้นตัดกัน

• เส้นขนาน

• เส้นตรงตัดกัน

ตรง เส้น— เส้นโค้งพีชคณิตลำดับแรก: เส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ได้รับบนระนาบโดยสมการระดับแรก (สมการเชิงเส้น)

สมการทั่วไปของเส้นตรง

คำนิยาม- เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง

ขวาน + Wu + C = 0,

และคงที่ เอ, บีไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า ทั่วไป

สมการของเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ เอ, บีและ กับกรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

. ค = 0, ก ≠0, บี ≠ 0- เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (โดย + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (ขวาน + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B = C = 0, A ≠0- เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน โอ้

. ก = ค = 0, บี ≠0- เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน โอ้

สมการของเส้นตรงสามารถแสดงได้หลายรูปแบบขึ้นอยู่กับรูปแบบที่กำหนด

เงื่อนไขเริ่มต้น

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติ

คำนิยาม- ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B)

ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง เอ(1, 2)ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

สารละลาย- ด้วย A = 3 และ B = -1 ลองเขียนสมการของเส้นตรง: 3x - y + C = 0 เพื่อหาสัมประสิทธิ์ C

ลองแทนพิกัดของจุด A ลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะได้: 3 - 2 + C = 0

ค = -1 ผลรวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้สองคะแนนในอวกาศ ม 1 (x 1 , ปี 1 , z 1)และ M2 (x 2, y 2, z 2),แล้ว สมการของเส้น,

ผ่านจุดเหล่านี้:

ถ้าตัวส่วนใดๆ เป็นศูนย์ ควรตั้งค่าตัวเศษที่สอดคล้องกันให้เท่ากับศูนย์ บน

ระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2และ x = x 1, ถ้า x 1 = x 2 .

เศษส่วน = เคเรียกว่า ความลาดชัน โดยตรง.

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

สารละลาย- เมื่อใช้สูตรที่เขียนข้างต้น เราจะได้:

สมการเส้นตรงโดยใช้จุดและความชัน

ถ้าสมการทั่วไปของเส้นตรง ขวาน + วู + C = 0นำไปสู่:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์

สมการของเส้นตรงกับความชัน k

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถเข้าสู่งานได้

เส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

คำนิยาม- เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว (α 1 , α 2)ซึ่งมีส่วนประกอบตรงตามเงื่อนไข

เอเอ 1 + บีเอ 2 = 0เรียกว่า เวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

สารละลาย- เราจะค้นหาสมการของเส้นที่ต้องการในรูปแบบ: ขวาน + โดย + C = 0ตามคำนิยามที่ว่า

ค่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น ก = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบ: ขวาน + Ay + C = 0,หรือ x + y + C / A = 0

ที่ x = 1, y = 2เราได้รับ ค/เอ = -3, เช่น. สมการที่ต้องการ:

x + y - 3 = 0

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย -С เราจะได้:

หรือที่ไหน

ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์คือค่าสัมประสิทธิ์ a คือพิกัดของจุดตัดกัน

ตรงกับแกน โอ้,ก ข- พิกัดจุดตัดของเส้นกับแกน โอ้.

ตัวอย่าง- จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x - y + 1 = 0ค้นหาสมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ

C = 1, , ก = -1, ข = 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าสมการทั้งสองข้าง ขวาน + วู + C = 0หารด้วยจำนวน ซึ่งเรียกว่า

ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 -สมการปกติของเส้นตรง.

ต้องเลือกเครื่องหมาย ± ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน μ*C< 0.

ร- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง

ก φ - มุมที่เกิดจากตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน โอ้.

ตัวอย่าง- จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง 12x - 5y - 65 = 0- จำเป็นต้องเขียนสมการประเภทต่างๆ

เส้นตรงนี้

สมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นนี้กับความชัน: (หารด้วย 5)

สมการของเส้น:

คอส φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี = 5.

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรง

ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

คำนิยาม- ถ้าให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2ตามด้วยมุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้

จะถูกกำหนดให้เป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า เค 1 = เค 2- เส้นสองเส้นตั้งฉากกัน

ถ้า k 1 = -1/ k 2 .

ทฤษฎีบท.

โดยตรง ขวาน + วู + C = 0และ A 1 x + B 1 ปี + C 1 = 0ขนานเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน

A 1 = แลมบ์ดา, B 1 = แลมบ์- ถ้ายัง ซ 1 = แลซแล้วเส้นก็ตรงกัน พิกัดจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น

พบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม- เส้นที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1, ย 1)และตั้งฉากกับเส้น y = kx + ข

แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ทฤษฎีบท- หากได้รับคะแนน M(x 0, y 0),แล้วระยะห่างถึงเส้นตรง ขวาน + วู + C = 0กำหนดเป็น:

การพิสูจน์- ปล่อยให้ประเด็น ม 1 (x 1, ย 1)- ฐานของฉากตั้งฉากหลุดจากจุดหนึ่ง มสำหรับที่กำหนด

โดยตรง. แล้วระยะห่างระหว่างจุด มและ ม.1:

(1)

พิกัด x1และ เวลา 1สามารถพบได้เป็นการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ในแนวตั้งฉาก

ให้เส้นตรง หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว