โกศมีสีดำและสีขาว ปัญหาเกี่ยวกับลูก
งาน 174tv
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก;
b) น้อยกว่า 3 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
งาน 176tv
โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 6 ลูกและสีขาว 5 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก;
b) น้อยกว่า 3 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
งาน 178tv
โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 4 ลูกและสีขาว 5 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
ก) 2 ลูกสีขาว;
b) น้อยกว่า 2 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
งาน 180tv
โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 6 ลูกและสีขาว 7 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
ก) ลูกบอลสีขาว 4 ลูก;
b) น้อยกว่า 4 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
งาน 184tv
โกศประกอบด้วย 8 ลูกสีดำและ 6 ลูกสีขาว สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก;
b) น้อยกว่า 3 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
งาน 186tv
โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 4 ลูกและสีขาว 6 ลูก สุ่มจับลูกบอล 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก;
b) น้อยกว่า 3 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
งาน 188tv
โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 5 ลูกและสีขาว 6 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
ก) ลูกบอลสีขาว 4 ลูก;
b) น้อยกว่า 4 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
งาน #1
เหตุการณ์สุ่ม
6 ตัวเลือก
งาน 1.1.โยนสามเหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ "เสื้อคลุมแขน" ปรากฏบนเหรียญเพียงสองเหรียญ
เหตุการณ์ที่ตรวจสอบ A - มีเพียงสองเหรียญในสามเหรียญเท่านั้นที่จะมีเสื้อคลุมแขน เหรียญมีสองด้านซึ่งหมายความว่าจะมี 8 เหตุการณ์เมื่อโยนเหรียญสามเหรียญ ในสามกรณี มีเพียงสองเหรียญเท่านั้นที่จะมีเสื้อคลุมแขน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คำนวณโดยใช้สูตร:
P(A) = m/n = 3/8
ตอบ: ความน่าจะเป็น 3/8
งาน 1.2.คำว่า EVENT ประกอบด้วยไพ่ แต่ละใบมีตัวอักษรเขียนอยู่หนึ่งตัว จากนั้นไพ่จะถูกผสมและนำออกโดยไม่ส่งคืนทีละใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรถูกนำออกมาตามลำดับของคำที่กำหนด
การทดสอบประกอบด้วยการนำการ์ดที่มีตัวอักษรออกแบบสุ่มโดยไม่ส่งคืน เหตุการณ์เบื้องต้นคือลำดับของตัวอักษรที่ได้รับ เหตุการณ์ A คือการได้รับ คำที่ถูกต้องเหตุการณ์ . เหตุการณ์เบื้องต้นเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษร 7 ตัว ซึ่งหมายความว่าตามสูตรที่เรามี n= 7!
ตัวอักษรในคำว่า EVENT จะไม่ซ้ำกัน ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนจึงไม่สามารถทำได้โดยที่คำนั้นไม่เปลี่ยนแปลง จำนวนของพวกเขาคือ 1
ทางนี้,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
ตอบ: P(A) = 1/5040.
งาน 1.3.ในปัญหาที่แล้ว จงหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันของกรณีเมื่อคำที่กำหนดคือคำว่า ANTONOV ILYA
ปัญหานี้แก้ไขได้เช่นเดียวกับปัญหาก่อนหน้า
n=11!; ม = 2!*2! = 4
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
ตอบ: P(A)=1/9979200.
งาน 1.4โกศประกอบด้วย 8 ลูกสีดำและ 6 ลูกสีขาว สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
ก) ลูกบอลสีขาว 3 ลูก;
b) น้อยกว่า 3 ลูกสีขาว;
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
8 ชั่วโมง การทดสอบจะเป็นการสุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ประถม
เหตุการณ์ 6 b เป็นการผสมผสานที่เป็นไปได้ทั้งหมดจาก 5 จาก 14 ลูก หมายเลขของพวกเขาคือ
ก) A 1 - ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มจับ 3 ลูกเป็นสีขาว ดังนั้น ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมา 3 ลูกจะเป็นสีขาว และ 2 ลูกเป็นสีดำ โดยใช้กฎการคูณ เราจะได้
P (A 1) \u003d 560/2002 \u003d 280/1001
b) A 2 - ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมามีลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สามเหตุการณ์:
ใน 1 - ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมามีเพียง 2 ลูกสีขาวและ 3 ลูกสีดำ
B 2 - ท่ามกลางลูกบอลที่สุ่มออกมา มีเพียงลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำ 4 ลูก
ใน 3 - ไม่มีลูกบอลสีขาวแม้แต่ลูกเดียวในลูกบอลที่สุ่มจับทั้ง 5 ลูกเป็นสีดำ:
A 2 \u003d B 1 B 2 B 3
เนื่องจากเหตุการณ์ B 1 , B 2 และ B 3 เข้ากันไม่ได้ คุณสามารถใช้สูตรได้:
P (A 2) \u003d P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);
P (A 2) \u003d 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 \u003d 483/1001
c) - ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมานั้นไม่มีลูกสีขาวลูกเดียว ในกรณีนี้:
P (A 3) \u003d 1 - P () \u003d 1 - 28/1001 \u003d 973/1001
ตอบ: P (A 1) \u003d 280/1001, P (A 2) \u003d 483/1001, P (A 3) \u003d 973/1001
ปัญหา 1.6โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 5 ลูกและลูกบอลสีดำ 7 ลูก และโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกจากโกศแรกและ 2 ลูกจากโกศที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมา:
ก) ลูกบอลทั้งหมดที่มีสีเดียวกัน
b) ลูกบอลสีขาวเพียงสามลูก
c) ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
โกศ 1 โกศ 2 ลูกถูกดึงออกมาจากโกศทั้งสองอย่างอิสระ การทดลอง
5 b 6 b กำลังดึงลูกบอลสองลูกจากโกศแรกและสองลูก
7h 4h จากโกศที่สอง กิจกรรมระดับประถมศึกษาจะเป็นชุดค่าผสม
2 หรือ 2 จาก 12 หรือ 10 ลูกตามลำดับ
2 2 a) A 1 - ลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้งหมดที่มีสีเดียวกันนั่นคือ ล้วนเป็นสีขาว
หรือสีดำทั้งหมด
เรากำหนดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับแต่ละโกศ:
ใน 1 - 2 ลูกสีขาวจะถูกลบออกจากโกศแรก
B 2 - 1 ลูกบอลสีขาวและ 1 ลูกสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก
ใน 3 - 2 ลูกสีดำจะถูกดึงออกมาจากโกศแรก
C 1 - 2 ลูกบอลสีขาวดึงออกมาจากโกศที่สอง
C 2 - 1 ลูกบอลสีขาวและ 1 ลูกสีดำถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง
C 3 - 2 ลูกสีดำถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง
ดังนั้น A 1 = 
ดังนั้นเราจึงได้รับ .โดยคำนึงถึงความเป็นอิสระและความไม่ลงรอยกันของเหตุการณ์
P (A 1) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3)
มาหาปริมาณกัน เหตุการณ์เบื้องต้น n 1 และ n 2 สำหรับโกศที่หนึ่งและที่สองตามลำดับ เรามี:
หาจำนวนของแต่ละองค์ประกอบของเหตุการณ์ที่กำหนดเหตุการณ์ต่อไปนี้:
B 1: m 11 = C 1: m 21 =
B 2: ม. 12 \u003d C 2: ม. 22 \u003d
B 3: ม. 13 \u003d C 3: ม. 23 \u003d
เพราะเหตุนี้,
P (A 1) \u003d 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 \u003d 5/99 + 7/165 \u003d 46/495
b) A 2 - ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมามีเพียง 3 ลูกเท่านั้นที่เป็นสีขาว ในกรณีนี้
A 2 \u003d (B 1 C 2 (B 2 C 1);
P (A 2) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 2) * P (C 2)
P (A 2) \u003d 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 \u003d 33/99 \u003d 1/3
c) A 3 - ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมามีลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก
ไม่มีลูกบอลสีขาวในลูกบอลที่สุ่มจับ แล้ว
P() = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P (A 3) \u003d 1 - P () \u003d 1 - 7/165 \u003d 158/165
ตอบ: P (A 1) \u003d 46/495, P (A 2) \u003d 1/3, P (A 3) \u003d 158/165
ปัญหา 1.7โกศประกอบด้วยลูกบอลขาวดำ 5 ลูก เพิ่มลูกบอลสีขาว 4 ลูก หลังจากนั้นจะสุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากโกศ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้งหมดเป็นสีขาว โดยสมมติว่าประโยคที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกี่ยวกับเนื้อหาดั้งเดิมของโกศนั้นมีความเป็นไปได้เท่ากัน
มีการทดสอบสองประเภทที่นี่: ขั้นแรกให้เนื้อหาเริ่มต้นของโกศแล้วจากนั้นสุ่มลูกบอลลูกที่ 3 และผลการทดสอบครั้งที่สองขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของครั้งแรก ดังนั้นจึงใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
เหตุการณ์ A - สุ่มจับลูกบอลสีขาว 3 ลูก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ขึ้นอยู่กับว่า องค์ประกอบดั้งเดิมลูกในโกศ
พิจารณาเหตุการณ์:
ใน 1 - มีลูกบอลสีขาว 5 ลูกในโกศ
ใน 2 - มีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 1 ลูกในโกศ
ใน 3 - มี 3 ลูกสีขาวและ 2 ลูกสีดำในโกศ;
ใน 4 - มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูกในโกศ
ที่ 5 - มีลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 4 ลูกในโกศ
เมื่ออายุ 6 ขวบ - มีลูกบอลสีดำ 5 ลูกในโกศ
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด
มาหากัน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ A ภายใต้เงื่อนไขต่างๆ
P (A / B 1) \u003d 1
P (A / B 2) \u003d 56/84 \u003d 2/3
P (A / B 3) \u003d 35/84 \u003d 5/12
P (A / B 4) \u003d 5/21.
P (A / B 5) \u003d 5/42.
P (A / B 6) \u003d 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
ตอบ: P(A) = 209/504
ปัญหา 1.9มีปืนไรเฟิล 11 กระบอกในปิรามิด โดย 3 กระบอกมีสายตาแบบออปติคัล นักแม่นปืนที่ยิงด้วยปืนยาวด้วยกล้องส่องทางไกลสามารถโจมตีเป้าหมายด้วยความน่าจะเป็น 87/100 และการยิงจากปืนไรเฟิลที่ไม่มีสายตาโดยมีความน่าจะเป็น 52/100 ค้นหาความน่าจะเป็นที่มือปืนจะยิงโดนเป้าหมายโดยการยิงจากปืนไรเฟิลที่สุ่มเลือก
เมื่อพิจารณาว่าปืนไรเฟิลถูกเลือกทีละตัว เราได้รับและตามลำดับ (สำหรับ B 1) และ (สำหรับ B 2); ดังนั้น P (B 1) \u003d 3/11, P (B 2) \u003d 8/11
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขระบุไว้ในคำสั่งปัญหา:
P(A / B 1) = 0.87 และ P (A.B 2) = 0.52
เพราะเหตุนี้,
P(A) = 0.87 * 3/11 + 0.52 * 8/11 = 0.615
ตอบ: P(A)=0.615.
ปัญหา 1.10.ในร้านค้าประกอบ มอเตอร์ไฟฟ้าเชื่อมต่อกับอุปกรณ์ มอเตอร์ไฟฟ้าจัดทำโดยผู้ผลิตสามราย มีมอเตอร์ไฟฟ้าของโรงงานเหล่านี้อยู่ในโกดัง ตามลำดับ จำนวน M 1 =13, M 2 =12 และ M 3 = 17 ชิ้น ซึ่งสามารถทำงานได้ไม่มีสะดุดจนหมดระยะเวลารับประกัน มีโอกาส 0.91 , 0.82 และ 0.77 ตามลำดับ คนงานสุ่มเอามอเตอร์ไฟฟ้าหนึ่งตัวและติดตั้งเข้ากับอุปกรณ์ ค้นหาความน่าจะเป็นที่มอเตอร์ไฟฟ้าติดตั้งและทำงานโดยไม่มีข้อผิดพลาดจนกระทั่งสิ้นสุดระยะเวลาการรับประกันโดยผู้ผลิตรายแรก ที่สอง หรือสามตามลำดับ
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะได้รับในเงื่อนไขของปัญหา: P (A / B 1) \u003d 0.91, P (A / B 2) \u003d 0.82, P (A / B 3) \u003d 0.77
เช่นเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ เราพบความน่าจะเป็น:
P (B 1) \u003d 13/42 \u003d 0.3095; P (B 2) \u003d 12/42 \u003d 0.2857; P (B 3) \u003d 17/42 \u003d 0.4048;
P(A) = 0.91 * 0.3095 + 0.82 * 0.2857 + 0.77 * 0.4048 = 0.8276
ตามสูตรเบย์ (1.8.) เราคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ (สมมติฐาน) B 1:
P (B 1 / A) \u003d 
P (B 2 / A) \u003d 
P (B 3 / A) \u003d 
ตอบ: P (B 1 / A) \u003d 0.3403, P (B 2 / A) \u003d 0.2831, P (B 3 / A) \u003d 0.3766
งาน #2
ตัวแปรสุ่ม
6 - ตัวเลือก
งาน 2.1.ในแต่ละ n การทดสอบอิสระเหตุการณ์ A เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ที่ 0.36 คำนวณความน่าจะเป็นทั้งหมด p k , k = 0, 1, 2, ..., 11 โดยที่ k คือความถี่ของเหตุการณ์ A. วาดความน่าจะเป็น p k ค้นหาความถี่ที่เป็นไปได้มากที่สุด
ที่ให้ไว้: n=11, p=0.36, q=1 - p=0.64
หา: p 0, p 1 , p 2 , ... , p 11 และ k.
โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี ค่าของ p 0 คำนวณโดยสูตรแรกและความน่าจะเป็นที่เหลือ p k - โดยวินาที
สำหรับสูตร เราคำนวณค่าคงที่
p / q \u003d 0.36 / 0.64 \u003d 0.5625, p 0 \u003d * 0.36 0 * 0.64 11 \u003d 0.0073787
เราเขียนผลลัพธ์ของการคำนวณในตารางที่ 1 หากการคำนวณถูกต้องแสดงว่าความเท่าเทียมกัน
จากความน่าจะเป็นที่พบ เราสร้างกราฟ (รูปที่ 1)
ลองหาความถี่ที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดตามเงื่อนไขที่กำหนด:
np - q = 11 * 0.36 - 0.64 = 3.32.np + k = 4.32
ดังนั้น ความถี่ที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดคือ k = 4 และดังที่ได้รับมาก่อนหน้านี้ ค่าของ p 3 คือค่าสูงสุด
ตารางที่ 1
| k | (n-k-1)/k | p k | k | (n-k-1)/k | p k |
| - | 0,9926213 |
รูปที่ 1 กราฟความน่าจะเป็น p k
งาน 2.2.ในแต่ละการทดลองอิสระ n ครั้ง เหตุการณ์ A เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ที่ 0.47 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น:
ก) ตรง 330 ครั้ง;
b) น้อยกว่า 330 และมากกว่า 284 ครั้ง
c) มากกว่า 330 ครั้ง
ก) ที่ให้ไว้: n = 760, p = 0.47, M = 330.
หา:ป 760 (330)
เราใช้ ทฤษฎีบทท้องถิ่น Moivre - ลาปลาซ เราพบ:
เราพบค่าของฟังก์ชัน j(x) จากตาราง:
j(1.98) = 0.0562, P 760 (330) = 0.0562/ 13.76 = 0.00408
ข) หา: R 760 (284 .) เราใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Moivre - Laplace เราพบ: เราพบค่าของฟังก์ชัน Ф(х) จากตาราง: R 760 (284 .) ใน) หา: R 760 (330 .) เรามี: x 1 \u003d -1.98, R 760 (330 .) งาน 2.4.ที่การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น 1/800 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในการเชื่อมต่อ 5600 มี: ก) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้อง 2 รายการ; b) น้อยกว่า 3 การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้อง; c) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องมากกว่า 8 รายการ ก) ให้: n=5600, p=1/800, k=2. หา:ป 800 (2). เราได้รับ: ล. \u003d 5600 * 1/800 \u003d 7 P 800 (2) = ข) ที่ให้ไว้ k<3. หา:พี 200 (k<3). P 800 (k<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. ใน) ที่ให้ไว้ k > 8 หา:พี 800 (k > 8) ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ เพื่อหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม เนื่องจากในกรณีนี้ คุณต้องคำนวณเงื่อนไขให้น้อยลง โดยคำนึงถึงกรณีก่อนหน้านี้เรามี P 800 (k>8) = 1 - P 800 (k8) = 1 - P 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. ปัญหา 2.6.ตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนดโดยชุดของการแจกแจง ค้นหาฟังก์ชันการกระจาย F(x) ของตัวแปรสุ่ม X และสร้างกราฟ คำนวณหาค่า X ค่า EX เฉลี่ย ความแปรปรวน DX และโหมด Mo ลองพลอตฟังก์ชันการกระจาย F(x) กัน ค่าเฉลี่ยของ EX คำนวณโดยสูตร: EX \u003d 8 * 0.11 + 12 * 0.14 + 16 * 0.5 + 24 * 0.25 \u003d 16.56 การกระจาย: E (X 2) \u003d 8 2 * 0.11 + 12 2 * 0.14 + 16 2 * 0.5 + 24 2 * 0.25 \u003d 299.2 DX = 299.2 - 16.52 2 = 26.2896. พล็อตฟังก์ชันการกระจาย ปัญหา 2.7ตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) = หาฟังก์ชันการกระจาย F(x) ของตัวแปรสุ่ม X วาดฟังก์ชัน f(x) และ F(x) คำนวณหาค่า X ค่า EX เฉลี่ย ความแปรปรวน DX โหมด Mo และค่ามัธยฐาน Me K = 8, R = 12. ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องหาได้จากสูตร: สร้างกราฟของฟังก์ชัน f(x) และ F(x) ค่าเฉลี่ยของ X คำนวณโดยสูตร: อดีต = ในการหาความแปรปรวน X เราใช้สูตร: อี (X 2) \u003d DX = 40.5 - (4.5) 2 . กราฟแสดงให้เห็นว่า f (x) ถึงค่าสูงสุดที่จุด x \u003d 1/2 และดังนั้น Mo \u003d 12 ในการหาค่ามัธยฐาน Me คุณต้องแก้สมการ x 2 / 256 \u003d 1/2 , หรือ x 2 \u003d 128 เรามี x = ± 11.31, Me = 11.31 กราฟของฟังก์ชันการกระจาย F(x) งานหมายเลข 3 งาน 3.1 สำหรับตัวอย่าง A และ B สร้างชุดตัวแปร คำนวณความถี่สัมพัทธ์ (ความถี่) และความถี่สะสม สร้างกราฟของอนุกรมรูปแบบต่างๆ (รูปหลายเหลี่ยมและฮิสโตแกรม) เขียนฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์และสร้างกราฟ คำนวณลักษณะเชิงตัวเลขของอนุกรมรูปแบบต่างๆ: เฉลี่ย , ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน , ค่ามัธยฐานฉัน งาน 3.2. คำนวณค่าประมาณที่เป็นกลางของพารามิเตอร์ประชากร ,S 2 , S ตาม ตัวอย่าง A และ B (โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากปัญหา 3.1) รวมถึงคอลัมน์แรกของตัวอย่าง B ตัวอย่าง A6 N = 73 ช่วงแรกเริ่ม: 0 ความยาวช่วง: 1 ตัวอย่าง B6 N = 237 ช่วงเริ่มต้นช่วงแรก: 285 ช่วงระยะเวลา: 7 การแก้ปัญหา. งาน 3.1. อันดับแรก เราแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่าง A เราพบ: x min \u003d 0 และ x max \u003d 11 ช่วง (11 - 0 + 1 \u003d 12) ค่อนข้างเล็ก ดังนั้นเราจะสร้างชุดการเปลี่ยนแปลงตามค่า (ตารางที่ 1). ตารางที่ 1 ความถี่สัมพัทธ์ทั้งหมดคำนวณด้วยความแม่นยำเท่ากัน เมื่อทำการพล็อต เราแสดงค่าตั้งแต่ 0 ถึง 11 บนแกน x และค่าตั้งแต่ 0 ถึง 0.25 บนแกน n i /n (รูปที่ 1 และ 2) ข้าว. 1. รูปหลายเหลี่ยมของชุดการเปลี่ยนแปลงของตัวอย่าง A ข้าว. 2. ฮิสโตแกรมของชุดการเปลี่ยนแปลงของตัวอย่าง A พบฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ F * (x) โดยใช้สูตรและความถี่สะสมจากตาราง 1. เรามี: เมื่อวางแผน F * (x) เราตั้งค่าฟังก์ชันไว้ในช่วง 0 ถึง 1.2 (รูปที่ 3) รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ของตัวอย่าง A การคำนวณผลรวมสำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนตามสูตรและตามชุดการเปลี่ยนแปลง (ดูตารางที่ 1) ถูกวาดขึ้นในตาราง 2. จากความถี่สูงสุด เรากำหนด c = 7 และขั้นตอนของตารางคือ k = 1
.X
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 
โหมด Mo คือค่าที่มีความถี่สูงสุด กล่าวคือ Mo = 7 ค่ามัธยฐาน Me คือค่าที่ 37 ของชุดการเปลี่ยนแปลง: Me = 7
ตอนนี้โดยใช้ตัวอย่าง B เราพบ x min = 288 และ x max = 350 ช่วง (350 - 288 + 1 = 63) ค่อนข้างใหญ่ ดังนั้นเราจะรวบรวมชุดรูปแบบตามช่วงเวลาของค่าโดยใช้จุดเริ่มต้นที่กำหนดของ ช่วงแรกและช่วงระยะเวลาเมื่อสุ่มตัวอย่าง (ตารางที่ 3 )
ตารางที่ 3
ข้าว. 4. รูปหลายเหลี่ยมของชุดการเปลี่ยนแปลงของตัวอย่าง B
ข้าว. 5. ฮิสโตแกรมของชุดการเปลี่ยนแปลงของตัวอย่าง B
เมื่อสร้างกราฟ เราพล็อตค่าจาก 285 ถึง 355 ตามแกน x และค่าจาก 0 ถึง 0.3 ตามแกน n i /n (รูปที่ 4 และ 5)
นอกจากนี้ เราคำนึงว่าจุดสิ้นสุดนั้นเป็นตัวแทนของแต่ละช่วงเวลา การหาพิกัดของจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาและความถี่สะสมที่สอดคล้องกัน (ดูตารางที่ 3) และการเชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับเส้นตรง เราสร้างกราฟของฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ (รูปที่ 6)
ข้าว. 6. กราฟของฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ของตัวอย่าง B
เพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการกระจายตัวตามสูตรและตามตาราง 3 เรากำหนด c \u003d 316 และ k \u003d 7 เราคำนวณจำนวนเงินโดยใช้ตาราง 4 (ตารางที่ 4).
ใช้สูตรคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต 
และกระจายตัว 227.8
ค่ามัธยฐานหาได้จากสูตร Me =
งาน 3.2.
เมื่อใช้สูตร เราจะพบค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงของความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน:
n=73, S-2=5.8143, S2=73/72×5.8143=5.8951, S==2.43
สำหรับตัวอย่าง B เรามี
393.92, = 177.47, n = 237, S 2 = 237/236×177.47 = 178.222, S = 13.35
ค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงสำหรับคอลัมน์แรกของตัวอย่าง B ได้มาในลักษณะเดียวกัน (หากตัวอย่างนี้มีองค์ประกอบที่ซ้ำกันเพียงไม่กี่รายการ สามารถละเว้นอนุกรมการแปรผันได้)
ตัวอย่างที่ 1 ในโกศแรก: สามสีแดง ลูกสีขาวหนึ่งลูก ในโกศที่สอง: ลูกสีแดงหนึ่งลูกสีขาวสามลูก มีการโยนเหรียญแบบสุ่ม: หากเลือกเสื้อคลุมแขนจากโกศแรกหรือจากที่สอง
วิธีการแก้:
ก) ความน่าจะเป็นของการจับลูกบอลสีแดง
เอ - ได้ลูกบอลสีแดง
P 1 - แขนเสื้อหลุดออก P 2 - มิฉะนั้น
b) เลือกลูกบอลสีแดง จงหาความน่าจะเป็นที่จะถูกพรากไปจากโกศแรก จากโกศที่สอง
B 1 - จากโกศแรก B 2 - จากโกศที่สอง
,
ตัวอย่างที่ 2 มี 4 ลูกในกล่อง สามารถเป็น: ขาวเท่านั้น ดำหรือขาวและดำเท่านั้น (ไม่ทราบองค์ประกอบ)
วิธีการแก้:
A คือความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวจะปรากฏขึ้น
ก) ผ้าขาวทั้งหมด:
(ความน่าจะเป็นที่หนึ่งในสามตัวเลือกที่มีสีขาวถูกจับได้)
(ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้นโดยที่ทั้งหมดเป็นสีขาว)
b) ดึงออกในที่ที่ทุกคนเป็นสีดำ
c) ดึงตัวแปรออกมาซึ่งทั้งหมดเป็นสีขาวหรือ/และสีดำ
- อย่างน้อยก็มีสีขาว
P a + P b + P c =
ตัวอย่างที่ 3 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 5 ลูกและลูกบอลสีดำ 4 ลูก นำลูกบอล 2 ลูกออกมาติดต่อกัน หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองเป็นสีขาว
วิธีการแก้:
สีขาว 5 ลูก สีดำ 4 ลูก
P(A 1) - จั่วลูกบอลสีขาว
P(A 2) คือความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองยังเป็นสีขาว
P(A) – ลูกบอลสีขาวที่เลือกในแถว
ตัวอย่างที่ 3ก. ในซองมีธนบัตรปลอม 2 ใบและธนบัตรจริง 8 ใบ ธนบัตร 2 ใบถูกดึงออกจากซองติดต่อกัน หาความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่เป็นเท็จ
วิธีการแก้:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022
ตัวอย่างที่ 4 มี 10 โกศ 9 โกศประกอบด้วย 2 ลูกสีดำและ 2 ลูกสีขาว มี 5 สีขาวและ 1 สีดำใน 1 โกศ ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศที่สุ่มมา
วิธีการแก้:
พี(เอ)-? ลูกบอลสีขาวนำมาจากโกศที่มี 5 สีขาว
B - ความน่าจะเป็นที่จะถูกนำออกจากโกศโดยที่ 5 เป็นสีขาว
, - เอามาจากคนอื่น
C 1 - ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของลูกบอลสีขาวในเลเวล 9
C 2 - ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้นโดยมี 5 ลูก
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
ตัวอย่างที่ 5 ลูกกลิ้งทรงกระบอก 20 อันและทรงกรวย 15 อัน ตัวเลือกใช้ลูกกลิ้ง 1 อันแล้วอีกอัน
วิธีการแก้:
ก) ลูกกลิ้งทั้งสองเป็นทรงกระบอก
พี(ค 1)=; พี(ค 2)=
C 1 - กระบอกแรก C 2 - กระบอกที่สอง
P(A)=P(C 1)P(C 2) =
b) อย่างน้อยหนึ่งกระบอก
K 1 - กรวยแรก
K 2 - กรวยที่สอง
P(B)=P(C 1)P(K 2)+P(C 2)P(K 1)+P(C 1)P(C 2)
;
c) กระบอกแรกและกระบอกที่สองไม่ใช่
P(C)=P(C 1)P(K 2)
จ) ไม่ใช่กระบอกเดียว
P(D)=P(K 1)P(K 2)
จ) ตรง 1 กระบอก
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
ตัวอย่างที่ 6 มีชิ้นส่วนมาตรฐาน 10 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้นในกล่อง
สุ่มจับสามชิ้น
ก) หนึ่งในนั้นมีข้อบกพร่อง
P n (K)=C n k p k q n-k ,
P คือความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง
q คือความน่าจะเป็นของชิ้นส่วนมาตรฐาน
n=3, สามส่วน
b) สองในสามส่วนมีข้อบกพร่อง P(2)
c) อย่างน้อยหนึ่งมาตรฐาน
P(0) - ไม่มีข้อบกพร่อง
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งส่วนจะเป็นมาตรฐาน
ตัวอย่างที่ 7 . โกศที่ 1 ประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 3 ลูกและลูกบอลสีดำ 3 ลูก และโกศที่ 2 มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 4 ลูก 2 ลูกถูกย้ายจากโกศที่ 1 ไปยังโกศที่ 2 โดยไม่ต้องมอง จากนั้นดึงบอล 2 ลูกจากโกศที่ 2 ความน่าจะเป็นที่จะมีสีต่างกันคืออะไร?
วิธีการแก้:
เมื่อย้ายลูกบอลจากโกศแรก ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้:
ก) จับลูกบอลสีขาว 2 ลูกติดต่อกัน
P WB 1 =
ในขั้นตอนที่สองจะมีลูกบอลน้อยกว่าหนึ่งลูกเสมอ เนื่องจากลูกหนึ่งลูกถูกนำออกไปแล้วในขั้นตอนแรก
b) จับลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำหนึ่งลูก
สถานการณ์เมื่อลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อนแล้วจึงลูกบอลสีดำ
P BC =
สถานการณ์เมื่อลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาก่อน แล้วก็ลูกบอลสีขาว
P BW =
รวม: P CU 1 =
c) จับลูกบอลสีดำ 2 ลูกติดต่อกัน
P HH 1 =
เนื่องจากย้ายจากโกศแรกไปยังโกศที่สองแล้ว 2 ลูก จำนวนรวมของลูกบอลในโกศที่สองจะเป็น 9 (7 + 2) ดังนั้น เราจะมองหาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
ก) ก่อนเป็นสีขาวแล้วดึงลูกบอลสีดำจากโกศที่สอง
P BC 2 P BB 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อน จากนั้นจึงได้ลูกบอลสีดำ โดยมีเงื่อนไขว่าดึงลูกบอลสีขาว 2 ลูกจากโกศแรกในแถว นั่นคือเหตุผลที่จำนวนลูกบอลสีขาวในกรณีนี้คือ 5 (3+2)
P BC 2 P BC 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อน จากนั้นจึงได้ลูกบอลสีดำ โดยที่ลูกบอลสีขาวและสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก นั่นคือสาเหตุที่จำนวนลูกบอลสีขาวในกรณีนี้คือ 4 (3+1) และจำนวนลูกบอลสีดำคือห้า (4+1)
P BC 2 P BC 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่จะนำลูกบอลสีขาวออกก่อน จากนั้นเป็นลูกบอลสีดำ โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำทั้งสองถูกนำออกจากโกศแรกติดต่อกัน นั่นคือเหตุผลที่จำนวนลูกบอลสีดำในกรณีนี้คือ 6 (4+2)
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมา 2 ลูกจะมีสีต่างกันเท่ากับ:
คำตอบ: P = 0.54
ตัวอย่างที่ 7ก. จากโกศที่ 1 บรรจุลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 3 ลูก ลูกบอล 2 ลูกจะถูกสุ่มย้ายไปยังโกศที่ 2 ซึ่งประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 6 ลูก จากนั้นสุ่มจับบอล 1 ลูกจากโกศที่ 2
1) ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจากโกศที่ 2 เป็นสีขาวเป็นเท่าใด
2) ลูกบอลที่ดึงออกมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีต่างๆ ถูกย้ายจากโกศที่ 1 ถึงโกศ 2
วิธีการแก้.
1) เหตุการณ์ A - ลูกบอลที่ดึงมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว พิจารณาตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์นี้
ก) วางลูกบอลสีขาวสองลูกจากโกศแรกไปยังลูกที่สอง: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56
ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 4 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศที่สองคือ P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) วางลูกบอลสีขาวและสีดำจากโกศแรกไปยังอันที่สอง: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56
ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศที่สองคือ P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) วางลูกบอลสีดำสองลูกจากโกศแรกไปยังลูกที่สอง: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56
ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศที่สองคือ P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
จากนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกบอลดึงออกมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาวเท่ากับ:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) ลูกบอลที่ดึงออกมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว กล่าวคือ ความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ P(A)=13/32
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีต่างกัน (ขาวดำ) ถูกย้ายไปยังโกศที่สองและเลือกสีขาว: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
ตัวอย่างที่ 7b. โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและสีดำ 3 ลูก โกศที่สองมีสีขาว 5 ลูกและสีดำ 3 ลูก หนึ่งลูกจะถูกสุ่มเลือกจากลูกแรกและอีกสองลูกจากลูกที่สอง หลังจากนั้น ลูกบอลหนึ่งลูกจะถูกสุ่มเลือกจากสามลูกที่เลือก ลูกสุดท้ายนี้กลายเป็นสีดำ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศแรก
วิธีการแก้.
ลองพิจารณารูปแบบทั้งหมดของเหตุการณ์ A - จากสามลูก ลูกบอลที่สุ่มออกมากลายเป็นสีดำ เป็นไปได้อย่างไรที่ลูกบอลสามลูกเป็นสีดำ?
ก) ดึงลูกบอลสีดำออกจากโกศแรก และดึงลูกบอลสีขาวสองลูกจากโกศที่สอง
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
b) ดึงลูกบอลสีดำจากโกศแรก และดึงลูกบอลสีดำสองลูกจากโกศที่สอง
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
c) ดึงลูกบอลสีดำจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำหนึ่งลูกถูกดึงมาจากโกศที่สอง
P3 = (3/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
ง) ดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก และนำลูกบอลสีดำสองลูกจากโกศที่สอง
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
จ) นำลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำหนึ่งลูกถูกนำออกจากโกศที่สอง
P5 = (8/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
ความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
ความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกสีขาวจากโกศสีขาวคือ:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีขาวจากโกศแรกโดยมีเงื่อนไขว่าเลือกลูกสีดำจากสามลูกเท่ากับ:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57
ตัวอย่างที่ 7ค. โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 12 ลูกและลูกบอลสีดำ 16 ลูก โกศที่สองมีสีขาว 8 ลูกและสีดำ 10 ลูก ในเวลาเดียวกัน ลูกบอลจะถูกดึงออกมาจากโกศที่ 1 และ 2 ผสมและส่งคืนทีละโกศ จากนั้นดึงลูกบอลออกจากโกศแต่ละอัน พวกเขากลายเป็นสีเดียวกัน กำหนดความน่าจะเป็นที่จะมีลูกบอลสีขาวเหลืออยู่ในโกศที่ 1 เท่าที่มีอยู่ตอนเริ่มต้น
วิธีการแก้.
เหตุการณ์ A - ในเวลาเดียวกันลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศที่ 1 และ 2
ความน่าจะเป็นในการดึงลูกบอลสีขาวจากโกศแรก: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
ความน่าจะเป็นในการดึงลูกบอลสีดำจากโกศแรก: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
ความน่าจะเป็นในการดึงลูกบอลสีขาวจากโกศที่สอง: P2(B) = 8/18 = 4/9
ความน่าจะเป็นในการดึงลูกบอลสีดำจากโกศที่สอง: P2(H) = 10/18 = 5/9
เหตุการณ์ A เกิดขึ้น เหตุการณ์ B - ดึงลูกบอลออกจากโกศแต่ละอัน หลังจากการสับเปลี่ยน ความน่าจะเป็นที่จะคืนลูกบอลไปที่โกศของลูกบอลสีขาวหรือสีดำคือ ½
พิจารณาตัวแปรของเหตุการณ์ B - พวกมันกลายเป็นสีเดียวกัน
สำหรับโกศแรก
1) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรก และสุ่มจับลูกบอลสีขาว โดยมีเงื่อนไขว่าก่อนหน้านี้จั่วลูกบอลสีขาว P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรกและหยิบลูกบอลสีขาวออกมา โดยต้องจับลูกบอลสีดำก่อนหน้านี้ P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรกและจับลูกบอลสีดำ โดยที่ก่อนหน้านี้ลูกบอลสีขาวถูกจั่ว P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรกและสุ่มจับลูกบอลสีดำ โดยต้องดึงลูกบอลสีดำก่อนหน้านี้ P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) วางลูกบอลสีดำในโกศแรกและสุ่มลูกบอลสีขาว โดยที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) วางลูกบอลสีดำในโกศแรกและจับลูกบอลสีขาว โดยที่ก่อนหน้านี้ลูกบอลสีดำถูกจั่ว P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) วางลูกบอลสีดำในโกศแรก และจับลูกบอลสีดำ โดยที่ก่อนหน้านี้ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) วางลูกบอลสีดำในโกศแรก และจับลูกบอลสีดำ โดยต้องดึงลูกบอลสีดำก่อนหน้านี้ P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
สำหรับโกศที่สอง
1) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรก และสุ่มจับลูกบอลสีขาว โดยมีเงื่อนไขว่าก่อนหน้านี้จั่วลูกบอลสีขาว P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรก และสุ่มลูกบอลสีขาว โดยต้องดึงลูกบอลสีดำก่อนหน้านี้ P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรกและสุ่มจับลูกบอลสีดำ โดยต้องดึงลูกบอลสีขาวก่อนหน้านี้ P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) วางลูกบอลสีขาวในโกศแรกและสุ่มจับลูกบอลสีดำ โดยต้องดึงลูกบอลสีดำก่อนหน้านี้ P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) วางลูกบอลสีดำในโกศแรกและหยิบลูกบอลสีขาวโดยที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) วางลูกบอลสีดำในโกศแรกและจับลูกบอลสีขาว โดยที่ก่อนหน้านี้ลูกบอลสีดำถูกจั่ว P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) วางลูกบอลสีดำในโกศแรก และจับลูกบอลสีดำ โดยที่ก่อนหน้านี้ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) วางลูกบอลสีดำในโกศแรก และจับลูกบอลสีดำ โดยต้องดึงลูกบอลสีดำก่อนหน้านี้ P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
ลูกบอลกลายเป็นสีเดียวกัน:
ก) สีขาว
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
ข) สีดำ
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
ตัวอย่าง 7g. กล่องแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีน้ำเงิน 4 ลูก ลูกที่สอง 3 และ 1 และลูกที่สาม 4 และ 5 ตามลำดับ กล่องถูกสุ่มเลือกและลูกบอลที่ดึงออกมากลายเป็นสีน้ำเงิน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้มาจากกล่องที่สองเป็นเท่าไหร่?
วิธีการแก้.
เอ-งานสกัดลูกโป่งสีน้ำเงิน พิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ของเหตุการณ์ดังกล่าว
H1 - ดึงลูกบอลจากกล่องแรก
H2 - ดึงลูกบอลจากกล่องที่สอง
H3 - ลูกบอลที่สุ่มออกมาจากกล่องที่สาม
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
ตามเงื่อนไขของปัญหา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A คือ:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้มาจากกล่องที่สองคือ:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2
ตัวอย่างที่ 8 . กล่องห้ากล่องที่มี 30 ลูกแต่ละอันมี 5 ลูกสีแดง (นี่คือกล่ององค์ประกอบ H1) อีกหกกล่องที่มี 20 ลูกแต่ละกล่องมี 4 ลูกสีแดง (นี่คือกล่ององค์ประกอบ H2) ค้นหาความน่าจะเป็นที่สุ่มจับลูกบอลสีแดงอยู่ในหนึ่งในห้ากล่องแรก
วิธีแก้ไข: งานการนำสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดไปใช้
P(H 1) = 5/11
ความน่าจะเป็นที่ ใดๆลูกบอลที่หยิบมีอยู่ในหนึ่งในหกกล่อง:
P(H 2) = 6/11
เหตุการณ์เกิดขึ้น - ลูกบอลสีแดงถูกดึงออกมา ดังนั้น สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นในสองกรณี:
ก) ดึงออกจากห้ากล่องแรก
P 5 = 5 ลูกสีแดง * 5 กล่อง / (30 ลูก * 5 กล่อง) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) ดึงออกมาจากอีกหกกล่อง
P 6 = 4 ลูกสีแดง * 6 กล่อง / (20 ลูก * 6 กล่อง) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
รวม: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สุ่มจับลูกบอลสีแดงจะมีอยู่ในหนึ่งในห้ากล่องแรกคือ:
พี เค ช. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
ตัวอย่างที่ 9 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีดำ 3 ลูก และลูกบอลสีแดง 4 ลูก สุ่มจับลูกบอลสามลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลอย่างน้อยสองลูกมีสีเดียวกันเป็นเท่าใด
วิธีการแก้. ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์มีสามประการ:
ก) ในบรรดาลูกบอลสามลูกที่สุ่มออกมา อย่างน้อยสองลูกเป็นสีขาว
P b (2) = P 2b
จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้สำหรับการทดลองเหล่านี้เท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถดึงลูกบอล 3 ลูกจาก 9:
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ใน 3 ลูกเป็นสีขาว
จำนวนตัวเลือกให้เลือก 2 ลูกสีขาว:
จำนวนตัวเลือกให้เลือกอีก 7 ลูก ลูกที่สาม:
b) ในบรรดาลูกบอลสามลูกที่สุ่มจับ อย่างน้อยสองลูกที่เป็นสีดำ (เช่น 2 ลูกสีดำหรือ 3 ลูกสีดำ)
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ใน 3 ลูกเป็นสีดำ
จำนวนตัวเลือกให้เลือก 3 ลูกสีดำ:
จำนวนตัวเลือกให้เลือกจากอีก 6 ลูกในหนึ่งลูก:
P 2h = 0.214
ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกทั้งหมดเป็นสีดำ
P ชั่วโมง (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259
c) ในบรรดาลูกบอลสามลูกที่สุ่มจับ อย่างน้อยสองลูกที่เป็นสีแดง (เช่น 2 ลูกสีแดงหรือ 3 ลูกสีแดง)
ลองหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 3 ลูกที่เลือก 2 ลูกเป็นสีแดง
จำนวนตัวเลือกให้เลือก 4 ลูกสีดำ:
จำนวนตัวเลือกให้เลือกจาก 5 ลูกสีขาวเหลือ 1 สีขาว:
หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกทั้งหมดเป็นสีแดง
P ถึง (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
จากนั้นความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองลูกจะมีสีเดียวกันคือ: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138
ตัวอย่างที่ 10 . โกศแรกมี 10 ลูกซึ่งมี 7 ลูกเป็นสีขาว โกศที่สองมี 20 ลูก โดย 5 ลูกเป็นสีขาว สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศแต่ละโกศ จากนั้นสุ่มจับบอลหนึ่งลูกจากสองลูกนี้ หาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว
วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรกคือ P(b)1 = 7/10 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำคือ P(h)1 = 3/10
ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สองคือ P(b)2 = 5/20 = 1/4 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำคือ P(h)2 = 15/20 = 3/4
เหตุการณ์ A - ลูกบอลสีขาวนำมาจากสองลูก
พิจารณาผลของเหตุการณ์ ก.
- หยิบลูกบอลสีขาวจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวดึงมาจากโกศที่สอง จากนั้นลูกบอลสีขาวก็ถูกดึงออกมาจากสองลูกนี้ P1=7/10*1/4=7/40
- หยิบลูกบอลสีขาวจากโกศแรก และลูกบอลสีดำดึงมาจากโกศที่สอง จากนั้นลูกบอลสีขาวก็ถูกดึงออกมาจากสองลูกนี้ P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- หยิบลูกบอลสีดำจากโกศแรก และลูกบอลสีขาวดึงมาจากโกศที่สอง จากนั้นลูกบอลสีขาวก็ถูกดึงออกมาจากสองลูกนี้ P3=3/10*1/4=3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
ตัวอย่างที่ 11 . มี n ลูกเทนนิสในกล่อง ของพวกเขาเล่นม. สำหรับเกมแรก พวกเขาสุ่มหยิบลูกบอลสองลูกแล้วนำกลับมาหลังเกม สำหรับเกมที่สอง พวกเขายังสุ่มหยิบลูกบอลสองลูก ความน่าจะเป็นที่เกมที่สองจะเล่นกับลูกใหม่เป็นเท่าไหร่?
วิธีการแก้. พิจารณาเหตุการณ์ A - เกมนี้เล่นเป็นครั้งที่สองด้วยลูกบอลใหม่ เรามาดูกันว่าเหตุการณ์ใดบ้างที่สามารถนำไปสู่สิ่งนี้
แทนด้วย g = nm จำนวนลูกใหม่ก่อนดึงออก
ก) สุ่มจับลูกบอลใหม่สองลูกในเกมแรก
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) สำหรับเกมแรก พวกเขาดึงบอลใหม่ออกมาหนึ่งลูกและเล่นไปแล้วหนึ่งลูก
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 มก./(n(n-1))
c) สำหรับเกมแรก ดึงลูกบอลที่เล่นสองลูกออกมา
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
พิจารณาเหตุการณ์ในเกมที่สอง
ก) สุ่มจับลูกบอลใหม่สองลูก โดยให้ P1: เนื่องจากลูกบอลใหม่ถูกดึงออกมาแล้วสำหรับเกมแรก จากนั้นสำหรับเกมที่สอง จำนวนของพวกมันจึงลดลง 2, g-2
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) สุ่มจับลูกบอลใหม่สองลูก ภายใต้ P2: เนื่องจากมีการสุ่มจับลูกบอลใหม่หนึ่งลูกสำหรับเกมแรก จากนั้นสำหรับเกมที่สอง จำนวนของพวกเขาลดลง 1, g-1
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2มก. /(n(n-1))
c) พวกเขาดึงลูกบอลใหม่ออกมาสองลูก โดยให้ P3: เนื่องจากไม่มีการใช้ลูกบอลใหม่สำหรับเกมแรก หมายเลขของพวกเขาจึงไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับเกมที่สอง g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
ความน่าจะเป็นทั้งหมด P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* ก.(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 มก./(n(n-1)) + ก./n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
คำตอบ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
ตัวอย่างที่ 12 . กล่องที่หนึ่ง สอง และสามประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก กล่องที่สี่และห้ามีลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 1 ลูก กล่องจะถูกสุ่มเลือกและดึงลูกบอลออกมา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกกล่องที่สี่หรือห้าถ้าลูกบอลที่สุ่มออกมาเป็นสีขาวเป็นเท่าใด
วิธีการแก้.
ความน่าจะเป็นของการเลือกแต่ละช่องคือ P(H) = 1/5
พิจารณาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A - วาดลูกบอลสีขาว
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
ความน่าจะเป็นทั้งหมดในการดึงลูกบอลสีขาว:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกช่องที่สี่
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกช่องที่ห้า
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
ดังนั้น ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกช่องที่สี่หรือห้าคือ
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546
ตัวอย่างที่ 13 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 7 ลูกและลูกบอลสีแดง 4 ลูก จากนั้นวางลูกบอลสีขาวหรือสีแดงหรือสีดำอีกลูกไว้ในโกศและหลังจากผสมลูกบอลหนึ่งลูกก็ถูกนำออกมา เขากลายเป็นสีแดง ความน่าจะเป็นที่ ก) วางลูกบอลสีแดงเป็นเท่าใด ข) ลูกบอลสีดำ?
วิธีการแก้.
ก) ลูกบอลสีแดง
เหตุการณ์ A - จับลูกบอลสีแดง เหตุการณ์ H - วางลูกบอลสีแดง ความน่าจะเป็นที่จะวางลูกบอลสีแดงลงในโกศ P(H=K) = 1 / 3
จากนั้น P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
b) ลูกบอลสีดำ
เหตุการณ์ A - จับลูกบอลสีแดง เหตุการณ์ H - วางลูกบอลสีดำ
ความน่าจะเป็นที่จะวางลูกบอลสีดำในโกศคือ P(H=H) = 1/3
จากนั้น P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111
ตัวอย่างที่ 14 . มีโกศสองลูก ลูกหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 10 ลูกและสีน้ำเงิน 5 ลูก อีกลูกหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 5 ลูกและสีน้ำเงิน 7 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มจับลูกบอลสีแดงจากโกศแรกและสีน้ำเงินจากโกศที่สองเป็นเท่าใด
วิธีการแก้.ให้เหตุการณ์ A1 - ลูกบอลสีแดงถูกดึงออกมาจากโกศแรก A2 - ลูกบอลสีน้ำเงินดึงมาจากโกศที่สอง:
,
เหตุการณ์ A1 และ A2 เป็นอิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดร่วมกันของเหตุการณ์ A1 และ A2 เท่ากับ
ตัวอย่างที่ 15 . มีสำรับไพ่ (36 ชิ้น) สุ่มไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสองใบเป็นสีแดงเป็นเท่าใด
วิธีการแก้.ให้เหตุการณ์ A 1 เป็นไพ่ใบแรกของชุดแดง เหตุการณ์ A 2 - ไพ่ใบที่สองของชุดสีแดง B - จั่วไพ่ชุดแดงทั้งคู่ เนื่องจากทั้งเหตุการณ์ A 1 และเหตุการณ์ A 2 จะต้องเกิดขึ้น ดังนั้น B = A 1 · A 2 . เหตุการณ์ A 1 และ A 2 ขึ้นอยู่กับดังนั้น P(B) :
,
จากที่นี่
ตัวอย่างที่ 16 . โกศสองโกศบรรจุลูกบอลที่มีสีต่างกันเท่านั้น และโกศแรกมีลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีดำ 11 ลูก และสีแดง 8 ลูก และลูกที่สอง 10, 8, 6 ลูกตามลำดับ สุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศทั้งสอง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองมีสีเดียวกันเป็นเท่าไหร่?
วิธีการแก้.ให้ดัชนี 1 หมายถึงสีขาว ดัชนี 2 สีดำ 3 - สีแดง ให้เหตุการณ์ A i - ลูกบอลสีที่ i ถูกดึงออกมาจากโกศแรก เหตุการณ์ B j - ลูกบอลสี j -th ถูกพรากไปจากโกศที่สอง เหตุการณ์ A - ลูกบอลทั้งสองลูกมีสีเดียวกัน
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 เหตุการณ์ A i และ B j ไม่ขึ้นต่อกัน ในขณะที่ A i · B i และ A j · B j ไม่เข้ากันกับ i ≠ j เพราะเหตุนี้,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
ตัวอย่างที่ 17 . จากโกศที่มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 2 ลูกถูกดึงออกมาทีละลูกจนปรากฏเป็นสีดำ ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศเป็นเท่าไหร่? 5 ลูก?
วิธีการแก้.
1) ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศ (เช่น ลูกที่สามจะเป็นสีดำ และสองลูกแรกจะเป็นสีขาว)
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 5 ลูกออกจากโกศ
สถานการณ์เช่นนี้เป็นไปไม่ได้เพราะ เพียง 3 ลูกสีขาว
P=0
คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นลดแนวคิดของความน่าจะเป็นเป็นแนวคิดของความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน (ความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน) ของเหตุการณ์ซึ่งถือเป็นแนวคิดหลักและไม่ได้อยู่ภายใต้คำจำกัดความที่เป็นทางการ คำจำกัดความนี้ใช้ได้ในกรณีที่เป็นไปได้ที่จะแยกแยะกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และมีแนวโน้มเท่าเทียมกัน - ผลลัพธ์เบื้องต้น ตัวอย่างเช่น พิจารณาโกศที่มีลูกบอล
ให้โกศมีลูกบอลผสมอย่างระมัดระวัง 7 ลูก โดย 2 ลูกเป็นสีแดง สีฟ้า 1 ลูก และสีขาว 4 ลูก การทดสอบจะประกอบด้วยการสุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศ เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นในการทดลองต่อเนื่องแต่ละครั้งเป็นผลเบื้องต้น ในตัวอย่างนี้ ผลลัพธ์เบื้องต้นเจ็ดประการ ซึ่งเราจะแสดงว่า อี 1 , อี 2 ,..., อี 7. ผลลัพธ์ อี 1 , อี 2 - การปรากฏตัวของลูกบอลสีแดง อี 3 - การปรากฏตัวของลูกบอลสีน้ำเงิน อี 4 , อี 5 , อี 6 , อี 7 - ลักษณะที่ปรากฏของลูกบอลสีขาว ในตัวอย่างของเรา เหตุการณ์ อี 1 , อี 2 ,... อี 7 - เข้ากันไม่ได้แบบคู่ นอกจากนี้ ยังมีแนวโน้มเท่าเทียมกันในการทดสอบนี้ ให้เหตุการณ์ แต่คือลูกบอลที่สุ่มมาจากโกศกลายเป็นสี (สีแดงหรือสีน้ำเงิน)
ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เหตุการณ์ที่เราสนใจ แต่มาเรียกว่า ผลลัพธ์ที่ดี เหตุการณ์ แต่. ในตัวอย่างของเรา ผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ แต่เป็นผลลัพธ์ อี 1 , อี 2 และ อี 3 . สมเหตุสมผลเป็นตัวชี้วัดความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่, นั่นคือ, ความน่าจะเป็น R(แต่), ยอมรับจำนวนเท่ากับอัตราส่วนของผลลัพธ์ที่สนับสนุนการเกิดเหตุการณ์ แต่,ต่อผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในตัวอย่างของเรา
Rตัวอย่างข้างต้นทำให้เราได้คำจำกัดความของความน่าจะเป็น ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่า คลาสสิค .
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่เรียกว่าอัตราส่วนของจำนวน มเป็นผลดีต่อเหตุการณ์นี้ถึงจำนวนรวม นทั้งหมด ผลลัพธ์เบื้องต้น:
R(แต่) = . (1.4.4)
คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นทำหน้าที่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ดีของการทดลองสุ่มเหล่านั้น จำนวนผลลัพธ์ที่มีจำกัด และผลลัพธ์เองก็มีความเป็นไปได้เท่ากัน
ตัวอย่าง 2. ลูกเต๋าถูกโยน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนไม่เกินสี่แต้ม
วิธีการแก้. จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด น= 6 (หมุนได้ 1, 2, 3, 4, 5, 6) ท่ามกลางผลลัพธ์เหล่านี้สนับสนุนเหตุการณ์ แต่(ไม่เกินสี่แต้มจะตก) ผลลัพท์เพียงสี่ผล ม= 4. ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
ตัวอย่าง 3. ความน่าจะเป็นที่จะเดา 4 ตัวเลขโดยกรอกไพ่ล็อตโต้กีฬา "6" จาก "49" คืออะไร?
วิธีการแก้. จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นของประสบการณ์เท่ากับจำนวนวิธีที่ขีดฆ่าได้ 6 ตัวจาก 49 ตัว นั่นคือ น = ค. ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ที่ตรงกับเหตุการณ์ที่เราสนใจ
แต่= (เดาได้ 4 ตัว) สามารถขีดฆ่าได้ 4 ตัวจาก 6 ตัว คขณะที่อีกสองหมายเลขที่เหลือจะต้องไม่ชนะ คุณสามารถขีดฆ่าตัวเลขผิด 2 ตัวจาก 43 หมายเลขที่ไม่ชนะ ควิธี ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่ดี ม = ค× ค. โดยพิจารณาว่าผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบไม่เข้ากันและเป็นไปได้เท่าเทียมกัน เราพบความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก:
P(A) = 
ตัวอย่างที่ 4หมายเลขโทรศัพท์ที่สุ่มเลือกประกอบด้วย 5 หลัก ความน่าจะเป็นในนั้นมากขนาดไหน: 1) ตัวเลขทั้งหมดต่างกัน; 2) ตัวเลขทั้งหมดเป็นเลขคี่หรือไม่?
วิธีการแก้. 1. เนื่องจากแต่ละตำแหน่งในห้าตำแหน่งในตัวเลขห้าหลักสามารถมีตัวเลขใดๆ ก็ได้: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ดังนั้นตัวเลขห้าหลักที่ต่างกันทั้งหมดจะเป็น 10 5 (00000 - 1 -th, 00001 - 2, 00002 -3, ..., 99998 - 99999 และสุดท้าย 99999 - 100000) ตัวเลขที่ตัวเลขทั้งหมดต่างกันคือตำแหน่งขององค์ประกอบ 10 ตัวของ 5
สูตรสำหรับหมายเลข ตำแหน่งจาก นองค์ประกอบโดย k:
เค! == n (n - 1) ... (n - k + 1)
ดังนั้นจำนวนกรณีที่ดี ม= = 10× 9× 8× 7× 6 และความน่าจะเป็นที่ต้องการ
P(A) = 
= 0,3024.
2. จาก 5 ตัวเลขคี่ (1, 3, 5, 7, 9) คุณสามารถสร้างตัวเลขห้าหลักที่แตกต่างกัน 5 5 ตัว 5 5 คือจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ ม . เนื่องจากทุกกรณีที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน n= 10 5 , แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ
P(A) ====0.03125.
ตัวอย่าง 5. ไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) จะถูกแบ่งออกเป็นสองชุดโดยสุ่มเป็น 26 แผ่น ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้:
แต่- ในแต่ละแพ็คจะมีเอซสองตัว
ที่- ในหนึ่งแพ็คจะไม่มีเอซและอีกอัน - ทั้งสี่;
จาก- ในหนึ่งแพ็คจะมีเอซหนึ่งตัวและอีกอันหนึ่ง - สามตัว
วิธีการแก้. จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ของการทดสอบเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถดึงไพ่ 26 ใบจาก 52 ใบนั่นคือจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ 52 ถึง 26 น= . จำนวนเหตุการณ์ที่ดี แต่คดี
ม= (ตามกฎพื้นฐานของ combinatorics) โดยที่ปัจจัยแรกแสดงให้เห็นว่าเอซสองในสี่สามารถนำไปในทางใดทางหนึ่ง ปัจจัยที่สองแสดงให้เห็นว่าไพ่ 24 ใบที่เหลือนั้นมาจากไพ่ 48 ใบที่ไม่มีเอซในรูปแบบต่างๆ ความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ แต่ถึงจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
เหตุการณ์ ที่สามารถรับรู้ได้สองวิธีเท่า ๆ กัน: ในแพ็คแรกจะมีเอซทั้งสี่และในสอง - ไม่มีหรือในทางกลับกัน:
ในทำนองเดียวกัน:
โปรดสังเกตว่า คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้สำหรับกรณีที่พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นมีจำกัด และผลลัพธ์และการทดลองทั้งหมดเป็นไปได้เท่าเทียมกันและเข้ากันไม่ได้
ลุงวันยา พล็อตเรื่อง “ลุงอีวาน ทัศนคติต่ออาจารย์ของผู้อื่น
Tsakhes น้อยชื่อเล่น Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - ชีวประวัติสั้น