ความเสถียรของแท่งอัดแรงเค้นวิกฤตสูตรออยเลอร์ สูตรของออยเลอร์สำหรับแรงวิกฤต

การดัดงอตามยาว

เมื่อคำนวณความแข็งแกร่งก็จะถือว่า, อะไร ความสมดุลของโครงสร้างภายใต้อิทธิพลของพลังภายนอก มีความยั่งยืน. อย่างไรก็ตาม ความล้มเหลวของโครงสร้างอาจเกิดขึ้นได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า สมดุลโครงสร้างด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่ง กลับกลายเป็นว่าไม่มั่นคง. ในหลายกรณีนอกเหนือจากการตรวจสอบความแข็งแรงแล้วยังจำเป็นต้องดำเนินการอีกด้วย ตรวจสอบความเสถียรองค์ประกอบโครงสร้าง

พิจารณาสภาวะสมดุล ที่ยั่งยืนถ้าระบบเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุล กองกำลังเกิดขึ้นเพื่อพยายามทำให้มันกลับสู่ตำแหน่งเดิม

ให้เราพิจารณาประเภทของสมดุลที่รู้จัก

ไม่เสถียรสมดุล สถานะจะเป็นในกรณีที่ในระหว่างการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ของระบบอย่างน้อยหนึ่งครั้งจากตำแหน่งสมดุล แรงเกิดขึ้น พยายามที่จะเอามันออกจากตำแหน่งเริ่มต้น

สภาวะสมดุลจะเป็น ไม่แยแสถ้าด้วยการเบี่ยงเบนต่างๆ ของระบบจากตำแหน่งสมดุล แรงเกิดขึ้นซึ่งมีแนวโน้มที่จะกลับสู่ตำแหน่งเริ่มต้น แต่ด้วยการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งค่า ระบบจะยังคงยังคงอยู่ในสมดุลต่อไปหากไม่มีแรงที่มีแนวโน้มจะกลับมา ไปยังตำแหน่งเริ่มต้นหรือถอดออกจากตำแหน่งนี้

ที่ การสูญเสียความมั่นคง ลักษณะการทำงานของโครงสร้างเปลี่ยนแปลงไปเนื่องจากความผิดปกติประเภทนี้จะเปลี่ยนเป็นรูปแบบอื่นที่อันตรายกว่าซึ่งสามารถนำไปสู่การทำลายล้างภายใต้ภาระน้อยกว่าที่คาดไว้จากการคำนวณความแข็งแกร่ง มันสำคัญมากที่ การสูญเสียความมั่นคงจะมาพร้อมกับการเสียรูปขนาดใหญ่ที่เพิ่มขึ้นดังนั้นปรากฏการณ์นี้จึงเป็นหายนะในธรรมชาติ

ในระหว่างการเปลี่ยนจากสภาวะสมดุลที่เสถียรไปเป็นสภาวะที่ไม่เสถียร โครงสร้างจะผ่านสภาวะสมดุลที่ไม่แยแส หากโครงสร้างในสถานะนี้ได้รับการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งเริ่มต้นแล้วหลังจากการกระทำของสาเหตุที่ทำให้เกิดการเบี่ยงเบนนี้สิ้นสุดลง โครงสร้างนั้นจะไม่กลับคืนสู่ตำแหน่งเดิมอีกต่อไป แต่จะสามารถรักษาตำแหน่งใหม่ที่กำหนดได้ เนื่องจากการเบี่ยงเบนนั้น

สถานะของความสมดุลที่ไม่แยแสซึ่งแสดงถึงขอบเขตระหว่างสองสถานะพื้นฐาน - มั่นคงและไม่เสถียรเรียกว่า สภาพวิกฤติโหลดที่โครงสร้างรักษาสภาวะสมดุลที่ไม่แยแสเรียกว่า โหลดวิกฤติ.

การทดลองแสดงให้เห็นว่าโดยปกติแล้วการเพิ่มภาระเล็กน้อยเมื่อเทียบกับค่าวิกฤตจะทำให้โครงสร้างสูญเสียความสามารถในการรับน้ำหนักเนื่องจากการเสียรูปขนาดใหญ่และล้มเหลว ในอุปกรณ์ก่อสร้าง การสูญเสียความมั่นคงขององค์ประกอบโครงสร้างแม้แต่ชิ้นเดียวทำให้เกิดการกระจายแรงทั่วทั้งโครงสร้าง และมักจะนำไปสู่อุบัติเหตุ

การงอของแกนที่เกี่ยวข้องกับการสูญเสียความมั่นคงเรียกว่า การดัดตามยาว.

พลังวิกฤต แรงดันไฟฟ้าวิกฤต

ค่าที่น้อยที่สุดของแรงอัดซึ่งรูปแบบเริ่มต้นของความสมดุลของแท่ง - เส้นตรง - กลายเป็นไม่เสถียร - โค้ง - เรียกว่าวิกฤต

ในการศึกษาเสถียรภาพของรูปแบบสมดุลของระบบยืดหยุ่น ขั้นแรกได้ดำเนินการไปแล้ว ออยเลอร์.

ใน เวทียืดหยุ่นการเสียรูปของแท่งภายใต้ความเครียด ไม่เกินขีดจำกัดสัดส่วนแรงวิกฤตคำนวณโดย สูตรของออยเลอร์:

ที่ไหน ไอมิน – โมเมนต์ความเฉื่อยขั้นต่ำของส่วนก้าน(เนื่องจากความจริงที่ว่าการดัดของแท่งเกิดขึ้นในระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุด) อย่างไรก็ตามข้อยกเว้นสามารถทำได้เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขในการยึดปลายของแท่งนั้นแตกต่างกันในระนาบที่ต่างกัน ℓ - เรขาคณิต ความยาวคันเบ็ด, μ – หรือ (ขึ้นอยู่กับวิธีการยึดปลายคันเบ็ด) ค่าต่างๆ μ แสดงไว้ภายใต้แผนภาพที่เกี่ยวข้องสำหรับการยึดแท่ง

แรงดันไฟฟ้าวิกฤตมีการคำนวณดังนี้

, ที่ไหน ความยืดหยุ่นคันเบ็ด,

ก รัศมีการหมุนของส่วน

เรามาแนะนำแนวคิดกัน มีความยืดหยุ่นสูง.

ขนาด λ ก่อน ขึ้นอยู่กับประเภทของวัสดุเท่านั้น:

ถ้า เหล็ก 3 อี=2∙10 11 Pa และ σ pts =200 MPa, ที่ มีความยืดหยุ่นสูง

สำหรับไม้ (สน, สปรูซ) มีความยืดหยุ่นสูงλ ก่อน=70, สำหรับเหล็กหล่อ λ ก่อน=80

ดังนั้นสำหรับแท่งที่มีความยืดหยุ่นสูง λ≥λ ก่อน แรงวิกฤตถูกกำหนดโดย สูตรของออยเลอร์

ในขั้นอีลาสโตพลาสติกของการเสียรูปของแท่งเมื่อค่าความยืดหยุ่นอยู่ในช่วง แลมบ์ดา 0 ≤แลมแลล,(แท่งยืดหยุ่นปานกลาง) การคำนวณจะดำเนินการตาม สูตรเชิงประจักษ์ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้สูตรของ Yasinsky F.S. ค่าของพารามิเตอร์ที่ป้อนจะถูกกำหนดเชิงประจักษ์สำหรับแต่ละวัสดุ

σ к =а-bแล,หรือ เอฟ cr= ก(ก— ขλ)

ที่ไหน กและ ข– ค่าคงที่ถูกกำหนดโดยการทดลอง () ดังนั้นสำหรับเหล็ก3 ก=310เมกะปาสคาล ข=1.14 เมกะปาสคาล

ที่ค่าความยืดหยุ่นของก้าน 0≤แลมแล 0(แท่งที่มีความยืดหยุ่นต่ำ) ไม่พบการสูญเสียความมั่นคง

ดังนั้นข้อจำกัดของการบังคับใช้ สูตรของออยเลอร์ — ใช้เฉพาะในบริเวณที่มีการเสียรูปแบบยืดหยุ่นเท่านั้น

สภาพความมั่นคง ประเภทของปัญหาเมื่อคำนวณความเสถียร

สภาพความมั่นคงแท่งอัดคือความไม่เท่าเทียมกัน:

ที่นี่ ความเครียดเสถียรภาพที่อนุญาต [σ ปาก] ไม่ใช่ค่าคงที่เนื่องจากอยู่ภายใต้เงื่อนไขความแข็งแกร่ง แต่ขึ้นอยู่กับสิ่งต่อไปนี้ ปัจจัย:

1) ตามความยาวของแกนขนาดและแม้แต่รูปร่างของหน้าตัด

2) เกี่ยวกับวิธีการยึดปลายไม้เรียว

3) บนวัสดุของแกน

เช่นเดียวกับค่าที่อนุญาตใดๆ [σ ปาก] ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความเค้นที่เป็นอันตรายสำหรับแท่งอัดต่อปัจจัยด้านความปลอดภัย สำหรับแท่งอัดที่เรียกว่า ความเครียดที่สำคัญ σ cr, ที่ซึ่งไม้เรียว สูญเสียความมั่นคงของรูปแบบเดิมของสมดุล.

นั่นเป็นเหตุผล

ค่าของปัจจัยด้านความปลอดภัยในปัญหาเสถียรภาพจะมากกว่าค่าเล็กน้อย นั่นคือถ้า เค=1÷2 แล้ว เคปาก=2۞5.

ความเค้นที่อนุญาตเพื่อความมั่นคงสามารถสัมพันธ์กับความเค้นที่อนุญาตสำหรับความแข็งแกร่ง:

ในกรณีนี้ ,

ที่ไหน ตร– ความเครียดที่เป็นอันตรายจากมุมมองของความแข็งแรง (สำหรับวัสดุพลาสติก นี่คือความแข็งแรงของผลผลิต และสำหรับวัสดุที่เปราะนี่คือกำลังอัด σ ดวงอาทิตย์ ).

ค่าสัมประสิทธิ์ φ<1 และด้วยเหตุนี้จึงถูกเรียกว่า ปัจจัยการลดของความเครียดหลักที่อนุญาตนั่นคือ [σ] ในแง่ของความแข็งแกร่งหรืออย่างอื่น

ด้วยที่กล่าวมา สภาพความมั่นคงของแท่งอัดใช้แบบฟอร์ม:

เลือกค่าตัวเลขของสัมประสิทธิ์ φ จากตารางขึ้นอยู่กับวัสดุและปริมาณความยืดหยุ่นคันอยู่ที่ไหน:

μ – ปัจจัยความยาวลดลง(ขึ้นอยู่กับวิธีการยึดปลายคันเบ็ด) ℓ - เรขาคณิต ความยาวคันเบ็ด,

ฉัน – รัศมีของการหมุนภาพตัดขวางที่สัมพันธ์กับหนึ่งในแกนกลางหลักของส่วนซึ่งภาพตัดขวางจะหมุนหลังจากโหลดถึงค่าวิกฤต

ค่าสัมประสิทธิ์ φ แตกต่างกันไปในช่วง 0≤φ≤1ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติทางกายภาพและทางกลของวัสดุและความยืดหยุ่น lam ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ความสัมพันธ์ระหว่าง φ และ แลสำหรับวัสดุต่างๆ มักจะแสดงในรูปแบบตารางโดยเพิ่มทีละขั้น ∆แลล=10.

เมื่อคำนวณค่า φ สำหรับแท่งที่มีค่าความยืดหยุ่นไม่หารด้วย 10 ให้นำไปใช้ กฎการประมาณค่าเชิงเส้น.

ค่าสัมประสิทธิ์ φ ขึ้นอยู่กับความยืดหยุ่น lam สำหรับวัสดุ

เราจะแก้ตามเงื่อนไขความเสถียร งานสามประเภท:

1. การตรวจสอบความเสถียร.
2. การเลือกส่วน.
3. การกำหนดภาระที่อนุญาต(หรือน้ำหนักบรรทุกที่ปลอดภัย หรือความสามารถในการรับน้ำหนักของก้าน: [เอฟ]=φ[σ] ก .

ปัญหาที่ยากที่สุดคือการแก้ปัญหาการเลือกส่วนเนื่องจากพื้นที่หน้าตัดที่ต้องการรวมอยู่ในทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของสภาวะเสถียรภาพ:

ทางด้านขวาของความไม่เท่าเทียมกันนี้เท่านั้นคือพื้นที่หน้าตัดในรูปแบบโดยนัย: รวมอยู่ในสูตรรัศมีของการหมุนซึ่งจะรวมอยู่ในสูตรสำหรับความยืดหยุ่นซึ่งค่าของสัมประสิทธิ์การโก่งงอขึ้นอยู่กับ φ . ดังนั้นในที่นี้เราต้องใช้วิธีลองผิดลองถูกตามที่แสดงไว้ในแบบฟอร์ม วิธีการประมาณต่อเนื่อง:

ลอง 1 ครั้ง: เราสงสัย φ1 จากโซนกลางโต๊ะเราค้นหา เรากำหนดขนาดของส่วน เราคำนวณ จากนั้นจึงกำหนดความยืดหยุ่น เราพิจารณาจากตารางและเปรียบเทียบกับค่า φ1. ถ้าอย่างนั้น.

มหาวิทยาลัยขนส่งแห่งรัฐอีร์คุตสค์

งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 16

ตามระเบียบวินัย “ความแข็งแกร่งของวัสดุ”

การพิจารณาทดลองของกองกำลังวิกฤต

ด้วยการดัดตามยาว

กรมนายกรัฐมนตรี

งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 16

การทดลองหาแรงวิกฤติระหว่างการดัดโค้งตามยาว

เป้าหมายของงาน:ศึกษาปรากฏการณ์การสูญเสียเสถียรภาพของเหล็กเส้นอัดในยางยืด

ขั้นตอน การทดลองหาค่าของโหลดที่บีบอัดวิกฤต

แท่งที่มีวิธีการยึดแบบต่างๆและเปรียบเทียบกับแบบทางทฤษฎี

ค่านิยม

บทบัญญัติทั่วไป

การทดสอบแท่งอัดเพื่อความแข็งแรงตามเงื่อนไขที่ทราบนั้นไม่เพียงพอที่จะ:

,

โดยที่ [σ] คือความเค้นที่อนุญาตสำหรับวัสดุแท่ง ป – แรงอัด เอฟ – พื้นที่หน้าตัด.

ในทางปฏิบัติ วิศวกรต้องรับมือกับแท่งที่ยืดหยุ่น แผ่นอัดบาง และโครงสร้างผนังบางที่ต้องรับแรงอัด ซึ่งความล้มเหลวไม่ได้เกิดจากการสูญเสียความสามารถในการรับน้ำหนัก แต่เกิดจากการสูญเสียเสถียรภาพ

การสูญเสียความมั่นคงหมายถึงการสูญเสียความสมดุลรูปแบบเดิม

ความแข็งแรงของวัสดุคำนึงถึงความเสถียรขององค์ประกอบโครงสร้างที่ทำงานขณะรับแรงอัด

พิจารณาแท่งยาวบาง (รูปที่ 1) ที่เต็มไปด้วยแรงอัดตามแนวแกน ป .

ป< ป cr ป > ป cr

ข้าว. 1.คันที่รับแรงอัดตามแนวแกน ป .

ที่ค่าแรงต่ำ เอฟคันเบ็ดหดตัวขณะยังคงตรง ยิ่งไปกว่านั้น หากก้านถูกเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งนี้ด้วยภาระตามขวางเล็กน้อย มันจะโค้งงอ แต่เมื่อถอดออก ก้านจะกลับสู่สถานะตรง ซึ่งหมายความว่าสำหรับแรงที่กำหนด ป รูปแบบสมดุลของแท่งเป็นเส้นตรงมีความเสถียร

หากยังคงเพิ่มแรงอัดต่อไป ป , จากนั้นที่ค่าหนึ่งรูปแบบสมดุลของเส้นตรงจะไม่เสถียรและรูปแบบใหม่ของความสมดุลของแท่งเกิดขึ้น - เส้นโค้ง (รูปที่ 1, b) . เนื่องจากการโค้งงอของแกน ช่วงเวลาการดัดจะปรากฏขึ้นในส่วนต่างๆ ซึ่งจะทำให้เกิดความเครียดเพิ่มเติม และแกนอาจล้มเหลวกะทันหัน

ความโค้งของแท่งยาวที่ถูกบีบอัดด้วยแรงตามยาวเรียกว่า การดัดตามยาว .

ค่าสูงสุดของแรงอัดซึ่งรูปแบบเส้นตรงของความสมดุลของแท่งมีความเสถียรเรียกว่า วิกฤต - ป cr.

เมื่อถึงภาระวิกฤตจะเกิดการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพอย่างรุนแรงในรูปแบบเริ่มต้นของความสมดุลซึ่งนำไปสู่ความล้มเหลวของโครงสร้าง ดังนั้นแรงวิกฤติจึงถือเป็นแรงทำลายล้าง

สูตรออยเลอร์และจาซินสกี้

ปัญหาในการกำหนดแรงวิกฤตของแท่งอัดนั้นได้รับการแก้ไขครั้งแรกโดยแอล. ออยเลอร์ ซึ่งเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ในปี ค.ศ. 1744 สูตรของออยเลอร์มีรูปแบบ

(1)

ที่ไหน อี – โมดูลัสความยืดหยุ่นของวัสดุแท่ง เจนาที- โมเมนต์ความเฉื่อยที่เล็กที่สุดของส่วนตัดขวางของแท่ง (เนื่องจากความโค้งของแท่งในระหว่างการสูญเสียความมั่นคงเกิดขึ้นในระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุดนั่นคือ ส่วนตัดขวางของแท่งจะหมุนรอบแกนสัมพันธ์กับช่วงเวลาของ ความเฉื่อยมีน้อยมาก เช่น รอบแกน x หรือรอบแกน ย );

(μ· ล ) – ความยาวของไม้วัดลดลง นี่คือผลคูณของความยาวของไม้วัด ล โดยค่าสัมประสิทธิ์μซึ่งขึ้นอยู่กับวิธีการยึดปลายก้าน

ค่าสัมประสิทธิ์ μ เรียกว่า ปัจจัยการลดความยาว ;ค่าของมันสำหรับกรณีที่พบบ่อยที่สุดของการยึดปลายของก้านจะแสดงไว้ในรูปที่ 1 2:

ก- ปลายทั้งสองข้างของก้านเป็นบานพับและสามารถขยับเข้าใกล้กันได้

ข- ปลายด้านหนึ่งถูกยึดอย่างแน่นหนาส่วนอีกด้านหนึ่งว่าง

วี- ปลายด้านหนึ่งเป็นบานพับส่วนที่สองมี "ตราประทับลอยตามขวาง"

ช - ปลายด้านหนึ่งถูกยึดอย่างแน่นหนาส่วนที่สองมี "ตราประทับลอยตามขวาง"

ง- ปลายด้านหนึ่งได้รับการแก้ไขอย่างแน่นหนาส่วนอีกด้านหนึ่งมีบานพับและส่วนรองรับที่สามารถเคลื่อนย้ายได้

จ- ปลายทั้งสองข้างถูกหนีบแน่นแต่สามารถขยับเข้ามาใกล้กันได้

จากตัวอย่างเหล่านี้จะเห็นได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ μ คือส่วนกลับของจำนวนครึ่งคลื่นของเส้นยืดหยุ่นของแกนเมื่อสูญเสียความมั่นคง

ข้าว. 2.ค่าสัมประสิทธิ์ μ บ่อยที่สุด

กรณีการยึดปลายคันเบ็ด

ความเค้นปกติในส่วนตัดขวางของแท่งอัดซึ่งสอดคล้องกับค่าวิกฤตของแรงอัด เรียกอีกอย่างว่าวิกฤต

ลองพิจารณาตามสูตรของออยเลอร์:

(2)

ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วน ฉันนาทีกำหนดโดยสูตร

เรียกว่า รัศมีการหมุนของส่วน (สัมพันธ์กับแกน c เจนาที). สำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยม

โดยคำนึงถึง (3) สูตร (2) จะอยู่ในรูปแบบ:

(4)

อัตราส่วนของความยาวที่ลดลงของแท่งต่อรัศมีการหมุนขั้นต่ำของหน้าตัดตามข้อเสนอของศาสตราจารย์ของสถาบันวิศวกรรถไฟเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก F.S. ยาซินสกี้ (พ.ศ. 2399-2442) มีชื่อเรียกว่า ความยืดหยุ่นของก้าน และเขียนแทนด้วยตัวอักษร λ :

ค่าไร้มิตินี้สะท้อนถึงพารามิเตอร์ต่อไปนี้พร้อมกัน: ความยาวของแท่งวิธีการยึดและลักษณะของหน้าตัด

ในที่สุดเราก็ได้การแทนที่ (5) ลงในสูตร (4)

เมื่อได้สูตรของออยเลอร์ สันนิษฐานว่าวัสดุของแท่งนั้นยืดหยุ่นได้และเป็นไปตามกฎของฮุค ดังนั้น สูตรของออยเลอร์สามารถใช้ได้เฉพาะกับความเค้นที่น้อยกว่าขีดจำกัดสัดส่วน σ เท่านั้น พีซีนั่นคือเมื่อใด

เงื่อนไขนี้กำหนดขีดจำกัดของการบังคับใช้สูตรของออยเลอร์:

ปริมาณทางด้านขวาของอสมการนี้เรียกว่า มีความยืดหยุ่นสูง :

ค่าของมันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติทางกายภาพและทางกลของวัสดุแท่ง

สำหรับศิลปะเหล็กกล้าคาร์บอนต่ำ 3 ซึ่งσ พีซี= 200 เมกะปาสคาล อี = 2· 10 5 MPa:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณค่าความยืดหยุ่นสูงสุดสำหรับวัสดุอื่นๆ ได้: สำหรับเหล็กหล่อ λ ก่อน= 80 สำหรับต้นสน λ ก่อน = 110.

ดังนั้น สูตรของออยเลอร์ใช้ได้กับแท่งที่มีความยืดหยุ่นมากกว่าหรือเท่ากับความยืดหยุ่นสูงสุด เช่น

λ ≥ λ ก่อน

ต้องเข้าใจสิ่งนี้: ถ้าความยืดหยุ่นของแกนมากกว่าความยืดหยุ่นสูงสุด จะต้องพิจารณาแรงวิกฤตโดยใช้สูตรออยเลอร์

ที่ λ < λ ก่อนไม่สามารถใช้สูตรของออยเลอร์สำหรับแท่งได้ ในกรณีเหล่านี้ เมื่อความยืดหยุ่นของแท่งน้อยกว่าค่าสูงสุด ค่าเชิงประจักษ์จะถูกนำมาใช้ในการคำนวณ สูตรของยาซินสกี้ :

σ cr = ก – ข· λ , (7)

ที่ไหน ก และ ข - ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดจากการทดลองซึ่งคงที่สำหรับวัสดุที่กำหนด พวกเขามีมิติของความตึงเครียด

ด้วยค่าความยืดหยุ่นในระดับหนึ่ง λ โอแรงดันไฟฟ้าσ crคำนวณโดยใช้สูตร (7) จะเท่ากับค่าความเค้นอัดขั้นสูงสุด เช่น กำลังรับแรงอัด σ ตสำหรับวัสดุพลาสติกหรือกำลังรับแรงอัดσ ดวงอาทิตย์– สำหรับวัสดุที่เปราะบาง แท่งที่มีความยืดหยุ่นต่ำ ( λ < λ โอ) ไม่นับรวมความเสถียร แต่นับรวมความแข็งแกร่งภายใต้การบีบอัดแบบธรรมดา

ดังนั้นการคำนวณความเสถียรของแท่งอัดจึงแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับความยืดหยุ่น

ในการค้นหาความเค้นวิกฤติ จำเป็นต้องคำนวณแรงวิกฤต เช่น แรงอัดตามแนวแกนที่เล็กที่สุด ซึ่งสามารถรักษาแท่งอัดที่โค้งเล็กน้อยให้สมดุลได้

ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขครั้งแรกโดยนักวิชาการของ St. Petersburg Academy of Sciences L. Euler ในปี 1744

โปรดทราบว่าการกำหนดปัญหานั้นแตกต่างจากในส่วนที่พิจารณาก่อนหน้านี้ทั้งหมดของหลักสูตร หากก่อนหน้านี้เราพิจารณาความผิดปกติของแท่งภายใต้แรงภายนอกที่กำหนดจากนั้นเราจะเกิดปัญหาผกผัน: เมื่อพิจารณาถึงความโค้งของแกนของแท่งที่ถูกบีบอัดเราควรพิจารณาว่าค่าของแรงอัดตามแนวแกนมีค่าเท่าใด รความโค้งดังกล่าวเป็นไปได้

ลองพิจารณาคานตรงที่มีหน้าตัดคงที่ โดยมีบานพับรองรับที่ปลาย ส่วนรองรับอันใดอันหนึ่งช่วยให้สามารถเคลื่อนที่ตามยาวของปลายที่สอดคล้องกันของแกน (รูปที่ 3) เราละเลยน้ำหนักของไม้เรียวของตัวเอง

รูปที่ 3รูปแบบการคำนวณใน “ปัญหาออยเลอร์”

ให้เราโหลดก้านด้วยแรงอัดตามยาวที่จุดศูนย์กลาง และทำให้มันมีความโค้งเล็กน้อยในระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุด คันเบ็ดจะคงอยู่ในสถานะโค้ง ซึ่งเป็นไปได้เนื่องจาก

การเสียรูปของการดัดงอของแกนถือว่าน้อยมาก ดังนั้นในการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น เราสามารถใช้สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณสำหรับแกนโค้งของแกนได้ โดยเลือกที่มาของพิกัด ณ จุดนั้น กและทิศทางของแกนพิกัดดังแสดงในรูปที่ 3 เรามี:

(1)

ลองใช้ส่วนที่ห่างไกลกัน เอ็กซ์จากแหล่งกำเนิด; พิกัดของแกนโค้งในส่วนนี้จะเป็น ที่และโมเมนต์การดัดงอเท่ากับ

ตามรูปแบบดั้งเดิม โมเมนต์การดัดงอกลายเป็นลบ แต่พิกัดสำหรับทิศทางของแกนที่เลือกคือ ที่กลายเป็นแง่บวก (ถ้าไม้เรียวโค้งงอลง โมเมนต์จะเป็นค่าบวก และ ที่- ลบ และ .)

สมการเชิงอนุพันธ์ที่เพิ่งให้มาจะอยู่ในรูปแบบ:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย อีเจและแทนเศษส่วนโดยเรานำมาเป็นรูป:

อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบ:

โซลูชันนี้เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ไม่ทราบสามประการ: ค่าคงที่ของการรวม กและ ขและคุณค่า เนื่องจากเราไม่ทราบขนาดของพลังวิกฤต

เงื่อนไขขอบเขตที่ปลายไม้เรียวให้สมการสองสมการ:

ที่จุด A ณ x= 0 การโก่งตัว ที่ = 0,

ใน เอ็กซ์= 1 ที่ = 0.

เป็นไปตามเงื่อนไขแรก (เนื่องจาก cos เคเอ็กซ์ =1)

ดังนั้นแกนโค้งจึงเป็นไซนูซอยด์ที่มีสมการ

(2)

เมื่อใช้เงื่อนไขที่สอง เราจะแทนลงในสมการนี้

ที่= 0 และ เอ็กซ์ = ล

เราได้รับ:

เป็นไปตามนั้นเช่นกัน กหรือ กิโลมีค่าเท่ากับศูนย์

ถ้า กเท่ากับศูนย์ จากนั้นจากสมการ (2) จะตามมาว่าการโก่งตัวในส่วนใด ๆ ของแกนมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือ แกนยังคงตรง สิ่งนี้ขัดแย้งกับสถานที่ดั้งเดิมของข้อสรุปของเรา เพราะฉะนั้นบาป กิโล= 0 และปริมาณสามารถมีชุดของค่าที่ไม่มีที่สิ้นสุดต่อไปนี้:

จำนวนเต็มใดๆ อยู่ที่ไหน

จากนี้และต่อจากนี้ไป

กล่าวอีกนัยหนึ่ง น้ำหนักบรรทุกที่สามารถรักษาแกนโค้งเล็กน้อยให้สมดุลในทางทฤษฎีสามารถมีค่าได้หลายค่า แต่เนื่องจากเรากำลังมองหาและเป็นที่น่าสนใจจากมุมมองเชิงปฏิบัติ ค่าที่น้อยที่สุดของแรงอัดตามแนวแกนที่ทำให้สามารถดัดงอตามยาวได้ เราควรยอมรับ

รูตแรก =0 ต้องการให้เท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่สอดคล้องกับข้อมูลเริ่มต้นของปัญหา ดังนั้นจึงต้องละทิ้งรากนี้และค่าที่ใช้เป็นรากที่เล็กที่สุด จากนั้นเราจะได้นิพจน์สำหรับกำลังวิกฤต:

ดังนั้น ยิ่งจุดเปลี่ยนของแกนโค้งไซน์ของแกนมีค่ามากเท่าใด แรงวิกฤติก็ควรจะมากขึ้นตามไปด้วย การศึกษาที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นแสดงให้เห็นว่ารูปแบบของสมดุลที่กำหนดโดยสูตร (1) นั้นไม่เสถียร พวกมันแปลงร่างเป็นรูปแบบที่มั่นคงเฉพาะเมื่อมีจุดรองรับระดับกลางที่จุดต่างๆ ในและ กับ(รูปที่ 1)

รูปที่ 1

ดังนั้นภารกิจจึงได้รับการแก้ไข สำหรับไม้เรียวของเรา แรงวิกฤตที่เล็กที่สุดถูกกำหนดโดยสูตร

และแกนโค้งแสดงถึงคลื่นไซน์

ค่าของค่าคงที่การอินทิเกรต กยังไม่ได้กำหนด; ความหมายทางกายภาพของมันจะชัดเจนถ้าเราใส่; จากนั้น (เช่น ตรงกลางความยาวของไม้วัด) จะได้รับค่า:

วิธี, ก- นี่คือการโก่งตัวของแท่งในส่วนตัดขวางที่อยู่ตรงกลางของความยาว เนื่องจากมีค่าวิกฤตของแรง รความสมดุลของแท่งโค้งเป็นไปได้ด้วยการเบี่ยงเบนต่างๆ จากรูปร่างเป็นเส้นตรง ตราบใดที่การเบี่ยงเบนเหล่านี้มีขนาดเล็ก เป็นเรื่องธรรมดาที่การโก่งตัว ฉยังคงไม่แน่ใจ

ในกรณีนี้มันต้องเล็กมากจนเรามีสิทธิ์ใช้สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณของแกนโค้งได้ เช่น ถึงจะยังเล็กเมื่อเทียบกับความสามัคคี

เมื่อได้รับค่าของแรงวิกฤติแล้ว ตอนนี้เราสามารถหาค่าของความเค้นวิกฤตได้โดยการหารแรงด้วยพื้นที่หน้าตัดของแท่ง เอฟ; เนื่องจากขนาดของแรงวิกฤตถูกกำหนดโดยการพิจารณาการเสียรูปของแท่งซึ่งการทำให้พื้นที่หน้าตัดอ่อนลงในท้องถิ่นมีผลกระทบที่อ่อนแออย่างมาก สูตรสำหรับ รวมถึงโมเมนต์ความเฉื่อย ดังนั้น เมื่อคำนวณความเค้นวิกฤต เช่นเดียวกับเมื่อวาดเงื่อนไขความเสถียรมันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะแนะนำพื้นที่หน้าตัดของแท่งแบบเต็มและไม่ใช่ส่วนที่อ่อนแอลงในการคำนวณ แล้วมันก็จะเท่ากัน

ดังนั้นหากเลือกพื้นที่ของแท่งอัดที่มีความยืดหยุ่นดังกล่าวตามสภาพความแข็งแรงเท่านั้น แท่งก็จะยุบลงเนื่องจากสูญเสียความมั่นคงของรูปร่างเป็นเส้นตรง

ROD LENGTH ปรับปรุงความยาวแบบมีเงื่อนไขของแท่งอัดที่มีเงื่อนไขเฉพาะสำหรับการยึดปลายของมัน ซึ่งความยาวในแง่ของค่าแรงวิกฤตจะเท่ากับความยาวของแท่งที่มีปลายแบบบานพับ

(ภาษาบัลแกเรีย; Български) - ความยาวที่กำหนดจะได้รับ

(ภาษาเช็ก; เชสตินา) - vzpěrná delka prutu

(เยอรมัน; เยอรมัน) - Reduzierte Stablänge; ไอเดลเล สตาแบลงเงอ

(ฮังการี; แมกยาร์) - รูด กิฮาจลาส! โฮสซ่า

(มองโกเลีย) - ทุยวานกีน คอร์วูลเซน urt

(ภาษาโปแลนด์; ปอลสกา) - ดลูโกช สโปรวาดโซนา เปรตา

(ภาษาโรมาเนีย; โรมัน) - lungime convenţională บาเร

(ภาษาเซอร์โบ-โครเอเชีย; Srpski jezik; Hrvatski jezik) - เรดูโควานา ดูซินา สตาปา

(สเปน; สเปน) - ลูซ เอเฟติวา เด อูนา บาร์รา

(ภาษาอังกฤษ; ภาษาอังกฤษ) - ความยาวบาร์ลดลง

(ฝรั่งเศส; ฝรั่งเศส) - longueur réduite d'une barre

พจนานุกรมการก่อสร้าง.

ดูว่า "ความยาวก้านที่มีเงื่อนไข" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

ความยาวก้านลดลง- ความยาวแบบมีเงื่อนไขของแท่งอัดที่มีเงื่อนไขเฉพาะสำหรับการยึดปลายของมัน ซึ่งความยาวในแง่ของค่าของแรงวิกฤตจะเท่ากับความยาวของแท่งที่มีปลายแบบบานพับ [พจนานุกรมคำศัพท์สำหรับการก่อสร้างใน 12 ภาษา ​ ​(VNIIIS... ...

ความยาวก้านลดลง- ความยาวแบบมีเงื่อนไขของแท่งช่วงช่วงเดียว ซึ่งเป็นแรงวิกฤตที่เมื่อยึดปลายของแท่งจะเท่ากับแรงที่กำหนดให้ [รวบรวมคำศัพท์ที่แนะนำ ฉบับที่ 82 กลศาสตร์โครงสร้าง สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสหภาพโซเวียต คณะกรรมการทางวิทยาศาสตร์...... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

รูปแบบการเสียรูปและค่าสัมประสิทธิ์ภายใต้สภาวะการยึดต่างๆ และวิธีการใช้งานโหลด ความยืดหยุ่นของอัตราส่วนก้านของความยาวการออกแบบของก้าน ... Wikipedia

- (เครื่องวัดความแรง) ชื่อนี้ตั้งให้กับเครื่องชั่งสปริงในหลักสูตรฟิสิกส์ และในกลศาสตร์ถึงเครื่องมือสำหรับการวัดงานเครื่องกล (ซม.) ภาพที่เก่าแก่ที่สุดของมาตราส่วนสปริงตาม Carsten พิมพ์ในปี 1726 โดยไม่มีคำอธิบายในหนังสือ: Leupold, ... ... พจนานุกรมสารานุกรม F.A. บร็อคเฮาส์ และ ไอ.เอ. เอฟรอน

มาตรการ- มาตรการที่กำหนดโดยทางกายภาพ ปริมาณที่มีการเปรียบเทียบปริมาณอื่นเพื่อวัดค่าหลัง การวัดพื้นฐานของระบบเมตริกที่ใช้บ่อยที่สุด: ความยาวมาตรที่ 0° ของแท่งแพลตตินัมที่เก็บไว้โดย International Bureau of Measures และ... ... สารานุกรมการแพทย์ที่ยิ่งใหญ่

ลองพิจารณาแท่งที่มีหน้าตัดคงที่ซึ่งปลายทั้งสองข้างมีบานพับอยู่ (รูปที่ 12.3) ก้านถูกบีบอัดด้วยแรงวิกฤต เราพิจารณาการเคลื่อนไหวเล็กน้อยของส่วนต่างๆ ของไม้เรียว เมื่อพิจารณาการโก่งตัวของแกนแท่งในส่วนใดส่วนหนึ่ง เราจะพบค่าของแรงอัดตามแนวแกนที่สามารถโก่งตัวได้ เราจะถือว่าความเค้นในแกนไม่เกินขีดจำกัดสัดส่วน

ข้าว. 12.3. รูปแบบการดัดแท่งด้วยแรงวิกฤต เอฟ cr.

ลองวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่จุดนั้น เกี่ยวกับ, แกน zกำกับตามแนวแกนของแกน, แกน ย– ไปทางซ้ายของแหล่งกำเนิด ให้เราพิจารณาการโก่งตัวของแกนในส่วนที่ต้องการ z.

ให้เราใช้สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณสำหรับแกนโค้งของแกน:

ให้เรากำหนดโมเมนต์การดัดในส่วนที่ต้องการของแท่ง:

นิพจน์สุดท้ายคือสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

การแก้สมการนี้สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกได้:

ย = กบาป เคแซด+บีเพราะ โอเค.

ค่าคงที่ของการบูรณาการ กและ ในพบได้จากเงื่อนไขขอบเขต:

ที่ ซี = 0, ย = 0,บี = 0 และสมการเชิงอนุพันธ์มีรูปแบบดังนี้:

ย = กบาป โอเค.

ไม้เรียวโค้งไปตามไซนัสอยด์

ที่ z= แอล, ย= 0 กบาป กิโล = 0.

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น ลองดูทั้งสองกรณี

อนุญาต ก = 0, ที่ ใช่(z)จะเป็นศูนย์เสมอและไม่มีการโก่งตัวเลย วิธีการแก้ปัญหานี้ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ยอมรับกันว่าแกนงอ เช่น ก 0. ดังนั้น เงื่อนไขบาปจะต้องสำเร็จ กิโล= 0 จากที่ไหน:

กิโล= 0, , 2 , 3 , …, n

ที่ไหน ป– จำนวนเต็มใดๆ

เรามาดูกันว่าค่าอะไร ปเข้าใกล้แนวทางแก้ไขปัญหานี้ พิจารณาสภาพ

จากนิพจน์สุดท้ายจะตามมาว่า if เค= 0 แล้ว เอฟ cr=0 คือ ไม่มีการโหลดแกน และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้นค่า เค= 0 สามารถแยกออกจากโซลูชันได้ ในกรณีทั่วไปเรามี:

การทำให้เท่าเทียมกัน เอฟ = เอฟ crเราจะได้นิพจน์

โดยที่ค่าที่น้อยที่สุดของแรงอัดนั้นอยู่ที่ไหน

มีการโค้งงอตามยาวดังนั้นคุณควรทำ น= 1.

จากนั้นสมการในการกำหนดแรงวิกฤตจะอยู่ในรูปแบบ

ดังนั้นแกนจึงโค้งงอไปตามไซน์ซอยด์ด้วยคลื่นครึ่งหนึ่ง

ที่ z = ล/2 การโก่งตัวของแกนมีค่าสูงสุด

ที่ n= 2 และ n= 3 ก้านโค้งงอไปตามคลื่นครึ่งคลื่นสองและสามของไซนัสอยด์ตามลำดับ (รูปที่ 12.4, b, c)

สูตรการโก่งตัวของแท่งในส่วนที่กำหนดเองภายใต้อิทธิพลของแรงอัดสามารถกำหนดได้

การสูญเสียความมั่นคงของแกนเกิดขึ้นในระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุดเช่น เจ = เจนาที ดังนั้นเมื่อพิจารณาแรงวิกฤตควรคำนึงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนที่เล็กที่สุดของส่วนด้วยแล้วสุดท้าย:

ดังนั้นเราจึงมี สูตรของออยเลอร์(1744) เพื่อกำหนดแรงวิกฤติสำหรับแท่งที่มีปลายบานพับสองอัน (กรณีหลัก)

ข้าว. 12.4. แผนผังแกนโค้งของแกนที่ค่าต่างๆ n

ขนาดของแรงวิกฤตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความแข็งแกร่งน้อยที่สุดของหน้าตัด และแปรผกผันกับกำลังสองของความยาวของแท่ง.

ดังที่เห็นได้จากสูตรของออยเลอร์ ขนาดของแรงวิกฤตขึ้นอยู่กับลักษณะทางเรขาคณิตของแท่งและโมดูลัสยืดหยุ่นของวัสดุ แต่ไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะความแข็งแรงของวัสดุ

ตัวอย่างเช่น พลังวิกฤต เอฟ crในทางปฏิบัติไม่ได้ขึ้นอยู่กับเกรดเหล็ก

แรงดึงสูงสุดขึ้นอยู่กับลักษณะความแข็งแรง (ขึ้นอยู่กับเกรดของเหล็กที่จะแตกต่างกัน) และไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของเหล็กเส้น ดังนั้นจึงอาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่ามีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างการทำงานของแกนในด้านความตึงและแรงอัด

ที่เรียกว่า กรณีหลักการยึดปลายของแท่งที่ถูกบีบอัดเมื่อปลายทั้งสองด้านของแท่งถูกใส่บานพับ ในทางปฏิบัติจะใช้วิธีการอื่นในการยึดปลายก้าน

ให้เราพิจารณาว่าเงื่อนไขในการยึดแกนมีอิทธิพลต่อขนาดของแรงวิกฤติอย่างไร

กรณีที่สอง: ปลายด้านหนึ่งของแกนถูกยึดอย่างแน่นหนาส่วนที่สองเป็นอิสระ (รูปที่ 12.5, a)

ข้าว. 12.5. แผนผังการซ่อมแกนสำหรับกรณีที่สอง

หากสูญเสียการทรงตัว ปลายด้านบนของก้านจะเบี่ยงเบนไปจำนวนหนึ่งแล้วหมุน ในขณะที่ปลายที่บีบด้านล่างจะยังคงอยู่ในแนวตั้ง แกนโค้งจะเหมือนกับครึ่งหนึ่งของแกนในกรณีแรก (รูปที่ 12.5, b)

เพื่อให้เป็นไปตามกรณีแรกโดยสมบูรณ์ ให้เราวางแกนโค้งของแกนลงไปทางจิตใจ จากนั้นรูปร่างของการสูญเสียความมั่นคงจะตรงกับกรณีแรกโดยสมบูรณ์ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าแรงวิกฤตสำหรับกรณีนี้จะเหมือนกับแท่งยาว 2 ม. ที่ยึดตามสัดส่วนที่ปลาย แล้วก็

กรณีที่สาม:ปลายทั้งสองข้างของแกนได้รับการแก้ไขอย่างแน่นหนา (รูปที่ 12.6)

หลังจากสูญเสียความมั่นคง ปลายของก้านจะไม่หมุน ส่วนตรงกลางของความยาวแท่ง ล/2 เนื่องจากความสมมาตร จะทำงานภายใต้เงื่อนไขเดียวกันกับแท่งที่มีปลายรองรับแบบบานพับ แต่มีความยาว ล. จากนั้นตามสูตร เราได้:

ข้าว. 12.6. รูปแบบการยึดก้าน

ในโอกาสที่สาม

กรณีที่สี่:ปลายด้านหนึ่งของก้านถูกยึดอย่างแน่นหนาและอีกด้านเป็นบานพับ ในกรณีนี้ส่วนบนของแกนจะอยู่ที่ประมาณ 2 ล/3 มีรูปของไซนูซอยด์ครึ่งคลื่นและอยู่ในสภาพเดียวกับแท่งที่มีส่วนรองรับแบบบานพับที่ปลาย (รูปที่ 12.7)

ข้าว. 12.7. รูปแบบการยึดก้าน

ในโอกาสที่สี่

จากการวิเคราะห์นิพจน์สุดท้ายในการกำหนดแรงวิกฤต เราได้ข้อสรุปว่า ยิ่งปลายของแท่งยึดแน่นหนามากเท่าใด แท่งนี้ก็สามารถรับภาระได้มากขึ้นเท่านั้น

ดังนั้นการพึ่งพาในการกำหนดแรงวิกฤตภายใต้เงื่อนไขต่าง ๆ ของการยึดแท่งจึงสามารถรวมเป็นสูตรเดียวได้:

ความยาวที่ลดลงของไม้เรียวอยู่ที่ไหน

ค่าสัมประสิทธิ์การลดความยาวแท่ง ขึ้นอยู่กับวิธีการ

ยึดปลายไม้เรียว;

ความยาวก้านจริง

แนวความคิดของ ความยาวที่กำหนดคันนี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยศาสตราจารย์ของสถาบันการรถไฟเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก F. S. Yasinsky ในปี พ.ศ. 2435

ควรสังเกตด้วยว่าเมื่อวาดสูตรเพื่อกำหนดแรงวิกฤตในแท่งที่มีเงื่อนไขการยึดที่ต่างกันที่ปลายจะใช้การเปรียบเทียบในรูปแบบของการโก่งงอของแต่ละส่วน

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถหาคำตอบเหล่านี้ได้ทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดเช่นกัน ในการทำเช่นนี้มีความจำเป็นต้องเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของเส้นยืดหยุ่นของแกนในแต่ละกรณีระหว่างการโก่งงอและแก้ไขโดยใช้เงื่อนไขขอบเขต

ค่าสัมประสิทธิ์ของความยาวตามยาวของแกนขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของการยึดจะแสดงในรูปที่ 1 12.8.

มะเดื่อ 12.8. ปัจจัยการลดความยาวสำหรับกรณีต่างๆ

ยึดปลายไม้เรียวไว้