วิธีลากรองจ์คืออะไร การเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไข

วิธีการคูณลากรองจ์เป็นวิธีการแก้ปัญหาแบบคลาสสิก การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์(โดยเฉพาะนูน) น่าเสียดายที่ การใช้งานจริงวิธีการนี้อาจประสบปัญหาในการคำนวณที่สำคัญ ทำให้ขอบเขตการใช้งานแคบลง เราพิจารณาวิธีการ Lagrange ที่นี่เป็นหลักเพราะเป็นเครื่องมือที่ใช้อย่างแข็งขันเพื่อพิสูจน์วิธีการเชิงตัวเลขสมัยใหม่ต่างๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ สำหรับฟังก์ชัน Lagrange และตัวคูณ Lagrange จะเล่นเป็นอิสระและเฉพาะตัว บทบาทสำคัญในทางทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ไม่เพียงแต่การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

พิจารณาปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบคลาสสิก

สูงสุด (นาที) z=f(x) (7.20)

ปัญหานี้แยกความแตกต่างจากปัญหา (7.18), (7.19) โดยข้อเท็จจริงที่ว่าในข้อจำกัด (7.21) ไม่มีความไม่เท่าเทียมกัน ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่เป็นลบของตัวแปร ความไม่ต่อเนื่องของตัวแปร และฟังก์ชัน f(x ) เป็นทั้งแบบต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ย่อยของอันดับสองเป็นอย่างน้อย

วิธีการแบบคลาสสิกเพื่อแก้ปัญหา (7.20), (7.21) ให้ระบบสมการ ( เงื่อนไขที่จำเป็น) ซึ่งจะต้องเป็นไปตามจุด x* ที่ให้ฟังก์ชัน f(x) กับจุดสุดยอดบนชุดของจุดที่เป็นไปตามข้อจำกัด (7.21) (สำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมนูน พบจุด x* ตาม ทฤษฎีบท 7.6 จะเป็นจุดสุดโต่งระดับโลกด้วย)

สมมติว่า ณ จุด x* ฟังก์ชัน (7.20) มี local เงื่อนไขสุดขั้วและอันดับของเมทริกซ์คือ จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสามารถเขียนได้ดังนี้:

(7.22)

คือฟังก์ชันลากรองจ์ คือตัวคูณลากรองจ์

นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขเพียงพอที่การแก้ระบบสมการ (7.22) กำหนดจุดปลายสุดของฟังก์ชัน f(x) คำถามนี้ได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของการศึกษาเครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่เพียงพอส่วนใหญ่เป็นผลประโยชน์ทางทฤษฎี

สามารถระบุขั้นตอนต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหา (7.20), (7.21) โดยวิธีตัวคูณ Lagrange:

1) เขียนฟังก์ชัน Lagrange (7.23);

2) ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์เทียบกับตัวแปรทั้งหมด และเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จะได้ระบบ (7.22) ที่ประกอบด้วยสมการ แก้ระบบผลลัพธ์ (ถ้าเป็นไปได้!) และด้วยวิธีนี้ ค้นหาทั้งหมด จุดนิ่งฟังก์ชันลากรองจ์

3) จากจุดที่อยู่กับที่ ถ่ายโดยไม่มีพิกัด เลือกจุดที่ฟังก์ชัน f(x) มีเงื่อนไขสุดขั้วในพื้นที่เมื่อมีข้อจำกัด (7.21) เลือกตัวเลือกนี้ เช่น ใช้เงื่อนไขที่เพียงพอ สุดโต่งท้องถิ่น. บ่อยครั้งที่การศึกษาง่ายขึ้นหากใช้เงื่อนไขเฉพาะของปัญหา

ตัวอย่าง 7.3. ค้นหาการกระจายที่เหมาะสมของทรัพยากรที่มีจำกัดในหน่วย ระหว่างผู้บริโภค n ถ้ากำไรที่ได้รับเมื่อจัดสรรหน่วย x j ของทรัพยากรให้กับผู้บริโภคที่ j คำนวณโดยสูตร

วิธีการแก้.ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ของปัญหามี มุมมองถัดไป:

เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange:

.

เราพบว่า อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันลากรองจ์และเท่ากับศูนย์:

การแก้ระบบสมการนี้เราได้รับ:

ดังนั้นหากผู้บริโภค j-th ได้รับการจัดสรรหน่วย ทรัพยากรแล้วกำไรทั้งหมดจะถึงมูลค่าสูงสุดและจำนวนที่จะเป็นรัง หน่วย

เราได้พิจารณาวิธี Lagrange ว่าใช้กับ ปัญหาคลาสสิคการเพิ่มประสิทธิภาพ เป็นไปได้ที่จะสรุปวิธีการนี้ในกรณีที่ตัวแปรไม่เป็นค่าลบและกำหนดข้อจำกัดบางอย่างในรูปของความไม่เท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตาม ลักษณะทั่วไปนี้เป็นทฤษฎีเด่นและไม่นำไปสู่อัลกอริธึมการคำนวณที่เฉพาะเจาะจง

โดยสรุป เราให้การตีความทางเศรษฐกิจแก่ตัวคูณลากรองจ์ ในการทำเช่นนี้ เราหันไปที่ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบคลาสสิกที่ง่ายที่สุด

สูงสุด (นาที) z=ฉ(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=ข. (7.25)

ให้เราถือว่าเงื่อนไขสุดโต่งมาถึงจุด ค่าสุดขั้วที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน ฉ(x)

สมมุติว่าในข้อจำกัด (7.25) ปริมาณ ขสามารถเปลี่ยนแปลงได้ จากนั้นพิกัดของจุดสุดขั้วและด้วยเหตุนี้ค่าสุดขั้ว ฉ*ฟังก์ชั่น ฉ(x) จะกลายเป็นปริมาณขึ้นอยู่กับ ข, เช่น. ,และดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (7.24)

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = ฉ(t)

ประกอบด้วยการแทนที่ค่าคงที่โดยพลการ ck ในการแก้ปัญหาทั่วไป

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

ที่เกี่ยวข้อง สมการเอกพันธ์

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

ไปยังฟังก์ชันเสริม ck(t) ซึ่งอนุพันธ์เป็นไปตามระบบพีชคณิตเชิงเส้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ (1) คือ Wronskian ของฟังก์ชัน z1,z2,...,zn ซึ่งรับรองความสามารถในการแก้ไขเฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับ

หากเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ของการรวม ฟังก์ชัน

เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นแบบเอกพันธ์แบบเดิม บูรณาการ สมการเอกพันธ์ในที่ที่มีคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงลดเป็นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

วิธีลากรองจ์ (วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ)

วิธีการหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์, การรู้ การตัดสินใจร่วมกันสมการเอกพันธ์โดยไม่หาคำตอบเฉพาะ

สำหรับสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, จริง: 1) มี n เส้นตรง สมการแก้สมการอิสระ y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) สำหรับค่าใดๆ ของค่าคงที่ c1, c2, ..., cn, ฟังก์ชัน y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) คือ คำตอบของสมการ 3) สำหรับใดๆ ค่าเริ่มต้น x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n ให้ผลลัพธ์ y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเบื้องต้น y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

เซตของ n คำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n y1(x), y2(x), ..., yn(x) เรียกว่าระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการ

สำหรับสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีอัลกอริธึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, เช่น จำนวน l คือรูท สมการคุณลักษณะ ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0 ด้านซ้ายของสมการคุณลักษณะเรียกว่าพหุนามเฉพาะของสมการอนุพันธ์เชิงเส้น: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + อัน ดังนั้น ปัญหาของการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n ด้วยสัมประสิทธิ์คงที่จึงลดลงเป็นการแก้สมการพีชคณิต

ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากจริงต่างกัน n ราก l1№ l2 № ... № ln ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะประกอบด้วยฟังก์ชัน y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx) และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากจริงอย่างง่าย

ถ้ารากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะซ้ำกัน r ครั้ง (ราก r-fold) ฟังก์ชัน r จะสอดคล้องกับมันในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ถ้า lk=lk+1 = ... = lk+r-1 แล้วใน ระบบพื้นฐานคำตอบของสมการ มีฟังก์ชัน r: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).

ตัวอย่างที่ 2 ระบบพื้นฐานของคำตอบและคำตอบทั่วไปสำหรับกรณีของรากจริงหลายตัว

ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากเชิงซ้อน ดังนั้นแต่ละคู่ของรากเชิงซ้อน (ของหลายหลาก 1) เชิงซ้อน lk,k+1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับฟังก์ชันคู่หนึ่ง yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx)

ตัวอย่างที่ 4. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนอย่างง่าย รากจินตภาพ

หากคู่ของรากที่ซับซ้อนมีหลายหลาก r ดังนั้นคู่ดังกล่าว lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสอดคล้องกับฟังก์ชัน exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

ตัวอย่าง 5. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนหลายตัว

ดังนั้น ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ เราควรเขียนสมการลักษณะเฉพาะลงไป ค้นหารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ l1, l2, ... , ln; จดระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y1(x), y2(x), ..., yn(x); เขียนนิพจน์สำหรับคำตอบทั่วไป y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ในการแก้ปัญหา Cauchy เราจำเป็นต้องแทนที่นิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นและกำหนดค่าของค่าคงที่ c1,..., cn ซึ่งเป็นคำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นของลำดับที่ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, ถูกต้อง: 1 ) ถ้า y1(x) และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) - y2(x) คือคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน 2) ถ้า y1(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) + y2(x) คือคำตอบของ สมการเอกพันธ์ 3) ถ้า y1(x), y2(x), ..., yn(x) เป็น n คำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเอกพันธ์ และ ych(x) - การตัดสินใจโดยพลการสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดังนั้นสำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n เช่นนั้น สารละลาย y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเริ่มต้น y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) เรียกว่า คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นของลำดับที่ n

เพื่อหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของความเป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ทางด้านขวาของแบบฟอร์ม: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx) โดยที่ Pk(x), Qm(x) เป็นพหุนาม ของดีกรี k และ m ตามลำดับ มีอัลกอริธึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างโซลูชันเฉพาะ เรียกว่าวิธีการคัดเลือก

วิธีการคัดเลือกหรือวิธีสัมประสิทธิ์ความไม่แน่นอนมีดังนี้ คำตอบของสมการที่ต้องการเขียนเป็น: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs โดยที่ Pr(x), Qr(x) คือ พหุนามของดีกรี r = max(k, m) โดยไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 แฟกเตอร์ xs เรียกว่า แฟกเตอร์เรโซแนนซ์ การสั่นพ้องเกิดขึ้นในกรณีที่รากของสมการคุณลักษณะมีราก l = a ± ib ของหลายหลาก s เหล่านั้น. ถ้าในรากของสมการคุณลักษณะของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน มีส่วนจริงของมันตรงกับสัมประสิทธิ์ในเลขชี้กำลัง และส่วนจินตภาพตรงกับสัมประสิทธิ์ในการโต้แย้ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวาของสมการ และความหลายหลากของรูทนี้คือ s จากนั้นในคำตอบที่ต้องการจะมีปัจจัยเรโซแนนซ์ xs หากไม่มีเหตุบังเอิญดังกล่าว (s=0) แสดงว่าไม่มีปัจจัยเรโซแนนซ์

แทนที่นิพจน์สำหรับคำตอบเฉพาะทางด้านซ้ายของสมการ เราได้พหุนามทั่วไปที่มีรูปแบบเดียวกับพหุนามทางด้านขวาของสมการ ซึ่งไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

พหุนามทั่วไปสองพหุนามจะเท่ากันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบของรูปแบบ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) ที่มีกำลังเท่ากับ t เท่ากัน เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยดังกล่าว เราได้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 2(r+1) ในแบบไม่ทราบค่า 2(r+1) สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าระบบดังกล่าวมีความสอดคล้องกันและมีโซลูชันที่เป็นเอกลักษณ์

วิธีการคูณลากรองจ์(ในวรรณคดีอังกฤษ "วิธี LaGrange's method of undetermined multipliers") ˗ this วิธีการเชิงตัวเลขโซลูชั่น ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพซึ่งช่วยให้คุณกำหนดส่วนปลาย "เงื่อนไข" ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด)

เมื่อมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับตัวแปรในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน (เช่นพื้นที่ ค่าที่อนุญาต)

˗ นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (พารามิเตอร์ควบคุม) บนพื้นที่จริงที่ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะสุดโต่ง การใช้ชื่อ "เงื่อนไข" สุดโต่งนั้นเกิดจากการที่ตัวแปรกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งจำกัดพื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้เมื่อค้นหาส่วนสุดของฟังก์ชัน

วิธีตัวคูณ Lagrange ช่วยให้ปัญหาในการค้นหาเงื่อนไขสุดโต่งของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในชุดของค่าที่ยอมรับได้เพื่อแปลงเป็นปัญหา การเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่มีเงื่อนไขฟังก์ชั่น.

ถ้าฟังก์ชัน และ ต่อเนื่องร่วมกับอนุพันธ์ย่อยบางส่วน ดังนั้นจึงมีตัวแปร λ ที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ดังนั้น ตามวิธีการของตัวคูณลากรองจ์เพื่อค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในชุดของค่าที่ยอมรับได้ ฉันจึงเขียนฟังก์ชันลากรองจ์ L(x, λ) ซึ่งได้รับการปรับให้เหมาะสมเพิ่มเติม:

โดยที่ λ ˗ เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรเพิ่มเติมที่เรียกว่า ตัวคูณไม่แน่นอนลากรองจ์

ดังนั้น ปัญหาในการค้นหาเงื่อนไขสุดขั้วของฟังก์ชัน f(x) จึงลดลงมาเป็นปัญหาในการค้นหาส่วนปลายสุดแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน L(x, λ)

และ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันลากรองจ์ถูกกำหนดโดยระบบสมการ (ระบบประกอบด้วยสมการ "n + m"):

การแก้สมการของระบบสมการนี้ทำให้สามารถกำหนดอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (X) ซึ่งค่าของฟังก์ชัน L(x, λ) และค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(x) สอดคล้องกับ สุดขั้ว

ค่าของตัวคูณลากรองจ์ (λ) เป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ หากแสดงข้อจำกัดในรูปแบบที่มีพจน์อิสระของสมการ (ค่าคงที่) ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาเพิ่มเติม (เพิ่ม/ลด) ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยการเปลี่ยนค่าคงที่ในระบบสมการ ดังนั้น ตัวคูณลากรองจ์จึงกำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงในสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ด้วยการเปลี่ยนแปลงในค่าคงที่จำกัด

มีหลายวิธีในการกำหนดลักษณะของปลายสุดของฟังก์ชันผลลัพธ์:

วิธีแรก: อนุญาต - พิกัดของจุดปลายสุด และ - ค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ มีการใช้จุดที่ใกล้กับจุด และคำนวณค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์:

ถ้า แล้วมีค่าสูงสุด ณ จุดนั้น

ถ้า แล้วมีขั้นต่ำที่จุด

วิธีที่สอง: สภาพพอใช้ซึ่งคุณสามารถหาธรรมชาติของส่วนปลายสุดได้ เป็นสัญญาณของดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ ดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชัน Lagrange ถูกกำหนดดังนี้:

ถ้าใน คะแนนที่กำหนด ขั้นต่ำ, ถ้า จากนั้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(x) มีเงื่อนไข ขีดสุด.

วิธีที่สาม: นอกจากนี้ ยังสามารถหาธรรมชาติของส่วนปลายของฟังก์ชันได้โดยพิจารณาจากฟังก์ชัน Hessian of the Lagrange เมทริกซ์เฮสเซียนมีความสมมาตร เมทริกซ์สี่เหลี่ยมอนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่สองของฟังก์ชัน ณ จุดที่องค์ประกอบของเมทริกซ์มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก

ในการกำหนดประเภทของ extremum (ฟังก์ชันสูงสุดหรือต่ำสุด) คุณสามารถใช้กฎของ Sylvester:

1. เพื่อให้ดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์เป็นเครื่องหมายบวก มันเป็นสิ่งจำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันต้องเป็นค่าบวก ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุด ณ จุดนี้

2. เพื่อให้ดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์เป็นเครื่องหมายลบ จำเป็นต้องให้ฟังก์ชันรองเชิงมุมสลับกัน และองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ต้องเป็นค่าลบ sv ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด ณ จุดนี้

เล็กน้อยเชิงมุมคือไมเนอร์ที่อยู่ใน k แถวแรกและ k คอลัมน์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม

หลัก คุณค่าทางปฏิบัติวิธี Lagrange คือช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไขเป็นไม่มีเงื่อนไข และด้วยเหตุนี้จึงขยายคลังแสงของวิธีการที่มีอยู่สำหรับการแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม ปัญหาการแก้ระบบสมการซึ่งวิธีนี้ลดค่าลงใน กรณีทั่วไปไม่ง่ายกว่า ปัญหาเดิมๆการค้นหาขั้นสูงสุด วิธีการดังกล่าวเรียกว่าทางอ้อม อธิบายการใช้งานโดยความจำเป็นในการหาวิธีแก้ปัญหาแบบสุดโต่งในรูปแบบการวิเคราะห์ (เช่น สำหรับการคำนวณเชิงทฤษฎีบางอย่าง) เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจง มักจะใช้วิธีการโดยตรง โดยพิจารณาจากกระบวนการวนซ้ำของการคำนวณและเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ได้รับการปรับให้เหมาะสม

วิธีการคำนวณ

1 ขั้นตอน: เรากำหนดฟังก์ชัน Lagrange จากฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่กำหนดและระบบของข้อจำกัด:

ซึ่งไปข้างหน้า

ในการเพิ่มความคิดเห็นของคุณในบทความ โปรดลงทะเบียนบนเว็บไซต์

วิธีการลากรองจ์

วิธีการหล่อ รูปสี่เหลี่ยมผลรวมของกำลังสอง ซึ่งระบุในปี 1759 โดย J. Lagrange ให้มันได้

จากตัวแปร x 0 , x 1 ,..., x น. ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จากภาคสนาม kลักษณะเฉพาะ จำเป็นต้องนำแบบฟอร์มนี้ไปใช้ตามบัญญัติบัญญัติ จิตใจ

ด้วยความช่วยเหลือของไม่เสื่อมสภาพ การแปลงเชิงเส้นตัวแปร ล.ม. ประกอบด้วย เราสามารถสรุปได้ว่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ (1) ไม่ใช่ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปได้สองกรณี

1) สำหรับบางคน กรัมเส้นทแยงมุม แล้ว

โดยที่รูปแบบ f 1 (x) ไม่มีตัวแปร x ก. 2) ถ้าทั้งหมด แต่ แล้ว

โดยที่รูปแบบ f 2 (x) ไม่มีตัวแปรสองตัว xgและ x ซ.แบบฟอร์มใต้เครื่องหมายสี่เหลี่ยมใน (4) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น โดยใช้การแปลงรูปแบบ (3) และ (4) รูปแบบ (1) after จำนวนจำกัดขั้นตอนจะลดลงเป็นผลรวมของกำลังสองของรูปแบบเชิงเส้นเชิงเส้นอิสระ การใช้อนุพันธ์ย่อย สูตร (3) และ (4) สามารถเขียนเป็น

ไฟ: G a n t m a h e r F. ร.ทฤษฎีเมทริกซ์ 2nd ed., Moscow, 1966; K ur o sh A. G. หลักสูตร Higher Algebra, 11th ed., M. , 1975; Alexandrov P.S., Lectures on Analytic Geometry..., M. , 1968. I. V. Proskuryakov.

สารานุกรมทางคณิตศาสตร์ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. ไอ.เอ็ม.วิโนกราดอฟ 2520-2528.

ดูว่า "วิธี LAGRANGE" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

วิธีลากรองจ์- วิธี Lagrange - วิธีการในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งโดยการค้นหาจุดอาน (x *, λ *) ของฟังก์ชัน Lagrange ซึ่งทำได้โดยการเท่ากับศูนย์อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันนี้เทียบกับ . .. ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

วิธีลากรองจ์- วิธีการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งโดยหาจุดอาน (x*,?*) ของฟังก์ชันลากรองจ์ ซึ่งทำได้โดยการหาอนุพันธ์ย่อยบางส่วนของฟังก์ชันนี้เท่ากับศูนย์เทียบกับ xi และ?i . ดู ลากรองจ์เจียน )