สูตร Bernoulli ใช้เมื่อใด ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎทวินาม

1

1. Bogolyubov A.N. คณิตศาสตร์. กลไก: คู่มือชีวประวัติ - เคียฟ: Naukova Dumka, 1983

2. Gulay T.A. , Dolgopolova A.F. , Litvin D.B. การวิเคราะห์และประเมินลำดับความสำคัญของส่วนต่างๆ ของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักศึกษาสาขาวิชาเศรษฐศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตร// ประกาศของกลุ่มอุตสาหกรรมเกษตรของ Stavropol - 2556. - ครั้งที่ 1 (9). - ป.6-10.

3. ดอลโกโปโลวา เอ.เอฟ., กูเลย์ ที.เอ., ลิตวิน ดี.บี. โอกาสในการสมัคร วิธีการทางคณิตศาสตร์ใน การวิจัยทางเศรษฐกิจ// วิทยาการเกษตรกรรม ความคิดสร้างสรรค์ การเจริญเติบโต - 2556. - ส. 255-257.

ในวิชาคณิตศาสตร์มักมีปัญหาที่เกิดขึ้น จำนวนมากการทำซ้ำของเงื่อนไขการทดสอบหรือการทดลองเดียวกัน ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งจะถือเป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากผลการทดสอบครั้งก่อน การพึ่งพาในผลลัพธ์ก็จะไม่ถูกสังเกตเช่นกัน จากผลการทดสอบ ความเป็นไปได้หลายประการของผลเบื้องต้นสามารถแยกแยะได้: การเกิดเหตุการณ์ (A) หรือการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เสริม A

จากนั้นลองสมมติว่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ Р(А) เป็นปกติและเท่ากับ р (0<р<1).

ตัวอย่างของความท้าทายดังกล่าวอาจเป็นงานจำนวนมาก เช่น โยนเหรียญ ดึงลูกบอลขาวดำออกจากถุงสีเข้ม หรือการให้กำเนิดกระต่ายขาวดำ

การทดสอบดังกล่าวเรียกว่าการกำหนดค่าการทดสอบอิสระซ้ำๆ หรือแบบแผนเบอร์นูลลี

Jacob Bernoulli เกิดในครอบครัวเภสัชกร พ่อพยายามสอนลูกชายของเขาในเส้นทางทางการแพทย์ แต่ J. Bernoulli เริ่มสนใจคณิตศาสตร์ด้วยตัวเขาเอง และต่อมามันก็กลายเป็นอาชีพของเขา เขาเป็นเจ้าของถ้วยรางวัลมากมายจากผลงานในหัวข้อทฤษฎีความน่าจะเป็นและตัวเลข อนุกรมและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ หลังจากศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นจากผลงานชิ้นหนึ่งของ Huygens เรื่อง "On Calculations in Gambling" ยาโคบเริ่มสนใจเรื่องนี้ ในหนังสือเล่มนี้ไม่มีแม้แต่คำจำกัดความที่ชัดเจนเกี่ยวกับแนวคิดของ "ความน่าจะเป็น" J. Bernoulli เป็นผู้แนะนำแนวคิดสมัยใหม่ส่วนใหญ่เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ แบร์นูลลียังเป็นคนแรกที่แสดงกฎหมายจำนวนมากในเวอร์ชันของเขา ชื่อของยาโคบมาจากผลงาน ทฤษฎีบท และโครงร่างต่างๆ: "เบอร์นูลลี", "พหุนามเบอร์นูลลี", "สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี", "การแจกแจงแบบแบร์นูลลี" และ "สมการแบร์นูลลี"

กลับไปทำซ้ำกันเถอะ ดังที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น จากผลการทดสอบต่างๆ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่าง: เหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้น หรือตรงกันข้ามกับเหตุการณ์นี้ รูปแบบ Bernoulli นั้นหมายถึงการผลิตการทดลองฟรีทั่วไปจำนวนที่ n และในการทดลองแต่ละครั้งเหตุการณ์ A ที่เราต้องการอาจปรากฏขึ้น (ทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้: P (A) \u003d p), ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A ระบุด้วย q \u003d P ( A)=1-p จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อทดสอบจำนวนที่ไม่รู้จัก เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้งพอดี

สิ่งสำคัญคือต้องจำเงื่อนไขหลักเมื่อแก้ปัญหาโดยใช้แผน Bernoulli คือความมั่นคง หากไม่มีมัน โครงการจะสูญเสียความหมายทั้งหมด

รูปแบบนี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาของความซับซ้อนในระดับต่าง ๆ ตั้งแต่แบบง่าย (เหรียญเดียวกัน) ไปจนถึงแบบซับซ้อน (ดอกเบี้ย) อย่างไรก็ตาม โครงการ Bernoulli มักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการควบคุมคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ต่างๆ และความเชื่อมั่นในกลไกต่างๆ เพื่อแก้ปัญหาก่อนเริ่มงานต้องทราบเงื่อนไขและค่าทั้งหมดล่วงหน้า

ไม่ใช่ทุกปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ลดลงจนคงที่ภายใต้เงื่อนไข แม้ว่าเราจะนำลูกบอลขาวดำในถุงสีเข้มเป็นตัวอย่าง: เมื่อดึงลูกบอลหนึ่งลูก อัตราส่วนของจำนวนและสีของลูกบอลในถุงจะเปลี่ยนไป ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป

อย่างไรก็ตาม หากเงื่อนไขของเราคงที่ เราก็สามารถระบุความน่าจะเป็นที่ต้องการจากเราว่าเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้งจากทั้งหมด n ครั้งได้อย่างแม่นยำ

ข้อเท็จจริงนี้รวบรวมโดย Jacob Bernoulli เป็นทฤษฎีบท ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อของเขา "ทฤษฎีบทแบร์นูลลี" เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลักในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตีพิมพ์ครั้งแรกในผลงานของ J. Bernoulli เรื่อง "The Art of Assumptions" ทฤษฎีบทนี้คืออะไร? “ถ้าความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งคงที่ ดังนั้นความน่าจะเป็น Pk,n ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น k ครั้งในการทดลอง n ครั้งที่ไม่ขึ้นต่อกันจะเท่ากับ: โดยที่ q=1-p ”

ในการพิสูจน์ประสิทธิภาพของสูตร สามารถมอบหมายงานได้

งาน #1:

ขวดแก้ว n ขวดต่อเดือนที่จัดเก็บ k แตก สุ่มเอากระป๋องเอ็ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหยือกเหล่านี้จะไม่แตก n=250, k=10, m=8, l=4

วิธีแก้ไข: เรามีแบบแผน Bernoulli ที่มีค่า:

p=10/250=0.04 (ความน่าจะเป็นที่แบงค์จะพัง);

n=8 (จำนวนการทดลอง);

k=8-4=4 (จำนวนกระปุกแตก).

เราใช้สูตรเบอร์นูลลี

ได้:

คำตอบ: 0.0141

งาน #2:

ความน่าจะเป็นในการผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในการผลิตคือ 0.2 จงหาความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ 10 ชิ้นที่ผลิตในโรงงานผลิตแห่งนี้ ค่า k จะต้องอยู่ในสภาพดี เรียกใช้โซลูชันสำหรับ k = 0, 1, 10

เราสนใจเหตุการณ์ A - การผลิตชิ้นส่วนที่สามารถซ่อมบำรุงได้ ซึ่งจะเกิดขึ้นชั่วโมงละครั้งด้วยความน่าจะเป็น p=1-0.2=0.8 เราต้องหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ที่กำหนดจะเกิดขึ้น k ครั้ง เหตุการณ์ A ตรงข้ามกับเหตุการณ์ "ไม่ใช่ A" นั่นคือ การผลิตสินค้าที่ผิดพลาด

ดังนั้นเราจึงมี: n=10; พี = 0.8; คิว=0.2

ผลลัพธ์คือ เราพบความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่ผลิตขึ้น 10 รายการมีข้อบกพร่องทั้งหมด (k=0) ซึ่งผลิตภัณฑ์หนึ่งชิ้นอยู่ในสภาพดี (k=1) ซึ่งไม่มีข้อบกพร่องเลย (k=10) :

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่าในยุคปัจจุบัน นักวิทยาศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ว่า "สูตรแบร์นูลลี" ไม่เป็นไปตามกฎของธรรมชาติ และปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องนำไปใช้ แน่นอนว่าเป็นไปได้ ปัญหาส่วนใหญ่ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้สูตร Bernoulli สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนกับตัวเลขจำนวนมาก

ลิงค์บรรณานุกรม

Khomutova E.A. , Kalinichenko V.A. สูตรของ BERNULLI ในทฤษฎีความน่าจะเป็น // แถลงการณ์ทางวิทยาศาสตร์ของนักเรียนต่างชาติ - 2558. - ฉบับที่ 3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (วันที่เข้าถึง: 03/12/2019) เราขอนำเสนอวารสารที่จัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ "Academy of Natural History"

ทฤษฎีโดยย่อ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการทดลองที่สามารถทำซ้ำได้ (อย่างน้อยในทางทฤษฎี) โดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง ให้การทดลองซ้ำหนึ่งครั้ง และผลลัพธ์ของการทำซ้ำแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทำซ้ำครั้งก่อน การทำซ้ำเช่นนี้เรียกว่าการทดลองอิสระ กรณีพิเศษของการทดสอบดังกล่าวคือ การทดลองอิสระของ Bernoulliซึ่งมีเงื่อนไข 2 ประการคือ

1) ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งเป็นหนึ่งในสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งเรียกว่า "สำเร็จ" หรือ "ล้มเหลว" ตามลำดับ

2) ความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" ในการทดสอบแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลการทดสอบก่อนหน้านี้และคงที่

ทฤษฎีบทของแบร์นูลลี

หากมีการทดลอง Bernoulli อิสระชุดหนึ่ง ซึ่ง "ความสำเร็จ" เกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็น ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ "ความสำเร็จ" ในการทดลองจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวจะแสดงด้วยสูตร:

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวอยู่ที่ไหน

- จำนวนของการรวมกันขององค์ประกอบโดย (ดูสูตรพื้นฐานของ combinatorics)

สูตรนี้เรียกว่า สูตรเบอร์นูลลี.

สูตร Bernoulli ช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณจำนวนมาก - การบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ด้วยการทดสอบจำนวนมากเพียงพอ

แบบแผนการทดสอบเบอร์นูลลีเรียกอีกอย่างว่าแบบแผนทวินาม และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันเรียกว่าทวินาม ซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้สัมประสิทธิ์ทวินาม

การกระจายตามรูปแบบ Bernoulli ช่วยให้สามารถค้นหาจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด

ถ้านับจำนวนการทดลอง นดีมากแล้วสนุก:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งาน

ความงอกของเมล็ดพืชบางชนิดคือ 70% ความน่าจะเป็นที่หว่านจาก 10 เมล็ดเป็นเท่าใด: 8, อย่างน้อย 8; อย่างน้อย 8?

ทางออกของปัญหา

ลองใช้สูตร Bernoulli:

ในกรณีของเรา

ปล่อยให้เหตุการณ์ - จาก 10 เมล็ดงอก 8:

ให้เหตุการณ์ - เพิ่มขึ้นอย่างน้อย 8 (นั่นหมายถึง 8, 9 หรือ 10)

ให้เหตุการณ์เพิ่มขึ้นอย่างน้อย 8 (นั่นหมายถึง 8.9 หรือ 10)

ตอบ

ปานกลางค่าใช้จ่ายในการแก้ไขงานควบคุมคือ 700 - 1200 รูเบิล (แต่ไม่น้อยกว่า 300 รูเบิลสำหรับการสั่งซื้อทั้งหมด) ราคาได้รับอิทธิพลอย่างมากจากความเร่งด่วนของการตัดสินใจ (จากหลายวันถึงหลายชั่วโมง) ค่าใช้จ่ายในการช่วยเหลือออนไลน์ในการสอบ / การทดสอบ - จาก 1,000 รูเบิล สำหรับการแก้ปัญหาตั๋ว

แอปพลิเคชันสามารถทิ้งไว้ในแชทได้โดยตรงโดยทิ้งเงื่อนไขของงานไว้ก่อนหน้านี้และแจ้งให้คุณทราบถึงกำหนดเวลาในการแก้ไข เวลาตอบสนองคือหลายนาที

การทดลองอิสระซ้ำๆ จะเรียกว่าการทดลอง Bernoulli หากการทดลองแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองผลลัพธ์ และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ยังคงเหมือนเดิมสำหรับการทดลองทั้งหมด

โดยปกติแล้วผลลัพธ์ทั้งสองนี้เรียกว่า "สำเร็จ" (S) หรือ "ล้มเหลว" (F) และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันจะแสดงแทน หน้าและ ถาม. เป็นที่ชัดเจนว่า หน้า 0, ถาม³ 0 และ หน้า+ถาม=1.

ช่องว่าง เหตุการณ์ระดับประถมศึกษาการทดลองแต่ละครั้งประกอบด้วยสองเหตุการณ์ Y และ H

พื้นที่ของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา นการทดลองของ Bernoulli Ω ประกอบด้วย 2 นเหตุการณ์เบื้องต้นซึ่งเป็นลำดับ (โซ่) ของ นสัญลักษณ์ Y และ H แต่ละเหตุการณ์เบื้องต้นเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของลำดับ นการทดลองของ Bernoulli เนื่องจากการทดสอบเป็นอิสระ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทการคูณ ความน่าจะเป็นจึงถูกคูณ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของลำดับเฉพาะใด ๆ คือผลคูณที่ได้จากการแทนที่สัญลักษณ์ U และ H ด้วย หน้าและ ถามตามลำดับ ตัวอย่างเช่น: ร( )=(คุณ ยู เอ็น อู เอ็น... นู )= พี พี คิว พี คิว ... คิว คิว พี .

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของการทดสอบ Bernoulli มักแสดงด้วย 1 และ 0 จากนั้นจึงแสดงเหตุการณ์เบื้องต้นในลำดับ นการทดสอบ Bernoulli - มีห่วงโซ่ที่ประกอบด้วยศูนย์และหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

การทดลองแบร์นูลลีเป็นรูปแบบที่สำคัญที่สุดที่พิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น โครงร่างนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส J. Bernoulli (1654-1705) ซึ่งศึกษาแบบจำลองนี้ในเชิงลึกในงานของเขา

ปัญหาหลักที่เราสนใจคือ: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคืออะไร นการทดลองแบร์นูลลีเกิดขึ้น มความสำเร็จ?

หากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ความน่าจะเป็นที่ระหว่างการทดสอบอิสระ เหตุการณ์ จะได้สังเกตถูก ม ครั้ง (ไม่ว่าในการทดลองใด) ถูกกำหนดโดย สูตรเบอร์นูลลี:

(21.1)

ที่ไหน - ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ในการทดสอบทุกครั้งและ
คือความน่าจะเป็นที่ในประสบการณ์ที่กำหนดเหตุการณ์หนึ่งๆ ไม่ได้เกิดขึ้น

ถ้าเราพิจารณา พี น (เมตร)เป็นฟังก์ชัน มจากนั้นจะกำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งเรียกว่าทวินาม มาสำรวจความสัมพันธ์นี้กัน พี น (เมตร)จาก ม, 0£ ม£ น.

การพัฒนา ขเมตร ( ม = 0, 1, ..., น) ประกอบด้วยจำนวนเหตุการณ์ที่แตกต่างกัน แต่ใน นการทดสอบเข้ากันไม่ได้และสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ เพราะเหตุนี้,
.

พิจารณาอัตราส่วน:

=
=
=
.

มันจึงเป็นไปตามนั้น พี น (ม.+1)>พี น (เมตร),ถ้า (น- ม) พี> (ม.+1)คิว, เช่น. การทำงาน พี น (ม) เพิ่มขึ้นถ้า ม< น- ถาม. เช่นเดียวกัน, พี น (ม.+1)< พี น (เมตร),ถ้า (น- ม) พี< (ม.+1)คิว, เช่น. พี น (เมตร)ลดลงถ้า ม> น- ถาม.

ดังนั้นจึงมีจำนวน ม 0 ซึ่ง พี น (เมตร)ถึงมูลค่าสูงสุด หากัน ม 0 .

ตามความหมายของเลข มเรามี 0 พี น (ม 0)³ พี น (ม 0 -1) และ พี น (ม 0) ³ พี น (ม 0 +1) ดังนั้น

, (21.2)

. (21.3)

การแก้อสมการ (21.2) และ (21.3) ที่เกี่ยวกับ ม 0 เราได้รับ:

หน้า/ ม 0 ³ ถาม/(น- ม 0 +1) Þ ม 0 £ น+ หน้า,

ถาม/(น- ม 0 ) ³ หน้า/(ม 0 +1) Þ ม 0 ³ น- ถาม.

ดังนั้นตัวเลขที่ต้องการ ม 0 เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

น- ถาม£ ม 0 £ np+p (21.4)

เพราะ หน้า+ถาม=1 แล้วความยาวของช่วงที่กำหนดโดยอสมการ (21.4) เท่ากับหนึ่ง และมีจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งจำนวน ม 0 ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (21.4):

1) ถ้า น - ถามเป็นจำนวนเต็มแล้วมีสองค่า ม 0 คือ: ม 0 = น - ถามและ ม 0 = น - ถาม + 1 = น + หน้า;

2) ถ้า น - ถาม- เศษส่วนแล้วมีหนึ่งจำนวน ม 0 คือจำนวนเต็มเฉพาะที่อยู่ระหว่าง ตัวเลขเศษส่วนได้จากอสมการ (21.4);

3) ถ้า นเป็นจำนวนเต็มแล้วมีหนึ่งจำนวน ม 0 คือ ม 0 = น.

ตัวเลข ม 0 เรียกว่าค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดหรือน่าจะเป็นมากที่สุด (จำนวน) ของการเกิดเหตุการณ์ กในชุดของ นการทดสอบอิสระ

ในบทเรียนนี้ เราจะพบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระเมื่อการทดลองซ้ำ . การทดลองเรียกว่าเป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของการทดลองแต่ละครั้งไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่นๆ . การทดสอบอิสระสามารถทำได้ทั้งภายใต้เงื่อนไขเดียวกันและภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกัน ในกรณีแรก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองทั้งหมดจะเท่ากัน ในกรณีที่สอง จะแตกต่างกันไปในแต่ละการทดลอง

ตัวอย่างของการสอบซ่อมอิสระ :

• หนึ่งในโหนดอุปกรณ์หรือสองหรือสามโหนดจะล้มเหลว และความล้มเหลวของแต่ละโหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับโหนดอื่น ๆ และความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของโหนดหนึ่งจะคงที่ในการทดสอบทั้งหมด
• ผลิตในถาวรบาง เงื่อนไขทางเทคโนโลยีส่วนหนึ่งหรือสาม สี่ ห้าส่วนจะไม่ได้มาตรฐาน และส่วนหนึ่งอาจไม่ได้มาตรฐานโดยไม่คำนึงถึงส่วนอื่น ๆ และความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนั้นจะไม่ได้มาตรฐานนั้นคงที่ในการทดสอบทั้งหมด
• จากการยิงหลายครั้งบนเป้าหมาย หนึ่ง สามหรือสี่นัดเข้าเป้าโดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการยิงอื่นๆ และความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายนั้นคงที่ในทุกการทดลอง
• เมื่อใส่เหรียญแล้ว เครื่องจะทำงานอย่างถูกต้องหนึ่ง สองครั้ง หรือหลายครั้ง โดยไม่คำนึงว่าการใส่เหรียญอื่นๆ จะเป็นอย่างไร และความน่าจะเป็นที่เครื่องจะทำงานอย่างถูกต้องนั้นคงที่ในทุกการทดลอง

เหตุการณ์เหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยโครงร่างเดียว แต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทราบผลของการทดลองครั้งก่อน การทดสอบดังกล่าวเรียกว่าอิสระและเรียกว่าแบบแผน โครงการเบอร์นูลลี . สันนิษฐานว่าการทดสอบดังกล่าวสามารถทำซ้ำได้หลายครั้งตามที่ต้องการ

หากมีความน่าจะเป็น หน้าเหตุการณ์ กเป็นค่าคงที่ในแต่ละการทดลอง แล้วความน่าจะเป็นที่ใน นเหตุการณ์ทดสอบอิสระ กจะมา มครั้งที่ตั้งอยู่บน สูตรเบอร์นูลลี :

(ที่ไหน ถาม= 1 – หน้า- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น)

มาตั้งค่างาน - เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ประเภทนี้เข้ามา นการทดลองอิสระจะมาถึง มครั้งหนึ่ง.

สูตรเบอร์นูลลี: ตัวอย่างของการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วน 2 ส่วนที่ถูกสุ่มเลือกจาก 5 ส่วนจะเป็นมาตรฐาน ถ้าความน่าจะเป็นที่แต่ละส่วนจะเป็นมาตรฐานคือ 0.9

วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ประกอบด้วยความจริงที่ว่าส่วนที่สุ่มเป็นมาตรฐานคือ หน้า=0.9 และความน่าจะเป็นที่ไม่ได้มาตรฐานคือ ถาม=1–หน้า=0.1 . เหตุการณ์ที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหา (เราระบุโดย ที่) จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สองส่วนแรกเป็นแบบมาตรฐาน และสามส่วนถัดไปไม่เป็นมาตรฐาน แต่เหตุการณ์ ที่ยังเกิดขึ้นหากชิ้นส่วนที่หนึ่งและสามเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน หรือหากชิ้นส่วนที่สองและห้าเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน มีความเป็นไปได้อื่น ๆ ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ที่. ใด ๆ ของพวกเขาโดดเด่นด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจากห้าส่วนที่นำมาซึ่งสองซึ่งครอบครองสถานที่ใด ๆ จากห้าจะกลายเป็นมาตรฐาน เพราะเหตุนี้, จำนวนทั้งหมดโอกาสต่างๆ ในการเกิดเหตุการณ์ ที่เท่ากับจำนวนความเป็นไปได้ในการวางชิ้นส่วนมาตรฐานสองชิ้นในห้าตำแหน่ง เช่น เท่ากับจำนวนการรวมกันของห้าองค์ประกอบคูณสอง และ

ความน่าจะเป็นของแต่ละความเป็นไปได้ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น เท่ากับผลคูณของปัจจัย 5 อย่าง ซึ่งในจำนวนนี้มี 2 อย่าง สอดคล้องกับรูปลักษณ์ชิ้นส่วนมาตรฐานมีค่าเท่ากับ 0.9 และอีกสามชิ้นซึ่งสอดคล้องกับลักษณะของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานมีค่าเท่ากับ 0.1 เช่น ความน่าจะเป็นนี้คือ เนื่องจากความเป็นไปได้ทั้งสิบประการนี้ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ตามทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่ซึ่งเราหมายถึง

ตัวอย่างที่ 2ความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรต้องการความสนใจจากพนักงานภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.6 สมมติว่าความล้มเหลวของเครื่องจักรนั้นเป็นอิสระจากกัน ให้หาความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรเครื่องใดเครื่องหนึ่งในสี่เครื่องที่ให้บริการโดยพนักงานคนใดเครื่องหนึ่งจากสี่เครื่องในระยะเวลาหนึ่งชั่วโมงจะเรียกร้องความสนใจ

วิธีการแก้. โดยใช้ สูตรของแบร์นูลลีที่ น=4 , ม=1 , หน้า=0.6 และ ถาม=1–หน้า=0.4 เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 3สำหรับการทำงานปกติของอู่ซ่อมรถ ต้องมีรถอย่างน้อยแปดคันในสาย และมีสิบคัน ความน่าจะเป็นของการไม่ออกของรถแต่ละคันไปยังเส้นเท่ากับ 0.1 ค้นหาความน่าจะเป็นของการทำงานปกติของคลังในวันถัดไป

วิธีการแก้. Autobase จะทำงานได้ดี (เหตุการณ์ ฉ) ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งหรือแปดจะเข้าบรรทัด (เหตุการณ์ แต่) หรือเก้า (เหตุการณ์ ที่)หรืองานสิบคัน(งาน ค). ตามทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

เราพบว่าแต่ละเทอม ตามสูตรเบอร์นูลลี. ที่นี่ น=10 , ม=8; 10 และ หน้า\u003d 1-0.1 \u003d 0.9 ตั้งแต่ หน้าน่าจะหมายถึงความน่าจะเป็นของรถที่เข้าเส้น แล้ว ถาม=0.1 . เป็นผลให้เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 4ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าต้องการรองเท้าผู้ชายไซส์ 41 เป็น 0.25 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อจากหกรายอย่างน้อยสองคนต้องการรองเท้าขนาด 41

คำจำกัดความของการทดสอบอิสระซ้ำ สูตร Bernoulli สำหรับคำนวณความน่าจะเป็นและจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด สูตรซีมโทติคสำหรับสูตรแบร์นูลลี (ทฤษฎีบทท้องถิ่นและอินทิกรัลของลาปลาซ) โดยใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัล สูตรของปัวซองสำหรับเหตุการณ์สุ่มที่ไม่น่าเป็นไปได้

การทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีก

ในทางปฏิบัติ เราต้องจัดการกับงานดังกล่าวที่สามารถแสดงเป็นการทดสอบซ้ำๆ ซ้ำๆ ซึ่งเป็นผลมาจากแต่ละเหตุการณ์ที่เหตุการณ์ A อาจปรากฏขึ้นหรือไม่ปรากฏก็ได้ ในเวลาเดียวกัน ผลลัพธ์ของแต่ละ "การทดสอบส่วนบุคคล แต่ ทั้งหมดการเกิดเหตุการณ์ A อันเป็นผลมาจากการทดลองจำนวนหนึ่ง ในปัญหาดังกล่าว เราต้องสามารถระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จำนวน m ใดๆ ที่เกิดขึ้นจากการทดลอง n ครั้ง พิจารณากรณีที่การทดลองเป็นอิสระต่อกันและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในแต่ละการทดลองคงที่ การทดสอบดังกล่าวเรียกว่า ที่ปรึกษาอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีก

ตัวอย่างของการทดสอบอิสระจะเป็นการทดสอบความเหมาะสมของผลิตภัณฑ์ที่นำมาจากชุดงานจำนวนหนึ่ง หากแบทช์เหล่านี้มีเปอร์เซ็นต์ของข้อบกพร่องเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่เลือกจะมีข้อบกพร่องในแต่ละกรณีจะเป็นตัวเลขคงที่

สูตรเบอร์นูลลี

มาใช้แนวคิดกันเถอะ เหตุการณ์ที่ยากลำบากซึ่งหมายถึงการรวมกันของเหตุการณ์พื้นฐานหลายเหตุการณ์ ซึ่งประกอบด้วยการปรากฏหรือไม่ปรากฏของเหตุการณ์ A ในการทดสอบ i-th ให้ดำเนินการทดลองอิสระ n ครั้ง โดยในแต่ละเหตุการณ์ A สามารถปรากฏด้วยความน่าจะเป็น p หรือไม่ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น q=1-p พิจารณาเหตุการณ์ B_m ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A ในการทดลอง n ครั้งเหล่านี้จะเกิดขึ้น m ครั้งพอดี ดังนั้นจะไม่เกิดขึ้นพอดี (n-m) ครั้ง แสดงว่า A_i~(i=1,2,\ldots,(n))การเกิดเหตุการณ์ A , a \overline(A)_i - การไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการทดลองครั้งที่ i เนื่องจากสภาวะการทดสอบมีความคงที่

เหตุการณ์ A อาจปรากฏขึ้น m ครั้งในลำดับหรือชุดค่าผสมต่างๆ กัน สลับกับ เหตุการณ์ตรงกันข้าม\overline(A) . ตัวเลข ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ประเภทนี้เท่ากับจำนวนการรวมกันขององค์ประกอบ n โดย m เช่น C_n^m ดังนั้น เหตุการณ์ B_m สามารถแสดงเป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่ซับซ้อนซึ่งเข้ากันไม่ได้ และจำนวนเงื่อนไขเท่ากับ C_n^m :

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

โดยที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้นในแต่ละผลิตภัณฑ์ m ครั้ง และ \overline(A) - (n-m) ครั้ง

ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่ซับซ้อนรวมอยู่ในสูตร (3.1) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับ เหตุการณ์ที่เป็นอิสระเท่ากับ p^(m)q^(n-m) เนื่องจากจำนวนทั้งหมดของเหตุการณ์ดังกล่าวเท่ากับ C_n^m ดังนั้น จึงใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นสำหรับ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้, เราได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B_m (เราระบุโดย P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(หรือ)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

เรียกว่าสูตร (3.2) สูตรเบอร์นูลลีและการทดลองซ้ำที่เป็นไปตามเงื่อนไขของความเป็นอิสระและความคงที่ของความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในแต่ละเหตุการณ์นั้นเรียกว่า การทดลองของ Bernoulliหรือแบบแผนเบอร์นูลลี

ตัวอย่างที่ 1 ความน่าจะเป็นที่จะเกินค่าพิกัดความเผื่อเมื่อทำการตัดเฉือนชิ้นส่วนบนเครื่องกลึงคือ 0.07 กำหนดความน่าจะเป็นที่จากห้าส่วนที่สุ่มเลือกระหว่างกะ หนึ่งในขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางไม่สอดคล้องกับค่าเผื่อที่ระบุ

วิธีการแก้. สภาพของปัญหาเป็นไปตามข้อกำหนดของโครงการ Bernoulli ดังนั้น สมมติ n=5,\,m=1,\,p=0,\!07ตามสูตร (3.2) ที่เราได้รับ

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\ประมาณ0,\!262.

ตัวอย่างที่ 2 การสังเกตพบว่าในบางพื้นที่ในเดือนกันยายนมีวันที่ฝนตก 12 วัน ความน่าจะเป็นที่ 8 วันที่สุ่มมาในเดือนนี้ 3 วันจะมีฝนตกเป็นเท่าใด?

วิธีการแก้.

P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

จำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด

ลักษณะที่เป็นไปได้มากที่สุดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n ครั้งคือตัวเลข m_0 ซึ่งความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้มากกว่าหรืออย่างน้อยต้องไม่น้อยกว่าความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ A ที่เป็นไปได้อื่นๆ แต่ละรายการ ในการระบุจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด ไม่จำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ แต่ก็เพียงพอที่จะทราบจำนวนการทดลอง n และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแยกต่างหาก ให้ P_(m_0,n) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตรงกับจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด m_0 ใช้สูตร (3.2) เราเขียน

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

ตามคำจำกัดความของจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้น m_0+1 และ m_0-1 ครั้งตามลำดับ อย่างน้อยไม่ควรเกินความน่าจะเป็น P_(m_0,n) นั่นคือ

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

แทนค่า P_(m_0,n) และนิพจน์ของความน่าจะเป็น P_(m_0+1,n) และ P_(m_0-1,n) ลงในอสมการ เราได้

การแก้อสมการเหล่านี้สำหรับ m_0 เราได้รับ

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

เมื่อรวมอสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้ ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าซึ่งใช้เพื่อกำหนดจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p)

เนื่องจากความยาวของช่วงที่กำหนดโดยอสมการ (3.4) เท่ากับหนึ่ง นั่นคือ

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

และเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ในการทดลอง n ครั้งที่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น ดังนั้นควรระลึกไว้เสมอว่า:

1) ถ้า np-q เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่ามีจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด 2 ค่า ได้แก่ m_0=np-q และ m"_0=np-q+1=np+p ;

2) ถ้า np-q เป็นจำนวนเศษส่วน จะมีจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด 1 จำนวน ได้แก่ จำนวนเต็มเดียวระหว่างจำนวนเศษส่วนที่ได้จากอสมการ (3.4)

3) ถ้า np เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่ามีตัวเลขที่เป็นไปได้มากที่สุด 1 ตัว คือ: m_0=np

ที่ ค่ามาก n ไม่สะดวกที่จะใช้สูตร (3.3) ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด หากเท่ากัน (3.3) เราแทนที่สูตรสเตอร์ลิง

N!\ประมาณ(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

ใช้ได้สำหรับ n ที่ใหญ่เพียงพอ และใช้จำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด m_0=np จากนั้นเราได้รับสูตรสำหรับการคำนวณโดยประมาณของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับจำนวนที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด:

P_(m_0,n)\ประมาณ\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

ตัวอย่างที่ 2 เป็นที่ทราบกันว่า \frac(1)(15) ผลิตภัณฑ์บางอย่างที่โรงงานจัดหาให้กับฐานการค้าไม่เป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดของมาตรฐาน ชุดผลิตภัณฑ์จำนวน 250 ชิ้นถูกส่งไปยังฐาน ค้นหาจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้มากที่สุดที่ตรงตามข้อกำหนดของมาตรฐาน และคำนวณความน่าจะเป็นที่ล็อตนี้จะมีจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไข n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). ตามความไม่เท่าเทียมกัน (3.4) เรามี

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

ที่ไหน 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. ดังนั้นจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้มากที่สุดที่ตรงตามข้อกำหนดของมาตรฐานในชุดละ 250 ชิ้น เท่ากับ 234 การแทนข้อมูลลงในสูตร (3.5) เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่จะมีจำนวนรายการที่เป็นไปได้มากที่สุดในชุดงาน:

P_(234,250)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\ประมาณ0,\!101

ทฤษฎีบทลาปลาสท้องถิ่น

การใช้สูตร Bernoulli สำหรับค่า n จำนวนมากเป็นเรื่องยากมาก ตัวอย่างเช่น ถ้า n=50,\,m=30,\,p=0,\!1จากนั้นเพื่อค้นหาความน่าจะเป็น P_(30,50) จำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

แน่นอน คำถามเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณความน่าจะเป็นของดอกเบี้ยโดยไม่ใช้สูตร Bernoulli ปรากฎว่าคุณทำได้ ทฤษฎีบทท้องถิ่น Laplace ให้สูตรซีมโทติคที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่แน่นอน m ครั้งในการทดลอง n ครั้งโดยประมาณ หากจำนวนการทดลองมีมากพอ

ทฤษฎีบท 3.1 หากความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในแต่ละการทดลองมีค่าคงที่และแตกต่างจากศูนย์และหนึ่ง ดังนั้นความน่าจะเป็น P_(m,n) ที่เหตุการณ์ A จะปรากฏในการทดลอง n ครั้งทุกประการ m ครั้งเท่ากันโดยประมาณ (ยิ่งแม่นยำมาก มากกว่า n ) ถึงค่าของฟังก์ชัน

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))ที่ .

มีตารางที่มีค่าฟังก์ชัน \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2))ซึ่งสอดคล้องกับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ x . สำหรับ ค่าลบตารางเดียวกันใช้อาร์กิวเมนต์ เนื่องจากฟังก์ชัน \varphi(x) เป็นเลขคู่ เช่น \varphi(-x)=\varphi(x).

ดังนั้น ความน่าจะเป็นโดยประมาณที่เหตุการณ์ A จะปรากฏในการทดลอง n ครั้งตรง m ครั้ง

P_(m,n)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),ที่ไหน x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 80 ครั้งพอดีในการทดลอง 400 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งคือ 0.2

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไข n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. เราใช้สูตร Laplace เชิงซีมโทติค:

P_(80,400)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

ลองคำนวณค่า x ที่กำหนดโดยข้อมูลปัญหา:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0

ตามตาราง adj 1 เราพบ \varphi(0)=0,\!3989. ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986

สูตร Bernoulli นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกันโดยประมาณ (การคำนวณจะถูกละเว้นเนื่องจากความยุ่งยาก):

P_(80,100)=0,\!0498.

ทฤษฎีบทอินทิกรัลลาปลาซ

สมมติว่ามีการทดลองอิสระ n ครั้ง ซึ่งแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A คงที่และเท่ากับ p จำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็น P_((m_1,m_2),n) ที่เหตุการณ์ A จะปรากฏในการทดลอง n ครั้งอย่างน้อย m_1 และมากที่สุด m_2 ครั้ง (เพื่อความสั้น เราจะพูดว่า "จาก m_1 ถึง m_2 ครั้ง") สามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Laplace

ทฤษฎีบท 3.2. หากความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่และแตกต่างจากศูนย์และหนึ่ง ดังนั้นความน่าจะเป็นโดยประมาณ P_((m_1,m_2),n) เหตุการณ์ A นั้นจะปรากฏในการทดลองตั้งแต่ m_1 ถึง m_2 ครั้ง

P_((m_1,m_2),n)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,ที่ไหน .

เมื่อแก้ปัญหาที่ต้องใช้ทฤษฎีบทปริพันธ์ของ Laplace จะใช้ตารางพิเศษตั้งแต่นั้นมา อินทิกรัลไม่ จำกัด \int(e^(-x^2/2)\,dx)ไม่แสดงออกมาทาง ฟังก์ชันพื้นฐาน. ตารางอินทิกรัล \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzที่กำหนดในแอป 2 โดยกำหนดค่าของฟังก์ชัน \Phi(x) ไว้ ค่าบวก x , สำหรับ x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 สามารถรับ \Phi(x)=0,\!5

ดังนั้น ความน่าจะเป็นโดยประมาณที่เหตุการณ์ A จะปรากฏในการทดลองอิสระ n ครั้งตั้งแต่ m_1 ถึง m_2 เท่า

P_((m_1,m_2),n)\ประมาณ\Phi(x"")-\Phi(x"),ที่ไหน x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

ตัวอย่างที่ 4 ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนถูกผลิตขึ้นโดยละเมิดมาตรฐาน p=0,\!2 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานที่สุ่มเลือก 400 ชิ้นจะมีชิ้นส่วนตั้งแต่ 70 ถึง 100 ชิ้น

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไข p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. ลองใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Laplace:

P_((70,100),400)\ประมาณ\Phi(x"")-\Phi(x")

ให้เราคำนวณขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกัน:

ต่ำกว่า

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

บน

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

ทางนี้

P_((70,100),400)\ประมาณ\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

ตามแอพตาราง 2 หา

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

การประยุกต์ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ

ถ้าจำนวน m (จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n ครั้ง) จะเปลี่ยนจาก m_1 เป็น m_2 ดังนั้นเศษส่วน \frac(m-np)(\sqrt(npq))จะเปลี่ยนจาก \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"ก่อน \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". ดังนั้น ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Laplace สามารถเขียนได้ดังนี้

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx

ให้เราตั้งค่างานเพื่อหาความน่าจะเป็นที่ส่วนเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ \frac(m)(n) จากความน่าจะเป็นคงที่ p ใน ค่าสัมบูรณ์ไม่เกินจำนวนที่กำหนด \varepsilon>0 เราหาความน่าจะเป็นของอสมการ \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilonซึ่งก็เหมือนกัน -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. ความน่าจะเป็นนี้จะแสดงดังนี้: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). โดยคำนึงถึงสูตร (3.6) สำหรับความน่าจะเป็นนี้ เราได้รับ

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\ประมาณ2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\ขวา).

ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนไม่ได้มาตรฐาน p=0,\!1 ค้นหาความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกชิ้นส่วน 400 ชิ้น ความถี่สัมพัทธ์ของการปรากฏของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานเบี่ยงเบนจากความน่าจะเป็น p=0,\!1 ในค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.03

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไข n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. เราต้องหาความน่าจะเป็น P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). เราได้รับโดยใช้สูตร (3.7)

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\ประมาณ2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

ตามแอพตาราง 2 เราพบ \Phi(2)=0,\!4772 ดังนั้น 2\Phi(2)=0,\!9544 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ 0.9544 โดยประมาณ ความหมายของผลลัพธ์ที่ได้มีดังนี้: หากเราสุ่มตัวอย่างจำนวนมากเพียงพอ 400 ส่วนต่อตัวอย่าง 95.44% ของตัวอย่างเหล่านี้จะมีการเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์จากความน่าจะเป็นคงที่ p=0,\!1 ใน ค่าสัมบูรณ์จะไม่เกิน 0.03

สูตรปัวซองสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่น่าเป็นไปได้

หากความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแยกต่างหากมีค่าใกล้เคียงกับศูนย์ แม้กระทั่งสำหรับ จำนวนมากทดสอบ n แต่ด้วยค่าเล็กน้อยของผลิตภัณฑ์ np ความน่าจะเป็น P_(m, n) ที่ได้จากสูตร Laplace นั้นไม่ถูกต้องเพียงพอและจำเป็นต้องมีสูตรโดยประมาณอื่น

ทฤษฎีบท 3.3. หากความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่แต่น้อย จำนวนการทดลองอิสระ n นั้นมากเพียงพอ แต่มูลค่าของผลิตภัณฑ์ np=\lambda ยังคงน้อย (ไม่เกิน 10) ดังนั้นความน่าจะเป็น เหตุการณ์ A นั้นเกิดขึ้น m ครั้งในการทดลองเหล่านี้

P_(ม.,n)\ประมาณ\frac(\แลมบ์ดา^m)(ม\,e^{-\lambda}. !}

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยใช้สูตรปัวซง ตารางค่าฟังก์ชันปัวซองได้รับการรวบรวม \frac(\lambda^m)(ม\,e^{-\lambda} !}(ดูภาคผนวก 3)

ตัวอย่างที่ 6 ให้ความน่าจะเป็นในการผลิตชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานเป็น 0.004 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ใน 1,000 ชิ้นส่วนจะมี 5 ชิ้นที่ไม่ได้มาตรฐาน

วิธีการแก้. ที่นี่ n=1,000,p=0.004,~\lambda=np=1,000\cdot0,\!004=4. ตัวเลขทั้งสามเป็นไปตามข้อกำหนดของทฤษฎีบท 3.3 ดังนั้นในการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการ P_(5,1000) เราจึงใช้สูตรปัวซอง ตามตารางค่าของฟังก์ชันปัวซอง (แอป 3) ด้วย \lambda=4;m=5 เราได้รับ P_(5,1000)\ประมาณ0,\!1563.

ลองหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียวกันโดยใช้สูตรของ Laplace ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะคำนวณค่า x ที่สอดคล้องกับ m=5 :

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\ประมาณ\frac(1)(1,\!996)\ประมาณ0 ,\!501.

ดังนั้นตามสูตร Laplace ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P_(5,1000)\ประมาณ\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\ประมาณ\frac(0,\!3519)(1,\!996)\ประมาณ0,\ !1763

และตามสูตรเบอร์นูลลี ค่าที่แน่นอนของมัน

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\ประมาณ0,\!1552

ทางนี้, ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คำนวณความน่าจะเป็น P_(5,1000) โดยใช้สูตร Laplace โดยประมาณคือ

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\ประมาณ0,\!196หรือ 13,\!6\%

และตามสูตรปัวซอง -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\ประมาณ0,\!007หรือ 0,\!7\%

นั่นคือน้อยกว่าหลายเท่า
ข้ามไปยังส่วนถัดไป
ตัวแปรสุ่มหนึ่งมิติ Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!