นักศึกษามหาวิทยาลัยมักจะค้นหาข้อมูล “วิธีหาคำตอบของสมการ เฟืองท้ายเต็ม?". จากบทเรียนนี้ คุณจะได้รับคำแนะนำฉบับสมบูรณ์พร้อมทั้ง โซลูชั่นสำเร็จรูป- ขั้นแรกแนะนำสั้น ๆ - สมการในผลต่างรวมคืออะไร? จะหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์รวมได้อย่างไร?
ต่อไปคือการวิเคราะห์ตัวอย่างสำเร็จรูป หลังจากนั้นคุณอาจไม่มีคำถามใดๆ ในหัวข้อนี้

สมการในผลต่างรวม

คำจำกัดความ 1. สมการในรูปแบบ M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 เรียกว่า สมการในผลต่างรวมถ้าการพึ่งพาหน้าเครื่องหมายเท่ากับคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัว u(x,y) แสดงว่ามีสูตรที่ยุติธรรม
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx
(1)
ดังนั้น สมการดั้งเดิมในเนื้อหาหมายความว่าผลต่างรวมของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์
ดู่(x,y)=0 . การรวมส่วนต่างที่เราได้รับอินทิกรัลทั่วไป
การควบคุมระยะไกลในรูปแบบ
คุณ(x,y)=C.
(2) ตามกฎแล้วในการคำนวณค่าคงที่จะถูกตั้งค่าเท่ากับศูนย์
ก่อนการคำนวณจะมีคำถามเกิดขึ้นเสมอ

"จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวม"

คำถามนี้ได้รับคำตอบตามเงื่อนไขต่อไปนี้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลต่างรวม
(3)
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลต่างรวมคือ
ความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์บางส่วน
เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ อันดับแรกจะมีการตรวจสอบเพื่อระบุว่าสมการนั้นอยู่ในส่วนต่างรวมหรือสมการอื่นที่เป็นไปได้หรือไม่
(4)
ในแง่ของเนื้อหา เงื่อนไขนี้หมายความว่าอนุพันธ์แบบผสมของฟังก์ชันมีค่าเท่ากัน ในสูตรโดยคำนึงถึงการขึ้นต่อกันจำเป็นและสภาพที่เพียงพอ

การมีอยู่ของผลต่างรวม

เราสามารถเขียนมันในรูปแบบได้

เกณฑ์ที่กำหนดจะใช้ในการตรวจสอบสมการว่าสอดคล้องกับผลต่างรวม แม้ว่าเมื่อศึกษาหัวข้อนี้ ครูจะไม่ถามคุณถึงสมการประเภทอื่น

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการในผลต่างรวม
จากสัญกรณ์ (4) ของอนุพันธ์ย่อยของผลต่างรวมของฟังก์ชัน จะได้ว่าเราสามารถหา u(x,y) โดยการอินทิเกรต สูตรเหล่านี้เป็นทางเลือกในการคำนวณ ดังนั้น สำหรับการบูรณาการ ให้เลือกอนุพันธ์บางส่วนที่หาอินทิกรัลได้ง่ายกว่าในทางปฏิบัติ ต่อไป - ที่สองจุดสำคัญนั่นคือ "+ C" ที่ควรกำหนด
ดังนั้น หากเราอินทิเกรตอนุพันธ์บางส่วน M(x,y) ด้วยความเคารพต่อ “x” ดังนั้นอนุพันธ์จะขึ้นอยู่กับ y และในทางกลับกัน - หากเราอินทิเกรต N(x,y) ด้วยความเคารพต่อ y อนุพันธ์จะขึ้นอยู่กับ y “เอ็กซ์”
ขั้นต่อไป เพื่อกำหนดค่าคงที่ ให้หาอนุพันธ์ของ u(x,y) เทียบกับตัวแปรอื่นที่ไม่ใช่ตัวแปรที่ใช้อินทิเกรตแล้วนำมาเทียบกับอนุพันธ์ย่อยตัวที่สอง
ในสูตรจะมีลักษณะเช่นนี้

ตามกฎแล้ว คำศัพท์บางคำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นและเราได้สมการสำหรับอนุพันธ์ของค่าคงที่ สำหรับสมการแรกที่เราได้รับ

ในที่สุดอินทิกรัลทั่วไปหลังจากกำหนดค่าคงที่จะมีรูปแบบ

ในรูปแบบสมมาตร เราได้คำตอบสำหรับสมการอื่น
การบันทึกดูซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างดูเรียบง่ายและชัดเจนกว่ามาก วิเคราะห์ปัญหาผลต่างรวมต่อไปนี้

พร้อมตอบสมการในส่วนผลต่างรวม

ตัวอย่างที่ 1

วิธีแก้: ทางด้านซ้ายของสมการคือ เฟืองท้ายเต็มฟังก์ชันบางอย่างเนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไข

จากที่นี่ เขียนอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจาก "เอ็กซ์"

และโดยการบูรณาการเราจะพบรูปแบบของมัน

เพื่อกำหนดค่าคงที่เพิ่มเติม ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับ"y" และนำไปเทียบกับค่าในสมการ

เงื่อนไขที่คล้ายกันเรายกเลิกทางด้านขวาและซ้าย หลังจากนั้นเราจะหาค่าคงที่โดยการอินทิเกรต

ตอนนี้เรามีปริมาณทั้งหมดที่จะบันทึกแล้ว วิธีแก้ปัญหาทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์ ในรูปแบบ

คุณจะมั่นใจได้อย่างไร รูปแบบการแก้สมการในผลต่างรวมมันไม่ซับซ้อนและใครๆ ก็สามารถเรียนรู้ได้ ปัจจัยในความแตกต่างมีความสำคัญเนื่องจากจะต้องบูรณาการและแยกความแตกต่างเพื่อหาวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 2 (6.18) ค้นหาอินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์

วิธีแก้ปัญหา: ตามทฤษฎี ทางด้านซ้ายของสมการควรเป็นค่าผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัว u(x,y) และเราตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่

จากที่นี่เราหาอนุพันธ์ย่อยและหาฟังก์ชันผ่านอินทิกรัล

เราคำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวด้วยความเคารพ y และจัดให้มันอยู่ทางด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์

อนุพันธ์แสดงโดยการพึ่งพา

เมื่อคำนึงถึงค่าคงที่ เราได้มันมาในรูปแบบ

แค่นั้นแหละสำหรับการคำนวณ ตัวอย่างนี้สมบูรณ์.

ตัวอย่างที่ 3 (6.20)แก้สมการเชิงอนุพันธ์

วิธีแก้ไข: ทางด้านซ้ายของสมการจะเป็นผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัว u(x; y) หากตรงตามเงื่อนไข

จากที่นี่เราเริ่มแก้สมการ หรือแทนที่จะรวมอนุพันธ์ย่อยตัวใดตัวหนึ่งเข้าด้วยกัน

ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผลลัพธ์เทียบกับตัวแปร y และจัดให้อยู่ทางด้านขวาของการพึ่งพาเชิงอนุพันธ์

วิธีนี้ช่วยให้คุณค้นหาค่าคงที่เป็นฟังก์ชันของ y ได้ ถ้าเราเริ่มแสดงการพึ่งพาส่วนต่างทางด้านขวา เราจะพบว่าค่าคงที่ขึ้นอยู่กับ x มันจะไม่เปลี่ยนแปลงเพื่อ สมการที่กำหนดดูเหมือนว่า

นี่เป็นการสรุปตัวอย่าง ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เราก็สามารถเขียนสูตรได้

เพื่อรวบรวมหัวข้อนี้ เราขอให้คุณตรวจสอบอย่างอิสระว่าสมการเหล่านี้เป็นสมการในอนุพันธ์รวมแล้วแก้สมการเหล่านี้:
ที่นี่คุณจะพบกับฟังก์ชันรูท ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ทุกสิ่งที่คาดหวังได้ในโมดูลและการสอบ
หลังจากนี้ คุณจะแก้สมการประเภทนี้ได้ง่ายขึ้นมาก
ในบทความหน้า คุณจะคุ้นเคยกับสมการของแบบฟอร์ม
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
ซึ่งค่อนข้างคล้ายกับสมการในผลต่างรวม แต่ไม่ตรงตามเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ย่อย คำนวณโดยการค้นหาปัจจัยการอินทิเกรต แล้วคูณด้วยสมการที่กำหนดจนกลายเป็นสมการในผลต่างรวม

ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีการสร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่จากผลต่างรวมของมัน และยกตัวอย่างปัญหาพร้อมการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาโดยสมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) ของรูปแบบ P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 อาจมีอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันบางอย่างทางด้านซ้าย จากนั้นเราจะหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้หากเราสร้างฟังก์ชันใหม่จากส่วนต่างรวมของมันก่อน

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณาสมการ P (x, y) d x + Q (x, y) y = 0 ด้านซ้ายมือมีส่วนต่างของฟังก์ชันบางอย่าง ยู(x, y) = 0- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x

ผลรวมของฟังก์ชัน U (x, y) = 0 มีรูปแบบ d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y dy โดยคำนึงถึงเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ที่เราได้รับ:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

โดยการแปลงสมการแรกจากระบบสมการผลลัพธ์ เราจะได้:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

เราสามารถค้นหาฟังก์ชัน φ (y) จากสมการที่สองของระบบที่ได้รับก่อนหน้านี้:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y ได

นี่คือวิธีที่เราพบฟังก์ชันที่ต้องการ U (x, y) = 0

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหารีโมทคอนโทรล (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 วิธีแก้ปัญหาทั่วไป.

สารละลาย

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

ตรวจสอบว่าเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 ปี ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 ปี

ตรงตามเงื่อนไขของเรา

จากการคำนวณ เราสามารถสรุปได้ว่าด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์เดิมคือผลรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน U (x, y) = 0 เราจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันนี้

เนื่องจาก (x 2 - y 2) d x - 2 x y dy y คือผลต่างรวมของฟังก์ชัน U (x, y) = 0 ดังนั้น

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

ลองรวมสมการแรกของระบบเทียบกับ x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

ตอนนี้เราแยกความแตกต่างผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยความเคารพ y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

การแปลงสมการที่สองของระบบเราได้รับ: ∂ U ∂ y = - 2 x y . นี่หมายความว่า
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

เราได้: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิมคือ x 3 3 - x y 2 + C = 0

ลองดูวิธีอื่นในการค้นหาฟังก์ชันโดยใช้ค่าผลรวมทั้งหมดที่ทราบ มันเกี่ยวข้องกับการใช้อินทิกรัลส่วนโค้งจากจุดคงที่ (x 0, y 0) ไปยังจุดที่มีพิกัดแปรผัน (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) y + C

ในกรณีเช่นนี้ ค่าของอินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของอินทิกรัลแต่อย่างใด เราสามารถใช้เส้นแบ่งเป็นเส้นทางการรวมซึ่งลิงก์นั้นตั้งอยู่ขนานกับแกนพิกัด

ตัวอย่างที่ 3

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0

สารละลาย

ตรวจสอบว่าเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

ปรากฎว่าด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์แสดงด้วยผลรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน U (x, y) = 0 จำเป็นต้องคำนวณเพื่อหาฟังก์ชันนี้ อินทิกรัลของเส้นจากจุด (1 ; 1) ถึง (x, ย)- ขอให้เราใช้เส้นแบ่งเป็นเส้นทางของการบูรณาการ ซึ่งส่วนต่างๆ จะผ่านไปเป็นเส้นตรง ย = 1จากจุด (1, 1) ถึง (x, 1) และจากจุด (x, 1) ถึง (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

เราได้รับคำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ x y - x y 2 + C = 0

ตัวอย่างที่ 4

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ y · cos x d x + sin 2 x d y = 0

สารละลาย

ตรวจสอบว่าเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่

เนื่องจาก ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x ดังนั้นเงื่อนไขจะไม่เป็นไปตามนั้น ซึ่งหมายความว่าด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ใช่อนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชัน นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออกและวิธีแก้ปัญหาอื่นๆ ก็เหมาะสมสำหรับการแก้สมการนั้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คำจำกัดความ: สมการของแบบฟอร์ม

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

โดยที่ด้านซ้ายคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสองตัว เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์รวม

ให้เราแสดงฟังก์ชันนี้ของตัวแปรสองตัวด้วย F(x,y) จากนั้นสมการ (9) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น dF(x,y) = 0 และสมการนี้มีคำตอบทั่วไป F(x,y) = C

ให้สมการของแบบฟอร์ม (9) ในการที่จะดูว่ามันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวมหรือไม่ คุณต้องตรวจสอบว่านิพจน์นั้นเป็นสมการหรือไม่

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

ผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสองตัว ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องตรวจสอบความเท่าเทียมกัน

สมมติว่าสำหรับนิพจน์ที่กำหนด (10) ความเท่าเทียมกัน (11) เป็นที่พอใจในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ (S) ดังนั้น นิพจน์ (10) จึงเป็นผลต่างรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน F(x,y) ใน (S) ).

ลองพิจารณาดู วิธีถัดไปการหาแอนติเดริเวทีฟนี้ มีความจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชัน F(x,y) เช่นนั้น

โดยที่ฟังก์ชัน (y) จะถูกกำหนดไว้ด้านล่าง จากสูตร (12) จึงเป็นไปตามนั้น

ทุกจุดของภูมิภาค (S) ตอนนี้เรามาเลือกฟังก์ชัน (y) เพื่อให้มีความเท่าเทียมกัน

ในการทำเช่นนี้ เราเขียนความเท่าเทียมกัน (14) ที่เราต้องการใหม่ โดยแทนที่ F(x,y) นิพจน์ตามสูตร (12):

ให้เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพ y ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล (ซึ่งสามารถทำได้ตั้งแต่ P(x,y) และ - ฟังก์ชั่นต่อเนื่องสองตัวแปร):

เนื่องจากตาม (11) ดังนั้นแทนที่ด้วยภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลใน (16) เรามี:

เมื่ออินทิเกรตกับ y แล้ว เราจะพบฟังก์ชัน (y) ซึ่งถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่ทำให้ความเท่าเทียมกัน (14) เป็นที่น่าพอใจ เมื่อใช้ความเท่าเทียมกัน (13) และ (14) เราจะเห็นว่า

ในพื้นที่ (S) (18)

ตัวอย่างที่ 5 ตรวจสอบว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวมแล้วแก้สมการนั้น

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม ที่จริงแล้ว โดยการกำหนด เราเชื่อมั่นเช่นนั้น

และนี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความจริงที่ว่าการแสดงออก

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

คือผลต่างรวมของฟังก์ชัน U(x,y) ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันใน R

ดังนั้น เพื่อรวมสมการเชิงอนุพันธ์นี้ คุณต้องหาฟังก์ชันที่ด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นอนุพันธ์รวม ให้ฟังก์ชันดังกล่าวเป็น U(x,y)

เมื่อรวมด้านซ้ายและขวาเข้าด้วยกันบน x เราจะได้:

ในการหา q(y) เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า

แทนที่ค่าที่พบ μ(y) ลงใน (*) ในที่สุดเราก็ได้ฟังก์ชัน U(x,y):

อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิมมีรูปแบบ

ประเภทพื้นฐานของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ต่อ)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

คำจำกัดความ: สมการเชิงเส้นลำดับที่หนึ่งคือสมการของรูปแบบ

y" + P(x)y = ฉ(x), (21)

โดยที่ P(x) และ f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

ชื่อของสมการอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ y" คือ ฟังก์ชันเชิงเส้นจาก y นั่นคือถ้าเราเขียนสมการ (21) ใหม่ในรูปแบบ y" = - P(x) + f(x) แล้ว ด้านขวามี y เพียงระดับแรกเท่านั้น

ถ้า f(x) = 0 แล้วสมการ

คุณ+ P(x) y = 0 (22)

เรียกว่าสมการเอกพันธ์เชิงเส้น แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้:

y" +P(x)y = 0; ,

ถ้า f(x) ? 0 แล้วสมการ

คุณ+ P(x) y = f(x) (23)

เรียกว่าสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น

ใน กรณีทั่วไปตัวแปรในสมการ (21) ไม่สามารถแยกออกจากกันได้

สมการ (21) ได้รับการแก้ไขดังนี้: เราจะหาคำตอบในรูปแบบของผลคูณของสองฟังก์ชัน U(x) และ V(x):

มาหาอนุพันธ์กัน:

y" = U"V + UV" (25)

และแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x)

มาจัดกลุ่มคำศัพท์ทางด้านซ้าย:

U"V + U = ฉ(x). (26)

ให้เรากำหนดเงื่อนไขให้กับปัจจัยตัวใดตัวหนึ่ง (24) กล่าวคือ เราถือว่าฟังก์ชัน V(x) เป็นเช่นนั้นจนเปลี่ยนนิพจน์เป็น วงเล็บเหลี่ยมใน (26) เช่น ว่าเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

วี" + พี(x)วี = 0 (27)

นี่คือสมการที่มีตัวแปรแยกกันได้ เราจะหา V(x) จากมัน:

ตอนนี้ ลองหาฟังก์ชันกัน U(x) โดยที่เมื่อพบฟังก์ชัน V(x) แล้ว ผลคูณ UV จึงเป็นคำตอบของสมการ (26) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นที่ U(x) จะเป็นคำตอบของสมการ

นี่คือสมการที่แยกออกจากกันไม่ได้

แทนที่ฟังก์ชันที่พบ (28) และ (30) ลงในสูตร (4) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการ (21):

ดังนั้นวิธีที่พิจารณา (วิธีแบร์นูลลี) จึงช่วยลดการแก้ปัญหา สมการเชิงเส้น(21) การแก้สมการสองสมการที่มีตัวแปรที่แยกจากกันไม่ได้

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการ

สมการนี้ไม่เป็นเชิงเส้นด้วยความเคารพต่อ y และ y" แต่จะกลายเป็นเชิงเส้นถ้าเราถือว่า x เป็นฟังก์ชันที่ต้องการและ y เป็นอาร์กิวเมนต์ อันที่จริง เมื่อผ่านไปแล้ว เราได้รับ

ในการแก้สมการผลลัพธ์ เราใช้วิธีทดแทน (เบอร์นูลลี) เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ x(y)=U(y)V(y) จากนั้น เราได้รับสมการ:

ให้เราเลือกฟังก์ชัน V(y) เพื่อสิ่งนั้น แล้ว

ด้านซ้ายมือของสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์มบางครั้งอาจเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันบางอย่าง หากคุณคืนค่าฟังก์ชันจากผลต่างรวม คุณจะพบอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ ในบทความนี้ เราจะอธิบายวิธีการคืนค่าฟังก์ชันจากผลต่างรวม วัสดุทางทฤษฎีเราจะให้ตัวอย่างและงานด้วย คำอธิบายโดยละเอียดโซลูชั่น

ทางด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์คือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน U(x, y) = 0 หากเป็นไปตามเงื่อนไข

เนื่องจากผลต่างรวมของฟังก์ชัน U(x, y) = 0 คือ แล้วถ้าตรงตามเงื่อนไขเราก็บอกได้เลย - เพราะฉะนั้น, .

จากสมการแรกของระบบที่เรามี - คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันได้โดยใช้สมการที่สองของระบบ:

วิธีนี้จะพบฟังก์ชันที่ต้องการ U(x, y) = 0

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ .

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ สภาพเป็นที่พอใจเพราะว่า

ดังนั้น ทางด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์เดิมคือผลรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน U(x, y) = 0 หน้าที่ของเราคือการค้นหาฟังก์ชันนี้

เพราะ คือผลต่างรวมของฟังก์ชัน U(x, y) = 0 แล้ว - เรารวมสมการแรกของระบบด้วยความเคารพต่อ x และแยกแยะผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยความเคารพต่อ y - ในทางกลับกัน จากสมการที่สองของระบบที่เรามี . เพราะฉะนั้น,

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ดังนั้น, และอินทิกรัลทั่วไปของสมการเดิมคือ .

มีอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาฟังก์ชันด้วยผลต่างรวม ประกอบด้วยการเอา อินทิกรัลเส้นโค้งจากจุดคงที่ (x 0 , y 0) ไปยังจุดที่มีพิกัดตัวแปร (x, y): - ในกรณีนี้ ค่าของอินทิกรัลไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของอินทิกรัล สะดวกในการใช้เส้นขาดซึ่งมีลิงก์ขนานกับแกนพิกัดเป็นเส้นทางการรวม

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ .

สารละลาย.

ตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขหรือไม่:

ดังนั้น ทางด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์คือผลรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน U(x, y) = 0 ลองค้นหาฟังก์ชันนี้โดยการคำนวณอินทิกรัลส่วนโค้งจากจุด (1; 1) ถึง (x, y) ในฐานะเส้นทางการรวม เราจะใช้เส้นแบ่ง: ส่วนแรกของเส้นขาดจะไปตามเส้นตรง y = 1 จากจุด (1, 1) ถึง (x, 1) ส่วนที่สองของเส้นทางจะ นำส่วนของเส้นตรงจากจุด (x, 1) ถึง (x, y)

คำนิยาม 8.4สมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม

ที่ไหน
เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์รวม

โปรดทราบว่าด้านซ้ายของสมการคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน
.

โดยทั่วไปสมการ (8.4) สามารถแสดงได้เป็น

แทนที่จะเป็นสมการ (8.5) เราสามารถพิจารณาสมการได้

,

วิธีแก้คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ (8.4) ดังนั้นในการแก้สมการ (8.4) จึงจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชัน
- ตามคำจำกัดความของสมการ (8.4) เราได้

(8.6)

การทำงาน
เราจะค้นหาฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเหล่านี้ (8.6):

ที่ไหน - ฟังก์ชั่นตามอำเภอใจ, เป็นอิสระจาก .

การทำงาน
ถูกกำหนดเพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขที่สองของนิพจน์ (8.6)

(8.7)

จากนิพจน์ (8.7) ฟังก์ชันจะถูกกำหนด
- การแทนที่มันลงในนิพจน์สำหรับ
และได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม

ปัญหา 8.3สมการอินทิกรัล

ที่นี่
.

ดังนั้นสมการนี้จึงอยู่ในประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ในอนุพันธ์รวม การทำงาน
เราจะค้นหามันในรูปแบบ

.

อีกด้านหนึ่ง

.

ในบางกรณีมีสภาพ
ไม่อาจเติมเต็มได้

จากนั้นสมการดังกล่าวก็จะลดลงเหลือประเภทที่พิจารณาโดยการคูณด้วยสิ่งที่เรียกว่าตัวประกอบอินทิเกรต ซึ่งโดยทั่วๆ ไปจะเป็นฟังก์ชันเท่านั้น หรือ .

หากสมการบางสมการมีปัจจัยอินทิเกรตที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น แล้วจึงถูกกำหนดโดยสูตร

ความสัมพันธ์อยู่ที่ไหน ควรเป็นฟังก์ชันเท่านั้น .

ในทำนองเดียวกันปัจจัยการบูรณาการขึ้นอยู่กับเท่านั้น ถูกกำหนดโดยสูตร

ความสัมพันธ์อยู่ที่ไหน
ควรเป็นฟังก์ชันเท่านั้น .

ขาดความสัมพันธ์ที่กำหนด ในกรณีแรก ของตัวแปร และในวินาที - ตัวแปร , เป็นสัญญาณของการมีอยู่ของปัจจัยการอินทิเกรตสำหรับสมการที่กำหนด

ปัญหา 8.4.ลดสมการนี้ให้เป็นสมการในผลต่างรวม

.

พิจารณาความสัมพันธ์:

.

หัวข้อ 8.2. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

คำจำกัดความ 8.5- สมการเชิงอนุพันธ์
เรียกว่าเชิงเส้นถ้าเป็นเชิงเส้นตามฟังก์ชันที่ต้องการ อนุพันธ์ของมัน และไม่มีผลคูณของฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมัน

รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแสดงด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

(8.8)

หากสัมพันธ์กัน (8.8) ทางด้านขวา
จากนั้นสมการดังกล่าวเรียกว่าเอกพันธ์เชิงเส้น ในกรณีที่อยู่ทางด้านขวา
จากนั้นสมการดังกล่าวเรียกว่าเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ให้เราแสดงว่าสมการ (8.8) สามารถบูรณาการในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้

ในระยะแรก เราจะพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

สมการดังกล่าวเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก จริงหรือ,

;

/

ความสัมพันธ์สุดท้ายจะเป็นตัวกำหนดคำตอบทั่วไปของเส้นตรง สมการเอกพันธ์.

ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการอินเอกจีนัสเชิงเส้น จะใช้วิธีการเปลี่ยนอนุพันธ์ของค่าคงที่ แนวคิดของวิธีนี้คือคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นอยู่ในรูปแบบเดียวกับคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน แต่เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ ถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันบางอย่าง
ที่จะถูกกำหนด ดังนั้นเราจึงมี:

(8.9)

การแทนที่ความสัมพันธ์ (8.8) นิพจน์ที่สอดคล้องกัน
และ
เราได้รับ

แทนที่นิพจน์สุดท้ายเป็นความสัมพันธ์ (8.9) เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจึงถูกกำหนดโดยพื้นที่สองส่วน ได้แก่ คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น และคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

ปัญหา 8.5สมการอินทิกรัล

ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงอยู่ในประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น

ในระยะแรก เราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

;

ในขั้นที่สอง เราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นซึ่งพบในรูปแบบ

,

ที่ไหน
- ฟังก์ชั่นที่จะกำหนด

ดังนั้นเราจึงมี:

ทดแทนความสัมพันธ์ของ และ ในสมการเชิงเส้นตรงแบบไม่เอกพันธ์ดั้งเดิมที่เราได้รับ:

;

;

.

ผลเฉลยทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นจะมีรูปแบบดังนี้

.