ในสมการการสั่นของฮาร์มอนิก คุณ อืม สมการการสั่นแบบฮาร์มอนิก

การสั่นแบบฮาร์มอนิกเป็นปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของปริมาณบางส่วน ซึ่งการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์มีลักษณะของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณที่ผันแปรตามเวลาดังต่อไปนี้ผันผวนอย่างสอดคล้องกัน:

โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลง, t คือเวลา, พารามิเตอร์ที่เหลือเป็นค่าคงที่: A คือแอมพลิจูดของการแกว่ง, ω คือความถี่ของวัฏจักรของการแกว่ง, คือเฟสเต็มของการแกว่ง, คือเฟสเริ่มต้นของ การสั่น

การสั่นของฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(คำตอบที่ไม่สำคัญใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นวงกลม)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

การแกว่งอย่างอิสระจะดำเนินการภายใต้การกระทำของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกนำออกจากสมดุล เพื่อให้การสั่นแบบอิสระเป็นฮาร์มอนิก จำเป็นที่ระบบการสั่นจะต้องเป็นแบบเส้นตรง (อธิบายโดยสมการเชิงเส้นของการเคลื่อนที่) และไม่ควรมีการกระจายพลังงานในนั้น (อันหลังจะทำให้เกิดการหน่วง)

การสั่นแบบบังคับจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของแรงเป็นระยะภายนอก เพื่อให้พวกมันเป็นฮาร์มอนิก ก็เพียงพอแล้วที่ระบบการสั่นจะเป็นแบบเส้นตรง (อธิบายโดยสมการเชิงเส้นของการเคลื่อนที่) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซน์) .

สมการการสั่นแบบฮาร์มอนิก

สมการ (1)

ให้การพึ่งพาของค่าที่ผันผวน S ตามเวลา t; นี่คือสมการของการสั่นของฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม สมการของการแกว่งมักจะเข้าใจว่าเป็นบันทึกที่แตกต่างกันของสมการนี้ ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล เพื่อความชัดเจน เราใช้สมการ (1) ในแบบฟอร์ม

แยกความแตกต่างออกเป็นสองเท่าตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการสั่นแบบฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง จึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ เพื่อกำหนดค่าคงที่ A และ   ที่รวมอยู่ในสมการ (1) ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบสั่นที่ t = 0

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือออสซิลเลเตอร์ซึ่งเป็นระบบทางกลที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่อยู่บนเส้นด้ายที่ยืดออกไม่ได้หรือบนแท่งไร้น้ำหนักในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ ระยะเวลาของการเกิดลักษณะเฉพาะเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มีความยาว l ซึ่งแขวนนิ่งโดยไม่เคลื่อนไหวในสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอพร้อมความเร่งของการตกอย่างอิสระ g เท่ากับ

และไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มเชิงกายภาพคือออสซิลเลเตอร์ซึ่งเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งในสนามของแรงใดๆ เกี่ยวกับจุดที่ไม่ใช่ศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ หรือแกนคงที่ซึ่งตั้งฉากกับทิศทางของแรงและไม่ผ่าน ศูนย์กลางมวลของร่างกายนี้

ทางเลือกของเฟสเริ่มต้นทำให้เมื่ออธิบายการสั่นของฮาร์มอนิก ให้เปลี่ยนจากฟังก์ชันไซน์ไปเป็นฟังก์ชันโคไซน์:

การสั่นของฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล:

เพื่อให้การสั่นสะเทือนอย่างอิสระเกิดขึ้นตามกฎของฮาร์มอนิก จำเป็นที่แรงที่ดึงวัตถุกลับสู่ตำแหน่งสมดุลจะต้องเป็นสัดส่วนกับการกระจัดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุลและไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด :

มวลของร่างกายที่สั่นอยู่ที่ไหน

ระบบทางกายภาพที่สามารถมีการสั่นของฮาร์มอนิกได้เรียกว่า ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก,และสมการของการสั่นของฮาร์มอนิกคือ สมการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

1.2. เพิ่มการสั่นสะเทือน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ระบบจะเข้าร่วมการแกว่งอิสระสองครั้งหรือมากกว่าพร้อมกัน ในกรณีเหล่านี้ จะเกิดการเคลื่อนที่แบบสั่นที่ซับซ้อนซึ่งสร้างขึ้นโดยการวางซ้อน (เพิ่ม) การสั่นสะเทือนซึ่งกันและกัน เห็นได้ชัดว่ากรณีของการรวมการสั่นนั้นมีความหลากหลายมาก พวกเขาไม่เพียงขึ้นอยู่กับจำนวนของการสั่นที่เพิ่มเข้ามาเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์การสั่นด้วย ความถี่ เฟส แอมพลิจูด ทิศทาง เป็นไปไม่ได้ที่จะทบทวนกรณีต่างๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของผลรวมของการสั่น ดังนั้นเราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาเฉพาะตัวอย่างแต่ละตัวอย่างเท่านั้น

การเพิ่มการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่กำกับไปตามเส้นตรงหนึ่งเส้น

พิจารณาการเพิ่มการแกว่งที่กำกับอย่างเท่าเทียมกันในช่วงเวลาเดียวกัน แต่แตกต่างกันในเฟสเริ่มต้นและแอมพลิจูด สมการของการแกว่งที่เพิ่มเข้ามาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้:

ที่ไหนและมีการกระจัด; และเป็นแอมพลิจูด และเป็นช่วงเริ่มต้นของการแกว่งที่เพิ่มเข้ามา

รูปที่ 2

สะดวกในการกำหนดแอมพลิจูดของการสั่นที่เกิดขึ้นโดยใช้ไดอะแกรมเวกเตอร์ (รูปที่ 2) ซึ่งเวกเตอร์ของแอมพลิจูดและการสั่นรวมจะถูกพล็อตที่มุมและกับแกน และตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน แอมพลิจูดเวกเตอร์ของ ได้รับการสั่นทั้งหมด

หากเราหมุนระบบของเวกเตอร์อย่างสม่ำเสมอ (สี่เหลี่ยมด้านขนาน) และฉายเวกเตอร์บนแกน , จากนั้นเส้นโครงของพวกมันจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกตามสมการที่กำหนด การจัดเรียงร่วมกันของเวกเตอร์ และในเวลาเดียวกันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นการเคลื่อนที่แบบแกว่งของการฉายของเวกเตอร์ที่ได้ก็จะฮาร์มอนิกด้วย

นี่สรุปเป็นนัยว่าการเคลื่อนที่ทั้งหมดเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นวงรอบตามที่กำหนด เรากำหนดโมดูลัสแอมพลิจูด แต่ส่งผลให้เกิดความผันผวน เป็นมุม (จากความเท่ากันของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

เพราะเหตุนี้,

จากที่นี่: .

ตามทฤษฎีบทโคไซน์ จะได้ว่า

ระยะเริ่มต้นของการสั่นที่เกิดขึ้นนั้นพิจารณาจาก:

ความสัมพันธ์ของเฟสและแอมพลิจูดทำให้สามารถค้นหาแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นและเขียนสมการได้:

เต้น

ให้เราพิจารณากรณีที่ความถี่ของการสั่นสองความถี่ที่เพิ่มเข้ามาแตกต่างกันเล็กน้อยจากกันและกัน และให้แอมพลิจูดเหมือนกันและเฟสเริ่มต้น เช่น

เราเพิ่มสมการเหล่านี้ในการวิเคราะห์:

มาแปลงร่างกันเถอะ

ข้าว. 3.

เนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ค่านี้จึงไม่สามารถเรียกว่าแอมพลิจูดในความหมายเต็มของคำนี้ได้ (แอมพลิจูดเป็นค่าคงที่) ตามอัตภาพ ค่านี้สามารถเรียกว่าแอมพลิจูดของตัวแปร กราฟของความผันผวนดังกล่าวแสดงในรูปที่ 3 การสั่นที่เพิ่มเข้ามามีแอมพลิจูดเหมือนกัน แต่คาบต่างกัน ในขณะที่คาบกับต่างกันเล็กน้อย เมื่อเพิ่มการสั่นดังกล่าว จะสังเกตการเต้น จำนวนจังหวะต่อวินาทีถูกกำหนดโดยความแตกต่างของความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้าไป เช่น

สามารถสังเกตจังหวะได้เมื่อส้อมเสียงสองตัวส่งเสียง หากความถี่และการสั่นอยู่ใกล้กัน

การเพิ่มการสั่นในแนวตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ปล่อยให้จุดวัสดุมีส่วนร่วมในการสั่นฮาร์มอนิกสองครั้งที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวกันในสองทิศทางที่ตั้งฉากกัน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถเชื่อมโยงกับทิศทางเหล่านี้ได้โดยการวางจุดกำเนิดที่ตำแหน่งสมดุลของจุด ให้เราแสดงการกระจัดของจุด C ตามแกน และ ตามลำดับ ผ่าน และ . (รูปที่ 4)

พิจารณากรณีพิเศษหลายประการ

1). ระยะเริ่มต้นของการแกว่งจะเหมือนกัน

ให้เราเลือกช่วงเวลาเริ่มต้นของการนับถอยหลังในลักษณะที่ระยะเริ่มต้นของการแกว่งทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นการกระจัดตามแกนและสามารถแสดงโดยสมการ:

การหารความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นระยะๆ เราได้สมการสำหรับเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุด C:
หรือ .

ดังนั้น จากการเพิ่มการสั่นแบบตั้งฉากร่วมกันสองครั้ง จุด C จะแกว่งไปตามส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด (รูปที่ 4)

ข้าว. สี่

2). ความแตกต่างของเฟสเริ่มต้นคือ :

สมการการสั่นในกรณีนี้มีรูปแบบ:

สมการวิถีจุด:

ดังนั้น จุด C จะแกว่งไปตามส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด แต่อยู่ในควอแดรนต์อื่นที่ไม่ใช่กรณีแรก แอมพลิจูด แต่ส่งผลให้ความผันผวนในทั้งสองกรณีที่พิจารณามีค่าเท่ากับ:

3). ความแตกต่างของเฟสเริ่มต้นคือ .

สมการการสั่นมีรูปแบบ:

หารสมการแรกด้วยและที่สองด้วย:

เรายกกำลังสองความเท่าเทียมกันและเพิ่มเข้าไป เราได้สมการต่อไปนี้สำหรับเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดสั่น:

จุดสั่น C เคลื่อนไปตามวงรีโดยมีแกนกึ่งและ ด้วยแอมพลิจูดที่เท่ากัน วิถีการเคลื่อนที่ทั้งหมดจะเป็นวงกลม ในกรณีทั่วไป สำหรับ แต่ทวีคูณ เช่น เมื่อเพิ่มการสั่นในแนวตั้งฉากร่วมกัน จุดสั่นจะเคลื่อนไปตามเส้นโค้งที่เรียกว่า ตัวเลข Lissajous

ตัวเลข Lissajous

ตัวเลขของ Lissajous- วิถีปิดที่วาดโดยจุดที่ทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกสองครั้งพร้อมกันในสองทิศทางที่ตั้งฉากกัน

ศึกษาครั้งแรกโดย Jules Antoine Lissajous นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส รูปร่างของตัวเลขขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างช่วงเวลา (ความถี่) เฟสและแอมพลิจูดของการสั่นทั้งสอง(รูปที่ 5)

รูปที่ 5

ในกรณีที่ง่ายที่สุดของความเท่าเทียมกันของทั้งสองช่วงเวลา ตัวเลขคือวงรีซึ่งมีความแตกต่างของเฟสหรือเสื่อมลงในส่วนของเส้น และด้วยความแตกต่างของเฟสและความเท่าเทียมกันของแอมพลิจูดจะกลายเป็นวงกลม หากช่วงเวลาของการแกว่งทั้งสองไม่ตรงกัน ความแตกต่างของเฟสจะเปลี่ยนไปตลอดเวลา อันเป็นผลให้วงรีมีรูปร่างผิดปกติตลอดเวลา ไม่พบตัวเลข Lissajous ในช่วงเวลาที่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ อย่างไรก็ตาม หากช่วงเวลามีความสัมพันธ์กันเป็นจำนวนเต็ม หลังจากช่วงเวลาที่มีค่าเท่ากับผลคูณที่น้อยที่สุดของทั้งสองช่วงเวลา จุดเคลื่อนที่จะกลับสู่ตำแหน่งเดิมอีกครั้ง - จะได้ตัวเลข Lissajous ในรูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้น
ตัวเลข Lissajous พอดีกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด และด้านข้างขนานกับแกนพิกัดและอยู่ทั้งสองด้านของแกนดังกล่าวในระยะทางเท่ากับแอมพลิจูดการสั่น (รูปที่ 6)

« ฟิสิกส์ - เกรด 11"

ความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดตามเวลา

ความเร็วชั่วขณะของจุดคืออนุพันธ์ของพิกัดของจุดตามเวลา
ความเร่งของจุดคืออนุพันธ์ของความเร็วตามเวลา หรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัดตามเวลา
ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ x" เป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดตามเวลา

ด้วยแรงสั่นสะเทือนอิสระ พิกัด เอ็กซ์เปลี่ยนตามเวลาเพื่อให้อนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพิกัดนั้นและตรงกันข้ามกับเครื่องหมายของมัน

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

จากคณิตศาสตร์: อนุพันธ์อันดับสองของไซน์และโคไซน์ในอาร์กิวเมนต์นั้นเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันเอง โดยใช้เครื่องหมายตรงกันข้าม และไม่มีฟังก์ชันอื่นใดที่มีคุณสมบัตินี้
นั่นเป็นเหตุผล:
พิกัดของร่างกายที่ทำการแกว่งอย่างอิสระจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์

การเปลี่ยนแปลงเป็นระยะในปริมาณทางกายภาพขึ้นอยู่กับเวลาซึ่งเกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์เรียกว่า การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก.

แอมพลิจูดของการสั่น

แอมพลิจูดการสั่นของฮาร์มอนิกเรียกว่าโมดูลของการกระจัดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล

แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยสภาวะเริ่มต้น หรือโดยพลังงานที่ร่างกายได้รับ

พล็อตของพิกัดของร่างกายกับเวลาเป็นคลื่นโคไซน์

x = x m คอส ω 0 t

จากนั้นสมการการเคลื่อนที่ที่อธิบายการสั่นอิสระของลูกตุ้ม:

ระยะเวลาและความถี่ของการสั่นของฮาร์มอนิก

ระหว่างการสั่นสะเทือน การเคลื่อนไหวของร่างกายจะถูกทำซ้ำเป็นระยะ
ช่วงเวลา T ในระหว่างที่ระบบทำงานครบหนึ่งรอบของการสั่นเรียกว่า ระยะเวลาของการสั่น.

ความถี่การสั่นคือจำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลา
หากการสั่นหนึ่งครั้งเกิดขึ้นในเวลา T ดังนั้นจำนวนการสั่นต่อวินาที

ในระบบหน่วยสากล (SI) หน่วยของความถี่เรียกว่า เฮิรตซ์(Hz) เพื่อเป็นเกียรติแก่ G. Hertz นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน

จำนวนการแกว่งใน 2π s คือ:

ค่าของ ω 0 คือความถี่การสั่นแบบวงกลม (หรือแบบวงกลม)
หลังจากช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับหนึ่งช่วงเวลา การสั่นจะเกิดขึ้นซ้ำ

ความถี่ของการสั่นสะเทือนอิสระเรียกว่า ความถี่ธรรมชาติระบบสั่น
บ่อยครั้ง เพื่อความกระชับ ความถี่แบบวนรอบจะเรียกง่ายๆ ว่าความถี่

ขึ้นอยู่กับความถี่และระยะเวลาของการสั่นอิสระกับคุณสมบัติของระบบ

1.สำหรับลูกตุ้มสปริง

ความถี่ธรรมชาติของการสั่นของลูกตุ้มสปริงเท่ากับ:

ยิ่งสปริงมีความแข็งมากเท่าไร k ยิ่งน้อยเท่าไร มวลกาย m ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
สปริงที่แข็งจะให้ความเร่งแก่ร่างกายมากขึ้น เปลี่ยนความเร็วของร่างกายเร็วขึ้น และยิ่งร่างกายมีมวลมากขึ้น การเปลี่ยนแปลงความเร็วช้าลงภายใต้อิทธิพลของแรง

ระยะเวลาการแกว่งคือ:

ระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มสปริงไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

2.สำหรับลูกตุ้มด้าย

ความถี่ธรรมชาติของการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มุมเล็ก ๆ ของการเบี่ยงเบนของเธรดจากแนวตั้งขึ้นอยู่กับความยาวของลูกตุ้มและความเร่งของการตกอย่างอิสระ:

ช่วงเวลาของการสั่นเหล่านี้คือ

ระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มฟิลาเมนต์ที่มุมโก่งตัวเล็กน้อยไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดการสั่น

ระยะเวลาของการสั่นจะเพิ่มขึ้นตามความยาวของลูกตุ้ม ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม

ยิ่ง g น้อยลง ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มก็จะยิ่งนานขึ้น และส่งผลให้นาฬิกาของลูกตุ้มเดินช้าลง ดังนั้นนาฬิกาที่มีลูกตุ้มในรูปของน้ำหนักบนแท่งจะตกช้าในหนึ่งวันเกือบ 3 วินาทีหากยกขึ้นจากชั้นใต้ดินไปยังชั้นบนของมหาวิทยาลัยมอสโก (สูง 200 ม.) และนี่เป็นเพียงการลดลงของการเร่งความเร็วของการตกอย่างอิสระด้วยความสูง

§ 6. การสั่นไหวเชิงกลสูตรพื้นฐาน

สมการการสั่นแบบฮาร์มอนิก

ที่ไหน เอ็กซ์ -การกระจัดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ที- เวลา; แต่,ω, φ- ตามลำดับแอมพลิจูด, ความถี่เชิงมุม, ระยะเริ่มต้นของการแกว่ง; - เฟสของการแกว่งในขณะนี้ ที.

ความถี่การสั่นเชิงมุม

โดยที่ ν และ T คือความถี่และคาบของการสั่น

ความเร็วของจุดที่ทำให้เกิดการสั่นแบบฮาร์มอนิก

ความเร่งฮาร์มอนิก

แอมพลิจูด แต่การสั่นที่เกิดขึ้นจากการเพิ่มการสั่นสองครั้งที่มีความถี่เดียวกันซึ่งเกิดขึ้นตามเส้นตรงเส้นเดียวนั้นถูกกำหนดโดยสูตร

ที่ไหน ก 1 และ แต่ 2 - แอมพลิจูดของส่วนประกอบการสั่น φ 1 และ φ 2 - ระยะเริ่มต้น

ระยะเริ่มต้น φ ของการสั่นที่เกิดขึ้นสามารถพบได้จากสูตร

ความถี่ของจังหวะที่เกิดจากการเพิ่มของการสั่นสองครั้งที่เกิดขึ้นตามแนวเส้นตรงเดียวกันโดยมีค่าต่างกัน แต่มีค่าใกล้เคียงกัน ความถี่ ν 1 และ ν 2

สมการของเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดที่มีส่วนร่วมในการแกว่งตั้งฉากร่วมกันสองครั้งด้วยแอมพลิจูด A 1 และ A 2 และเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2

หากเฟสเริ่มต้น φ 1 และ φ 2 ของส่วนประกอบการสั่นเท่ากัน สมการวิถีการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูปแบบ

กล่าวคือ จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

ในกรณีที่ความแตกต่างของเฟส สมการจะอยู่ในรูปแบบ

นั่นคือจุดเคลื่อนที่ไปตามวงรี

สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นฮาร์มอนิกของจุดวัสดุ

, หรือ โดยที่ m คือมวลของจุด เค- ค่าสัมประสิทธิ์ของแรงกึ่งยืดหยุ่น ( เค=ทีω 2)

พลังงานทั้งหมดของจุดวัสดุทำให้เกิดการสั่นแบบฮาร์มอนิก

ระยะเวลาของการแกว่งของร่างกายที่แขวนอยู่บนสปริง (ลูกตุ้มสปริง)

ที่ไหน ม- มวลร่างกาย; เค- ความแข็งของสปริง สูตรนี้ใช้ได้สำหรับการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นภายในขอบเขตที่ปฏิบัติตามกฎของฮุค (โดยมีมวลเล็กน้อยของสปริงเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย)

ช่วงเวลาของการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ที่ไหน ล- ความยาวลูกตุ้ม ช- การเร่งแรงโน้มถ่วง ระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ

ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยของตัวสั่นรอบแกน

ความผันผวน; ก- ระยะห่างของจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มจากแกนการแกว่ง

ลดความยาวของลูกตุ้มทางกายภาพ

สูตรข้างต้นถูกต้องสำหรับกรณีของแอมพลิจูดขนาดเล็กมาก สำหรับแอมพลิจูดที่จำกัด สูตรเหล่านี้ให้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่านั้น ที่แอมพลิจูดไม่เกินข้อผิดพลาดในค่าของช่วงเวลาไม่เกิน 1%

ระยะเวลาของการสั่นสะเทือนบิดของร่างกายที่แขวนอยู่บนด้ายยางยืด

ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายรอบแกนที่สอดคล้องกับด้ายยางยืด เค- ความแข็งของด้ายยืดหยุ่นเท่ากับอัตราส่วนของโมเมนต์ยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นเมื่อด้ายบิดเป็นมุมที่ด้ายบิด

สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบหน่วง , หรือ ,

ที่ไหน ร- ค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน δ - ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วง: ;ω 0 - ความถี่เชิงมุมตามธรรมชาติของการสั่นสะเทือน *

สมการการสั่นแบบหน่วง

ที่ไหน ที่)- แอมพลิจูดของการแกว่งที่ลดลงในขณะนี้ เสื้อ;ω คือความถี่เชิงมุม

ความถี่เชิงมุมของการสั่นแบบหน่วง

О การขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงตามเวลา

ฉัน

ที่ไหน แต่ 0 - แอมพลิจูดของการแกว่งในขณะนี้ ที=0.

การลดลงของการสั่นแบบลอการิทึม

ที่ไหน ที่)และ เอ(t+T)- แอมพลิจูดของการสั่นต่อเนื่องสองครั้งที่แยกออกจากกันในช่วงเวลาหนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบบังคับ

โดยที่แรงเป็นระยะภายนอกที่กระทำต่อจุดวัสดุที่สั่นและทำให้เกิดการสั่นแบบบังคับ ฉ 0 - ค่าแอมพลิจูดของมัน

ความกว้างของการสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ

ความถี่เรโซแนนซ์และแอมพลิจูดเรโซแนนซ์ และ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1จุดแกว่งตามกฎหมาย x(เสื้อ)=, ที่ไหน เอ=2ดูกำหนดเฟสเริ่มต้น φ ถ้า

x(0)=ซม. และ เอ็กซ์ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента ที=0.

วิธีการแก้. เราใช้สมการการเคลื่อนที่และแสดงการกระจัดในขณะนั้น ที=0 ผ่านระยะเริ่มต้น:

จากที่นี่เราจะพบระยะเริ่มต้น:

* ในสูตรที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้สำหรับการสั่นของฮาร์มอนิก ค่าเดียวกันจะแสดงโดย ω (โดยไม่มีดัชนี 0)

แทนค่าที่กำหนดลงในนิพจน์นี้ x(0) และ แต่:φ= = . ค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นไปตามค่ามุมสองค่า:

เพื่อที่จะตัดสินใจว่าค่าใดของมุม φ ที่ตรงตามเงื่อนไข อันดับแรกเราจะพบ:

แทนค่าลงในนิพจน์นี้ ที=0 และสลับค่าของเฟสเริ่มต้นและเราพบ

ต ตกลงเช่นเคย ก>0 และ ω>0 จากนั้นเฉพาะค่าแรกของเฟสเริ่มต้นเท่านั้นที่เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นระยะเริ่มต้นที่ต้องการ

จากค่าที่พบของ φ เราจะสร้างไดอะแกรมเวกเตอร์ (รูปที่ 6.1) ตัวอย่างที่ 2จุดวัสดุที่มีมวล ที\u003d 5 g ทำการสั่นฮาร์มอนิกด้วยความถี่ ν =0.5 เฮิรตซ์ แอมพลิจูดของการสั่น ก=3 ซม. กำหนด: 1) ความเร็ว υ ชี้ไปที่เวลาที่ชดเชย x== 1.5 ซม. 2) แรงสูงสุด F สูงสุดที่กระทำต่อจุดนั้น 3) มะเดื่อ 6.1 พลังงานทั้งหมด อีจุดสั่น

และเราได้รับสูตรความเร็วโดยการหาอนุพันธ์ครั้งแรกของการกระจัด:

ในการแสดงความเร็วในแง่ของการกระจัด ต้องแยกเวลาออกจากสูตร (1) และ (2) ในการทำเช่นนี้ เราจะยกกำลังสองสมการ หารสมการแรกด้วย แต่ 2 , ที่สองใน A 2 ω 2 และเพิ่ม:

, หรือ

การแก้สมการสุดท้ายสำหรับ υ , หา

หลังจากทำการคำนวณตามสูตรนี้แล้ว เราได้รับ

เครื่องหมายบวกสอดคล้องกับกรณีที่ทิศทางของความเร็วตรงกับทิศทางบวกของแกน เอ็กซ์,เครื่องหมายลบ - เมื่อทิศทางของความเร็วตรงกับทิศทางลบของแกน เอ็กซ์

การกระจัดระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิก นอกจากสมการ (1) สามารถกำหนดได้ด้วยสมการ

คำตอบเดิมซ้ำกับสมการนี้ เราจะได้คำตอบเดียวกัน

2. แรงที่กระทำต่อจุด เราพบตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:

ที่ไหน เอ -ความเร่งของจุดหนึ่ง ซึ่งเราได้รับจากการหาอนุพันธ์ของเวลา:

เราได้รับนิพจน์การเร่งความเร็วแทนในสูตร (3)

ดังนั้นค่าสูงสุดของแรง

แทนค่าของ π, ν, ลงในสมการนี้ ทีและ เอหา

3. พลังงานทั้งหมดของจุดสั่นคือผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ที่คำนวณได้สำหรับช่วงเวลาใดๆ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพลังงานทั้งหมดคือในขณะที่พลังงานจลน์ถึงค่าสูงสุด ณ จุดนี้ พลังงานศักย์เป็นศูนย์ ดังนั้นพลังงานทั้งหมด อีจุดสั่นเท่ากับพลังงานจลน์สูงสุด

กำหนดความเร็วสูงสุดจากสูตร (2) การตั้งค่า: . เราพบว่าการแทนที่นิพจน์ความเร็วเป็นสูตร (4)

เราได้รับค่าของปริมาณแทนในสูตรนี้และทำการคำนวณ

หรือ mcJ.

ตัวอย่างที่ 3ที่ปลายแท่งบางๆ ล= 1 ม. และน้ำหนัก ม 3 =400 กรัม ลูกบอลขนาดเล็กเสริมด้วยมวล ม 1=200 ก และ ม 2 =300g. แกนจะแกว่งรอบแกนนอนในแนวตั้งฉากกับ

แท่ง dicular และผ่านตรงกลาง (จุด O ในรูป 6.2) กำหนดระยะเวลา ตการสั่นสะเทือนที่ทำโดยไม้เรียว

วิธีการแก้. ระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพซึ่งเป็นแท่งกับลูกบอลถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

ที่ไหน เจ- เสื้อ -น้ำหนักของมัน ล จาก - ระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มถึงแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มนี้เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอล เจ 1 และ เจ 2 และก้าน เจ 3:

เราแสดงช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของลูกบอลโดยใช้ลูกบอลเป็นจุดสำคัญ:

เนื่องจากแกนผ่านจุดกึ่งกลางของแกน ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนี้ เจ 3 = =. การแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ เจ 1 , เจ 2 และ เจ 3 ในสูตร (2) เราพบโมเมนต์ความเฉื่อยทั้งหมดของลูกตุ้มทางกายภาพ:

เราพบการคำนวณโดยใช้สูตรนี้

ข้าว. 6.2 มวลของลูกตุ้มประกอบด้วยมวลของลูกบอลและมวลของแท่ง:

ระยะทาง ล จาก เราหาจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มจากแกนการแกว่ง โดยพิจารณาจากสิ่งต่อไปนี้ ถ้าแกน เอ็กซ์ตรงไปตามแกนและจัดจุดกำเนิดให้ตรงกับจุด โอแล้วได้ระยะทางที่ต้องการ ลเท่ากับพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม นั่นคือ

การแทนค่าของปริมาณ ม 1 , ม 2 , ม, ลและทำการคำนวณ เราพบ

เมื่อทำการคำนวณตามสูตร (1) เราได้ระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพ:

ตัวอย่างที่ 4ลูกตุ้มทางกายภาพเป็นแท่งที่มีความยาว ล= 1 ม. และน้ำหนัก 3 ที 1 กับติดกับปลายด้านหนึ่งด้วยห่วงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางและมวล ที 1 . แกนนอน ออนซ์

ลูกตุ้มผ่านกลางแกนตั้งฉากกับมัน (รูปที่ 6.3) กำหนดระยะเวลา ตการสั่นของลูกตุ้มดังกล่าว

วิธีการแก้. ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มทางกายภาพถูกกำหนดโดยสูตร

(1)

ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มรอบแกนการแกว่ง เสื้อ -น้ำหนักของมัน ลค - ระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้มถึงแกนการสั่น

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแกน เจ 1 และห่วง เจ 2:

(2).

โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนเทียบกับแกนที่ตั้งฉากกับแกนและผ่านจุดศูนย์กลางมวลถูกกำหนดโดยสูตร . ในกรณีนี้ เสื้อ= 3ที 1 และ

เราหาโมเมนต์ความเฉื่อยของห่วงโดยใช้ทฤษฎีบทสไตเนอร์ ,ที่ไหน เจ- โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนโดยพลการ เจ 0 - โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลขนานกับแกนที่กำหนด เอ -ระยะห่างระหว่างแกนที่ระบุ ใช้สูตรนี้กับห่วงที่เราได้รับ

การแทนที่นิพจน์ เจ 1 และ เจ 2 ในสูตร (2) เราพบโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มรอบแกนหมุน:

ระยะทาง ล จาก จากแกนของลูกตุ้มถึงจุดศูนย์กลางมวลคือ

แทนลงในสูตร (1) นิพจน์ เจ, ล c และมวลของลูกตุ้ม เราจะหาคาบการแกว่งของมัน:

หลังจากคำนวณตามสูตรนี้แล้ว เราจะได้ ต\u003d 2.17 วินาที

ตัวอย่างที่ 5เพิ่มการสั่นสองครั้งในทิศทางเดียวกัน ซึ่งแสดงโดยสมการ ; เอ็กซ์ 2 = = ที่ไหน แต่ 1 = 1 ซม. ก 2 \u003d 2 ซม. s, s, ω \u003d \u003d 1. กำหนดระยะเริ่มต้น φ 1 และ φ 2 ของส่วนประกอบของการสั่น

บานี 2. ค้นหาแอมพลิจูด แต่และเฟสเริ่มต้น φ ของการสั่นที่เกิดขึ้น เขียนสมการสำหรับการสั่นที่เกิดขึ้น

วิธีการแก้. 1. สมการของการสั่นของฮาร์มอนิกมีรูปแบบ

แปลงสมการที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาให้เป็นรูปแบบเดียวกัน:

จากการเปรียบเทียบนิพจน์ (2) กับความเท่าเทียมกัน (1) เราพบเฟสเริ่มต้นของการแกว่งที่หนึ่งและสอง:

ดีใจและ ยินดี.

2. เพื่อกำหนดความกว้าง แต่จากความผันผวนที่เกิดขึ้นจะสะดวกในการใช้แผนภาพเวกเตอร์ที่นำเสนอ ข้าว. 6.4. ตามทฤษฎีบทโคไซน์ เราได้รับ

ความแตกต่างของเฟสของส่วนประกอบการสั่นอยู่ที่ไหน ตั้งแต่ จากนั้นแทนค่าที่พบ φ 2 และ φ 1 เราจะได้รับ rad

แทนค่า แต่ 1 , แต่ 2 และลงในสูตร (3) และทำการคำนวณ:

ก= 2.65 ซม.

แทนเจนต์ของเฟสเริ่มต้น φ ของการสั่นที่เกิดขึ้นสามารถกำหนดได้โดยตรงจากรูปที่ 6.4: ซึ่งเป็นระยะเริ่มต้น

การสั่นแบบฮาร์มอนิกคือการสั่นที่ปริมาณทางกายภาพเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาตามกฎฮาร์มอนิก (ไซน์ซอยด์, โคไซน์) สามารถเขียนสมการการสั่นของฮาร์มอนิกได้ดังนี้
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
หรือ
X(t) = A∙บาป(ω t+φ )

X - ความเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลา t
A - แอมพลิจูดการสั่น ขนาดของ A เท่ากับขนาดของ X
ω - ความถี่เป็นวงกลม rad/s (เรเดียนต่อวินาที)
φ - ระยะเริ่มต้น rad
เสื้อ - เวลา s
T - ระยะเวลาการแกว่ง s
f - ความถี่การสั่น Hz (เฮิรตซ์)
π - ค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 3.14, 2π=6.28

ระยะเวลาการสั่น ความถี่เป็นเฮิรตซ์ และความถี่เป็นวงจรสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
ในการจดจำความสัมพันธ์เหล่านี้ คุณต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้
แต่ละพารามิเตอร์ ω, f, T กำหนดพารามิเตอร์อื่น ๆ โดยไม่ซ้ำกัน เพื่ออธิบายการแกว่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้หนึ่งในพารามิเตอร์เหล่านี้

ช่วง T คือช่วงเวลาของการผันผวนหนึ่งครั้ง สะดวกในการใช้สำหรับการพล็อตกราฟการผันผวน
ความถี่วงจร ω - ใช้ในการเขียนสมการของการแกว่ง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้
ความถี่ f - จำนวนการแกว่งต่อหน่วยเวลา ใช้ทุกที่ ในหน่วยเฮิรตซ์ เราวัดความถี่ที่วิทยุได้รับการปรับ เช่นเดียวกับช่วงของโทรศัพท์มือถือ ความถี่ของการสั่นของสายวัดเป็นเฮิรตซ์เมื่อทำการปรับเสียงเครื่องดนตรี

นิพจน์ (ωt+φ) เรียกว่าเฟสการสั่น และค่าของ φ เรียกว่าเฟสเริ่มต้น เนื่องจากมีค่าเท่ากับเฟสการสั่น ณ เวลา t=0

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์อธิบายอัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น หลายคนไม่เข้าใจว่าฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการสั่นของฮาร์มอนิกอย่างไร ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นโดยเวกเตอร์ที่หมุนอย่างสม่ำเสมอ การฉายภาพเวกเตอร์ที่หมุนอย่างสม่ำเสมอทำให้เกิดการสั่นแบบฮาร์มอนิก
ภาพด้านล่างแสดงตัวอย่างการสั่นแบบฮาร์มอนิกสามแบบ ความถี่เท่ากัน แต่เฟสและแอมพลิจูดต่างกัน