ในรูปแบบของสูตรทางคณิตศาสตร์และ. สูตรทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ที่สวยงามที่สุด

นักคณิตศาสตร์ Henri Poincaré เขียนไว้ในหนังสือของเขาว่า Science and Method: “ถ้าธรรมชาติไม่สวยงาม มันก็ไม่คุ้มที่จะรับรู้ ชีวิตก็ไม่คุ้มที่จะพบเจอ แน่นอนว่าฉันกำลังพูดถึงที่นี่ไม่เกี่ยวกับความงามที่ดึงดูดสายตา ... ฉันหมายถึงความงามที่ลึกล้ำซึ่งเปิดขึ้นในความกลมกลืนของส่วนต่าง ๆ ซึ่งเข้าใจได้โดยจิตใจเท่านั้น เธอคือผู้สร้างพื้น สร้างกรอบสำหรับการเล่นสีที่มองเห็นได้ซึ่งสัมผัสความรู้สึกของเรา และหากไม่มีการสนับสนุนนี้ ความงามของความประทับใจที่หายวับไปก็จะไม่สมบูรณ์ เช่นเดียวกับทุกสิ่งที่ไม่ชัดเจนและไม่แน่นอน ในทางตรงข้าม ความงามทางปัญญาทำให้เกิดความพึงพอใจในตัวเอง

P.A.M. Dirac เขียนว่า: "ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีมีเส้นทางการพัฒนาที่แท้จริงอีกเส้นทางหนึ่ง คุณสมบัติพื้นฐานที่เป็นพื้นฐานที่สุด กฎทางกายภาพมีการอธิบาย ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีอุปกรณ์ที่มีความแข็งแกร่งและสวยงามเป็นพิเศษ เพื่อให้เข้าใจทฤษฎีนี้ คุณต้องมีคุณวุฒิทางคณิตศาสตร์สูงผิดปกติ คุณอาจถามว่า: ทำไมธรรมชาติถึงเป็นเช่นนั้น? มีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น: ตามของเรา ความรู้สมัยใหม่, ธรรมชาติจัดไว้อย่างนี้มิใช่อย่างอื่น.

เมื่อเจ็ดปีก่อน นักฟิสิกส์ (และศิลปิน) ชาวยูเครน นาตาเลีย คอนดราตีวา ถามนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของโลกจำนวนหนึ่งว่า "อะไรคือสาม สูตรทางคณิตศาสตร์ในความคิดของคุณ สวยที่สุด?
การบรรยายเกี่ยวกับความงามของสูตรทางคณิตศาสตร์มีผู้เข้าร่วมโดย Sir Michael Atiyah และ David Elvarsi จากสหราชอาณาจักร, Yakov Sinai และ Alexander Kirillov จากสหรัฐอเมริกา, Friedrich Herzebruch และ Yuri Manin จากเยอรมนี, David Ruel จากฝรั่งเศส, Anatoly Vershik และ Robert Minlos จากรัสเซียและ นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ จาก ประเทศต่างๆ. ในบรรดาชาวยูเครน นักวิชาการของ National Academy of Sciences Volodymyr Korolyuk และ Anatoliy Skorokhod เข้าร่วมในการอภิปราย ส่วนหนึ่งของวัสดุที่ได้รับในลักษณะนี้เป็นพื้นฐานของการจัดพิมพ์โดย Natalia Kondratieva งานทางวิทยาศาสตร์"สามสูตรทางคณิตศาสตร์ที่สวยงามที่สุด"
เป้าหมายของคุณคืออะไรเมื่อคุณถามนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับ สูตรที่สวยงาม?
— แต่ละศตวรรษใหม่จะนำมาซึ่งการปรับปรุงกระบวนทัศน์ทางวิทยาศาสตร์ ในตอนต้นของศตวรรษด้วยความรู้สึกว่าเรากำลังยืนอยู่ที่ธรณีประตู วิทยาศาสตร์ใหม่, ของเธอ บทบาทใหม่ในชีวิต สังคมมนุษย์ฉันหันไปถามนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความสวยงามของแนวคิดเบื้องหลัง สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์, เช่น. เกี่ยวกับความสวยงามของสูตรทางคณิตศาสตร์
คุณสมบัติบางอย่างของวิทยาศาสตร์ใหม่สามารถสังเกตได้แล้ว ถ้าวิทยาศาสตร์ของศตวรรษที่ยี่สิบเป็นอย่างมาก บทบาทสำคัญ"มิตรภาพ" ของคณิตศาสตร์กับการเล่นฟิสิกส์ ตอนนี้คณิตศาสตร์ร่วมมือกับชีววิทยา พันธุศาสตร์ สังคมวิทยา เศรษฐศาสตร์อย่างมีประสิทธิภาพ ... ดังนั้น วิทยาศาสตร์จะตรวจสอบความสอดคล้องกัน โครงสร้างทางคณิตศาสตร์จะสำรวจความสอดคล้องระหว่างปฏิสัมพันธ์ขององค์ประกอบ พื้นที่ต่างๆและแผน และสิ่งที่เรายอมรับกันก่อนหน้านี้ว่าเป็นข้อความทางปรัชญาจะได้รับการอนุมัติจากวิทยาศาสตร์ว่าเป็นความรู้ที่เป็นรูปธรรม
กระบวนการนี้เริ่มขึ้นแล้วในศตวรรษที่ 20 ดังนั้น Kolmogorov จึงแสดงทางคณิตศาสตร์ว่าไม่มีการสุ่ม แต่มีความซับซ้อนอย่างมาก เรขาคณิตเศษส่วนยืนยันหลักการของเอกภาพในความหลากหลาย และอื่นๆ
- สูตรใดที่ได้ชื่อว่าสวยงามที่สุด?
- ฉันต้องบอกทันทีว่าไม่มีเป้าหมายในการจัดการแข่งขันสำหรับสูตร ในจดหมายที่เขียนถึงนักคณิตศาสตร์ ฉันเขียนว่า “คนที่ต้องการเข้าใจว่ากฎใดที่ควบคุมโลกจะใช้วิธีค้นหาความปรองดองของโลก เส้นทางนี้ไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด (เพราะการเคลื่อนไหวเป็นนิรันดร์) แต่ผู้คนยังคงติดตามเพราะ มีความสุขเป็นพิเศษที่ได้พบกับความคิดหรือแนวคิดอื่น จากคำตอบของคำถามเกี่ยวกับสูตรความงาม อาจเป็นไปได้ที่จะสังเคราะห์แง่มุมใหม่ของความงามของโลก นอกจากนี้งานนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักวิทยาศาสตร์ในอนาคตในฐานะแนวคิดเกี่ยวกับความกลมกลืนอันยิ่งใหญ่ของโลกและคณิตศาสตร์เพื่อเป็นหนทางในการค้นหาความงามนี้
อย่างไรก็ตาม ในบรรดาสูตรต่าง ๆ มีรายการโปรดที่ชัดเจน: สูตรพีทาโกรัสและสูตรออยเลอร์
ตามด้วยสูตรทางกายภาพมากกว่าสูตรทางคณิตศาสตร์ ซึ่งในศตวรรษที่ 20 ได้เปลี่ยนความเข้าใจของเราเกี่ยวกับโลก - Maxwell, Schrödinger, Einstein
นอกจากนี้หนึ่งในสูตรที่สวยงามที่สุดยังอยู่ระหว่างการอภิปราย เช่น สมการ สูญญากาศทางกายภาพ. นอกจากนี้ยังมีการกล่าวถึงสูตรทางคณิตศาสตร์ที่สวยงามอื่นๆ
- ทำไมคุณถึงคิดว่าในช่วงเปลี่ยนสหัสวรรษที่สองและสามสูตรของพีทาโกรัสได้ชื่อว่าเป็นหนึ่งในสิ่งที่สวยงามที่สุด?
- ในสมัยของพีทาโกรัส สูตรนี้ถูกมองว่าเป็นการแสดงออกของหลักการของวิวัฒนาการของจักรวาล: หลักการสองข้อที่ตรงข้ามกัน (สี่เหลี่ยมสองอันแตะกันในมุมฉาก) ก่อให้เกิดหนึ่งในสามเท่ากับผลรวมของพวกมัน เป็นไปได้ที่จะให้การตีความทางเรขาคณิตที่สวยงามมาก
บางทีอาจมีความทรงจำทางพันธุกรรมในจิตใต้สำนึกในช่วงเวลานั้นเมื่อแนวคิดของ "คณิตศาสตร์" หมายถึง "วิทยาศาสตร์" และมีการสังเคราะห์เลขคณิต ภาพวาด ดนตรี ปรัชญา
Raphael Khasminsky เขียนในจดหมายของเขาว่าที่โรงเรียนเขาหลงใหลในความงามของสูตรพีทาโกรัสซึ่งกำหนดชะตากรรมของเขาในฐานะนักคณิตศาสตร์เป็นส่วนใหญ่
คุณสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับสูตรของออยเลอร์ได้บ้าง?
- นักคณิตศาสตร์บางคนให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่า "ทุกคนมารวมกัน" ในนั้น เช่น ที่ยอดเยี่ยมที่สุดทั้งหมด ตัวเลขทางคณิตศาสตร์และยูนิตนั้นเต็มไปด้วยความไม่มีที่สิ้นสุด! สิ่งนี้มีความหมายทางปรัชญาที่ลึกซึ้ง
ไม่น่าแปลกใจที่ออยเลอร์ค้นพบสูตรนี้ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ได้ทำหลายอย่างเพื่อแนะนำความงามในวิทยาศาสตร์ เขายังแนะนำแนวคิดของ "ระดับของความงาม" ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย แต่เขานำแนวคิดนี้ไปใช้ในทฤษฎีดนตรี ซึ่งเขาถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์
ออยเลอร์เชื่อว่าความรู้สึกทางสุนทรียะสามารถพัฒนาได้และความรู้สึกนี้จำเป็นสำหรับนักวิทยาศาสตร์
ฉันจะอ้างถึงเจ้าหน้าที่ ... Grothendieck: "ความเข้าใจในสิ่งนี้หรือสิ่งนั้นในวิชาคณิตศาสตร์นั้นสมบูรณ์แบบที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ที่จะรู้สึกถึงความงามของมัน"
Poincaré: "มีความรู้สึกในคณิตศาสตร์" เขาเปรียบเทียบความรู้สึกสุนทรียะในวิชาคณิตศาสตร์กับตัวกรองซึ่งเลือกวิธีแก้ปัญหาที่กลมกลืนกันมากที่สุดจากโซลูชันมากมายซึ่งตามกฎแล้วเป็นคำตอบที่ถูกต้อง ความงามและความกลมกลืนเป็นคำพ้องความหมาย และการแสดงถึงความกลมกลืนอย่างสูงสุดคือกฎแห่งความสมดุลของโลก คณิตศาสตร์สำรวจกฎนี้ในระนาบต่างๆ ของการเป็นและใน ด้านต่างๆ. ไม่น่าแปลกใจที่สูตรทางคณิตศาสตร์ทุกสูตรมีเครื่องหมายเท่ากับ
ฉันคิดว่าความกลมกลืนสูงสุดของมนุษย์คือความกลมกลืนของความคิดและความรู้สึก บางทีนั่นอาจเป็นสาเหตุที่ไอน์สไตน์กล่าวว่านักเขียน Dostoevsky ให้มากกว่า Gauss นักคณิตศาสตร์
ฉันใช้สูตร "ความงามจะช่วยโลก" ของ Dostoevsky เป็นบทสรุปของงานเกี่ยวกับความงามในวิชาคณิตศาสตร์ และยังได้รับการกล่าวถึงโดยนักคณิตศาสตร์อีกด้วย
และพวกเขาเห็นด้วยกับคำกล่าวนี้หรือไม่?
— นักคณิตศาสตร์ไม่เห็นด้วยหรือหักล้างคำยืนยันนี้ พวกเขาชี้แจงว่า: "การรับรู้ถึงความงามจะช่วยโลกได้" สิ่งนี้ทำให้นึกถึงงานของ Eugene Wigner เกี่ยวกับบทบาทของจิตสำนึกในการวัดควอนตัมโดยทันที ซึ่งเขียนโดยเขาเมื่อเกือบห้าสิบปีก่อน ในงานนี้ วิกเนอร์แสดงให้เห็นว่า จิตสำนึกของมนุษย์ส่งผลกระทบต่อ สิ่งแวดล้อมกล่าวคือ เราไม่เพียงแต่ได้รับข้อมูลจากภายนอกเท่านั้น แต่ยังส่งความคิดและความรู้สึกของเราตอบกลับไปอีกด้วย งานนี้ยังคงมีความเกี่ยวข้องและมีทั้งผู้สนับสนุนและฝ่ายตรงข้าม ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งว่าในศตวรรษที่ 21 วิทยาศาสตร์จะพิสูจน์ได้ว่าการรับรู้ถึงความงามมีส่วนทำให้โลกของเรามีความกลมกลืนกัน

1. สูตรออยเลอร์ หลายคนเห็นว่าสูตรนี้เป็นสัญลักษณ์ของความสามัคคีของคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพราะในนั้น "-1 หมายถึงเลขคณิต, i - พีชคณิต, π - เรขาคณิตและ e - การวิเคราะห์"

2. สมการง่ายๆ นี้แสดงว่าค่า 0.999 (และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด) เทียบเท่ากับหนึ่ง หลายคนไม่เชื่อว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงได้ แม้ว่าจะมีข้อพิสูจน์หลายประการตามทฤษฎีแห่งขีดจำกัด อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันแสดงให้เห็นหลักการของอนันต์


3. สมการนี้กำหนดขึ้นโดยไอน์สไตน์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการบุกเบิก ทฤษฎีทั่วไปทฤษฎีสัมพัทธภาพในปี 1915 ด้านขวามือของสมการนี้อธิบายถึงพลังงานที่มีอยู่ในจักรวาลของเรา (รวมถึง "พลังงานมืด") ด้านซ้ายมืออธิบายรูปทรงเรขาคณิตของกาลอวกาศ ความเท่าเทียมกันสะท้อนถึงข้อเท็จจริงที่ว่าในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ มวลและพลังงานเป็นตัวกำหนดรูปทรงเรขาคณิต และในขณะเดียวกันก็กำหนดความโค้ง ซึ่งเป็นการแสดงออกของแรงโน้มถ่วง ไอน์สไตน์กล่าวว่าด้านซ้ายของสมการแรงโน้มถ่วงในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งมีสนามโน้มถ่วงนั้นสวยงามและราวกับแกะสลักจากหินอ่อน ในขณะที่ ส่วนขวาสมการที่อธิบายเรื่องยังคงน่าเกลียดราวกับทำจากไม้ธรรมดา


4. ทฤษฎีฟิสิกส์ที่โดดเด่นอีกทฤษฎีหนึ่ง - แบบจำลองมาตรฐาน - อธิบายปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าที่อ่อนแอและรุนแรงของทั้งหมด อนุภาคมูลฐาน. นักฟิสิกส์บางคนเชื่อว่ามันสะท้อนกระบวนการทั้งหมดที่เกิดขึ้นในจักรวาล ยกเว้น สสารมืด, พลังงานมืดและไม่รวมแรงโน้มถ่วง Higgs boson ที่เข้าใจยากจนถึงปีที่แล้วก็เข้ากับ Standard Model ได้เช่นกัน แม้ว่าผู้เชี่ยวชาญบางคนจะไม่แน่ใจในการมีอยู่ของมัน


5. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านต่างๆ สามเหลี่ยมมุมฉาก. เราจำเธอได้จากโรงเรียนและเชื่อว่าผู้เขียนทฤษฎีบทคือพีทาโกรัส จริงๆ แล้วสูตรนี้ใช้มาตั้งแต่ อียิปต์โบราณในระหว่างการก่อสร้างปิรามิด


6. ทฤษฎีบทของออยเลอร์ ทฤษฎีบทนี้วางรากฐานสำหรับสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ - โทโพโลยี สมการจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจุดยอด ขอบ และใบหน้าสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่ากับทรงกลมในทางทอพอโลยี


7. ทฤษฎีพิเศษทฤษฎีสัมพัทธภาพอธิบายการเคลื่อนที่ กฎของกลศาสตร์และความสัมพันธ์ระหว่างกาล-อวกาศที่ความเร็วในการเคลื่อนที่โดยพลการ ความเร็วที่ต่ำกว่าแสงในสุญญากาศ รวมทั้งวัตถุที่มีความเร็วใกล้เคียงกับแสง ไอน์สไตน์ได้คิดค้นสูตรที่อธิบายว่าเวลาและอวกาศไม่ใช่แนวคิดที่สมบูรณ์ แต่สัมพันธ์กันขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกต สมการแสดงให้เห็นว่าเวลาขยายหรือช้าลงอย่างไรขึ้นอยู่กับว่าบุคคลเคลื่อนที่อย่างไรและที่ไหน


8. สมการนี้ได้รับในปี 1750 โดยออยเลอร์และลากรองจ์ในขณะที่แก้ปัญหาไอโซโครน นี่คือปัญหาของการกำหนดเส้นโค้งที่อนุภาคหนักนำไปยังจุดคงที่ในเวลาที่กำหนด โดยไม่คำนึงถึงจุดเริ่มต้น ที่ ในแง่ทั่วไปถ้าระบบของคุณมีสมมาตร แสดงว่ามีกฎการอนุรักษ์สมมาตรที่เกี่ยวข้อง


9. สมการ Callan-Symanzika เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายวิวัฒนาการ ฟังก์ชันความสัมพันธ์ nเมื่อเปลี่ยนสเกลของพลังงานที่ทฤษฎีกำหนดไว้และรวมถึงฟังก์ชันเบต้าของทฤษฎีและมิติที่ผิดปกติ สมการนี้ช่วยให้เข้าใจฟิสิกส์ควอนตัมได้ดีขึ้น


10. สมการของพื้นผิวขั้นต่ำ ความเท่าเทียมกันนี้อธิบายถึงการก่อตัวของฟองสบู่


11. เส้นตรงของออยเลอร์ ทฤษฎีบทของออยเลอร์ได้รับการพิสูจน์ในปี ค.ศ. 1765 เขาค้นพบว่าจุดกึ่งกลางของด้านของสามเหลี่ยมและฐานของความสูงนั้นอยู่บนวงกลมเดียวกัน


12. ในปี พ.ศ. 2471 Dirac เสนอสมการชโรดิงเงอร์ในเวอร์ชันของเขาเอง ซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีของ A. Einstein โลกวิทยาศาสตร์ตกตะลึง Dirac ค้นพบสมการของเขาสำหรับอิเล็กตรอนผ่านการปรับแต่งทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ด้วยวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สูงกว่าที่เรียกว่าสปินเนอร์ และมันก็เป็นความรู้สึก - จนถึงตอนนี้ การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ทางฟิสิกส์ทั้งหมดต้องตั้งอยู่บนพื้นฐานที่มั่นคงของข้อมูลการทดลอง แต่ Dirac เชื่อว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์หากสวยงามเพียงพอเป็นเกณฑ์ที่เชื่อถือได้สำหรับความถูกต้องของข้อสรุป “ความสวยงามของสมการมีความสำคัญมากกว่าข้อตกลงกับข้อมูลการทดลอง ... ดูเหมือนว่าหากคุณมุ่งมั่นที่จะได้รับความงามในสมการและมีสัญชาตญาณที่ดีต่อสุขภาพคุณก็อยู่ต่อไป ทางที่ถูก". ต้องขอบคุณการคำนวณของเขาที่ค้นพบโพซิตรอน - แอนติอิเล็กตรอน - และเขาทำนายการมีอยู่ของ "สปิน" ในอิเล็กตรอน - การหมุนของอนุภาคมูลฐาน


13. J. Maxwell ได้สมการที่น่าทึ่งซึ่งรวมปรากฏการณ์ทั้งหมดของไฟฟ้า แม่เหล็ก และทัศนศาสตร์ นักฟิสิกส์ชาวเยอรมันผู้น่าทึ่งซึ่งเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้ง ฟิสิกส์เชิงสถิติ Ludwig Boltzmann กล่าวถึงสมการของ Maxwell ว่า "พระเจ้าไม่ได้เขียนจดหมายเหล่านี้หรือ"


14. สมการชโรดิงเงอร์ สมการที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงในปริภูมิและเวลาของสภาวะบริสุทธิ์ที่กำหนดโดย ฟังก์ชันคลื่นในระบบควอนตัมของแฮมิลตัน เล่นใน กลศาสตร์ควอนตัมสำคัญเท่ากับสมการของกฎข้อที่สองของนิวตันในกลศาสตร์คลาสสิก

หัวของฉันหมุนจากสูตรทางคณิตศาสตร์มากมายที่คุณต้องรู้ การยัดเยียดและเปลสำหรับคนอ่อนแอ แต่สำหรับผู้ที่ต้องการแข็งแกร่งขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ เราจะให้คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการจำสูตรคณิตศาสตร์เพื่อไม่ให้หายไปจากหัวของคุณก่อนการทดสอบ การสอบ หรือ CT

ทำความเข้าใจกับสูตร

หากคุณจำเฉพาะลำดับของตัวแปร คุณจะเสี่ยงต่อการ "สูญเสีย" สูตรทั้งหมดเมื่อคุณลืมสัญลักษณ์หรือเครื่องหมาย

ใช้หน่วยความจำทุกประเภท

อ่านสูตรออกมาดัง ๆ เขียนบนแผ่นงานหลาย ๆ ครั้งจนกว่าคุณจะจำได้ ใช้หน่วยความจำทุกประเภทโดยเน้นที่ตัวนำ. หน่วยความจำภาพและมอเตอร์ร่วมกันให้ผลที่ดีกว่า แน่นอนว่าศักยภาพในการท่องจำนั้นแตกต่างกันไปสำหรับทุกคน มี เทคนิคพิเศษที่ช่วย .

ต่อไปนี้เป็นเคล็ดลับเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการจำสูตร

อย่าลืมทำให้สูตรเป็นภาพ: วงกลมสูตรในกรอบ เขียนด้วยสีอื่น ดังนั้นจึงง่ายต่อการค้นหาในบทคัดย่อและจดจำ ยังดีกว่าเขียนสูตรในสมุดบันทึกแยกต่างหาก จัดโครงสร้างตามหัวข้อ ทำเครื่องหมายว่าสูตรนี้หรือสูตรนั้นมีประโยชน์อะไรลักษณะเฉพาะของมันคืออะไร ทำความคุ้นเคยกับการเพิ่มรายการสูตร "ไดอารี่สังเกตสูตร" ดังกล่าวจะช่วยฟื้นฟูความจำของคุณ ข้อมูลสำคัญก่อนการทดสอบ การสอบ หรือ CT ในวิชาคณิตศาสตร์

เด็กนักเรียนหลายคนทำเช่นนี้: เมื่อส่งแบบร่างที่ประทับตราแล้วให้รับและเขียนลงบนพวกเขาทันที สูตรที่สำคัญซึ่งยากสำหรับคุณ ก่อนทำ CT ครึ่งชั่วโมง คุณจำสูตรเหล่านี้ได้ด้วยสายตา แล้วจดอย่างรวดเร็ว สิ่งนี้ช่วยประหยัดเวลา แฮ็คชีวิตนี้ดีเป็นพิเศษในวิชาตรีโกณมิติ ยิ่งคุณรู้สูตรมากเท่าไหร่ก็ยิ่งดีเท่านั้น

ตรวจสอบตัวเอง

คุณต้องกลับไปที่เนื้อหาที่เรียนรู้อย่างต่อเนื่องเพื่อไม่ให้ลืม ลองใช้วิธี "ไพ่สองใบ" ซึ่งเหมาะสำหรับการจำสูตรการลดลง การคูณแบบย่อ สูตรตรีโกณมิติ รับไพ่สองกอง สีที่ต่างกันด้านหนึ่งเขียนทางด้านซ้ายของสูตรและอีกด้านหนึ่ง - ทางด้านขวา แบ่งสูตรทั้งหมดที่คุณต้องจำด้วยวิธีนี้จากนั้นผสมทั้งสองกอง ดึงการ์ดทางด้านซ้ายของสูตรตามลำดับ และเลือกความต่อเนื่องจากการ์ด "ขวา" และในทางกลับกัน

การ์ดมีรูปทรงเรขาคณิตที่ดีเช่นกัน

ในการจำสูตรเรขาคณิต ให้หาการ์ดเกี่ยวกับหัวข้อต่างๆ (“สูตรพื้นที่”, “สูตรสำหรับรูปสามเหลี่ยม”, “สูตรสำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส” ฯลฯ) และเขียนข้อมูลลงไปดังต่อไปนี้

คุณสามารถแก้ไขสูตรในสมุดบันทึกแยกต่างหากและพกติดตัวได้ตลอดเวลาตามที่คุณต้องการ

คิดบวก

หากคุณเรียนรู้บางสิ่งภายใต้ความกดดัน สมองเองก็ต้องการกำจัดภาระของความรู้ คิดว่าจำสูตรเป็น การออกกำลังกายที่ดีสำหรับฝึกความจำ ใช่และอารมณ์จะเพิ่มขึ้นเมื่อคุณจำได้ สูตรที่ต้องการสำหรับแนวทางแก้ไขและแน่นอนว่าคุณจะตัดสินใจได้อย่างไร การทดสอบเพิ่มเติมและงานที่ต้องเตรียมตัวสำหรับการทดสอบ การสอบ หรือ CT!

CT ในวิชาคณิตศาสตร์คือ งานทั่วไป: ยิ่งคุณแก้ข้อสอบได้มากเท่าไหร่ โอกาสที่จะพบสิ่งที่คล้ายกับ CT ก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะเตรียม DT ในงานเดียว แต่เมื่อคุณแก้ปัญหาได้ 100 ปัญหาแล้ว 101 ปัญหาจะไม่ทำให้เกิดปัญหา

Dmitry Sudnik ครูสอนคณิตศาสตร์ใน

หากเนื้อหามีประโยชน์กับคุณ อย่าลืมใส่ "ฉันชอบ" ในโซเชียลเน็ตเวิร์กของเรา

ในหน้านี้คุณสามารถดูหรือดาวน์โหลดรายการยอดนิยมได้ฟรี สูตรทางคณิตศาสตร์ ตารางตลอดจนเอกสารอ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ระดับสูง ตารางทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดรวบรวมโดยฉันเองและมีความคิดเห็นเพิ่มเติม สิ่งนี้ทำเพื่อเอาชนะความยากลำบากที่นักเรียนนอกเวลามักเผชิญในการแก้ปัญหา ฉันไม่ได้แสร้งทำเป็นว่าครอบคลุม แต่คุณจะพบว่าอะไรที่ธรรมดามาก

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาตารางสูตรตรีโกณมิติ มีสูตรตรีโกณมิติมากมาย รู้จักกันมานาน และไม่มีประโยชน์ที่จะเขียนหนังสืออ้างอิงใหม่ และนี่คือสูตรที่ใช้บ่อยมากในการแก้ปัญหาหลักสูตร คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นนำมารวมกันและมีประโยชน์มากเมื่อทำการแสดง งานปฏิบัติ. ในเวลาเดียวกันในความคิดเห็นฉันระบุว่าส่วนใดของคณิตศาสตร์ที่สูงกว่า (ลิมิต, อนุพันธ์, อินทิกรัล, ฯลฯ ) สูตรนี้หรือสูตรนั้นมักจะปรากฏขึ้นเสมอ

ดังนั้น ตอนนี้คุณสามารถเข้าถึงเอกสารอ้างอิงที่มีค่าได้ฟรี ทั้งการดูและดาวน์โหลดออนไลน์เป็นไปได้ สะดวกที่สุดในการพิมพ์ตารางทางคณิตศาสตร์และเอกสารอ้างอิงที่คุณสนใจในทันที ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ข้อมูลบนหน้าจอมอนิเตอร์จะถูกดูดซับได้แย่กว่าบนกระดาษ และอ่านจากมอนิเตอร์ได้ยากกว่า

ไฟล์เกือบทั้งหมดวางอยู่บนไซต์โดยตรง ซึ่งหมายความว่าสามารถรับไฟล์เหล่านั้นได้เร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยจำกัดด้วยความเร็วของการเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ตของคุณเท่านั้น

! ในกรณีที่แสดง pdf ไม่ถูกต้อง ให้ใช้คำแนะนำต่อไปนี้

ฉันแนะนำให้ทุกคนดู สูตรเหล่านี้พบได้ในการแก้ปัญหาในคณิตศาสตร์ขั้นสูงในทุกขั้นตอน ไม่มีความรู้เกี่ยวกับสูตรเหล่านี้ - ไม่มีที่ไหนเลย จะเริ่มเรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงได้อย่างไร? จากการทำซ้ำนี้ ไม่ว่าการเตรียมตัวทางคณิตศาสตร์ของคุณจะอยู่ในระดับใด ช่วงเวลานี้เป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่จะเห็นความเป็นไปได้ของการดำเนินการเบื้องต้นทันทีโดยใช้สูตรที่ง่ายที่สุดในการแก้ลิมิต ปริพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์เป็นต้น

คู่มือมี ข้อมูลสั้น ๆเกี่ยวกับโมดูลัส สูตรคูณแบบย่อ ขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหา สมการกำลังสองกฎสำหรับการทำให้เศษส่วนหลายชั้นง่ายขึ้นและ คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดองศาและลอการิทึม

"การเดินทาง" มากที่สุด สูตรตรีโกณมิติซึ่งใช้ในการแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง ในความเป็นจริงมีสูตรดังกล่าวไม่กี่สูตร และการรวบรวมสูตรอื่น ๆ จากหนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์หลาย ๆ เล่มนั้นเป็นการเสียเวลา ทุกสิ่ง (หรือเกือบทุกอย่าง) ที่คุณต้องการอยู่ที่นี่แล้ว

เมื่อทำงานด้านคณิตศาสตร์ มักจะจำเป็นต้องตรวจสอบ ตารางตรีโกณมิติ. ในเรื่องนี้ วัสดุอ้างอิงตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์) จะถูกนำเสนอสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ตั้งแต่ศูนย์ถึง 360 องศา เก็บไว้ในใจ ข้อมูลเหล่านี้ไม่มีความหมาย แต่มีค่าบางอย่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดีแล้วที่รู้. นอกจากนี้ยังมีการนำเสนอสูตรการลดลงสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติข้างต้น บางครั้ง(บ่อยที่สุดเมื่อแก้ลิมิต) จำเป็น ตามคำขอของผู้เยี่ยมชมไซต์ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันและสองสูตรได้ถูกเพิ่มลงในไฟล์ pdf: สูตรสำหรับการแปลงองศาเป็นเรเดียน, สูตรสำหรับการแปลงเรเดียนเป็นองศา

วัสดุที่มีระเบียบเป็นภาพรวมของแผนภูมิหลัก ฟังก์ชันพื้นฐานและคุณสมบัติของพวกเขา มันจะมีประโยชน์เมื่อศึกษาเกือบทุกส่วนของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ยิ่งกว่านั้น คู่มืออ้างอิงจะช่วยคุณได้มาก คุณภาพที่ดีขึ้นและดีขึ้นเข้าใจบางหัวข้อ คุณยังสามารถค้นหาว่าค่าฟังก์ชันใดควรเป็น ให้รู้ด้วยใจเพื่อไม่ให้ได้รับ "สองโดยอัตโนมัติ" เมื่อรับสาย คำถามที่ง่ายที่สุดผู้ตรวจสอบ ความช่วยเหลืออยู่ในรูปแบบของหน้าเว็บและมีกราฟของฟังก์ชันมากมายที่ควรค่าแก่การจดจำ เมื่อโครงการพัฒนาขึ้น คู่มือเริ่มมีบทบาทเป็นบทเรียนเบื้องต้นในหัวข้อ "ฟังก์ชันและกราฟ"

ในทางปฏิบัติ นักเรียนนอกเวลามักจะต้องใช้ตัวแรกและตัวที่สอง ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับอะไรและ ในคำถามในความช่วยเหลือนี้ นอกจากนี้ยังมีการพิจารณาข้อ จำกัด ที่น่าทึ่งอีกสามข้อซึ่งหายากกว่ามาก ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมทั้งหมดมีให้เพิ่มเติม ความคิดเห็นที่สำคัญ. นอกจากนี้ ไฟล์ยังเสริมด้วยข้อมูลเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันที่โดดเด่น

การอ้างอิงประกอบด้วยกฎของความแตกต่างและตารางของอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานพื้นฐาน ตารางนี้มีบันทึกย่อที่สำคัญมาก

คำแนะนำของคุณเกี่ยวกับฟังก์ชันและกราฟ ไฟล์ PDF จัดระบบและสรุปข้อมูลเกี่ยวกับขั้นตอนหลักของการศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรเดียว คู่มือนี้มาพร้อมกับลิงก์ ซึ่งหมายความว่าช่วยประหยัดเวลาได้มาก คู่มือนี้มีประโยชน์สำหรับทั้งกาน้ำชาและผู้อ่านที่เตรียมไว้

โดยทั่วไปเกือบจะเหมือนกับใน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. กฎการรวมและตารางปริพันธ์กับความคิดเห็นของฉัน

เอกสารอ้างอิงเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาอนุกรมกำลัง ตารางแสดงการขยายตัวใน ชุดไฟ ฟังก์ชั่นต่อไปนี้: เลขชี้กำลัง ไซน์ โคไซน์ ลอการิทึม อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คไซน์ การขยายทวินามและกรณีพิเศษที่พบบ่อยที่สุดของการขยายทวินามจะได้รับเช่นกัน การขยายอนุกรมของฟังก์ชันคือ งานอิสระใช้สำหรับการคำนวณโดยประมาณ การคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอน และในปัญหาอื่นๆ

ความยากหลักในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่ไม่ใช่เนื้อเดียวกันด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่เป็น การเลือกที่ถูกต้องของสารละลายเฉพาะตามรูปแบบด้านขวามือ คู่มือนี้ใช้กับบทเรียนเป็นหลัก จะแก้สมการอันดับสองที่ไม่เอกพันธ์ได้อย่างไร?และจะช่วยให้คุณเข้าใจการเลือกโซลูชันเฉพาะได้อย่างง่ายดาย ความช่วยเหลือไม่ได้แสร้งทำเป็นว่ามีความสมบูรณ์ทางวิทยาศาสตร์อย่างละเอียด แต่เขียนด้วยภาษาที่เข้าใจง่าย แต่ใน 99.99% ของกรณีนั้นจะมีกรณีที่คุณต้องการ

ความช่วยเหลือเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการตัดสินใจ งานที่ใช้ การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน – การหาทางออกเฉพาะของ DE ด้วยวิธีการปฏิบัติงานและหาทางออกเฉพาะให้กับระบบ DE ด้วยวิธีเดียวกัน ตารางแตกต่างจากแอนะล็อกตรงที่ "ลับคม" โดยเฉพาะสำหรับงานข้างต้น คุณลักษณะนี้ทำให้ง่ายต่อการเรียนรู้อัลกอริทึมของโซลูชัน ทั้งทางตรงและ การแปลงผกผัน Laplace สำหรับฟังก์ชันที่พบบ่อยที่สุด ในกรณีที่ข้อมูลไม่เพียงพอ ฉันขอแนะนำให้คุณดูหนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์ที่มั่นคง - เวอร์ชันเต็มมีมากกว่าร้อยรายการ

เนื้อหาอ้างอิงประกอบด้วยสูตรสำหรับแฟกทอเรียล จำนวนการเรียงสับเปลี่ยน การรวม การจัดวาง (โดยมีและไม่มีการซ้ำ) รวมถึงข้อคิดเห็นที่มีความหมายในแต่ละสูตร ช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของสูตร + กฎสำหรับการบวกและการรวมกันคูณ นอกจากนี้ ไฟล์ PDF ยังมีข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับสามเหลี่ยมทวินามของนิวตันและปาสคาลพร้อมตัวอย่างการใช้งานจริง

ไฟล์ประกอบด้วยรายการสูตรพร้อมความคิดเห็นสั้น ๆ ทั้งสองบทของเทอร์เวอร์ - เหตุการณ์สุ่มและ ตัวแปรสุ่มรวมทั้งสูตรและ ลักษณะที่เป็นตัวเลขกระจายไม่ต่อเนื่องและ การกระจายอย่างต่อเนื่อง. ช่วยจัดระบบวัสดุและสะดวกมากสำหรับการปฏิบัติงาน แวะเข้ามาและค้นหาสิ่งที่คุณต้องการทันที!

โปรแกรมคำนวณพิเศษ:

ที่ ส่วนนี้คุณสามารถค้นหาโปรแกรมช่วยเหลือสำหรับการแก้ปัญหาในท้องถิ่นที่กว้างและแคบ ปัญหาทางคณิตศาสตร์. พวกเขาจะช่วยให้คุณคำนวณและตัดสินใจได้อย่างรวดเร็ว

เครื่องคิดเลขสากลนำไปใช้ในสมุดงาน MS Excel ที่มีสามแผ่น โปรแกรมสามารถแทนที่เครื่องคิดเลขปกติด้วยฟังก์ชั่นมากมาย เลขยกกำลัง รูต ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ส่วนโค้ง - ไม่มีปัญหา! นอกจากนี้ เครื่องคิดเลขยังดำเนินการพื้นฐานโดยอัตโนมัติด้วยเมทริกซ์ นับดีเทอร์มีแนนต์ (รวมดีเทอร์มิแนนต์ 5 คูณ 5) ค้นหาผู้เยาว์ทันที และ การเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิตเมทริกซ์ ในเวลาไม่กี่วินาที คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผันและใช้สูตรของแครมเมอร์ ดูขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหา ทั้งหมดนี้สะดวกมากสำหรับการตรวจสอบด้วยตนเอง เพียงป้อนตัวเลขของคุณและรับผลลัพธ์!

นี้ โปรแกรมกึ่งอัตโนมัติที่เกี่ยวข้องกับบทเรียน สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู สูตรซิมป์สันและช่วยในการคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอนใน 2, 4, 8, 10 และ 20 ส่วนของพาร์ติชัน สิ่งที่แนบมาคือวิดีโอสอนการทำงานกับเครื่องคิดเลข คำนวณของคุณ อินทิกรัลแน่นอนภายในไม่กี่นาทีหรือแม้แต่วินาที!

สำหรับตอนนี้ นั่นคือทั้งหมด

ส่วนนี้จะค่อยๆเติมเต็ม วัสดุเพิ่มเติมและโปรแกรมที่มีประโยชน์ คู่มืออ้างอิงแต่ละเล่มได้รับการแก้ไขและปรับปรุงซ้ำแล้วซ้ำอีก รวมถึงคำนึงถึงความปรารถนาและความคิดเห็นของคุณด้วย! หากคุณคิดว่าพลาดบางสิ่งที่สำคัญไป คุณพบความไม่ถูกต้องหรืออาจมีบางสิ่งที่อธิบายไม่ชัดเจนเพียงพอ อย่าลืมเขียน!

ขอแสดงความนับถือ Emelin Alexander

การศึกษาคือสิ่งที่ยังคงอยู่หลังจากลืมทุกอย่างที่เคยสอนในโรงเรียน

Igor Khmelinsky นักวิทยาศาสตร์จากโนโวซีบีร์สค์ซึ่งปัจจุบันทำงานในโปรตุเกส พิสูจน์ได้ว่าหากไม่มีการท่องจำข้อความและสูตรโดยตรง การพัฒนาความจำเชิงนามธรรมในเด็กเป็นเรื่องยาก นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากบทความของเขาบทเรียน การปฏิรูปการศึกษาในยุโรปและประเทศของอดีตสหภาพโซเวียต"

เรียนรู้ด้วยหัวใจและความจำระยะยาว

การไม่รู้สูตรคูณมีผลร้ายแรงมากกว่าการไม่สามารถตรวจพบข้อผิดพลาดในการคำนวณบนเครื่องคิดเลข หน่วยความจำระยะยาวของเราทำงานบนหลักการของฐานข้อมูลที่เชื่อมโยง กล่าวคือ เมื่อจดจำแล้วองค์ประกอบบางอย่างของข้อมูลจะเชื่อมโยงกับองค์ประกอบอื่นตามการเชื่อมโยงที่จัดตั้งขึ้นในเวลาที่ทำความรู้จักกับพวกเขา ดังนั้นเพื่อเป็นฐานความรู้ในด้านใด สาขาวิชาตัวอย่างเช่น ในวิชาเลขคณิต ก่อนอื่นคุณต้องเรียนรู้บางสิ่งด้วยใจเป็นอย่างน้อย นอกจากนี้ ข้อมูลที่เข้ามาใหม่จะมาจาก หน่วยความจำระยะสั้นในระยะยาว หากภายในระยะเวลาสั้นๆ (หลายวัน) เราพบหลายครั้ง และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน (ซึ่งก่อให้เกิดการสร้างความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์) อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ไม่มีความรู้จากเลขคณิตในหน่วยความจำถาวร องค์ประกอบของข้อมูลที่มาใหม่จะสัมพันธ์กับองค์ประกอบที่ไม่เกี่ยวกับเลขคณิต เช่น บุคลิกภาพของครู สภาพอากาศบนท้องถนน เป็นต้น เห็นได้ชัดว่าการท่องจำดังกล่าวจะไม่ก่อให้เกิดประโยชน์ที่แท้จริงแก่นักเรียน - เนื่องจากการเชื่อมโยงนำออกจากสาขาวิชานี้ นักเรียนจะไม่สามารถจำความรู้ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิตได้ ยกเว้นความคิดที่คลุมเครือซึ่งดูเหมือนว่าเขาน่าจะมีบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้ เคยได้ยิน. สำหรับนักเรียนดังกล่าว มักจะมีบทบาทในการเชื่อมโยงที่ขาดหายไป ชนิดที่แตกต่างคำแนะนำ - คัดลอกจากเพื่อนร่วมงาน ใช้คำถามนำในตัวควบคุม สูตรจากรายการสูตรที่อนุญาตให้ใช้ เป็นต้น ที่ ชีวิตจริงบุคคลดังกล่าวกลายเป็นคนไร้ประโยชน์อย่างสมบูรณ์และไม่สามารถใช้ความรู้ที่อยู่ในหัวของเขา

รูปแบบ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่จำสูตรไม่ได้จะช้ากว่าอย่างอื่น ทำไม ประการแรก คุณสมบัติใหม่ ทฤษฎีบท ความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์มักจะใช้คุณสมบัติบางอย่างของสูตรและแนวคิดที่ศึกษาก่อนหน้านี้ จะเป็นการยากขึ้นในการมุ่งความสนใจของนักเรียนไปที่เนื้อหาใหม่ๆ หากไม่สามารถเรียกคืนคุณลักษณะเหล่านี้จากหน่วยความจำในช่วงเวลาสั้นๆ ประการที่สอง ความไม่รู้สูตรด้วยหัวใจเป็นอุปสรรคต่อการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาที่มีความหมายด้วย ปริมาณมากการดำเนินการขนาดเล็ก ซึ่งไม่เพียงต้องการดำเนินการเปลี่ยนแปลงบางอย่างเท่านั้น แต่ยังต้องระบุลำดับของการเคลื่อนไหวเหล่านี้ด้วย การวิเคราะห์การประยุกต์ใช้สูตรต่างๆ ล่วงหน้าสองหรือสามขั้นตอน

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าปัญญาและ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์เด็ก การก่อตัวของฐานความรู้และทักษะของเขาจะเกิดขึ้นเร็วกว่ามากหาก ส่วนใหญ่ของข้อมูลที่ใช้ (คุณสมบัติและสูตร) ​​อยู่ในหัว และยิ่งมีความแข็งแกร่งและนานเท่าไหร่ก็ยิ่งดีเท่านั้น