ประเภทของสมการเชิงเส้น การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ระบบสมการเชิงเส้นคือการรวมสมการเชิงเส้น n ตัวเข้าด้วยกัน โดยแต่ละสมการจะมีตัวแปร k ตัว มันเขียนแบบนี้:

เมื่อเผชิญพีชคณิตที่สูงกว่าเป็นครั้งแรก หลายคนเชื่อผิดว่าจำนวนสมการจะต้องตรงกับจำนวนตัวแปรเสมอไป ในพีชคณิตของโรงเรียนสิ่งนี้มักจะเกิดขึ้น แต่สำหรับพีชคณิตที่สูงกว่า โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง

การแก้ระบบสมการคือลำดับของตัวเลข (k 1, k 2, ..., k n) ซึ่งเป็นคำตอบของแต่ละสมการของระบบ กล่าวคือ เมื่อแทนลงในสมการนี้แทนตัวแปร x 1, x 2, ..., x n ให้ค่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ดังนั้น การแก้ระบบสมการหมายถึงการค้นหาเซตของคำตอบทั้งหมด หรือการพิสูจน์ว่าเซตนี้ว่างเปล่า เนื่องจากจำนวนสมการและจำนวนไม่ทราบค่าอาจไม่ตรงกัน จึงมีสามกรณีที่เป็นไปได้:

1. ระบบไม่สอดคล้องกันเช่น ชุดโซลูชันทั้งหมดว่างเปล่า เป็นกรณีที่ค่อนข้างหายากซึ่งตรวจพบได้ง่ายไม่ว่าจะใช้วิธีใดในการแก้ปัญหาระบบ
2. ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน เช่น มีทางออกเดียวเท่านั้น รุ่นคลาสสิคที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยเรียน
3. ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่ได้กำหนดไว้ เช่น มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน นี่คือตัวเลือกที่ยากที่สุด การระบุว่า "ระบบมีชุดวิธีแก้ปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ยังไม่เพียงพอ - จำเป็นต้องอธิบายว่าชุดนี้มีโครงสร้างอย่างไร

ตัวแปร x i ถูกเรียกว่าอนุญาตหากรวมอยู่ในสมการเดียวของระบบและมีค่าสัมประสิทธิ์ 1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในสมการอื่น ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x i จะต้องเท่ากับศูนย์

หากเราเลือกตัวแปรที่อนุญาตหนึ่งตัวในแต่ละสมการ เราจะได้ชุดของตัวแปรที่อนุญาตสำหรับทั้งระบบสมการ ระบบที่เขียนในรูปแบบนี้จะถูกเรียกว่าอนุญาตเช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว ระบบดั้งเดิมหนึ่งระบบเดียวกันสามารถลดลงเป็นระบบที่ได้รับอนุญาตต่างกันได้ แต่ตอนนี้เราไม่ได้กังวลเกี่ยวกับเรื่องนี้ นี่คือตัวอย่างของระบบที่ได้รับอนุญาต:

ทั้งสองระบบได้รับอนุญาตตามตัวแปร x 1 , x 3 และ x 4 อย่างไรก็ตาม ด้วยความสำเร็จเดียวกัน จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าระบบที่สองได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่อ x 1, x 3 และ x 5 ก็เพียงพอที่จะเขียนสมการล่าสุดในรูปแบบ x 5 = x 4 .

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีทั่วไปมากขึ้น สมมติว่าเรามีตัวแปรทั้งหมด k ตัว ซึ่งอนุญาตให้ใช้ r ได้ เป็นไปได้สองกรณี:

1. จำนวนตัวแปรที่อนุญาต r เท่ากับจำนวนตัวแปรทั้งหมด k : r = k เราได้ระบบสมการ k โดยที่ r = k อนุญาตให้ใช้ตัวแปรได้ ระบบดังกล่าวเป็นการทำงานร่วมกันและแน่นอนเพราะว่า x 1 = ข 1, x 2 = ข 2, ..., x k = ข k;
2. จำนวนตัวแปรที่อนุญาต r น้อยกว่าจำนวนตัวแปรทั้งหมด k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

ดังนั้น ในระบบข้างต้น ตัวแปร x 2, x 5, x 6 (สำหรับระบบแรก) และ x 2, x 5 (สำหรับระบบที่สอง) จะว่าง กรณีที่มีตัวแปรอิสระจะถูกกำหนดเป็นทฤษฎีบทได้ดีกว่า:

โปรดทราบ: นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณเขียนระบบผลลัพธ์ ตัวแปรเดียวกันสามารถอนุญาตหรือว่างก็ได้ ครูสอนคณิตศาสตร์ระดับสูงส่วนใหญ่แนะนำให้เขียนตัวแปรตามลำดับพจนานุกรม เช่น ดัชนีจากน้อยไปมาก อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องทำตามคำแนะนำนี้เลย

ทฤษฎีบท. หากในระบบสมการ n อนุญาตให้ใช้ตัวแปร x 1, x 2, ..., x r และ x r + 1, x r + 2, ..., x k ว่าง ดังนั้น:

1. หากเราตั้งค่าของตัวแปรอิสระ (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) จากนั้นค้นหาค่า x 1, x 2, ..., x r, เราได้หนึ่งในการตัดสินใจ
2. หากในสองโซลูชันค่าของตัวแปรอิสระตรงกันค่าของตัวแปรที่อนุญาตก็ตรงกันเช่นกันนั่นคือ โซลูชั่นมีความเท่าเทียมกัน

ความหมายของทฤษฎีบทนี้คืออะไร? เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดสำหรับระบบสมการที่แก้แล้ว การแยกตัวแปรอิสระก็เพียงพอแล้ว จากนั้นเมื่อกำหนดค่าที่แตกต่างกันให้กับตัวแปรอิสระเราจะได้โซลูชันสำเร็จรูป นั่นคือทั้งหมด - ด้วยวิธีนี้คุณจะได้รับโซลูชันทั้งหมดของระบบ ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่น ๆ

สรุป: ระบบสมการที่แก้แล้วมีความสอดคล้องกันเสมอ ถ้าจำนวนสมการในระบบที่ได้รับการแก้ไขเท่ากับจำนวนตัวแปร ระบบจะมีค่าแน่นอน ถ้าน้อยกว่าก็จะไม่มีกำหนด

และทุกอย่างคงจะดี แต่คำถามก็เกิดขึ้น: จะหาคำตอบจากระบบสมการดั้งเดิมได้อย่างไร? สำหรับสิ่งนี้ก็มี

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร

มีคำจำกัดความง่ายๆ สมการเชิงเส้นซึ่งให้ไว้ในโรงเรียนปกติว่า “สมการที่ตัวแปรเกิดขึ้นเฉพาะยกกำลังแรกเท่านั้น” แต่มันไม่ถูกต้องทั้งหมด สมการไม่เป็นเชิงเส้น ไม่ได้ลดขนาดลงด้วยซ้ำ ลดเป็นกำลังสองด้วยซ้ำ

คำจำกัดความที่ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ: สมการเชิงเส้นเป็นสมการที่ใช้ การแปลงที่เท่ากันสามารถลดเป็นรูปแบบได้ โดยที่ title="a,b ใน bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

ในความเป็นจริง เพื่อที่จะเข้าใจว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรงหรือไม่ จะต้องทำให้สมการง่ายขึ้นก่อน นั่นคือ นำมาสู่รูปแบบที่การจำแนกประเภทของสมการจะไม่คลุมเครือ จำไว้ว่า คุณสามารถทำอะไรก็ได้ที่คุณต้องการด้วยสมการ ตราบใดที่สมการไม่เปลี่ยนรากของมัน นั่นคือสิ่งที่มันเป็น การแปลงที่เทียบเท่า. การแปลงที่เทียบเท่าที่ง่ายที่สุด ได้แก่ :

1. วงเล็บเปิด
2. นำสิ่งที่คล้ายกัน
3. การคูณและ/หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
4. การบวกและ/หรือการลบทั้งสองข้างของจำนวนหรือนิพจน์เดียวกัน*

คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย โดยไม่ต้องคำนึงว่าคุณจะ "ทำลาย" สมการหรือไม่
*การตีความการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดโดยเฉพาะคือการ "ถ่ายโอน" คำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย

ตัวอย่างที่ 1:
(มาเปิดวงเล็บกันเถอะ)
(บวกทั้งสองส่วนแล้วลบ/โอนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตัวเลขทางซ้ายและตัวแปรทางขวา)
(ให้สิ่งที่คล้ายกัน)
(หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3)

เราก็ได้สมการที่มีรากเดียวกันกับสมการดั้งเดิม ให้เราเตือนผู้อ่านว่า "แก้สมการ"- หมายถึงการค้นหารากเหง้าทั้งหมดและพิสูจน์ว่าไม่มีผู้อื่นและ "รากของสมการ"- นี่คือตัวเลขที่เมื่อแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก จะทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง ในสมการสุดท้าย การค้นหาตัวเลขที่เปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงนั้นง่ายมาก - นี่คือตัวเลข ไม่มีหมายเลขอื่นใดที่จะสร้างเอกลักษณ์จากสมการนี้ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:
(คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย หลังจากแน่ใจว่าเราไม่ได้คูณด้วย : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(มาเปิดวงเล็บกันเถอะ)
(ขอย้ายเงื่อนไขครับ)
(ให้สิ่งที่คล้ายกัน)
(เราหารทั้งสองส่วนด้วย )

นี่คือวิธีการแก้สมการเชิงเส้นทั้งหมดโดยคร่าวๆ สำหรับผู้อ่านอายุน้อย เป็นไปได้มากว่าคำอธิบายนี้ดูซับซ้อน ดังนั้นเราจึงเสนอเวอร์ชันหนึ่ง "สมการเชิงเส้นชั้นประถมศึกษาปีที่ 5"

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในภาคเศรษฐกิจสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในการแก้ไขปัญหาการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางลอจิสติกส์ (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งจะต้องค้นหาค่า, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่

คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระบบที่ด้านขวามือเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่า 2 ตัวมาก เราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับคำตอบเชิงตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การทดแทน รวมถึงวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ วิธีแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นั้นค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องง่ายและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมในระบบมากกว่า 3 รายการ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ไม่เหมาะสมเช่นกัน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก สมการจะถูกบวกทีละเทอมและคูณด้วยตัวเลขต่างๆ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว

การใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด จากผลการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรควรเท่ากับ 1
2. เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

สามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้หากระบบต้องการหาคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองด้วย

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t คุณสามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองมาตรฐานได้ คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ในตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หากตัวแยกแยะมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ 2 วิธี: t = -b±√D / 2*a หากตัวแยกแยะน้อยกว่า 0 ก็มีวิธีแก้ 1 วิธี: x = -b / 2*a

วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก

วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ

เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการประกอบด้วยการพล็อตกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง แต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุด ค่าของตัวแปร x ถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 จากค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดกันของเส้นตรงคือคำตอบของระบบ

ในตัวอย่างต่อไปนี้ จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าไม่สามารถบอกได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่เสมอไป จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอ

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นอย่างกระชับ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์หน่วย เมทริกซ์ดังกล่าวมีอยู่สำหรับเมทริกซ์จตุรัสดั้งเดิมเท่านั้น

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

สัมพันธ์กับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์เมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้

ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบเส้นทแยงมุมด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ เพื่อไม่ให้หมายเลขคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในผลคูณ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทำให้สามารถลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์ได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์นั้นคล้ายกับวิธีแก้โจทย์โดยการแทนที่และการบวกพีชคณิตมาก แต่จะเป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 จุดประสงค์ของวิธีนี้คือการทำให้ระบบอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการของระบบใดสมการหนึ่ง สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการคือ 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เซียนเป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนมัธยมต้นที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีที่น่าสนใจที่สุดวิธีหนึ่งในการพัฒนาความฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนในโปรแกรมการเรียนรู้ขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งได้ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา

สมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นไม่ใช่หัวข้อที่ยากที่สุดในคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่มีเทคนิคบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้แต่นักเรียนที่ผ่านการฝึกอบรมแล้ว ลองคิดดูสิ?)

โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นถูกกำหนดให้เป็นสมการของรูปแบบ:

ขวาน + ข = 0 ที่ไหน ก และ ข– ตัวเลขใดก็ได้

2x + 7 = 0 ตรงนี้ ก=2, ข=7

0.1x - 2.3 = 0 ที่นี่ ก=0.1, ข=-2.3

12x + 1/2 = 0 ที่นี่ ก=12, ข=1/2

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตเห็นคำว่า: "โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ"... และถ้าคุณสังเกตและคิดอย่างไม่ระมัดระวังล่ะ?) ถ้าอย่างนั้น ก=0, ข=0(ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้?) จากนั้นเราจะได้สำนวนตลก:

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า ก=0,ก ข=5,นี่กลายเป็นสิ่งที่ไม่ธรรมดาโดยสิ้นเชิง:

ซึ่งน่ารำคาญและบั่นทอนความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ ใช่แล้ว...) โดยเฉพาะช่วงสอบ แต่จากสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณต้องหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีอยู่เลย และที่น่าประหลาดใจคือ X นี้หาง่ายมาก เราจะเรียนรู้การทำเช่นนี้ ในบทเรียนนี้

จะจดจำสมการเชิงเส้นตามรูปลักษณ์ได้อย่างไร? ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์ภายนอกด้วย) เคล็ดลับก็คือ สมการเชิงเส้นไม่ใช่แค่สมการของแบบฟอร์มเท่านั้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่สามารถลดทอนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ด้วยการแปลงและทำให้ง่ายขึ้น แล้วใครจะรู้ว่าจะลงหรือเปล่า?)

ในบางกรณีสามารถจดจำสมการเชิงเส้นได้อย่างชัดเจน สมมติว่าถ้าเรามีสมการที่มีแต่ค่าที่ไม่รู้จักในระดับแรกและตัวเลขเท่านั้น และในสมการก็ไม่มี เศษส่วนหารด้วย ไม่ทราบ , มันเป็นสิ่งสำคัญ! และแบ่งตาม ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข ยินดีด้วย! ตัวอย่างเช่น:

นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนตรงนี้ แต่ไม่มี x อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x ในตัวส่วน เช่น เลขที่ หารด้วย x. และนี่คือสมการ

ไม่สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ ตรงนี้ X ล้วนแต่อยู่ในระดับแรก แต่ก็มีอยู่ การหารด้วยนิพจน์ด้วย x. หลังจากลดความซับซ้อนและการแปลงแล้ว คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง หรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ

ปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะจดจำสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนบางอย่างจนกว่าคุณจะเกือบจะแก้มันได้ นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ในงานมอบหมายตามกฎแล้วเขาไม่ถามถึงรูปแบบของสมการใช่ไหม? งานมอบหมายจะถามหาสมการ ตัดสินใจ.สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความสุข)

การแก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.

ผลเฉลยของสมการเชิงเส้นทั้งหมดประกอบด้วยการแปลงสมการที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ (สองรายการ!) เป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแก้ปัญหา ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) จะขึ้นอยู่กับการแปลงเหล่านี้และจบลงด้วยคำตอบแบบเต็ม ตามลิงค์ไปก็เข้าท่าใช่ไหม?) ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นอยู่ที่นั่นด้วย

ก่อนอื่น เรามาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันก่อน โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการนี้

x - 3 = 2 - 4x

นี่คือสมการเชิงเส้น X ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังแรก ไม่มีการหารด้วย X แต่จริงๆ แล้ว มันไม่สำคัญสำหรับเราว่าสมการจะเป็นแบบไหน เราจำเป็นต้องแก้ไขมัน โครงการที่นี่เรียบง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มีเครื่องหมาย X ทางด้านซ้ายของสมการ ทุกสิ่งที่ไม่มีเครื่องหมาย X (ตัวเลข) ทางด้านขวา

ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำการโอน - 4x ไปทางซ้าย พร้อมเปลี่ยนป้ายแน่นอน และ - 3 - ไปทางขวา. โดยวิธีการนี้คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ซึ่งหมายความว่าคุณไม่ได้ติดตามลิงก์ แต่ไร้ประโยชน์...) เราได้รับ:

x + 4x = 2 + 3

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน เราพิจารณา:

เราต้องการอะไรเพื่อความสุขที่สมบูรณ์? ใช่ เพื่อให้มี X บริสุทธิ์ทางด้านซ้าย! ห้าขวางทางอยู่ กำจัดทั้งห้าด้วยความช่วยเหลือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งที่สองกล่าวคือเราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 5 เราได้คำตอบพร้อมแล้ว:

แน่นอนว่าเป็นตัวอย่างเบื้องต้น นี่เป็นการวอร์มอัพ) ยังไม่ชัดเจนนักว่าทำไมฉันถึงจำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันได้ที่นี่ ตกลง. เอาวัวข้างเขากันเถอะ) มาตัดสินใจอะไรที่มั่นคงกว่านี้กันดีกว่า

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ:

เราจะเริ่มต้นที่ไหน? ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา? อาจจะเป็นเช่นนั้น ก้าวเล็ก ๆ ไปตามถนนยาว หรือคุณสามารถทำได้ทันทีด้วยวิธีที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าหากคุณมีการแปลงสมการที่เหมือนกันในคลังแสงของคุณ

ฉันถามคำถามสำคัญกับคุณ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้

95 จาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน ! คำตอบนั้นถูกต้อง ดังนั้นเรามากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง. คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรจึงจะลดตัวส่วนลงได้หมด? ถูกต้องตอนตี 3 และทางขวา? คูณ 4 แต่คณิตศาสตร์ยอมให้เราคูณทั้งสองข้างได้ หมายเลขเดียวกัน. เราจะออกไปได้อย่างไร? ลองคูณทั้งสองข้างด้วย 12 กัน! เหล่านั้น. ถึงตัวส่วนร่วม จากนั้นทั้งสามและสี่ก็จะลดลง อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน โดยสิ้นเชิง. ขั้นตอนแรกจะมีลักษณะดังนี้:

การขยายวงเล็บ:

บันทึก! เศษ (x+2)ฉันใส่มันไว้ในวงเล็บแล้ว! เพราะเวลาคูณเศษส่วน ตัวเศษก็ต้องคูณด้วย! ตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนได้:

ขยายวงเล็บที่เหลือ:

ไม่ใช่ตัวอย่าง แต่เป็นความสุขอย่างแท้จริง!) ตอนนี้เรามาจำคาถาจากโรงเรียนประถมกันดีกว่า: มี X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา!และใช้การแปลงนี้:

นี่คือบางส่วนเช่น:

และหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง:

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบ: เอ็กซ์=0,16

โปรดทราบ: เพื่อนำสมการสับสนดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่ดี เราใช้สอง (เพียงสอง!) การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์– การแปลซ้าย-ขวาด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและการคูณหารของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน นี่เป็นวิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ด้วย ใดๆ สมการ! ใครก็ได้อย่างแน่นอน นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันซ้ำซากซ้ำซากเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้ตลอดเวลา)

อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้การแปลงที่เหมือนกันจนกว่าเราจะได้คำตอบ ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณ ไม่ใช่หลักการของการแก้ปัญหา

แต่... มีเรื่องน่าประหลาดใจในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นระดับพื้นฐานที่สุดจนทำให้คุณมึนงงได้...) โชคดีที่มีเรื่องน่าประหลาดใจได้เพียงสองเรื่องเท่านั้น เรามาเรียกพวกเขาว่ากรณีพิเศษกันดีกว่า

กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น

ความประหลาดใจครั้งแรก

สมมติว่าคุณเจอสมการพื้นฐานบางอย่าง เช่น:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

เบื่อเล็กน้อย เราย้ายมันโดยให้ X ไปทางซ้าย โดยไม่มี X - ไปทางขวา... เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมาย ทุกอย่างสมบูรณ์แบบ... เราได้รับ:

2x-5x+3x=5-2-3

เรานับแล้ว...อุ๊ย!!! เราได้รับ:

ความเท่าเทียมกันในตัวเองนี้เป็นสิ่งที่น่ารังเกียจไม่ได้ ศูนย์ก็คือศูนย์จริงๆ แต่ X หายไป! และเราต้องเขียนลงในคำตอบว่า x เท่ากับอะไร?ไม่เช่นนั้นจะไม่นับวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม...) การหยุดชะงัก?

เงียบสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัย กฎทั่วไปส่วนใหญ่จะช่วยคุณได้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า หาค่าทั้งหมดของ x ซึ่งเมื่อแทนค่าลงในสมการดั้งเดิมแล้วจะทำให้เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

แต่เรามีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เรียบร้อยแล้วเกิดขึ้น! 0=0 แม่นกว่าขนาดไหน! ยังต้องดูว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นกับ x อะไร ค่า X ใดที่สามารถทดแทนได้ อักษรย่อสมการถ้า x พวกนี้ พวกเขาจะยังคงลดลงเหลือศูนย์หรือไม่?มาเร็ว?)

ใช่!!! X ก็ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอันไหน? อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อก็ตรวจสอบได้) แทนค่า X ใดๆ ลงไป อักษรย่อสมการและคำนวณ คุณจะได้รับความจริงอันบริสุทธิ์ตลอดเวลา: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 และอื่นๆ

นี่คือคำตอบของคุณ: x - ตัวเลขใด ๆ

คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันได้ สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์

ความประหลาดใจครั้งที่สอง

ลองใช้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นแบบเดียวกันแล้วเปลี่ยนตัวเลขเพียงตัวเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

หลังจากการแปลงที่เหมือนกัน เราก็ได้สิ่งที่น่าสนใจ:

แบบนี้. เราแก้สมการเชิงเส้นแล้วได้ความเท่าเทียมกันแปลกๆ ในแง่คณิตศาสตร์เราได้ ความเท่าเทียมกันที่ผิดพลาดแต่พูดง่ายๆ นี่ไม่เป็นความจริง เรฟ. แต่ถึงกระนั้น เรื่องไร้สาระนี้ก็เป็นสาเหตุที่ดีมากสำหรับการแก้สมการที่ถูกต้อง)

เราคิดตามกฎทั่วไปอีกครั้ง เมื่อแทนค่า x ในสมการเดิม เราจะได้อะไร จริงความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มีค่า X ดังกล่าว ใส่อะไรลงไปทุกอย่างก็ลดลงเหลือแต่เรื่องไร้สาระ)

นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นี่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์เช่นกัน ในทางคณิตศาสตร์มักพบคำตอบเช่นนี้

แบบนี้. ตอนนี้ ฉันหวังว่าการหายไปของ X ในกระบวนการแก้สมการใดๆ (ไม่ใช่แค่เชิงเส้น) จะไม่ทำให้คุณสับสนเลย นี่เป็นเรื่องคุ้นเคยอยู่แล้ว)

ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว ก็สมเหตุสมผลที่จะแก้มัน

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

เป็นต้น เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะทำความคุ้นเคยกับสมการประเภทอื่น ลำดับต่อไปคือ สมการเชิงเส้นการศึกษาแบบกำหนดเป้าหมายซึ่งเริ่มต้นในบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7

เห็นได้ชัดว่าก่อนอื่นเราต้องอธิบายว่าสมการเชิงเส้นคืออะไร ให้คำจำกัดความของสมการเชิงเส้น ค่าสัมประสิทธิ์ของมัน และแสดงรูปแบบทั่วไปของสมการนั้น จากนั้นคุณจะทราบได้ว่าสมการเชิงเส้นมีกี่คำตอบขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์และวิธีหาราก สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถดำเนินการแก้ไขตัวอย่างต่อไปได้ และด้วยเหตุนี้จึงรวบรวมทฤษฎีที่เรียนรู้ไว้ ในบทความนี้ เราจะทำสิ่งนี้: เราจะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับประเด็นทางทฤษฎีและปฏิบัติทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงเส้นและการแก้โจทย์ของมัน

สมมติว่าที่นี่เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวและในบทความอื่นเราจะศึกษาหลักการของการแก้ปัญหา สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว.

การนำทางหน้า

สมการเชิงเส้นคืออะไร?

คำจำกัดความของสมการเชิงเส้นถูกกำหนดโดยวิธีการเขียน ยิ่งไปกว่านั้น ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์และพีชคณิตที่แตกต่างกัน การกำหนดคำจำกัดความของสมการเชิงเส้นมีความแตกต่างบางประการที่ไม่ส่งผลกระทบต่อแก่นแท้ของประเด็น

ตัวอย่างเช่นในตำราพีชคณิตเกรด 7 โดย Yu. N. Makarychev และคณะ สมการเชิงเส้นถูกกำหนดดังนี้:

คำนิยาม.

สมการของแบบฟอร์ม กx=ขโดยที่ x คือตัวแปร a และ b คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง เรียกว่า สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว.

ให้เรายกตัวอย่างสมการเชิงเส้นที่ตรงตามคำจำกัดความที่ระบุไว้ ตัวอย่างเช่น 5 x = 10 เป็นสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x หนึ่งตัว โดยสัมประสิทธิ์ a คือ 5 และจำนวน b คือ 10 อีกตัวอย่างหนึ่ง: −2.3·y=0 ก็เป็นสมการเชิงเส้นเช่นกัน แต่มีตัวแปร y โดยที่ a=−2.3 และ b=0 และในสมการเชิงเส้น x=−2 และ −x=3.33 a ไม่มีอยู่อย่างชัดเจนและเท่ากับ 1 และ −1 ตามลำดับ ในขณะที่อยู่ในสมการแรก b=−2 และในสมการที่สอง - b=3.33

และหนึ่งปีก่อนหน้านี้ในตำราคณิตศาสตร์ของ N. Ya. Vilenkin สมการเชิงเส้นที่ไม่รู้จักค่าหนึ่งนอกเหนือจากสมการในรูปแบบ a x = b ยังถือว่าสมการที่สามารถนำมาสู่รูปแบบนี้ได้โดยการโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่ง ของสมการไปยังอีกสมการที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามรวมทั้งลดพจน์ที่คล้ายคลึงกัน ตามคำจำกัดความนี้ สมการในรูปแบบ 5 x = 2 x + 6 เป็นต้น ยังเป็นเส้นตรง

ในทางกลับกันในตำราพีชคณิตสำหรับเกรด 7 โดย A. G. Mordkovich ให้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำนิยาม.

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x หนึ่งตัวเป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบ a·x+b=0 โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่งที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้นประเภทนี้คือ 2 x−12=0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a คือ 2 และ b เท่ากับ −12 และ 0.2 y+4.6=0 โดยมีสัมประสิทธิ์ a=0.2 และ b =4.6 แต่ในขณะเดียวกัน มีตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่มีรูปแบบไม่ใช่ a·x+b=0 แต่มี a·x=b เช่น 3·x=12

ขอให้เราเพื่อไม่ให้มีความคลาดเคลื่อนในอนาคตด้วยสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x หนึ่งตัวและสัมประสิทธิ์ a และ b เราหมายถึงสมการในรูปแบบ a x + b = 0 สมการเชิงเส้นประเภทนี้ดูเหมือนจะมีความสมเหตุสมผลที่สุด เนื่องจากสมการเชิงเส้นเป็นเช่นนั้น สมการพีชคณิตระดับแรก และสมการอื่นๆ ทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น เช่นเดียวกับสมการที่ใช้การแปลงที่เท่ากัน ลดลงเป็นรูปแบบ a x + b = 0 เราจะเรียกว่า สมการที่ลดเป็นสมการเชิงเส้น. ด้วยวิธีนี้ สมการ 2 x+6=0 จะเป็นสมการเชิงเส้น และ 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 เป็นต้น - นี่คือสมการที่ลดขนาดลงเป็นเส้นตรง

จะแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

ตอนนี้ถึงเวลาหาคำตอบว่าสมการเชิงเส้น a·x+b=0 ได้รับการแก้ไขอย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถึงเวลาค้นหาว่าสมการเชิงเส้นมีรากหรือไม่ และถ้ามีราก มีกี่ราก และจะหาได้อย่างไร

การมีอยู่ของรากของสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ a และ b ในกรณีนี้ สมการเชิงเส้น a x+b=0 มี

• รูตเดียวสำหรับ a≠0
• ไม่มีรากสำหรับ a=0 และ b≠0
• มีรากจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุดสำหรับ a=0 และ b=0 ซึ่งในกรณีนี้ จำนวนใดๆ ก็ตามจะเป็นรากของสมการเชิงเส้น

ให้เราอธิบายว่าผลลัพธ์เหล่านี้ได้มาอย่างไร

เรารู้ว่าในการแก้สมการ เราสามารถย้ายจากสมการดั้งเดิมไปเป็นสมการที่เทียบเท่าได้ กล่าวคือ ไปสู่สมการที่มีรากเท่ากัน หรือเหมือนกับสมการดั้งเดิมที่ไม่มีราก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้การแปลงที่เทียบเท่าต่อไปนี้:

• การถ่ายโอนพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่งโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม
• รวมถึงการคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์อันเดียวกัน

ดังนั้น ในสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวหนึ่งอยู่ในรูปแบบ a·x+b=0 เราสามารถย้ายเทอม b จากด้านซ้ายไปทางด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ a·x=−b

แล้วมันทำให้เกิดคำถามเรื่องการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยเลข a แต่มีสิ่งหนึ่ง: จำนวน a สามารถเท่ากับศูนย์ ซึ่งในกรณีนี้ การหารดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ เพื่อจัดการกับปัญหานี้ ขั้นแรกเราจะถือว่าตัวเลข a ไม่เป็นศูนย์ และเราจะพิจารณากรณีของการมีค่าเท่ากับศูนย์แยกกันในภายหลังเล็กน้อย

ดังนั้น เมื่อ a ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการ a·x=−b ด้วย a หลังจากนั้นมันจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ x=(−b):a ผลลัพธ์นี้สามารถเป็นได้ เขียนโดยใช้เครื่องหมายทับเศษส่วนเป็น

ดังนั้น สำหรับ a≠0 สมการเชิงเส้น a·x+b=0 จะเทียบเท่ากับสมการ ซึ่งมองเห็นรากของมันได้

มันง่ายที่จะแสดงว่ารากนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะ กล่าวคือ สมการเชิงเส้นไม่มีรากอื่น วิธีนี้ช่วยให้คุณทำวิธีตรงกันข้ามได้

ลองเขียนรากเป็น x 1 กัน ให้เราสมมติว่ามีอีกรากหนึ่งของสมการเชิงเส้นซึ่งเราแสดงว่าเป็น x 2 และ x 2 ≠x 1 ซึ่งเนื่องจาก คำจำกัดความของจำนวนเท่ากันผ่านผลต่างเทียบเท่ากับเงื่อนไข x 1 − x 2 ≠0 เนื่องจาก x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการเชิงเส้น a·x+b=0 ดังนั้นค่าความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข a·x 1 +b=0 และ a·x 2 +b=0 จึงคงอยู่ เราสามารถลบส่วนที่ตรงกันของความเท่าเทียมกันเหล่านี้ได้ ซึ่งคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขอนุญาตให้เราทำได้ เรามี a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 โดยที่ a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 แล้ว a·(x 1 −x 2)=0 และความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากทั้ง a≠0 และ x 1 − x 2 ≠0 ดังนั้นเราจึงเกิดความขัดแย้ง ซึ่งพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของรากของสมการเชิงเส้น a·x+b=0 สำหรับ a≠0

ดังนั้นเราจึงแก้สมการเชิงเส้น a·x+b=0 สำหรับ a≠0 ผลลัพธ์แรกที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล เหลืออีกสองตัวที่เข้าเงื่อนไข a=0

เมื่อ a=0 สมการเชิงเส้น a·x+b=0 จะอยู่ในรูปแบบ 0·x+b=0 จากสมการนี้และคุณสมบัติของการคูณตัวเลขด้วยศูนย์ จะตามมาว่าไม่ว่าเราจะใช้จำนวนใดเป็น x เมื่อแทนค่าลงในสมการ 0 x + b=0 จะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลข b=0 ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงเมื่อ b=0 และในกรณีอื่นๆ เมื่อ b≠0 ความเท่าเทียมกันนี้เป็นเท็จ

ดังนั้น ด้วย a=0 และ b=0 จำนวนใดๆ จึงเป็นรากของสมการเชิงเส้น a·x+b=0 เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ การแทนที่ตัวเลขใดๆ ด้วย x จะทำให้ได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 0=0 และเมื่อ a=0 และ b≠0 สมการเชิงเส้น a·x+b=0 จะไม่มีราก เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ การแทนที่ตัวเลขใดๆ แทน x จะทำให้ความเท่าเทียมกันของตัวเลข b=0 ไม่ถูกต้อง

การให้เหตุผลที่กำหนดช่วยให้เราสามารถกำหนดลำดับของการกระทำที่ช่วยให้เราสามารถแก้สมการเชิงเส้นได้ ดังนั้น, อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นเป็น:

• ขั้นแรก โดยการเขียนสมการเชิงเส้น เราจะหาค่าของสัมประสิทธิ์ a และ b
• ถ้า a=0 และ b=0 สมการนี้จะมีรากจำนวนอนันต์ กล่าวคือ จำนวนใดๆ ก็ตามที่เป็นรากของสมการเชิงเส้นนี้
• ถ้า a ไม่เป็นศูนย์ แล้ว
• ค่าสัมประสิทธิ์ b จะถูกถ่ายโอนไปทางด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และสมการเชิงเส้นถูกแปลงเป็นรูปแบบ a·x=−b
• หลังจากนั้นทั้งสองด้านของสมการผลลัพธ์จะถูกหารด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ a ซึ่งให้รากที่ต้องการของสมการเชิงเส้นดั้งเดิม

อัลกอริธึมที่เป็นลายลักษณ์อักษรเป็นคำตอบที่ครอบคลุมสำหรับคำถามเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการเชิงเส้น

โดยสรุปประเด็นนี้ อาจกล่าวได้ว่าอัลกอริทึมที่คล้ายกันนี้ใช้ในการแก้สมการในรูปแบบ a·x=b ความแตกต่างคือเมื่อ a≠0 ทั้งสองข้างของสมการจะถูกหารทันทีด้วยตัวเลขนี้ โดยที่ b อยู่ในส่วนที่ต้องการของสมการแล้วและไม่จำเป็นต้องถ่ายโอนมัน

ในการแก้สมการในรูปแบบ a x = b จะใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ถ้า a=0 และ b=0 สมการจะมีรากจำนวนอนันต์ซึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้
• ถ้า a=0 และ b≠0 แสดงว่าสมการดั้งเดิมไม่มีราก
• ถ้า a ไม่เป็นศูนย์ ทั้งสองข้างของสมการจะถูกหารด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งจะพบรากเพียงตัวเดียวของสมการ ซึ่งเท่ากับ b/a

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้น

เรามาฝึกกันต่อ มาดูกันว่าอัลกอริธึมใช้แก้สมการเชิงเส้นอย่างไร ให้เรานำเสนอคำตอบสำหรับตัวอย่างทั่วไปที่สอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์สมการเชิงเส้นที่แตกต่างกัน

ตัวอย่าง.

แก้สมการเชิงเส้น 0·x−0=0

สารละลาย.

ในสมการเชิงเส้นนี้ a=0 และ b=−0 ซึ่งเหมือนกับ b=0 ดังนั้น สมการนี้จึงมีรากมากมายนับไม่ถ้วน จำนวนใดๆ ก็ตามที่เป็นรากของสมการนี้

คำตอบ:

x – ตัวเลขใดๆ

ตัวอย่าง.

สมการเชิงเส้น 0 x + 2.7 = 0 มีคำตอบหรือไม่?

สารละลาย.

ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับศูนย์ และค่าสัมประสิทธิ์ b ของสมการเชิงเส้นนี้เท่ากับ 2.7 ซึ่งก็คือ แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นสมการเชิงเส้นจึงไม่มีราก