ประเภทของสมการและวิธีการแก้สมการ สมการเชิงเส้น

กระทรวงทั่วไปและ อาชีวศึกษารฟ

สถาบันการศึกษาเทศบาล

โรงยิมหมายเลข 12

องค์ประกอบ

ในหัวข้อ: สมการและวิธีการแก้สมการ

เสร็จสิ้นโดย: นักเรียนชั้น 10 "A"

ครูตโก เยฟเกนีย์

ตรวจสอบโดย: ครูคณิตศาสตร์ Iskhakova Gulsum Akramovna

ตูย์เมน 2001

วางแผน................................................. ................................................ ...... ................................ 1

การแนะนำ................................................. ....... ........................................... ................ ........................ 2

ส่วนหลัก................................................ ... ............................................... ............................ 3

บทสรุป................................................. ................................................ ...... ............... 25

แอปพลิเคชัน................................................. ................................................ ...... ................ 26

รายการวรรณกรรมที่ใช้............................................ .......... ........................... 29

วางแผน.

การแนะนำ.

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์

สมการ สมการพีชคณิต

ก) คำจำกัดความพื้นฐาน

b) สมการเชิงเส้นและวิธีการแก้มัน

c) สมการกำลังสองและวิธีการแก้สมการเหล่านั้น

d) สมการทวินามและวิธีแก้ปัญหา

e) สมการลูกบาศก์และวิธีการแก้โจทย์

จ) สมการกำลังสองและมีวิธีแก้ไข

g) สมการระดับที่สี่และวิธีการแก้ไข

g) สมการระดับสูงและวิธีการแก้ไข

h) สมการพีชคณิตตรรกยะและวิธีการของมัน

และ) สมการอตรรกยะและวิธีการแก้ไข

j) สมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมาย

ค่าสัมบูรณ์และวิธีการแก้ไข

สมการเหนือธรรมชาติ

ก) สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีแก้ปัญหาเหล่านั้น

ข) สมการลอการิทึมและวิธีแก้ปัญหาเหล่านั้น

การแนะนำ

คณิตศาสตรศึกษาที่ได้รับ โรงเรียนมัธยมศึกษา, เป็น องค์ประกอบที่สำคัญ การศึกษาทั่วไปและ วัฒนธรรมทั่วไป คนทันสมัย- เกือบทุกอย่างที่ล้อมรอบมนุษย์สมัยใหม่ล้วนเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น ก ความสำเร็จล่าสุดในสาขาฟิสิกส์ เทคโนโลยี และ เทคโนโลยีสารสนเทศไม่ต้องสงสัยเลยว่าในอนาคตสถานการณ์จะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่างจึงขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหา ประเภทต่างๆสมการที่คุณต้องเรียนรู้ที่จะแก้

งานนี้เป็นความพยายามที่จะสรุปและจัดระบบเนื้อหาที่ศึกษาในหัวข้อข้างต้น ฉันได้จัดเรียงเนื้อหาตามความยากง่ายโดยเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด รวมถึงสมการทั้งสองประเภทที่เรารู้จักจากหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนและ วัสดุเพิ่มเติม- ขณะเดียวกันฉันก็พยายามแสดงประเภทของสมการที่ไม่ได้ศึกษา หลักสูตรของโรงเรียนแต่ความรู้ที่อาจจำเป็นเมื่อเข้าสู่การศึกษาระดับอุดมศึกษา สถาบันการศึกษา- ในงานของฉันเมื่อแก้สมการฉันไม่ได้ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงเท่านั้น แต่ยังระบุวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนด้วยเนื่องจากฉันเชื่อว่าไม่อย่างนั้นสมการก็ยังไม่ได้รับการแก้ไข ท้ายที่สุดแล้ว หากสมการไม่มีรากที่แท้จริง ก็ไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีคำตอบ น่าเสียดาย เนื่องจากไม่มีเวลา ฉันจึงไม่สามารถนำเสนอเนื้อหาทั้งหมดที่ฉันมีได้ แต่ถึงแม้จะมีเนื้อหาที่นำเสนอที่นี่ ก็อาจมีคำถามมากมายเกิดขึ้น ฉันหวังว่าความรู้ของฉันจะเพียงพอที่จะตอบคำถามส่วนใหญ่ได้ ฉันจึงเริ่มนำเสนอเนื้อหา

คณิตศาสตร์...เผยลำดับ

ความสมมาตรและความแน่นอน

และนี่คือ สายพันธุ์ที่สำคัญที่สุดสวย.

อริสโตเติล

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

ในสมัยที่ห่างไกลเหล่านั้น เมื่อปราชญ์เริ่มคิดถึงความเท่าเทียมกันที่มีปริมาณที่ไม่รู้จัก อาจไม่มีเหรียญหรือกระเป๋าสตางค์เลย แต่ก็มีกองอยู่มากมาย เช่นเดียวกับหม้อและตะกร้า ซึ่งเหมาะอย่างยิ่งสำหรับทำหน้าที่เป็นแคชจัดเก็บข้อมูลที่สามารถเก็บสิ่งของจำนวนที่ไม่ทราบจำนวนได้ “เรากำลังมองหากองหนึ่งซึ่งเมื่อรวมกับสองในสามครึ่งและหนึ่งในเจ็ดของมันก็เท่ากับ 37...” ซึ่งสอนไว้เมื่อสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ยุคใหม่ Ahmes อาลักษณ์ชาวอียิปต์ ในสมัยก่อน ปัญหาทางคณิตศาสตร์เมโสโปเตเมีย อินเดีย จีน กรีซ ปริมาณที่ไม่ทราบแสดงจำนวนนกยูงในสวน จำนวนวัวในฝูง จำนวนรวมของสิ่งต่าง ๆ ที่นำมาพิจารณาเมื่อแบ่งทรัพย์สิน อาลักษณ์ เจ้าหน้าที่ และนักบวชที่เริ่มต้นความรู้ลับ ได้รับการฝึกฝนมาเป็นอย่างดีในด้านศาสตร์การบัญชี รับมือกับงานดังกล่าวได้ค่อนข้างประสบความสำเร็จ

แหล่งที่มาที่มาถึงเราระบุว่านักวิทยาศาสตร์โบราณมีเทคนิคทั่วไปในการแก้ปัญหาโดยไม่ทราบปริมาณ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่กระดาษปาปิรุสหรือแผ่นดินเหนียวแผ่นเดียวที่มีคำอธิบายเกี่ยวกับเทคนิคเหล่านี้ ผู้เขียนมักจะให้การคำนวณเชิงตัวเลขโดยมีความคิดเห็นที่ไม่ชัดเจน เช่น "ดูสิ!", "ทำนี่สิ!", "คุณพบอันที่ใช่แล้ว" ในแง่นี้ข้อยกเว้นคือ "เลขคณิต" ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus แห่งอเล็กซานเดรีย (ศตวรรษที่ 3) - ชุดของปัญหาสำหรับการเขียนสมการด้วยการนำเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ

อย่างไรก็ตาม คู่มือการแก้ปัญหาฉบับแรกซึ่งเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางคือผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวแบกแดดแห่งศตวรรษที่ 9 มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-คอวาริซมี. คำว่า "al-jabr" จากชื่อภาษาอาหรับของบทความนี้ - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("หนังสือแห่งการฟื้นฟูและการต่อต้าน") - เมื่อเวลาผ่านไปกลายเป็นคำที่รู้จักกันดี "พีชคณิต" และผลงาน ของอัล-คอวาริซมีเองเป็นจุดเริ่มต้นในการพัฒนาศาสตร์แห่งการแก้สมการ

สมการ สมการพีชคณิต

คำจำกัดความพื้นฐาน

ในพีชคณิตจะพิจารณาความเท่าเทียมกันสองประเภท - อัตลักษณ์และสมการ

ตัวตนคือความเท่าเทียมกันที่เก็บค่าทั้งหมด (ยอมรับได้) ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น) เพื่อบันทึกตัวตนพร้อมป้าย

ป้ายก็ใช้เช่นกัน

สมการคือความเท่าเทียมกันที่เก็บไว้เฉพาะค่าบางค่าของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอักษรที่รวมอยู่ในสมการตามเงื่อนไขของปัญหาอาจไม่เท่ากันบางตัวยอมรับได้ทั้งหมด ค่าที่ถูกต้อง(พวกเขาถูกเรียกว่า พารามิเตอร์หรือ ค่าสัมประสิทธิ์สมการและมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรตัวแรก ตัวอักษรละติน:

, , ... - หรือตัวอักษรเดียวกันกับดัชนี: , , ... หรือ , , ...); คนอื่น ๆ ที่ต้องค้นหาคุณค่าเรียกว่า ไม่ทราบ(โดยปกติจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรตัวสุดท้ายของตัวอักษรละติน: , , , ... - หรือตัวอักษรเดียวกันกับดัชนี: , , ... หรือ , , ...)

ใน มุมมองทั่วไปสมการสามารถเขียนได้ดังนี้:

(, , ..., ).

ขึ้นอยู่กับจำนวน สมการที่ไม่รู้จักเรียกว่าสมการกับสิ่งไม่รู้ หนึ่ง สอง ฯลฯ

สมการคือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีความเท่าเทียมกันและประกอบด้วยสิ่งที่ไม่ทราบ หากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของสิ่งที่ไม่รู้จักที่รวมอยู่ในนั้น จะเรียกว่าตัวตน ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์ของรูปแบบ (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) ถือเป็นค่าทั้งหมดของ x

หากสมการที่มี x ที่ไม่รู้จักเก็บเฉพาะค่า x บางค่าเท่านั้นและไม่ใช่สำหรับค่า x ทั้งหมดเช่นเดียวกับในกรณีของตัวตน การพิจารณาค่า x เหล่านั้นที่ สมการนั้นถูกต้อง ค่า x ดังกล่าวเรียกว่ารากหรือคำตอบของสมการ ตัวอย่างเช่น เลข 5 คือรากของสมการ 2x + 7= 17

ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีสมการ วิชาหลักของการศึกษาคือวิธีการแก้สมการ ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน จะมีการให้ความสนใจอย่างมากกับสมการ

ประวัติความเป็นมาของการศึกษาสมการย้อนกลับไปหลายศตวรรษ นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดที่มีส่วนในการพัฒนาทฤษฎีสมการคือ:

อาร์คิมีดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นนักวิทยาศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ และช่างกลชาวกรีกโบราณ ในขณะที่ศึกษาปัญหาที่ลดเหลือสมการกำลังสาม อาร์คิมิดีสได้ค้นพบบทบาทของคุณลักษณะ ซึ่งต่อมาถูกเรียกว่าผู้แยกแยะ

Francois Viet อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 16 เขามีส่วนช่วยอย่างมากในการศึกษานี้ ปัญหาต่างๆคณิตศาสตร์. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาได้แนะนำการกำหนดตัวอักษรสำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการ และสร้างการเชื่อมโยงระหว่างรากของสมการกำลังสอง

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707 – 1783) - นักคณิตศาสตร์ ช่างเครื่อง นักฟิสิกส์ และนักดาราศาสตร์ ผู้เขียนเซนต์. 800 งานเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์, เรขาคณิต, ทฤษฎีจำนวน, การคำนวณโดยประมาณ, กลศาสตร์ท้องฟ้า, คณิตศาสตร์, ทัศนศาสตร์, ขีปนาวุธ, การต่อเรือ, ทฤษฎีดนตรี ฯลฯ เขามีอิทธิพลสำคัญต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์ เขาได้สูตร (สูตรของออยเลอร์) ที่แสดงออกมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวแปร x ผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ลากรองจ์ โจเซฟ หลุยส์ (1736 - 1813) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและช่างเครื่อง เขาได้ดำเนินการวิจัยที่โดดเด่น รวมถึงการวิจัยเกี่ยวกับพีชคณิต (ฟังก์ชันสมมาตรของรากของสมการ สมการเชิงอนุพันธ์ (ทฤษฎีการแก้ปัญหาเอกพจน์ วิธีการแปรผันของค่าคงที่)

J. Lagrange และ A. Vandermonde เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ในปี พ.ศ. 2314 มีการใช้วิธีการแก้ระบบสมการ (วิธีการทดแทน) เป็นครั้งแรก

เกาส์ คาร์ล ฟรีดริช (พ.ศ. 2320-2398) - นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เขาเขียนหนังสือที่สรุปทฤษฎีสมการสำหรับการหารวงกลม (เช่น สมการ xn - 1 = 0) ซึ่งเป็นต้นแบบของทฤษฎีกาลัวส์ในหลาย ๆ ด้าน นอกจาก วิธีการทั่วไปการแก้สมการเหล่านี้สร้างความเชื่อมโยงระหว่างพวกมันกับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ นับเป็นครั้งแรกนับตั้งแต่นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณเขาได้ก้าวไปข้างหน้าในเรื่องนี้ กล่าวคือ เขาค้นพบคุณค่าเหล่านั้นทั้งหมดของ n ซึ่ง งอนปกติสามารถสร้างได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด ฉันศึกษาวิธีการบวก ฉันสรุปได้ว่าระบบสมการสามารถบวก หาร และคูณได้

O. I. Somov - เสริมสร้างส่วนต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ด้วยงานที่สำคัญและมากมายรวมถึงทฤษฎีสมการพีชคณิตบางอย่าง องศาที่สูงขึ้น.

Galois Evariste (1811-1832) - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ข้อดีหลักของเขาคือการกำหนดชุดความคิดที่เขาเกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของการวิจัยเกี่ยวกับความสามารถในการแก้สมการพีชคณิตซึ่งเริ่มต้นโดย J. Lagrange, N. Abel และคนอื่นๆ และสร้างทฤษฎีสมการพีชคณิตของ ระดับที่สูงขึ้นโดยไม่มีใครรู้จัก

A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - งานของเขาเกี่ยวข้องกับวิธีการทางเรขาคณิตด้วย วิธีการวิเคราะห์ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ผลงานของเขามีผลกระทบสำคัญต่อทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นด้วย

P. Ruffini - นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เขาอุทิศงานจำนวนหนึ่งเพื่อพิสูจน์ความไม่สมการของสมการระดับ 5 โดยใช้ความปิดของชุดการทดแทนอย่างเป็นระบบ

แม้ว่านักวิทยาศาสตร์จะศึกษาสมการมาเป็นเวลานาน แต่วิทยาศาสตร์ไม่รู้ว่าผู้คนจำเป็นต้องใช้สมการอย่างไรและเมื่อใด เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าผู้คนได้แก้ไขปัญหาที่นำไปสู่การแก้สมการที่ง่ายที่สุดนับตั้งแต่ที่พวกเขากลายเป็นมนุษย์ อีก 3 - 4 พันปีก่อนคริสต์ศักราช จ. ชาวอียิปต์และชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้สมการ กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่รู้ว่ามันมาถึงจุดนั้นได้อย่างไร

ใน อียิปต์โบราณและบาบิโลนก็ใช้วิธีวางตำแหน่งเท็จ สมการของระดับแรกที่ไม่ทราบค่าหนึ่งสามารถถูกลดให้อยู่ในรูปแบบ ax + b = c ได้เสมอ โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนเต็ม ตามกฎเกณฑ์ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขวาน = ค - ข

ถ้า b > c แล้ว c b เป็นจำนวนลบ ตัวเลขติดลบไม่เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์และชนชาติอื่นๆ อีกมากมายในเวลาต่อมา (รวมถึง ตัวเลขบวกเริ่มใช้ในคณิตศาสตร์เฉพาะในศตวรรษที่ 17) เพื่อแก้ปัญหาที่เราแก้ด้วยสมการระดับแรก จึงได้คิดค้นวิธีการวางตำแหน่งเท็จขึ้นมา ในกระดาษปาปิรัส Ahmes ปัญหา 15 ข้อได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้ ชาวอียิปต์มีสัญลักษณ์พิเศษสำหรับหมายเลขที่ไม่รู้จักซึ่งจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้อ่านว่า "อย่างไร" และแปลว่า "ฮีป" ("ฮีป" หรือ "จำนวนที่ไม่รู้จัก" ของหน่วย) ตอนนี้พวกเขาอ่านผิดน้อยลงเล็กน้อย: "ใช่" วิธีการแก้ปัญหาที่ Ahmes ใช้เรียกว่าวิธีการของตำแหน่งที่ผิดพลาดเพียงตำแหน่งเดียว เมื่อใช้วิธีนี้ สมการของรูปแบบ ax = b จะถูกแก้ วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการหารแต่ละด้านของสมการด้วย a มันถูกใช้โดยทั้งชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน คุณ ชาติต่างๆใช้วิธีการของตำแหน่งเท็จสองตำแหน่ง ชาวอาหรับใช้วิธีนี้และได้รับแบบฟอร์มซึ่งถ่ายโอนไปยังหนังสือเรียนของชาวยุโรป รวมถึงเลขคณิตของ Magnitsky Magnitsky เรียกวิธีแก้ปัญหานี้ว่า "กฎเท็จ" และเขียนในส่วนของหนังสือของเขาโดยสรุปวิธีนี้:

ส่วนนี้มีไหวพริบมากเพราะคุณสามารถใส่ทุกอย่างลงไปได้ ไม่เพียงแต่สิ่งที่เป็นพลเมืองเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงวิทยาศาสตร์ชั้นสูงในอวกาศซึ่งระบุไว้ในขอบเขตแห่งสวรรค์ตามที่ปราชญ์มีความต้องการ

เนื้อหาของบทกวีของ Magnitsky สามารถสรุปสั้น ๆ ได้ดังนี้ เลขคณิตส่วนนี้ยุ่งยากมาก ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถคำนวณได้ไม่เพียงแต่สิ่งที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติในชีวิตประจำวันเท่านั้น แต่ยังช่วยแก้ปัญหาคำถาม "ที่สูงกว่า" ที่เผชิญหน้ากับ "คนฉลาด" ด้วย Magnitsky ใช้ "กฎเท็จ" ในรูปแบบที่ชาวอาหรับให้ไว้ โดยเรียกมันว่า "เลขคณิตของข้อผิดพลาดทั้งสอง" หรือ "วิธีการวัด" นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียมักให้ปัญหาเป็นข้อๆ ปัญหาโลตัส:

เหนือทะเลสาบอันเงียบสงบ อยู่เหนือน้ำครึ่งวัด มองเห็นสีของดอกบัวได้ เขาเติบโตมาโดยลำพัง และลมก็เหมือนคลื่นที่โน้มตัวเขาไปด้านข้าง และไม่อีกต่อไป

ดอกไม้เหนือน้ำ สายตาของชาวประมงพบเขาห่างจากสถานที่ที่เขาเติบโตขึ้นมาสองเมตร น้ำในทะเลสาบที่นี่ลึกแค่ไหน? ฉันจะถามคำถามคุณ

ประเภทของสมการ

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นคือสมการที่อยู่ในรูปแบบ: ax + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่บางค่า ถ้า a ไม่เท่ากับศูนย์ สมการจะมีรากเดียว: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.)

ตัวอย่างเช่น: แก้สมการเชิงเส้น: 4x + 12 = 0

วิธีแก้: เนื่องจาก a = 4 และ b = 12 ดังนั้น x = - 12: 4; x = - 3.

ตรวจสอบ: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0

เนื่องจาก 0 = 0 ดังนั้น -3 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ. x = -3

ถ้า a เท่ากับศูนย์ และ b เท่ากับศูนย์ แล้วรากของสมการ ax + b = 0 จะเป็นตัวเลขใดๆ

ตัวอย่างเช่น:

0 = 0 เนื่องจาก 0 เท่ากับ 0 ดังนั้นรากของสมการ 0x + 0 = 0 จึงเป็นตัวเลขใดๆ

ถ้า a เท่ากับศูนย์ และ b ไม่เท่ากับศูนย์ สมการ ax + b = 0 จะไม่มีราก

ตัวอย่างเช่น:

0 = 6 เนื่องจาก 0 ไม่เท่ากับ 6 ดังนั้น 0x – 6 = 0 จึงไม่มีราก

ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นคือระบบที่สมการทั้งหมดเป็นเส้นตรง

การแก้ปัญหาระบบหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด

ก่อนที่จะแก้ระบบสมการเชิงเส้น คุณสามารถกำหนดจำนวนคำตอบของระบบได้

ให้ระบบสมการได้รับ: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

ถ้า a1 หารด้วย a2 ไม่เท่ากับ b1 หารด้วย b2 ระบบก็จะมีคำตอบเดียว

ถ้า a1 หารด้วย a2 เท่ากับ b1 หารด้วย b2 แต่เท่ากับ c1 หารด้วย c2 ระบบก็จะไม่มีคำตอบ

ถ้า a1 หารด้วย a2 เท่ากับ b1 หารด้วย b2 และเท่ากับ c1 หารด้วย c2 แล้วระบบก็จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ระบบสมการที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อเรียกว่าพร้อมกัน

ระบบร่วมเรียกว่าแน่นอนถ้ามี หมายเลขสุดท้ายคำตอบ และไม่มีกำหนดว่าชุดของคำตอบนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ระบบที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเดียวเรียกว่าไม่สอดคล้องกันหรือขัดแย้งกัน

วิธีการแก้สมการเชิงเส้น

มีหลายวิธีในการแก้สมการเชิงเส้น:

1) วิธีการคัดเลือก นี่คือที่สุด วิธีที่ง่ายที่สุด- ประกอบด้วยการเลือกค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของค่าที่ไม่รู้จักโดยการแจงนับ

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

ให้ x = 1 จากนั้น

4 = 6 เนื่องจาก 4 ไม่เท่ากับ 6 ดังนั้นสมมติฐานของเราที่ว่า x = 1 จึงไม่ถูกต้อง

ให้ x = 2

6 = 6 เนื่องจาก 6 เท่ากับ 6 ดังนั้นสมมติฐานของเราที่ว่า x = 2 นั้นถูกต้อง

คำตอบ: x = 2

2) วิธีการทำให้เข้าใจง่าย

วิธีนี้ประกอบด้วยการโอนคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักไปไว้ทางด้านซ้าย และคำที่รู้จักไปทางด้านขวา เครื่องหมายตรงข้ามให้ค่าที่คล้ายกัน และหารทั้งสองข้างของสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่ทราบ

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

คำตอบ. x = 5.

3) วิธีกราฟิก.

ประกอบด้วยการสร้างกราฟของฟังก์ชัน สมการที่กำหนด- เนื่องจากในสมการเชิงเส้น y = 0 กราฟจะขนานกับแกน y จุดตัดกันของกราฟกับแกน x จะเป็นคำตอบของสมการนี้

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

ให้ y = 7 จากนั้น y = 2x + 3

ลองพลอตฟังก์ชันของสมการทั้งสอง:

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 พวกเขาศึกษาสามวิธีในการแก้ระบบสมการ:

1) วิธีการทดแทน

วิธีนี้ประกอบด้วยการแสดงสิ่งที่ไม่ทราบในแง่ของอีกสมการหนึ่งในสมการ ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่น ซึ่งจากนั้นจะกลายเป็นสมการที่ไม่ทราบค่า จากนั้นจึงแก้ไข ค่าผลลัพธ์ของค่าที่ไม่ทราบนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการใดๆ ของระบบดั้งเดิม และค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองจะถูกค้นพบ

ตัวอย่างเช่น.

แก้ระบบสมการ

5x - 2y - 2 = 1

3x + y = 4; y = 4 - 3x

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสมการอื่น:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการ 3x + y = 4

3 1 + ย = 4;

3 + ย = 4; ย = 4 – 3; ย = 1.

การตรวจสอบ.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

คำตอบ: x = 1; ย = 1.

2) วิธีการบวก

วิธีนี้คือถ้า ระบบนี้ประกอบด้วยสมการที่เมื่อบวกทีละเทอมจะทำให้เกิดสมการโดยไม่ทราบค่าใดค่าหนึ่ง จากนั้นแก้สมการนี้ เราจะได้ค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าค่าหนึ่ง ค่าผลลัพธ์ของค่าที่ไม่ทราบนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการใดๆ ของระบบดั้งเดิม และค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองจะถูกค้นพบ

ตัวอย่างเช่น:

แก้ระบบสมการ

/3у – 2х = 5,

\5x – 3y = 4

ลองแก้สมการผลลัพธ์กัน

3x = 9; : (3) x = 3.

ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการ 3y – 2x = 5

3у – 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; ย = 3 2/3

ดังนั้น x = 3; ย = 3 2/3

การตรวจสอบ.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/3 = 4;

คำตอบ. x = 3; ย = 3 2/3

3) วิธีกราฟิก

วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าสมการถูกพล็อตในระบบพิกัดเดียว หากกราฟของสมการตัดกัน พิกัดของจุดตัดกันจะเป็นคำตอบของระบบนี้ หากกราฟของสมการเป็นเส้นขนาน แสดงว่าระบบนี้ไม่มีคำตอบ ถ้ากราฟของสมการรวมกันเป็นเส้นตรงเส้นเดียว ระบบก็จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่น.

แก้ระบบสมการ

18x + 3y - 1 = 8

2x - ย = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

วาย = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5 y = 3 - 6x

มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2x - 5 และ y = 3 - 6x บนระบบพิกัดเดียวกันกันดีกว่า

กราฟของฟังก์ชัน y = 2x - 5 และ y = 3 - 6x ตัดกันที่จุด A (1; -3)

ดังนั้นการแก้ระบบสมการนี้จะเป็น x = 1 และ y = -3

การตรวจสอบ.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

คำตอบ. x = 1; ย = -3.

บทสรุป

จากที่กล่าวมาทั้งหมด เราสามารถสรุปได้ว่าสมการนั้นมีความจำเป็น โลกสมัยใหม่ไม่เพียงแต่สำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังเป็นเครื่องมือทางวิทยาศาสตร์อีกด้วย นั่นคือสาเหตุที่นักวิทยาศาสตร์จำนวนมากได้ศึกษาประเด็นนี้และศึกษาต่อไป

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแนะนำ

“สมการคือกุญแจทองที่เปิดงาคณิตศาสตร์ทั้งหมด”

ส. โควาล

การศึกษาคณิตศาสตร์ที่ได้รับที่โรงเรียนเป็นอย่างมาก ส่วนสำคัญชีวิตของคนสมัยใหม่ เกือบทุกสิ่งที่อยู่รอบตัวเรามีความเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์ในทางใดทางหนึ่ง การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่างมีพื้นฐานมาจากการแก้สมการประเภทต่างๆ

สมการเป็นหัวข้อที่ครอบคลุมมากที่สุดของหลักสูตรพีชคณิตทั้งหมด ในอดีตที่ผ่านมา ปีการศึกษาในบทเรียนพีชคณิตเราได้เรียนรู้เกี่ยวกับสมการกำลังสอง สมการกำลังสองถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาต่างๆ ทั้งในคณิตศาสตร์และในฟิสิกส์และเคมี

หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนครอบคลุมพื้นฐาน โซลูชั่นสมการกำลังสอง อย่างไรก็ตาม ยังมีเทคนิคอื่นๆ ในการแก้สมการกำลังสอง ซึ่งบางเทคนิคจะช่วยให้คุณแก้สมการได้อย่างรวดเร็วและมีเหตุผล

เราทำการสำรวจในหมู่นักเรียน 84 คนในระดับเกรด 8-9 ด้วยคำถามสองข้อ:

คุณรู้วิธีแก้สมการกำลังสองแบบใดบ้าง?

คุณใช้อันไหนบ่อยที่สุด?

จากผลการสำรวจพบว่าได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

จากการวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้ เราได้ข้อสรุปว่านักเรียนส่วนใหญ่ใช้สูตรรากโดยใช้การแบ่งแยกเมื่อแก้สมการกำลังสอง และไม่ทราบวิธีการแก้สมการกำลังสองเพียงพอ

ดังนั้นหัวข้อที่เราเลือกจึงมีความเกี่ยวข้อง

เรากำหนดไว้เอง เป้า: สำรวจ วิธีการแหวกแนวการแก้สมการกำลังสอง แนะนำนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 และ 9 ในรูปแบบต่างๆวิธีแก้ปัญหาพัฒนาความสามารถในการเลือกวิธีมีเหตุผลในการแก้สมการกำลังสอง

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ คุณต้องแก้ไขสิ่งต่อไปนี้ งาน:

รวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวิธีการต่างๆในการแก้สมการกำลังสอง

เชี่ยวชาญในการแก้ปัญหาที่พบ

สร้างโปรแกรมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองใน Excel

พัฒนา สื่อการสอนสำหรับบทเรียนหรือกิจกรรมนอกหลักสูตร วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานการแก้สมการกำลังสอง

จัดบทเรียน “วิธีแก้สมการกำลังสองที่ผิดปกติ” กับนักเรียนเกรด 8-9

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: สมการกำลังสอง

หัวข้อการศึกษา: วิธีต่างๆ ในการแก้สมการกำลังสอง

เราเชื่ออย่างนั้น ความสำคัญในทางปฏิบัติงานคือความเป็นไปได้ในการใช้เทคนิคและวิธีการแก้สมการกำลังสองในบทเรียนคณิตศาสตร์และ กิจกรรมนอกหลักสูตรรวมถึงการทำความคุ้นเคยกับนักเรียนเกรด 8-9 ด้วยสื่อนี้

บทที่ 1 วิธีการที่ผิดปกติในการแก้สมการกำลังสอง

1. 1. คุณสมบัติของค่าสัมประสิทธิ์ (a,b,c)

วิธีการนี้จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของค่าสัมประสิทธิ์ ก,ข,ค:

ถ้า ก+ข+ค=0,แล้ว = 1, =

ตัวอย่าง:

-6x 2 + 2x +4=0,แล้ว = 1, = = .

ถ้า ก - ข+ค=0,แล้ว = -1, = -

ตัวอย่าง:

2017x 2 + 2001х +16 =0,แล้ว = -1, -.

1. 1. การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ (a,b,c)

การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ต่อไปนี้ถูกต้อง: ก,ข,ค:

ถ้า b=a 2 +1, c=a แล้ว x 1 =-a; x 2 = - .

ถ้า b=-(a 2 +1), a=c แล้ว x 1 =a; x 2 =.

ถ้า b=a 2 -1, c=-a แล้ว x 1 =-a; x 2 = .

ถ้า b=-(a 2 -1), -a=c แล้ว x 1 =a; x 2 = - .

ลองแก้สมการต่อไปนี้:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10x 2 =-0,1.

1. 1. “การโอน” ของอัตราส่วนหลัก

ค่าสัมประสิทธิ์ กคูณด้วยคำเสรีราวกับว่า "โยน" ลงไป จึงเรียกว่าวิธี "โยน" จากนั้นหารากโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา รากที่พบจะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์ที่ถ่ายโอนก่อนหน้านี้ ด้วยเหตุนี้เราจึงพบรากของสมการ

ตัวอย่าง:

2x 2 - 3x + 1 = 0

ลอง "โยน" สัมประสิทธิ์ 2 ให้กับเทอมอิสระแล้วจึงได้สมการ

ที่ 2 - 3у + 2 = 0

ตามทฤษฎีบทของเวียตตา

ที่ 1 = 2, x 1 = 2/2 ,x 1 = 1,

ที่ 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

คำตอบ: 0.5; 1.

1. 1. วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก

ถ้าอยู่ในสมการ ก x 2 + bx + ค= 0 ย้ายเทอมที่สองและสามไปที่ ด้านขวาแล้วเราจะได้ x 2 = -บีเอ็กซ์-ค .

มาสร้างกราฟการพึ่งพากัน ที่= ขวาน 2 และ ที่= -บีเอ็กซ์-คในระบบพิกัดเดียว

กราฟของการพึ่งพาครั้งแรกคือพาราโบลาที่ผ่านจุดกำเนิด กราฟของการพึ่งพาครั้งที่สองจะเป็นเส้นตรง

เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:

เส้นตรงและพาราโบลาสามารถตัดกันที่จุดสองจุด จุดหักเหของจุดตัดกันคือรากของสมการกำลังสอง

เส้นตรงและพาราโบลาสัมผัสกันได้ (จุดร่วมเพียงจุดเดียว) เช่น สมการนี้มีคำตอบเดียว

เส้นตรงและพาราโบลาไม่มี จุดทั่วไป, เช่น. สมการกำลังสองไม่มีราก

ลองแก้สมการต่อไปนี้:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

ในระบบพิกัดหนึ่ง เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 และกราฟของฟังก์ชัน y = - 2x + 3 โดยการทำเครื่องหมายที่จุดตัดของจุดตัด เราก็จะได้คำตอบ

คำตอบ: x 1 = - 3, x 2 = 1

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

ในระบบพิกัดหนึ่ง เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 และกราฟของฟังก์ชัน y = -6x - 9 เมื่อกำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกัน เราก็จะได้คำตอบ

คำตอบ: x= - 3

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

ในระบบพิกัดหนึ่ง เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 และกราฟของฟังก์ชัน

พาราโบลา y = 2x 2 และเส้นตรง y = - 4x - 7 ไม่มีจุดร่วม ดังนั้นสมการจึงไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีราก

1. 1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วงเวียนและไม้บรรทัด

ลองแก้สมการ aх 2 +bх+c=0:

ลองสร้างจุด S(-b:2a,(a+c):2a) - จุดศูนย์กลางของวงกลมและจุด A(0,1) กัน

วาดวงกลมรัศมี SA

รอยแยกของจุดตัดกับแกน Ox คือรากของสมการดั้งเดิม

ในกรณีนี้เป็นไปได้สามกรณี:

1) รัศมีของวงกลมมากกว่าพิกัดของจุดศูนย์กลาง ( เอเอส>เอสเค, หรือ ร>) วงกลมตัดแกน โอ้สองจุด..B( เอ็กซ์ 1 - 0) และ ง(x 2 ;0) โดยที่ เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 - รากของสมการกำลังสอง โอ้ 2 + bx + ค = 0.

2) รัศมีของวงกลมเท่ากับพิกัดของจุดศูนย์กลาง ( AS = SВ, หรือ ร=) วงกลมแตะแกน โอ้ที่จุด B( เอ็กซ์ 1 - 0) ที่ไหน เอ็กซ์ 1 - รากของสมการกำลังสอง

3) รัศมีของวงกลมน้อยกว่าพิกัดของจุดศูนย์กลาง ( เช่น< SВ , หรือ ร< ) วงกลมไม่มีจุดร่วมกับแกน x ในกรณีนี้ สมการไม่มีคำตอบ

ก) AS > SВหรือ ร>, ข) AS = SВหรือ ร=วี) เช่น< SВ, หรือ ร< .

สองโซลูชั่น เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 - ทางออกหนึ่ง เอ็กซ์ 1.. ไม่มีทางแก้.

ตัวอย่างที่ 1: 2x2 - 8x + 6 = 0

สารละลาย:

ลองวาดวงกลมรัศมีกัน เอส.เอ.ที่ไหน ก (0;1).

คำตอบ: x 1 = 1, x 2 = 3

ตัวอย่างที่ 2: x2 - 6x + 9 = 0

สารละลาย: ลองหาพิกัดของ S: x=3, y=5 กัน

คำตอบ: x=3

ตัวอย่างที่ 3: x2 + 4 x + 5 = 0

สารละลาย:พิกัดของจุดศูนย์กลางวงกลม: x= - 2 และ y = 3

คำตอบ: ไม่มีราก

1. 1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ NOMOGRAM

Nomogram (จากภาษากรีก "nomos" - กฎหมายและกรัม) การแสดงกราฟิกฟังก์ชั่นของตัวแปรหลายตัวทำให้ใช้งานได้ง่าย การดำเนินการทางเรขาคณิต(เช่น การใช้ไม้บรรทัด) สำรวจการขึ้นต่อกันของฟังก์ชันโดยไม่ต้องคำนวณ เช่น แก้สมการกำลังสองโดยไม่ต้องใช้สูตร

มันเก่าและปัจจุบัน วิธีการที่ถูกลืมคำตอบของสมการกำลังสอง อยู่ในหน้าที่ 83 ของชุดสะสม: Bradis V.M. "ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก" - ม., “โดรฟา”, 2543. ตารางที่ XXII. โนโมแกรมสำหรับการแก้สมการ z 2 + pz + q = 0(ดูภาคผนวก 1)

โนโมแกรมนี้ช่วยให้ระบุรากของสมการจากค่าสัมประสิทธิ์ได้โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

สเกลโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร: อ.บ= , เอบี =

เชื่อ ระบบปฏิบัติการ = p, ED = q, OE = a(รวมเป็นเซนติเมตร) จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ซานและ ซีดีเอฟเราได้สัดส่วนซึ่งหลังจากการแทนที่และทำให้ง่ายขึ้น สมการ z 2 + pz + q = 0 ตามมา และตัวอักษร z หมายถึงเครื่องหมายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนเส้นโค้ง

ตัวอย่างที่ 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

ในระดับ p เราพบเครื่องหมาย -9 และในระดับ q เครื่องหมาย 8 เราวาดเส้นตรงผ่านเครื่องหมายเหล่านี้ซึ่งตัดกันมาตราส่วนโค้งของโนโมแกรมที่เครื่องหมาย 1 และ 8 ดังนั้นรากของสมการคือ 1 และ 8

คำตอบ: 1; 8.

สมการนี้เองที่แก้ได้ในตาราง Bradis ในหน้า 83 (ดูภาคผนวก 1)

ตัวอย่างที่ 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0

เมื่อหารค่าสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราจะได้สมการ:

z 2 - 4.5z + 1 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0,5.

คำตอบ: 4; 0.5.

ตัวอย่างที่ 3:x 2 - 25x + 66 = 0

ค่าสัมประสิทธิ์ p และ q นั้นผิดมาตราส่วน มาดำเนินการแทนกัน x = 5zเราได้สมการ:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

ซึ่งเราแก้โดยใช้โนโมแกรม

เราได้ z 1 = 0,6 และ z 2 = 4,4,

ที่ไหน x 1 = 5ซ 1 = 3,0 และ x 2 = 5ซ 2 = 22,0.

คำตอบ: 3; 22.

ตัวอย่างที่ 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , ก รากที่เป็นลบเราหาได้โดยการลบ รากที่เป็นบวกจาก - หน้า , เหล่านั้น. z 2 = - พี -1= - 5 - 1= -6

คำตอบ: 1; -6.

ตัวอย่างที่ 5: z 2 - 2z - 8 = 0,โนโมแกรมให้ราก z เป็นบวก 1 =4, และลบเท่ากับ z 2 = - พี -4 =

= 2 - 4= -2.

คำตอบ: 4; -2.

บทที่ 2 การแก้สมการกำลังสองด้วยสูตรรูตโดยใช้ Excel

เราตัดสินใจสร้างโปรแกรมเพื่อแก้สมการกำลังสองด้วย ใช้ Excel- เป็นที่แพร่หลาย โปรแกรมคอมพิวเตอร์- จำเป็นต้องดำเนินการคำนวณ รวบรวมตารางและไดอะแกรม คำนวณอย่างง่ายและ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- มันเป็นส่วนหนึ่งของชุด Microsoft Office

แผ่น โปรแกรมเอ็กเซลโดยที่สูตรแสดงอยู่:

การแสดงแผ่นงาน Excel ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมคำตอบของสมการกำลังสอง x 2 - 14x - 15 = 0:

บทที่ 3 การเปรียบเทียบวิธีต่างๆ ในการแก้สมการกำลังสอง

สูตรหารากของสมการกำลังสองโดยใช้ตัวจำแนก D และ D1	ความเก่งกาจเพราะว่า สามารถใช้แก้สมการกำลังสองทั้งหมดได้อย่างแน่นอน	การเลือกปฏิบัติที่ยุ่งยากไม่รวมอยู่ในตารางสี่เหลี่ยม
ทฤษฎีบทของเวียตตา	วิธีแก้ปัญหาที่รวดเร็วในบางกรณีและประหยัดเวลา	หากการแบ่งแยกไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม ไม่ใช่สัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม b และ c
การคัดเลือก สี่เหลี่ยมเต็ม	ด้วยการแปลงกำลังสองของทวินามที่ถูกต้อง เราจะได้สมการกำลังสองของรูปแบบที่ไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงหารากได้เร็วขึ้น	ความยากในการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์เมื่อใด อัตราต่อรองแบบเศษส่วนสมการ
วิธีการจัดกลุ่ม	แก้ได้โดยไม่ต้องรู้สูตร	ไม่สามารถแยกย่อยคำกลางเป็นคำที่เหมาะสมสำหรับการจัดกลุ่มได้เสมอไป
วิธีกราฟิก	ไม่จำเป็นต้องมีสูตร คุณสามารถหาจำนวนรากของสมการได้อย่างรวดเร็ว	การประมาณสารละลาย
คุณสมบัติ สัมประสิทธิ์ a,b,c	ความเร็วของสารละลาย สำหรับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูง	เหมาะสำหรับบางสมการเท่านั้น
“รีเซ็ต” ของค่าสัมประสิทธิ์หลัก	วิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วหากรากไม่เสียหาย	เช่นเดียวกับการใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
โนโมแกรม	ทัศนวิสัย สิ่งที่ต้องแก้ไขคือโนโมแกรม	คุณไม่ได้มีโนโมแกรมติดตัวเสมอไป ความไม่ถูกต้องของการแก้ปัญหา
การหารากโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด	ทัศนวิสัย	หากพิกัดกึ่งกลางเป็นตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม การค้นหารากของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูง

บทสรุป

“มักจะเป็นประโยชน์มากกว่าสำหรับผู้ที่กำลังศึกษาพีชคณิตในการแก้ปัญหาเดียวกันด้วยสามวิธีที่แตกต่างกัน มากกว่าการแก้ปัญหาสามหรือสี่ปัญหาที่แตกต่างกัน การแก้ปัญหาอย่างหนึ่ง วิธีการต่างๆคุณสามารถดูได้จากการเปรียบเทียบว่าอันไหนสั้นกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า นี่คือวิธีการพัฒนาประสบการณ์”

วอลเตอร์ วอร์วิก ซอว์เยอร์

ในระหว่างการทำงาน เราได้รวบรวมเนื้อหาและศึกษาวิธีการแก้ (หาราก) สมการกำลังสอง การแก้สมการโดยใช้วิธีต่างๆ แสดงไว้ในภาคผนวก 2

กำลังเรียน วิธีการที่แตกต่างกันการแก้สมการกำลังสองเราสรุปได้ว่าสำหรับแต่ละสมการ คุณสามารถเลือกตัวเลือกที่มีประสิทธิภาพและมีเหตุผลมากที่สุดในการค้นหาราก แต่ละโซลูชันมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและสะดวกสบายในบางกรณี วิธีการแก้ปัญหาบางวิธีช่วยให้คุณประหยัดเวลา ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาบน OGE ส่วนวิธีอื่นๆ จะช่วยแก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่สูงมาก เราพยายามเปรียบเทียบวิธีการแก้ปัญหาต่างๆ โดยรวบรวมตารางที่สะท้อนถึงข้อดีข้อเสียของแต่ละวิธี

เราได้พัฒนา เอกสารประกอบคำบรรยาย- คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับธนาคารของงานในหัวข้อในภาคผนวก 3

โดยใช้ ไมโครซอฟต์ เอ็กเซล,เราได้รวบรวม สเปรดชีตซึ่งช่วยให้คุณคำนวณรากของสมการกำลังสองได้โดยอัตโนมัติโดยใช้สูตรราก

เราทำบทเรียนเรื่อง ด้วยวิธีที่ไม่ธรรมดาการแก้สมการกำลังสองสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 นักเรียนชอบวิธีการนี้มาก โดยสังเกตว่าความรู้ที่ได้รับจะเป็นประโยชน์ต่อตนเอง การศึกษาเพิ่มเติม- ผลลัพธ์ของบทเรียนคือผลงานของนักเรียนที่พวกเขานำเสนอ ตัวเลือกต่างๆการแก้สมการกำลังสอง (ดูภาคผนวก 4)

วัสดุการทำงานสามารถใช้ได้ทั้งผู้ที่รักคณิตศาสตร์และผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์

วรรณกรรม

Bradis V. M. “ตารางทางคณิตศาสตร์สี่หลักสำหรับ โรงเรียนมัธยมปลาย", M.: อีแร้ง, 2000.

วิเลนคิน เอ็น.ยา. “ พีชคณิตสำหรับเกรด 8”, M.: Prosveshchenie, 2000

กาลิตสกี้ ม.ล. “ การรวบรวมปัญหาในพีชคณิต”, M.: Prosveshchenie 2545

Glazer G. I. “ ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน”, M.: Prosveshchenie, 1982

ซวาวิช ลี “พีชคณิตเกรด 8”, M.: Mnemosyne, 2002.

มาคารีเชฟ ยู.เอ็น. “ พีชคณิตเกรด 8”, M.: Prosveshchenie, 2015

Pluzhnikov I. “10 วิธีแก้สมการกำลังสอง” // คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน - 2000.- ฉบับที่ 40.

เพรสแมน เอ.เอ. “ การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด” // M., Kvant, No. 4/72, p.34

สะวิน เอ.พี. - พจนานุกรมสารานุกรมนักคณิตศาสตร์หนุ่ม"

อ.: การสอน, 2532.

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต:

http://revolution.allbest.ru/

ภาคผนวก 1

"คอลเลกชันของ BRADIS V.M."

ภาคผนวก 2

“การแก้สมการทุกวิถีทาง”

สมการดั้งเดิม:4x 2 +3x -1 = 0

1.สูตรหารากของสมการกำลังสองโดยใช้ดิสติมิแนนต์ ดี

4x 2 +3x -1 = 0

ด=ข 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>สมการมีสองราก

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. ทฤษฎีบทของเวียตตา

4x 2 +3x -1 = 0,หารสมการด้วย 4 เพื่อให้ลดลง

เอ็กซ์ 2 +x -=0

เอ็กซ์ 1 = -1

เอ็กซ์ 2 =

3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

เอ็กซ์ 1 = x 2 = -1

4. วิธีการจัดกลุ่ม

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,ผลิตภัณฑ์ =0 เมื่อหนึ่งในปัจจัย =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

เอ็กซ์ 1 = x 2 = -1

5. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์

4x 2 +3x -1 = 0

ถ้า a - b+c=0 แล้ว = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. วิธีการ “ขว้าง” ค่าสัมประสิทธิ์หลัก

4x 2 +3x -1 = 0

ย 2 +3y - 4 = 0

ทฤษฎีบทของเวียตต้า:

ย 1 = -4

ย 2 = 1

ลองหารรากที่พบด้วยสัมประสิทธิ์หลักแล้วรับรากของสมการของเรา:

เอ็กซ์ 1 = -1

เอ็กซ์ 2 =

7. วิธีการแก้สมการกำลังสองโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด

4x 2 +3x -1 = 0

กำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมโดยใช้สูตร:

เอ็กซ์ 1 = -1

เอ็กซ์ 2 =

8. โซลูชันกราฟิก

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

ในระบบพิกัดหนึ่ง เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน ย = 4x 2 และกราฟของฟังก์ชัน

y = - 3x+1เมื่อกำหนดจุดตัดของจุดตัดแล้วเราจะได้คำตอบ:

เอ็กซ์ 1 = -1

9. การใช้โนโมแกรม

4x 2 +3x -1 = 0,หารค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ 1/4 เราได้สมการ

เอ็กซ์ 2 +x -= 0.

โนโมแกรมให้รากที่เป็นบวก = ,

และเราค้นหารากที่เป็นลบโดยการลบรากที่เป็นบวกจาก - p , เหล่านั้น.

x 2 = - พี -=- -= -1.

10. การแก้สมการนี้ใน EXCEL

ภาคผนวก 3

"เนื้อหาการสอนสำหรับหัวข้อนี้

“การแก้สมการกำลังสอง” »

10x 2 + 2017x + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

ภาคผนวก 4

"งานของนักเรียน"

ในความรู้ คณิตศาสตร์ของโรงเรียนจะทำให้เด็กได้ยินคำว่า “สมการ” เป็นครั้งแรก นี่คืออะไร เราลองมาคิดกันดู ในบทความนี้เราจะดูประเภทและวิธีการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์. สมการ

ก่อนอื่นเราขอแนะนำให้คุณเข้าใจแนวคิดนี้ก่อนว่าคืออะไร? ดังที่หนังสือเรียนคณิตศาสตร์หลายเล่มกล่าวไว้ สมการคือสำนวนที่ต้องมีเครื่องหมายเท่ากับ นิพจน์เหล่านี้มีตัวอักษรที่เรียกว่าตัวแปรซึ่งจะต้องค้นหาค่า

นี่คือแอตทริบิวต์ของระบบที่เปลี่ยนแปลงค่า ตัวอย่างที่ชัดเจนตัวแปรคือ:

• อุณหภูมิอากาศ
• การเจริญเติบโตของเด็ก
• น้ำหนักและอื่น ๆ

ในทางคณิตศาสตร์ พวกมันถูกกำหนดด้วยตัวอักษร เช่น x, a, b, c... โดยปกติงานทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังนี้: ค้นหาค่าของสมการ ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแปรเหล่านี้

พันธุ์

สมการ (เราพูดถึงว่ามันคืออะไรในย่อหน้าก่อนหน้า) สามารถอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

• เชิงเส้น;
• สี่เหลี่ยม;
• ลูกบาศก์;
• พีชคณิต;
• เหนือธรรมชาติ

หากต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมทุกประเภทเราจะพิจารณาแยกกัน

สมการเชิงเส้น

นี่เป็นสายพันธุ์แรกที่เด็กนักเรียนได้รู้จัก พวกเขาได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็วและง่ายดาย แล้วสมการเชิงเส้นคืออะไร? นี่คือนิพจน์ในรูปแบบ: ah=c ยังไม่ชัดเจนนัก เรามายกตัวอย่างกัน: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

ลองดูตัวอย่างของสมการ ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องรวบรวมข้อมูลที่ทราบทั้งหมดในด้านหนึ่ง และข้อมูลที่ไม่รู้จักอีกด้านหนึ่ง: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. ใช้ที่นี่ กฎพื้นฐานคณิตศาสตร์: a*c=e จากนี้ c=e/a; ก=อี/ค. เพื่อแก้สมการให้สมบูรณ์ เราต้องกระทำสิ่งหนึ่ง (ในกรณีของเราคือการหาร) x = 13; x=8; x=5. นี่คือตัวอย่างของการคูณ ตอนนี้เรามาดูการลบและการบวกกัน: x+3=9; 10x-5=15. เราถ่ายโอนข้อมูลที่ทราบไปในทิศทางเดียว: x=9-3; x=20/10. ดำเนินการล่าสุด: x=6; x=2.

สมการเชิงเส้นแบบต่างๆ ก็เป็นไปได้เช่นกัน โดยที่ใช้ตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว: 2x-2y=4 ในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องบวก 2y ในแต่ละส่วน เราจะได้ 2x-2y+2y=4-2y ดังที่เราสังเกตเห็น ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ -2y และ +2y ยกเลิก เหลือเพียง: 2x=4 -2у. ขั้นตอนสุดท้ายคือหารแต่ละส่วนด้วยสอง เราจะได้คำตอบ: x เท่ากับ 2 ลบ y

ปัญหาเกี่ยวกับสมการยังพบได้แม้แต่ในกระดาษปาปิรุสของอาห์มส์ ปัญหาหนึ่งคือ ตัวเลขและส่วนที่สี่รวมกันได้ 15 เพื่อแก้ปัญหานี้ เราเขียนสมการต่อไปนี้: x บวกหนึ่งในสี่ x เท่ากับสิบห้า เราเห็นอีกตัวอย่างหนึ่งตามผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา เราได้คำตอบ: x=12 แต่ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่งคือชาวอียิปต์หรือวิธีการสันนิษฐานที่เรียกต่างกัน ใช้ในกระดาษปาปิรัส วิธีแก้ไขปัญหาถัดไป: เอาสี่และส่วนที่สี่คือหนึ่ง รวมแล้วให้ห้า ตอนนี้สิบห้าต้องหารด้วยผลรวม เราได้สาม ขั้นตอนสุดท้ายคือคูณสามด้วยสี่ เราได้รับคำตอบ: 12. เหตุใดเราจึงหาร 15 ด้วย 5 ในคำตอบ? เราหาได้กี่ครั้งว่าสิบห้า นั่นคือผลลัพธ์ที่เราต้องได้น้อยกว่าห้า ปัญหาได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้ในยุคกลาง กลายเป็นที่รู้จักในนามวิธีการวางตำแหน่งที่ผิดพลาด

สมการกำลังสอง

นอกจากตัวอย่างที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้แล้ว ยังมีตัวอย่างอื่นๆ อีก อันไหนกันแน่? สมการกำลังสอง มันคืออะไร? พวกมันดูเหมือน ax 2 +bx+c=0 ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดและกฎเกณฑ์บางประการ

ขั้นแรก คุณต้องหาตัวจำแนกโดยใช้สูตร: b 2 -4ac ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการตัดสินใจมีสามประการ:

• เลือกปฏิบัติ มากกว่าศูนย์;
• น้อยกว่าศูนย์
• เท่ากับศูนย์

ในตัวเลือกแรก เราสามารถได้คำตอบจากสองราก ซึ่งพบได้ตามสูตร: -b+-root ของตัวแยกแยะหารด้วยสองเท่าของสัมประสิทธิ์แรก นั่นคือ 2a

ในกรณีที่สอง สมการไม่มีราก ในกรณีที่สาม พบรากโดยใช้สูตร: -b/2a

ลองดูตัวอย่างสมการกำลังสองเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม: สาม x กำลังสอง ลบ สิบสี่ x ลบ ห้า เท่ากับศูนย์ เริ่มต้นด้วยตามที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้ เรากำลังมองหาการแบ่งแยก ในกรณีของเรามันเท่ากับ 256 โปรดทราบว่าจำนวนผลลัพธ์มากกว่าศูนย์ ดังนั้น เราควรได้คำตอบที่ประกอบด้วยสองราก เราแทนที่ผลการแบ่งแยกผลลัพธ์เป็นสูตรเพื่อค้นหาราก ผลลัพธ์ที่ได้คือ: x เท่ากับห้าและลบหนึ่งในสาม

กรณีพิเศษในสมการกำลังสอง

นี่คือตัวอย่างที่มีค่าบางค่าเป็นศูนย์ (a, b หรือ c) และอาจมากกว่าหนึ่งค่า

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการต่อไปนี้ซึ่งเป็นกำลังสอง: 2 x กำลังสองเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้เราจะเห็นว่า b และ c เท่ากับศูนย์ ลองแก้มันกัน โดยหารทั้งสองข้างของสมการด้วยสอง เราได้: x 2 = 0 ผลลัพธ์ที่ได้คือ x=0

อีกกรณีหนึ่งคือ 16x 2 -9=0 ที่นี่เท่านั้น b=0 มาแก้สมการโดยโอนสัมประสิทธิ์อิสระไปทางด้านขวา: 16x 2 = 9 ตอนนี้เราหารแต่ละส่วนด้วยสิบหก: x 2 = เก้าสิบหก เนื่องจากเรามี x กำลังสอง รากของ 9/16 จึงเป็นลบหรือบวกก็ได้ เราเขียนคำตอบดังนี้: x เท่ากับบวก/ลบสามในสี่

คำตอบที่เป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือสมการไม่มีรากเลย ลองดูตัวอย่างนี้: 5x 2 +80=0 ที่นี่ b=0 วิธีแก้ไข ให้โยนพจน์อิสระไปทางด้านขวา หลังจากการกระทำเหล่านี้ เราได้: 5x 2 = -80 ตอนนี้เราหารแต่ละส่วนด้วย 5: x 2 = ลบสิบหก ถ้าจำนวนใดถูกยกกำลังสองแล้ว ค่าลบเราจะไม่ได้รับมัน ดังนั้น คำตอบของเราคือ สมการไม่มีราก

การขยายตัวแบบไตรโนเมียล

งานเกี่ยวกับสมการกำลังสองสามารถมีลักษณะเช่นนี้: ขยาย ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a(x-x 1)(x-x 2) ในการทำเช่นนี้เช่นเดียวกับงานเวอร์ชันอื่นคุณต้องค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: 3x 2 -14x-5 แยกตัวประกอบตรีโกณมิติ เราพบการแบ่งแยกโดยใช้สูตรที่เรารู้จักอยู่แล้ว ปรากฎว่ามีค่าเท่ากับ 256 เราทราบทันทีว่า 256 มากกว่าศูนย์ ดังนั้นสมการจะมีสองราก เราพบพวกมัน เช่นเดียวกับในย่อหน้าก่อนหน้า เรามี: x = ห้าและลบหนึ่งในสาม ลองใช้สูตรแยกตัวประกอบตรีโกณมิติ: 3(x-5)(x+1/3) ในวงเล็บที่สอง เราได้เครื่องหมายเท่ากับ เนื่องจากสูตรมีเครื่องหมายลบ และรากก็เป็นลบเช่นกัน โดยใช้ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ในผลรวมเรามีเครื่องหมายบวก เพื่อให้ง่ายขึ้น ลองคูณพจน์ที่หนึ่งและสามของสมการเพื่อกำจัดเศษส่วน: (x-5)(x+1)

สมการลดลงเป็นกำลังสอง

ใน ณ จุดนี้มาเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาเพิ่มเติม สมการที่ซับซ้อน- เริ่มจากตัวอย่างทันที:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0 เราสามารถสังเกตเห็นองค์ประกอบที่ซ้ำกัน: (x 2 - 2x) เพื่อแก้มัน จะสะดวกสำหรับเราที่จะแทนที่มันด้วยตัวแปรอื่น แล้ว แก้สมการกำลังสองปกติทันที เราทราบว่าในงานดังกล่าวเราจะได้รากสี่อันซึ่งคุณไม่ควรกลัว เราแสดงถึงการซ้ำซ้อนของตัวแปร a เราได้รับ: 2 -2a-3=0 ขั้นต่อไปของเราคือค้นหาการแบ่งแยกสมการใหม่ เราได้ 16 หาสองราก ลบหนึ่งกับสาม เราจำได้ว่าเราทำการแทนที่ แทนที่ค่าเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงได้สมการ: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. เราแก้ไขมันด้วยคำตอบแรก: x เท่ากับหนึ่งประการที่สอง: x เท่ากับลบหนึ่งและสาม เราเขียนคำตอบดังนี้: บวก/ลบ หนึ่งและสาม ตามกฎแล้วคำตอบจะเขียนโดยเรียงจากน้อยไปหามาก

สมการลูกบาศก์

ลองดูอีกอันหนึ่ง ตัวเลือกที่เป็นไปได้. มันเกี่ยวกับโอ สมการลูกบาศก์- ดูเหมือนว่า: ax 3 + b x 2 + cx + d =0 เราจะดูตัวอย่างสมการด้านล่าง แต่ก่อนอื่น มาดูทฤษฎีเล็กๆ น้อยๆ ก่อน พวกมันสามารถมีได้สามราก และยังมีสูตรสำหรับค้นหาตัวแยกแยะสำหรับสมการกำลังสามด้วย

ลองดูตัวอย่าง: 3x 3 +4x 2 +2x=0 จะแก้ปัญหาอย่างไร? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเพียงใส่ x ออกจากวงเล็บ: x(3x 2 +4x+2)=0 สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณรากของสมการในวงเล็บ การแบ่งแยกสมการกำลังสองในวงเล็บน้อยกว่าศูนย์ ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ นิพจน์มีราก: x=0

พีชคณิต. สมการ

เรามาต่อกันที่ มุมมองถัดไป- ตอนนี้เราจะมาดูกันสั้น ๆ สมการพีชคณิต- งานอย่างหนึ่งมีดังนี้: ปัจจัย 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5 วิธีที่สะดวกที่สุดคือการจัดกลุ่มดังนี้: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5) โปรดทราบว่าเราแทน 8x 2 จากนิพจน์แรกเป็นผลรวมของ 3x 2 และ 5x 2 ตอนนี้เรานำปัจจัยร่วม 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) ออกจากแต่ละวงเล็บ เราพบว่าเรามีตัวประกอบร่วม: x กำลังสองบวกหนึ่ง เราเอามันออกจากวงเล็บ: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5) ไม่สามารถขยายเพิ่มเติมได้เนื่องจากสมการทั้งสองมีการแบ่งแยกเชิงลบ

สมการเหนือธรรมชาติ

เราขอแนะนำให้คุณจัดการกับประเภทต่อไปนี้ สมการเหล่านี้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ ได้แก่ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ หรือเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 และอื่นๆ คุณจะได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์เหล่านี้ในหลักสูตรตรีโกณมิติ

การทำงาน

ขั้นตอนสุดท้ายคือการพิจารณาแนวคิดเรื่องสมการของฟังก์ชัน ต่างจากตัวเลือกก่อนหน้านี้ ประเภทนี้ไม่ได้รับการแก้ไข แต่มีการสร้างกำหนดการตามนั้น ในการทำเช่นนี้ควรวิเคราะห์สมการให้ดีค้นหาจุดที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการก่อสร้างและคำนวณคะแนนต่ำสุดและสูงสุด

สมการที่แสดงถึงตรีโกณมิติกำลังสองมักเรียกว่าสมการกำลังสอง จากมุมมองพีชคณิต อธิบายได้ด้วยสูตร a*x^2+b*x+c=0 ในสูตรนี้ x คือค่าที่ไม่รู้จักที่ต้องค้นหา (เรียกว่าตัวแปรอิสระ) a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์ตัวเลข มีข้อจำกัดหลายประการเกี่ยวกับส่วนประกอบที่ระบุ เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ a ไม่ควรเท่ากับ 0

การแก้สมการ: แนวคิดของการแยกแยะ

ค่าของค่า x ที่ไม่ทราบค่าซึ่งสมการกำลังสองกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเรียกว่ารากของสมการดังกล่าว ในการแก้สมการกำลังสอง คุณต้องหาค่าของสัมประสิทธิ์พิเศษก่อน นั่นคือค่าจำแนก ซึ่งจะแสดงจำนวนรากของความเท่าเทียมกันที่ต้องการ การแบ่งแยกคำนวณโดยใช้สูตร D=b^2-4ac ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของการคำนวณอาจเป็นค่าบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

โปรดทราบว่าแนวคิดนี้กำหนดให้เฉพาะสัมประสิทธิ์ a เท่านั้นที่จะแตกต่างจาก 0 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น สัมประสิทธิ์ b สามารถเท่ากับ 0 และสมการในกรณีนี้จะอยู่ในรูปแบบ a*x^2+c =0. ในสถานการณ์เช่นนี้ ควรใช้ค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0 ในสูตรในการคำนวณการแบ่งแยกและราก ดังนั้น การแบ่งแยกในกรณีนี้จะถูกคำนวณเป็น D=-4ac

การแก้สมการด้วยการจำแนกเชิงบวก

หากการแบ่งแยกสมการกำลังสองเป็นบวก เราสามารถสรุปได้ว่าความเท่าเทียมกันนี้มีสองราก รากเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a ดังนั้นในการคำนวณค่ารากของสมการกำลังสองที่ ค่าบวกมีการใช้การเลือกปฏิบัติ ค่านิยมที่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ที่มีอยู่ใน. โดยการใช้ผลรวมและผลต่างในสูตรคำนวณรากผลลัพธ์ของการคำนวณจะเป็นสองค่าที่ทำให้ความเท่าเทียมกันในคำถามเป็นจริง

การแก้สมการด้วยการแบ่งประเภทเป็นศูนย์และลบ

หากการแบ่งแยกสมการกำลังสองกลายเป็น 0 เราก็สรุปได้ สมการที่ระบุมีหนึ่งราก พูดอย่างเคร่งครัด ในสถานการณ์นี้ สมการยังคงมีรากอยู่สองราก แต่เนื่องจากไม่มีการแบ่งแยก สมการจึงจะเท่ากัน ในกรณีนี้ x=-b/2a หากในระหว่างขั้นตอนการคำนวณค่าของตัวแยกแยะกลายเป็นลบก็ควรสรุปได้ว่าสมการกำลังสองที่เป็นปัญหาไม่มีรากนั่นคือค่าของ x ที่ทำให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง .