ฟังก์ชันคลื่นของอนุภาค ความหมายทางกายภาพของฟังก์ชันคลื่น

> ฟังก์ชั่นคลื่น

อ่านเกี่ยวกับ ฟังก์ชันคลื่นและทฤษฎีความน่าจะเป็นของกลศาสตร์ควอนตัม: สาระสำคัญของสมการชโรดิงเงอร์ สถานะของอนุภาคควอนตัม ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก โครงร่าง

เรากำลังพูดถึงแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งอธิบายสถานะควอนตัมของอนุภาคและพฤติกรรมของมัน

งานการเรียนรู้

• รวมฟังก์ชันคลื่นและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการตรวจจับอนุภาค

ประเด็นสำคัญ

• |ψ| 2 (x) สอดคล้องกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการตรวจจับอนุภาคในสถานที่และช่วงเวลาหนึ่งๆ
• กฎของกลศาสตร์ควอนตัมกำหนดลักษณะของวิวัฒนาการของฟังก์ชันคลื่น สมการชโรดิงเงอร์อธิบายชื่อของมัน
• ฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นไปตามข้อจำกัดทางคณิตศาสตร์หลายประการสำหรับการคำนวณและการตีความทางกายภาพ

ข้อกำหนด

• สมการชโรดิงเงอร์เป็นอนุพันธ์ย่อยที่แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงสถานะของระบบทางกายภาพ คิดค้นขึ้นในปี 1925 โดย Erwin Schrödinger
• ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เป็นระบบที่เมื่อถูกแทนที่จากตำแหน่งเดิม จะได้รับอิทธิพลของแรง F ที่แปรผันกับการกระจัด x

ภายในกลศาสตร์ควอนตัม ฟังก์ชันคลื่นสะท้อนถึงแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นที่แสดงลักษณะสถานะควอนตัมของอนุภาคและพฤติกรรมของมัน โดยปกติค่าจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน สัญลักษณ์ฟังก์ชันคลื่นที่พบมากที่สุดคือ ψ (x) หรือ Ψ(x) แม้ว่า ψ จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน |ψ| 2 เป็นจริงและสอดคล้องกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคในสถานที่และเวลาหนึ่งๆ

เส้นทางการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์จะแสดงในรูปแบบคลาสสิก (A-B) และควอนตัม (ค-ซ) กลศาสตร์ ในควอนตัมบอล ฟังก์ชันคลื่นจะแสดงโดยส่วนจริงเป็นสีน้ำเงินและส่วนจินตภาพเป็นสีแดง ไบร์ทค-F เป็นตัวอย่างของคลื่นนิ่ง แต่ละความถี่ดังกล่าวจะเป็นสัดส่วนกับระดับพลังงานที่เป็นไปได้ของออสซิลเลเตอร์

กฎของกลศาสตร์ควอนตัมมีวิวัฒนาการไปตามกาลเวลา ฟังก์ชันคลื่นคล้ายกับฟังก์ชันอื่นๆ เช่น คลื่นในน้ำหรือสายอักขระ ความจริงก็คือ สูตรชโรดิงเงอร์เป็นสมการคลื่นประเภทหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งนี้นำไปสู่ความเป็นสองเท่าของอนุภาคคลื่น

ฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นไปตามข้อจำกัด:

• สุดท้ายเสมอ
• ต่อเนื่องกันเสมอและหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง
• เป็นไปตามเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานที่สอดคล้องกันเพื่อให้อนุภาคมีอยู่ด้วยความแน่นอน 100%

หากไม่เป็นไปตามข้อกำหนด ฟังก์ชันคลื่นจะไม่สามารถตีความเป็นแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นได้ หากเราเพิกเฉยต่อตำแหน่งเหล่านี้และใช้ฟังก์ชันคลื่นเพื่อพิจารณาการสังเกตของระบบควอนตัม เราจะไม่ได้รับค่าที่แน่นอนและแน่นอน

ร่างกาย-คลื่นคู่ในควอนตัมฟิสิกส์อธิบายสถานะของอนุภาคโดยใช้ฟังก์ชันคลื่น ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-ฟังก์ชัน)

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม มันอธิบายสถานะของระบบที่มีขนาดในอวกาศ มันเป็นเวกเตอร์สถานะ

ฟังก์ชันนี้ซับซ้อนและมีคุณสมบัติเป็นคลื่นอย่างเป็นทางการ การเคลื่อนที่ของอนุภาคใด ๆ ในไมโครเวิร์ลนั้นถูกกำหนดโดยกฎแห่งความน่าจะเป็น การกระจายความน่าจะเป็นจะถูกเปิดเผยเมื่อมีการสังเกต (การวัด) จำนวนมากหรืออนุภาคจำนวนมาก การกระจายที่ได้จะคล้ายกับการกระจายของความเข้มของคลื่น นั่นคือในสถานที่ที่มีความเข้มสูงสุด จำนวนอนุภาคสูงสุดจะถูกบันทึกไว้

ชุดของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันคลื่นกำหนดตัวแทนของมัน ดังนั้น การแสดงพิกัดจึงเป็นไปได้: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, การแสดงโมเมนตัม: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ เป็นต้น

ในฟิสิกส์ควอนตัม เป้าหมายไม่ใช่การทำนายเหตุการณ์อย่างแม่นยำ แต่เป็นการประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เมื่อทราบขนาดของความน่าจะเป็นให้หาค่าเฉลี่ยของปริมาณทางกายภาพ ฟังก์ชันคลื่นช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นที่คล้ายกันได้

ดังนั้นความน่าจะเป็นของการมีอยู่ของอนุภาคขนาดเล็กในปริมาตร dV ณ เวลา t สามารถกำหนดเป็น:

โดยที่ $\psi^*$ เป็นฟังก์ชันคอนจูเกตที่ซับซ้อนของฟังก์ชัน $\psi.$ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (ความน่าจะเป็นต่อหน่วยปริมาตร) คือ:

ความน่าจะเป็นคือปริมาณที่สามารถสังเกตได้จากการทดลอง ในเวลาเดียวกัน ฟังก์ชันคลื่นไม่พร้อมใช้งานสำหรับการสังเกต เนื่องจากมีความซับซ้อน (ในฟิสิกส์คลาสสิก พารามิเตอร์ที่แสดงลักษณะสถานะของอนุภาคมีให้สำหรับการสังเกต)

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับ $\psi$-functions

ฟังก์ชันคลื่นถูกกำหนดเป็นค่าคงที่โดยพลการ ข้อเท็จจริงนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อสถานะของอนุภาค ซึ่งฟังก์ชัน $\psi$- อธิบายไว้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันคลื่นถูกเลือกในลักษณะที่เป็นไปตามเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน:

โดยที่อินทิกรัลถูกยึดครองพื้นที่ทั้งหมดหรือในพื้นที่ที่ฟังก์ชันคลื่นไม่เท่ากับศูนย์ เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน (2) หมายความว่าในพื้นที่ทั้งหมดที่ $\psi\ne 0$ มีอนุภาคอยู่จริง ฟังก์ชันคลื่นที่เป็นไปตามเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานเรียกว่าทำให้เป็นมาตรฐาน ถ้า $(\left|\psi\right|)^2=0$ แสดงว่าเงื่อนไขนี้หมายความว่าไม่มีอนุภาคในพื้นที่ที่ศึกษาอย่างแน่นอน

การทำให้เป็นมาตรฐานของรูปแบบ (2) เป็นไปได้สำหรับสเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่องของค่าลักษณะเฉพาะ

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานอาจไม่สามารถทำได้ ดังนั้น ถ้า $\psi$ เป็นฟังก์ชันคลื่นระนาบ de Broglie และความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคจะเท่ากันทุกจุดในอวกาศ กรณีเหล่านี้ถือเป็นแบบจำลองในอุดมคติที่อนุภาคมีอยู่ในพื้นที่ขนาดใหญ่แต่จำกัด

หลักการซ้อนฟังก์ชันคลื่น

หลักการนี้เป็นหนึ่งในสมมติฐานหลักของทฤษฎีควอนตัม ความหมายของมันคือ: ถ้าสำหรับบางระบบสถานะที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น $\psi_1\ (\rm u)\ $ $\psi_2$ เป็นไปได้ ดังนั้นสำหรับระบบนี้จะมีสถานะ:

โดยที่ $C_(1\ )และ\ C_2$ เป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ หลักการของการทับซ้อนได้รับการยืนยันในเชิงประจักษ์

เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการเพิ่มสถานะควอนตัมจำนวนเท่าใดก็ได้:

โดยที่ $(\left|C_n\right|)^2$ คือความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น $\psi_n.$

รัฐนิ่ง

ในทฤษฎีควอนตัม สถานะหยุดนิ่ง (สถานะที่พารามิเตอร์ทางกายภาพที่สังเกตได้ทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) มีบทบาทพิเศษ (โดยพื้นฐานแล้วฟังก์ชันคลื่นนั้นไม่สามารถสังเกตได้) ในสถานะคงที่ $\psi$-ฟังก์ชันมีรูปแบบ:

โดยที่ $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา $E$ คือพลังงานของอนุภาค ในรูปแบบ (3) ของฟังก์ชันคลื่น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ($P$) เป็นค่าคงที่ของเวลา:

จากคุณสมบัติทางกายภาพของสถานะหยุดนิ่ง ให้ปฏิบัติตามข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันคลื่น $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$

ข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันคลื่นสำหรับสภาวะหยุดนิ่ง

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - ฟังก์ชันต้องอยู่ที่ทุกจุด:

• ต่อเนื่อง,
• ไม่คลุมเครือ
• จำกัด

ถ้าพลังงานศักย์มีพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่อง บนพื้นผิวดังกล่าว ฟังก์ชัน $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ และอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะต้องต่อเนื่องกัน ในพื้นที่ของอวกาศที่พลังงานศักย์กลายเป็นอนันต์ $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ต้องเท่ากับศูนย์ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ กำหนดให้ $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ บนขอบเขตใดๆ ของขอบเขตนี้ เงื่อนไขความต่อเนื่องถูกกำหนดให้กับอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันคลื่น ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ บางส่วน z)$).

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย:สำหรับบางอนุภาค ฟังก์ชันคลื่นของรูปแบบจะได้รับ: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$ โดยที่ $r$ คือระยะทางจากอนุภาคถึง จุดศูนย์กลางของแรง (รูปที่ 1 ), $a=const$ ใช้เงื่อนไขนอร์มัลไลเซชัน หาปัจจัยนอร์มัลไลเซชัน A

รูปภาพที่ 1

วิธีการแก้:

เราเขียนเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับกรณีของเราในรูปแบบ:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right)))\]

โดยที่ $dV=4\pi r^2dr$ (ดูรูปที่ 1 จากเงื่อนไขจะเห็นได้ชัดว่าปัญหามีความสมมาตรเป็นทรงกลม) จากเงื่อนไขของปัญหาเราได้:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1.2\right).\]

ให้เราแทนที่ $dV$ และฟังก์ชันคลื่น (1.2) ลงในเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ ขวา).)\]

มารวมเข้าด้วยกันทางด้านซ้าย:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\left(1.4\right))\]

จากสูตร (1.4) เราแสดงค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ:

ตอบ:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย:ระยะทางที่เป็นไปได้มากที่สุด ($r_B$) ของอิเล็กตรอนจากนิวเคลียสคือเท่าใด หากฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายสถานะพื้นของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนสามารถกำหนดได้ดังนี้ $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$ โดยที่ $r$ คือระยะทางจากอิเล็กตรอนถึงนิวเคลียส $a$ คือรัศมีบอร์แรก

วิธีการแก้:

เราใช้สูตรที่กำหนดความน่าจะเป็นของการมีอยู่ของอนุภาคขนาดเล็กในปริมาตร $dV$ ณ เวลา $t$:

โดยที่ $dV=4\pi r^2dr.\ $ ดังนั้น เรามี:

ในกรณีนี้ $p=\frac(dP)(dr)$ สามารถเขียนเป็น:

เพื่อกำหนดระยะทางที่เป็นไปได้มากที่สุด เราเทียบอนุพันธ์ $\frac(dp)(dr)$ เป็นศูนย์:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(ก)\right)=0(2.4)\]

เนื่องจากวิธีแก้ปัญหา $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ ไม่เหมาะกับเรา จึงถูกปฏิเสธ:

การค้นพบคุณสมบัติคลื่นของอนุภาคขนาดเล็กบ่งชี้ว่ากลศาสตร์แบบดั้งเดิมไม่สามารถให้คำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับพฤติกรรมของอนุภาคดังกล่าวได้ ทฤษฎีที่ครอบคลุมคุณสมบัติทั้งหมดของอนุภาคมูลฐานต้องคำนึงถึงไม่เพียงแค่คุณสมบัติทางร่างกายของอนุภาคเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคุณสมบัติของคลื่นด้วย จากการทดลองที่พิจารณาก่อนหน้านี้ เป็นไปตามลำแสงของอนุภาคมูลฐานที่มีคุณสมบัติของระนาบคลื่นที่แพร่กระจายในทิศทางของความเร็วของอนุภาค ในกรณีของการแพร่กระจายไปตามแกน กระบวนการของคลื่นนี้สามารถอธิบายได้ด้วยสมการคลื่น de Broglie (7.43.5):

(7.44.1)

พลังงานและโมเมนตัมของอนุภาคอยู่ที่ไหน เมื่อเผยแพร่ในทิศทางโดยพลการ:

(7.44.2)

เรียกฟังก์ชันนี้ว่าฟังก์ชันคลื่นและค้นหาความหมายทางกายภาพโดยการเปรียบเทียบการเลี้ยวเบนของคลื่นแสงและอนุภาคขนาดเล็ก

ตามแนวคิดของคลื่นเกี่ยวกับธรรมชาติของแสง ความเข้มของรูปแบบการเลี้ยวเบนจะเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่นแสง ตามแนวคิดของทฤษฎีโฟตอน ความเข้มถูกกำหนดโดยจำนวนโฟตอนที่ตกลงไปยังจุดที่กำหนดของรูปแบบการเลี้ยวเบน ดังนั้น จำนวนโฟตอน ณ จุดที่กำหนดในรูปแบบการเลี้ยวเบนจะได้จากกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่นแสง ในขณะที่สำหรับโฟตอนเดียว แอมพลิจูดกำลังสองจะเป็นตัวกำหนดความน่าจะเป็นที่โฟตอนจะตกกระทบจุดใดจุดหนึ่ง

รูปแบบการเลี้ยวเบนที่สังเกตได้สำหรับอนุภาคขนาดเล็กนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยการกระจายฟลักซ์ของอนุภาคขนาดเล็กที่ไม่เท่ากัน การปรากฏตัวของค่าสูงสุดในรูปแบบการเลี้ยวเบนจากมุมมองของทฤษฎีคลื่นหมายความว่าทิศทางเหล่านี้สอดคล้องกับความเข้มสูงสุดของคลื่น de Broglie ความเข้มจะมากขึ้นเมื่อจำนวนอนุภาคมากขึ้น ดังนั้น รูปแบบการเลี้ยวเบนของอนุภาคขนาดเล็กจึงเป็นการแสดงถึงความสม่ำเสมอทางสถิติ และเราสามารถพูดได้ว่าความรู้เกี่ยวกับรูปแบบคลื่น de Broglie เช่น Ψ -ฟังก์ชั่น ช่วยให้คุณตัดสินความน่าจะเป็นของกระบวนการที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่ง

ดังนั้นในกลศาสตร์ควอนตัม สถานะของอนุภาคขนาดเล็กจึงได้รับการอธิบายในรูปแบบใหม่โดยพื้นฐาน - ด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชันคลื่น ซึ่งเป็นพาหะหลักของข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติของร่างกายและคลื่นของพวกมัน ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในองค์ประกอบของปริมาตรคือ

(7.44.3)

ค่า

(7.44.4)

มีความหมายของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น เช่น กำหนดความน่าจะเป็นของการค้นหาอนุภาคในหน่วยปริมาตรในบริเวณใกล้เคียงของจุดที่กำหนด ดังนั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันที่มีความหมายทางกายภาพ แต่เป็นกำลังสองของโมดูลัส ซึ่งกำหนดความเข้มของคลื่น de Broglie ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในปริมาตรจำกัดในแต่ละครั้ง ตามทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น เท่ากับ

(7.44.5)

เนื่องจากมีอนุภาคอยู่ จึงจำเป็นต้องพบที่ไหนสักแห่งในอวกาศ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเท่ากับหนึ่ง

. (7.44.6)

นิพจน์ (7.44.6) เรียกว่าเงื่อนไขการปรับสภาพความน่าจะเป็น ฟังก์ชันคลื่นที่แสดงลักษณะความน่าจะเป็นในการตรวจจับการกระทำของอนุภาคขนาดเล็กในองค์ประกอบปริมาตรต้องมีขอบเขตจำกัด (ความน่าจะเป็นต้องไม่มากกว่าหนึ่ง) ไม่คลุมเครือ (ความน่าจะเป็นไม่สามารถเป็นค่าที่กำกวมได้) และต่อเนื่อง (ความน่าจะเป็นไม่สามารถเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน)

ฟังก์ชันคลื่น
ฟังก์ชันคลื่น

ฟังก์ชันคลื่น (หรือเวกเตอร์สถานะ) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งอธิบายสถานะของระบบกลไกควอนตัม ความรู้ของมันช่วยให้ได้รับข้อมูลที่สมบูรณ์ที่สุดเกี่ยวกับระบบ ซึ่งสามารถทำได้โดยพื้นฐานในโลกไมโคร ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถคำนวณลักษณะทางกายภาพที่วัดได้ทั้งหมดของระบบ ความน่าจะเป็นที่จะอยู่ในที่ใดที่หนึ่งในอวกาศและวิวัฒนาการในเวลา สามารถหาฟังก์ชันคลื่นได้โดยการแก้สมการคลื่นชโรดิงเงอร์
ฟังก์ชันคลื่น ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) ของอนุภาคที่ไม่มีโครงสร้างแบบจุดเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของพิกัดของอนุภาคและเวลานี้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชันคลื่นของอนุภาคอิสระที่มีโมเมนตัมและพลังงานทั้งหมด E (ระนาบคลื่น)

.

ฟังก์ชันคลื่นของระบบ A ของอนุภาคประกอบด้วยพิกัดของอนุภาคทั้งหมด: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)
โมดูลัสกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นของแต่ละอนุภาค | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) ให้ความน่าจะเป็นในการตรวจจับอนุภาคที่เวลา t ที่จุดในอวกาศซึ่งอธิบายโดยพิกัด กล่าวคือ | ψ (,t)| 2dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz คือความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในพื้นที่ที่มีปริมาตร dv = dxdydz รอบจุด x, y, z ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะค้นหาในเวลา t ระบบ A ของอนุภาคที่มีพิกัด 1 , 2 ,..., A ในองค์ประกอบปริมาตรของปริภูมิหลายมิตินั้นกำหนดโดย | ψ ( 1 , 2 ,..., ก ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A
ฟังก์ชันคลื่นกำหนดลักษณะทางกายภาพทั้งหมดของระบบควอนตัมอย่างสมบูรณ์ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยที่สังเกตได้ของปริมาณทางกายภาพ F สำหรับระบบจะได้รับจากนิพจน์

,

ตัวดำเนินการของปริมาณนี้อยู่ที่ไหนและการรวมเข้าด้วยกันนั้นดำเนินการทั่วทั้งภูมิภาคของพื้นที่หลายมิติ
แทนที่จะใช้พิกัดอนุภาค x, y, z โมเมนต์ของพวกมัน p x , p y , p z หรือชุดปริมาณทางกายภาพอื่นๆ สามารถเลือกเป็นตัวแปรอิสระของฟังก์ชันคลื่นได้ ตัวเลือกนี้ขึ้นอยู่กับการแสดง (พิกัด โมเมนตัม หรืออื่นๆ)
ฟังก์ชันคลื่น ψ (,t) ของอนุภาคไม่ได้คำนึงถึงลักษณะภายในและระดับความอิสระ กล่าวคือ มันอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุ (จุด) ที่ไม่มีโครงสร้างทั้งหมดตามวิถี (วงโคจร) ที่แน่นอนในอวกาศ ลักษณะภายในของอนุภาคเหล่านี้อาจเป็นสปิน เฮลิซิตี้ ไอโซสปิน (สำหรับอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์รุนแรง) สี (สำหรับควาร์กและกลูออน) และอื่นๆ คุณลักษณะภายในของอนุภาคถูกกำหนดโดยฟังก์ชันคลื่นพิเศษของสถานะภายในของอนุภาค φ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันคลื่นทั้งหมดของอนุภาค Ψ สามารถแสดงเป็นผลคูณของฟังก์ชันการเคลื่อนที่ในวงโคจร ψ และฟังก์ชันภายใน φ:

เนื่องจากโดยปกติแล้วลักษณะภายในของอนุภาคและระดับความอิสระของอนุภาคซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของวงโคจรจะไม่ขึ้นต่อกัน
ตัวอย่างเช่น เราจำกัดตัวเองไว้ในกรณีที่คุณลักษณะภายในเพียงอย่างเดียวที่ฟังก์ชันนำมาพิจารณาคือการหมุนของอนุภาค และการหมุนนี้มีค่าเท่ากับ 1/2 อนุภาคที่มีการหมุนในลักษณะดังกล่าวสามารถอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่งจากสองสถานะ - โดยมีการฉายการหมุนบนแกน z เท่ากับ +1/2 (หมุนขึ้น) และด้วยการฉายการหมุนบนแกน z เท่ากับ -1/2 (หมุน ลง). ความเป็นคู่นี้อธิบายโดยฟังก์ชันสปินที่ใช้เป็นสปินเนอร์สององค์ประกอบ:

จากนั้นฟังก์ชันคลื่น Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ จะอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีการหมุน 1/2 ทิศทางขึ้นตามวิถีการเคลื่อนที่ที่กำหนดโดยฟังก์ชัน ψ และฟังก์ชันคลื่น Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ จะอธิบายการเคลื่อนที่ในวิถีโคจรเดียวกันของอนุภาคเดียวกัน แต่การหมุนจะหันลง
โดยสรุป เราทราบว่าในกลศาสตร์ควอนตัม สถานะดังกล่าวเป็นไปได้ที่ไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้ฟังก์ชันคลื่น สถานะดังกล่าวเรียกว่าสถานะผสม และมีการอธิบายในแง่ของวิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยใช้แนวคิดของเมทริกซ์ความหนาแน่น สถานะของระบบควอนตัมที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นเรียกว่าบริสุทธิ์

ในการอธิบายคุณสมบัติคลื่นของมวลกล้ามเนื้อของอิเล็กตรอนในกลศาสตร์ควอนตัม จะใช้ฟังก์ชันคลื่น ซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก psi (T) คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันคลื่นคือ:

• ณ จุดใดๆ ในอวกาศที่มีพิกัด x y, zมีเครื่องหมายและแอมพลิจูดที่แน่นอน: NPV:, ที่, ช);
• โมดูลัสกำลังสองของฟังก์ชันคลื่น | เอฟเอช, y,z)| 2 เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในหน่วยปริมาตร นั่นคือ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการค้นหาอิเล็กตรอนที่ระยะต่างๆ จากนิวเคลียสของอะตอมมีหลายวิธี มักจะถูกกำหนดโดยจำนวนจุดต่อหน่วยปริมาตร (รูปที่ 9.1 ก).บิตแมปของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคล้ายเมฆ เมื่อพูดถึงเมฆอิเล็กตรอน ควรระลึกไว้เสมอว่าอิเล็กตรอนเป็นอนุภาคที่แสดงทั้งรูปร่างและคลื่นพร้อมกัน

ข้าว. 9.1.

คุณสมบัติ. พื้นที่ความน่าจะเป็นในการตรวจจับอิเล็กตรอนไม่มีขอบเขตที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม คุณสามารถเลือกพื้นที่ที่มีความน่าจะเป็นในการตรวจจับสูงหรือสูงสุดได้

บนมะเดื่อ 9.1, กเส้นประหมายถึงพื้นผิวทรงกลมซึ่งภายในมีความน่าจะเป็นที่จะตรวจจับอิเล็กตรอนได้ 90% บนมะเดื่อ 9.1, b แสดงภาพคอนทัวร์ของความหนาแน่นของอิเล็กตรอนในอะตอมของไฮโดรเจน รูปร่างที่ใกล้กับนิวเคลียสมากที่สุดครอบคลุมพื้นที่ของอวกาศซึ่งความน่าจะเป็นในการค้นหาอิเล็กตรอนคือ 10% ในขณะที่ความน่าจะเป็นในการค้นหาอิเล็กตรอนภายในรูปร่างที่สองจากนิวเคลียสคือ 20% ภายในส่วนที่สาม - 30% เป็นต้น บนมะเดื่อ 9.1 เมฆอิเล็กตรอนถูกวาดเป็นพื้นผิวทรงกลม ซึ่งภายในมีความน่าจะเป็นที่จะตรวจจับอิเล็กตรอนได้ 90%

ในที่สุดในรูป 9.1, d และ b ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบอิเล็กตรอนอยู่ที่ระยะทางต่างกันแสดงได้ 2 วิธี ชจากแกนกลาง: ที่ด้านบนจะแสดง "การตัด" ของความน่าจะเป็นที่ผ่านแกนกลางและที่ด้านล่าง - ฟังก์ชันเอง 4lg 2 |U| 2.

สมการชโรดิงสร์ สมการพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมนี้กำหนดขึ้นโดยนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย E. Schrödinger ในปี 1926 ซึ่งเกี่ยวข้องกับพลังงานทั้งหมดของอนุภาค อีเท่ากับผลรวมของพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ พลังงานศักย์?” มวลของอนุภาค ทีและฟังก์ชันคลื่น 4* สำหรับอนุภาคเดี่ยว เช่น อิเล็กตรอนที่มีมวล t อีดูเหมือนว่า:

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ นี่คือสมการที่มีตัวไม่รู้สามตัว: Y, อีและ?". แก้ปัญหาได้เช่น คุณสามารถค้นหาสิ่งที่ไม่รู้เหล่านี้ได้หากคุณแก้มันร่วมกับสมการอีกสองสมการ (ต้องใช้สมการสามสมการเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่รู้สามอย่าง) สมการดังกล่าวจึงใช้สมการสำหรับพลังงานศักย์และเงื่อนไขขอบเขต

สมการพลังงานศักย์ไม่มีฟังก์ชันคลื่น U ซึ่งอธิบายปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคที่มีประจุตามกฎของคูลอมบ์ ในการทำงานร่วมกันของอิเล็กตรอนหนึ่งตัวกับนิวเคลียสที่มีประจุ +z พลังงานศักย์จะเท่ากับ

ที่ไหน r = Y* 2 + ย 2+ z 2 .

นี่เป็นกรณีของอะตอมอิเล็กตรอนเดียวที่เรียกว่า ในระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อมีอนุภาคมีประจุจำนวนมาก สมการพลังงานศักย์จะประกอบด้วยผลรวมของพจน์คูลอมบ์เดียวกัน

สมการเงื่อนไขขอบเขตคือนิพจน์

หมายความว่าฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่ระยะห่างจากนิวเคลียสของอะตอมมาก

การแก้สมการชโรดิงเงอร์ทำให้คุณสามารถหาฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนได้หรือไม่? = (x,ย, z) เป็นฟังก์ชันของพิกัด การกระจายนี้เรียกว่าออร์บิทัล

วงโคจร -เป็นฟังก์ชันคลื่นที่กำหนดโดยปริภูมิ

ระบบสมการซึ่งประกอบด้วยสมการชโรดิงเงอร์ พลังงานศักย์ และสมการเงื่อนไขขอบเขต ไม่ได้มีคำตอบเดียว แต่มีคำตอบมากมาย โซลูชันแต่ละรายการพร้อมกันรวม 4 x = (x,ย, ช)และ อี, เช่น. อธิบายเมฆอิเล็กตรอนและพลังงานทั้งหมดที่สอดคล้องกัน วิธีแก้ปัญหาแต่ละข้อจะถูกกำหนด เลขควอนตัม

ความหมายทางกายภาพของเลขควอนตัมสามารถเข้าใจได้โดยพิจารณาจากการสั่นสะเทือนของสตริง ซึ่งเป็นผลมาจากการเกิดคลื่นนิ่ง (รูปที่ 9.2)

ความยาวคลื่นนิ่ง เอ็กซ์และความยาวสาย ขสัมพันธ์กันด้วยสมการ

ความยาวของคลื่นนิ่งสามารถมีค่าที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดซึ่งสอดคล้องกับตัวเลขเท่านั้น พีซึ่งรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ 1,2,3 เป็นต้น ดังที่เห็นได้ชัดจากรูปที่ 9.2 จำนวนสูงสุดของแอมพลิจูดการสั่นคือ รูปทรงคลื่นนิ่ง ซึ่งกำหนดโดยค่าไม่ซ้ำกัน พี

เนื่องจากคลื่นอิเล็กตรอนในอะตอมเป็นกระบวนการที่ซับซ้อนกว่าคลื่นนิ่งของสตริง ค่าของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนจึงไม่ได้ถูกกำหนดโดยหนึ่ง แต่โดยสี่

ข้าว. 9.2.

ตัวเลข 4 ตัวซึ่งเรียกว่าเลขควอนตัมและเขียนแทนด้วยตัวอักษร พี /, ทีและ ส.กำหนดชุดของตัวเลขควอนตัม พี /, ทีสอดคล้องกับฟังก์ชันคลื่น H "lDl และพลังงานทั้งหมดพร้อมกัน อี "เจเลขควอนตัม ทีที่ อีไม่ได้ระบุ เนื่องจากในกรณีที่ไม่มีสนามภายนอก พลังงานอิเล็กตรอนจาก ทีไม่ได้ขึ้นอยู่กับ เลขควอนตัม สไม่กระทบ4 * n xt,ไม่เปิด อี เอ็น เจ

• , ~ elxv dlxv 62*หน้า
• สัญลักษณ์ --, --- หมายถึงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของเฟอร์ 1 ส่วนโค้ง 8z2 H "-ฟังก์ชัน นี่คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 ความหมายของอนุพันธ์อันดับ 1 เกิดขึ้นพร้อมกับความชันของฟังก์ชัน H" จากอาร์กิวเมนต์ x, คุณหรือ z บนกราฟ? \u003d j (x), T \u003d / 2 (y), W " \u003d /:! (z).