การเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เป็นวิทยาศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น

โปรแกรมเมอร์บางคน หลังจากทำงานพัฒนาแอปพลิเคชันเชิงพาณิชย์ทั่วไปแล้ว กำลังคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้ของเครื่องให้เชี่ยวชาญและกลายเป็นนักวิเคราะห์ข้อมูล บ่อยครั้งที่พวกเขาไม่เข้าใจว่าทำไมวิธีการบางอย่างถึงได้ผล และวิธีการเรียนรู้ของเครื่องส่วนใหญ่ดูเหมือนเวทมนตร์ ในความเป็นจริง การเรียนรู้ของเครื่องนั้นขึ้นอยู่กับสถิติทางคณิตศาสตร์ และในทางกลับกันก็ขึ้นอยู่กับทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นในบทความนี้ เราจะให้ความสนใจกับแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น เราจะพูดถึงคำจำกัดความของความน่าจะเป็น การแจกแจง และวิเคราะห์ตัวอย่างง่ายๆ

คุณอาจรู้ว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นแบ่งออกเป็น 2 ส่วนตามเงื่อนไข ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องศึกษาปรากฏการณ์ที่สามารถอธิบายได้โดยการแจกแจงที่มีจำนวนจำกัด (หรือนับได้) ของพฤติกรรมที่เป็นไปได้ (การโยนลูกเต๋า เหรียญ) ทฤษฎีความน่าจะเป็นต่อเนื่องศึกษาปรากฏการณ์ที่กระจายบนเซตที่หนาแน่น เช่น บนเซ็กเมนต์หรือในวงกลม

เป็นไปได้ที่จะพิจารณาเรื่องของทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยตัวอย่างง่ายๆ ลองนึกภาพตัวเองเป็นผู้พัฒนาเกมยิงปืน ส่วนสำคัญของการพัฒนาเกมประเภทนี้คือกลไกของการยิง เป็นที่ชัดเจนว่านักกีฬาที่อาวุธทั้งหมดยิงได้อย่างแม่นยำจะไม่ค่อยสนใจผู้เล่น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเพิ่มการแพร่กระจายให้กับอาวุธ แต่การสุ่มจุดโจมตีของอาวุธเพียงอย่างเดียวนั้นไม่สามารถปรับแต่งได้ ดังนั้นการปรับสมดุลของเกมจึงเป็นเรื่องยาก ในขณะเดียวกัน เมื่อใช้ตัวแปรสุ่มและการแจกแจง คุณสามารถวิเคราะห์ว่าอาวุธจะทำงานอย่างไรกับการแพร่กระจายที่กำหนด และช่วยทำการปรับเปลี่ยนที่จำเป็น

พื้นที่ของผลลัพธ์เบื้องต้น

สมมติว่า จากการทดลองสุ่มที่เราทำซ้ำได้หลายๆ ครั้ง (เช่น การโยนเหรียญ) เราสามารถดึงข้อมูลบางอย่างที่เป็นทางการได้ (หัวหรือก้อย) ข้อมูลนี้เรียกว่าผลลัพธ์เบื้องต้น และขอแนะนำให้พิจารณาชุดของผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด ซึ่งมักแสดงด้วยตัวอักษร Ω (Omega)

โครงสร้างของพื้นที่นี้ขึ้นอยู่กับลักษณะของการทดลองทั้งหมด ตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาที่จะยิงไปที่เป้าหมายทรงกลมที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ช่องว่างของผลลัพธ์พื้นฐานจะเป็นวงกลม เพื่อความสะดวกโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์ และผลลัพธ์จะเป็นจุดในวงกลมนี้

นอกจากนี้ยังพิจารณาชุดของผลลัพธ์พื้นฐาน - เหตุการณ์ (เช่น การตี "สิบอันดับแรก" คือวงกลมศูนย์กลางที่มีรัศมีขนาดเล็กที่มีเป้าหมาย) ในกรณีไม่ต่อเนื่อง ทุกอย่างค่อนข้างง่าย: เราสามารถรับเหตุการณ์ใด ๆ รวมทั้งหรือไม่รวมผลลัพธ์พื้นฐานในเวลาที่จำกัด อย่างไรก็ตาม ในกรณีต่อเนื่อง ทุกอย่างซับซ้อนกว่ามาก: เราจำเป็นต้องมีกลุ่มเซตที่ดีพอที่จะพิจารณา ซึ่งเรียกว่าพีชคณิต โดยเปรียบเทียบกับจำนวนจริงง่ายๆ ที่บวก ลบ หาร และคูณได้ เซตในพีชคณิตสามารถตัดและรวมกันได้ และผลลัพธ์ของการดำเนินการจะอยู่ในพีชคณิต นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญมากสำหรับคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังแนวคิดเหล่านี้ทั้งหมด ครอบครัวขั้นต่ำประกอบด้วยสองชุดเท่านั้น - ชุดว่างและช่องว่างของผลลัพธ์เบื้องต้น

การวัดและความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นเป็นวิธีการอนุมานเกี่ยวกับพฤติกรรมของวัตถุที่ซับซ้อนมากโดยไม่เข้าใจวิธีการทำงาน ดังนั้น ความน่าจะเป็นถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของเหตุการณ์ (จากกลุ่มชุดที่ดีมากนั้น) ซึ่งจะส่งคืนตัวเลข - ลักษณะบางอย่างของความถี่ที่เหตุการณ์ดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้ในความเป็นจริง เพื่อความชัดเจน นักคณิตศาสตร์เห็นพ้องต้องกันว่าตัวเลขนี้ควรอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง นอกจากนี้ ฟังก์ชันนี้กำหนดข้อกำหนด: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั้งชุดคือเอกภาพ และความน่าจะเป็นของการรวมสองเหตุการณ์อิสระ (ชุดที่ไม่ต่อเนื่องกัน) เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น . ชื่ออื่นสำหรับความน่าจะเป็นคือการวัดความน่าจะเป็น การวัด Lebesgue ที่ใช้บ่อยที่สุด ซึ่งสรุปแนวคิดของความยาว พื้นที่ ปริมาตรเป็นมิติใดๆ (ปริมาตร n มิติ) และด้วยเหตุนี้จึงใช้ได้กับเซตระดับกว้างๆ

เรียกเซตของเซตของผลลัพธ์เบื้องต้น เซตของเซต และการวัดความน่าจะเป็นร่วมกัน พื้นที่ความน่าจะเป็น. มาดูกันว่าเราจะสร้างพื้นที่ความน่าจะเป็นสำหรับตัวอย่างการยิงเป้าได้อย่างไร

พิจารณาการยิงไปที่เป้าหมายทรงกลมขนาดใหญ่รัศมี R ที่ไม่ควรพลาด ในฐานะที่เป็นชุดของเหตุการณ์เบื้องต้น เราวางวงกลมไว้ตรงกลางที่จุดกำเนิดของพิกัดรัศมี R . เนื่องจากเราจะใช้พื้นที่ (หน่วยวัด Lebesgue สำหรับชุดสองมิติ) เพื่ออธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เราจึงใช้กลุ่มชุดที่วัดได้ (ซึ่งมีการวัดนี้อยู่)

หมายเหตุ จริงๆ แล้ว นี่เป็นประเด็นทางเทคนิคและในปัญหาง่ายๆ กระบวนการกำหนดการวัดและตระกูลของเซตไม่ได้มีบทบาทพิเศษ แต่จำเป็นต้องเข้าใจว่าวัตถุทั้งสองนี้มีอยู่จริง เพราะในหนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทจะขึ้นต้นด้วยคำว่า " ให้ (Ω,Σ,P) เป็นพื้นที่ความน่าจะเป็น...».

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ความน่าจะเป็นของพื้นที่ทั้งหมดของผลลัพธ์เบื้องต้นจะต้องเท่ากับหนึ่ง พื้นที่ (การวัด Lebesgue สองมิติ ซึ่งเราจะแทนด้วย λ 2 (A) โดยที่ A คือเหตุการณ์) ของวงกลม ตามสูตรที่รู้จักกันดีจากโรงเรียนคือ π * R 2 . จากนั้นเราสามารถแนะนำความน่าจะเป็น P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) และค่านี้จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 สำหรับเหตุการณ์ A ใดๆ

หากเราสันนิษฐานว่าการยิงเข้าที่จุดใด ๆ ของเป้าหมายนั้นมีความเป็นไปได้เท่ากัน การค้นหาความน่าจะเป็นที่มือปืนจะยิงโดนพื้นที่บางส่วนของเป้าหมายจะลดลงเป็นการค้นหาพื้นที่ของชุดนี้ (ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าความน่าจะเป็นของ การชนจุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์เพราะพื้นที่ของจุดเป็นศูนย์)

ตัวอย่างเช่น เราต้องการทราบว่าอะไรคือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะตี "สิบ" (เหตุการณ์ A - ผู้ยิงถูกชุดที่ถูกต้อง) ในแบบจำลองของเรา "สิบ" แทนด้วยวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์และมีรัศมี r จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ในวงกลมนี้คือ P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2

นี่เป็นหนึ่งในปัญหา "ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต" ที่หลากหลายที่สุด ปัญหาเหล่านี้ส่วนใหญ่ต้องการการหาพื้นที่

ตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันที่แปลงผลลัพธ์เบื้องต้นเป็นจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น ในปัญหาที่พิจารณา เราสามารถแนะนำตัวแปรสุ่ม ρ(ω) — ระยะทางจากจุดที่กระทบไปยังศูนย์กลางของเป้าหมาย ความเรียบง่ายของแบบจำลองของเราช่วยให้เราสามารถระบุช่องว่างของผลลัพธ์เบื้องต้นได้อย่างชัดเจน: Ω = (ω = (x,y) ตัวเลข เช่น x 2 +y 2 ≤ R 2 ) จากนั้นตัวแปรสุ่ม ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2

หมายถึงสิ่งที่เป็นนามธรรมจากพื้นที่ความน่าจะเป็น ฟังก์ชันการกระจายและความหนาแน่น

เป็นเรื่องดีเมื่อทราบโครงสร้างของพื้นที่เป็นอย่างดี แต่ในความเป็นจริงไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป แม้ว่าจะทราบโครงสร้างของพื้นที่ แต่ก็สามารถซับซ้อนได้ เพื่ออธิบายตัวแปรสุ่ม หากไม่ทราบนิพจน์ของตัวแปร แนวคิดของฟังก์ชันการแจกแจงจะแสดงด้วย F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

ฟังก์ชันการกระจายมีคุณสมบัติหลายอย่าง:

1. ประการแรก มันอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
2. ประการที่สอง จะไม่ลดลงเมื่ออาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้น
3. ประการที่สาม เมื่อตัวเลข -x มีค่ามาก ฟังก์ชันการกระจายจะใกล้เคียงกับ 0 และเมื่อ x มีค่ามาก ฟังก์ชันการกระจายจะเข้าใกล้ 1

อาจเป็นไปได้ว่าความหมายของการก่อสร้างนี้ไม่ชัดเจนในการอ่านครั้งแรก คุณสมบัติที่มีประโยชน์ประการหนึ่งคือ ฟังก์ชันการแจกแจงช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นที่ค่าใดค่าหนึ่งรับค่าจากช่วงเวลาหนึ่งๆ ดังนั้น P (ตัวแปรสุ่ม ξ รับค่าจากช่วงเวลา ) = F ξ (b)-F ξ (a) . จากความเท่าเทียมกันนี้ เราสามารถตรวจสอบได้ว่าค่านี้เปลี่ยนแปลงอย่างไรหากขอบเขต a และ b ของช่วงเวลาอยู่ใกล้กัน

ให้ d = b-a แล้ว b = a+d ดังนั้น F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . สำหรับค่าเล็กน้อยของ d ความแตกต่างข้างต้นก็น้อยเช่นกัน (หากการกระจายเป็นแบบต่อเนื่อง) มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะพิจารณาความสัมพันธ์ p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d หากค่า d มีค่าน้อยเพียงพอ อัตราส่วนนี้จะแตกต่างเล็กน้อยจากค่าคงที่ p ξ (a) บางตัว ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับ d ดังนั้น ณ จุดนี้ ตัวแปรสุ่มจะมีความหนาแน่นเท่ากับ p ξ (a) .

หมายเหตุ ผู้อ่านที่เคยพบแนวคิดของอนุพันธ์อาจสังเกตเห็นว่า p ξ (a) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F ξ (x) ที่จุด a ไม่ว่าในกรณีใด คุณสามารถศึกษาแนวคิดของอนุพันธ์ได้ในบทความเกี่ยวกับหัวข้อนี้บนเว็บไซต์ Mathprofi

ตอนนี้ความหมายของฟังก์ชันการแจกแจงสามารถกำหนดได้ดังนี้: อนุพันธ์ของมัน (ความหนาแน่น p ξ ที่เรากำหนดไว้ข้างต้น) ที่จุด a อธิบายว่าตัวแปรสุ่มจะตกอยู่ในช่วงเวลาเล็กๆ ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด a (บริเวณใกล้เคียงกับจุด a) บ่อยเพียงใด เมื่อเทียบกับละแวกจุดอื่นๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งฟังก์ชันการแจกแจงเติบโตเร็วเท่าใด โอกาสที่ค่าดังกล่าวจะปรากฏในการทดลองแบบสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

กลับไปที่ตัวอย่าง เราสามารถคำนวณฟังก์ชันการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 ซึ่งหมายถึงระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดที่สุ่มโจมตีเป้าหมาย ตามนิยาม F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

เราสามารถหาความหนาแน่น p ρ ของตัวแปรสุ่มนี้ได้ เราทราบทันทีว่าเป็นศูนย์นอกช่วงเวลาเนื่องจาก ฟังก์ชันการกระจายในช่วงเวลานี้ไม่มีการเปลี่ยนแปลง เมื่อสิ้นสุดช่วงเวลานี้ ความหนาแน่นจะไม่ถูกกำหนด ภายในช่วงเวลา สามารถพบได้โดยใช้ตารางอนุพันธ์ (เช่น จากเว็บไซต์ Mathprofi) และกฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น อนุพันธ์ของ t 2 /R 2 คือ 2t/R 2 ซึ่งหมายความว่าเราพบความหนาแน่นของจำนวนจริงทั้งแกน

คุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างของความหนาแน่นคือความน่าจะเป็นที่ฟังก์ชันรับค่าจากช่วงเวลาหนึ่งๆ โดยคำนวณโดยใช้อินทิกรัลของความหนาแน่นในช่วงเวลานี้ (คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับค่านี้ในบทความเกี่ยวกับอินทิกรัลที่เหมาะสม ไม่เหมาะสม และไม่จำกัดบนเว็บไซต์ Mathprofi ).

ในการอ่านครั้งแรก สแปนอินทิกรัลของฟังก์ชัน f(x) สามารถคิดได้ว่าเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง ด้านข้างเป็นส่วนของแกน Ox, ช่องว่าง (ของแกนพิกัดแนวนอน), ส่วนแนวตั้งที่เชื่อมต่อจุด (a,f(a)), (b,f(b)) บนเส้นโค้งที่มีจุด (a, 0), (b,0 ) บนแกน x ด้านสุดท้ายคือส่วนของกราฟของฟังก์ชัน f จาก (a,f(a)) ถึง (b,f(b)) เราสามารถพูดถึงอินทิกรัลในช่วงเวลา (-∞; b] , เมื่อสำหรับค่าลบที่มากพอ a, ค่าของอินทิกรัลในช่วงเวลาจะเปลี่ยนเล็กน้อยเล็กน้อยเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงในจำนวน a ปริพันธ์ในช่วง ช่วงเวลาจะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน หัวข้อ เทคโนโลยีสารสนเทศโดยทั่วไป ทฤษฎีความน่าจะเป็น TH ของการคำนวณความน่าจะเป็นของโอกาส … คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- มีส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็น (ดูความน่าจะเป็นและสถิติ) ของเหตุการณ์ต่างๆ เราแสดงรายการทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์นี้ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หนึ่งในหลายๆ เหตุการณ์เท่ากับ ... ... พจนานุกรมสารานุกรม F.A. Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ที่ช่วยให้ตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม (ดู) เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มที่เกี่ยวข้องกับ k. l. วิธีแรก ทีวีสมัยใหม่ ขึ้นอยู่กับความจริง (ดูวิธีการตามความเป็นจริง) ของ A. N. Kolmogorov บน… … สารานุกรมสังคมวิทยารัสเซีย

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- สาขาของคณิตศาสตร์ซึ่งตามความน่าจะเป็นที่กำหนดของเหตุการณ์สุ่มบางเหตุการณ์พบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องไม่ทางใดก็ทางหนึ่งกับเหตุการณ์แรก ทฤษฎีความน่าจะเป็นยังศึกษาตัวแปรสุ่มและกระบวนการสุ่ม หนึ่งในหลัก…… แนวคิดของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่ คำศัพท์พื้นฐาน

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- tikimybių teorija สถานะ T sritis fizika atitikmenys: engl. ทฤษฎีความน่าจะเป็น vk. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. ทฤษฎีความน่าจะเป็น f pranc ทฤษฎี des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- ... วิกิพีเดีย

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- ระเบียบวินัยทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม ... จุดเริ่มต้นของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ดู ความน่าจะเป็น ... พจนานุกรมทางสังคมวิทยาขนาดใหญ่ที่อธิบายได้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์- (“ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้”) วารสารวิทยาศาสตร์ของภาควิชาคณิตศาสตร์ของ USSR Academy of Sciences เผยแพร่บทความต้นฉบับและการสื่อสารสั้น ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น คำถามทั่วไปของสถิติทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและ ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

หนังสือ

• ทฤษฎีความน่าจะเป็น. , Venttsel E.S. หนังสือเล่มนี้เป็นหนังสือเรียนสำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ในขอบเขตของหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายปกติและสนใจในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นทางเทคนิคใน ... ซื้อสำหรับ 2056 UAH (ยูเครนเท่านั้น)
• ทฤษฎีความน่าจะเป็น. , Wentzel E.S. หนังสือเล่มนี้จะผลิตตามคำสั่งของคุณโดยใช้เทคโนโลยีการพิมพ์ตามสั่ง หนังสือเล่มนี้เป็นตำราสำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ในปริมาณสามัญ ...

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม: เหตุการณ์สุ่ม ตัวแปรสุ่ม คุณสมบัติและการดำเนินการของพวกมัน

เป็นเวลานานแล้วที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน มันถูกคิดค้นขึ้นในปี 1929 เท่านั้น การเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นวิทยาศาสตร์มีสาเหตุมาจากยุคกลางและความพยายามครั้งแรกในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการพนัน (การโยน ลูกเต๋า รูเล็ต) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 Blaise Pascal และ Pierre de Fermat ค้นพบรูปแบบความน่าจะเป็นรูปแบบแรกที่เกิดขึ้นเมื่อโยนลูกเต๋าในขณะที่ศึกษาการทำนายการชนะในการพนัน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกิดขึ้นในฐานะวิทยาศาสตร์จากความเชื่อที่ว่าความสม่ำเสมอบางอย่างอยู่ภายใต้เหตุการณ์สุ่มขนาดใหญ่ ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษารูปแบบเหล่านี้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการศึกษาเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซึ่งไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด ช่วยให้คุณตัดสินระดับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์บางอย่างเมื่อเปรียบเทียบกับเหตุการณ์อื่น

ตัวอย่างเช่น: เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่ออกหัวหรือก้อยอย่างไม่น่าสงสัย แต่ด้วยการโยนซ้ำๆ จำนวนหัวและก้อยจะตกลงมาโดยประมาณ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่หัวหรือก้อยจะตก " เท่ากัน ถึง 50%

ทดสอบในกรณีนี้เรียกว่าการดำเนินการตามเงื่อนไขที่กำหนดซึ่งก็คือในกรณีนี้การโยนเหรียญ ความท้าทายสามารถเล่นได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ในกรณีนี้ ความซับซ้อนของเงื่อนไขรวมถึงปัจจัยสุ่ม

ผลการทดสอบคือ เหตุการณ์. เหตุการณ์เกิดขึ้น:

1. เชื่อถือได้ (เกิดขึ้นจากการทดสอบเสมอ)
2. เป็นไปไม่ได้ (ไม่เคยเกิดขึ้น)
3. สุ่ม (อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นจากผลการทดสอบ)

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ - เหรียญจะจบลงที่ขอบ เหตุการณ์สุ่ม - การสูญเสีย "หัว" หรือ "ก้อย" ผลการทดสอบเฉพาะเรียกว่า เหตุการณ์ประถม. จากการทดสอบเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาเท่านั้นที่เกิดขึ้น จำนวนรวมของผลการทดสอบเฉพาะที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่แตกต่างกันเรียกว่า พื้นที่จัดงานระดับประถมศึกษา.

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี

ความน่าจะเป็น- ระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ เมื่อเหตุผลของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้บางอย่างเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้จะเรียกว่าน่าจะเป็นไปได้ หรือมิฉะนั้น - ไม่น่าเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้

ค่าสุ่ม- นี่คือค่าที่เป็นผลมาจากการทดสอบสามารถใช้ค่าใดค่าหนึ่งได้และไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด ตัวอย่างเช่น จำนวนสถานีดับเพลิงต่อวัน จำนวนการยิง 10 นัด เป็นต้น

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท

1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องปริมาณดังกล่าวเรียกว่าซึ่งจากการทดสอบสามารถใช้ค่าบางอย่างด้วยความน่าจะเป็นโดยสร้างชุดที่นับได้ (ชุดที่สามารถกำหนดหมายเลของค์ประกอบได้) เซตนี้สามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดและแบบไม่จำกัด ตัวอย่างเช่น จำนวนนัดก่อนยิงโดนเป้าหมายเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจาก ค่านี้สามารถใช้กับจำนวนค่าที่ไม่มีที่สิ้นสุดแม้ว่าจะนับได้
2. ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเป็นปริมาณที่สามารถรับค่าใด ๆ จากช่วงเวลาที่แน่นอนหรือไม่มีที่สิ้นสุด เห็นได้ชัดว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นไม่มีขีดจำกัด

พื้นที่ความน่าจะเป็น- แนวคิดที่นำเสนอโดย A.N. Kolmogorov ในช่วงทศวรรษที่ 1930 เพื่อทำให้แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นเป็นทางการ ซึ่งก่อให้เกิดการพัฒนาอย่างรวดเร็วของทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะระเบียบวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด

พื้นที่ความน่าจะเป็นคือสามเท่า (บางครั้งอยู่ในวงเล็บมุม: , โดยที่

นี่คือชุดโดยพลการซึ่งองค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น ผลลัพธ์ หรือคะแนน
- พีชคณิตซิกมาของเซตย่อยที่เรียกว่าเหตุการณ์ (สุ่ม)
- การวัดความน่าจะเป็นหรือความน่าจะเป็น เช่น มาตรการ จำกัด ของ sigma-additive เช่นนั้น

ทฤษฎีบทเดอ มัวร์-ลาปลาซ- หนึ่งในทฤษฎีบทที่จำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ก่อตั้งโดย Laplace ในปี 1812 เธอระบุว่าจำนวนของความสำเร็จในการทดลองสุ่มแบบเดียวกันซ้ำกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 รายการนั้นมีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ ช่วยให้คุณหาค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณได้

หากสำหรับการทดลองอิสระแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์สุ่มบางอย่างเท่ากับ () และเป็นจำนวนการทดลองที่เกิดขึ้นจริง ดังนั้นความน่าจะเป็นของความถูกต้องของอสมการจะใกล้เคียง (สำหรับขนาดใหญ่ ) ถึง ค่าของอินทิกรัล Laplace

ฟังก์ชันการกระจายในทฤษฎีความน่าจะเป็น- ฟังก์ชันที่แสดงลักษณะการแจกแจงของตัวแปรสุ่มหรือเวกเตอร์สุ่ม ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x โดยที่ x เป็นจำนวนจริงโดยพลการ ภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง มันจะกำหนดตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์

มูลค่าที่คาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม (นี่คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งพิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น) ในวรรณคดีอังกฤษเขียนแทนด้วยภาษารัสเซีย - ในทางสถิติมักใช้สัญกรณ์

ปล่อยให้พื้นที่ความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้ นั่นคือตามคำนิยามแล้ว ฟังก์ชันที่วัดได้ จากนั้น ถ้ามี Lebesgue integral ของ over space ก็จะเรียกว่า ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ หรือ ค่าเฉลี่ย และเขียนแทนด้วย

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม- การวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มที่กำหนด เช่น ค่าเบี่ยงเบนจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กำหนดในวรรณคดีรัสเซียและต่างประเทศ ในทางสถิติ การกำหนดหรือมักใช้ รากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือสเปรดมาตรฐาน

อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดในพื้นที่ความน่าจะเป็น แล้ว

โดยสัญลักษณ์แสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เรียกว่าเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ เป็นอิสระหากการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของอีกอัน ในทำนองเดียวกันจะมีการเรียกตัวแปรสุ่มสองตัว ขึ้นอยู่กับหากค่าของหนึ่งในนั้นส่งผลต่อความน่าจะเป็นของค่าของอีกอัน

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของกฎของจำนวนมากคือทฤษฎีบทของแบร์นูลลี ซึ่งระบุว่าหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากันในการทดลองทั้งหมด เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่ของเหตุการณ์จะมีแนวโน้มเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และ หยุดที่จะสุ่ม

กฎของจำนวนมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นระบุว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างที่จำกัดจากการแจกแจงแบบคงที่นั้นใกล้เคียงกับค่าคาดเฉลี่ยทางทฤษฎีของการแจกแจงนั้น ขึ้นอยู่กับประเภทของการบรรจบกัน กฎที่อ่อนแอของจำนวนมากจะแตกต่างกัน เมื่อการบรรจบกันในความน่าจะเป็นเกิดขึ้น และกฎที่เข้มแข็งของจำนวนมาก เมื่อการบรรจบกันเกือบจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

ความหมายทั่วไปของกฎของคนจำนวนมากคือการกระทำร่วมกันของปัจจัยสุ่มที่เหมือนกันและเป็นอิสระต่อกันจำนวนมากนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ในขอบเขตไม่ได้ขึ้นอยู่กับโอกาส

วิธีการประมาณค่าความน่าจะเป็นโดยอิงจากการวิเคราะห์ตัวอย่างจำกัดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างที่ดีคือการทำนายผลการเลือกตั้งจากการสำรวจกลุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธิเลือกตั้ง

ทฤษฎีบทลิมิตกลาง- คลาสของทฤษฎีบทในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ระบุว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ขึ้นต่อกันอย่างอ่อนจำนวนมากพอสมควรซึ่งมีมาตราส่วนใกล้เคียงกันโดยประมาณ (ไม่มีเงื่อนไขใดครอบงำ ไม่ได้มีส่วนชี้ขาดต่อผลรวม) มีการกระจายใกล้เคียงกับ ปกติ.

เนื่องจากตัวแปรสุ่มจำนวนมากในแอปพลิเคชันเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่ขึ้นต่อกันอย่างอ่อนหลายตัว การกระจายของตัวแปรจึงถือว่าเป็นเรื่องปกติ ในกรณีนี้จะต้องสังเกตเงื่อนไขว่าไม่มีปัจจัยใดที่โดดเด่น ทฤษฎีบทขีดกลางในกรณีเหล่านี้ปรับการประยุกต์ใช้การแจกแจงแบบปกติ

"ความบังเอิญไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ"... ฟังดูเหมือนนักปรัชญากล่าวไว้ แต่แท้จริงแล้ว การศึกษาเรื่องอุบัติเหตุถือเป็นตัวชี้ชะตาของวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่อย่างคณิตศาสตร์ ในทางคณิตศาสตร์ โอกาสคือทฤษฎีของความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างของงานตลอดจนคำจำกัดความหลักของวิทยาศาสตร์นี้จะนำเสนอในบทความ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร?

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อให้ชัดเจนขึ้น ขอยกตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ: ถ้าคุณโยนเหรียญขึ้น เหรียญอาจตกหัวหรือก้อย ตราบใดที่เหรียญยังลอยอยู่ในอากาศ ความเป็นไปได้ทั้งสองอย่างนี้ก็เป็นไปได้ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สัมพันธ์กัน 1:1 หากจั่วไพ่หนึ่งใบจากสำรับที่มีไพ่ 36 ใบ ความน่าจะเป็นจะถูกระบุเป็น 1:36 ดูเหมือนว่าจะไม่มีอะไรให้สำรวจและทำนายโดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยความช่วยเหลือของสูตรทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม หากคุณทำสิ่งใดสิ่งหนึ่งซ้ำหลายๆ ครั้ง คุณจะสามารถระบุรูปแบบที่แน่นอนและทำนายผลลัพธ์ของเหตุการณ์ในเงื่อนไขอื่นๆ บนพื้นฐานของรูปแบบนั้นได้

เพื่อสรุปทั้งหมดข้างต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นในความหมายแบบคลาสสิกศึกษาความเป็นไปได้ของการเกิดขึ้นของหนึ่งในเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ในแง่ตัวเลข

จากหน้าประวัติศาสตร์

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างของงานแรกปรากฏขึ้นในยุคกลางอันไกลโพ้น เมื่อความพยายามที่จะทำนายผลลัพธ์ของเกมไพ่เกิดขึ้นเป็นครั้งแรก

ในขั้นต้นทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ มันถูกพิสูจน์โดยข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์หรือคุณสมบัติของเหตุการณ์ที่สามารถทำซ้ำได้ในทางปฏิบัติ งานชิ้นแรกในพื้นที่นี้เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ปรากฏในศตวรรษที่ 17 ผู้ก่อตั้งคือ Blaise Pascal และ Pierre Fermat พวกเขาศึกษาการพนันเป็นเวลานานและเห็นรูปแบบบางอย่างซึ่งพวกเขาตัดสินใจบอกประชาชน

เทคนิคเดียวกันนี้คิดค้นโดย Christian Huygens แม้ว่าเขาจะไม่คุ้นเคยกับผลการวิจัยของ Pascal และ Fermat แนวคิดของ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" สูตรและตัวอย่างซึ่งถือเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ของระเบียบวินัยได้รับการแนะนำโดยเขา

ผลงานของ Jacob Bernoulli, Laplace's และ Poisson's theorem มีความสำคัญไม่น้อย พวกเขาสร้างทฤษฎีความน่าจะเป็นเหมือนวินัยทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างของงานพื้นฐานได้รับรูปแบบปัจจุบันด้วยสัจพจน์ของ Kolmogorov จากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ทฤษฏีความน่าจะเป็นจึงกลายเป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น การพัฒนา

แนวคิดหลักของวินัยนี้คือ "เหตุการณ์" เหตุการณ์มีสามประเภท:

• เชื่อถือได้.สิ่งเหล่านั้นจะเกิดขึ้นต่อไป (เหรียญจะตก)
• เป็นไปไม่ได้.เหตุการณ์ที่จะไม่เกิดขึ้นในทุกสถานการณ์ (เหรียญจะยังคงลอยอยู่ในอากาศ)
• สุ่มสิ่งเหล่านั้นจะเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น พวกเขาสามารถได้รับอิทธิพลจากปัจจัยต่าง ๆ ที่ยากต่อการคาดเดา หากเราพูดถึงเหรียญ ปัจจัยสุ่มที่อาจส่งผลต่อผลลัพธ์: ลักษณะทางกายภาพของเหรียญ รูปทรง ตำแหน่งเริ่มต้น แรงโยน ฯลฯ

เหตุการณ์ทั้งหมดในตัวอย่างแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ยกเว้น R ซึ่งมีบทบาทต่างกัน ตัวอย่างเช่น:

• A = "นักศึกษามาฟังการบรรยาย"
• Ā = "นักศึกษาไม่มาฟังบรรยาย".

ในทางปฏิบัติ เหตุการณ์มักจะบันทึกเป็นคำพูด

คุณลักษณะที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของเหตุการณ์คือความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน นั่นคือถ้าคุณโยนเหรียญ การตกครั้งแรกจะเป็นไปได้ทั้งหมดจนกว่าเหรียญจะตก แต่เหตุการณ์ก็ไม่น่าจะเป็นไปได้เช่นกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อมีคนจงใจมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่นไพ่หรือลูกเต๋าที่ "ทำเครื่องหมาย" ซึ่งจุดศูนย์ถ่วงถูกเลื่อน

เหตุการณ์ยังเข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้ เหตุการณ์ที่เข้ากันได้ไม่รวมการเกิดขึ้นของกันและกัน ตัวอย่างเช่น:

• A = "นักเรียนมาฟังการบรรยาย"
• B = "นักเรียนมาฟังการบรรยาย"

เหตุการณ์เหล่านี้ไม่ขึ้นต่อกัน และการปรากฏตัวของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะไม่ส่งผลต่อการปรากฏของอีกเหตุการณ์หนึ่ง เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเกิดขึ้นของสิ่งหนึ่งขัดขวางการเกิดขึ้นของสิ่งอื่น หากเราพูดถึงเหรียญเดียวกันการสูญเสีย "ก้อย" ทำให้เป็นไปไม่ได้สำหรับการปรากฏตัวของ "หัว" ในการทดลองเดียวกัน

การดำเนินการเกี่ยวกับเหตุการณ์

เหตุการณ์สามารถคูณและเพิ่มตามลำดับการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ "AND" และ "OR" ได้รับการแนะนำในระเบียบวินัย

จำนวนเงินถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A หรือ B อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือทั้งสองอย่างสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ในกรณีที่เข้ากันไม่ได้ ตัวเลือกสุดท้ายจะเป็นไปไม่ได้ A หรือ B จะเลิกใช้

การคูณของเหตุการณ์ประกอบด้วยลักษณะของ A และ B ในเวลาเดียวกัน

ตอนนี้คุณสามารถยกตัวอย่างบางส่วนเพื่อให้จำพื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็น และสูตรต่างๆ ได้ดียิ่งขึ้น ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้านล่าง

แบบฝึกหัด 1: บริษัทกำลังประมูลงาน 3 ประเภท เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้น:

• A = "บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับแรก"
• A 1 = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับแรก"
• B = "บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สอง"
• B 1 = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับที่สอง"
• C = "บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สาม"
• C 1 = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับที่สาม"

ลองแสดงสถานการณ์ต่อไปนี้โดยใช้การกระทำกับเหตุการณ์:

• K = "บริษัทจะได้รับสัญญาทั้งหมด"

ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ สมการจะมีลักษณะดังนี้: K = ABC

• M = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาแม้แต่ฉบับเดียว"

M \u003d A 1 B 1 C 1.

เราทำให้งานซับซ้อน: H = "บริษัท จะได้รับหนึ่งสัญญา" เนื่องจากไม่ทราบว่าบริษัทจะได้รับสัญญาฉบับใด (ฉบับแรก ฉบับที่สอง หรือฉบับที่สาม) จึงจำเป็นต้องบันทึกเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C

และ 1 BC 1 เป็นชุดของเหตุการณ์ที่บริษัทไม่ได้รับสัญญาฉบับแรกและฉบับที่สาม แต่ได้รับสัญญาฉบับที่สอง เหตุการณ์ที่เป็นไปได้อื่น ๆ จะถูกบันทึกด้วยวิธีการที่สอดคล้องกัน สัญลักษณ์ υ ในระเบียบวินัยแสดงถึงกลุ่มของ "OR" หากเราแปลตัวอย่างข้างต้นเป็นภาษามนุษย์ บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สาม หรือฉบับที่สอง หรือฉบับแรก ในทำนองเดียวกันคุณสามารถเขียนเงื่อนไขอื่น ๆ ในวินัย "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่นำเสนอข้างต้นจะช่วยให้คุณทำเองได้

ที่จริงแล้วความน่าจะเป็น

บางที ในวินัยทางคณิตศาสตร์นี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นแนวคิดหลัก มี 3 คำจำกัดความของความน่าจะเป็น:

• คลาสสิก;
• สถิติ;
• ทางเรขาคณิต

แต่ละคนมีสถานที่ในการศึกษาความน่าจะเป็น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่าง (เกรด 9) ส่วนใหญ่ใช้คำจำกัดความแบบคลาสสิก ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

• ความน่าจะเป็นของสถานการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนการเกิดขึ้นต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สูตรมีลักษณะดังนี้: P (A) \u003d m / n

และในความเป็นจริงเหตุการณ์ ถ้าตรงกันข้ามกับ A สามารถเขียนเป็น Ā หรือ A 1

m คือจำนวนกรณีที่เป็นไปได้

n - เหตุการณ์ทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้

ตัวอย่างเช่น A \u003d "ดึงไพ่ชุดหัวใจออกมา" มีไพ่ 36 ใบในสำรับมาตรฐาน 9 ใบเป็นหัวใจ ดังนั้นสูตรสำหรับการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

P(A)=9/36=0.25.

ผลก็คือ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่ตรงกับหัวใจจะถูกดึงออกมาจากสำรับจะเป็น 0.25

สู่คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

ตอนนี้เป็นที่รู้จักกันเล็กน้อยว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นสูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่พบในหลักสูตรของโรงเรียนคืออะไร อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีความน่าจะเป็นยังพบได้ในคณิตศาสตร์ระดับสูงซึ่งสอนในมหาวิทยาลัย ส่วนใหญ่มักจะทำงานกับคำจำกัดความทางเรขาคณิตและสถิติของทฤษฎีและสูตรที่ซับซ้อน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นน่าสนใจมาก สูตรและตัวอย่าง (คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น) ดีกว่าที่จะเริ่มเรียนรู้จากสิ่งเล็ก ๆ - จากคำจำกัดความของความน่าจะเป็นทางสถิติ (หรือความถี่)

วิธีการทางสถิติไม่ขัดแย้งกับวิธีการแบบดั้งเดิม แต่จะขยายความออกไปเล็กน้อย หากในกรณีแรกจำเป็นต้องกำหนดระดับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ดังนั้นในวิธีนี้จำเป็นต้องระบุความถี่ที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น นี่คือการแนะนำแนวคิดใหม่ของ "ความถี่สัมพัทธ์" ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย W n (A) สูตรไม่แตกต่างจากคลาสสิก:

หากมีการคำนวณสูตรดั้งเดิมสำหรับการพยากรณ์ สูตรทางสถิติจะถูกคำนวณตามผลลัพธ์ของการทดลอง ยกตัวอย่างงานเล็กๆ

ฝ่ายควบคุมเทคโนโลยีตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ ในบรรดาผลิตภัณฑ์ 100 รายการ พบว่า 3 รายการมีคุณภาพต่ำ จะหาความถี่ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพได้อย่างไร?

A = "รูปลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพ"

W n (A)=97/100=0.97

ดังนั้นความถี่ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพคือ 0.97 เอา 97 มาจากไหน? จากผลิตภัณฑ์ 100 รายการที่ตรวจสอบ 3 รายการมีคุณภาพต่ำ เราลบ 3 จาก 100 เราได้ 97 นี่คือปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพ

เล็กน้อยเกี่ยวกับ combinatorics

อีกวิธีหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่า combinatorics หลักการพื้นฐานของมันคือ ถ้าตัวเลือก A หนึ่งตัวเลือกสามารถเลือกได้หลายวิธี และตัวเลือก B ทำได้หลายวิธี ดังนั้นตัวเลือกของ A และ B สามารถทำได้โดยการคูณ

เช่น มีถนน 5 สายจากเมือง A ไปเมือง B มี 4 เส้นทางจากเมือง B ไปเมือง C มีกี่วิธีที่จะได้รับจากเมือง A ไปเมือง C?

ง่ายมาก: 5x4 = 20 นั่นคือมีวิธีที่แตกต่างกัน 20 วิธีในการเดินทางจากจุด A ไปยังจุด C

มาทำให้งานหนักขึ้นกันเถอะ มีกี่วิธีในการเล่นไพ่โซลิแทร์? ในสำรับไพ่ 36 ใบ นี่คือจุดเริ่มต้น หากต้องการทราบจำนวนวิธี คุณต้อง "ลบ" การ์ดหนึ่งใบออกจากจุดเริ่มต้นแล้วคูณ

นั่นคือ 36x35x34x33x32…x2x1= ผลลัพธ์ไม่พอดีกับหน้าจอเครื่องคิดเลข ดังนั้นจึงสามารถแสดงเป็น 36! เข้าสู่ระบบ "!" ถัดจากตัวเลขแสดงว่าตัวเลขทั้งชุดคูณกันเอง

ใน combinatorics มีแนวคิดต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดวาง และการรวมกัน แต่ละคนมีสูตรของตัวเอง

ชุดขององค์ประกอบชุดที่เรียงลำดับเรียกว่าเค้าโครง ตำแหน่งสามารถทำซ้ำได้ หมายความว่าองค์ประกอบเดียวสามารถใช้ได้หลายครั้ง และไม่มีการทำซ้ำเมื่อองค์ประกอบไม่ซ้ำ n คือองค์ประกอบทั้งหมด m คือองค์ประกอบที่เข้าร่วมในตำแหน่ง สูตรสำหรับการจัดวางโดยไม่มีการทำซ้ำจะมีลักษณะดังนี้:

ก n m = n!/(n-m)!

การเชื่อมต่อขององค์ประกอบ n ที่แตกต่างกันในลำดับของตำแหน่งเท่านั้นเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน ในวิชาคณิตศาสตร์ จะมีลักษณะดังนี้: Pn = n!

การรวมกันขององค์ประกอบ n โดย m เป็นสารประกอบที่มีความสำคัญซึ่งองค์ประกอบเหล่านี้เป็นองค์ประกอบใดและมีจำนวนรวมเท่าใด สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ก n m = n!/m!(n-m)!

สูตรเบอร์นูลลี

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเช่นเดียวกับในทุกสาขาวิชา มีผลงานของนักวิจัยที่โดดเด่นในสาขาของตนซึ่งได้นำไปสู่ระดับใหม่ หนึ่งในงานเหล่านี้คือสูตร Bernoulli ซึ่งช่วยให้คุณกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่เป็นอิสระ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการปรากฏของ A ในการทดสอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับการปรากฏหรือการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์เดียวกันในการทดสอบครั้งก่อนหรือครั้งหลัง

สมการเบอร์นูลลี:

P n (m) = C n m × p m ×q n-m .

ความน่าจะเป็น (p) ของการเกิดเหตุการณ์ (A) ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่สถานการณ์จะเกิดขึ้น m ครั้งในจำนวนการทดลอง n ครั้งจะถูกคำนวณโดยสูตรที่แสดงด้านบน ดังนั้นคำถามจึงเกิดขึ้นว่าจะหาจำนวน q ได้อย่างไร

ถ้าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น p จำนวนครั้ง ก็จะไม่เกิดขึ้น หน่วยเป็นตัวเลขที่ใช้กำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดของสถานการณ์ในระเบียบวินัย ดังนั้น q คือตัวเลขที่แสดงความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น

ตอนนี้คุณรู้สูตร Bernoulli (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) แล้ว ตัวอย่างของการแก้ปัญหา (ระดับแรก) จะพิจารณาด้านล่าง

ภารกิจที่ 2:ผู้เยี่ยมชมร้านค้าจะทำการซื้อด้วยความน่าจะเป็น 0.2 ผู้เยี่ยมชม 6 คนเข้ามาในร้านอย่างอิสระ ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าชมจะทำการซื้อคืออะไร?

วิธีแก้ไข: เนื่องจากไม่ทราบว่าผู้เข้าชมควรซื้อสินค้าจำนวนเท่าใด หนึ่งหรือทั้งหมดหกครั้ง จึงจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยใช้สูตร Bernoulli

A = "ผู้เข้าชมจะทำการซื้อ"

ในกรณีนี้: p = 0.2 (ตามที่ระบุในงาน) ดังนั้น q=1-0.2 = 0.8

n = 6 (เนื่องจากมีลูกค้า 6 คนในร้าน) ตัวเลข m จะเปลี่ยนจาก 0 (ไม่มีลูกค้าจะซื้อของ) เป็น 6 (ผู้เข้าชมร้านค้าทั้งหมดจะซื้อบางอย่าง) เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ปัญหา:

หน้า 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621

ไม่มีผู้ซื้อรายใดจะซื้อด้วยความน่าจะเป็น 0.2621

สูตร Bernoulli (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ใช้อย่างไร? ตัวอย่างของการแก้ปัญหา (ระดับที่สอง) ด้านล่าง

หลังจากตัวอย่างข้างต้น คำถามเกิดขึ้นว่า C และ p หายไปไหน สำหรับ p ตัวเลขยกกำลัง 0 จะเท่ากับหนึ่ง สำหรับ C สามารถหาได้จากสูตร:

ค น ม = น! /m!(n-m)!

เนื่องจากในตัวอย่างแรก m = 0 ตามลำดับ C=1 ซึ่งโดยหลักการแล้วจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ ใช้สูตรใหม่ ลองหาความน่าจะเป็นที่จะซื้อสินค้าโดยผู้เข้าชมสองคน

หน้า 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246

ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ซับซ้อน สูตรเบอร์นูลลี ตัวอย่างที่แสดงไว้ข้างต้น เป็นหลักฐานยืนยันเรื่องนี้โดยตรง

สูตรปัวซอง

สมการปัวซองใช้ในการคำนวณสถานการณ์สุ่มที่ไม่น่าเป็นไปได้

สูตรพื้นฐาน:

P n (ม.)=λ ม. /ม.! × อี (-λ) .

ในกรณีนี้ λ = n x p นี่คือสูตรปัวซองอย่างง่าย (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาจะพิจารณาด้านล่าง

ภารกิจที่ 3 A: โรงงานผลิตชิ้นส่วน 100,000 ชิ้น ลักษณะของชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่อง = 0.0001 ความน่าจะเป็นที่จะมีชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้นในชุดงานคือเท่าไร?

อย่างที่คุณเห็น การแต่งงานเป็นเหตุการณ์ที่ไม่น่าเป็นไปได้ ดังนั้นจึงใช้สูตรปัวซอง (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ในการคำนวณ ตัวอย่างของการแก้ปัญหาประเภทนี้ไม่แตกต่างจากงานอื่น ๆ ของระเบียบวินัย เราแทนที่ข้อมูลที่จำเป็นในสูตรด้านบน:

A = "ส่วนที่สุ่มเลือกจะมีข้อบกพร่อง"

p = 0.0001 (ตามเงื่อนไขการกำหนด)

n = 100,000 (จำนวนส่วน)

m = 5 (ชิ้นส่วนที่ชำรุด) เราแทนที่ข้อมูลในสูตรและรับ:

ร 100000 (5) = 10 5/5! X อี -10 = 0.0375

เช่นเดียวกับสูตร Bernoulli (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของคำตอบที่ใช้ซึ่งเขียนไว้ข้างต้น สมการปัวซองมี e ที่ไม่รู้จัก โดยพื้นฐานแล้วสามารถหาได้จากสูตร:

e -λ = ลิม n ->∞ (1-λ/n) n .

อย่างไรก็ตามมีตารางพิเศษที่มีค่า e เกือบทั้งหมด

ทฤษฎีบทเดอ มัวร์-ลาปลาซ

หากในแบบแผนเบอร์นูลลีจำนวนการทดลองมีมากพอ และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในทุกแบบแผนเท่ากัน ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในจำนวนครั้งที่แน่นอนในการทดลองชุดหนึ่งจะเป็นได้ พบโดยสูตร Laplace:

Р n (ม.)= 1/√npq x ϕ(X ม.)

Xm = m-np/√npq

เพื่อให้จำสูตร Laplace (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ได้ดีขึ้น ตัวอย่างงานที่จะช่วยด้านล่าง

ก่อนอื่นเราพบ X m เราแทนที่ข้อมูล (ทั้งหมดที่ระบุไว้ด้านบน) ลงในสูตรและรับ 0.025 เมื่อใช้ตารางเราจะพบตัวเลข ϕ (0.025) ซึ่งมีค่าเท่ากับ 0.3988 ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ข้อมูลทั้งหมดในสูตร:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ใบปลิวจะชน 267 ครั้งพอดีคือ 0.03

สูตรเบย์

สูตร Bayes (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยความช่วยเหลือซึ่งจะได้รับด้านล่าง เป็นสมการที่อธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ที่อาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น สูตรหลักมีดังนี้:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B)

A และ B เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน

P(A|B) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ เหตุการณ์ A สามารถเกิดขึ้นได้ โดยที่เหตุการณ์ B เป็นจริง

Р (В | А) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ В

ดังนั้นส่วนสุดท้ายของหลักสูตรระยะสั้น "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" คือสูตร Bayes ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่อยู่ด้านล่าง

ภารกิจที่ 5: โทรศัพท์จากสามบริษัทถูกนำไปที่โกดัง ในขณะเดียวกัน ส่วนหนึ่งของโทรศัพท์ที่ผลิตในโรงงานแห่งแรกคือ 25% ที่สอง - 60% ที่สาม - 15% เป็นที่ทราบกันดีว่าเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในโรงงานแห่งแรกคือ 2% ที่สอง - 4% และที่สาม - 1% จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์ที่เลือกแบบสุ่มจะมีข้อบกพร่อง

A = "โทรศัพท์แบบสุ่ม"

B 1 - โทรศัพท์ที่ผลิตในโรงงานแห่งแรก ดังนั้น ข้อมูลเบื้องต้น B 2 และ B 3 จะปรากฏขึ้น (สำหรับโรงงานแห่งที่สองและสาม)

เป็นผลให้เราได้รับ:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - ดังนั้นเราจึงพบความน่าจะเป็นของแต่ละตัวเลือก

ตอนนี้คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ต้องการ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในบริษัท:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

ตอนนี้เราแทนที่ข้อมูลลงในสูตร Bayes และรับ:

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305

บทความนี้นำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างการแก้ปัญหา แต่นี่เป็นเพียงส่วนเล็กของภูเขาน้ำแข็งของระเบียบวินัยอันกว้างใหญ่ และหลังจากที่เขียนทั้งหมดแล้ว มันจะสมเหตุสมผลที่จะถามคำถามว่าจำเป็นต้องมีทฤษฎีความน่าจะเป็นในชีวิตหรือไม่ เป็นเรื่องยากสำหรับคนธรรมดาที่จะตอบ เป็นการดีกว่าที่จะถามคนที่ได้แจ็คพอตมากกว่าหนึ่งครั้งด้วยความช่วยเหลือจากเธอ

เกี่ยวกับคุณสมบัติของเหตุการณ์จริงและพวกเขาถูกกำหนดในรูปแบบการแสดงภาพ ผลงานชิ้นแรกสุดของนักวิทยาศาสตร์ในสาขาทฤษฎีความน่าจะเป็นมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 17 ในขณะที่ค้นคว้าข้อมูลการทำนายการชนะในการพนัน Blaise Pascal และ Pierre Fermat ได้ค้นพบรูปแบบความน่าจะเป็นรูปแบบแรกที่เกิดขึ้นเมื่อทอยลูกเต๋า ภายใต้อิทธิพลของคำถามที่พวกเขาตั้งขึ้นและพิจารณา Christian Huygens ก็มีส่วนร่วมในการแก้ปัญหาเดียวกัน ในเวลาเดียวกัน เขาไม่คุ้นเคยกับการติดต่อระหว่าง Pascal และ Fermat ดังนั้นเขาจึงคิดค้นเทคนิคการแก้ปัญหาด้วยตัวเขาเอง งานของเขาซึ่งแนะนำแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น (แนวคิดของความน่าจะเป็นเป็นปริมาณของโอกาส; ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกรณีที่ไม่ต่อเนื่องในรูปของราคาของโอกาส) และยังใช้ทฤษฎีบทของการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น ( ไม่ได้กำหนดสูตรอย่างชัดเจน) จัดพิมพ์เมื่อยี่สิบปีก่อน (ค.ศ. 1657) การตีพิมพ์จดหมายของปาสคาลและแฟร์มาต์ (ค.ศ. 1679)

การสนับสนุนที่สำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็นโดย Jacob Bernoulli: เขาให้ข้อพิสูจน์ของกฎหมายจำนวนมากในกรณีที่ง่ายที่สุดของการทดลองอิสระ ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มนำมาใช้กับการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดจากการสังเกต Laplace และ Poisson ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทลิมิตแรก ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย P. L. Chebyshev, A. A. Markov และ A. M. Lyapunov มีส่วนร่วมหลัก ในช่วงเวลานี้ กฎของจำนวนมาก ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง และทฤษฎีของมาร์คอฟเชนได้รับการพัฒนา ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับรูปแบบที่ทันสมัยด้วย axiomatization ที่เสนอโดย Andrey Nikolaevich Kolmogorov เป็นผลให้ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดและในที่สุดก็เริ่มถูกมองว่าเป็นหนึ่งในสาขาของคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี

ดูสิ่งนี้ด้วย

เขียนรีวิวเกี่ยวกับบทความ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น"

หมายเหตุ

ลิงค์เบื้องต้น

• ทฤษฎีความน่าจะเป็น // สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่: [ใน 30 เล่ม] / ch. เอ็ด A. M. Prokhorov. - แก้ไขครั้งที่ 3 - ม. : สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียต พ.ศ. 2512-2521
• - บทความจากสารานุกรม "รอบโลก"

วรรณกรรม

แต่

• Akhtyamov, A. M. "วิธีการทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์": ตำราเรียน ค่าเผื่อ Bashk สถานะ ยกเลิก - อูฟา: BSU, 2550
• Akhtyamov, A. M. ทฤษฎีความน่าจะเป็น. - ม.: Fizmatlit, 2009

ข

• โบรอฟคอฟ, เอ. เอ. "สถิติคณิตศาสตร์", ม.: Nauka, 1984.
• โบรอฟคอฟ, เอ. เอ. "ทฤษฎีความน่าจะเป็น", ม.: Nauka, 1986.
• บุลไดค์, G. M. , Mn. , สูงกว่า. โรงเรียน 2532
• Bulinsky, A. V. , Shiryaev, A. N. "ทฤษฎีกระบวนการสุ่ม", ม.: Fizmatlit, 2003.
• เบคาเรวา, N. D. «ทฤษฎีความน่าจะเป็น. เอกสารประกอบการบรรยาย"โนโวซีบีร์สค์ NSTU
• Bavrin, I. I. "คณิตศาสตร์ขั้นสูง" (ตอนที่ 2 "องค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์"), M.: Nauka, 2000

ที่

• เวนท์เซล อี. เอส. ทฤษฎีความน่าจะเป็น.- ม.: Nauka, 2512. - 576 น.
• เวนท์เซล อี. เอส.ทฤษฎีความน่าจะเป็น. - ฉบับที่ 10 ลบ .. - ม.: "สถาบันการศึกษา", 2548 - 576 น. - ไอ 5-7695-2311-5

ช

• Gikhman II, Skorokhod AV บทนำเกี่ยวกับทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม - ม.: Nauka, 1977.
• Gmurman, V.E. "ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์": Proc. ค่าเผื่อ - 12th ed., แก้ไข - M.: อุดมศึกษา, 2549.-479 p.: il (Fundamentals of Sciences).
• Gmurman, V.E. “คู่มือการแก้ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์”: Proc. ค่าเผื่อ - 11th แก้ไข - ม.: อุดมศึกษา, 2549.-404 น. (พื้นฐานของวิทยาศาสตร์).
• Gnedenko, บี.วี. "รายวิชาทฤษฎีความน่าจะเป็น", - ม.: Nauka, 1988.
• Gnedenko, บี.วี. "รายวิชาทฤษฎีความน่าจะเป็น", สพป. ม.: 2544.
• Gnedenko B.V., Khinchin A. Ya., 1970.
• เกอร์สกี้ อี.ไอ. "การรวบรวมโจทย์ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์", - มินสค์: โรงเรียนมัธยม, 2518

ง

• P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Kozhevnikov คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นในแบบฝึกหัดและงาน (ใน 2 ส่วน) - M.: Vyssh.shk, 1986

อี

• A. V. Efimov, A. E. Pospelov และคนอื่นๆตอนที่ 4 // รวมโจทย์คณิตศาสตร์สำหรับสถาบันอุดมศึกษา. - แก้ไขครั้งที่ 3 และเพิ่มเติม .. - M.: "Fizmatlit", 2546. - T. 4. - 432 p. - ไอ 5-94052-037-5.

ถึง

• Kolemaev, V. A. และอื่น ๆ "ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์", - ม.: มัธยมปลาย, 2534.
• Kolmogorov, A. N. "แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น", ม.: Nauka, 1974.
• Korshunov, D. A. , Foss, S. G. "ชุดโจทย์และแบบฝึกหัดทฤษฎีความน่าจะเป็น"โนโวซีบีสค์ 2540
• Korshunov, D. A. , Chernova, N. I. "รวมโจทย์และแบบฝึกหัดวิชาคณิตศาสตร์ สถิติ", โนโวซีบีสค์. 2544.
• Kremer N. Sh. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับโรงเรียนมัธยม - แก้ไขครั้งที่ 2 และเพิ่มเติม - M: UNITY-DANA, 2004. - 573 p.
• Kuznetsov, A. V. "การประยุกต์ใช้เกณฑ์ความพอดีในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางเศรษฐศาสตร์", มินสค์: BGINH, 1991.

แอล

• Likholetov I. I. , Matskevich I. E. "คู่มือการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติคณิตศาสตร์", Mn.: วิช โรงเรียน 2519
• Licholetov I. I. "คณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีความน่าจะเป็น และสถิติทางคณิตศาสตร์", Mn.: วิช โรงเรียน 2519
• เลิฟ เอ็ม.วี "ทฤษฎีความน่าจะเป็น", - ม.: สำนักพิมพ์วรรณกรรมต่างประเทศ 2505

ม

• Mankovsky B. Yu., "ตารางความน่าจะเป็น".
• Matskevich I. P. , Svirid G. P. “คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์", Mn.: วิช โรงเรียน พ.ศ. 2536
• Matskevich I. P. , Svirid G. P. , Buldyk G. M. รวมโจทย์และแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์", Mn.: วิช โรงเรียน 2539
• เมเยอร์ พี-เอ ความน่าจะเป็นและศักยภาพ สำนักพิมพ์มีร์ มอสโก 2516
• มโลดินอฟ แอล.

พี

• Prokhorov, A. V. , V. G. Ushakov, N. G. Ushakov “ทฤษฎีโจทย์ปัญหา”, วิทยาศาสตร์. ม.: 1986.
• Prokhorov Yu. V. , Rozanov Yu. A. "ทฤษฎีความน่าจะเป็น", - ม.: Nauka, 1967.
• Pugachev, V. S. "ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์", วิทยาศาสตร์. ม.: 2522.

ร

• โรทาร์ V.I. "ทฤษฎีความน่าจะเป็น", - ม.: มัธยมปลาย, 2535.

จาก

• Sveshnikov A. A. และคนอื่นๆ "การรวบรวมปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีฟังก์ชันสุ่ม", - ม.: Nauka, 1970.
• Svirid, G. P. , Makarenko, Ya. S. , Shevchenko, L. I. "การแก้ปัญหาสถิติทางคณิตศาสตร์บนพีซี", Mn., วิช. โรงเรียน 2539
• Sevastyanov B.A. , “รายวิชาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์”, - ม.: Nauka, 1982.
• Sevastyanov, B. A. , Chistyakov, V. P. , Zubkov, A. M. "การรวบรวมปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น", ม.: Nauka, 1986.
• Sokolenko A.I. "คณิตศาสตร์ขั้นสูง", หนังสือเรียน. ม.: สถานศึกษา, 2545.

ฉ

• เฟลเลอร์, วี. "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้".

เอ็กซ์

• Khamitov, G. P. , Vedernikova, T. I. "ความน่าจะเป็นและสถิติ",สพป. อีร์คุตสค์: 2549.

ชม

• Chistyakov รองประธาน "รายวิชาทฤษฎีความน่าจะเป็น", ม., 2525.
• Chernova, N. I. "ทฤษฎีความน่าจะเป็น", โนโวซีบีสค์ 2550.

ว

• Sheinin O.B.เบอร์ลิน: NG Ferlag, 2005, 329 น.
• Shiryaev, A. N. "ความน่าจะเป็น", วิทยาศาสตร์. ม.: 1989.
• Shiryaev, A. N. "พื้นฐานของคณิตศาสตร์การเงินสุ่มใน 2 ฉบับ", ฟาซิส. ม.: 2541.

การวิเคราะห์แบบคลาสสิก ทฤษฎีฟังก์ชัน ดิฟเฟอเรนเชียลและ สมการอินทิกรัล

ข้อความที่ตัดตอนมาจากทฤษฎีความน่าจะเป็น

“เรามีขนมปังของเจ้านายแล้วใช่ไหม” เธอถาม.
“ขนมปังของลอร์ดสุกหมดแล้ว” ดรอนพูดอย่างภาคภูมิใจ “เจ้าชายของเราไม่ได้สั่งให้ขายมัน
“มอบเขาให้กับชาวนา ให้ทุกสิ่งที่พวกเขาต้องการ ฉันอนุญาตในนามพี่ชายของคุณ” เจ้าหญิงแมรีตรัส
โดรนไม่ตอบและหายใจเข้าลึกๆ
- คุณให้ขนมปังนี้แก่พวกเขา ถ้ามันจะเพียงพอสำหรับพวกเขา แจกจ่ายทุกอย่าง ฉันสั่งคุณในนามของพี่ชายคนหนึ่ง และบอกพวกเขาว่า สิ่งใดที่เป็นของเรา สิ่งนั้นก็เป็นของเขาเช่นกัน เราจะไม่ละเว้นสิ่งใดสำหรับพวกเขา ดังนั้นคุณพูด
เสียงพึมพำจ้องมองที่เจ้าหญิงอย่างตั้งใจในขณะที่เธอพูด
“ไล่ฉันออก แม่ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า ส่งกุญแจมาให้ฉันเพื่อรับ” เขากล่าว - เขารับใช้ยี่สิบสามปีไม่ได้ทำสิ่งเลวร้าย เลิกเพื่อประโยชน์ของพระเจ้า
เจ้าหญิงแมรี่ไม่เข้าใจว่าเขาต้องการอะไรจากเธอและทำไมเขาถึงขอให้ไล่ออก เธอตอบเขาว่าเธอไม่เคยสงสัยในความทุ่มเทของเขาและเธอพร้อมที่จะทำทุกอย่างเพื่อเขาและเพื่อชาวนา

หนึ่งชั่วโมงต่อมา Dunyasha มาหาเจ้าหญิงพร้อมกับข่าวว่า Dron มาแล้วและชาวนาทั้งหมดตามคำสั่งของเจ้าหญิงก็มารวมกันที่โรงนาโดยต้องการคุยกับนายหญิง
“ใช่ ฉันไม่เคยโทรหาพวกเขาเลย” เจ้าหญิงมารีอาตอบ “ฉันแค่บอกให้ Dronushka แจกจ่ายขนมปังให้พวกเขา
- ขอเพียงเห็นแก่สมเด็จย่าเท่านั้นที่สั่งให้ขับไล่อย่าไปหามัน มันเป็นการหลอกลวงทั้งหมด” Dunyasha กล่าว“ แต่ Yakov Alpatych จะมาและเราจะไป ... และคุณก็ไม่รังเกียจ ...
- หลอกลวงแบบไหน? เจ้าหญิงถามด้วยความประหลาดใจ
“ใช่ ฉันรู้ ขอแค่ฟังฉัน เพื่อเห็นแก่พระเจ้า เพียงแค่ถามพี่เลี้ยง พวกเขาบอกว่าพวกเขาไม่เห็นด้วยที่จะออกคำสั่งของคุณ
- คุณไม่พูดอะไรเลย ใช่ฉันไม่เคยสั่งให้ออกไป ... - เจ้าหญิงแมรี่กล่าว - โทร Dronushka
Dron ที่มายืนยันคำพูดของ Dunyasha: ชาวนามาตามคำสั่งของเจ้าหญิง
“ใช่ ฉันไม่เคยโทรหาพวกเขาเลย” เจ้าหญิงตรัส คุณต้องบอกพวกเขาผิด ฉันแค่บอกให้คุณเอาขนมปังให้พวกเขา
โดรนถอนหายใจโดยไม่ตอบ
“ถ้าคุณบอกพวกเขา พวกเขาจะออกไป” เขากล่าว
“ไม่ ไม่ ฉันจะไปหาพวกเขา” เจ้าหญิงแมรีตรัส
แม้จะห้ามปราม Dunyasha และนางพยาบาล แต่เจ้าหญิงแมรีก็ออกไปที่ระเบียง Dron, Dunyasha พยาบาล และ Mikhail Ivanovich ตามเธอไป “พวกเขาอาจคิดว่าฉันถวายขนมปังเพื่อให้พวกเขาอยู่ในที่ของพวกเขา และฉันจะจากไป ปล่อยให้พวกเขาอยู่ในความเมตตาของชาวฝรั่งเศส” เจ้าหญิงแมรีคิด - ฉันจะสัญญากับพวกเขาหนึ่งเดือนในอพาร์ตเมนต์ใกล้มอสโกว ฉันแน่ใจว่าอังเดรจะทำมากกว่านั้นแทนฉัน” เธอคิด เดินเข้าไปหาฝูงชนในทุ่งหญ้าใกล้โรงนาในตอนพลบค่ำ
ฝูงชนที่เบียดเสียดกันเริ่มกวนและถอดหมวกออกอย่างรวดเร็ว เจ้าหญิงแมรีหรี่ตาลงและพันเท้าในชุดของเธอ เดินเข้าไปใกล้พวกเขา ตาแก่และเด็กที่แตกต่างกันมากมายจับจ้องมาที่เธอ และมีใบหน้าที่แตกต่างกันมากมายจนเจ้าหญิงแมรีไม่เห็นแม้แต่ใบหน้าเดียว และรู้สึกว่าจำเป็นต้องพูดคุยกับทุกคนในทันใดโดยไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร แต่อีกครั้ง การตระหนักว่าเธอเป็นตัวแทนของพ่อและพี่ชายทำให้เธอมีความเข้มแข็ง และเธอเริ่มพูดอย่างกล้าหาญ
“ฉันดีใจมากที่คุณมา” เจ้าหญิงมารีอาเริ่มโดยไม่ลืมตาและรู้สึกว่าหัวใจของเธอเต้นเร็วและแรงเพียงใด “ Dronushka บอกฉันว่าสงครามทำลายคุณ นี่เป็นความเศร้าโศกร่วมกันของเรา และฉันจะไม่ทำอะไรเลยเพื่อช่วยคุณ ฉันไปเองเพราะที่นี่อันตรายแล้วและศัตรูก็อยู่ใกล้ ... เพราะ ... ฉันให้คุณทุกอย่างเพื่อนของฉันและฉันขอให้คุณรับทุกอย่างขนมปังทั้งหมดของเราเพื่อที่คุณจะได้ไม่ต้อง ความต้องการ. และถ้าคุณบอกว่าฉันให้ขนมปังคุณเพื่อให้คุณอยู่ที่นี่ก็ไม่เป็นความจริง ตรงกันข้าม ฉันขอให้คุณทิ้งทรัพย์สินทั้งหมดของคุณไว้ที่ชานเมืองของเรา และฉันรับภาระไว้ที่นั่นและสัญญากับคุณว่าคุณจะไม่ขัดสน คุณจะได้รับบ้านและขนมปัง เจ้าหญิงหยุด ได้ยินเสียงถอนหายใจในฝูงชนเท่านั้น
“ฉันไม่ได้ทำสิ่งนี้เพียงลำพัง” เจ้าหญิงตรัสต่อ “ฉันทำในนามของบิดาผู้ล่วงลับไปแล้ว ผู้เป็นอาจารย์ที่ดีสำหรับเธอ และเพื่อพี่ชายของฉันและลูกชายของเขา
เธอหยุดอีกครั้ง ไม่มีใครขัดขวางความเงียบของเธอ
- วิบัติเป็นเรื่องธรรมดาของเราและเราจะแบ่งครึ่งทุกอย่าง ทุกอย่างที่เป็นของฉันเป็นของคุณ” เธอพูด มองไปรอบ ๆ ใบหน้าที่ยืนอยู่ต่อหน้าเธอ
ทุกสายตามองมาที่เธอด้วยสีหน้าเดียวกันซึ่งเธอไม่สามารถเข้าใจความหมายได้ ไม่ว่าจะเป็นความอยากรู้อยากเห็น ความทุ่มเท ความขอบคุณ หรือความกลัวและไม่ไว้วางใจ สีหน้าทั้งหมดก็เหมือนกัน
“หลายคนยินดีกับพระคุณของคุณ เพียงแต่เราไม่ต้องรับอาหารของเจ้านาย” เสียงหนึ่งดังขึ้นจากด้านหลัง
- ใช่ทำไม? - เจ้าหญิงกล่าว
ไม่มีใครตอบ เจ้าหญิงแมรีมองไปรอบ ๆ ฝูงชนสังเกตเห็นว่าตอนนี้ดวงตาทุกดวงที่เธอพบลดลงทันที
- ทำไมคุณไม่ต้องการ? เธอถามอีกครั้ง
ไม่มีใครตอบ
เจ้าหญิงมารีอารู้สึกหนักใจจากความเงียบนี้ เธอพยายามจับจ้องของใครบางคน
- ทำไมคุณไม่พูด - เจ้าหญิงหันไปหาชายชราผู้ซึ่งยืนพิงไม้เท้าอยู่ข้างหน้าเธอ บอกฉันถ้าคุณคิดว่าคุณต้องการอะไรอีก ฉันจะทำอะไรก็ได้” เธอพูดพร้อมสบตาเขา แต่ราวกับว่าเขาโกรธในเรื่องนี้ เขาก้มหัวลงจนสุดแล้วพูดว่า:
- ตกลงทำไมเราไม่ต้องการขนมปัง
- เราควรเลิกทุกอย่างดีไหม? ไม่เห็นด้วย. ไม่เห็นด้วย...ไม่มีความยินยอมจากเรา เราสงสารคุณ แต่ไม่มีความยินยอมจากเรา ไปเองคนเดียว…” ได้ยินในฝูงชนจากด้านต่างๆ และอีกครั้งที่สีหน้าเดียวกันนี้ปรากฏขึ้นบนใบหน้าของฝูงชนนี้ และตอนนี้มันอาจจะไม่ใช่การแสดงความอยากรู้อยากเห็นและความขอบคุณอีกต่อไป แต่เป็นการแสดงออกถึงความมุ่งมั่นที่ขมขื่น
“ใช่ คุณไม่เข้าใจ ใช่ไหม” เจ้าหญิงมารีอากล่าวด้วยรอยยิ้มเศร้า ทำไมถึงไม่อยากไป? ฉันสัญญาว่าจะดูแลคุณ ให้อาหารคุณ และที่นี่ศัตรูจะทำลายคุณ ...
แต่เสียงของเธอถูกกลบด้วยเสียงของฝูงชน
- ไม่มีความยินยอมของเราปล่อยให้พวกเขาทำลาย! เราไม่รับขนมปังของคุณ เราไม่ยินยอม!
เจ้าหญิงแมรีพยายามจับจ้องจากฝูงชนอีกครั้ง แต่ไม่มีใครเหลือบมองเธอแม้แต่ครั้งเดียว เห็นได้ชัดว่าดวงตาของเธอหลบเลี่ยงเธอ เธอรู้สึกอึดอัดแปลกๆ
“ดูสิ เธอสอนฉันอย่างชาญฉลาด ตามเธอไปที่ป้อมปราการ!” ทำลายบ้านเรือนและตกเป็นทาสแล้วไป ยังไง! ฉันจะให้ขนมปังคุณ! ได้ยินเสียงในฝูงชน
เจ้าหญิงแมรี่ก้มศีรษะออกจากวงกลมแล้วเข้าไปในบ้าน หลังจากสั่ง Dron ซ้ำแล้วซ้ำอีกว่าควรมีม้าสำหรับออกเดินทางในวันพรุ่งนี้ เธอไปที่ห้องของเธอและทิ้งเธอไว้ตามลำพังกับความคิดของเธอ

เป็นเวลานานในคืนนั้น เจ้าหญิงมารีอานั่งข้างหน้าต่างที่เปิดอยู่ในห้องของเธอ ฟังเสียงของชาวนาที่คุยกันจากหมู่บ้าน แต่เธอก็ไม่ได้คิดถึงพวกเขา เธอรู้สึกว่าไม่ว่าเธอจะคิดถึงพวกเขามากแค่ไหน เธอก็ไม่เข้าใจพวกเขา เธอคิดอยู่เรื่องหนึ่ง - เกี่ยวกับความเศร้าโศกของเธอซึ่งตอนนี้หลังจากหยุดพักด้วยความกังวลเกี่ยวกับปัจจุบันได้กลายเป็นอดีตไปแล้วสำหรับเธอ ตอนนี้เธอจำได้ เธอสามารถร้องไห้ และเธอสามารถอธิษฐานได้ เมื่อดวงอาทิตย์ตก ลมก็สงบลง กลางคืนสงบเย็น เมื่อถึงเวลาสิบสองนาฬิกา เสียงต่างๆ เริ่มเงียบลง ไก่ขัน พระจันทร์เต็มดวงเริ่มโผล่ออกมาจากหลังต้นดอกเหลือง ละอองน้ำค้างสีขาวสดชื่นลอยขึ้น และความเงียบเข้าปกคลุมหมู่บ้านและบ้าน
เธอจินตนาการถึงภาพในอดีตอันใกล้ - ความเจ็บป่วยและช่วงเวลาสุดท้ายของพ่อของเธอ และด้วยความสุขเศร้า ตอนนี้เธอจมอยู่กับภาพเหล่านี้ ขับไล่ความคิดสุดท้ายเกี่ยวกับการตายของเขาออกไปด้วยความสยดสยอง ซึ่ง - เธอรู้สึก - เธอไม่สามารถครุ่นคิดแม้แต่ในจินตนาการของเธอในช่วงเวลาที่เงียบสงบและลึกลับนี้ กลางคืน. และภาพเหล่านี้ปรากฏแก่เธอด้วยความชัดเจนและมีรายละเอียดมากจนดูเหมือนกับความเป็นจริงหรืออดีตหรืออนาคต
จากนั้นเธอก็จินตนาการถึงช่วงเวลาที่เขาเป็นโรคหลอดเลือดในสมองและถูกลากออกจากสวนในเทือกเขาหัวโล้นด้วยแขน และเขากำลังพึมพำบางอย่างด้วยลิ้นที่ไร้เรี่ยวแรง คิ้วสีเทากระตุกและมองเธออย่างกระวนกระวายและขี้อาย
“เขาต้องการบอกฉันถึงสิ่งที่เขาบอกฉันในวันที่เขาเสียชีวิต” เธอคิด “เขามักจะคิดสิ่งที่เขาพูดกับฉัน” และตอนนี้เธอจำได้พร้อมรายละเอียดทั้งหมดในคืนนั้นบนภูเขาหัวโล้นในวันก่อนเกิดระเบิดซึ่งเกิดขึ้นกับเขา เมื่อเจ้าหญิงแมรีซึ่งคาดว่าจะมีปัญหา อยู่กับเขาโดยขัดต่อความประสงค์ของเขา เธอนอนไม่หลับและเดินเขย่งเท้าลงไปชั้นล่างและไปที่ประตูห้องดอกไม้ซึ่งพ่อของเธอพักค้างคืนในคืนนั้น เธอฟังเสียงของเขา เขากำลังพูดบางอย่างกับ Tikhon ด้วยน้ำเสียงที่เหนื่อยล้าและเหนื่อยล้า ดูเหมือนเขาจะอยากคุยด้วย “ทำไมเขาไม่โทรหาฉัน ทำไมเขาถึงไม่ยอมให้ฉันอยู่ที่นี่แทนทิฆอน? คิดแล้วและตอนนี้เจ้าหญิงมารีอา - ตอนนี้เขาจะไม่บอกใครทั้งหมดที่อยู่ในจิตวิญญาณของเขา ช่วงเวลานี้จะไม่หวนกลับมาสำหรับเขาและสำหรับฉันเมื่อเขาจะพูดทุกสิ่งที่เขาต้องการแสดงและฉันไม่ใช่ Tikhon จะฟังและเข้าใจเขา ทำไมตอนนั้นฉันไม่เข้าห้อง เธอคิดว่า. “บางทีเขาอาจจะบอกฉันในสิ่งที่เขาพูดในวันที่เขาเสียชีวิต ในการสนทนากับ Tikhon เขาถามถึงฉันสองครั้ง เขาต้องการพบฉัน และฉันก็ยืนอยู่ข้างนอกประตู เขาเศร้ายากที่จะพูดคุยกับ Tikhon ซึ่งไม่เข้าใจเขา ฉันจำได้ว่าเขาพูดกับเขาเกี่ยวกับลิซ่าราวกับว่ายังมีชีวิตอยู่ - เขาลืมไปว่าเธอตายไปแล้วและ Tikhon เตือนเขาว่าเธอไม่ได้อยู่ที่นั่นแล้วและเขาก็ตะโกน: "คนโง่" มันยากสำหรับเขา ฉันได้ยินจากหลังประตูว่าเขานอนลงบนเตียงคร่ำครวญและตะโกนเสียงดังว่า "พระเจ้า! ทำไมฉันถึงไม่ขึ้นไป เขาจะทำอะไรกับฉัน ฉันจะเสียอะไร หรือบางทีเขาอาจจะปลอบใจตัวเอง เขาคงพูดคำนี้กับฉัน และเจ้าหญิงมารีอาก็เปล่งคำพูดอันไพเราะที่เขาพูดกับเธอในวันที่เขาเสียชีวิต “เพื่อน เธอ nka! - เจ้าหญิงมารีอาพูดคำนี้ซ้ำและสะอื้นน้ำตาซึ่งทำให้วิญญาณของเธอโล่งใจ เธอเห็นใบหน้าของเขาอยู่ตรงหน้าเธอแล้ว ไม่ใช่ใบหน้าที่เธอเคยรู้จักตั้งแต่จำความได้ และไม่ใช่ใบหน้าที่เธอเคยเห็นจากระยะไกลมาโดยตลอด และใบหน้านั้น - ขี้อายและอ่อนแอซึ่งในวันสุดท้ายก้มลงเพื่อฟังสิ่งที่เขาพูดเป็นครั้งแรกเพื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดกับรอยย่นและรายละเอียดทั้งหมด