การบวกเลขยกกำลัง สูตรพลังและราก
การสนทนาต่อเกี่ยวกับกำลังของตัวเลข มีเหตุผลที่จะหาวิธีค้นหาค่าของกำลัง กระบวนการนี้เรียกว่า การยกกำลัง- ในบทความนี้ เราจะศึกษาวิธีการยกกำลัง ในขณะที่เราจะกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด - แบบธรรมชาติ จำนวนเต็ม เหตุผล และจำนวนตรรกยะ และตามประเพณีเราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างการเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังต่างๆ
การนำทางหน้า
“การยกกำลัง” หมายถึงอะไร?
เริ่มต้นด้วยการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าการยกกำลัง นี่คือคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง
คำนิยาม.
การยกกำลัง- นี่คือการหาค่ากำลังของตัวเลข
ดังนั้น การค้นหาค่ากำลังของตัวเลข a ด้วยเลขชี้กำลัง r และการเพิ่มจำนวน a ยกกำลัง r จึงเป็นสิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากงานคือ "คำนวณค่าของกำลัง (0.5) 5" ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: "เพิ่มจำนวน 0.5 ให้เป็นกำลัง 5"
ตอนนี้คุณสามารถไปที่กฎที่ใช้การยกกำลังได้โดยตรง
การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ
ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปจะใช้ความเสมอภาคตามในรูปแบบ นั่นคือ เมื่อเพิ่มจำนวน a เป็นเศษส่วน m/n ก่อนอื่นให้นำรากที่ n ของจำนวน a มาใช้ หลังจากนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะยกขึ้นเป็นจำนวนเต็มยกกำลัง m
เรามาดูคำตอบของตัวอย่างการเพิ่มกำลังเศษส่วนกัน
ตัวอย่าง.
คำนวณค่าของปริญญา
สารละลาย.
เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาสองประการ
วิธีแรก. โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราคำนวณค่าของดีกรีใต้เครื่องหมายรูท จากนั้นแยกรากที่สาม: .
วิธีที่สอง. ตามคำนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: - ตอนนี้เราแยกรากออก ในที่สุด เราก็ยกกำลังให้เป็นจำนวนเต็ม .
เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเพิ่มกำลังเป็นเศษส่วนนั้นเกิดขึ้นพร้อมกัน
คำตอบ:
โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละได้ ในกรณีนี้ ควรแทนที่เศษส่วนสามัญที่สอดคล้องกัน แล้วยกกำลัง
ตัวอย่าง.
คำนวณ (44.89) 2.5.
สารละลาย.
มาเขียนเลขชี้กำลังในรูปเศษส่วนสามัญ (หากจำเป็น ดูบทความ): - ตอนนี้เราทำการยกกำลังเศษส่วน:
คำตอบ:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
ควรกล่าวด้วยว่าการเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังตรรกยะเป็นกระบวนการที่ใช้แรงงานค่อนข้างมาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนมีจำนวนมากพอ) ซึ่งมักจะดำเนินการโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
เพื่อสรุปประเด็นนี้ ให้เรามุ่งความสนใจไปที่การเพิ่มเลขศูนย์ให้เป็นกำลังเศษส่วน เราให้ความหมายต่อไปนี้แก่กำลังเศษส่วนของรูปแบบศูนย์: เมื่อเรามี และไม่ได้กำหนดไว้ที่ศูนย์ถึงกำลัง m/n ดังนั้น เลขยกกำลังบวกจากศูนย์ถึงเศษส่วนจะเป็นศูนย์ เช่น - และศูนย์ในกำลังลบที่เป็นเศษส่วนนั้นไม่สมเหตุสมผล เช่น นิพจน์ 0 -4.3 ไม่สมเหตุสมผล
กลายเป็นพลังที่ไม่มีเหตุผล
บางครั้งจำเป็นต้องค้นหาค่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในกรณีนี้ เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ โดยปกติแล้วการได้ค่าระดับที่แม่นยำของสัญญาณบางอย่างก็เพียงพอแล้ว ให้เราทราบทันทีว่าในทางปฏิบัติค่านี้คำนวณโดยใช้คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ เนื่องจากการเพิ่มเป็นกำลังที่ไม่ลงตัวด้วยตนเองนั้นต้องใช้การคำนวณที่ยุ่งยากจำนวนมาก แต่เราจะยังคงอธิบายในแง่ทั่วไปถึงสาระสำคัญของการกระทำ
เพื่อให้ได้ค่าประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว จะต้องคำนวณค่าประมาณของเลขชี้กำลังเป็นทศนิยมบางส่วนและคำนวณค่าของกำลัง ค่านี้เป็นค่าโดยประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว ยิ่งการประมาณทศนิยมของตัวเลขมีความแม่นยำมากขึ้นเท่าใดในขั้นต้น ก็จะได้ค่าของระดับที่แม่นยำยิ่งขึ้นในตอนท้าย
ตามตัวอย่าง ลองคำนวณค่าประมาณกำลังของ 2 1.174367... . ลองหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวดังต่อไปนี้: ตอนนี้เรายกกำลัง 2 ให้เป็นกำลังตรรกยะ 1.17 (เราได้อธิบายสาระสำคัญของกระบวนการนี้ไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้า) เราจะได้ 2 1.17 µs2.250116 ดังนั้น, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 - หากเราประมาณทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว เราก็จะได้ค่าเลขชี้กำลังดั้งเดิมที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
อ้างอิง.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)
เครื่องคิดเลขช่วยให้คุณเพิ่มเลขยกกำลังออนไลน์ได้อย่างรวดเร็ว ฐานของระดับอาจเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ (ทั้งจำนวนเต็มและจำนวนจริง) เลขชี้กำลังอาจเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจริงก็ได้ และอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ โปรดจำไว้ว่าสำหรับจำนวนลบ การยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้นเครื่องคิดเลขจะรายงานข้อผิดพลาดหากคุณพยายามดำเนินการ
เครื่องคิดเลขปริญญา
ยกขึ้นสู่อำนาจ
การยกกำลัง: 94722
พลังธรรมชาติของตัวเลขคืออะไร?
จำนวน p เรียกว่ากำลังที่ n ของจำนวน ถ้า p เท่ากับจำนวน a คูณด้วยตัวมันเอง n ครั้ง: p = a n = a·...·a
n - เรียกว่า เลขชี้กำลังและหมายเลข a คือ พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา.
จะเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติได้อย่างไร?
หากต้องการทำความเข้าใจวิธีเพิ่มจำนวนต่างๆ ให้เป็นพลังธรรมชาติ ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1- ยกเลขสามยกกำลังสี่ นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 3 4
สารละลาย: ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น 3 4 = 3·3·3·3 = 81
คำตอบ: 3 4 = 81 .
ตัวอย่างที่ 2- ยกเลขห้าขึ้นยกกำลังห้า นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 5 5
สารละลาย: ในทำนองเดียวกัน 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125
คำตอบ: 5 5 = 3125 .
ดังนั้น หากต้องการเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังธรรมชาติ คุณเพียงแค่ต้องคูณมันด้วยตัวมันเอง n ครั้ง
กำลังลบของตัวเลขคืออะไร?
กำลังลบ -n ของ a คือค่าที่หารด้วย a ยกกำลัง n: a -n =ในกรณีนี้ จะมีกำลังเป็นลบสำหรับตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น เนื่องจากมิฉะนั้นอาจเกิดการหารด้วยศูนย์ได้
จะเพิ่มจำนวนให้เป็นจำนวนเต็มลบได้อย่างไร?
หากต้องการเพิ่มจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ให้เป็นค่าลบ คุณต้องคำนวณค่าของจำนวนนี้ให้เป็นค่าบวกเท่าเดิม แล้วหาร 1 ด้วยผลลัพธ์
ตัวอย่างที่ 1- ยกเลข 2 ขึ้นเป็นลบยกกำลังที่ 4 นั่นคือคุณต้องคำนวณ 2 -4
สารละลาย: ตามที่ระบุไว้ข้างต้น 2 -4 = = = 0.0625คำตอบ: 2 -4 = 0.0625 .
เราหาได้ว่าจริงๆ แล้วกำลังของจำนวนคืออะไร ตอนนี้เราต้องเข้าใจวิธีคำนวณให้ถูกต้องเช่น ยกตัวเลขขึ้นสู่อำนาจ ในเนื้อหานี้ เราจะวิเคราะห์กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณองศาในกรณีของเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ธรรมชาติ เศษส่วน ตรรกยะ และอตรรกยะ คำจำกัดความทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่าง
แนวคิดเรื่องการยกกำลัง
เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน
คำจำกัดความ 1
การยกกำลัง- นี่คือการคำนวณค่ากำลังของจำนวนหนึ่ง
นั่นคือคำว่า “การคำนวณมูลค่าของพลัง” และ “การเพิ่มพลัง” มีความหมายเดียวกัน ดังนั้น หากปัญหาบอกว่า “ยกเลข 0, 5 ให้เป็นกำลังที่ห้า” ควรเข้าใจว่าเป็น “การคำนวณค่าของกำลัง (0, 5) 5
ตอนนี้เรานำเสนอกฎพื้นฐานที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อทำการคำนวณดังกล่าว
จำไว้ว่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็นเท่าใด สำหรับกำลังที่มีฐาน a และเลขชี้กำลัง n นี่จะเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนที่ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a สามารถเขียนได้ดังนี้:
ในการคำนวณค่าของดีกรี คุณต้องทำการคูณ นั่นคือ คูณฐานของดีกรีด้วยจำนวนครั้งที่ระบุ แนวคิดเรื่องปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการคูณอย่างรวดเร็ว ลองยกตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1
เงื่อนไข: เพิ่ม - 2 ยกกำลัง 4
สารละลาย
จากนิยามข้างต้น เราเขียนว่า: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) ต่อไปเราแค่ต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับ 16
ลองยกตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น
ตัวอย่างที่ 2
คำนวณค่า 3 2 7 2
สารละลาย
รายการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น 3 2 7 · 3 2 7 ก่อนหน้านี้ เราดูวิธีการคูณตัวเลขคละที่กล่าวถึงในเงื่อนไขอย่างถูกต้อง
มาทำตามขั้นตอนเหล่านี้แล้วได้คำตอบ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
หากปัญหาบ่งชี้ถึงความจำเป็นในการยกจำนวนอตรรกยะให้เป็นกำลังธรรมชาติ เราจะต้องปัดฐานของพวกมันให้เป็นตัวเลขที่จะทำให้เราได้คำตอบที่มีความแม่นยำที่ต้องการ ลองดูตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 3
ดำเนินการกำลังสองของ π
สารละลาย
ขั้นแรก ลองปัดมันให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด. จากนั้น π 2 data (3, 14) 2 = 9, 8596 ถ้า π γ 3 14159 เราจะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น: π 2 data (3, 14159) 2 = 9, 8695877281
โปรดทราบว่าความจำเป็นในการคำนวณกำลังของจำนวนอตรรกยะนั้นเกิดขึ้นได้ยากในทางปฏิบัติ จากนั้นเราสามารถเขียนคำตอบเป็นกำลัง (ln 6) 3 เอง หรือแปลงถ้าเป็นไปได้: 5 7 = 125 5
ควรระบุแยกกันว่ากำลังแรกของตัวเลขคืออะไร ที่นี่คุณเพียงจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ ที่ถูกยกกำลัง 1 จะยังคงอยู่โดยตัวมันเอง:
ชัดเจนจากบันทึกนี้ .
มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับพื้นฐานของปริญญา
ตัวอย่างที่ 4
ดังนั้น (− 9) 1 = − 9 และ 7 3 ยกกำลังแรกจะยังคงเท่ากับ 7 3
เพื่อความสะดวก เราจะพิจารณาสามกรณีแยกกัน: ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเป็นศูนย์ และเป็นจำนวนเต็มลบ
ในกรณีแรก ก็เหมือนกับการเพิ่มกำลังธรรมชาติ เพราะท้ายที่สุดแล้ว จำนวนเต็มบวกจะอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ เราได้พูดคุยไปแล้วข้างต้นเกี่ยวกับวิธีการทำงานกับระดับดังกล่าว
ตอนนี้เรามาดูวิธีการเพิ่มกำลังเป็นศูนย์อย่างถูกต้อง สำหรับฐานอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ การคำนวณนี้จะให้ผลลัพธ์เป็น 1 เสมอ ก่อนหน้านี้เราได้อธิบายไปแล้วว่ากำลัง 0 ของ a สามารถกำหนดให้กับจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 และ 0 = 1
ตัวอย่างที่ 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - ไม่ได้กำหนดไว้
เหลือเพียงกรณีของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม เราได้คุยกันไปแล้วว่าองศาดังกล่าวสามารถเขียนเป็นเศษส่วน 1 az โดยที่ a คือตัวเลขใดๆ และ z เป็นจำนวนเต็มลบ เราเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่ากำลังธรรมดาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวก และเราได้เรียนรู้วิธีการคำนวณไปแล้ว เรามายกตัวอย่างงานกัน
ตัวอย่างที่ 6
ยกกำลัง 2 - 3
สารละลาย
จากคำจำกัดความข้างต้น เราเขียนว่า 2 - 3 = 1 2 3
ลองคำนวณตัวส่วนของเศษส่วนนี้แล้วได้ 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8
ดังนั้นคำตอบคือ: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
ตัวอย่างที่ 7
เพิ่ม 1.43 ยกกำลัง -2
สารละลาย
มาจัดรูปแบบใหม่: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
เราคำนวณกำลังสองในตัวส่วน: 1.43·1.43 ทศนิยมสามารถคูณได้ดังนี้:
ผลลัพธ์ที่ได้คือ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 สิ่งที่เราต้องทำคือเขียนผลลัพธ์นี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วนธรรมดา ซึ่งเราต้องคูณด้วย 10,000 (ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการแปลงเศษส่วน)
คำตอบ: (1, 43) - 2 = 10,000 20449
กรณีพิเศษคือการยกตัวเลขขึ้นเป็นลบยกกำลังหนึ่ง ค่าของระดับนี้เท่ากับส่วนกลับของค่าเดิมของฐาน: a - 1 = 1 a 1 = 1 a
ตัวอย่างที่ 8
ตัวอย่าง: 3 − 1 = 1/3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นเศษส่วน
ในการดำเนินการดังกล่าว เราต้องจำคำจำกัดความพื้นฐานของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน: a m n = a m n สำหรับค่าบวก a จำนวนเต็ม m และ n ธรรมชาติใดๆ
คำจำกัดความ 2
ดังนั้น การคำนวณกำลังเศษส่วนจะต้องดำเนินการในสองขั้นตอน: การยกกำลังเป็นจำนวนเต็มและการค้นหารากของกำลังที่ n
เรามีความเท่าเทียมกัน a m n = a m n ซึ่งเมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติของรากแล้วมักจะใช้ในการแก้ปัญหาในรูปแบบ a m n = a n m ซึ่งหมายความว่าถ้าเรายกจำนวน a เป็นเศษส่วนยกกำลัง m / n จากนั้นเราหารากที่ n ของ a ก่อน จากนั้นเราจะยกผลลัพธ์เป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม m
ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 9
คำนวณ 8 - 2 3 .
สารละลาย
วิธีที่ 1: ตามคำจำกัดความพื้นฐาน เราสามารถแสดงค่านี้ได้ดังนี้: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
ทีนี้มาคำนวณดีกรีใต้รูทแล้วแยกรูทที่สามออกจากผลลัพธ์: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
วิธีที่ 2 แปลงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
หลังจากนั้นเราแยกราก 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 และยกกำลังสองผลลัพธ์: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน คุณสามารถใช้มันตามที่คุณต้องการ
มีหลายกรณีที่ระดับมีตัวบ่งชี้แสดงเป็นจำนวนคละหรือเศษส่วนทศนิยม เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดาแล้วคำนวณตามที่ระบุไว้ข้างต้น
ตัวอย่างที่ 10
ยก 44, 89 ยกกำลัง 2, 5
สารละลาย
ลองแปลงค่าของตัวบ่งชี้ให้เป็นเศษส่วนสามัญ: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2
ตอนนี้เราดำเนินการตามลำดับการกระทำทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107
คำตอบ: 13 501, 25107.
หากตัวเศษและส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนมีจำนวนจำนวนมาก การคำนวณเลขชี้กำลังดังกล่าวด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะเป็นงานที่ค่อนข้างยาก มักจะต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
ให้เราแยกกันพิจารณาเรื่องกำลังที่มีฐานเป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน การแสดงออกของรูปแบบ 0 m n สามารถให้ความหมายต่อไปนี้: ถ้า m n > 0 ดังนั้น 0 m n = 0 m n = 0; ถ้าม< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังอตรรกยะ
ความจำเป็นในการคำนวณค่าของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนอตรรกยะไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ในทางปฏิบัติ งานมักจะจำกัดอยู่เพียงการคำนวณค่าโดยประมาณ (ไม่เกินจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่กำหนด) โดยปกติจะคำนวณบนคอมพิวเตอร์เนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณดังนั้นเราจะไม่เน้นรายละเอียดนี้เราจะระบุเฉพาะบทบัญญัติหลักเท่านั้น
หากเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของยกกำลัง a ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว a เราจะหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังแล้วนับจากนั้น ผลลัพธ์จะเป็นคำตอบโดยประมาณ ยิ่งการประมาณทศนิยมแม่นยำมากเท่าใด คำตอบก็ยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น มาแสดงด้วยตัวอย่าง:
ตัวอย่างที่ 11
คำนวณค่าประมาณ 2 ยกกำลัง 1.174367....
สารละลาย
ลองจำกัดตัวเองให้มีค่าประมาณทศนิยม a n = 1, 17 กัน เรามาคำนวณโดยใช้ตัวเลขนี้: 2 1, 17 data 2, 250116 ตัวอย่างเช่น หากเราใช้การประมาณ a n = 1, 1743 คำตอบก็จะแม่นยำมากขึ้นอีกหน่อย: 2 1, 174367 - - 2 1, 1743 2, 256833
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
สูตรปริญญาใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ
ตัวเลข คเป็น n- กำลังของตัวเลข กเมื่อไร:
การดำเนินงานที่มีองศา
1. โดยการคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกเพิ่ม:
เช้า·a n = a m + n
2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก:
3. ระดับของผลคูณของ 2 ปัจจัยขึ้นไปจะเท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัยเหล่านี้:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:
(ก/ข) n = n /b n
5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:
(ก) n = ก ม n .
แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน
ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
การดำเนินการที่มีราก
1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:
2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:
3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มเลขรากเป็นกำลังนี้:
4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลังเป็นเลขราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:
5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:
องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบกำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก:
สูตร เช้า:a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม> nแต่ยังมี ม< n.
ตัวอย่างเช่น. ก4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
ให้เป็นสูตร เช้า:a n =a ม - nยุติธรรมเมื่อ ม.=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์
องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก nระดับของ ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก.
การยกกำลังเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการคูณอย่างใกล้ชิด การดำเนินการนี้เป็นผลมาจากการคูณตัวเลขซ้ำๆ ด้วยตัวมันเอง ลองแทนมันด้วยสูตร: a1 * a2 * … * an = an
ตัวอย่างเช่น a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8
โดยทั่วไป การยกกำลังมักใช้ในสูตรต่างๆ ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ฟังก์ชันนี้มีวัตถุประสงค์ทางวิทยาศาสตร์มากกว่าฟังก์ชันหลักทั้งสี่: การบวก การลบ การคูณ การหาร
การยกจำนวนให้เป็นกำลัง
การเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังไม่ใช่การดำเนินการที่ซับซ้อน เกี่ยวข้องกับการคูณในลักษณะเดียวกันกับความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการบวก สัญกรณ์ a คือสัญกรณ์สั้นๆ ของตัวเลข "a" ตัวที่ n คูณกัน
พิจารณาการยกกำลังโดยใช้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ไปสู่ตัวอย่างที่ซับซ้อนต่อไป
เช่น 42 42 = 4 * 4 = 16 สี่ยกกำลังสอง (ยกกำลังสอง) เท่ากับสิบหก หากคุณไม่เข้าใจการคูณ 4 * 4 โปรดอ่านบทความเกี่ยวกับการคูณของเรา
ลองดูตัวอย่างอื่น: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 - ห้ายกกำลังสาม (ยกกำลังสาม) เท่ากับ หนึ่งร้อยยี่สิบห้า
อีกตัวอย่างหนึ่ง: 9^3 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 - เก้าลูกบาศก์เท่ากับเจ็ดร้อยยี่สิบเก้า
สูตรการยกกำลัง
หากต้องการเพิ่มกำลังอย่างถูกต้อง คุณต้องจำและรู้สูตรที่ให้ไว้ด้านล่าง ไม่มีอะไรที่เป็นธรรมชาติเป็นพิเศษในเรื่องนี้ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแก่นแท้ จากนั้นพวกเขาจะไม่เพียงจดจำเท่านั้น แต่ยังดูง่ายอีกด้วย
การยกระดับ monomial สู่อำนาจ
monomial คืออะไร? นี่คือผลคูณของตัวเลขและตัวแปรในปริมาณใดๆ ตัวอย่างเช่น สองคือ monomial และบทความนี้เกี่ยวกับการยก monomial ดังกล่าวขึ้นสู่อำนาจอย่างแม่นยำ
การใช้สูตรสำหรับการยกกำลังจะทำให้การคำนวณการยกกำลังของเอกพจน์ไม่ใช่เรื่องยาก
ตัวอย่างเช่น, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6- หากคุณยกกำลังแบบโมโนเมียล แต่ละองค์ประกอบของโมโนเมียลจะถูกยกกำลัง
โดยการเพิ่มตัวแปรที่มีกำลังอยู่แล้วให้เป็นกำลังนั้น ก็จะคูณกำลัง ตัวอย่างเช่น (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
กลายเป็นพลังลบ
กำลังลบคือส่วนกลับของตัวเลข เลขคู่กันคืออะไร? ส่วนกลับของจำนวน X ใดๆ คือ 1/X นั่นคือ X-1=1/X นี่คือสาระสำคัญของระดับลบ
ลองพิจารณาตัวอย่าง (3ป)^-3:
(3ป)^-3 = 1/(27ป^3)
ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? เนื่องจากมีลบอยู่ในดีกรี เราก็แค่โอนพจน์นี้ไปที่ตัวส่วน แล้วยกมันขึ้นยกกำลังสาม ง่ายใช่มั้ย?
ยกกำลังเป็นเศษส่วน
เริ่มต้นด้วยการดูปัญหาด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง 43/2. องศา 3/2 หมายถึงอะไร? 3 – ตัวเศษ หมายถึงการเพิ่มตัวเลข (ในกรณีนี้คือ 4) ให้เป็นลูกบาศก์ เลข 2 เป็นตัวส่วน มันคือการแยกรากที่สองของตัวเลข (ในกรณีนี้คือ 4)
จากนั้นเราจะได้รากที่สองของ 43 = 2^3 = 8 คำตอบ: 8.
ดังนั้น ตัวส่วนของกำลังเศษส่วนอาจเป็น 3 หรือ 4 หรืออาจเป็นจำนวนอนันต์ก็ได้ และจำนวนนี้จะกำหนดระดับของรากที่สองที่นำมาจากจำนวนที่กำหนด แน่นอนว่าตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้
การหยั่งรากไปสู่พลัง
หากรากถูกยกขึ้นถึงระดับเท่ากับระดับของรากนั้นเอง คำตอบจะเป็นการแสดงออกทางราก ตัวอย่างเช่น (√x)2 = x ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใด ระดับของรากและระดับของการเพิ่มรากจะเท่ากัน
ถ้า (√x)^4 จากนั้น (√x)^4=x^2 ในการตรวจสอบผลเฉลย เราจะแปลงนิพจน์ให้เป็นนิพจน์ที่มีกำลังเศษส่วน เนื่องจากรากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวส่วนจึงเป็น 2 และถ้ารากยกกำลังสี่ ตัวเศษจะเป็น 4 เราจะได้ 4/2=2 คำตอบ: x = 2
ไม่ว่าในกรณีใด ตัวเลือกที่ดีที่สุดคือแปลงนิพจน์ให้เป็นนิพจน์ที่มีกำลังเศษส่วน ถ้าเศษส่วนไม่หักล้าง นี่คือคำตอบ โดยมีเงื่อนไขว่ารากของตัวเลขที่กำหนดนั้นไม่ได้ถูกแยกออกจากกัน
การยกจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง
จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร? จำนวนเชิงซ้อนคือนิพจน์ที่มีสูตร a + b * i; a, b เป็นจำนวนจริง i คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะได้เลข -1
ลองดูตัวอย่าง (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i
ลงทะเบียนสำหรับหลักสูตร "เร่งความเร็วเลขในใจ ไม่ใช่เลขในใจ" เพื่อเรียนรู้วิธีบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกำลังสอง และแม้แต่แยกรากอย่างรวดเร็วและถูกต้อง ใน 30 วัน คุณจะได้เรียนรู้วิธีใช้เคล็ดลับง่ายๆ เพื่อทำให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น แต่ละบทเรียนประกอบด้วยเทคนิคใหม่ๆ ตัวอย่างที่ชัดเจน และงานที่เป็นประโยชน์
การยกกำลังออนไลน์
เมื่อใช้เครื่องคิดเลขของเรา คุณสามารถคำนวณการเพิ่มจำนวนเป็นกำลังได้:
การยกกำลังเกรด 7
เด็กนักเรียนเริ่มมีอำนาจเฉพาะในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เท่านั้น
การยกกำลังเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการคูณอย่างใกล้ชิด การดำเนินการนี้เป็นผลมาจากการคูณตัวเลขซ้ำๆ ด้วยตัวมันเอง ลองแทนมันด้วยสูตร: a1 * a2 * … * an=an
ตัวอย่างเช่น, ก=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
ตัวอย่างการแก้ปัญหา:
การนำเสนอการยกกำลัง
การนำเสนอเรื่องการยกระดับอำนาจ ออกแบบมาสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การนำเสนออาจมีการชี้แจงประเด็นที่ไม่ชัดเจนบางประการ แต่ประเด็นเหล่านี้อาจจะไม่สามารถอธิบายให้กระจ่างได้เนื่องจากบทความของเรา
บรรทัดล่าง
เราได้ดูเพียงส่วนปลายของภูเขาน้ำแข็งเพื่อทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้น - ลงทะเบียนเรียนหลักสูตรของเรา: การเร่งความเร็วของการคำนวณทางจิต - ไม่ใช่การคำนวณทางจิต
จากหลักสูตรนี้ คุณจะไม่เพียงแต่ได้เรียนรู้เทคนิคมากมายสำหรับการคูณ การบวก การคูณ การหาร และการคำนวณเปอร์เซ็นต์แบบง่ายและรวดเร็ว แต่คุณยังจะได้ฝึกฝนในงานพิเศษและเกมการศึกษาอีกด้วย! การคำนวณทางจิตยังต้องอาศัยความสนใจและสมาธิอย่างมากซึ่งได้รับการฝึกฝนอย่างแข็งขันเมื่อแก้ไขปัญหาที่น่าสนใจ