Stereometry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ศึกษาตัวเลขที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน หนึ่งในวัตถุของการศึกษา stereometry คือปริซึม ในบทความ เราจะให้คำจำกัดความของปริซึมจากมุมมองทางเรขาคณิต และระบุคุณสมบัติที่เป็นลักษณะของมันโดยสังเขปด้วย

รูปทรงเรขาคณิต

คำจำกัดความของปริซึมในเรขาคณิตมีดังนี้: มันเป็นรูปทรงเชิงพื้นที่ซึ่งประกอบด้วย n-gons ที่เหมือนกันสองตัวที่อยู่ในระนาบคู่ขนานซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยจุดยอด

ได้ปริซึมไม่ใช่เรื่องยาก ลองนึกภาพว่ามี n-gon เหมือนกันสองตัว โดยที่ n คือจำนวนด้านหรือจุดยอด ให้วางขนานกัน หลังจากนั้น จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมหนึ่งควรเชื่อมต่อกับจุดยอดที่สอดคล้องกันของอีกจุดหนึ่ง รูปที่ได้จะประกอบด้วยด้าน n-gonal สองด้าน ซึ่งเรียกว่า ฐาน และด้านรูปสี่เหลี่ยม n ด้าน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ชุดของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างพื้นผิวด้านข้างของรูป

มีอีกวิธีหนึ่งในการหาตัวเลขที่เป็นปัญหาในเชิงเรขาคณิต ดังนั้น หากเราเอา n-gon และถ่ายโอนไปยังระนาบอื่นโดยใช้ส่วนขนานที่มีความยาวเท่ากัน ในระนาบใหม่เราจะได้รูปหลายเหลี่ยมดั้งเดิม รูปหลายเหลี่ยมและส่วนคู่ขนานทั้งหมดที่ลากจากจุดยอดเป็นปริซึม

รูปข้างบนนี้เรียกว่าเพราะฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม

องค์ประกอบที่ประกอบเป็นร่าง

ด้านบนให้คำจำกัดความของปริซึมซึ่งเห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบหลักของรูปร่างคือใบหน้าหรือด้านข้างซึ่ง จำกัด จุดภายในทั้งหมดของปริซึมจากพื้นที่ภายนอก ใบหน้าของรูปใด ๆ ที่พิจารณาอยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่งจากสองประเภท:

• ด้านข้าง;
• บริเวณ

มีชิ้นส่วนด้านข้าง n ชิ้น และเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือประเภทเฉพาะ (สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยม) โดยทั่วไปแล้ว ใบหน้าด้านข้างจะแตกต่างกัน ฐานมีเพียงสองหน้าเท่านั้น พวกมันเป็น n-gons และมีค่าเท่ากัน ดังนั้นปริซึมทุกอันมีด้าน n+2

นอกจากด้านข้างแล้ว รูปร่างยังโดดเด่นด้วยจุดยอด เป็นจุดที่ใบหน้าทั้งสามสัมผัสพร้อมกัน ยิ่งกว่านั้น สองในสามของใบหน้ามักจะเป็นของพื้นผิวด้านข้าง และอีกหน้าหนึ่งอยู่ที่ฐาน ดังนั้นในปริซึมจึงไม่มีจุดยอดหนึ่งจุดที่เลือกมาเป็นพิเศษ เช่น ในปิรามิด จุดยอดทั้งหมดเท่ากัน จำนวนจุดยอดของรูปคือ 2*n (n ชิ้นสำหรับแต่ละฐาน)

สุดท้าย องค์ประกอบสำคัญที่สามของปริซึมก็คือขอบของมัน เหล่านี้เป็นส่วนของความยาวที่แน่นอนซึ่งเกิดขึ้นจากการตัดกันของด้านข้างของรูป เช่นเดียวกับใบหน้า ขอบมีสองประเภทที่แตกต่างกัน:

• หรือเกิดขึ้นจากด้านข้างเท่านั้น
• หรือเกิดขึ้นที่ทางแยกของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับด้านข้างของฐาน n-gonal

จำนวนของขอบคือ 3*n และ 2*n อยู่ในขอบที่สองของประเภทที่มีชื่อ

ประเภทปริซึม

มีหลายวิธีในการจำแนกปริซึม อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้อิงตามคุณสมบัติสองประการของภาพ:

• เกี่ยวกับประเภทของฐาน n-coal;
• ในประเภทด้านข้าง

เริ่มต้นด้วย ให้เราหันไปที่ภาวะเอกฐานที่สองและให้คำจำกัดความของเส้นตรง หากด้านใดด้านหนึ่งเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานของประเภททั่วไป ตัวเลขนั้นเรียกว่าเฉียงหรือเฉียง หากสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยม ปริซึมก็จะเป็นเส้นตรง

คุณยังสามารถให้คำจำกัดความแตกต่างกันเล็กน้อย: รูปทรงตรงคือปริซึมที่ขอบด้านข้างและใบหน้าตั้งฉากกับฐาน รูปแสดงรูปสี่เหลี่ยมสองรูป ด้านซ้ายเป็นแบบตรง ด้านขวาเป็นแบบเฉียง

ทีนี้มาดูการจำแนกประเภทตามประเภทของ n-gon ที่อยู่ในฐาน อาจมีด้านและมุมเท่ากันหรือต่างกันก็ได้ ในกรณีแรกเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติ หากรูปที่พิจารณามีรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านและมุมเท่ากันที่ฐานและเป็นเส้นตรง จะเรียกว่ารูปปกติ ตามคำจำกัดความนี้ ปริซึมปกติที่ฐานสามารถมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปห้าเหลี่ยมปกติ หรือหกเหลี่ยม และอื่นๆ ตัวเลขที่ถูกต้องที่แสดงอยู่ในรูป

พารามิเตอร์เชิงเส้นของปริซึม

เพื่ออธิบายมิติของตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ใช้พารามิเตอร์ต่อไปนี้:

• ความสูง;
• ด้านข้างของฐาน
• ความยาวซี่โครงด้านข้าง
• เส้นทแยงมุมปริมาตร
• ด้านทแยงมุมและฐาน

สำหรับปริซึมปกติ ปริมาณที่ระบุชื่อทั้งหมดจะสัมพันธ์กัน ตัวอย่างเช่น ความยาวของซี่โครงด้านข้างเท่ากันและเท่ากับความสูง สำหรับตัวเลขปกติ n-gonal ที่เฉพาะเจาะจง มีสูตรที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดส่วนที่เหลือทั้งหมดจากพารามิเตอร์เชิงเส้นสองตัวใดก็ได้

รูปพื้นผิว

หากเราหันไปหาคำจำกัดความของปริซึมที่ให้ไว้ข้างต้น มันจะไม่ยากที่จะเข้าใจว่าพื้นผิวของรูปนั้นหมายถึงอะไร พื้นผิวคือพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด สำหรับปริซึมตรง คำนวณโดยสูตร:

S = 2*S o + P o *h

โดยที่ S o คือพื้นที่ของฐาน P o คือปริมณฑลของ n-gon ที่ฐาน h คือความสูง (ระยะห่างระหว่างฐาน)

ปริมาณตัวเลข

นอกจากพื้นผิวสำหรับการปฏิบัติแล้ว ยังต้องทราบปริมาตรของปริซึมด้วย สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

นิพจน์นี้เป็นจริงสำหรับปริซึมทุกประเภท รวมทั้งปริซึมที่เฉียงและเกิดขึ้นจากรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่สม่ำเสมอ

เพื่อความถูกต้อง มันคือฟังก์ชันของความยาวของด้านข้างของฐานและความสูงของรูป สำหรับปริซึม n-gonal ที่สอดคล้องกัน สูตรสำหรับ V มีรูปแบบเฉพาะ

ในหลักสูตรของโรงเรียนสำหรับหลักสูตรเรขาคณิตทึบ การศึกษารูปสามมิติมักจะเริ่มต้นด้วยตัวเรขาคณิตอย่างง่าย - รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปริซึม บทบาทของฐานจะดำเนินการโดยรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน 2 รูปที่วางอยู่ในระนาบคู่ขนาน กรณีพิเศษคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ฐานของมันคือรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสปกติที่เหมือนกัน 2 อัน โดยที่ด้านข้างตั้งฉากโดยมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือสี่เหลี่ยมถ้าปริซึมไม่เอียง)

ปริซึมมีลักษณะอย่างไร

ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปหกเหลี่ยมที่ฐานซึ่งมี 2 สี่เหลี่ยมและใบหน้าด้านข้างจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยม อีกชื่อหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตนี้คือเส้นตรงขนานกัน

รูปซึ่งแสดงปริซึมสี่เหลี่ยมแสดงอยู่ด้านล่าง

สามารถดูได้ในรูปภาพ องค์ประกอบที่สำคัญที่สุดที่ประกอบขึ้นเป็นรูปทรงเรขาคณิต. โดยทั่วไปจะเรียกว่า:

บางครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต คุณสามารถหาแนวคิดของส่วนได้ คำจำกัดความจะมีลักษณะดังนี้: ส่วนคือจุดทั้งหมดของร่างกายปริมาตรที่เป็นของระนาบการตัด ส่วนนี้ตั้งฉาก (ตัดขอบของร่างที่มุม 90 องศา) สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยม จะพิจารณาส่วนในแนวทแยงด้วย (จำนวนส่วนสูงสุดที่สามารถสร้างได้คือ 2) โดยผ่าน 2 ขอบและเส้นทแยงมุมของฐาน

หากส่วนนั้นวาดในลักษณะที่ระนาบการตัดไม่ขนานกับฐานหรือหน้าด้านข้าง ผลลัพธ์จะเป็นปริซึมที่ถูกตัดทอน

ใช้อัตราส่วนและสูตรต่างๆ เพื่อค้นหาองค์ประกอบปริซึมที่ลดลง บางส่วนเป็นที่รู้จักจากเส้นทางของ planimetry (เช่นเพื่อค้นหาพื้นที่ฐานของปริซึมก็เพียงพอที่จะจำสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ในการกำหนดปริมาตรของปริซึมโดยใช้สูตร คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ของฐานและความสูง:

V = Sprim h

เนื่องจากฐานของปริซึมจัตุรมุขปกติเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ก,คุณสามารถเขียนสูตรในรูปแบบรายละเอียดเพิ่มเติม:

วี = a² h

หากเรากำลังพูดถึงลูกบาศก์ - ปริซึมปกติที่มีความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน ปริมาตรจะถูกคำนวณดังนี้:

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม คุณต้องจินตนาการถึงการกวาดล้างของมัน

จากภาพวาดจะเห็นได้ว่าพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน 4 อัน พื้นที่คำนวณเป็นผลคูณของปริมณฑลฐานและความสูงของรูป:

Sside = Pos h

เนื่องจากปริมณฑลของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ พี = 4a,สูตรใช้แบบฟอร์ม:

Sside = 4a ชั่วโมง

สำหรับลูกบาศก์:

ไซด์ = 4a²

ในการคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม ให้เพิ่มพื้นที่ฐาน 2 พื้นที่ไปยังพื้นที่ด้านข้าง:

Sfull = Sside + 2Sbase

เมื่อนำไปใช้กับปริซึมปกติรูปสี่เหลี่ยม สูตรจะมีรูปแบบดังนี้:

Sfull = 4a ชั่วโมง + 2a²

สำหรับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a²

เมื่อทราบปริมาตรหรือพื้นที่ผิวแล้ว คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบแต่ละส่วนของร่างกายเรขาคณิตได้

การหาองค์ประกอบปริซึม

มักมีปัญหาในการให้ปริมาตรหรือทราบค่าของพื้นที่ผิวด้านข้าง ซึ่งจำเป็นต้องกำหนดความยาวของด้านข้างของฐานหรือความสูง ในกรณีเช่นนี้ สามารถหาสูตรได้:

• ความยาวด้านฐาน: a = Sside / 4h = √(V / h);
• ความสูงหรือความยาวของซี่โครงด้านข้าง: ชั่วโมง = Sside / 4a = V / a²;
• พื้นที่ฐาน: Sprim = V / h;
• บริเวณใบหน้าด้านข้าง: ด้านข้าง gr = ไซด์ / 4

ในการพิจารณาว่าส่วนในแนวทแยงมีพื้นที่เท่าใด คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป สำหรับสี่เหลี่ยม d = a√2.ดังนั้น:

Sdiag = ah√2

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของปริซึมจะใช้สูตร:

dprize = √(2a² + h²)

เพื่อให้เข้าใจวิธีการใช้อัตราส่วนข้างต้น คุณสามารถฝึกฝนและแก้ไขงานง่ายๆ สองสามข้อได้

ตัวอย่างปัญหาในการแก้ปัญหา

นี่คืองานบางส่วนที่ปรากฏในการสอบปลายภาคทางคณิตศาสตร์ของรัฐ

แบบฝึกหัดที่ 1

ทรายถูกเทลงในกล่องที่มีรูปร่างเหมือนปริซึมสี่เหลี่ยมทั่วไป ความสูงของระดับคือ 10 ซม. ทรายจะเป็นระดับใดถ้าคุณย้ายมันลงในภาชนะที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ฐานยาวกว่า 2 เท่า?

ควรจะเถียงกันดังนี้ ปริมาณทรายในภาชนะที่หนึ่งและที่สองไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ปริมาตรของทรายในภาชนะนั้นเท่ากัน คุณสามารถกำหนดความยาวของฐานเป็น เอ. ในกรณีนี้ สำหรับกล่องแรก ปริมาตรของสารจะเป็นดังนี้:

V₁ = ฮ่า² = 10a²

สำหรับกล่องที่สอง ความยาวของฐานคือ 2aแต่ไม่ทราบความสูงของระดับทราย:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

เพราะว่า ว₁ = ว, นิพจน์สามารถบรรจุได้:

10a² = 4ha²

หลังจากลดสมการทั้งสองข้างด้วย a² เราจะได้:

เป็นผลให้ระดับทรายใหม่จะเป็น ชั่วโมง = 10 / 4 = 2.5ซม.

ภารกิจที่ 2

ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นปริซึมปกติ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า BD = AB₁ = 6√2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของร่างกาย

เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่ารู้จักองค์ประกอบใดบ้าง คุณสามารถวาดรูปได้

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติ เราจึงสรุปได้ว่าฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุม 6√2 เส้นทแยงมุมของหน้าไม้ด้านข้างมีค่าเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างจึงมีรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับฐาน ปรากฎว่าทั้งสามมิติ - ความยาว ความกว้าง และความสูง - เท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่า ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นลูกบาศก์

ความยาวของขอบใด ๆ ถูกกำหนดผ่านเส้นทแยงมุมที่รู้จัก:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

พื้นที่ผิวทั้งหมดหาได้จากสูตรของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a² = 6 6² = 216

ภารกิจที่ 3

ห้องพักกำลังได้รับการปรับปรุงใหม่ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพื้นมีลักษณะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดพื้นที่ 9 ตร.ม. ความสูงของห้อง 2.5 ม. ต้นทุนต่ำสุดของวอลล์เปเปอร์ห้องคือเท่าใดถ้า 1 ตร.ม. ราคา 50 รูเบิล?

เนื่องจากพื้นและเพดานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ และผนังของมันตั้งฉากกับพื้นผิวแนวนอน เราจึงสรุปได้ว่ามันเป็นปริซึมปกติ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ความยาวของห้องคือ a = √9 = 3เมตร

จัตุรัสจะถูกปกคลุมด้วยวอลเปเปอร์ ไซด์ = 4 3 2.5 = 30 m².

วอลเปเปอร์ราคาต่ำสุดสำหรับห้องนี้จะเป็น 50 30 = 1500รูเบิล

ดังนั้น ในการแก้ปัญหาของปริซึมสี่เหลี่ยม ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณพื้นที่และปริมณฑลของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ เช่นเดียวกับการรู้สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ผิว

วิธีหาพื้นที่ของลูกบาศก์

รูปทรงหลายเหลี่ยม

วัตถุประสงค์หลักของการศึกษา stereometry คือวัตถุสามมิติ ร่างกายเป็นส่วนหนึ่งของอวกาศที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวบางส่วน

รูปทรงหลายเหลี่ยมร่างกายที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมระนาบจำนวน จำกัด เรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากอยู่บนด้านหนึ่งของระนาบของรูปหลายเหลี่ยมแบนทุกอันบนพื้นผิวของมัน ส่วนร่วมของระนาบดังกล่าวและพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า ขอบ. ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนแบน ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่า ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและจุดยอด จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม.

ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมหกอันที่เป็นหน้าของมัน ประกอบด้วยขอบ 12 ด้าน (ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และจุดยอด 8 จุด (จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดคือปริซึมและปิรามิดซึ่งเราจะศึกษาเพิ่มเติม

ปริซึม

ความหมายและคุณสมบัติของปริซึม

ปริซึมเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนสองรูปที่วางอยู่ในระนาบคู่ขนานรวมกันโดยการแปลแบบคู่ขนาน และทุกส่วนเชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า ฐานปริซึมและส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมคือ ขอบด้านข้างของปริซึม.

ความสูงของปริซึมเรียกว่าระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน () ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของปริซึมที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเรียกว่า ปริซึมเส้นทแยงมุม(). ปริซึมเรียกว่า n-ถ่านหินถ้าฐานของมันคือ n-gon

ปริซึมใด ๆ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ซึ่งตามความจริงที่ว่าฐานของปริซึมถูกรวมเข้าด้วยกันโดยการแปลแบบคู่ขนาน:

1. ฐานของปริซึมเท่ากัน

2. ขอบด้านข้างของปริซึมขนานกันและเท่ากัน

พื้นผิวของปริซึมประกอบด้วยฐานและ พื้นผิวด้านข้าง. พื้นผิวด้านข้างของปริซึมประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ตามมาจากคุณสมบัติของปริซึม) พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง

ปริซึมตรง

ปริซึมเรียกว่า ตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน มิฉะนั้นจะเรียกว่าปริซึม เฉียง.

ใบหน้าของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความสูงของปริซึมตรงเท่ากับใบหน้าด้านข้าง

พื้นผิวปริซึมเต็มคือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างกับพื้นที่ฐาน

ปริซึมที่ถูกต้องเรียกว่าปริซึมขวาที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ฐาน

ทฤษฎีบท 13.1. พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงและความสูงของปริซึม (หรือเทียบเท่ากับขอบด้านข้าง)

การพิสูจน์. ใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานเป็นด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐานของปริซึม และความสูงคือขอบด้านข้างของปริซึม ตามคำนิยาม พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

,

โดยปริมณฑลของฐานของปริซึมตรงอยู่ที่ไหน

ขนานกัน

ถ้าสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ที่ฐานของปริซึม จะเรียกว่า ขนานกัน. ใบหน้าทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในกรณีนี้ ด้านตรงข้ามของด้านขนานขนานกันและเท่ากัน

ทฤษฎีบท 13.2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดคู่ขนานที่จุดหนึ่งและจุดตัดแบ่งครึ่ง

การพิสูจน์. พิจารณาเส้นทแยงมุมตามอำเภอใจสองเส้น ตัวอย่างเช่น และ เพราะ ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้น และ ซึ่งหมายความว่าตาม T ประมาณสองเส้นตรงขนานกับที่สาม . นอกจากนี้ยังหมายความว่าเส้นและอยู่ในระนาบเดียวกัน (ระนาบ) ระนาบนี้ตัดระนาบคู่ขนานและตามแนวเส้นคู่ขนาน และ ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และด้วยคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมและจุดตัดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและจุดตัดกันจะถูกแบ่งครึ่ง ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า ทรงลูกบาศก์. ใบหน้าของทรงลูกบาศก์ทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความยาวของขอบที่ไม่ขนานกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่า มิติเชิงเส้น (การวัด) มีสามขนาด (กว้าง สูง ยาว)

ทฤษฎีบท 13.3. ในรูปลูกบาศก์ สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมใดๆ เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ (พิสูจน์โดยทาพีทาโกรัส T สองครั้ง)

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขอบทั้งหมดเท่ากันเรียกว่า ลูกบาศก์.

งาน

13.1 เส้นทแยงมุมมีกี่เส้น น- ปริซึมคาร์บอน

13.2 ในปริซึมสามเหลี่ยมเอียง ระยะห่างระหว่างขอบด้านข้างคือ 37, 13 และ 40 หาระยะห่างระหว่างหน้าด้านที่ใหญ่กว่ากับขอบด้านตรงข้าม

13.3 ผ่านด้านข้างของฐานล่างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ระนาบถูกวาดที่ตัดหน้าด้านข้างตามส่วนต่างๆ มุมระหว่างซึ่งคือ . หามุมเอียงของระนาบนี้กับฐานของปริซึม

คำนิยาม.

นี่คือรูปหกเหลี่ยม ฐานที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันเท่ากัน และด้านด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

ซี่โครงข้างเป็นด้านร่วมของใบหน้าสองด้านที่อยู่ติดกัน

ปริซึมสูงเป็นส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับฐานของปริซึม

ปริซึมเส้นทแยงมุม- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของฐานที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

ระนาบแนวทแยง- ระนาบที่ผ่านเส้นทแยงมุมของปริซึมและขอบด้านข้าง

ส่วนทแยงมุม- ขอบเขตของจุดตัดของปริซึมและระนาบแนวทแยง ส่วนทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือ สี่เหลี่ยม

ส่วนตั้งฉาก (ส่วนมุมฉาก)- นี่คือจุดตัดของปริซึมกับระนาบที่ตั้งฉากกับขอบด้านข้าง

องค์ประกอบของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

รูปแสดงปริซึมสี่เหลี่ยมปกติสองอัน ซึ่งทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษรที่เกี่ยวข้องกัน:

• ฐาน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เท่ากันและขนานกัน
• ใบหน้าด้านข้าง AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C และ CC 1 D 1 D ซึ่งแต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• พื้นผิวด้านข้าง - ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปริซึม
• พื้นผิวทั้งหมด - ผลรวมของพื้นที่ของฐานทั้งหมดและใบหน้าด้านข้าง (ผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและฐาน)
• ซี่โครงข้าง AA 1 , BB 1 , CC 1 และ DD 1 .
• เส้นทแยงมุม B 1 D
• ฐานทแยงมุม BD
• ส่วนทแยงมุม BB 1 D 1 D
• ส่วนตั้งฉาก A 2 B 2 C 2 D 2 .

คุณสมบัติของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

• ฐานเป็นสองสี่เหลี่ยมเท่ากัน
• ฐานขนานกัน
• ด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• หน้าด้านข้างเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
• ซี่โครงด้านข้างขนานกันและเท่ากัน
• ส่วนตั้งฉากตั้งฉากกับซี่โครงด้านข้างทั้งหมดและขนานกับฐาน
• มุมฉากตั้งฉาก - ขวา
• ส่วนทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือ สี่เหลี่ยม
• ตั้งฉาก (ส่วนมุมฉาก) ขนานกับฐาน

สูตรสำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

คำแนะนำในการแก้ปัญหา

เมื่อแก้ปัญหาในหัวข้อ " ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ" หมายความว่า:

ปริซึมที่ถูกต้อง- ปริซึมที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน สี่เหลี่ยม. (ดูคุณสมบัติของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติด้านบน) บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนที่มีงานในเรขาคณิต (ส่วนเรขาคณิตทึบ - ปริซึม) นี่คืองานที่ทำให้เกิดปัญหาในการแก้ปัญหา หากคุณต้องการแก้ปัญหาในเรขาคณิตซึ่งไม่ได้อยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับมันในฟอรัม. เพื่อแสดงการกระทำของการแยกรากที่สองในการแก้ปัญหาจะใช้สัญลักษณ์√ .

งาน.

ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ พื้นที่ฐานคือ 144 ซม. 2 และสูง 14 ซม. หาเส้นทแยงมุมของปริซึมและพื้นที่ผิวทั้งหมด

วิธีการแก้.
รูปสี่เหลี่ยมปกติคือสี่เหลี่ยมจตุรัส
ดังนั้นด้านฐานจะเท่ากับ

√144 = 12 ซม.
โดยที่เส้นทแยงมุมของฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติจะเท่ากับ
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

เส้นทแยงมุมของปริซึมปกติก่อรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีเส้นทแยงมุมของฐานและความสูงของปริซึม ดังนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เส้นทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติที่กำหนดจะเท่ากับ:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 ซม.

ตอบ: 22 ซม.

งาน

หาพื้นที่ผิวรวมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติถ้าเส้นทแยงมุมคือ 5 ซม. และเส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างคือ 4 ซม.

วิธีการแก้.
เนื่องจากฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นด้านข้างของฐาน (แสดงเป็น a) จึงถูกค้นพบโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
ก = √12.5

ความสูงของใบหน้าด้านข้าง (แสดงเป็น h) จะเท่ากับ:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
ชั่วโมง 2 + 12.5 = 16
ชั่วโมง 2 \u003d 3.5
ชั่วโมง = √3.5

พื้นที่ผิวทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและสองเท่าของพื้นที่ฐาน

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 ซม. 2

คำตอบ: 25 + 10√7 ≈ 51.46 ซม. 2