คำตอบของจำนวนเต็มทั้งหมดของอสมการ อสมการเชิงเส้น ตัวอย่าง คำตอบ

ความไม่เท่าเทียมกันเป็นนิพจน์ที่มี ≤ หรือ ≥ ตัวอย่างเช่น 3x - 5 ในการแก้อสมการหมายถึงการค้นหาค่าทั้งหมดของตัวแปรที่อสมการนี้เป็นจริง ตัวเลขแต่ละตัวเป็นคำตอบของอสมการ และเซตของคำตอบทั้งหมดคือคำตอบของมัน โซลูชั่นมากมาย. เรียกอสมการที่มีชุดคำตอบเหมือนกัน อสมการที่เท่ากัน.

อสมการเชิงเส้น

หลักการแก้อสมการคล้ายกับหลักการแก้สมการ

หลักการแก้อสมการ
สำหรับจำนวนจริง a, b และ c :
หลักการบวกอสมการ: ถ้าก หลักการคูณสำหรับอสมการ: ถ้า 0 เป็นจริง ดังนั้น ac ถ้า bc เป็นจริงด้วย
ข้อความที่คล้ายกันยังใช้สำหรับ a ≤ b

เมื่อทั้งสองข้างของอสมการคูณด้วยจำนวนลบ จะต้องกลับเครื่องหมายของอสมการ
อสมการระดับแรก ดังตัวอย่างที่ 1 (ด้านล่าง) เรียกว่า อสมการเชิงเส้น.

ตัวอย่างที่ 1แก้อสมการแต่ละข้อต่อไปนี้ จากนั้นวาดชุดของการแก้ปัญหา
ก) 3x - 5 ข) 13 - 7x ≥ 10x - 4
สารละลาย
จำนวนใดๆ ที่น้อยกว่า 11/5 คือคำตอบ
เซตของคำตอบคือ (x|x
ในการตรวจสอบ เราสามารถพล็อต y 1 = 3x - 5 และ y 2 = 6 - 2x จากตรงนี้จะเห็นได้ว่าสำหรับ x
ชุดโซลูชันคือ (x|x ≤ 1) หรือ (-∞, 1] กราฟของชุดโซลูชันแสดงไว้ด้านล่าง

อสมการสองเท่า

เมื่ออสมการสองตัวเชื่อมกันด้วยคำ และ, หรือแล้วมันถูกสร้างขึ้น ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า. อสมการทวีคูณเช่น
-3 และ 2x + 5 ≤ 7
เรียกว่า เชื่อมต่อเพราะมันใช้ และ. บันทึก -3 อสมการสองเท่าสามารถแก้ไขได้โดยใช้หลักการของการบวกและการคูณของอสมการ

ตัวอย่างที่ 2แก้ -3 สารละลายเรามี

ชุดของการแก้ปัญหา (x|x ≤ -1 หรือ x > 3). นอกจากนี้เรายังสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาโดยใช้สัญกรณ์การเว้นวรรคและสัญลักษณ์สำหรับ สมาคมหรือการรวมของทั้งสองชุด: (-∞ -1] (3, ∞) กราฟของชุดคำตอบแสดงอยู่ด้านล่าง

ในการทดสอบ ให้วาด y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 และ y 3 = 1 โปรดทราบว่าสำหรับ (x|x ≤ -1 หรือ x > 3), y 1 ≤ y 2 หรือ y 1 > y 3 .

อสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส)

อสมการบางครั้งประกอบด้วยโมดูล คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหา
สำหรับ a > 0 และนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต x:
|x| |x| > a เท่ากับ x หรือ x > a
ข้อความที่คล้ายกันสำหรับ |x| ≤ a และ |x| ≥ ก.

ตัวอย่างเช่น,
|x| |y| ≥ 1 เท่ากับ y ≤ -1 หรือ y ≥ 1;
และ |2x + 3| ≤ 4 เทียบเท่ากับ -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4

ตัวอย่างที่ 4แก้อสมการแต่ละข้อต่อไปนี้ พล็อตชุดของการแก้ปัญหา
ก) |3x + 2| ข) |5 - 2x| ≥ 1

สารละลาย
ก) |3x + 2|

ชุดคำตอบคือ (x|-7/3
ข) |5 - 2x| ≥ 1
ชุดคำตอบคือ (x|x ≤ 2 หรือ x ≥ 3) หรือ (-∞, 2] . จำนวนเต็มที่รวมอยู่ในช่วงเวลานี้คือ -3; -2; -1; 0; 1 มี 5 จำนวน

4) คำตอบของระบบอสมการมีจำนวนเต็มกี่ตัว?

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ \(x>5\) เป็นอสมการ

ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน:

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นตัวเลข หรือ จะเรียกว่าอสมการ ตัวเลข. ในความเป็นจริงนี่เป็นเพียงการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวเท่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้แบ่งออกเป็น ซื่อสัตย์และ ไม่ซื่อสัตย์.

ตัวอย่างเช่น:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) เป็นอสมการตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก \(17+3=20\) และ \(20\) น้อยกว่า \(115\) (ไม่มากกว่าหรือเท่ากับ)

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร แสดงว่าเรามี อสมการกับตัวแปร. ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวแบ่งออกเป็นประเภทขึ้นอยู่กับเนื้อหา:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				แปรผันเฉพาะกำลังแรกเท่านั้น
\(3x^2-x+5>0\)				มีตัวแปรในยกกำลังสอง (กำลังสอง) แต่ไม่มีกำลังที่สูงกว่า (สาม สี่ ฯลฯ)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... และอื่น ๆ

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร?

หากมีการแทนจำนวนใด ๆ ลงในอสมการแทนที่จะเป็นตัวแปร จำนวนนั้นจะกลายเป็นตัวเลข

ถ้าค่าที่กำหนดสำหรับ x ทำให้อสมการเดิมเป็นตัวเลขจริง ก็จะเรียกว่า การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน. ถ้าไม่เช่นนั้นค่านี้ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา และ แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน- คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด (หรือแสดงว่าไม่มีอยู่จริง)

ตัวอย่างเช่น,ถ้าเราอยู่ในอสมการเชิงเส้น \(x+6>10\) เราแทนจำนวน \(7\) แทน x เราจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง: \(13>10\) และถ้าเราแทนค่า \(2\) จะมีอสมการตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง \(8>10\) นั่นคือ \(7\) เป็นคำตอบของอสมการดั้งเดิม แต่ \(2\) ไม่ใช่

อย่างไรก็ตาม อสมการ \(x+6>10\) มีวิธีแก้ปัญหาอื่น แน่นอน เราจะได้ค่าอสมการตัวเลขที่ถูกต้องเมื่อทำการแทนค่า และ \(5\) และ \(12\) และ \(138\) ... แล้วเราจะหาทางออกที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้ สำหรับกรณีของเรา เรามี:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

นั่นคือ เราสามารถใช้จำนวนใด ๆ ที่มากกว่าสี่ก็ได้ ตอนนี้เราต้องเขียนคำตอบ ตามกฎแล้วการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันจะถูกเขียนเป็นตัวเลขและทำเครื่องหมายเพิ่มเติมบนแกนตัวเลขด้วยการฟักไข่ สำหรับกรณีของเรา เรามี:

คำตอบ: \(x\in(4;+\infty)\)

เครื่องหมายเปลี่ยนเป็นอสมการเมื่อใด

มีกับดักขนาดใหญ่อย่างหนึ่งในความไม่เท่าเทียมกันซึ่งนักเรียน "ชอบ" ที่จะตกลงไป:

เมื่อคูณ (หรือหาร) อสมการด้วยจำนวนลบ มันจะกลับรายการ ("มากกว่า" ด้วย "น้อยกว่า" "มากกว่าหรือเท่ากับ" โดย "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" และอื่นๆ)

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ มาดูการแปลงอสมการตัวเลข \(3>1\) ถูกต้องแล้ว Triple เป็นมากกว่าหนึ่งจริงๆ ขั้นแรก ลองคูณด้วยจำนวนบวกใดๆ เช่น สอง:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

อย่างที่คุณเห็น หลังจากคูณแล้ว อสมการยังคงเป็นจริง และไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าใด เราก็จะได้อสมการที่ถูกต้องเสมอ ตอนนี้ลองคูณด้วยจำนวนลบ เช่น ลบสาม:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

กลายเป็นอสมการที่ไม่ถูกต้อง เพราะ ลบ 9 น้อยกว่า ลบ 3! นั่นคือ เพื่อให้อสมการเป็นจริง (ซึ่งหมายความว่าการแปลงค่าคูณด้วยค่าลบเป็น "ถูกกฎหมาย") คุณต้องพลิกเครื่องหมายเปรียบเทียบดังนี้: \(−9<− 3\).
ด้วยการแบ่งมันจะออกมาในทำนองเดียวกัน คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง

กฎที่เขียนไว้ข้างต้นใช้ได้กับอสมการทุกประเภท ไม่ใช่เฉพาะกับอสมการที่เป็นตัวเลขเท่านั้น

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(2(x+1)-1<7+8x\)
สารละลาย:

\(2x+2-1<7+8x\)	เลื่อน \(8x\) ไปทางซ้าย และ \(2\) และ \(-1\) ไปทางขวา โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	หารทั้งสองข้างของอสมการด้วย \(-6\) อย่าลืมเปลี่ยนจาก "น้อยกว่า" เป็น "มากกว่า"
	ทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่เป็นตัวเลขบนแกน ความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นค่า \(-1\) จึงถูก "เจาะออก" และเราไม่ตอบสนอง
	ลองเขียนคำตอบเป็นระยะ

คำตอบ: \(x\in(-1;\infty)\)

ความไม่เท่าเทียมกันและ DHS

อสมการและสมการสามารถมีข้อ จำกัด ใน นั่นคือค่าของ x ดังนั้นค่าที่ไม่สามารถยอมรับได้ตาม ODZ ควรถูกแยกออกจากช่วงเวลาการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(\sqrt(x+1)<3\)

สารละลาย: เป็นที่ชัดเจนว่าเพื่อให้ด้านซ้ายมีค่าน้อยกว่า \(3\) นิพจน์รูทต้องน้อยกว่า \(9\) (หลังจากนั้น จาก \(9\) แค่ \(3\)) เราได้รับ:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

ทั้งหมด? ค่า x ที่น้อยกว่า \(8\) จะเหมาะกับเราไหม เลขที่! เพราะถ้าเราใช้ค่า \(-5\) ที่ดูเหมือนว่าจะตรงกับความต้องการ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใช้ค่า \(-5\) ที่ดูเหมือนว่าจะตรงกับความต้องการ มันจะไม่ใช่คำตอบของอสมการดั้งเดิม เนื่องจากมันจะทำให้เราคำนวณรากของจำนวนลบได้

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

ดังนั้นเราจึงต้องคำนึงถึงข้อ จำกัด เกี่ยวกับค่าของ x ด้วย - ไม่สามารถมีตัวเลขติดลบอยู่ใต้รูทได้ ดังนั้นเราจึงมีข้อกำหนดที่สองสำหรับ x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

และเพื่อให้ x เป็นคำตอบสุดท้าย จะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งสองพร้อมกัน: ต้องน้อยกว่า \(8\) (เพื่อเป็นคำตอบ) และมากกว่า \(-1\) (เพื่อให้ใช้ได้ในหลักการ) การลงจุดบนเส้นจำนวน เราได้คำตอบสุดท้าย:

คำตอบ: \(\left[-1;8\right)\)

หลังจากได้รับข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกับตัวแปรแล้ว เราจะหันไปหาคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา ลองวิเคราะห์คำตอบของอสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรเดียวและวิธีการทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหาด้วยอัลกอริทึมและตัวอย่าง จะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวเท่านั้น

Yandex.RTB R-A-339285-1

อสมการเชิงเส้นคืออะไร?

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดสมการเชิงเส้นและค้นหารูปแบบมาตรฐานและความแตกต่างจากสมการอื่น จากหลักสูตรของโรงเรียนเราได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันไม่มีความแตกต่างพื้นฐาน ดังนั้นจึงต้องใช้คำจำกัดความหลายอย่าง

คำจำกัดความ 1

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว x เป็นอสมการในรูปแบบ a x + b > 0 เมื่อใช้เครื่องหมายอสมการใดๆ แทน >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

คำจำกัดความ 2

อสมการ a x< c или a · x >c โดย x เป็นตัวแปร และ a และ c เรียกตัวเลขบางตัว อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว.

เนื่องจากไม่มีการพูดถึงว่าค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ 0 หรือไม่ ดังนั้นอสมการที่เข้มงวดของรูปแบบ 0 x > c และ 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

ความแตกต่างของพวกเขาคือ:

• สัญลักษณ์ a · x + b > 0 ในอันแรก และ a · x > c – ในอันที่สอง
• ค่าสัมประสิทธิ์การยอมรับเป็นศูนย์ a , a ≠ 0 - ในครั้งแรกและ a = 0 - ในวินาที

เชื่อกันว่าอสมการ a x + b > 0 และ a x > c มีค่าเท่ากัน เนื่องจากได้มาจากการย้ายพจน์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง การแก้อสมการ 0 · x + 5 > 0 จะนำไปสู่ความจริงที่ว่าจะต้องแก้ไข และกรณี a = 0 จะไม่ทำงาน

นิยาม 3

ถือว่าอสมการเชิงเส้นในตัวแปร x หนึ่งตัวเป็นอสมการของรูปแบบ ก x + ข< 0 , a · x + b >0 , ก x + ข ≤ 0และ ก x + ข ≥ 0โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง แทนที่จะเป็น x สามารถมีตัวเลขธรรมดาได้

ตามกฎ เราได้ว่า 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 เรียกว่า เส้นตรง

วิธีแก้อสมการเชิงเส้น

วิธีหลักในการแก้อสมการดังกล่าวคือการใช้การแปลงสมมูลเพื่อหาอสมการมูลฐาน x< p (≤ , >, ≥) , p เป็นตัวเลขสำหรับ a ≠ 0 และอยู่ในรูปแบบ a< p (≤ , >, ≥) สำหรับ a = 0 .

ในการแก้อสมการด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถใช้วิธีช่วงเวลาหรือแสดงเป็นกราฟได้ สามารถใช้แบบแยกส่วนได้

โดยใช้การแปลงสมมูล

ในการแก้อสมการเชิงเส้นในรูป a x + b< 0 (≤ , >, ≥) จำเป็นต้องใช้การแปลงสมมูลของอสมการ ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นศูนย์หรือไม่ก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองกรณี เพื่อชี้แจงมีความจำเป็นต้องปฏิบัติตามรูปแบบที่ประกอบด้วย 3 จุด: สาระสำคัญของกระบวนการ, อัลกอริทึม, การแก้ปัญหา

ความหมาย 4

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการเชิงเส้น ก x + ข< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0

• หมายเลข b จะถูกโอนไปทางด้านขวาของอสมการด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม ซึ่งจะทำให้เราได้ค่า a x ที่เทียบเท่า< − b (≤ , > , ≥) ;
• ทั้งสองส่วนของอสมการจะถูกหารด้วยจำนวนที่ไม่เท่ากับ 0 นอกจากนี้ เมื่อ a เป็นบวก เครื่องหมายจะยังคงอยู่ เมื่อ a เป็นลบ เครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม

พิจารณาการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมนี้เพื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการของรูปแบบ 3 · x + 12 ≤ 0 .

สารละลาย

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นนี้มี a = 3 และ b = 12 ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ a ของ x จึงไม่เท่ากับศูนย์ ลองใช้อัลกอริทึมด้านบนและแก้ปัญหา

จำเป็นต้องย้ายพจน์ 12 ไปยังส่วนอื่นของอสมการด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายข้างหน้า จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 3 · x ≤ − 12 . จำเป็นต้องแบ่งทั้งสองส่วนด้วย 3 เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนเพราะ 3 เป็นจำนวนบวก เราได้ (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ x ≤ − 4

อสมการในรูปแบบ x ≤ − 4 มีค่าเท่ากัน นั่นคือ คำตอบของ 3 x + 12 ≤ 0 คือจำนวนจริงใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 คำตอบเขียนเป็นอสมการ x ≤ − 4 หรือช่วงตัวเลขของแบบฟอร์ม (− ∞ , − 4 ]

อัลกอริทึมทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นเขียนดังนี้:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

คำตอบ: x ≤ − 4 หรือ (− ∞ , − 4 ] .

ตัวอย่างที่ 2

ระบุวิธีแก้ปัญหาที่มีอยู่ทั้งหมดของอสมการ − 2 , 7 · z > 0 .

สารละลาย

จากเงื่อนไขเราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ a ที่ z เท่ากับ - 2, 7 และ b ไม่มีอยู่อย่างชัดเจนหรือเท่ากับศูนย์ คุณไม่สามารถใช้ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมได้ แต่ไปที่ขั้นตอนที่สองทันที

เราหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยจำนวน - 2, 7 เนื่องจากจำนวนเป็นลบ จึงจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการให้เป็นตรงกันข้าม นั่นคือเราจะได้ (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

เราเขียนอัลกอริทึมทั้งหมดในรูปแบบสั้น:

− 2 , 7 z > 0 ; ซี< 0 .

คำตอบ:ซี< 0 или (− ∞ , 0) .

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการ - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

สารละลาย

ตามเงื่อนไข เราเห็นว่าจำเป็นต้องแก้อสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร x ซึ่งเท่ากับ - 5 ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ b ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน - 15 22 . จำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันตามอัลกอริทึมนั่นคือ: โอน - 15 22 ไปยังส่วนอื่นด้วยเครื่องหมายตรงข้าม, หารทั้งสองส่วนด้วย - 5, เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

ที่การเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายสำหรับด้านขวาจะใช้กฎสำหรับการหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5 หลังจากนั้นเราแบ่งเศษส่วนธรรมดาด้วยจำนวนธรรมชาติ - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

คำตอบ: x ≥ - 3 22 และ [ - 3 22 + ∞)

พิจารณากรณีที่ a = 0 นิพจน์เชิงเส้นของรูปแบบ a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของคำตอบของอสมการ สำหรับค่า x ใดๆ เราจะได้อสมการตัวเลขในรูปแบบ b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

เราพิจารณาการตัดสินทั้งหมดในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการเชิงเส้น 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

คำจำกัดความ 5

อสมการเชิงตัวเลขแบบข< 0 (≤ , >, ≥) เป็นจริง จากนั้นอสมการเดิมมีคำตอบสำหรับค่าใดๆ และเป็นเท็จเมื่ออสมการเดิมไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการ 0 · x + 7 > 0 .

สารละลาย

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น 0 · x + 7 > 0 สามารถรับค่า x ใดๆ ก็ได้ จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 7 > 0 . อสมการสุดท้ายถือว่าเป็นจริง ดังนั้นจำนวนใดๆ จึงสามารถเป็นคำตอบของมันได้

คำตอบ: ช่วงเวลา (− ∞ , + ∞) .

ตัวอย่างที่ 5

หาคำตอบของอสมการ 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

สารละลาย

แทนที่ตัวแปร x เป็นจำนวนใดๆ เราจะได้อสมการจะอยู่ในรูปแบบ − 12 , 7 ≥ 0 . มันไม่ถูกต้อง นั่นคือ 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 ไม่มีคำตอบ

คำตอบ:ไม่มีทางแก้ไข

พิจารณาคำตอบของอสมการเชิงเส้นโดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดอสมการที่แก้ไม่ได้จาก 0 · x + 0 > 0 และ 0 · x + 0 ≥ 0

สารละลาย

เมื่อแทนจำนวนใดๆ แทน x เราจะได้อสมการสองตัวในรูปแบบ 0 > 0 และ 0 ≥ 0 ข้อแรกไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่า 0 x + 0 > 0 ไม่มีคำตอบ และ 0 x + 0 ≥ 0 มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด นั่นคือ จำนวนใดๆ

คำตอบ: อสมการ 0 x + 0 > 0 ไม่มีคำตอบ และ 0 x + 0 ≥ 0 มีคำตอบ

วิธีนี้ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน วิธีช่วงเวลาสามารถแก้ไขอสมการประเภทต่างๆ รวมถึงอสมการเชิงเส้น

วิธีช่วงเวลาใช้สำหรับอสมการเชิงเส้นเมื่อค่าของสัมประสิทธิ์ x ไม่เท่ากับ 0 มิฉะนั้นคุณจะต้องคำนวณด้วยวิธีอื่น

คำจำกัดความ 6

วิธีการเว้นวรรคคือ:

• การแนะนำฟังก์ชัน y = a x + b ;
• ค้นหาเลขศูนย์เพื่อแยกโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นช่วงๆ
• การกำหนดสัญญาณสำหรับแนวคิดของพวกเขาในช่วงเวลา

มาประกอบอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น a x + b< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0 โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

• การหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y = a · x + b เพื่อแก้สมการในรูปแบบ a · x + b = 0 . ถ้า ≠ 0 วิธีแก้ปัญหาจะเป็นรูทเดียวที่จะใช้การกำหนด x 0;
• การสร้างเส้นพิกัดพร้อมรูปภาพของจุดที่มีพิกัด x 0 ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดจุดนั้นถูกระบุด้วยการเจาะออกด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดมันถูกแรเงา
• การกำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน y = a x + b ในช่วงเวลาสำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดในช่วงเวลานั้น
• การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > หรือ ≥ บนเส้นพิกัด การฟักจะถูกเพิ่มเหนือช่องว่างที่เป็นบวก< или ≤ над отрицательным промежутком.

พิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการแก้อสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 6

แก้อสมการ − 3 · x + 12 > 0 .

สารละลาย

ตามมาจากอัลกอริทึมที่คุณต้องค้นหารากของสมการก่อน - 3 · x + 12 = 0 เราได้ว่า − 3 · x = − 12 , x = 4 . จำเป็นต้องอธิบายเส้นพิกัดที่เราทำเครื่องหมายจุดที่ 4 มันจะถูกเจาะเนื่องจากอสมการนั้นเข้มงวด พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

มีความจำเป็นต้องกำหนดสัญญาณตามช่วงเวลา ในการกำหนดช่วงเวลา (− ∞ , 4) จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชัน y = − 3 · x + 12 สำหรับ x = 3 จากตรงนี้ เราจะได้ − 3 3 + 12 = 3 > 0 เครื่องหมายในช่วงเวลาเป็นบวก

เรากำหนดเครื่องหมายจากช่วงเวลา (4, + ∞) จากนั้นแทนค่า x \u003d 5 เรามี − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

เราดำเนินการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > และการฟักไข่จะดำเนินการเหนือช่องว่างที่เป็นบวก พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าโซลูชันที่ต้องการมีรูปแบบ (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

คำตอบ: (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการแสดงกราฟ จำเป็นต้องพิจารณาอสมการเชิงเส้น 4 ตัวเป็นตัวอย่าง: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 และ 0 , 5 x − 1 ≥ 0 คำตอบของพวกเขาจะเป็น x< 2 , x ≤ 2 , x >2 และ x ≥ 2 . ในการทำเช่นนี้ ให้วาดกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = 0 , 5 · x − 1 ด้านล่าง

เป็นที่ชัดเจนว่า

คำจำกัดความ 7

• คำตอบของอสมการ 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• คำตอบ 0 , 5 x − 1 ≤ 0 คือช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน y = 0 , 5 x − 1 ต่ำกว่า 0 x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
• วิธีแก้ปัญหา 0 , 5 x − 1 > 0 ถือเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันอยู่เหนือ O x;
• คำตอบ 0 , 5 x − 1 ≥ 0 คือช่วงที่กราฟสูงกว่า O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ความหมายของการแก้ปัญหาอสมการเชิงกราฟิกคือการหาช่องว่างซึ่งจะต้องแสดงบนกราฟ ในกรณีนี้ เราพบว่าด้านซ้ายมี y \u003d a x + b และด้านขวามี y = 0 และตรงกับ About x

คำจำกัดความ 8

การพล็อตฟังก์ชัน y = a x + b ดำเนินการ:

• ขณะแก้อสมการ a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• ในขณะที่แก้อสมการ a x + b ≤ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่ใต้แกน O x หรือตรงกัน
• ในขณะที่แก้อสมการ a x + b > 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่เหนือ O x;
• ในขณะที่แก้อสมการ a x + b ≥ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่างที่ 7

แก้อสมการ - 5 · x - 3 > 0 โดยใช้กราฟ

สารละลาย

จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น - 5 · x - 3 > 0 . เส้นนี้กำลังลดลงเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของ x เป็นลบ ในการกำหนดพิกัดของจุดตัดกับ O x - 5 · x - 3 > 0 เราได้ค่า - 3 5 . มาทำกราฟกันเถอะ

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > จากนั้นคุณต้องใส่ใจกับช่วงเวลาที่อยู่เหนือ O x เราเน้นส่วนที่จำเป็นของเครื่องบินด้วยสีแดงและรับสิ่งนั้น

ช่องว่างที่ต้องการคือส่วน O x ของสีแดง ดังนั้น รังสีจำนวนเปิด - ∞ , - 3 5 จะเป็นคำตอบของอสมการ หากตามเงื่อนไขแล้วพวกเขามีความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดค่าของจุด - 3 5 จะเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วย และคงตรงกับอ.x.

คำตอบ: - ∞ , - 3 5 หรือ x< - 3 5 .

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกจะใช้เมื่อด้านซ้ายจะสอดคล้องกับฟังก์ชัน y = 0 x + b นั่นคือ y = b จากนั้นเส้นจะขนานกับ O x หรือตรงกับ b \u003d 0 กรณีเหล่านี้แสดงว่าอสมการอาจไม่มีคำตอบ หรือจำนวนใดๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดจากอสมการ 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

สารละลาย

การแทนค่า y = 0 x + 7 คือ y = 7 จากนั้นจะได้ระนาบพิกัดที่มีเส้นตรงขนานกับ O x และสูงกว่า O x ดังนั้น 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d 0 x + 0 ถือเป็น y \u003d 0 นั่นคือ เส้นตรงกับ O x ดังนั้น อสมการ 0 · x + 0 ≥ 0 มีคำตอบมากมาย

คำตอบ: อสมการที่สองมีคำตอบสำหรับค่าใด ๆ ของ x

อสมการเชิงเส้น

คำตอบของอสมการสามารถลดลงเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น ซึ่งเรียกว่า อสมการเชิงเส้น

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรของโรงเรียน เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งนำไปสู่การเปิดวงเล็บเหลี่ยมและการลดจำนวนคำที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาว่า 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x

อสมการที่ระบุข้างต้นจะถูกลดทอนให้อยู่ในรูปของสมการเชิงเส้นเสมอ หลังจากนั้นวงเล็บจะเปิดขึ้นและกำหนดเงื่อนไขที่คล้ายกันซึ่งย้ายจากส่วนต่าง ๆ เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

เมื่อลดอสมการ 5 − 2 x > 0 เป็นอสมการเชิงเส้น เราจะแทนมันในลักษณะที่มีรูปแบบ − 2 x + 5 > 0 และเพื่อลดอสมการที่สอง เราจะได้ 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x จำเป็นต้องเปิดวงเล็บ นำเงื่อนไขที่เหมือนกัน ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางด้านซ้าย และนำเงื่อนไขที่เหมือนกัน ดูเหมือนว่า:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

สิ่งนี้นำมาซึ่งการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ถือเป็นเชิงเส้นเนื่องจากมีหลักการเดียวกันในการแก้ปัญหาหลังจากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะลดความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้น

ในการแก้อสมการประเภทนี้จำเป็นต้องลดให้เป็นเชิงเส้น ควรทำเช่นนี้:

คำจำกัดความ 9

• วงเล็บเปิด
• รวบรวมตัวแปรทางซ้ายและตัวเลขทางขวา
• นำเงื่อนไขที่เหมือนกัน;
• หารทั้งสองส่วนด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของ x

ตัวอย่างที่ 9

แก้อสมการ 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1

สารละลาย

เราขยายวงเล็บแล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . หลังจากลดเงื่อนไขที่คล้ายกันแล้ว เราก็จะได้ 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 หลังจากเลื่อนเงื่อนไขจากซ้ายไปขวา เราจะได้ 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . ดังนั้นจึงมีความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 32 ≤ 0 จากผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณ 0 · x + 32 ≤ 0 . จะเห็นได้ว่าอสมการนั้นเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าอสมการที่กำหนดโดยเงื่อนไขไม่มีทางออก

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เป็นที่น่าสังเกตว่ามีอสมการประเภทอื่นจำนวนมาก ซึ่งสามารถลดลงเป็นอสมการเชิงเส้นหรืออสมการประเภทที่แสดงด้านบน ตัวอย่างเช่น 5 2 x − 1 ≥ 1 เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ลดเป็นคำตอบเชิงเส้น 2 · x − 1 ≥ 0 กรณีเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาเมื่อแก้อสมการประเภทนี้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ข้อมูลเบื้องต้น

คำจำกัดความ 1

อสมการในรูปแบบ $f(x) >(≥)g(x)$ โดยที่ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นนิพจน์จำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม เรียกว่า อสมการจำนวนเต็ม

ตัวอย่างของอสมการจำนวนตรรกยะจำนวนเต็ม ได้แก่ อสมการเชิงเส้น กำลังสอง อสมการลูกบาศก์ที่มีตัวแปรสองตัว

คำจำกัดความ 2

ค่า $x$ ที่ค่าความไม่เท่าเทียมกันจากนิยามของ $1$ เป็นที่พอใจเรียกว่ารากของสมการ

ตัวอย่างของการแก้อสมการดังกล่าว:

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการจำนวนเต็ม $4x+3 >38-x$

สารละลาย.

มาทำให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ง่ายขึ้น:

เราได้อสมการเชิงเส้น มาหาทางออกกัน:

คำตอบ: $(7,∞)$.

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาวิธีการแก้อสมการเชิงเหตุผลทั้งหมดดังต่อไปนี้

วิธีการแยกตัวประกอบ

วิธีนี้จะเป็นดังนี้: เขียนสมการในรูปแบบ $f(x)=g(x)$ สมการนี้ถูกย่อให้อยู่ในรูป $φ(x)=0$ (โดยที่ $φ(x)=f(x)-g(x)$) จากนั้นฟังก์ชัน $φ(x)$ จะแยกตัวประกอบด้วยกำลังที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ ใช้กฎ:ผลคูณของพหุนามจะเป็นศูนย์เมื่อหนึ่งในนั้นมีค่าเป็นศูนย์ นอกจากนี้รากที่พบจะถูกทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนและสร้างเส้นโค้งของสัญญาณ คำตอบจะถูกเขียนขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของอสมการเริ่มต้น

นี่คือตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้:

ตัวอย่างที่ 2

แก้โจทย์ด้วยการแยกตัวประกอบ. $y^2-9

สารละลาย.

แก้สมการ $y^2-9

เรามีสูตรผลต่างกำลังสอง

การใช้กฎความเท่าเทียมกันกับศูนย์ของผลคูณของปัจจัย เราได้รากต่อไปนี้: $3$ และ $-3$

ลองวาดเส้นโค้งของสัญญาณ:

เนื่องจากเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ในอสมการเริ่มต้น เราจึงได้รับ

คำตอบ: $(-3,3)$.

ตัวอย่างที่ 3

แก้โจทย์ด้วยการแยกตัวประกอบ.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

สารละลาย.

ลองแก้สมการต่อไปนี้:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

เรานำปัจจัยทั่วไปจากสองคำแรกและสองคำสุดท้ายออกจากวงเล็บ

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

นำตัวประกอบร่วม $(x^2+3)$ ออกมา

$(x^2+3)(x+2)=0$

การใช้กฎแห่งความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของผลคูณของปัจจัย เราได้รับ:

$x+2=0 \ และ \ x^2+3=0$

$x=-2$ และ "ไม่มีราก"

ลองวาดเส้นโค้งของสัญญาณ:

เนื่องจากในอสมการเริ่มต้นเครื่องหมายคือ "มากกว่าหรือเท่ากับ" เราจึงได้รับ

คำตอบ: $(-∞,-2]$.

วิธีแนะนำตัวแปรใหม่

วิธีนี้มีดังต่อไปนี้: เขียนสมการในรูปแบบ $f(x)=g(x)$ เราแก้ไขได้ดังนี้: เราแนะนำตัวแปรใหม่ดังกล่าวเพื่อให้ได้สมการที่ทราบคำตอบแล้ว จากนั้นเราจะแก้ไขและกลับไปที่การแทนที่ จากนั้นเราจะพบคำตอบของสมการแรก นอกจากนี้รากที่พบจะถูกทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนและสร้างเส้นโค้งของสัญญาณ คำตอบจะถูกเขียนขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของอสมการเริ่มต้น