สูตรความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิตทั้งหมด 9. บทเรียนพีชคณิต "ความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต" (เกรด 9)

การทำความเข้าใจหัวข้อต่าง ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์มีความเกี่ยวข้องกับความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอนุกรมจำนวน เด็กนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เมื่อเรียนเรื่อง "พีชคณิต" ให้พิจารณาหนึ่งในลำดับที่สำคัญของตัวเลข - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้สูตรพื้นฐานของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (เกรด 9) รวมถึงตัวอย่างการใช้งานเพื่อแก้ปัญหา

ความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตหรือเลขคณิต

ชุดตัวเลขที่จะกล่าวถึงในบทความนี้เรียกว่าสอง วิธีทางที่แตกต่างนำเสนอในหัวข้อของย่อหน้านี้ ดังนั้นความก้าวหน้าทางเลขคณิตในวิชาคณิตศาสตร์จึงเป็นที่เข้าใจเช่นนี้ ชุดหมายเลขโดยที่ตัวเลขสองตัวที่อยู่ติดกันต่างกันด้วยจำนวนที่เท่ากัน ซึ่งเรียกว่าผลต่าง ตัวเลขในอนุกรมดังกล่าวมักจะแสดงด้วยตัวอักษรที่มีดัชนีจำนวนเต็มต่ำกว่า เช่น a 1 , a 2 , a 3 เป็นต้น โดยที่ดัชนีจะระบุจำนวนขององค์ประกอบของอนุกรม

จากคำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังนี้ a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d โดยที่ d คือผลต่างของความก้าวหน้าทางพีชคณิต และ n คือจำนวนเต็มใดๆ ถ้า d>0 เราสามารถคาดหวังได้ว่าแต่ละเทอมที่ตามมาของอนุกรมจะมากกว่าเทอมก่อนหน้า ในกรณีนี้เราพูดถึงความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้น ถ้า ง<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (เกรด 9)

ชุดของตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เนื่องจากมีคำสั่งและเป็นไปตามกฎทางคณิตศาสตร์บางประการ จึงมีคุณสมบัติสองประการที่สำคัญสำหรับการใช้งาน:

1. อย่างแรก เมื่อรู้เพียงตัวเลขสองตัว a 1 และ d คุณจะหาสมาชิกใดๆ ของลำดับได้ ซึ่งทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a n = a 1 +(n-1)*d
2. ประการที่สอง ในการคำนวณผลรวมของ n เงื่อนไขของเงื่อนไขแรก ไม่จำเป็นต้องเพิ่มตามลำดับ เนื่องจากคุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้: S n \u003d n * (a n + a 1) / 2

สูตรแรกนั้นเข้าใจง่ายเนื่องจากเป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมาชิกแต่ละคนของซีรีส์ภายใต้การพิจารณานั้นแตกต่างจากเพื่อนบ้านด้วยความแตกต่างที่เหมือนกัน

สูตรที่สองของความก้าวหน้าทางเลขคณิตสามารถหาได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวม a 1 +a n เทียบเท่ากับผลรวม a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 เป็นต้น แท้จริงแล้ว เนื่องจาก a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 และ a n-1 = -d+a n จากนั้นแทนนิพจน์เหล่านี้ลงใน ผลรวมที่สอดคล้องกัน เราจะได้ว่ามันเท่ากัน ปัจจัย n/2 ในสูตรที่ 2 (สำหรับ S n) ปรากฏขึ้นเนื่องจากผลรวมของประเภท a i+1 +a n-i ออกมาเป็น n/2 ทุกประการ ในที่นี้ i เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง n/ 2 -หนึ่ง

ตามหลักฐานทางประวัติศาสตร์ที่ยังหลงเหลืออยู่ สูตรสำหรับผลรวม Sn ได้รับครั้งแรกโดย Karl Gauss (นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่มีชื่อเสียง) เมื่อเขาได้รับมอบหมายจากครูในโรงเรียนให้บวกตัวเลข 100 ตัวแรก

ปัญหาตัวอย่าง #1: ค้นหาความแตกต่าง

งานที่ก่อให้เกิดคำถามดังต่อไปนี้: การรู้สูตรสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต วิธีหา q (d) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับหัวข้อนี้เท่านั้น

นี่คือตัวอย่าง: กำหนดลำดับตัวเลข -5, -2, 1, 4, ... จำเป็นต้องกำหนดความแตกต่างนั่นคือ d

ในการทำเช่นนี้ง่ายเหมือนการปอกเปลือกลูกแพร์: คุณต้องใช้สององค์ประกอบแล้วลบส่วนที่เล็กกว่าออกจากส่วนที่ใหญ่กว่า ในกรณีนี้ เรามี: d = -2 - (-5) = 3

เพื่อให้แน่ใจในคำตอบที่ได้รับ ขอแนะนำให้ตรวจสอบความแตกต่างที่เหลืออยู่ เนื่องจากลำดับที่นำเสนออาจไม่ตรงตามเงื่อนไขความก้าวหน้าทางพีชคณิต เรามี: 1-(-2)=3 และ 4-1=3 ข้อมูลเหล่านี้บ่งชี้ว่าเราได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง (d=3) และพิสูจน์ว่าชุดของตัวเลขในคำชี้แจงปัญหาเป็นความก้าวหน้าทางพีชคณิตอย่างแท้จริง

ปัญหาตัวอย่าง #2: ค้นหาความแตกต่างโดยรู้เงื่อนไขสองข้อของความก้าวหน้า

พิจารณาปัญหาที่น่าสนใจอื่นซึ่งเกิดจากคำถามว่าจะค้นหาความแตกต่างได้อย่างไร ในกรณีนี้ต้องใช้สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับเทอมที่ n ดังนั้น ภารกิจ: กำหนดตัวเลขตัวแรกและตัวที่ห้าของอนุกรมที่สอดคล้องกับคุณสมบัติทั้งหมดของความก้าวหน้าทางพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ตัวเลขเหล่านี้คือ a 1 = 8 และ 5 = -10 จะหาความแตกต่าง d ได้อย่างไร?

คุณควรเริ่มแก้ปัญหานี้โดยเขียนรูปแบบทั่วไปของสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ n: a n = a 1 + d * (-1 + n) ตอนนี้คุณสามารถไปได้สองวิธี: แทนที่ตัวเลขทันทีและทำงานกับพวกมันแล้ว หรือแสดง d แล้วไปที่ 1 และ 5 อย่างเจาะจง ใช้วิธีสุดท้ายกันเถอะ: a 5 \u003d a 1 + d * (-1 + 5) หรือ a 5 \u003d 4 * d + a 1 ซึ่งตามด้วย d \u003d (a 5 -a 1 ) / 4. ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขได้อย่างปลอดภัยและรับคำตอบสุดท้าย: d = (-10-8)/4 = -4.5

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ความแตกต่างของความก้าวหน้ากลายเป็นลบ นั่นคือมีลำดับของตัวเลขลดลง จำเป็นต้องให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงนี้เมื่อแก้ปัญหาเพื่อไม่ให้เครื่องหมาย "+" และ "-" สับสน สูตรทั้งหมดข้างต้นเป็นสูตรสากล ดังนั้นควรปฏิบัติตามเสมอโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของตัวเลขที่ดำเนินการ

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้อที่ 3 หา a1 รู้ความแตกต่างและองค์ประกอบ

ลองเปลี่ยนเงื่อนไขของปัญหาเล็กน้อย ให้มีตัวเลขสองตัว: ผลต่าง d=6 และองค์ประกอบที่ 9 ของความก้าวหน้า a 9 = 10 จะหา a1 ได้อย่างไร สูตรของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เราจะใช้มัน สำหรับตัวเลข a 9 เรามีนิพจน์ต่อไปนี้: a 1 +d*(9-1) = a 9 จากที่เราได้รับองค์ประกอบแรกของชุด: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38

ตัวอย่างการแก้ปัญหา #4: หา a1, รู้จักสององค์ประกอบ

ปัญหาเวอร์ชันนี้เป็นเวอร์ชันที่ซับซ้อนของเวอร์ชันก่อนหน้า สาระสำคัญเหมือนกัน จำเป็นต้องคำนวณ a 1 แต่ตอนนี้ไม่ทราบความแตกต่างของ d และให้องค์ประกอบเพิ่มเติมของความก้าวหน้าแทน

ตัวอย่างของปัญหาประเภทนี้มีดังต่อไปนี้: ค้นหาตัวเลขตัวแรกในลำดับที่ทราบว่าเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต และมีองค์ประกอบลำดับที่ 15 และ 23 คือ 7 และ 12 ตามลำดับ

จำเป็นต้องแก้ปัญหานี้โดยการเขียนนิพจน์สำหรับสมาชิกตัวที่ n สำหรับแต่ละองค์ประกอบที่ทราบจากเงื่อนไข เรามี: a 15 = d*(15-1)+a 1 และ a 23 = d*(23- 1)+ก 1 . อย่างที่คุณเห็น เราได้รับสมการเชิงเส้นสองสมการที่ต้องแก้ไขด้วยความเคารพ 1 และ d ลองทำสิ่งนี้: ลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง จากนั้นเราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้: a 23 -a 15 \u003d 22 * ​​d - 14 * d \u003d 8 * d ในการหาค่าสมการสุดท้าย ค่าของ 1 จะถูกละไว้เพราะค่าเหล่านั้นจะตัดกันเมื่อถูกลบออก การแทนที่ข้อมูลที่ทราบเราพบความแตกต่าง: d \u003d (a 23 -a 15) / 8 \u003d (12-7) / 8 \u003d 0.625

ค่าของ d ต้องถูกแทนที่ในสูตรใดๆ สำหรับองค์ประกอบที่ทราบเพื่อให้ได้สมาชิกตัวแรกของลำดับ: a 15 = 14*d+a 1 จากที่: a 1 = a 15 -14*d = 7- 14*0.625 = -1.75.

ตรวจสอบผลลัพธ์กัน สำหรับสิ่งนี้ เราพบ 1 ถึงนิพจน์ที่สอง: a 23 \u003d d * 22 + a 1 หรือ a 1 \u003d a 23 -d * 22 \u003d 12 - 0.625 * 22 \u003d -1.75

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้อที่ 5: หาผลรวมขององค์ประกอบ n ตัว

อย่างที่คุณเห็น ณ จุดนี้ มีการใช้สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพียงสูตรเดียว (เกรด 9) สำหรับการแก้ปัญหา ตอนนี้เราให้ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาซึ่งเราจำเป็นต้องรู้สูตรที่สองนั่นคือสำหรับผลรวม Sn .

จากชุดตัวเลขที่เรียงลำดับต่อไปนี้ -1.1, -2.1, -3.1,... คุณต้องคำนวณผลรวมขององค์ประกอบ 11 ตัวแรก

จะเห็นได้จากซีรีส์นี้ว่ากำลังลดลงและ 1 \u003d -1.1 ความแตกต่างคือ: d = -2.1 - (-1.1) = -1 ทีนี้มากำหนดเทอมที่ 11: a 11 \u003d 10 * d + a 1 \u003d -10 + (-1.1) \u003d -11.1 หลังจากเสร็จสิ้นการคำนวณเตรียมการคุณสามารถใช้สูตรข้างต้นสำหรับผลรวม เรามี: S 11 \u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \u003d -67.1 เนื่องจากเงื่อนไขทั้งหมดเป็นจำนวนลบ ผลบวกของพวกมันจึงมีเครื่องหมายที่ตรงกันด้วย

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้อที่ 6: หาผลรวมขององค์ประกอบจาก n ถึง m

บางทีปัญหาประเภทนี้อาจยากที่สุดสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ ลองยกตัวอย่างทั่วไป: ให้ชุดตัวเลข 2, 4, 6, 8 ... คุณต้องหาผลรวมจากพจน์ที่ 7 ถึง 13

สูตร ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์(เกรด 9) ใช้เหมือนกับงานทั้งหมดก่อนหน้านี้ทุกประการ แนะนำให้แก้ไขงานนี้เป็นขั้นตอน:

1. ขั้นแรก ให้หาผลรวมของพจน์ 13 พจน์โดยใช้สูตรมาตรฐาน
2. จากนั้นคำนวณผลรวมนี้สำหรับ 6 องค์ประกอบแรก
3. จากนั้นลบที่ 2 จากผลรวมที่ 1

เรามาตัดสินใจกัน เช่นเดียวกับกรณีก่อนหน้า เราจะดำเนินการคำนวณแบบเตรียมการ: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26

ลองคำนวณผลรวมสองตัว: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42 เรานำความแตกต่างและได้คำตอบที่ต้องการ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140 โปรดทราบว่าเมื่อได้ค่านี้ จะเป็นผลรวมขององค์ประกอบ 6 ส่วนของความก้าวหน้าที่ถูกลบออก เนื่องจากสมาชิกตัวที่ 7 จะรวมอยู่ในผลรวม S 7-13

ธีม: ความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต

ระดับ: 9

ระบบการฝึกอบรม: เนื้อหาสำหรับเตรียมการศึกษาหัวข้อในพีชคณิตและขั้นตอนการเตรียมการเพื่อผ่านการสอบ OGE

เป้า: การก่อตัวของแนวคิดของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต

งาน: สอนให้แยกแยะประเภทของความก้าวหน้า สอนอย่างถูกต้อง ใช้สูตร

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (สมาชิกของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละคำที่ตามมาแตกต่างจากคำก่อนหน้าด้วยคำเหล็ก ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าความแตกต่างของขั้นหรือความก้าวหน้า

ดังนั้น โดยการตั้งค่าขั้นตอนของความก้าวหน้าและระยะแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใดๆ ของมันโดยใช้สูตร

1) สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เริ่มต้นจากตัวเลขที่สองคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้าและถัดไป

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกที่อยู่ใกล้เคียงเลขคี่ (คู่) ของความก้าวหน้าเท่ากับสมาชิกที่อยู่ระหว่างพวกมัน ลำดับของตัวเลขนี้ก็คือความก้าวหน้าทางเลขคณิต จากการยืนยันนี้ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ

ด้วยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเลขคณิต สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

สิ่งนี้ง่ายต่อการตรวจสอบหากเราเขียนเงื่อนไขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณในปัญหา

2) ผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคำนวณโดยสูตร

จำสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิตให้ดี ซึ่งเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและเป็นเรื่องปกติในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากสมาชิกลำดับที่ k สูตรผลรวมต่อไปนี้จะมีประโยชน์สำหรับคุณ

4) สิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติคือการหาผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เริ่มต้นจากเลข k ในการทำเช่นนี้ให้ใช้สูตร

ค้นหาพจน์ที่สี่สิบของการก้าวหน้าเลขคณิต 4;7;...

การตัดสินใจ:

ตามสภาพเราก็มี

กำหนดขั้นตอนความก้าวหน้า

ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยสมาชิกที่สามและเจ็ด ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าและผลบวกของสิบ

การตัดสินใจ:

เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าตามสูตร

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยตัวส่วนและหนึ่งในสมาชิกของมัน ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมที่เริ่มต้นจาก 50 และผลรวมของ 100 แรก

การตัดสินใจ:

ลองเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้า

และค้นหาสิ่งแรก

จากข้อแรก เราพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า

การหาผลรวมของส่วนของความก้าวหน้า

และผลรวมของ 100 แรก

ผลรวมของความก้าวหน้าคือ 250 ค้นหาจำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตถ้า:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

การตัดสินใจ:

เราเขียนสมการในรูปของเทอมแรกและขั้นตอนของความก้าวหน้าและนิยามพวกมัน

เราแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนสมาชิกในผลรวม

ทำให้ง่ายขึ้น

และแก้สมการกำลังสอง

จากค่าทั้งสองที่พบ เฉพาะหมายเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับสภาพของปัญหา ดังนั้น ผลรวมของแปดพจน์แรกของความก้าวหน้าคือ 111

แก้สมการ

1+3+5+...+x=307.

การตัดสินใจ:

สมการนี้เป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เราเขียนเทอมแรกออกมาและค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า

เราแทนค่าที่พบในสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าเพื่อหาจำนวนพจน์

เช่นเดียวกับงานก่อนหน้านี้ เราทำการลดความซับซ้อนและแก้สมการกำลังสอง

เลือกค่าที่สมเหตุสมผลกว่าของทั้งสองค่า เรามีว่าผลรวมของสมาชิก 18 ตัวของความก้าวหน้าที่มีค่า a1=1, d=2 เท่ากับ Sn=307

ตัวอย่างของการแก้ปัญหา: ความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ภารกิจที่ 1

ทีมนักเรียนทำสัญญาเพื่อปูกระเบื้องเซรามิกบนพื้นในห้องโถงของสโมสรเยาวชนที่มีพื้นที่ 288 ตร.ม. นักเรียนได้รับประสบการณ์ทุกวันเริ่มจากวินาทีที่สองวางมากกว่า 2 ตร.ม. มากกว่าครั้งก่อนและ พวกเขามีกระเบื้องเพียงพอสำหรับการทำงาน 11 วันพอดี วางแผนเพิ่มผลผลิตเหมือนเดิม หัวหน้างาน ตั้งใจว่าอีก 5 วันจะเสร็จงาน เขาต้องสั่งกระเบื้องกี่กล่อง ถ้า 1 กล่องเพียงพอสำหรับการปูพื้น 1.2 ตร.ม. และต้องใช้ 3 กล่องเพื่อเปลี่ยนกระเบื้องคุณภาพต่ำ

การตัดสินใจ

จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นที่ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ให้

a1=x, Sn=288, n=16

จากนั้นเราใช้สูตร: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg ศิลปะ.

288=(2x+2*15)*16/2

คำนวณจำนวนนักเรียนม.2 ที่จะเรียนใน 11 วัน: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

288-143=145 ตร.ม. เหลือหลังจากทำงาน 11 วัน เช่น เป็นเวลา 5 วัน

145/1,2=121(โดยประมาณ) ต้องสั่งกล่องเป็นเวลา 5 วัน

ต้องสั่ง 121+3=124 กล่องที่มีตำหนิ

ตอบ: 124 กล่อง

ภารกิจที่ 2

หลังจากการเคลื่อนไหวของลูกสูบปั๊มเจือจางแต่ละครั้ง 20% ของอากาศในนั้นจะถูกกำจัดออกจากภาชนะ ให้เราพิจารณาความกดอากาศภายในภาชนะหลังจากการเคลื่อนที่ของลูกสูบหกครั้ง ถ้าความดันเริ่มต้นคือ 760 มม. ปรอท ศิลปะ.

การตัดสินใจ

เนื่องจาก 20% ของอากาศที่มีอยู่ถูกกำจัดออกจากภาชนะหลังจากการเคลื่อนที่ของลูกสูบแต่ละครั้ง 80% ของอากาศยังคงอยู่ หากต้องการทราบความกดอากาศในภาชนะหลังจากการเคลื่อนที่ของลูกสูบครั้งต่อไป คุณต้องเพิ่มความดันของการเคลื่อนที่ของลูกสูบครั้งก่อน 0.8

เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือ 760 และตัวส่วนคือ 0.8 ตัวเลขที่แสดงความดันอากาศในภาชนะ (เป็น mm Hg) หลังจากลูกสูบหกจังหวะเป็นสมาชิกลำดับที่เจ็ดของความก้าวหน้านี้ เท่ากับ 760*0.86=200 มม.ปรอท ศิลปะ.

ตอบ 200 mmHg

ที่ให้ไว้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยที่พจน์ที่ห้าและสิบมีค่าเท่ากับ 38 และ 23 ตามลำดับ จงหาพจน์ที่สิบห้าของความก้าวหน้าและผลบวกของพจน์สิบแรก

การตัดสินใจ:

ค้นหาจำนวนพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต 5,14,23,..., ถ้าพจน์ที่ - เท่ากับ 239

การตัดสินใจ:

หา จำนวนพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือ 9,12,15,..., ถ้าผลรวมของมันคือ 306.

การตัดสินใจ:

ค้นหา x ซึ่งตัวเลข x-1, 2x-1, x2-5 ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเลขคณิต

การตัดสินใจ:

ค้นหาความแตกต่างระหว่าง 1 และ 2 สมาชิกของความก้าวหน้า:

d=(2x-1)-(x-1)=x

ค้นหาความแตกต่างระหว่าง 2 และ 3 สมาชิกของความก้าวหน้า:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

เพราะ ความแตกต่างนั้นเหมือนกัน ดังนั้นเงื่อนไขของความก้าวหน้าสามารถเทียบได้:

เมื่อตรวจสอบทั้งสองกรณี จะได้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต

คำตอบ: ที่ x=-1 และ x=4

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยสมาชิกตัวที่สามและเจ็ด a3=5; ก7=13. ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าและผลบวกของสิบ

การตัดสินใจ:

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ดังนั้น เราจึงพบขั้นตอนความก้าวหน้า

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8 ดังนั้น d=2

ค่าที่พบจะถูกแทนลงในสมการใดๆ เพื่อหาพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

คำนวณผลรวมของสิบเทอมแรกของความก้าวหน้า

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

คำตอบ: a1=1; S10=100

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีพจน์แรกคือ -3.4 และผลต่างคือ 3 ให้หาพจน์ที่ห้าและสิบเอ็ด

เราจึงรู้ว่า a1 = -3.4; d = 3 ค้นหา: a5, a11-

การตัดสินใจ.ในการหาสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เราใช้สูตร: an = a1+ (n – 1)d เรามี:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3.4 + 4 3 \u003d 8.6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3.4 + 10 3 \u003d 26.6

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีนี้ วิธีแก้ไขก็ไม่ใช่เรื่องยาก

พจน์ที่สิบสองของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือ 74 และผลต่างคือ -4 ค้นหาระยะที่สามสิบสี่ของความก้าวหน้านี้

เราบอกว่า a12 = 74; d = -4 และคุณต้องหา a34-

ในปัญหานี้ ไม่สามารถใช้สูตร an = a1 + (n – 1)d ได้ทันที เนื่องจาก เทอมแรก a1 ไม่เป็นที่รู้จัก ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในหลายขั้นตอน

1. ใช้เทอม a12 และสูตรของเทอมที่ n เราพบ a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d ตอนนี้ลดรูปและแทนที่ d: a12 = a1 + 11 (-4) จากสมการนี้ เราพบ a1: a1 = a12 - (-44);

เรารู้เทอมที่สิบสองจากเงื่อนไขของโจทย์ ดังนั้นเราจึงคำนวณ a1 โดยไม่มีปัญหาใดๆ

a1 = 74 + 44 = 118 ไปที่ขั้นตอนที่สอง - คำนวณ a34

2. อีกครั้ง ตามสูตร an = a1 + (n - 1)d เนื่องจาก a1 เป็นที่รู้จักแล้ว เราจะกำหนด a34-

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

คำตอบ: พจน์ที่สามสิบสี่ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือ -14

อย่างที่คุณเห็น การแก้ปัญหาของตัวอย่างที่สองนั้นซับซ้อนกว่า ใช้สูตรเดียวกันสองครั้งเพื่อให้ได้คำตอบ แต่ทุกอย่างซับซ้อนมาก วิธีแก้ปัญหาสามารถย่อได้โดยใช้สูตรเพิ่มเติม

ตามที่ระบุไว้แล้ว หากทราบ a1 ในปัญหา ก็จะสะดวกมากที่จะใช้สูตรเพื่อกำหนดสมาชิกลำดับที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต แต่ถ้าไม่ได้ระบุเงื่อนไขแรกไว้ในเงื่อนไข สูตรก็สามารถช่วยได้ซึ่งเชื่อมต่อเทอมที่ n ที่เราต้องการกับเทอม ak ที่ระบุในปัญหา

an = ak + (n – k)ง.

ลองแก้ตัวอย่างที่สอง แต่ใช้สูตรใหม่

กำหนด: a12 = 74; ง=-4. ค้นหา: a34-.

เราใช้สูตร an = ak + (n – k)d ในกรณีของเราจะเป็น:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

ได้รับคำตอบในปัญหาเร็วกว่ามาก เนื่องจากไม่จำเป็นต้องดำเนินการเพิ่มเติมและมองหาสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า

เมื่อใช้สูตรข้างต้น คุณสามารถแก้ปัญหาการคำนวณผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้ ดังนั้น โดยใช้สูตร an = a1 + (n - 1)d เราสามารถแสดง d:

d = (อัน - a1) / (n - 1). อย่างไรก็ตาม ปัญหาเกี่ยวกับเทอมแรกนั้นไม่ใช่เรื่องปกตินัก และสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรของเรา an = ak + (n – k)d ซึ่งจะเห็นได้ว่า d = (an – ak) / (n – ฎ). ลองพิจารณางานดังกล่าว

ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าทราบว่า a3 = 36; a8 = 106.

ใช้สูตรที่เราได้รับสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาได้ในบรรทัดเดียว:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

หากสูตรนี้ไม่ได้อยู่ในคลังแสงการแก้ปัญหาจะใช้เวลามากกว่านี้เพราะ จะต้องแก้ระบบสมการสองสมการ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1. สูตรของสมาชิกตัวที่ 1 (สมาชิกทั่วไปของความก้าวหน้า)
2. สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า:. เมื่อเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มาบรรจบกัน ในกรณีนี้ คุณสามารถคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทั้งหมดได้โดยใช้สูตร
3. สูตรของ "ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต": ถ้า , , เป็นสามพจน์ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ดังนั้นโดยอาศัยคำจำกัดความที่เรามีความสัมพันธ์: หรือ หรือ .

วัตถุประสงค์ของเกม :

1. ความรู้ทั่วไปและการจัดระบบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อนี้
2. การทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาทางประวัติศาสตร์ของนักเรียน

อุปกรณ์: โปสเตอร์สำหรับเกม "Progressio - ก้าวไปข้างหน้า"

นักเรียนทั้งหมดแบ่งออกเป็นห้ากลุ่ม + คำแนะนำของปราชญ์

ศตวรรษที่ยี่สิบสิ้นสุดลงแล้ว
บุคคลไปที่ไหน?
สำรวจอวกาศและทะเล
โครงสร้างของดวงดาวและโลกทั้งใบ
แต่นักคณิตศาสตร์กำลังเรียกร้อง
สโลแกนที่โด่งดัง:
"Progressio - ก้าวไปข้างหน้า"

วันนี้เราจะมีสภาในชั้นเรียน - สภานักปราชญ์ นักปราชญ์คือนักเรียนที่นั่งเป็นกลุ่มในชั้นเรียน และนักปราชญ์ที่นั่งอยู่ที่โต๊ะนี้

คุณรู้จักพวกเขาหรือไม่?

นั่งที่โต๊ะ: Archimedes, Gauss, Magnitsky

ใครค้นพบสูตรหาผลรวมกำลังสอง
และทางที่ถูกต้องเพื่อความก้าวหน้าก็มาถึง?
นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ ฉันคืออาร์คิมิดีส
มีตำนานมากมายเกี่ยวกับชีวิตของฉัน

โอ! ฉันคือคาร์ล เกาส์! ฉันพบผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100 ทันที เมื่อฉันเป็นนักเรียนชั้นประถม

แม็กนิตสกี้. พระเจ้า! ฉันรู้สึกเป็นเกียรติที่จะแนะนำตัวเอง ฉันชื่อ Leonty Filippovich Magnitsky ผู้สร้างตำรา "เลขคณิต" เล่มแรก

ครู. บอกฉันทีว่าทำไมนักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ถึงรวมตัวกันที่โต๊ะเดียวกัน? คำถามทางคณิตศาสตร์ใดที่รวมพวกเขาเข้าด้วยกัน หากคุณยังไม่เข้าใจ ให้ดูฉากอย่างระมัดระวัง

ตำนานอินเดียโบราณ

กษัตริย์ฮินดูปรากฏตัวในห้องเรียนพร้อมกับคนรับใช้

ซาร์ ฉัน กษัตริย์ฮินดู Sheram ได้เรียนรู้เกมหมากรุกและชื่นชมไหวพริบและตำแหน่งที่หลากหลาย คนรับใช้ เรียกนักประดิษฐ์ว่า เซตู กันเถอะ ฉันต้องการตอบแทนคุณอย่างเพียงพอ Seth สำหรับเกมที่ยอดเยี่ยมที่คุณสร้างขึ้น ตั้งชื่อรางวัลที่จะทำให้คุณพึงพอใจและคุณจะได้รับมัน

เซท พระเจ้า. ขอสั่งข้าให้มอบข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดสำหรับช่องแรกของกระดานหมากรุก

ซาร์ เมล็ดข้าวสาลีที่เรียบง่าย?

เซท ใช่ ท่าน สำหรับเซลล์ที่สอง สั่งให้แจกธัญพืช 2 เม็ด สำหรับเซลล์ที่สาม - 4 สำหรับเซลล์ที่สี่ - 8 สำหรับเซลล์ที่ห้า - 16 และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงเซลล์ที่ 64

กษัตริย์ Sheram หัวเราะ

ครู. โอ้ปราชญ์แห่งชั้นที่เก้า ให้เราปรึกษากัน กษัตริย์ควรหัวเราะหรือไม่?

บันทึกบนกระดาน: 1,2,4,8,16, ... .. ส 64 - ?

นักเรียนตัดสินใจ ข 1= 1, คิว=2, n=64, S 64 =2 64 - 1.

ครู. ตัวเลขนี้ใหญ่แค่ไหน? ใครอธิบายได้บ้าง

อาร์คิมิดีส ฉลาดที่สุด! ถ้ากษัตริย์สามารถหว่านข้าวสาลีได้ทั่วทั้งพื้นพิภพ นับทะเล มหาสมุทร ภูเขา ทะเลทราย อาร์กติกและแอนตาร์กติกา และได้ผลผลิตที่น่าพอใจ บางทีในห้าปี เขาสามารถจ่ายได้ ปิด.

เกาส์ คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน ( เขียนบนกระดาน 18 446 744 073 709 551 615) 18 quintillion 446 quadrillion 744 ล้านล้าน 73 พันล้าน 709 ล้าน 551 พัน 615

แม็กนิตสกี้. ท่านนักปราชญ์ชั้น 9! โคตรพี่จะบอกว่า ส 64 18.5 10 18 . จริงอยู่ฉันขอสารภาพกับคุณว่าในตำราเรียน "เลขคณิต" ของฉันซึ่งตีพิมพ์เมื่อ 200 ปีก่อนซึ่งเด็ก ๆ ศึกษามาครึ่งศตวรรษมีปัญหามากมายในหัวข้อ "ความก้าวหน้า" แต่ฉันเองก็แก้ไขบางส่วนด้วยความยากลำบาก เนื่องจากฉันยังไม่พบสูตรทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่รวมอยู่ในนั้น

ภายใต้เสียงเอี๊ยดอ๊าดของปากกาบนแผ่นกระดาษ
กรอกแผ่นเหล่านี้!
ขอให้ความพยายามของเราช่วยคุณ!

มีการแจกจ่ายแผ่นเปล่าเพื่อทดสอบความรู้ของทฤษฎี เช่น บทคัดย่อพื้นฐานในหัวข้อ "ความก้าวหน้า" ได้รับการกู้คืน

นักเรียนกรอกตาราง ตารางต่อไปนี้ปรากฏบนกระดาน:

	ความก้าวหน้า	เลขคณิต น	เรขาคณิต b n
	คำนิยาม		ข n+1 = b n คิว (q0,q1)
	สูตรของ n เทอมแรก	น \u003d a 1 + (n-1) ง
	ผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้า	ส n =	Sn = และเราชื่นชมการค้นหาพวกเขา ตอนนี้ต้องรวมคำ รวมกันในวลีใดได้บ้าง “คณิตศาสตร์คือราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ เลขคณิตคือราชินีแห่งคณิตศาสตร์” โอ้ปราชญ์แห่งกาลเวลา! คุณไม่สามารถหาเพื่อน สภาสิ้นสุดวันนี้ แต่ทุกคนควรรู้: ความรู้ ความอุตสาหะ การทำงานหนัก นำไปสู่ความก้าวหน้าในชีวิต!

สรุปบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

หัวข้อบทเรียน: ความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต

สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของเลขคณิตและเรขาคณิต

ความก้าวหน้า

ประเภทบทเรียน : บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

จุดประสงค์ของบทเรียน:

การก่อตัวของแนวคิดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิตและทางเรขาคณิตในรูปแบบของลำดับตัวเลข ที่มาของสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต

การสร้างทักษะของนักเรียนในการใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้ปัญหา

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การศึกษา: แนะนำแนวคิดของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต สูตรของสมาชิกตัวที่ n คุณสมบัติคุณลักษณะที่สมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและทางเรขาคณิตมี

การพัฒนา: เพื่อเพิ่มการดูดซึมเนื้อหาอย่างมีสติผ่านการต่อต้าน พัฒนาความสามารถในการเปรียบเทียบแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ค้นหาความเหมือนและความแตกต่าง ดูรูปแบบ ให้เหตุผลโดยการเปรียบเทียบ พัฒนาความจำและการคิดเชิงตรรกะ

การศึกษา: สร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนาความสนใจทางปัญญาในเรื่อง.

แผนการเรียน:

1. การจัดระเบียบของการเริ่มต้นบทเรียน การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

2. แรงจูงใจในการศึกษาหัวข้อ (“The Legend of the Chessboard”)

3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

4. การยึดหลัก

5. สรุปบทเรียน

6. การบ้าน

ระหว่างเรียน

1. การจัดระเบียบจุดเริ่มต้นของบทเรียน

ตั้งชื่อหัวข้อบทเรียน จุดประสงค์ของบทเรียน งาน

2. แรงจูงใจในการศึกษาหัวข้อ

"ตำนานกระดานหมากรุก".

หมากรุกเป็นหนึ่งในเกมที่เก่าแก่ที่สุด มันมีมานานหลายศตวรรษแล้ว และไม่น่าแปลกใจที่ตำนานจะเกี่ยวข้องกับมัน ความจริงนั้นไม่สามารถยืนยันได้เนื่องจากการกำหนดของเวลา ฉันอยากจะเล่าถึงหนึ่งในตำนานเหล่านี้ เพื่อให้เข้าใจ คุณไม่จำเป็นต้องรู้วิธีเล่นหมากรุกเลย - ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ว่าเกมนี้เกิดขึ้นบนกระดานที่แบ่งออกเป็น 64 เซลล์ (สลับขาวดำ)

เกมหมากรุกถูกประดิษฐ์ขึ้นในอินเดีย และเมื่อ Sheram กษัตริย์อินเดียได้พบกับเธอ เขารู้สึกยินดีกับไหวพริบของเธอและตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่หลากหลายในนั้น เมื่อรู้ว่าเกมนี้ถูกคิดค้นโดยหนึ่งในอาสาสมัครของเขา กษัตริย์จึงสั่งให้โทรหาเขาเพื่อให้รางวัลเป็นการส่วนตัวสำหรับการประดิษฐ์ที่ประสบความสำเร็จ

นักประดิษฐ์ - ชื่อของเขาคือ Seta - ปรากฏตัวที่บัลลังก์ของผู้ปกครอง เขาเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่แต่งตัวสุภาพเรียบร้อยซึ่งได้รับเลี้ยงชีพจากลูกศิษย์ของเขา

ฉันต้องการให้รางวัลแก่คุณอย่างเพียงพอ Seth สำหรับเกมที่ยอดเยี่ยมที่คุณคิดขึ้น กษัตริย์ตรัส

ปราชญ์โค้งคำนับ

ฉันรวยพอที่จะเติมเต็มความปรารถนาที่กล้าหาญที่สุดของคุณ - ราชาพูดต่อ - ตั้งชื่อรางวัลที่จะทำให้คุณพึงพอใจและคุณจะได้รับมัน

เซธเงียบ

อย่าอาย - กษัตริย์สนับสนุนเขา - แสดงความปรารถนาของคุณ ฉันจะไม่เสียอะไรไปเพื่อเติมเต็มมัน!

ความเมตตาของท่านยิ่งใหญ่มาก พระเจ้าข้า แต่ให้เวลาฉันคิดหาคำตอบ พรุ่งนี้ หลังจากการไตร่ตรองอย่างรอบคอบแล้ว ฉันจะแจ้งคำขอของฉันให้คุณทราบ

เมื่อวันรุ่งขึ้น Seta ปรากฏตัวอีกครั้งที่ขั้นบันไดของบัลลังก์ เขาทำให้กษัตริย์ประหลาดใจด้วยคำขอของเขาที่สงบเสงี่ยมอย่างไม่มีใครเทียบได้

ท่านลอร์ด - เซทพูด - สั่งให้ฉันให้ข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดแก่ฉันสำหรับเซลล์แรกของกระดานหมากรุก

เมล็ดข้าวสาลีที่เรียบง่าย? - กษัตริย์ประหลาดใจ

ใช่หัวหน้า. สำหรับเซลล์ที่สองให้ออกสองเม็ดสำหรับสาม - สี่สำหรับสี่ - 8 สำหรับห้า - 16 สำหรับหก - 32 ...

เพียงพอ! - กษัตริย์ขัดจังหวะเขาด้วยความหงุดหงิด - คุณจะได้รับธัญพืชของคุณสำหรับทั้ง 64 เซลล์ของกระดานตามความต้องการของคุณ: สำหรับแต่ละเซลล์มากเป็นสองเท่าของจำนวนก่อนหน้า แต่รู้ว่าคำขอของคุณไม่คู่ควรกับความเอื้ออาทรของฉัน การขอรางวัลเล็กน้อยเช่นนี้แสดงว่าคุณไม่เคารพในพระคุณของฉัน แท้จริงแล้ว ในฐานะครู คุณสามารถแสดงความเคารพต่อความกรุณาขององค์อธิปไตยได้ดีที่สุด ไป! คนใช้ของเราจะนำข้าวสาลีกระสอบหนึ่งมาให้ท่าน

เซตายิ้ม ออกจากห้องโถงไปรอที่ประตูวัง

ในมื้อค่ำ กษัตริย์ระลึกถึงผู้ประดิษฐ์หมากรุกและส่งไปหาว่า Seth ที่ประมาทได้พรากรางวัลอันน่าสมเพชของเขาไปแล้วหรือไม่

พระเจ้า - คือคำตอบ - คำสั่งของคุณกำลังถูกเติมเต็ม นักคณิตศาสตร์ในศาลจะคำนวณจำนวนธัญพืชที่จะตามมา

กษัตริย์ขมวดคิ้ว - เขาไม่คุ้นเคยกับคำสั่งของเขาที่ดำเนินไปอย่างเชื่องช้า

ในตอนเย็น King Sheram เข้านอนถามอีกครั้งว่า Seta ออกจากรั้ววังพร้อมกระสอบข้าวสาลีหรือไม่

ท่านลอร์ด - พวกเขาตอบเขาว่า - นักคณิตศาสตร์ของคุณทำงานอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อยและหวังว่าจะนับเสร็จก่อนรุ่งสาง

ทำไมพวกเขาถึงล่าช้า? - กษัตริย์อุทานด้วยความโกรธ - พรุ่งนี้ก่อนที่ฉันจะตื่นขึ้นจะต้องมอบทุกอย่างให้กับเซทจนถึงเมล็ดสุดท้าย ฉันไม่สั่งสองครั้ง!

ในตอนเช้ากษัตริย์ได้รับแจ้งว่าหัวหน้าของนักคณิตศาสตร์ในศาลขอให้ฟังรายงานสำคัญ พระราชารับสั่งให้นำเขาเข้าเฝ้า

ก่อนที่คุณจะพูดถึงคดีของคุณ” Sheram ประกาศ “ฉันอยากฟังว่าในที่สุด Seta ได้รับรางวัลเล็กน้อยที่เขามอบหมายให้ตัวเองหรือไม่

ด้วยเหตุนี้ฉันจึงกล้าปรากฏตัวต่อหน้าคุณใน "ชั่วโมงแรก" ชายชราตอบ "เรานับจำนวนธัญพืชทั้งหมดที่ Seth ต้องการรับอย่างเป็นเรื่องเป็นราว จำนวนนั้นมาก ...

ไม่ว่ามันจะยิ่งใหญ่เพียงใด - ราชาขัดจังหวะอย่างเย่อหยิ่ง - ยุ้งฉางของฉันจะไม่ขาดแคลน! สัญญาแล้วต้องให้รางวัล...

มันไม่ได้อยู่ในอำนาจของคุณที่จะตอบสนองความปรารถนาดังกล่าว ในยุ้งฉางทั้งหมดของคุณมีธัญพืชไม่ครบตามที่ Seth เรียกร้อง และไม่ได้อยู่ในยุ้งฉางของอาณาจักรทั้งหมด ไม่มีธัญพืชจำนวนมากในพื้นที่ทั้งหมดของโลก และถ้าคุณต้องการให้รางวัลตามสัญญาโดยไม่ล้มเหลว ให้สั่งให้เปลี่ยนอาณาจักรทางโลกให้กลายเป็นทุ่งเพาะปลูก สั่งให้ทะเลและมหาสมุทรเหือดแห้ง สั่งให้น้ำแข็งและหิมะละลายที่ปกคลุมพื้นที่รกร้างทางตอนเหนือที่อยู่ห่างไกลออกไป ปล่อยให้พื้นที่ทั้งหมดของพวกเขาถูกหว่านด้วยข้าวสาลีอย่างสมบูรณ์ และทุกสิ่งที่เกิดในทุ่งเหล่านี้จงมอบให้เสธ แล้วเขาจะได้รับรางวัลของเขา

กษัตริย์ฟังคำของผู้อาวุโสด้วยความประหลาดใจ

บอกตัวเลขมหึมานั้นมาให้ฉัน เขาพูดอย่างครุ่นคิด

สิบแปด quintillion สี่ร้อยสี่สิบหก quadrillion เจ็ดร้อยสี่สิบสี่ล้านเจ็ดหมื่นสามพันล้านเจ็ดร้อยเก้าล้านห้าแสนห้าหมื่นหนึ่งพันหกร้อยสิบห้า ข้าแต่พระเจ้า! (18 446 744 073 709 551 615)

นั่นคือตำนาน ไม่ว่าสิ่งที่เล่าในที่นี้จะเกิดขึ้นจริงหรือไม่ แต่รางวัลที่ประเพณีพูดจะต้องแสดงออกมาในจำนวนดังกล่าวเท่านั้น

หากคุณต้องการจินตนาการถึงความใหญ่โตมโหฬารของตัวเลขยักษ์นี้ ให้ประมาณว่ายุ้งฉางขนาดใดจึงจะสามารถรองรับธัญพืชจำนวนดังกล่าวได้ เป็นที่ทราบกันดีว่าข้าวสาลีหนึ่งลูกบาศก์เมตรมีเมล็ดประมาณ 15 ล้านเมล็ด ซึ่งหมายความว่ารางวัลสำหรับนักประดิษฐ์หมากรุกควรได้รับประมาณ

12,000,000,000,000 ลบ.ม ม. หรือ 12,000 ลบ.ม. กม. ด้วยโรงนาสูง 4 ม. และกว้าง 10 ม. ความยาวของมันจะต้องขยายออกไป 300,000,000 กม. นั่นคือไกลจากโลกถึงดวงอาทิตย์สองเท่า!

แน่นอน กษัตริย์อินเดียไม่อยู่ในฐานะที่จะออกรางวัลดังกล่าวได้

3. การนำเสนอเนื้อหาใหม่

แจกชีตให้นักเรียนแต่ละคนซึ่งนำเสนอเนื้อหาทางทฤษฎีในรูปแบบของตารางแสดงความแตกต่างของนิยามของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและทางเรขาคณิต สมบัติเชิงลักษณะ สูตรการหาพจน์ที่ n สูตรการหาผลรวมของ n-เงื่อนไขแรกและสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สูตรสำหรับผลรวมคือการลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์(เอ/พี)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต(ก./น.)
เดฟ ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือลำดับของตัวเลข แต่ละพจน์ซึ่งเริ่มต้นจากลำดับที่สองจะเท่ากับลำดับก่อนหน้า บวกด้วยจำนวนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น: -6; -4; -2; 0; 2; 4;… 6; = -4; = -2; =0; = 2…	เดฟ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งแต่ละพจน์ที่เริ่มต้นจากลำดับที่สองจะเท่ากับลำดับก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น: 5; สิบห้า; 45; 135, ... 5; =15; =45; =135; …
ง = 2 – ผลต่าง a/n d = - ; ง=-	ถาม = 3 - ตัวส่วน g/n คิว = ; ถาม=
สูตรสมาชิกตัวที่ n ของ a / p D = + 2d; D = + 3d; = + 4d;	สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของ g / p ถาม = ; ถาม = ;
สูตรสำหรับเทอมกลาง a / p

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต

บทเรียนในเกรด 9

ครูคณิตศาสตร์ - Prikhodko Galina Vladimirovna

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ด้านการศึกษา พัฒนาทักษะการใช้สูตรความก้าวหน้าทางเลขคณิตและทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหาของเนื้อหาที่ประยุกต์ แสดงการใช้สูตรความก้าวหน้าสำหรับปัญหาทางฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ ทดสอบการผสมกลมกลืนของความรู้โดยการทำงานอิสระในแบบทดสอบ

การศึกษา: เพื่อปลูกฝังความรับผิดชอบความเคารพซึ่งกันและกันความสามารถในการทำงานเป็นกลุ่ม

กำลังพัฒนา: เพื่อพัฒนาความสนใจในเรื่องความต้องการที่จะได้รับความรู้ใหม่

ประเภทบทเรียน: โต๊ะกลม

ระหว่างเรียน:

1.) ช่วงเวลาขององค์กร นักศึกษาได้จัดตั้งกลุ่ม: ภาควิชาทฤษฎี ภาควิชาประวัติศาสตร์ ชีววิทยา ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์

2.) การสำรวจ ภาควิชาทฤษฎี.

แผนปุจฉา: ความหมาย คุณสมบัติ สูตรของสมาชิกตัวที่ n สูตรผลรวม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) ภาควิชาประวัติศาสตร์.

ชื่อของนักคณิตศาสตร์ต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องลำดับ สมาชิกของลำดับ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... เรียกว่า เลขฟีโบนัชชี สิ่งนี้อธิบายได้จากความจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์และพ่อค้าชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา (ฟีโบนัชชี) เป็นคนแรกที่สร้างความเชื่อมโยงระหว่างลำดับนี้กับปัญหาการสืบพันธุ์กระต่ายที่รู้จักกันดี ในปัญหานี้มีการตรวจสอบจำนวนลูกหลานของกระต่ายหนึ่งคู่ซึ่งนำกระต่ายมาหนึ่งคู่ทุกเดือนและในเดือนนั้นก็เริ่มให้กำเนิดลูกด้วย

เนื่องจากฟีโบนัชชีค้นพบลำดับของเขา จึงพบปรากฏการณ์ทางธรรมชาติซึ่งลำดับนี้มีบทบาทสำคัญ หนึ่งในนั้นคือ phyllotaxis (การจัดเรียงใบไม้) - กฎตามที่เมล็ดอยู่ในช่อดอกดอกทานตะวัน เมล็ดเรียงเป็นเกลียวสองแถว แถวหนึ่งหมุนตามเข็มนาฬิกา และจำนวนเมล็ดในแต่ละกรณีคือ 34 และ 55 อย่างไรก็ตาม ยังมียักษ์ที่มีเมล็ด 89 และ 144 เมล็ด คุณสมบัติที่คล้ายกันสามารถพบได้ในโครงสร้างของโคนต้นสน เช่นเดียวกับผลสับปะรด

K. Gauss นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่โดดเด่นได้ค้นพบผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1, 2, 3, …, 98,99,100 เมื่ออายุ 5 ขวบ

ด้วยลำดับเรขาคณิต 1, 2,
เกี่ยวข้องกับตำนานเก่าแก่ นักปราชญ์ชาวอินเดียผู้คิดค้นเกมหมากรุกได้ขอรางวัลเล็กน้อยจากราชาสำหรับการประดิษฐ์ของเขาในแวบแรก: สำหรับเซลล์แรกของกระดานหมากรุก 1 เม็ดข้าวสาลีสำหรับวินาที - 2 สำหรับสาม - 4 เป็นต้น . - สำหรับแต่ละเซลล์ถัดไปมากกว่าเซลล์ก่อนหน้าสองเท่า จำนวนธัญพืชทั้งหมดที่ผู้ประดิษฐ์ขอคือ

ราชาผู้มั่งคั่งตกใจเมื่อรู้ว่าเขาไม่สามารถตอบสนอง "ความปรารถนาอันต่ำต้อย" ของปราชญ์ได้ ค่าของนิพจน์นี้คือ 18 446 744 073 709 551 615 เช่น 18 quintillion 446 quadrillion 744 ล้านล้าน 73 พันล้าน 709 ล้าน 551 พัน 615

เพื่อให้รู้ว่าจำนวนนี้มากเพียงใด ลองจินตนาการว่าเมล็ดข้าวถูกเก็บไว้ในยุ้งฉางที่มีพื้นที่ 12 เฮกตาร์ ความสูงของมันจะมากกว่าระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์

4.) ภาควิชาชีววิทยา.

ในทางชีววิทยาก็มีปรากฏการณ์ที่สามารถจำแนกได้โดยใช้ความก้าวหน้า โดยเฉพาะการสืบพันธุ์ของสิ่งมีชีวิต เมื่อทราบลักษณะเฉพาะของสิ่งมีชีวิต เช่น ความถี่ของการสืบพันธุ์และจำนวนลูกหลาน จึงเป็นไปได้ที่จะทำนายจำนวนประชากรในช่วงเวลาหนึ่งโดยใช้ความก้าวหน้า กระบวนการดังกล่าวจะพิจารณาในปัญหาต่อไป

งาน.

แบคทีเรียเมื่อเข้าสู่ร่างกายจะแบ่งออกเป็นสองส่วนเมื่อครบ 20 นาที ซึ่งแต่ละอันจะแบ่งออกเป็นสองอีกครั้งเมื่อครบ 20 นาที เป็นต้น กี่แบคทีเรียในร่างกายในหนึ่งวัน?

การตัดสินใจ:

จำนวนแบคทีเรียเพิ่มขึ้น 2 เท่าทุกๆ 20 นาที ดังนั้นเราจึงมี:

1,2,4,8, ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่

ตามสูตร
หา

แบคทีเรีย.

ตอบ:
แบคทีเรีย.

5.) ภาควิชาฟิสิกส์.

เป็นที่รู้จักจากประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ว่า I. Titius นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ศตวรรษที่ 18 โดยใช้ชุดตัวเลขฟีโบนักชีพบรูปแบบและลำดับในระยะทางระหว่างดาวเคราะห์ของระบบสุริยะ อย่างไรก็ตาม มีกรณีหนึ่งที่ดูเหมือนจะขัดต่อกฎหมาย นั่นคือไม่มีดาวเคราะห์อยู่ระหว่างดาวอังคารกับดาวพฤหัสบดี การสังเกตบริเวณนี้อย่างมีสมาธินำไปสู่การค้นพบแถบดาวเคราะห์น้อย ซึ่งเกิดขึ้นหลังจากการตายของ Titius เมื่อต้นศตวรรษที่ 19

ความก้าวหน้าเป็นการแสดงออกถึงกฎของปรากฏการณ์ทางกายภาพบางอย่าง ตัวอย่างเช่น การแตกตัวเป็นไอออนเกิดขึ้นตามกฎของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในการตกกระทบไอออนไนซ์ ไอออนบวกที่มาถึงพื้นผิวของขั้วลบจะกระแทกอิเล็กตรอน อิเล็กตรอนนี้มีพลังงานมหาศาล ผลักอิเล็กตรอนออกจากเปลือกนอกของอะตอมที่มันมาบรรจบกัน อิเล็กตรอน 2 ตัวก่อตัวขึ้นแล้วทำให้หลุดออกไปอีก 2 ตัว ตัวที่ 4 ได้รับอีก 4 ตัว และต่อๆ ไป เกิดหิมะถล่มอิเล็กตรอนขึ้นอย่างทวีคูณ

ในฟิสิกส์มีแนวคิดเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างสม่ำเสมอ หากวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ระยะทางที่เคลื่อนที่ในแต่ละหน่วยเวลาต่อมาจะเพิ่มขึ้นในจำนวนที่เท่ากัน เหล่านั้น. ส่วนของเส้นทางที่ร่างกายผ่านใน 1,2,3,4, ... หน่วยของเวลาเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

งาน.

ลูกบอลที่กลิ้งในรางจะเคลื่อนที่ได้ 0.6 ม. ในวินาทีแรก และเพิ่มขึ้น 0.6 ม. ในแต่ละวินาทีต่อมา เขาจะใช้เวลานานแค่ไหนในการเดิน 6 เมตร?

การตัดสินใจ:
เมตร
เมตร
ม.

5 ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

ลูกบอลเคลื่อนที่ได้ 6 เมตรใน 4 วินาที

คำตอบ: 4 วินาที

6.) ภาควิชาเศรษฐศาสตร์.

ธนาคารแห่งแรกก่อตั้งขึ้นในเวนิสในปี ค.ศ. 1171 ตั้งแต่นั้นมาระบบธนาคารได้รับการพัฒนาและปรับปรุง

ในกรณีของการฝากเงินสดในธนาคาร ผู้ฝากจะได้รับเปอร์เซ็นต์ที่แน่นอนสำหรับการใช้เงินของเขา

งาน.

ธนาคารจ่ายให้ 2% ต่อปี จำนวนเงินบริจาค 800r ในตอนท้ายของแต่ละปีจะเป็นเท่าใด สำหรับปีแรกหรือปีที่สองการเติบโตของเงินฝากมากขึ้น? ผลงานหลังจาก 3 ปีจะเป็นอย่างไร?

การตัดสินใจ:

ปล่อยให้เป็น A คือเงินฝากเริ่มต้น ซึ่งคิดเป็น p % ต่อปี จากนั้น A
- การเติบโตของเงินฝากในหนึ่งปีที่เรามี

ที่ไหน
- กลายเป็นค่าคงที่สำหรับจำนวนใด ๆ หลังจาก 2 ปี เรามี:

เหล่านั้น. การเติบโตของผลงานจะเพิ่มขึ้นตามกฎของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

หากผู้ฝากใส่ 800 รูเบิลในธนาคารที่ 2% ต่อปี จากนั้นแบบฟอร์มการเพิ่มขึ้น

800 0.02 = 16 หน้า

สำหรับปีแรก จำนวนเงินฝากคือ 800 + 16 = 816 รูเบิล

สำหรับปีที่สอง 816 (1 + 0.02)² = 832.32 รูเบิล

ในแต่ละปี เงินสมทบเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้น 2% ดังนั้นหลังจาก 3 ปีจึงเท่ากับ

800 (1.02)³ \u003d 800 1.06 \u003d 848 (หน้า)

คำตอบ: 848r.

งาน.

คนงานได้รับมอบหมายให้ขุดบ่อน้ำ สำหรับเมตรแรกที่ขุดลงไปในส่วนลึกของบ่อน้ำ พวกเขาจะได้รับเงิน 50 รูเบิล และสำหรับแต่ละเมตรถัดไป พวกเขาจะได้รับเงินมากกว่า 20 รูเบิลสำหรับเมตรก่อนหน้า คนงานจะได้รับเงินเท่าใด (ในรูเบิล) สำหรับการขุดบ่อน้ำลึก 12 เมตร

การตัดสินใจ:

จากเงื่อนไขของปัญหา เรามีความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ต้องหา

คำตอบ: 1920

7) การแก้ปัญหาของงานทดสอบ

1 ตัวเลือก

1. ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้า

ก) 0.9; ข) -0.9; ที่ 9; ง) -9.

2. ผลรวมของสี่พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือเท่าใด ซึ่งเป็นพจน์แรกของ

และตัวส่วน

ก) 70; ข) 85; ข) 80; ง) 75.

3. ผลบวกของหกพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือเท่าใด ถ้า

ก) 85; ข) 95; ข) 105; ง) 115.

4. ในลำดับเหล่านี้ ระบุความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ก) 5;8;13;18; ค) 0.1; 0.2; 0.3; 0.4;

ข) 45;40;33;27; ง) 7;9;12;14.

5. จากลำดับของตัวเลข -9, -8, -6,4,5,6 เลือกตัวเลขสองตัวและพบผลิตภัณฑ์ ผลิตภัณฑ์นี้สามารถรับค่าที่น้อยที่สุดได้เท่าใด

ก) -40; ข) -54; ข) -72; ง) -36.

6. ระบุความก้าวหน้าทางเรขาคณิตระหว่างลำดับเหล่านี้

ก) 6;18;54;162; ข)1;2;3;5; ค)3;8;13;18; ง) 21;19;17;15.

7. เทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร เทอมแรกคืออะไร
และตัวส่วน

ก) 15; ข) 45; ข) 135; ง) 75.

8. หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้า

และ)
ข) ที่)
ช)

9. ค้นหาพจน์ที่เจ็ดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งพจน์แรกคือ 8 และผลต่างคือ 0.5

ก) 11; ข) 10; ค) 10.5; ง) 9.5.

10. ค้นหาพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าพจน์ที่สองคือ 2.1 และความแตกต่างคือ 0.7

ก) 1.4; ข) 2.8; ค) 0.3; ง) 14.7.

ตัวเลือก 2

1. ลำดับใดคือความก้าวหน้าทางเลขคณิต?

ก) 1;2;4;8; ข) 8;10;13;17; ค) 2; 4; 6; 8; ง) -8;8;-8;8.และตัวส่วน

ก) -2; ข) -6; ที่ 2; ง)6.

ภาควิชาชีววิทยา.

งาน. แบคทีเรียครั้งหนึ่งในร่างกายแบ่งออกเป็น 2 ตัวเมื่อครบ 20 นาที ซึ่งแต่ละตัวจะถูกหารด้วย 2 อีกครั้งเมื่อครบ 20 นาที ฯลฯ แบคทีเรียจะอยู่ในร่างกายกี่ตัวในหนึ่งวัน?

ภาควิชาฟิสิกส์.

งาน. ลูกบอลที่กลิ้งในรางจะเคลื่อนที่ได้ 0.6 ม. ในวินาทีแรก และเพิ่มขึ้น 0.6 ม. ในแต่ละวินาทีต่อมา เขาจะใช้เวลาเดิน 6 เมตรนานแค่ไหน?

ภาควิชาเศรษฐศาสตร์.

งาน. ธนาคารจ่ายให้ 2% ต่อปี จำนวนเงินฝาก 800 Hryvnias สิ้นปีแต่ละปีจะเป็นเท่าใด สำหรับปีแรกหรือปีที่สองการเติบโตของเงินฝากมากขึ้น? ผลงานหลังจาก 3 ปีจะเป็นอย่างไร?

ภาควิชาประวัติศาสตร์และทฤษฎี

งาน. คนงานได้รับมอบหมายให้ขุดบ่อน้ำ สำหรับเมตรแรกที่ขุดลงไปในส่วนลึกของบ่อน้ำพวกเขาจะได้รับเงิน 50 r และสำหรับแต่ละเมตรที่ตามมาพวกเขาจะได้รับเงินมากกว่าค่าก่อนหน้านี้ 20 r คนงานจะได้รับเงินเท่าไร (ในรูเบิล) สำหรับการขุดบ่อน้ำ

12 ม

วรรณกรรม:

1. เปิดบทเรียน คณิตศาสตร์ 5,6,7,9,11 เซลล์ ฉบับที่ 2 ผู้แต่งผู้เรียบเรียง: Lyashova N.M. และอื่น ๆ โวลโกกราด: ครู, 2550-84

2. วิชาสัปดาห์ที่โรงเรียน คณิตศาสตร์ เรียบเรียงโดย: Goncharova L.V.

โวลโกกราด: อาจารย์ 2550-2556 น.

3. ซูคาเรว่า แอล.เอส. เกมการสอนในบทเรียนคณิตศาสตร์ 7-9 เซลล์ คาร์คอฟ: Osnova.2006-144p.