จำนวนอตรรกยะทั้งหมด จำนวนตรรกยะและอตรรกยะคืออะไร
จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ 
. Q คือเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด
จำนวนตรรกยะแบ่งออกเป็น: บวก ลบ และศูนย์
จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเชื่อมโยงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด ความสัมพันธ์ "ไปทางซ้าย" สำหรับจุดสอดคล้องกับความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สำหรับพิกัดของจุดเหล่านี้ จะเห็นได้ว่าทุกจำนวนลบมีค่าน้อยกว่าศูนย์และทุกจำนวนบวก ของจำนวนลบสองตัว ตัวที่มีโมดูลัสมากกว่ามีค่าน้อยกว่า ดังนั้น -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่เป็นงวดทศนิยมได้ ตัวอย่างเช่น, .
อัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการกับจำนวนตรรกยะเป็นไปตามกฎของสัญญาณสำหรับการดำเนินการที่สอดคล้องกันในเศษส่วนศูนย์และเศษส่วนบวก Q ทำการหารนอกเหนือจากการหารด้วยศูนย์
สมการเชิงเส้นใดๆ เช่น สมการของรูปแบบ ax+b=0 โดยที่ แก้ได้ในเซต Q แต่ไม่มีสมการกำลังสองของแบบฟอร์ม 
, แก้ได้ด้วยจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นพิกัดที่มีจุดตรรกยะ แม้ในปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล น. ในโรงเรียนของพีทาโกรัส ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สมกับความสูง ซึ่งเท่ากับข้อความที่ว่า "สมการไม่มีรากที่มีเหตุผล" จากทั้งหมดที่กล่าวมานำไปสู่ความจำเป็นในการขยายเซต Q แนวคิดของจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้ แสดงถึงชุดของจำนวนอตรรกยะด้วยตัวอักษร เจ
.
บนเส้นพิกัด ทุกจุดที่ไม่มีพิกัดตรรกยะจะมีพิกัดที่ไม่ลงตัว โดยที่ r คือเซตของจำนวนจริง เศษส่วนทศนิยมเป็นวิธีสากลในการระบุจำนวนจริง ทศนิยมเป็นระยะกำหนดจำนวนตรรกยะ และทศนิยมที่ไม่ใช่ระยะกำหนดจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น 2.03 (52) จึงเป็นจำนวนตรรกยะ 2.03003000300003 ... (ระยะเวลาของตัวเลขต่อไปนี้ "3" แต่ละตัวถูกเขียนขึ้นอีกหนึ่งศูนย์) เป็นจำนวนอตรรกยะ
เซต Q และ R มีคุณสมบัติเป็นบวก: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะ เช่น ecoi a สำหรับทุกจำนวนอตรรกยะ α
สามารถระบุการประมาณที่เป็นเหตุเป็นผลได้ทั้งในส่วนที่ขาดและส่วนที่เกินด้วยความแม่นยำ: a< α
การดำเนินการแยกรากจากจำนวนตรรกยะบางจำนวนนำไปสู่จำนวนอตรรกยะ การแยกรากของดีกรีธรรมชาติเป็นการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต กล่าวคือ บทนำเชื่อมต่อกับคำตอบของสมการพีชคณิตของรูปแบบ รากเลขคณิต (สำหรับความกระชับ คือ ราก) ของดีกรีที่ n ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ b ซึ่งเป็นรากของสมการ รากของดีกรีที่ n จากตัวเลข a แสดงด้วยสัญลักษณ์ สำหรับ n=2 ระดับของรูต 2 จะไม่ถูกระบุ: ตัวอย่างเช่น , เพราะ 2 2 =4 และ 2>0; , เพราะ 3 3 =27 และ 3>0; ไม่มีอยู่เพราะ -สี่<0. สำหรับ n=2k และ a>0 รากของสมการ (1) จะถูกเขียนเป็น และ ตัวอย่างเช่น รากของสมการ x 2 \u003d 4 คือ 2 และ -2 สำหรับ n คี่ สมการ (1) มีรูทเดียวสำหรับ . ถ้า a≥0 แล้ว - รากของสมการนี้ ถ้า<0, то –а>0 และ - รากของสมการ ดังนั้นสมการ x 3 \u003d 27 จึงมีราก คำจำกัดความของตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก ตัวเลขธรรมชาติใช้ในการนับวัตถุและเพื่อวัตถุประสงค์อื่นๆ มากมาย นี่คือตัวเลข: นี่คือชุดตัวเลขที่เป็นธรรมชาติ ผลรวมของจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การบวกจำนวนธรรมชาติ a และ b: ผลคูณของจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ a และ b: c เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ ความแตกต่างของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีจำนวนธรรมชาติเสมอไป หาก minuend มากกว่า subtrahend แสดงว่าผลต่างของจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนธรรมชาติ มิฉะนั้น จะไม่ใช่ ผลหารของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีจำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าสำหรับจำนวนธรรมชาติ a และ b โดยที่ c เป็นจำนวนธรรมชาติ หมายความว่า a หารด้วย b ลงตัว ในตัวอย่างนี้ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหาร ตัวหารของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติที่จำนวนแรกหารลงตัว จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนหารด้วย 1 และตัวมันเองลงตัว จำนวนธรรมชาติอย่างง่ายจะหารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น ในที่นี้เราหมายถึงการแตกแยกอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่าง หมายเลข 2; 3; 5; 7 หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น. เหล่านี้เป็นตัวเลขธรรมชาติอย่างง่าย ไม่ถือเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวเลขที่มากกว่า 1 และไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ ตัวอย่างของตัวเลขประกอบ: ไม่ถือเป็นจำนวนประกอบ เซตของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยหนึ่ง จำนวนเฉพาะ และจำนวนประกอบ ชุดของตัวเลขธรรมชาติแสดงด้วยตัวอักษรละติน N คุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติ: สมบัติการสลับของการบวก ทรัพย์สินร่วมของการบวก (a + b) + c = a + (b + c); สมบัติการสลับของการคูณ สมบัติสัมพันธ์ของการคูณ (ab)c = a(bc); คุณสมบัติการกระจายของการคูณ A (b + c) = ab + ac; จำนวนเต็มเป็นจำนวนธรรมชาติ ศูนย์และตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น 1; -2; -3; -4;... ชุดของจำนวนเต็มแสดงด้วยตัวอักษรละติน Z จำนวนตรรกยะเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนตามระยะได้ ตัวอย่าง: 1,(0); 3,(6); 0,(0);... จากตัวอย่างจะเห็นได้ว่าจำนวนเต็มใดๆ เป็นเศษส่วนคาบที่มีคาบเป็นศูนย์ จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ มาแทนเลข 3,(6) จากตัวอย่างที่แล้วเป็นเศษส่วนกัน การทำความเข้าใจตัวเลข โดยเฉพาะตัวเลขธรรมชาติ เป็นหนึ่งใน "ทักษะ" ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด อารยธรรมหลายแห่ง แม้แต่อารยธรรมสมัยใหม่ ได้กล่าวถึงคุณสมบัติลึกลับบางอย่างว่าเป็นตัวเลข เนื่องจากมีความสำคัญอย่างยิ่งในการอธิบายธรรมชาติ แม้ว่าวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์สมัยใหม่จะไม่ยืนยันคุณสมบัติ "มหัศจรรย์" เหล่านี้ แต่ความสำคัญของทฤษฎีจำนวนก็ปฏิเสธไม่ได้ ในอดีต ตัวเลขธรรมชาติจำนวนมากปรากฏขึ้นครั้งแรก จากนั้นไม่นานเศษส่วนและจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกก็ถูกเพิ่มเข้าไป เลขศูนย์และเลขลบถูกนำมาใช้หลังจากเซตย่อยของเซตของจำนวนจริงเหล่านี้ ชุดสุดท้าย ชุดของจำนวนเชิงซ้อน ปรากฏเฉพาะกับการพัฒนาของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ตัวเลขไม่ได้เรียงตามลำดับประวัติศาสตร์ แม้ว่าจะใกล้เคียงกันมากก็ตาม ชุดของจำนวนธรรมชาติมักแสดงเป็น $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ และมักจะถูกเติมด้วยศูนย์เพื่อแสดงถึง $\mathbb(N)_0$ $\mathbb(N)$ กำหนดการดำเนินการบวก (+) และการคูณ ($\cdot$) ด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับ $a,b,c\in \mathbb(N)$: 1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ ชุด $\mathbb(N)$ ถูกปิดภายใต้การบวกและการคูณ เนื่องจากชุด $\mathbb(N)$ มีองค์ประกอบเป็นกลางสำหรับการคูณ แต่ไม่ใช่สำหรับการบวก การเพิ่มศูนย์ในชุดนี้ทำให้มั่นใจได้ว่ามีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก นอกเหนือจากการดำเนินการทั้งสองนี้ ในชุด $\mathbb(N)$ ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ($ 1. $a b$ ทริโคโตมี ตัวอย่างจำนวนเต็ม: คำตอบของสมการ $a+x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ทราบ และ $x$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องมีการดำเนินการใหม่ - การลบ (-) ถ้ามีจำนวนธรรมชาติ $x$ ที่ตรงกับสมการนี้ แสดงว่า $x=b-a$ อย่างไรก็ตาม สมการเฉพาะนี้ไม่จำเป็นต้องมีคำตอบในชุด $\mathbb(N)$ ดังนั้น การพิจารณาในทางปฏิบัติจึงจำเป็นต้องขยายเซตของจำนวนธรรมชาติในลักษณะที่จะรวมคำตอบของสมการดังกล่าว สิ่งนี้นำไปสู่การแนะนำชุดของจำนวนเต็ม: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$ ตั้งแต่ $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ มันมีเหตุผลที่จะถือว่าการดำเนินการก่อนหน้านี้ $+$ และ $\cdot$ และความสัมพันธ์ $ 1. $0+a=a+0=a$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการเพิ่มเติม 5. ทรัพย์สิน: ชุด $\mathbb(Z) $ ยังปิดภายใต้การลบ นั่นคือ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$ ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ: ตอนนี้ให้พิจารณาสมการของรูปแบบ $a\cdot x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มรู้จักและไม่ทราบ $x$ เพื่อให้การแก้ปัญหาเป็นไปได้ จำเป็นต้องแนะนำการดำเนินการหาร ($:$) และโซลูชันจะกลายเป็น $x=b:a$ นั่นคือ $x=\frac(b)(a)$ อีกครั้ง ปัญหาเกิดขึ้นที่ $x$ ไม่ได้เป็นของ $\mathbb(Z)$ เสมอไป ดังนั้น ชุดของจำนวนเต็มจะต้องถูกขยายออกไป ดังนั้น เราจึงแนะนำชุดของจำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$ ที่มีองค์ประกอบ $\frac(p)(q)$ โดยที่ $p\in \mathbb(Z)$ และ $q\in \mathbb(N) $. ชุด $\mathbb(Z)$ เป็นเซตย่อยที่แต่ละองค์ประกอบ $q=1$ ดังนั้น $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ และการดำเนินการของการบวกและการคูณก็นำไปใช้กับชุดนี้ด้วย ตามกฎต่อไปนี้ ซึ่งจะรักษาคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมดไว้ในชุด $\mathbb(Q)$: มีการป้อนส่วนดังนี้: ในชุด $\mathbb(Q)$ สมการ $a\cdot x=b$ มีคำตอบเฉพาะสำหรับแต่ละ $a\neq 0$ (ไม่มีการหารด้วยศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีองค์ประกอบผกผัน $\frac(1)(a)$ หรือ $a^(-1)$: ลำดับของชุด $\mathbb(Q)$ สามารถขยายได้ดังนี้: เซต $\mathbb(Q)$ มีคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่ง: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะที่อยู่ติดกันสองตัว ตรงกันข้ามกับเซตของจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ: เนื่องจากมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายนับไม่ถ้วนระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสรุปอย่างผิดพลาดว่าเซตของจำนวนตรรกยะนั้นหนาแน่นมากจนไม่จำเป็นต้องขยายเพิ่มเติมอีก แม้แต่ปีทาโกรัสก็เคยทำผิดพลาด อย่างไรก็ตาม ผู้ร่วมสมัยของเขาได้หักล้างข้อสรุปนี้แล้วเมื่อศึกษาคำตอบของสมการ $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) บนเซตของจำนวนตรรกยะ ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดของสแควร์รูท จากนั้นคำตอบของสมการนี้มีรูปแบบ $x=\sqrt(2)$ สมการประเภท $x^2=a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะที่รู้จัก และ $x$ เป็นจำนวนที่ไม่รู้จัก ไม่มีคำตอบในชุดของจำนวนตรรกยะเสมอไป เพื่อขยายชุด ชุดของจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้น และตัวเลขเช่น $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... อยู่ในชุดนี้ การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง เนื่องจาก $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ จึงมีเหตุผลอีกครั้งที่จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่แนะนำยังคงคุณสมบัติไว้ในชุดใหม่ การพิสูจน์อย่างเป็นทางการของสิ่งนี้เป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นคุณสมบัติข้างต้นของการดำเนินการเลขคณิตและความสัมพันธ์ของเซตของจำนวนจริงจึงถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ ในพีชคณิต วัตถุดังกล่าวเรียกว่าสนาม ดังนั้นชุดของจำนวนจริงจึงเรียกว่าฟิลด์ที่มีลำดับ เพื่อให้คำจำกัดความของเซตของจำนวนจริงสมบูรณ์ จำเป็นต้องแนะนำสัจพจน์เพิ่มเติมที่แยกเซต $\mathbb(Q)$ และ $\mathbb(R)$ สมมติว่า $S$ เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของเซตของจำนวนจริง องค์ประกอบ $b\in \mathbb(R)$ เรียกว่าขอบเขตบนของ $S$ ถ้า $\forall x\in S$ เป็นไปตาม $x\leq b$ จากนั้นชุด $S$ จะถูก จำกัด จากด้านบน ขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของชุด $S$ เรียกว่า supremum และแสดงด้วย $\sup S$ แนวความคิดของขอบเขตล่าง ชุดขอบเขตด้านล่าง และ infinum $\inf S$ ในทำนองเดียวกัน ตอนนี้สัจพจน์ที่หายไปมีการกำหนดดังนี้: การไม่เว้นว่างและถูกจำกัดจากเซตย่อยข้างต้นของเซตของจำนวนจริงมียอดสูงสุด ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อน: เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือคู่ของจำนวนจริงที่เรียงลำดับกัน นั่นคือ $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ ซึ่งการดำเนินการของการบวกและ การคูณถูกกำหนดดังนี้: มีหลายวิธีในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือ $z=a+ib$ โดยที่ $(a,b)$ เป็นจำนวนจริงคู่หนึ่ง และจำนวน $i=(0,1)$ เรียกว่า หน่วยจินตภาพ มันง่ายที่จะแสดงว่า $i^2=-1$ ส่วนขยายของเซต $\mathbb(R)$ ไปเป็นเซต $\mathbb(C)$ ทำให้เราสามารถกำหนดรากที่สองของจำนวนลบ ซึ่งเป็นสาเหตุของการแนะนำเซตของจำนวนเชิงซ้อน นอกจากนี้ยังง่ายต่อการแสดงว่าชุดย่อยของชุด $\mathbb(C)$ ที่กำหนดเป็น $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ ตอบสนองทั้งหมด สัจพจน์ของจำนวนจริง ดังนั้น $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ หรือ $R\subset\mathbb(C)$ โครงสร้างพีชคณิตของเซต $\mathbb(C)$ เกี่ยวกับการดำเนินการของการบวกและการคูณมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: เนื้อหาของบทความนี้เป็นข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับ จำนวนอตรรกยะ. อันดับแรก เราจะให้คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะและอธิบาย ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของจำนวนอตรรกยะ สุดท้าย มาดูวิธีการบางอย่างในการค้นหาว่าจำนวนที่กำหนดนั้นไม่ลงตัวหรือไม่ การนำทางหน้า ในการศึกษาเศษส่วนทศนิยม เราแยกพิจารณาเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดแบบอนันต์ เศษส่วนดังกล่าวเกิดขึ้นในการวัดทศนิยมของความยาวของส่วนที่ไม่สามารถเทียบได้กับส่วนเดียว นอกจากนี้เรายังตั้งข้อสังเกตด้วยว่าเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดแบบอนันต์ไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ (ดูการแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน) ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่เป็นตัวแทนของจำนวนอตรรกยะที่เรียกว่า เราก็เลยมา นิยามของจำนวนอตรรกยะ. คำนิยาม. ตัวเลขที่อยู่ในเครื่องหมายทศนิยมแทนเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เกิดซ้ำเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ.
ความหมายเสียงช่วยให้นำ ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ. ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นระยะอนันต์ 4.10110011100011110000… (จำนวนหนึ่งและศูนย์เพิ่มขึ้นครั้งละหนึ่ง) เป็นจำนวนอตรรกยะ ให้อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะ: −22.353335333335 ... (จำนวนสามตัวที่แยกแปดตัวเพิ่มขึ้นสองครั้งในแต่ละครั้ง) ควรสังเกตว่าจำนวนอตรรกยะค่อนข้างหายากในรูปแบบของเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวด โดยปกติแล้วจะพบได้ในรูปแบบ ฯลฯ รวมทั้งในรูปแบบของจดหมายแนะนำพิเศษ ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของจำนวนอตรรกยะในสัญกรณ์ดังกล่าว ได้แก่ รากที่สองของเลขคณิต เลข "pi" π=3.141592... ตัวเลข e=2.718281... และตัวเลขสีทอง จำนวนอตรรกยะสามารถกำหนดได้ในรูปของจำนวนจริง ซึ่งรวมจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ คำนิยาม.
จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นตรรกยะ เมื่อให้ตัวเลขไม่ใช่เศษส่วนทศนิยม แต่เป็นรูทบางตัว ลอการิทึม ฯลฯ ในหลายกรณี ค่อนข้างยากที่จะตอบคำถามว่ามันไม่สมเหตุสมผลหรือไม่ ไม่ต้องสงสัยเลย ในการตอบคำถามที่ตั้งไว้ จะมีประโยชน์มากที่จะรู้ว่าตัวเลขใดไม่สมเหตุสมผล จากนิยามของจำนวนอตรรกยะที่ว่าจำนวนตรรกยะไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงไม่ใช่: นอกจากนี้ องค์ประกอบของจำนวนตรรกยะใดๆ ที่เชื่อมต่อด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการเลขคณิต (+, −, ·, :) ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ นี่เป็นเพราะผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของจำนวนตรรกยะสองจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์และเป็นจำนวนตรรกยะ ที่นี่เราสังเกตว่าหากในนิพจน์ดังกล่าวระหว่างจำนวนตรรกยะมีจำนวนอตรรกยะเพียงตัวเดียว ค่าของนิพจน์ทั้งหมดจะเป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ ตัวเลขเป็นจำนวนอตรรกยะ และตัวเลขที่เหลือเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ หากเป็นจำนวนตรรกยะ ความมีเหตุมีผลของจำนวนก็จะตามมาจากนี้ แต่มันไม่ใช่จำนวนตรรกยะ หากนิพจน์ที่ให้ตัวเลขประกอบด้วยจำนวนอตรรกยะ เครื่องหมายรูต ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวเลข π, e ฯลฯ หลายจำนวน จะต้องพิสูจน์ความไร้เหตุผลหรือความเป็นเหตุเป็นผลของจำนวนที่ระบุในแต่ละกรณี อย่างไรก็ตาม มีผลลัพท์ที่ได้อยู่แล้วจำนวนหนึ่งที่สามารถใช้ได้ มาดูรายการหลักกัน ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ารากที่ k ของจำนวนเต็มนั้นเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อจำนวนที่อยู่ใต้รากนั้นเป็นกำลังที่ k ของจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง ในกรณีอื่นๆ รากดังกล่าวกำหนดจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขและไม่ลงตัว เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มที่มีกำลังสองคือ 7 และไม่มีจำนวนเต็มที่เพิ่มเป็นยกกำลังที่ 5 ให้จำนวน 15 และจำนวนและไม่อตรรกยะตั้งแต่ และ . สำหรับลอการิทึมนั้น บางครั้งสามารถพิสูจน์ความไร้เหตุผลได้ด้วยความขัดแย้ง ตัวอย่างเช่น ลองพิสูจน์ว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ สมมุติว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ นั่นคือ มันสามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ m/n . และให้เราเขียนห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: . ความเสมอภาคสุดท้ายเป็นไปไม่ได้เพราะอยู่ทางซ้าย เลขคี่และแม้กระทั่งทางด้านขวา เราจึงเกิดข้อขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเรากลับกลายเป็นว่าผิด และนี่พิสูจน์ว่าล็อก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ โปรดทราบว่า lna สำหรับจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกและไม่ใช่หน่วย a เป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น และ เป็นจำนวนอตรรกยะ นอกจากนี้ยังพิสูจน์ได้ว่าจำนวน e a เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ และจำนวน π z เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับจำนวนเต็ม z ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขไม่ลงตัว จำนวนอตรรกยะยังเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin , cos , tg และ ctg สำหรับค่าที่เป็นตรรกยะและไม่เป็นศูนย์ของอาร์กิวเมนต์ ตัวอย่างเช่น sin1 , tg(−4) , cos5,7 เป็นจำนวนอตรรกยะ มีผลลัพธ์อื่นๆ ที่พิสูจน์แล้ว แต่เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในรายการที่มีอยู่แล้ว ควรกล่าวด้วยว่าในการพิสูจน์ผลลัพธ์ข้างต้น ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับ เลขพีชคณิตและ ตัวเลขเหนือธรรมชาติ. โดยสรุป เราทราบว่าไม่ควรสรุปอย่างเร่งด่วนเกี่ยวกับความไร้เหตุผลของตัวเลขที่ให้มา ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่าจำนวนอตรรกยะถึงดีกรีอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป เพื่อยืนยันข้อเท็จจริงที่เปล่งออกมา เราขอเสนอปริญญา เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า - จำนวนอตรรกยะและยังพิสูจน์ได้ว่า - จำนวนอตรรกยะ แต่ - จำนวนตรรกยะ คุณยังสามารถยกตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ ยิ่งไปกว่านั้น ความสมเหตุสมผลหรือความไร้เหตุผลของตัวเลข π+e , π−e , π e , π π , π e และอื่นๆ อีกมากมายยังไม่ได้รับการพิสูจน์ บรรณานุกรม.
. ถ้า n เป็นเลขคี่ เช่น n=2k+1 โดยที่ สมการจะมีรากเดียว ถ้า n เป็นเลขคู่ n=2k โดยที่ สำหรับ a=0 สมการจะมีรากเดียว x=0 สำหรับ a<0 корней нет, при a>0 มีสองรากที่อยู่ตรงข้ามกัน การถอนรากเป็นการดำเนินการย้อนกลับของการเพิ่มพลังธรรมชาติจำนวนเต็ม
ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ? ไม่ ศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ
มีเลขธรรมชาติกี่ตัว? มีเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอนันต์
จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคืออะไร? หนึ่งคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด
จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร? ไม่สามารถระบุได้ เนื่องจากมีเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอนันต์จำนวนทั้งหมด
สรุปตัวเลข
ตัวเลขธรรมชาติ $\mathbb(N)$
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ การสับเปลี่ยน
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ การเชื่อมโยง
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ การกระจาย
5. $a\cdot 1=a$ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ
2. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq a$ แล้ว $a=b$ จะเป็นแอนติสมมาตร
3. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq c$ แล้ว $a\leq c$ จะเป็นสกรรมกริยา
4. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a+c\leq b+c$
5. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a\cdot c\leq b\cdot c$จำนวนเต็ม $\mathbb(Z)$
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ มีตัวเลขตรงข้าม $-a$ สำหรับ $a$
5. ถ้า $0\leq a$ และ $0\leq b$ แล้ว $0\leq a\cdot b$จำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
$\frac(p_1)(q_1)จำนวนอตรรกยะ $\mathbb(I)$
$0.333333...$
$\sqrt(2) \ประมาณ 1.41422135...$
$\pi \ประมาณ 3.1415926535...$จำนวนจริง $\mathbb(R)$
นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟิลด์ของจำนวนจริงที่กำหนดไว้ข้างต้นนั้นไม่ซ้ำกันจำนวนเชิงซ้อน$\mathbb(C)$
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ โดยที่ $i = \sqrt(-1)$ หรือ $i^2 = -1$
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
1. การสลับสับเปลี่ยนของการบวกและการคูณ
2. การเชื่อมโยงของการบวกและการคูณ
3. $0+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการเพิ่มเติม
4. $1+i0$ - องค์ประกอบเป็นกลางสำหรับการคูณ
5. การคูณเป็นการแจกแจงด้วยการบวก
6. มีองค์ประกอบผกผันเดียวสำหรับทั้งการบวกและการคูณความหมายและตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ
ตัวเลขนี้ไม่สมเหตุสมผลหรือไม่?
ลุงวันยา พล็อตเรื่อง “ลุงอีวาน ทัศนคติต่ออาจารย์ของผู้อื่น
Tsakhes น้อยชื่อเล่น Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - ชีวประวัติสั้น