ค่าบาปทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ก่อนอื่น ให้ฉันเตือนคุณเกี่ยวกับข้อสรุปง่ายๆ แต่มีประโยชน์มากจากบทเรียน "ไซน์และโคไซน์คืออะไร แทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออะไร"

นี่คือผลลัพธ์นั้น:

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เชื่อมต่อกันแน่นกับมุมของพวกมัน เรารู้สิ่งหนึ่ง เราจึงรู้อีกสิ่งหนึ่ง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละมุมมีไซน์และโคไซน์คงที่ของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเอง ทำไม เกือบ?เพิ่มเติมเกี่ยวกับด้านล่าง

ความรู้นี้จะช่วยคุณได้มาก! มีงานมากมายที่คุณต้องเปลี่ยนจากไซน์เป็นมุมและในทางกลับกัน สำหรับสิ่งนี้มี ตารางไซน์ในทำนองเดียวกันสำหรับงานที่มีโคไซน์ - ตารางโคไซน์และคุณเดาได้ว่ามี ตารางสัมผัสและ ตารางโคแทนเจนต์)

ตารางจะแตกต่างกัน ตัวยาวที่คุณเห็นอะไรพูดว่า sin37 ° 6 'เท่ากับ เราเปิดตาราง Bradis มองหามุม 37 องศา 6 ลิปดา และเห็นค่า 0.6032 แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องจำตัวเลขนี้ (และค่าตารางอื่นๆ อีกหลายพันค่า)

ในความเป็นจริง ในยุคของเรา ตารางยาวของโคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ไม่จำเป็นจริงๆ เครื่องคิดเลขที่ดีเพียงเครื่องเดียวก็แทนที่มันได้อย่างสมบูรณ์ แต่ก็ไม่เจ็บที่จะรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของตารางดังกล่าว เพื่อความรู้ทั่วไป)

แล้วทำไมบทเรียนนี้? - คุณถาม.

แต่ทำไม. ในจำนวนมุมที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นมีอยู่ พิเศษ,ที่คุณควรรู้ ทั้งหมด. เรขาคณิตและตรีโกณมิติของโรงเรียนทั้งหมดสร้างขึ้นจากมุมเหล่านี้ นี่คือ "สูตรคูณ" ชนิดหนึ่งของตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณไม่รู้ว่า sin50° เท่ากับอะไร จะไม่มีใครตัดสินคุณ) แต่ถ้าคุณไม่รู้ว่า sin30° เท่ากับอะไร ก็เตรียมตัวรับผีสางที่สมน้ำสมเนื้อได้เลย...

เช่น พิเศษมุมยังพิมพ์อย่างเหมาะสม หนังสือเรียนมักจะเสนอให้ท่องจำ ตารางไซน์และตารางโคไซน์เป็นเวลาสิบเจ็ดมุม และแน่นอนว่า, ตารางแทนเจนต์และตารางโคแทนเจนต์สำหรับสิบเจ็ดมุมเดียวกัน... นั่นคือ เสนอให้จำค่า 68 ค่า ซึ่งโดยวิธีการคล้ายกันมากทำซ้ำและเปลี่ยนสัญญาณเป็นระยะ ๆ สำหรับคนที่ไม่มีหน่วยความจำภาพในอุดมคติ - นั่นเป็นงานอื่น ... )

เราจะไปทางอื่น มาแทนที่การท่องจำเชิงกลด้วยตรรกะและความเฉลียวฉลาด จากนั้นเราต้องจำค่า 3 (สาม!) สำหรับตารางไซน์และตารางโคไซน์ และ 3 (สาม!) ค่าสำหรับตารางแทนเจนต์และตารางโคแทนเจนต์ และนั่นแหล่ะ หกค่าจำง่ายกว่า 68 นะผมว่า...)

อื่น ค่าที่จำเป็นเราจะออกจากหกเหล่านี้ด้วยเอกสารโกงทางกฎหมายที่ทรงพลัง - วงกลมตรีโกณมิติ หากคุณยังไม่ได้ศึกษาหัวข้อนี้ ไปที่ลิงค์ อย่าขี้เกียจ วงกลมนี้ไม่ได้มีไว้สำหรับบทเรียนนี้เท่านั้น เขาไม่สามารถถูกแทนที่ได้ สำหรับตรีโกณมิติทั้งหมดในครั้งเดียว. การไม่ใช้เครื่องมือดังกล่าวถือเป็นบาป! คุณไม่ต้องการ? นั่นคือธุรกิจของคุณ จดจำ ตารางไซน์ ตารางโคไซน์ ตารางแทนเจนต์ ตารางโคแทนเจนต์ค่ามุมต่างๆ ทั้งหมด 68 ค่า)

มาเริ่มกันเลย เริ่มต้นด้วยการแบ่งมุมพิเศษเหล่านี้ออกเป็นสามกลุ่ม

กลุ่มแรกของมุม

พิจารณากลุ่มแรก มุมสิบเจ็ด พิเศษ. มี 5 มุม: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°

นี่คือลักษณะของตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมเหล่านี้:

มุม x (เป็นองศา)	0	90	180	270	360
มุม x (เป็นเรเดียน)	0
บาป x	0	1	0	-1	0
เพราะ x	1	0	-1	0	1
ทีจีเอ็กซ์	0	ไม่ใช่คำนาม	0	ไม่ใช่คำนาม	0
ctg x	ไม่ใช่คำนาม	0	ไม่ใช่คำนาม	0	ไม่ใช่คำนาม

ผู้ที่ต้องการจำ - จำ แต่ฉันต้องบอกทันทีว่าสิ่งเหล่านี้และเลขศูนย์ในหัวของฉันสับสนมาก แข็งแกร่งกว่าที่คุณต้องการมาก) ดังนั้นเราจึงเปิดลอจิกและวงกลมตรีโกณมิติ

เราวาดวงกลมและทำเครื่องหมายมุมเดียวกันนี้: 0°, 90°, 180°, 270°, 360° ฉันทำเครื่องหมายที่มุมเหล่านี้ด้วยจุดสีแดง:

คุณจะเห็นได้ทันทีว่าลักษณะเฉพาะของมุมเหล่านี้คืออะไร ใช่! นี่คือมุมที่ตก บนแกนพิกัด!จริงๆแล้วนั่นเป็นสาเหตุที่ผู้คนสับสน ... แต่เราจะไม่สับสน ลองหาวิธีหาฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้โดยไม่ต้องท่องจำมาก

อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งของมุมคือ 0 องศา ตรงกันอย่างสมบูรณ์ด้วยมุม 360 องศา ซึ่งหมายความว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้เหมือนกันทุกประการ ฉันทำเครื่องหมายมุม 360 องศาเพื่อทำให้วงกลมสมบูรณ์

สมมติว่าในสภาพแวดล้อมที่ตึงเครียดของการสอบ Unified State คุณสงสัย ... อะไรนะ เท่ากับไซน์ 0 องศา? ดูเหมือนว่าเป็นศูนย์ ... แล้วถ้าเป็นหน่วยล่ะ! หน่วยความจำเชิงกลเป็นสิ่งนั้น ในสภาวะที่ไม่เอื้ออำนวยความสงสัยเริ่มแทะ ... )

ใจเย็น สงบเท่านั้น!) ฉันจะบอกคุณ เทคนิคการปฏิบัติซึ่งจะให้คำตอบที่ถูกต้อง 100% และขจัดข้อสงสัยทั้งหมดอย่างสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น ลองหาวิธีกำหนดไซน์ของ 0 องศาอย่างชัดเจนและเชื่อถือได้ และในเวลาเดียวกัน โคไซน์ 0 มันอยู่ในค่าเหล่านี้ แปลกพอที่คนมักจะสับสน

ในการทำเช่นนี้ให้วาดเป็นวงกลม ตามอำเภอใจมุม เอ็กซ์. ในไตรมาสแรกเพื่อไม่ให้ห่างจาก 0 องศา สังเกตแกนของไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เอ็กซ์,ทุกอย่างเป็นชินาร์ แบบนี้:

และตอนนี้ - ความสนใจ! ลดมุม เอ็กซ์ให้นำด้านที่เคลื่อนที่ได้ไปที่แกน โอ้. วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) แล้วดูทุกอย่าง

ตอนนี้เปิดตรรกะพื้นฐาน!.ดูและคิดว่า: sinx ทำงานอย่างไรเมื่อมุม x ลดลง เมื่อมุมเข้าใกล้ศูนย์?มันหด! และ cosx - เพิ่มขึ้น!มันยังคงคิดอยู่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับไซน์เมื่อมุมยุบลงอย่างสมบูรณ์? เมื่อใดที่ด้านที่กำลังเคลื่อนที่ของมุม (จุด A) ตกลงบนแกน OX และมุมจะเท่ากับศูนย์ เห็นได้ชัดว่าไซน์ของมุมจะเป็นศูนย์เช่นกัน และโคไซน์จะเพิ่มขึ้นเป็น ... ถึง ... ความยาวของด้านเคลื่อนที่ของมุม (รัศมีของวงกลมตรีโกณมิติ) เป็นเท่าใด ความสามัคคี!

นี่คือคำตอบ ไซน์ของ 0 องศาคือ 0 โคไซน์ของ 0 องศาคือ 1 หุ้มเกราะอย่างแน่นอนและไม่ต้องสงสัยเลย!) เพียงเพราะไม่เช่นนั้น มันเป็นไปไม่ได้.

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถค้นหา (หรือชี้แจง) ไซน์ของ 270 องศาได้ หรือโคไซน์ 180 วาดวงกลม ตามอำเภอใจมุมหนึ่งในสี่ถัดจากแกนพิกัดที่เราสนใจ ขยับด้านข้างของมุมทางจิตใจและจับว่าไซน์และโคไซน์จะกลายเป็นอะไรเมื่อด้านข้างของมุมตกลงบนแกน นั่นคือทั้งหมด

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องจดจำอะไรสำหรับกลุ่มมุมนี้ ไม่จำเป็นที่นี่ ตารางไซน์...ใช่และ ตารางโคไซน์- เช่นกัน) อย่างไรก็ตามหลังจากใช้วงกลมตรีโกณมิติหลายครั้งค่าทั้งหมดเหล่านี้จะถูกจดจำด้วยตัวเอง และถ้าพวกเขาลืม ฉันจะวาดวงกลมใน 5 วินาทีและอธิบายให้ชัดเจน ง่ายกว่าโทรหาเพื่อนจากห้องน้ำโดยเสี่ยงใบรับรองใช่ไหม)

สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ทุกอย่างเหมือนกัน เราวาดเส้นสัมผัส (โคแทนเจนต์) บนวงกลม - และทุกอย่างจะมองเห็นได้ทันที โดยที่พวกมันมีค่าเท่ากับศูนย์และไม่มีอยู่จริง อะไรนะ คุณไม่รู้เกี่ยวกับเส้นสัมผัสและโคแทนเจนต์เหรอ? สิ่งนี้น่าเศร้า แต่แก้ไขได้) เยี่ยมชมมาตรา 555 แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในวงกลมตรีโกณมิติ - และไม่มีปัญหา!

หากคุณเข้าใจวิธีนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมทั้งห้านี้อย่างชัดเจน ยินดีด้วย! ในกรณีที่ฉันแจ้งให้คุณทราบว่าตอนนี้คุณสามารถกำหนดฟังก์ชันได้แล้ว มุมใดๆ ที่ตกลงบนแกนและนี่คือ 450° และ 540° และ 1800° และแม้แต่จำนวนอนันต์ ... ) ฉันนับ (ถูกต้อง!) มุมบนวงกลม - และไม่มีปัญหากับฟังก์ชั่น

แต่ด้วยการนับมุมปัญหาและข้อผิดพลาดก็เกิดขึ้น ... วิธีหลีกเลี่ยงสิ่งเหล่านี้เขียนไว้ในบทเรียน: วิธีวาด (นับ) มุมใด ๆ บนวงกลมตรีโกณมิติเป็นองศา พื้นฐาน แต่มีประโยชน์มากในการต่อสู้กับข้อผิดพลาด)

และนี่คือบทเรียน: วิธีวาด (นับ) มุมใด ๆ บนวงกลมตรีโกณมิติเป็นเรเดียน - มันจะกะทันหันกว่านี้ ในแง่ของความเป็นไปได้ สมมติว่าพิจารณาว่ามุมใดในเซมิแอกเชียลทั้งสี่มุมตรงกัน

คุณทำได้ในไม่กี่วินาที ฉันไม่ได้ล้อเล่น! เพียงไม่กี่วินาที แน่นอนว่าไม่ใช่แค่ 345 "pi" ... ) และ 121 และ 16 และ -1345 ค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มใด ๆ นั้นดีสำหรับคำตอบทันที

จะเป็นอย่างไรถ้ามุม

คิด! คำตอบที่ถูกต้องจะได้รับใน 10 วินาที สำหรับใด ๆ ค่าเศษส่วนเรเดียนที่มีตัวส่วนเป็นสอง

ที่จริงนี่เป็นสิ่งที่ดี วงกลมตรีโกณมิติ. ความจริงที่ว่าความสามารถในการทำงานด้วย บางมุมจะขยายโดยอัตโนมัติ ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด มุม

ดังนั้นด้วยห้ามุมจากสิบเจ็ด - คิดออก

มุมกลุ่มที่สอง

กลุ่มต่อไปมุมคือ 30°, 45° และ 60° ทำไมสิ่งเหล่านี้ไม่ใช่เช่น 20, 50 และ 80 ใช่มันเกิดขึ้นแบบนี้ ... ในอดีต) ต่อไปจะเห็นว่ามุมเหล่านี้ดีแค่ไหน

ตารางของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์สำหรับมุมเหล่านี้มีลักษณะดังนี้:

มุม x (เป็นองศา)	0	30	45	60	90
มุม x (เป็นเรเดียน)	0
บาป x	0				1
เพราะ x	1				0
ทีจีเอ็กซ์	0		1		ไม่ใช่คำนาม
ctg x	ไม่ใช่คำนาม		1		0

ฉันทิ้งค่าไว้ที่ 0° และ 90° จากตารางก่อนหน้าเพื่อความสมบูรณ์) เพื่อให้ชัดเจนว่ามุมเหล่านี้อยู่ในไตรมาสแรกและเพิ่มขึ้น จาก 0 ถึง 90 สิ่งนี้จะเป็นประโยชน์กับเราต่อไป

ต้องจดจำค่าตารางสำหรับมุม 30°, 45° และ 60° ขีดข่วนถ้าคุณต้องการ แต่ที่นี่ก็มีโอกาสที่จะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นสำหรับตัวคุณเอง) ให้ความสนใจกับ ค่าตารางไซน์มุมเหล่านี้ และเปรียบเทียบกับ ค่าตารางโคไซน์...

ใช่! พวกเขาคือ เดียวกัน!อยู่เฉพาะใน ลำดับย้อนกลับ. มุมเพิ่มขึ้น (0, 30, 45, 60, 90) - และค่าไซน์ เพิ่มจาก 0 ถึง 1 คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยเครื่องคิดเลข และค่าโคไซน์ - ลดจาก 1 ถึงศูนย์ นอกจากนี้ค่าตัวเอง เดียวกัน.สำหรับมุม 20, 50, 80 สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น...

ดังนั้นข้อสรุปที่เป็นประโยชน์ พอที่จะเรียนรู้ สามค่าสำหรับมุม 30, 45, 60 องศา และจำไว้ว่าพวกมันเพิ่มขึ้นในไซน์ และลดลงในโคไซน์ ไปทางไซน์) พบกันครึ่งทาง (45°) เช่น ไซน์ของ 45 องศาเท่ากับโคไซน์ของ 45 องศา แล้วพวกเขาก็แยกทางกันอีกครั้ง ... สามความหมายสามารถเรียนรู้ได้ใช่ไหม?

ด้วยแทนเจนต์ - โคแทนเจนต์ รูปภาพจะเหมือนกันโดยเฉพาะ หนึ่งต่อหนึ่ง. เฉพาะค่าที่แตกต่างกัน จำเป็นต้องเรียนรู้ค่าเหล่านี้ (อีกสามค่า!)

การท่องจำเกือบทั้งหมดจบลงแล้ว คุณเข้าใจ (หวังว่า) วิธีกำหนดค่าสำหรับมุมทั้งห้าที่อยู่บนแกนและเรียนรู้ค่าสำหรับมุม 30, 45, 60 องศา รวม 8.

ยังคงต้องจัดการกับกลุ่ม 9 มุมสุดท้าย

นี่คือมุม:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. สำหรับมุมเหล่านี้ คุณจำเป็นต้องรู้ตารางเหล็กของไซน์ ตารางโคไซน์ ฯลฯ

ฝันร้ายใช่ไหม)

และถ้าคุณเพิ่มมุมที่นี่ เช่น: 405 °, 600 ° หรือ 3000 ° และอีกมากมาย หลายมุมที่สวยงามเหมือนกัน?)

หรือมุมเป็นเรเดียน? ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับมุม:

และอีกมากมายที่คุณควรรู้ ทั้งหมด.

สิ่งที่สนุกที่สุดคือการรู้ ทั้งหมด - เป็นไปไม่ได้ในหลักการหากคุณใช้หน่วยความจำเครื่องกล

และมันง่ายมาก เป็นระดับเบื้องต้น - ถ้าคุณใช้วงกลมตรีโกณมิติ หากคุณได้ลงมือปฏิบัติจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ มุมที่น่ากลัวเหล่านั้นในหน่วยองศาจะลดลงอย่างง่ายดายและสวยงามให้เหลือเท่าเดิม:

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

แนวคิดของไซน์ (), โคไซน์ (), แทนเจนต์ (), โคแทนเจนต์ () มีความเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับแนวคิดของมุม เพื่อทำความเข้าใจแนวคิดที่ซับซ้อนเหล่านี้ในแวบแรก (ซึ่งทำให้เกิดสภาพสยองขวัญในเด็กนักเรียนหลายคน) และเพื่อให้แน่ใจว่า "ปีศาจไม่น่ากลัวเท่าที่เขาวาด" เริ่มจากจุดเริ่มต้น และเข้าใจแนวคิดของมุม

แนวคิดของมุม: เรเดียน, องศา

ลองดูที่ภาพ เวกเตอร์ "หัน" สัมพันธ์กับจุดด้วยจำนวนที่แน่นอน ดังนั้นการวัดการหมุนนี้เทียบกับตำแหน่งเริ่มต้นจะเป็น มุม.

คุณต้องรู้อะไรอีกบ้างเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องมุม แน่นอนว่าหน่วยของมุม!

มุม ทั้งในรูปทรงเรขาคณิตและตรีโกณมิติ สามารถวัดเป็นองศาและเรเดียนได้

เรียกว่ามุม (หนึ่งองศา) มุมกลางเป็นวงกลม โดยอิงจากส่วนโค้งวงกลมเท่ากับส่วนหนึ่งของวงกลม ดังนั้น วงกลมทั้งหมดจึงประกอบด้วย "ชิ้นส่วน" ของส่วนโค้งวงกลม หรือมุมที่วงกลมอธิบายไว้มีค่าเท่ากัน

นั่นคือ รูปด้านบนแสดงมุมที่เท่ากัน นั่นคือ มุมนี้ขึ้นอยู่กับส่วนโค้งวงกลมที่มีขนาดของเส้นรอบวง

มุมในเรเดียนเรียกว่ามุมศูนย์กลางในวงกลม โดยขึ้นอยู่กับส่วนโค้งของวงกลม ซึ่งความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม เข้าใจแล้วใช่ไหม? ถ้าไม่อย่างนั้นเรามาดูรูปกัน

ดังนั้น รูปแสดงมุมเท่ากับเรเดียน นั่นคือ มุมนี้ขึ้นอยู่กับส่วนโค้งวงกลม ซึ่งความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม (ความยาวเท่ากับความยาวหรือรัศมี เท่ากับความยาวส่วนโค้ง) ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งจึงคำนวณโดยสูตร:

มุมศูนย์กลางในหน่วยเรเดียนอยู่ที่ไหน

เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว คุณจะตอบได้ไหมว่าวงกลมมีมุมกี่เรเดียน ใช่ สำหรับสิ่งนี้คุณต้องจำสูตรสำหรับเส้นรอบวงของวงกลม เธออยู่ที่นั่น:

ตอนนี้เรามาเชื่อมโยงสูตรทั้งสองนี้เข้าด้วยกันและรับว่ามุมที่วงกลมอธิบายไว้นั้นเท่ากัน นั่นคือเราได้รับความสัมพันธ์ระหว่างค่าในองศาและเรเดียน ตามลำดับ. อย่างที่คุณเห็น คำว่า "เรเดียน" นั้นไม่เหมือนกับ "องศา" เนื่องจากหน่วยวัดมักจะชัดเจนจากบริบท

เท่ากับกี่เรเดียน? ถูกตัอง!

เข้าใจแล้ว? จากนั้นกรอไปข้างหน้า:

ความยากลำบากใด ๆ ? จากนั้นดู คำตอบ:

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุม

ด้วยแนวคิดของมุมที่คิดออก แต่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร ลองคิดดูสิ สำหรับสิ่งนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากจะช่วยเราได้

ด้านข้างเรียกว่าอะไร? สามเหลี่ยมมุมฉาก? ถูกต้อง ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก (ในตัวอย่างของเรา นี่คือด้าน); ขาเป็นสองด้านที่เหลือและ (ที่อยู่ติดกับ มุมฉาก) ยิ่งกว่านั้น หากเราพิจารณาขาที่สัมพันธ์กับมุม แสดงว่าขานั้นเป็นขาที่อยู่ติดกัน และขานั้นเป็นขาที่อยู่ตรงข้ามกัน ตอนนี้เรามาตอบคำถาม: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมของเรา

โคไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) กับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมของเรา

สัมผัสมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อขาข้างเคียง (ปิด)

ในสามเหลี่ยมของเรา

โคแทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) กับฝั่งตรงข้าม (ไกล)

ในสามเหลี่ยมของเรา

คำจำกัดความเหล่านี้มีความจำเป็น จดจำ! เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำว่าขาใดหารด้วยอะไร คุณต้องเข้าใจสิ่งนั้นอย่างชัดเจน สัมผัสกันและ โคแทนเจนต์นั่งเฉพาะขาและด้านตรงข้ามมุมฉากปรากฏขึ้นเท่านั้น ไซนัสและ โคไซน์. จากนั้นคุณสามารถสร้างห่วงโซ่ของสมาคมได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:

โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→อยู่ติดกัน;

โคแทนเจนต์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน

ก่อนอื่น จำเป็นต้องจำไว้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นอัตราส่วนของด้านต่างๆ ของสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมหนึ่ง) ไม่ไว้วางใจ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูที่รูปภาพ:

ตัวอย่างเช่น พิจารณาโคไซน์ของมุม ตามคำนิยาม จากรูปสามเหลี่ยม แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมจากรูปสามเหลี่ยมได้: . คุณจะเห็นว่าความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ดำเนินการแก้ไขได้เลย!

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปด้านล่าง เราจะพบ

คุณได้รับมันหรือไม่ จากนั้นลองด้วยตัวเอง: คำนวณมุมเดียวกัน

วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)

เมื่อเข้าใจแนวคิดขององศาและเรเดียนแล้ว เราพิจารณาวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว. มีประโยชน์มากในการศึกษาวิชาตรีโกณมิติ ดังนั้นเราจึงอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย

อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้ถูกสร้างขึ้นมา ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด. รัศมีวงกลม เท่ากับหนึ่งในขณะที่จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดเริ่มต้น ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน (ในตัวอย่างของเรา นี่คือรัศมี)

แต่ละจุดของวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดตามแนวแกนและพิกัดตามแนวแกน หมายเลขพิกัดเหล่านี้คืออะไร? และโดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะทำอย่างไรกับหัวข้อที่อยู่ในมือ? ในการทำเช่นนี้จำเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณา ในรูปด้านบน คุณจะเห็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดสองรูป พิจารณารูปสามเหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะตั้งฉากกับแกน

เท่ากับอะไรจากรูปสามเหลี่ยม? ถูกตัอง. นอกจากนี้ เรารู้ว่านั่นคือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนั้น แทนค่านี้ลงในสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

และเท่ากับอะไรจากสามเหลี่ยม? แน่นอน ! แทนค่ารัศมีลงในสูตรนี้แล้วจะได้:

คุณบอกฉันได้ไหมว่าพิกัดของจุดที่อยู่ในวงกลมคืออะไร ไม่มีทาง? และถ้าคุณรู้ว่าเป็นเพียงตัวเลข? ตรงกับพิกัดใด แน่นอนพิกัด! ตรงกับพิกัดใด ถูกต้องแล้ว ประสานงาน! ดังนั้นประเด็น

แล้วอะไรจะเท่ากัน และ? ถูกต้อง ลองใช้คำจำกัดความที่เหมาะสมของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้วรับสิ่งนั้น

เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:

มีอะไรเปลี่ยนแปลงบ้าง ตัวอย่างนี้? ลองคิดดูสิ ในการทำเช่นนี้เราหมุนเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอีกครั้ง พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก: มุม (ซึ่งอยู่ติดกับมุม) ค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมมีค่าเท่าใด ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด ค่าของโคไซน์ของมุม - พิกัด และค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กับอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้ใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

ได้มีการกล่าวไว้แล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีนั้นอยู่ในทิศทางบวกของแกน จนถึงตอนนี้เราได้หมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกา แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนตามเข็มนาฬิกา ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมที่มีขนาดที่แน่นอน แต่มันจะเป็นลบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกา เราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา - เชิงลบ.

เรารู้ว่าการปฏิวัติทั้งหมดของเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมคือ or เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีทีละหรือรอบ แน่นอนคุณทำได้! ดังนั้น ในกรณีแรก เวกเตอร์รัศมีจะทำการปฏิวัติหนึ่งรอบจนเสร็จสิ้นและหยุดที่ตำแหน่ง หรือ

ในกรณีที่สอง นั่นคือ เวกเตอร์รัศมีจะทำการหมุนครบสามครั้งและหยุดที่ตำแหน่ง หรือ

ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่แตกต่างกันโดยหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ) สอดคล้องกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

รูปด้านล่างแสดงมุม ภาพเดียวกันสอดคล้องกับมุมและอื่น ๆ รายการนี้สามารถดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ด้วยสูตรทั่วไปหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ)

ตอนนี้รู้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้งาน วงกลมหน่วยลองตอบว่าค่าเท่ากับ:

นี่คือวงกลมหนึ่งหน่วยที่จะช่วยคุณ:

ความยากลำบากใด ๆ ? ถ้าอย่างนั้นลองคิดดู ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:

จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมบางอย่าง มาเริ่มกันเลย: มุมที่สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดดังนั้น:

ไม่ได้อยู่;

นอกจากนี้ การปฏิบัติตามตรรกะเดียวกัน เราพบว่ามุมที่สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดตามลำดับ เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ณ จุดที่สอดคล้องกัน ลองทำด้วยตัวเองก่อน แล้วค่อยตรวจคำตอบ

คำตอบ:

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางต่อไปนี้:

ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอแล้วที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยกับค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

แต่ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและที่กำหนดในตารางด้านล่าง ต้องจดจำ:

อย่ากลัวตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่ง เพียงพอ การท่องจำค่าที่สอดคล้องกัน:

ในการใช้วิธีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องจำค่าของไซน์สำหรับการวัดทั้งสามของมุม () รวมถึงค่าของแทนเจนต์ของมุมด้วย เมื่อรู้ค่าเหล่านี้แล้ว การคืนค่าตารางทั้งหมดจึงค่อนข้างง่าย - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:

เมื่อรู้สิ่งนี้ คุณสามารถคืนค่าสำหรับ ตัวเศษ " " จะตรงกันและตัวส่วน " " จะตรงกัน ค่าโคแทนเจนต์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศรที่แสดงในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำไดอะแกรมที่มีลูกศรได้ ก็เพียงพอที่จะจำค่าทั้งหมดจากตารางได้

พิกัดของจุดบนวงกลม

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจุด (พิกัด) บนวงกลม รู้พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมของการหมุน?

แน่นอนคุณทำได้! ออกมากันเถอะ สูตรทั่วไปเพื่อหาพิกัดของจุด.

ตัวอย่างเช่น เรามีวงกลมดังกล่าว:

เรากำหนดว่าจุดนั้นเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนจุดเป็นองศา

ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัดของจุดสอดคล้องกับความยาวของส่วน ความยาวของส่วนสอดคล้องกับพิกัดของศูนย์กลางของวงกลมนั่นคือเท่ากับ ความยาวของส่วนสามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:

จากนั้นเราก็มีจุดพิกัด

ด้วยตรรกะเดียวกัน เราจะหาค่าของพิกัด y สำหรับจุดนั้น ทางนี้,

ดังนั้นใน ปริทัศน์พิกัดจุดถูกกำหนดโดยสูตร:

พิกัดศูนย์กลางวงกลม

รัศมีวงกลม,

มุมของการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้จะลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเป็นศูนย์ และรัศมีเท่ากับหนึ่ง:

มาลองชิมสูตรเหล่านี้ฝึกหาจุดบนวงกลมกันดีไหม?

1. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุด

2. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุด

3. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการเปลี่ยนจุด

4. จุด - ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นโดย

5. จุด - ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นโดย

มีปัญหาในการหาพิกัดของจุดบนวงกลมใช่หรือไม่?

แก้ห้าตัวอย่างนี้ (หรือเข้าใจวิธีแก้ปัญหาให้ดี) แล้วคุณจะได้เรียนรู้วิธีการหามัน!

1.

จะเห็นได้ว่า และเรารู้ว่าอะไรสอดคล้องกับจุดเริ่มต้นทั้งหมด ทางนี้, จุดที่ต้องการจะอยู่ตำแหน่งเดียวกับตอนเปิดเครื่อง เมื่อรู้สิ่งนี้เราจะค้นหาพิกัดที่ต้องการของจุด:

2. วงกลมเป็นหน่วยที่มีจุดศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรอย่างง่ายได้:

จะเห็นได้ว่า เรารู้ว่าอะไรสอดคล้องกับสอง เลี้ยวเต็มจุดเริ่ม. ดังนั้นจุดที่ต้องการจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเมื่อเลี้ยวไป เมื่อรู้สิ่งนี้เราจะค้นหาพิกัดที่ต้องการของจุด:

ไซน์และโคไซน์คือ ค่าตาราง. เราจำค่าของพวกเขาและรับ:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

3. วงกลมเป็นหน่วยที่มีจุดศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรอย่างง่ายได้:

จะเห็นได้ว่า มาอธิบายตัวอย่างที่พิจารณาในรูป:

รัศมีทำมุมกับแกนเท่ากับ และ เมื่อรู้ว่าค่าตารางของโคไซน์และไซน์เท่ากัน และเมื่อพิจารณาแล้วว่าโคไซน์มีค่าเป็นลบและไซน์เป็นค่าบวก เรามี:

มากกว่า ตัวอย่างที่คล้ายกันทำความเข้าใจเมื่อศึกษาสูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติในหัวข้อ

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

4.

มุมของการหมุนของเวกเตอร์รัศมี (ตามเงื่อนไข)

ในการกำหนดสัญญาณที่สอดคล้องกันของไซน์และโคไซน์ เราสร้างวงกลมหนึ่งหน่วยและมุม:

อย่างที่คุณเห็นค่าที่เป็นบวกและค่าที่เป็นลบ เมื่อทราบค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน เราได้รับสิ่งนั้น:

แทนค่าที่ได้รับลงในสูตรของเราแล้วค้นหาพิกัด:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

5. เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สูตรในรูปแบบทั่วไป โดยที่

พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม (ในตัวอย่างของเรา

รัศมีวงกลม (ตามเงื่อนไข)

มุมของการหมุนของเวกเตอร์รัศมี (ตามเงื่อนไข)

แทนค่าทั้งหมดลงในสูตรและรับ:

และ - ค่าตาราง เราจำและแทนที่ลงในสูตร:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

สรุปและสูตรพื้นฐาน

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

เส้นสัมผัสของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อขาข้างเคียง (ปิด)

โคแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของขาข้างเคียง (ใกล้) กับขาข้างตรงข้าม (ไกล)

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติรวบรวมสำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 และ 360 องศาและมุมที่สอดคล้องกันเป็นเรเดียน ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตารางแสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ และโคซีแคนต์ เพื่อความสะดวกของการแก้ปัญหา ตัวอย่างโรงเรียนค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในตารางเขียนเป็นเศษส่วนโดยรักษาสัญญาณของการแยกรากที่สองออกจากตัวเลขซึ่งมักจะช่วยลดนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่สามารถหาค่าของมุมบางมุมได้ สำหรับค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมดังกล่าวมีเส้นประในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมดังกล่าวมีค่าเท่ากับอนันต์ ในหน้าที่แยกต่างหากคือสูตรสำหรับลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตารางค่าสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ แสดงค่าสำหรับมุมต่อไปนี้: บาป 0, บาป 30, บาป 45, บาป 60, บาป 90, บาป 180, บาป 270, บาป 360 ใน การวัดระดับซึ่งสอดคล้องกับ sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi ในการวัดมุมเรเดียน โต๊ะเรียนไซนัส

สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติโคไซน์ ตารางแสดงค่าของมุมต่อไปนี้: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 ในหน่วยวัดระดับ ซึ่งสอดคล้องกับ cos 0 pi, cos pi ถึง 6, cos pi คูณ 4, cos pi คูณ 3, cos pi คูณ 2, cos pi, cos 3 pi คูณ 2, cos 2 pi ในการวัดมุมเรเดียน ตารางโรงเรียนของโคไซน์

ตารางตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติแทนเจนต์ให้ค่าสำหรับมุมต่อไปนี้: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 ในการวัดระดับซึ่งสอดคล้องกับ tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi ในการวัดมุมแบบเรเดียน ต่อไปนี้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนด tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 และถือว่ามีค่าเท่ากับอนันต์

สำหรับโคแทนเจนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติในตารางตรีโกณมิติจะได้รับค่าของมุมต่อไปนี้: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 ในการวัดระดับซึ่งสอดคล้องกับ ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 ในการวัดมุมแบบเรเดียน ค่าต่อไปนี้ของฟังก์ชันตรีโกณมิติโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนด ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi และถือว่าเท่ากับอนันต์

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติซีแคนต์และโคซีแคนต์จะได้รับสำหรับมุมเดียวกันในหน่วยองศาและเรเดียน เช่น ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ไม่ได้มาตรฐานแสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุมในองศา 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 องศาและเรเดียน pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 เรเดียน ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงในรูปของเศษส่วนและรากที่สองเพื่อลดความซับซ้อนของเศษส่วนในตัวอย่างโรงเรียน

สัตว์ประหลาดตรีโกณมิติอีกสามตัว อันแรกคือแทนเจนต์ของ 1.5 องศาครึ่ง หรือ pi หารด้วย 120 อันที่สองคือโคไซน์ของ pi หารด้วย 240, pi/240 ที่ยาวที่สุดคือโคไซน์ของ pi หารด้วย 17, pi/17

วงกลมตรีโกณมิติของค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์แสดงถึงสัญญาณของไซน์และโคไซน์โดยขึ้นอยู่กับขนาดของมุม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับผมบลอนด์ ค่าโคไซน์จะถูกขีดเส้นใต้ด้วยเส้นประสีเขียวเพื่อไม่ให้สับสน การแปลงองศาเป็นเรเดียนก็แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนเช่นกัน เมื่อเรเดียนถูกแสดงผ่าน pi

ตารางตรีโกณมิตินี้แสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมตั้งแต่ 0 ศูนย์ถึง 90 เก้าสิบองศาในช่วงหนึ่งองศา สำหรับสี่สิบห้าองศาแรก จะต้องดูชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ด้านบนของตาราง คอลัมน์แรกประกอบด้วยองศา ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะเขียนในสี่คอลัมน์ถัดไป

สำหรับมุมตั้งแต่สี่สิบห้าองศาถึงเก้าสิบองศา ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเขียนไว้ที่ด้านล่างของตาราง คอลัมน์สุดท้ายประกอบด้วยองศา ค่าของโคไซน์ ไซน์ โคแทนเจนต์และแทนเจนต์ถูกเขียนในสี่คอลัมน์ก่อนหน้า คุณควรระวัง เนื่องจากชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนล่างของตารางตรีโกณมิติแตกต่างจากชื่อในส่วนบนของตาราง ไซน์และโคไซน์มีการแลกเปลี่ยน เช่นเดียวกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ นี่เป็นเพราะความสมมาตรของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงในรูปด้านบน ไซน์มีค่าเป็นบวกตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศาหรือตั้งแต่ 0 ถึง pi ค่าลบไซน์มี 180 ถึง 360 องศา หรือ pi ถึง 2 pi ค่าโคไซน์เป็นค่าบวกตั้งแต่ 0 ถึง 90 และ 270 ถึง 360 องศา หรือ 0 ถึง 1/2 ไพ และ 3/2 ถึง 2 ไพ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีค่าเป็นบวกตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาและตั้งแต่ 180 ถึง 270 องศา ซึ่งสอดคล้องกับค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1/2 pi และจาก pi ถึง 3/2 pi แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เชิงลบคือ 90 ถึง 180 องศาและ 270 ถึง 360 องศา หรือ 1/2 ไพถึงไพ และ 3/2 ไพถึง 2 ไพ เมื่อพิจารณาสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมที่มากกว่า 360 องศาหรือ 2 ไพ ควรใช้คุณสมบัติคาบของฟังก์ชันเหล่านี้

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่ ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับมุมลบจะเป็นค่าลบ โคไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติคู่ - ค่าโคไซน์สำหรับ มุมลบจะเป็นบวก เมื่อคูณและหารฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณต้องปฏิบัติตามกฎของเครื่องหมาย

1. ตารางค่าสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ แสดงค่าสำหรับมุมต่อไปนี้

   เอกสาร

   หน้าแยกต่างหากมีสูตรการหล่อ ตรีโกณมิติฟังก์ชั่น. ที่ โต๊ะค่าสำหรับตรีโกณมิติฟังก์ชั่นไซนัสที่ให้ไว้ค่าสำหรับต่อไปมุม: บาป 0 บาป 30 บาป 45 ...

2. เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอเป็นอะนาล็อกที่สมบูรณ์ของแคลคูลัสเชิงซ้อนสำหรับจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ n มิติที่มีระดับอิสระเท่าใดก็ได้ n และมีไว้สำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบไม่เชิงเส้น

   เอกสาร

   ... ฟังก์ชั่นเท่ากับ ฟังก์ชั่นรูปภาพ จากทฤษฎีบทนี้ ควร, อะไร สำหรับหาพิกัด U, V ก็พอจะคำนวณได้ การทำงาน... เรขาคณิต; รูปหลายเหลี่ยม ฟังก์ชั่น(อะนาล็อกหลายมิติของสองมิติ ตรีโกณมิติฟังก์ชั่น) คุณสมบัติของพวกเขา ตารางและการสมัคร; ...

3. ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้กำหนด aporias ที่มีชื่อเสียงของเขาซึ่งมีชื่อเสียงที่สุดคือ aporia "Achilles and the tortoise" นี่คือเสียง:

   สมมติว่าอคิลลีสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งเป็นระยะทางนี้ เต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าวในทิศทางเดียวกัน เมื่อ Achilles วิ่งได้ร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

   เหตุผลนี้กลายเป็นตรรกะที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นต่อ ๆ ไปทั้งหมด อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... พวกเขาทั้งหมดไม่ทางใดก็ทางหนึ่งถือเป็น aporias ของนักปราชญ์ กระแทกแรงขนาดนั้น" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในปัจจุบัน เพื่อให้ได้ความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สำเร็จ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, ทฤษฎีเซต แนวทางใหม่ทางกายภาพและทางปรัชญา ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับในระดับสากล ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขาถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

   จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดตัวแปรยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกตินำเราไปสู่กับดัก ด้วยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลง หยุดเต็มในขณะที่อคิลลีสตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง อคิลลีสจะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

   หากเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งไปพร้อมกับ ความเร็วคงที่. แต่ละส่วนที่ตามมาของเส้นทางนั้นสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดของ "อินฟินิตี้" ในสถานการณ์นี้ การพูดว่า "อคิลลีสจะแซงหน้าเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่มีที่สิ้นสุด"

   จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? อยู่ข้างใน หน่วยคงที่การวัดเวลาและไม่เปลี่ยนเป็นค่าซึ่งกันและกัน ในภาษาของ Zeno ดูเหมือนว่า:

   ในเวลาที่ต้องใช้ Achilles ในการวิ่งหนึ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าวในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก Achilles จะวิ่งไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลีสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

   วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะ แต่มันไม่ใช่ โซลูชั่นที่สมบูรณ์ปัญหา. คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ผ่านไม่ได้นั้นคล้ายคลึงกับ aporia "Achilles and the tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และวิธีแก้ปัญหาต้องไม่ใช่จำนวนมหาศาล แต่เป็นหน่วยวัด

   aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งของ Zeno พูดถึงลูกศรที่บินได้:

   ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เพราะทุกขณะของมันหยุดอยู่ และเนื่องจากมันหยุดอยู่ทุกขณะ มันจึงหยุดนิ่งเสมอ

   ในอาโปเรียนี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะมันเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรบินอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว มีอีกจุดหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากรูปถ่ายของรถบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะทางของมัน ในการระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ เวลาต่างๆ กัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อระบุระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางไปยังรถ คุณต้องมีรูปถ่ายสองรูปที่ถ่ายจาก จุดที่แตกต่างกันพื้นที่ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวจากพวกเขา (โดยธรรมชาติแล้วยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) สิ่งที่ฉันต้องการเน้น ความสนใจเป็นพิเศษคือจุด 2 จุดในเวลาและ 2 จุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะจุดเหล่านี้ให้โอกาสในการสำรวจที่แตกต่างกัน

   วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2561

   ความแตกต่างระหว่างเซ็ตและมัลติเซ็ตอธิบายไว้ในวิกิพีเดียได้เป็นอย่างดี พวกเรามอง.

   อย่างที่คุณเห็น "เซตไม่สามารถมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน 2 ตัวได้" แต่ถ้ามีองค์ประกอบที่เหมือนกันในเซต เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะของความไร้เหตุผลเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงที่ได้รับการฝึกฝนซึ่งจิตใจขาดจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ สั่งสอนความคิดไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

   กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานระหว่างการทดสอบสะพาน หากสะพานพังลงมา วิศวกรระดับปานกลางก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรที่มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นๆ

   ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่หลังวลี "mind me, I'm in the house" หรือมากกว่า "การศึกษาคณิตศาสตร์ แนวคิดนามธรรม" มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงกับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ใช้บังคับ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์กำหนดให้กับนักคณิตศาสตร์เอง

   เราเรียนคณิตศาสตร์เป็นอย่างดีและตอนนี้เรานั่งอยู่ที่โต๊ะเงินสดจ่ายเงินเดือน ที่นี่นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางบนโต๊ะของเราเป็นกองต่าง ๆ ซึ่งเราใส่ธนบัตรในสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกองและให้ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" แก่นักคณิตศาสตร์ เราอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าเขาจะได้รับส่วนที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ได้ว่าเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเหมือนกันไม่เท่ากับเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

   ประการแรก ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะใช้ได้: "คุณนำไปใช้กับคนอื่นได้ แต่ไม่ใช่กับฉัน!" นอกจากนี้ การรับรองจะเริ่มต้นขึ้นว่ามีหมายเลขธนบัตรที่แตกต่างกันในธนบัตรของสกุลเงินเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถถือเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เรานับเงินเดือนเป็นเหรียญ - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจำฟิสิกส์อย่างหงุดหงิด: มีเหรียญที่แตกต่างกัน จำนวนที่แตกต่างกันโคลน, โครงสร้างผลึกและการเรียงตัวของอะตอมในแต่ละเหรียญจะไม่ซ้ำกัน...

   และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด สนใจสอบถาม: ขอบเขตที่อยู่เหนือองค์ประกอบใดของหลายชุดที่กลายเป็นองค์ประกอบของชุดและในทางกลับกัน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - หมอผีตัดสินใจทุกอย่างวิทยาศาสตร์ที่นี่ไม่ได้ใกล้เคียง

   ดูนี่. เราเลือกสนามฟุตบอลกับ พื้นที่เดียวกันเขตข้อมูล พื้นที่ของฟิลด์เหมือนกันซึ่งหมายความว่าเรามีหลายชุด แต่ถ้าพิจารณาจากชื่อสนามเดียวกัน เราโดนเยอะ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น องค์ประกอบชุดเดียวกันนั้นเป็นทั้งชุดและหลายชุดในเวลาเดียวกัน ถูกต้องอย่างไร? และที่นี่ นักคณิตศาสตร์-หมอผี-ชัลเลอร์ หยิบคนเก่งออกมาจากแขนเสื้อของเขา และเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือมัลติเซต ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวใจเราว่าเขาพูดถูก

   เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผีสมัยใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยผูกเข้ากับความเป็นจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของเซตหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของเซตอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็นโดยไม่มี "เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมด" หรือ "เป็นไปไม่ได้โดยรวม"

   วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2561

   ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับรำมะนาซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราถูกสอนให้หาผลรวมของตัวเลขและใช้มัน แต่พวกเขาเป็นหมอผีสำหรับเรื่องนั้น เพื่อสอนทักษะและภูมิปัญญาให้ลูกหลานของพวกเขา มิฉะนั้น หมอผีก็จะตายไป

   คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิดวิกิพีเดียแล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่อยู่ ไม่มีสูตรใดในวิชาคณิตศาสตร์ที่คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือ สัญลักษณ์กราฟิกด้วยความช่วยเหลือที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์ งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แทนจำนวนใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้

   มาดูกันว่าเราจะทำอย่างไรเพื่อหาผลบวกของตัวเลขที่กำหนด สมมติว่าเรามีหมายเลข 12345 ต้องทำอะไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขนี้ ลองพิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

   1. จดตัวเลขลงบนกระดาษ เราได้ทำอะไร? เราได้แปลงตัวเลขเป็นสัญลักษณ์กราฟิกตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

   2. เราตัดภาพที่ได้รับหนึ่งภาพออกเป็นหลายๆ ภาพที่มีตัวเลขแยกกัน การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

   3. แปลงอักขระกราฟิกแต่ละตัวเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

   4. เพิ่มจำนวนผลลัพธ์ นั่นคือคณิตศาสตร์

   ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" จากหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

   จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบเลขใด ดังนั้นใน ระบบที่แตกต่างกันการคำนวณผลรวมของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข จาก จำนวนมาก 12345 ไม่อยากหลอกตัวเอง ลองพิจารณาเลข 26 จากบทความเรื่อง ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ และฐานสิบหก เราจะไม่พิจารณาแต่ละขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ดำเนินการไปแล้ว ลองดูที่ผลลัพธ์

   อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน ผลบวกของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย เหมือนกับการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีหน่วยเป็นเมตรและเซนติเมตร ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

   ศูนย์ในระบบตัวเลขทั้งหมดมีลักษณะเหมือนกันและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนข้อเท็จจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: คณิตศาสตร์ไม่ใช่ตัวเลขได้อย่างไร? อะไรสำหรับนักคณิตศาสตร์ ไม่มีอะไรนอกจากตัวเลข? สำหรับหมอผี ฉันยอมได้ แต่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ไม่ ความจริงไม่ใช่แค่ตัวเลข

   ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดตัวเลข เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำเดียวกันกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันในปริมาณเดียวกันนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์

   คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการกระทำทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวเลข หน่วยวัดที่ใช้ และใครเป็นผู้ดำเนินการ
   

   เซ็นชื่อที่ประตู เปิดประตูแล้วพูดว่า:

   อุ๊ย! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
   - สาววาย! นี่คือห้องทดลองสำหรับศึกษาความศักดิ์สิทธิ์ของวิญญาณอย่างไม่มีกำหนดเมื่อเสด็จขึ้นสู่สวรรค์! Nimbus อยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก

   ตัวเมีย... รัศมีด้านบนและลูกศรชี้ลงคือตัวผู้

   หากคุณมีงานศิลปะการออกแบบกระพริบตาหลายครั้งต่อวัน

   ไม่น่าแปลกใจเลยที่คุณจะพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

   โดยส่วนตัวแล้ว ฉันพยายามทำให้ตัวเองเห็นองศาลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (ส่วนประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ เลขสี่ การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนั้นโง่ ไม่ ใครรู้ฟิสิกส์บ้าง. เธอมีทัศนคติแบบแผนของการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์สอนเราตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

   1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนเซ่อ" หรือตัวเลข "ยี่สิบหก" ในระบบเลขฐานสิบหก คนที่ทำงานอย่างต่อเนื่องในระบบตัวเลขนี้จะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

   ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้รับการพัฒนาโดยนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินที่แม่นยำและกำหนดทิศทางของดวงดาว การคำนวณเหล่านี้ใช้สำหรับ ตรีโกณมิติทรงกลม, ขณะที่อยู่ใน หลักสูตรของโรงเรียนศึกษาอัตราส่วนด้านและมุมของสามเหลี่ยมแบน

   ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

   ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ของสหัสวรรษที่ 1 ความรู้แพร่กระจายจาก ตะวันออกโบราณไปกรีซ แต่การค้นพบที่สำคัญของวิชาตรีโกณมิติคือข้อดีของผู้ชายแห่งหัวหน้าศาสนาอิสลามชาวอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถาน al-Marazvi ได้แนะนำฟังก์ชั่นเช่นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แนวคิดของไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ความสนใจอย่างมากทุ่มเทให้กับตรีโกณมิติในผลงานของบุคคลสำคัญในยุคโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

   ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

   ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน อาร์กิวเมนต์ที่เป็นตัวเลขคือ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

   สูตรสำหรับการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นที่ทราบกันดีสำหรับเด็กนักเรียนในสูตร: "กางเกงปีทาโกรัส เท่ากันทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ได้รับจากตัวอย่างสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

   ไซน์ โคไซน์ และการพึ่งพาอื่น ๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง มุมที่คมชัดและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ เราให้สูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

   

   อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg คือ ฟังก์ชันผกผัน. ถ้าเราแสดงขา a เป็น สินค้าบาป A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b ในรูปแบบ cos A * c จากนั้นเราจะได้สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ต่อไปนี้:

   

   วงกลมตรีโกณมิติ

   ในเชิงกราฟิก อัตราส่วนของปริมาณที่กล่าวถึงสามารถแสดงได้ดังนี้:

   

   วงกลม, ใน กรณีนี้, แสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม α — ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่คุณเห็นจากรูป แต่ละฟังก์ชันจะใช้ค่าลบหรือ ค่าบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" ถ้า α อยู่ในไตรมาส I และ II ของวงกลม นั่นคืออยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ° ถึง 180 ° ด้วย α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α จะเป็นค่าลบได้เท่านั้น

   มาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณ

   

   ค่าของ α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

   

   มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยบังเอิญ การกำหนด π ในตารางเป็นเรเดียน Rad คือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งวงกลมสอดคล้องกับรัศมีของมัน ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างความสัมพันธ์สากล เมื่อคำนวณเป็นเรเดียน ความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

   

   มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

   

   ดังนั้นจึงเดาได้ไม่ยากว่า 2π เป็นวงกลมเต็มวงหรือ 360°

   คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

   ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

   พิจารณา ตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของคลื่นไซน์และโคไซน์:

   

   ไซนัส	คลื่นโคไซน์
   y = บาป x	y = cos x
   ODZ [-1; หนึ่ง]	ODZ [-1; หนึ่ง]
   บาป x = 0 สำหรับ x = πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk โดยที่ k ϵ Z
   บาป x = 1 สำหรับ x = π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 1 สำหรับ x = 2πk โดยที่ k ϵ Z
   บาป x = - 1 ที่ x = 3π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = - 1 สำหรับ x = π + 2πk โดยที่ k ϵ Z
   บาป (-x) = - บาป x เช่น ฟังก์ชันคี่	cos (-x) = cos x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคู่
   	ฟังก์ชันเป็นคาบ คาบที่เล็กที่สุดคือ 2π
   sin x › 0 โดย x เป็นของไตรมาส I และ II หรือตั้งแต่ 0° ถึง 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0 โดย x เป็นของไตรมาส I และ IV หรือตั้งแต่ 270° ถึง 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0 โดย x อยู่ในควอเตอร์ III และ IV หรือตั้งแต่ 180° ถึง 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0 โดย x เป็นของไตรมาส II และ III หรือตั้งแต่ 90° ถึง 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [-π + 2πk, 2πk]
   ลดลงตามช่วงเวลา [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	ลดลงเป็นระยะ
   อนุพันธ์ (sin x)' = cos x	อนุพันธ์ (cos x)’ = - บาป x

   การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญญาณของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจเมื่อเทียบกับแกน OX ถ้าเครื่องหมายเหมือนกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ มิฉะนั้นจะเป็นเลขคี่

   

   รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรเดียนและการแจงนับ คุณสมบัติพื้นฐานคลื่นไซน์และโคไซน์ช่วยให้เรานำความสม่ำเสมอต่อไปนี้:

   

   การตรวจสอบความถูกต้องของสูตรทำได้ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์เท่ากับ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยดูที่ตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

   คุณสมบัติของแทนเจนนอยด์และโคแทนเจนทอยด์

   กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมากจากคลื่นไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg จะตรงกันข้ามกัน

   

   

   1. Y = tgx.
   2. เส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับ y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่ถึงค่าเหล่านั้น
   3. น้อยที่สุด ช่วงเวลาที่เป็นบวกแทนเจนนอยด์ เท่ากับ π
   4. Tg (- x) \u003d - tg x, เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
   5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
   6. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น
   7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
   8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
   9. อนุพันธ์ (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x

   พิจารณา ภาพกราฟิกโคแทนเจนทอยด์ด้านล่าง

   

   คุณสมบัติหลักของ cotangentoid:

   1. Y = ctgx.
   2. ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถรับค่าของชุดของจำนวนจริงทั้งหมดได้
   3. cotangentoid มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่ถึงค่าเหล่านั้น
   4. คาบบวกที่เล็กที่สุดของโคแทนเจนนอยด์คือ π
   5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
   6. Ctg x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
   7. ฟังก์ชันจะลดลง
   8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
   9. Ctg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
   10. อนุพันธ์ (ctg x)' = - 1/บาป 2 ⁡x แก้ไข