บทนำ. การประมวลผลผลการวัดในทางปฏิบัติทางกายภาพ การวัดและข้อผิดพลาดในการวัด การวิเคราะห์ผลการวัดโดยตรง

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

ด้วยการวัดจำนวนมาก ความคลาดเคลื่อนในขนาดเดียวกันแต่เครื่องหมายตรงข้ามเกิดขึ้นบ่อยเท่าๆ กัน

ข้อผิดพลาดขนาดใหญ่มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยกว่าข้อผิดพลาดเล็กน้อย จากความสัมพันธ์ (1) เขียนใหม่ในรูปแบบ

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x น

และบวกกันในคอลัมน์สามารถกำหนดมูลค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ดังนี้

หรือ
.

(2)

เหล่านั้น. มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการวัดหากมีจำนวนอนันต์ ด้วยค่าที่จำกัดและมากกว่านั้นด้วยการวัดจำนวนเล็กน้อย ซึ่งเรามักจะจัดการในทางปฏิบัติ ความเท่าเทียมกัน (2) จึงเป็นค่าโดยประมาณ

ให้ค่าต่อไปนี้ของปริมาณที่วัดได้ X เป็นผลมาจากการวัดหลายครั้ง: 13.4; 13.2; 13.3; 13.4; 13.3; 13.2; 13.1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1. มาสร้างไดอะแกรมการกระจายตัวของผลลัพธ์เหล่านี้ โดยพล็อตการอ่านค่าเครื่องมือตามแกน abscissa ตามลำดับจากน้อยไปมาก ระยะห่างระหว่างจุดที่อยู่ติดกันตามแกน abscissa เท่ากับสองเท่าของข้อผิดพลาดในการอ่านสูงสุดบนอุปกรณ์ ในกรณีของเรา การนับถอยหลังทำได้ถึง 0.1 นี่เท่ากับหนึ่งส่วนของมาตราส่วนที่มีเครื่องหมายบนแกน x บนแกน y เราพล็อตค่าตามสัดส่วนกับจำนวนสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับการอ่านเครื่องมืออย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่น จำนวนสัมพัทธ์หรือความถี่สัมพัทธ์ของผลลัพธ์เท่ากับ x k จะแสดงด้วย W(x k) ในกรณีของเรา

เรากำหนด x แต่ละตัวให้กับ

(3)

โดยที่ A คือสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน

ไดอะแกรมซึ่งเรียกว่าฮิสโตแกรมแตกต่างจากกราฟปกติตรงที่จุดต่างๆ ไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งเรียบ แต่มีการวาดขั้นตอนผ่านจุดเหล่านั้น เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของขั้นตอนเหนือค่า x k เป็นสัดส่วนกับความถี่สัมพัทธ์ของผลลัพธ์นี้ โดยการเลือกสัมประสิทธิ์สัดส่วนในนิพจน์ (3) ด้วยวิธีที่เหมาะสม พื้นที่นี้สามารถทำให้เท่ากับความถี่สัมพัทธ์ของผลลัพธ์ x k จากนั้นผลรวมของพื้นที่ของขั้นตอนทั้งหมดเป็นผลรวมของความถี่สัมพัทธ์ของทั้งหมด ผลลัพธ์ควรเท่ากับหนึ่ง

จากตรงนี้เราจะพบ A=10 เงื่อนไข (4) เรียกว่าเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับฟังก์ชัน (3)

หากคุณสร้างชุดการวัดที่มี n การวัดในแต่ละชุด ดังนั้นความถี่สัมพัทธ์ของค่าเดียวกัน x k ที่หาได้จากอนุกรมที่ต่างกันจะมีความแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ เมื่อจำนวนการวัดในอนุกรมเพิ่มขึ้น ความผันผวนของค่า W(x k) จะลดลง และค่าเหล่านี้เข้าใกล้จำนวนคงที่ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ x k และแสดงด้วย P (x k ).

ให้เราสมมติว่าในขณะที่ทำการทดสอบ เราจะไม่นับผลลัพธ์เป็นดิวิชั่นทั้งหมดของสเกลหรือการแชร์ของพวกมัน แต่เราสามารถแก้ไขจุดที่ลูกศรหยุดลงได้ จากนั้น สำหรับการวัดจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด ลูกศรจะไปที่แต่ละจุดบนมาตราส่วน การกระจายผลการวัดในกรณีนี้ได้อักขระต่อเนื่อง และแทนที่จะอธิบายฮิสโตแกรมแบบขั้นบันได y=f(x) เส้นโค้งต่อเนื่อง จากคุณสมบัติของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม สามารถสรุปได้ว่าเส้นโค้งนั้นต้องมีความสมมาตร ดังนั้น ค่าสูงสุดของเส้นโค้งนั้นจึงอยู่ที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการวัด ซึ่งเท่ากับค่าจริงของปริมาณที่วัดได้ ในกรณีของการกระจายผลการวัดอย่างต่อเนื่อง จะไม่มี

มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะพูดถึงความน่าจะเป็นของค่าใด ๆ ของพวกเขาเพราะ มีค่าใกล้เคียงกับค่าที่พิจารณาโดยพลการ ตอนนี้เราควรตั้งคำถามถึงความน่าจะเป็นที่จะพบกันระหว่างการวัดผลในช่วงเวลาหนึ่งรอบค่าของ x k เท่ากับ
,
. เช่นเดียวกับในฮิสโตแกรมความถี่สัมพัทธ์ของผลลัพธ์ x เพื่อเท่ากับพื้นที่ของขั้นตอนที่สร้างขึ้นเหนือผลลัพธ์นี้ บนกราฟสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องความน่าจะเป็นที่จะพบผลลัพธ์ในช่วงเวลา (
,
) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สร้างขึ้นในช่วงเวลานี้และล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง f(x) สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์นี้คือ

ถ้า
น้อย กล่าวคือ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแรเงาจะถูกแทนที่ด้วยพื้นที่โดยประมาณของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานเดียวกันและมีความสูงเท่ากับ f(xk) ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงผลการวัด ความน่าจะเป็นที่จะพบ x ในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับช่วงเวลาที่กำหนดคูณด้วยความยาว

เส้นโค้งการกระจายของผลการวัดที่ได้รับจากการทดลองสำหรับส่วนของมาตราส่วนเครื่องมือ หากยังคงดำเนินต่อไป การคาดคะเนแกนแอบซิสซาจากด้านซ้ายและขวาอย่างไม่มีอาการ อธิบายได้ดีในเชิงวิเคราะห์โดยฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

(5)

เช่นเดียวกับพื้นที่ทั้งหมดของขั้นตอนทั้งหมดบนฮิสโตแกรมเท่ากับหนึ่งพื้นที่ทั้งหมดระหว่างเส้นโค้ง f (x) กับแกน abscissa ซึ่งมีความหมายว่ามีความน่าจะเป็นที่จะพบค่า x อย่างน้อยในช่วง การวัดก็เท่ากับหนึ่งเช่นกัน การแจกแจงที่อธิบายโดยฟังก์ชันนี้เรียกว่าการแจกแจงแบบปกติ พารามิเตอร์หลักของการแจกแจงแบบปกติคือความแปรปรวน  2 . ค่าประมาณของการกระจายตัวสามารถหาได้จากผลการวัดโดยใช้สูตร

(6)

สูตรนี้ให้การกระจายใกล้กับค่าจริงสำหรับการวัดจำนวนมากเท่านั้น ตัวอย่างเช่น σ 2 จากผลการวัด 100 ครั้ง อาจมีความคลาดเคลื่อนจากค่าจริง 15% พบจากการวัด 10 ครั้งแล้ว 40% ความแปรปรวนกำหนดรูปร่างของเส้นโค้งการกระจายแบบปกติ เมื่อข้อผิดพลาดแบบสุ่มมีขนาดเล็ก การกระจาย ดังต่อไปนี้จาก (6) จะเล็ก เส้นโค้ง f(x) ในกรณีนี้จะแคบและคมชัดกว่าเมื่อใกล้กับค่าจริงของ X และมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เร็วกว่าเมื่อเคลื่อนออกจากค่านั้นมากกว่าข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ รูปต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่ารูปแบบของเส้นโค้ง f(x) สำหรับการแจกแจงแบบปกติเปลี่ยนแปลงอย่างไรขึ้นอยู่กับ σ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นพิสูจน์แล้วว่าถ้าเราไม่พิจารณาการกระจายของผลการวัด แต่การกระจายของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่พบจากชุดของการวัด n ในแต่ละชุดก็เป็นไปตามกฎปกติ แต่มีการกระจาย ที่เล็กกว่า n เท่า

ความน่าจะเป็นที่จะพบผลการวัดในช่วงเวลาหนึ่ง (
) ใกล้ค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สร้างขึ้นในช่วงเวลานี้และล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง f(x) จากด้านบน ค่าช่วงเวลา
มักจะวัดเป็นหน่วยตามสัดส่วนกับรากที่สองของความแปรปรวน
ขึ้นอยู่กับค่าของ k ต่อช่วงเวลา
มีสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งของพื้นที่ขนาดใหญ่หรือเล็กกว่าเช่น

โดยที่ F(k) เป็นฟังก์ชันบางอย่างของ k การคำนวณแสดงว่า for

k=1,

k=2,

k=3,

นี่แสดงว่าในช่วงเวลานั้น
คิดเป็นประมาณ 95% ของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) ข้อเท็จจริงนี้เป็นข้อตกลงอย่างสมบูรณ์กับคุณสมบัติที่สองของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ซึ่งระบุว่าข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ไม่น่าจะเกิดขึ้น ข้อผิดพลาดมากกว่า
เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นน้อยกว่า 5% นิพจน์ (7) ที่เขียนใหม่สำหรับการแจกแจงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการวัด n จะใช้รูปแบบ

(8)

ค่า ใน (7) และ (8) สามารถกำหนดได้บนพื้นฐานของผลการวัดเท่านั้นโดยประมาณโดยสูตร (6)

แทนค่านี้ ในนิพจน์ (8) เราจะไปทางขวาไม่ใช่ F (k) แต่ฟังก์ชั่นใหม่บางอย่างขึ้นอยู่กับขนาดของช่วงเวลาที่พิจารณาของค่า X เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับจำนวนการวัดที่ทำ
และ

เพราะ สำหรับการวัดจำนวนมากเท่านั้น สูตร (6) จะมีความแม่นยำเพียงพอ

เมื่อแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกันสองอย่างในวงเล็บทางด้านซ้ายของนิพจน์นี้เทียบกับค่าที่แท้จริงของ X แล้ว เราสามารถเขียนมันใหม่ในรูปแบบ

นิพจน์ (9) กำหนดความน่าจะเป็นที่ค่าที่แท้จริงของ X อยู่ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง เกี่ยวกับความคุ้มค่า . ความน่าจะเป็นในทฤษฎีข้อผิดพลาดนี้เรียกว่า ความน่าเชื่อถือ และช่วงเวลาที่สอดคล้องกับค่าจริง เรียกว่า ช่วงความเชื่อมั่น การทำงาน
คำนวณขึ้นอยู่กับ t n และ n และได้รวบรวมตารางรายละเอียดแล้ว ตารางมี 2 อินพุต: pt n และ n ด้วยความช่วยเหลือของมันสำหรับจำนวนการวัดที่กำหนด n เป็นไปได้ที่จะค้นหาโดยให้ค่าความน่าเชื่อถือ Р ค่าของ t n เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ของนักเรียน

การวิเคราะห์ตารางแสดงให้เห็นว่าสำหรับการวัดจำนวนหนึ่งที่มีความต้องการความน่าเชื่อถือที่เพิ่มขึ้น เราได้รับค่าที่เพิ่มขึ้นของ t n เช่น การเพิ่มช่วงความมั่นใจ ความน่าเชื่อถือเท่ากับหนึ่งจะสอดคล้องกับช่วงความเชื่อมั่นเท่ากับอนันต์ ด้วยความน่าเชื่อถือที่แน่นอน เราสามารถทำให้ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าจริงแคบลงโดยการเพิ่มจำนวนการวัด เนื่องจาก S n ไม่เปลี่ยนแปลงมากนัก และ ลดลงทั้งโดยการลดตัวเศษและการเพิ่มตัวส่วน เมื่อทำการทดสอบจำนวนมากเพียงพอแล้ว จึงเป็นไปได้ที่จะสร้างช่วงความเชื่อมั่นของค่าเล็กน้อยใดๆ แต่สำหรับ n จำนวนมาก การเพิ่มขึ้นอีกในจำนวนการทดลองจะลดช่วงความเชื่อมั่นลงอย่างช้าๆ และปริมาณงานคำนวณเพิ่มขึ้นอย่างมาก บางครั้งในทางปฏิบัติจะสะดวกที่จะใช้กฎโดยประมาณ: เพื่อลดช่วงความเชื่อมั่นที่พบจากการวัดจำนวนเล็กน้อยหลายครั้ง จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนการวัดด้วยปัจจัยเดียวกัน

ตัวอย่างการประมวลผลผลการวัดโดยตรง

ลองใช้ข้อมูลการทดลองสามผลลัพธ์แรกจาก 12 รายการตามที่สร้างฮิสโตแกรม X: 13.4; 13.2; 13.3.

ลองถามตัวเราเองถึงความน่าเชื่อถือ ซึ่งปกติแล้วจะได้รับการยอมรับในห้องปฏิบัติการเพื่อการศึกษา P = 95% จากตารางสำหรับ P = 0.95 และ n = 3 เราพบ t n = 4.3

หรือ

ด้วยความน่าเชื่อถือ 95% ผลลัพธ์สุดท้ายมักจะเขียนเป็นความเท่าเทียมกัน

หากช่วงความเชื่อมั่นของค่าดังกล่าวไม่เหมาะสม (เช่น ในกรณีที่ข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดเป็น 0.1) และเราต้องการลดค่าลงครึ่งหนึ่ง เราควรเพิ่มจำนวนการวัดเป็นสองเท่า

หากเราเอา เช่น 6 ค่าสุดท้ายของผลลัพธ์ 12 อันเดียวกัน (สำหรับ 6 ค่าแรกแนะนำให้ทำการคำนวณเอง)

X: 13.1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1,

แล้ว

ค่าของสัมประสิทธิ์ t n หาได้จากตารางสำหรับ Р = 0.95 และ n = 6; ตัน = 2.6.

ในกรณีนี้
ลองพลอตช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าจริงในกรณีแรกและตัวที่สองบนแกนตัวเลขกัน

ช่วงเวลาที่คำนวณจากการวัด 6 ครั้งเป็นไปตามที่คาดไว้ภายในช่วงเวลาที่พบจากการวัดสามครั้ง

ข้อผิดพลาดของเครื่องมือทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบในผลลัพธ์ ซึ่งขยายช่วงความเชื่อมั่นที่แสดงบนแกน 0.1 ดังนั้นผลลัพธ์ที่เขียนโดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดของเครื่องมือจึงมีรูปแบบ

1)
2)

ในกรณีทั่วไป ขั้นตอนการประมวลผลผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงมีดังนี้ (สันนิษฐานว่าไม่มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ)

กรณีที่ 1จำนวนการวัดน้อยกว่าห้า

1) ตามสูตร (6) จะพบผลลัพธ์โดยเฉลี่ย xกำหนดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์ของการวัดทั้งหมด กล่าวคือ

2) ตามสูตร (12) ข้อผิดพลาดที่แน่นอนของการวัดแต่ละรายการจะถูกคำนวณ

3) ตามสูตร (14) ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เฉลี่ยจะถูกกำหนด

4) ตามสูตร (15) คำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เฉลี่ยของผลการวัด

5) บันทึกผลสุดท้ายในรูปแบบต่อไปนี้:

, ที่
.

กรณีที่ 2. จำนวนการวัดมากกว่าห้า

1) ตามสูตร (6) จะพบผลลัพธ์โดยเฉลี่ย

2) ตามสูตร (12) ข้อผิดพลาดที่แน่นอนของการวัดแต่ละรายการจะถูกกำหนด

3) ตามสูตร (7) จะคำนวณความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของการวัดครั้งเดียว

4) คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับค่าเฉลี่ยของค่าที่วัดได้โดยใช้สูตร (9)

5) ผลสุดท้ายจะถูกบันทึกไว้ในแบบฟอร์มต่อไปนี้

บางครั้งข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มอาจน้อยกว่าค่าที่อุปกรณ์วัด (เครื่องมือ) สามารถลงทะเบียนได้ ในกรณีนี้ สำหรับการวัดจำนวนเท่าใดก็ได้ จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน ในกรณีดังกล่าว เป็นค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์โดยเฉลี่ย
ใช้การแบ่งส่วนของเครื่องมือ (เครื่องมือ) ครึ่งหนึ่ง ค่านี้บางครั้งเรียกว่าการจำกัดหรือข้อผิดพลาดของเครื่องมือและแสดงแทน
(สำหรับเวอร์เนียร์และนาฬิกาจับเวลา
เท่ากับความเที่ยงตรงของเครื่องมือ)

การประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวัด

ในการทดลองใดๆ จำนวนของการวัดปริมาณทางกายภาพมักจะถูกจำกัดด้วยเหตุผลอย่างใดอย่างหนึ่ง เนื่องจาก กับนี่อาจเป็นงานในการประเมินความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำหนดด้วยความน่าจะเป็นที่สามารถโต้แย้งได้ว่าข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในกรณีนี้ไม่เกินค่าที่กำหนดไว้ ε ความน่าจะเป็นนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของความมั่นใจ ลองแสดงมันด้วยตัวอักษร

ปัญหาผกผันสามารถกำหนดได้: เพื่อกำหนดขอบเขตของช่วงเวลา
เพื่อให้มีความน่าจะเป็น อาจกล่าวได้ว่ามูลค่าที่แท้จริงของการวัดปริมาณ จะไม่เกินกว่าที่กำหนดซึ่งเรียกว่าช่วงความเชื่อมั่น

ช่วงความเชื่อมั่นเป็นตัวกำหนดความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้ และช่วงความเชื่อมั่นเป็นตัวกำหนดลักษณะความน่าเชื่อถือ วิธีการแก้ปัญหาทั้งสองกลุ่มนี้มีอยู่และได้รับการพัฒนาอย่างละเอียดโดยเฉพาะในกรณีที่มีการกระจายข้อผิดพลาดในการวัดตามกฎปกติ ทฤษฎีความน่าจะเป็นยังมีวิธีการกำหนดจำนวนการทดลอง (การวัดซ้ำ) ที่ให้ความแม่นยำและความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ที่คาดหวัง ในงานนี้ วิธีการเหล่านี้ไม่ได้รับการพิจารณา (เราจะจำกัดตัวเองให้กล่าวถึงวิธีการเหล่านี้) เนื่องจากงานดังกล่าวมักจะไม่ถูกจัดวางเมื่อปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการ

อย่างไรก็ตาม สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีของการประเมินความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ของการวัดปริมาณทางกายภาพด้วยการวัดซ้ำในจำนวนที่น้อยมาก ตัวอย่างเช่น,
. นี่เป็นกรณีที่เรามักพบบ่อยในการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการทางฟิสิกส์ ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ แนะนำให้ใช้วิธีการโดยยึดหลักการกระจายตัวของนักเรียน (กฎหมาย)

เพื่อความสะดวกในการใช้งานจริงของวิธีการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา มีตารางที่คุณสามารถกำหนดช่วงความเชื่อมั่นได้
สอดคล้องกับระดับความเชื่อมั่นที่กำหนดหรือแก้ปัญหาผกผัน

ด้านล่างนี้คือส่วนต่างๆ ของตารางที่กล่าวถึงซึ่งอาจจำเป็นในการประเมินผลการวัดในชั้นเรียนในห้องปฏิบัติการ

ให้ตัวอย่างเช่นผลิต เท่ากัน (ภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน) การวัดปริมาณทางกายภาพบางอย่าง และคำนวณมูลค่าเฉลี่ย . จำเป็นต้องหาช่วงความเชื่อมั่น สอดคล้องกับระดับความเชื่อมั่นที่กำหนด . โดยทั่วไปปัญหาจะได้รับการแก้ไขด้วยวิธีต่อไปนี้

ตามสูตรโดยคำนึงถึง (7) คำนวณ

จากนั้นสำหรับค่าที่กำหนด นและหาตามตาราง (ตารางที่ 2) ค่า . ค่าที่คุณกำลังมองหาคำนวณจากสูตร

(16)

เมื่อแก้ปัญหาผกผัน พารามิเตอร์จะถูกคำนวณก่อนโดยใช้สูตร (16) ค่าที่ต้องการของความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นนั้นนำมาจากตาราง (ตารางที่ 3) สำหรับตัวเลขที่กำหนด และค่าพารามิเตอร์ที่คำนวณได้ .

ตารางที่ 2ค่าพารามิเตอร์สำหรับจำนวนการทดลองที่กำหนด

และระดับความมั่นใจ

ตารางที่ 3ค่าของความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นสำหรับการทดลองจำนวนหนึ่ง นและพารามิเตอร์ ε

บทบัญญัติหลักของวิธีการประมวลผลผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงด้วยการสังเกตหลายครั้งถูกกำหนดไว้ใน GOST 8.207-76

ใช้เป็นผลการวัด เฉลี่ย ข้อมูล นการสังเกตซึ่งไม่รวมข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ สันนิษฐานว่าผลลัพธ์ของการสังเกตหลังจากการยกเว้นข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบจากข้อผิดพลาดนั้นเป็นของการแจกแจงแบบปกติ ในการคำนวณผลลัพธ์ของการวัด จำเป็นต้องแยกข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบออกจากการสังเกตแต่ละครั้งและด้วยเหตุนี้จึงได้ผลลัพธ์ที่แก้ไข ผม- การสังเกต ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์ที่แก้ไขเหล่านี้จะถูกคำนวณและนำมาเป็นผลการวัด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นการประมาณการที่สม่ำเสมอ ไม่มีอคติ และมีประสิทธิภาพภายใต้การแจกแจงแบบปกติของข้อมูลเชิงสังเกต

ควรสังเกตว่าบางครั้งในวรรณคดีแทนคำว่า ผลการสังเกตบางครั้งก็ใช้คำนี้ ผลการวัดเดี่ยวซึ่งไม่รวมข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ ในเวลาเดียวกัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นผลการวัดในชุดการวัดหลายชุด สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของขั้นตอนการประมวลผลผลลัพธ์ที่แสดงด้านล่าง

เมื่อประมวลผลกลุ่มผลการสังเกตทางสถิติ ควรทำสิ่งต่อไปนี้: การดำเนินงาน :

1. ขจัดข้อผิดพลาดที่เป็นระบบที่ทราบจากการสังเกตแต่ละครั้งและรับผลลัพธ์ที่ถูกต้องจากการสังเกตแต่ละครั้ง x.

2. คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการสังเกตที่แก้ไขแล้ว นำมาจากผลการวัด:

3. คำนวณค่าประมาณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กลุ่มสังเกตการณ์:

ตรวจสอบห้องว่าง ผิดพลาดอย่างมหันต์ – มีค่าใดเกิน ±3 . หรือไม่ ส. ด้วยกฎการแจกแจงแบบปกติที่มีความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 (0.997) ค่าของความแตกต่างนี้ไม่ควรเกินขีดจำกัดที่ระบุ หากเป็นเช่นนั้น ค่าที่สอดคล้องกันควรถูกแยกออกจากการพิจารณา และการคำนวณและการประเมินควรทำซ้ำอีกครั้ง เอส

4. คำนวณค่าประมาณ RMS ของผลการวัด (ค่าเฉลี่ย

เลขคณิต)

5. ทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับการแจกแจงแบบปกติของผลการสังเกต

มีวิธีการประมาณหลายวิธีในการตรวจสอบความปกติของการกระจายผลการสังเกต บางคนได้รับใน GOST 8.207-76 หากจำนวนการสังเกตน้อยกว่า 15 ตาม GOST นี้จะไม่ตรวจสอบการแจกแจงแบบปกติ ขีดจำกัดความเชื่อมั่นของข้อผิดพลาดแบบสุ่มจะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อทราบล่วงหน้าว่าผลการสังเกตเป็นของการกระจายนี้ โดยประมาณ ลักษณะของการกระจายสามารถตัดสินได้โดยการสร้างฮิสโตแกรมของผลการสังเกต วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับการตรวจสอบความปกติของการแจกแจงจะกล่าวถึงในเอกสารเฉพาะทาง

6. คำนวณขีดจำกัดความเชื่อมั่น e ของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม (องค์ประกอบสุ่มของข้อผิดพลาด) ของผลการวัด

ที่ไหน tq- ค่าสัมประสิทธิ์นักเรียน ขึ้นอยู่กับจำนวนการสังเกตและระดับความมั่นใจ ตัวอย่างเช่น เมื่อ น= 14, พี= 0,95 tq= 2.16. ค่าของสัมประสิทธิ์นี้มีให้ในภาคผนวกของมาตรฐานที่ระบุ

7. คำนวณขีด จำกัด ของข้อผิดพลาดเชิงระบบทั้งหมดที่ไม่ยกเว้น (TSE) ของผลการวัด Q (ตามสูตรในหัวข้อ 4.6)

8. วิเคราะห์อัตราส่วนของ Q และ :

หาก แสดงว่า NSP ถูกละเลยเมื่อเปรียบเทียบกับข้อผิดพลาดแบบสุ่ม และขีดจำกัดข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ ด=อี..ถ้า > 8 ข้อผิดพลาดแบบสุ่มสามารถละเลยและขีดจำกัดข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ ด=Θ . หากไม่พบความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง ระยะขอบของข้อผิดพลาดของผลลัพธ์จะพบโดยการสร้างองค์ประกอบของการแจกแจงข้อผิดพลาดแบบสุ่มและ NSP ตามสูตร: , โดยที่ ถึง– ค่าสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของข้อผิดพลาดแบบสุ่มและ NSP ส อี- การประเมินค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมของผลการวัด การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งหมดคำนวณโดยสูตร:

ค่าสัมประสิทธิ์ K คำนวณโดยสูตรเชิงประจักษ์:

ระดับความเชื่อมั่นในการคำนวณและต้องเท่ากัน

ข้อผิดพลาดจากการใช้สูตรสุดท้ายสำหรับการจัดองค์ประกอบของชุดเครื่องแบบ (สำหรับ NSP) และการกระจายแบบปกติ (สำหรับข้อผิดพลาดแบบสุ่ม) ถึง 12% ที่ระดับความเชื่อมั่นที่ 0.99

9. บันทึกผลการวัด มีสองตัวเลือกสำหรับการเขียนผลการวัด เนื่องจากจำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างการวัด เมื่อได้มูลค่าของปริมาณที่วัดได้เป็นเป้าหมายสูงสุด และการวัด ผลลัพธ์จะถูกใช้สำหรับการคำนวณหรือการวิเคราะห์เพิ่มเติม

ในกรณีแรก การทราบข้อผิดพลาดรวมของผลการวัดก็เพียงพอแล้ว และด้วยข้อผิดพลาดความเชื่อมั่นแบบสมมาตร ผลการวัดจะแสดงในรูปแบบ: , โดยที่

ผลการวัดอยู่ที่ไหน

ในกรณีที่สอง ควรทราบลักษณะของส่วนประกอบของข้อผิดพลาดในการวัด - การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลการวัด ขอบเขตของ NSP จำนวนการสังเกตที่ทำ ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับรูปแบบของฟังก์ชันการกระจายขององค์ประกอบข้อผิดพลาดของผลลัพธ์และความจำเป็นในการประมวลผลผลลัพธ์หรือการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดเพิ่มเติม ผลการวัดจะแสดงในรูปแบบ:

หากขอบเขตของ NSP คำนวณตามข้อ 4.6 ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น P จะถูกระบุเพิ่มเติม

ค่าประมาณและอนุพันธ์ของค่าสามารถแสดงได้ทั้งในรูปแบบสัมบูรณ์ นั่นคือ ในหน่วยของปริมาณที่วัดได้ และแบบสัมพัทธ์ นั่นคือ เป็นอัตราส่วนของค่าสัมบูรณ์ของปริมาณที่กำหนดต่อผลการวัด ในกรณีนี้ การคำนวณตามสูตรของส่วนนี้ควรทำโดยใช้ปริมาณที่แสดงในรูปแบบสัมบูรณ์หรือแบบสัมพัทธ์เท่านั้น

ฟิสิกส์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงทดลอง ซึ่งหมายความว่ากฎทางกายภาพได้รับการจัดตั้งขึ้นและทดสอบโดยการรวบรวมและเปรียบเทียบข้อมูลการทดลอง เป้าหมายของการประชุมเชิงปฏิบัติการทางกายภาพคือเพื่อให้นักเรียนได้สัมผัสกับปรากฏการณ์ทางกายภาพขั้นพื้นฐาน เรียนรู้วิธีการวัดค่าตัวเลขของปริมาณทางกายภาพอย่างถูกต้องและเปรียบเทียบกับสูตรทางทฤษฎี

การวัดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท - ตรงและ ทางอ้อม.

ที่ โดยตรงในการวัด ค่าของปริมาณที่ต้องการจะได้รับโดยตรงจากการอ่านค่าของเครื่องมือวัด ตัวอย่างเช่น ความยาววัดด้วยไม้บรรทัด เวลาตามนาฬิกา เป็นต้น

หากอุปกรณ์ไม่สามารถวัดปริมาณทางกายภาพที่ต้องการได้โดยตรง แต่แสดงผ่านปริมาณที่วัดได้โดยใช้สูตร การวัดดังกล่าวจะเรียกว่า ทางอ้อม.

การวัดปริมาณใดๆ ไม่ได้ให้ค่าที่ถูกต้องแม่นยำของปริมาณนี้ การวัดแต่ละครั้งมีข้อผิดพลาด (ข้อผิดพลาด) อยู่เสมอ ข้อผิดพลาดคือความแตกต่างระหว่างค่าที่วัดได้กับค่าจริง

ข้อผิดพลาดแบ่งออกเป็น เป็นระบบและ สุ่ม.

เป็นระบบเรียกว่าข้อผิดพลาดที่คงที่ตลอดชุดการวัดทั้งหมด ข้อผิดพลาดดังกล่าวเกิดจากความไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือวัด (เช่น ค่าออฟเซ็ตเป็นศูนย์ของอุปกรณ์) หรือวิธีการวัด โดยหลักการแล้ว จะถูกแยกออกจากผลลัพธ์สุดท้ายโดยการแนะนำการแก้ไขที่เหมาะสม

ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบยังรวมถึงข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัดด้วย ความแม่นยำของอุปกรณ์ใดๆ มีจำกัด และมีลักษณะเฉพาะตามระดับความแม่นยำ ซึ่งมักจะระบุไว้บนมาตราส่วนการวัด

สุ่มเรียกว่า ผิดพลาด ซึ่งแตกต่างกันไปในการทดลองต่างๆ และสามารถเป็นได้ทั้งทางบวกและทางลบ ข้อผิดพลาดแบบสุ่มเกิดจากสาเหตุที่ขึ้นอยู่กับทั้งอุปกรณ์วัด (แรงเสียดทาน ช่องว่าง ฯลฯ) และสภาวะภายนอก (การสั่นสะเทือน ความผันผวนของแรงดันไฟฟ้าในเครือข่าย ฯลฯ)

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มไม่สามารถตัดออกโดยสังเกตได้ แต่อิทธิพลที่มีต่อผลลัพธ์สามารถลดลงได้ด้วยการวัดซ้ำ

การคำนวณข้อผิดพลาดในการวัดโดยตรง ค่าเฉลี่ย และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เฉลี่ย

สมมติว่าเรากำลังสร้างชุดการวัดค่า X เนื่องจากการมีข้อผิดพลาดแบบสุ่ม เราได้รับ นความหมายที่แตกต่างกัน:

X 1, X 2, X 3 ... X น

จากผลการวัด มักจะใช้ค่าเฉลี่ย

ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและผลลัพธ์ ผม-การวัด th เรียกว่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการวัดนี้

ในการวัดความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ย เราสามารถหาค่าเฉลี่ยของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการวัดครั้งเดียวได้

(2)

ค่า
เรียกว่า ค่าคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ยเลขคณิต (หรือหมายถึงค่าสัมบูรณ์)

จากนั้นผลการวัดควรเขียนในรูปแบบ

(3)

ในการกำหนดลักษณะความถูกต้องของการวัด จะใช้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ซึ่งมักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

(4)

กรณีที่ 1จำนวนการวัดน้อยกว่าห้า

xกำหนดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์ของการวัดทั้งหมด กล่าวคือ

2) ตามสูตร (12) ข้อผิดพลาดที่แน่นอนของการวัดแต่ละรายการจะถูกคำนวณ

3) ตามสูตร (14) ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เฉลี่ยจะถูกกำหนด

4) ตามสูตร (15) คำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เฉลี่ยของผลการวัด

5) บันทึกผลสุดท้ายในรูปแบบต่อไปนี้:

กรณีที่ 2. จำนวนการวัดมากกว่าห้า

1) ตามสูตร (6) จะพบผลลัพธ์โดยเฉลี่ย

2) ตามสูตร (12) ข้อผิดพลาดที่แน่นอนของการวัดแต่ละรายการจะถูกกำหนด

3) ตามสูตร (7) จะคำนวณความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของการวัดครั้งเดียว

4) คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับค่าเฉลี่ยของค่าที่วัดได้โดยใช้สูตร (9)

5) ผลสุดท้ายจะถูกบันทึกไว้ในแบบฟอร์มต่อไปนี้

บางครั้งข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มอาจน้อยกว่าค่าที่อุปกรณ์วัด (เครื่องมือ) สามารถลงทะเบียนได้ ในกรณีนี้ สำหรับการวัดจำนวนเท่าใดก็ได้ จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน ในกรณีเช่นนี้ การแบ่งสัดส่วนครึ่งหนึ่งของเครื่องมือ (เครื่องมือ) ถือเป็นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์โดยเฉลี่ย ค่านี้บางครั้งเรียกว่าการจำกัดหรือข้อผิดพลาดของเครื่องมือ และแสดงแทน (สำหรับเครื่องมือเวอร์เนียร์และนาฬิกาจับเวลา จะเท่ากับความแม่นยำของเครื่องมือ)

การประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวัด

ในการทดลองใดๆ จำนวนของการวัดปริมาณทางกายภาพมักจะถูกจำกัดด้วยเหตุผลอย่างใดอย่างหนึ่ง ในการนี้ สามารถตั้งค่างานเพื่อประเมินความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำหนดด้วยความน่าจะเป็นที่สามารถโต้แย้งได้ว่าข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในกรณีนี้ไม่เกินค่าที่กำหนดไว้ ε ความน่าจะเป็นนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของความมั่นใจ ลองแสดงมันด้วยตัวอักษร

ปัญหาผกผันสามารถกำหนดได้: เพื่อกำหนดขอบเขตของช่วงเวลา เพื่อให้สามารถโต้แย้งได้ว่าค่าที่แท้จริงของการวัดปริมาณจะไม่เกินกว่าที่กำหนดซึ่งเรียกว่าช่วงความเชื่อมั่น

อย่างไรก็ตาม สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีของการประเมินความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ของการวัดปริมาณทางกายภาพด้วยการวัดซ้ำในจำนวนที่น้อยมาก ตัวอย่างเช่น, . นี่เป็นกรณีที่เรามักพบบ่อยในการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการทางฟิสิกส์ ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ แนะนำให้ใช้วิธีการโดยยึดหลักการกระจายตัวของนักเรียน (กฎหมาย)

เพื่อความสะดวกในการใช้งานจริงของวิธีการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา มีตารางที่คุณสามารถกำหนดช่วงความเชื่อมั่นที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่กำหนดหรือแก้ปัญหาผกผัน

ตัวอย่างเช่น ให้วัดปริมาณทางกายภาพที่แน่นอน (ภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน) ที่แม่นยำเท่ากันและคำนวณค่าเฉลี่ยของปริมาณนั้น จำเป็นต้องหาช่วงความเชื่อมั่นที่สอดคล้องกับระดับความเชื่อมั่นที่กำหนด โดยทั่วไปปัญหาจะได้รับการแก้ไขด้วยวิธีต่อไปนี้

ตามสูตรโดยคำนึงถึง (7) คำนวณ

จากนั้นสำหรับค่าที่กำหนด นและหาค่าตามตาราง (ตารางที่ 2) ค่าที่คุณกำลังมองหาคำนวณจากสูตร

เมื่อแก้ปัญหาผกผัน พารามิเตอร์จะถูกคำนวณก่อนโดยใช้สูตร (16) ค่าที่ต้องการของความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นนั้นนำมาจากตาราง (ตารางที่ 3) สำหรับตัวเลขที่ระบุและพารามิเตอร์ที่คำนวณได้

ตารางที่ 2ค่าพารามิเตอร์สำหรับจำนวนการทดลองที่กำหนด

และระดับความมั่นใจ

น	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

น		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
ข	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

การประมวลผลผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อม

ไม่ค่อยมีเนื้อหาในห้องปฏิบัติการหรือการทดลองทางวิทยาศาสตร์ลดลงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์จากการวัดโดยตรง โดยส่วนใหญ่ ปริมาณที่ต้องการจะเป็นหน้าที่ของปริมาณอื่นๆ อีกหลายอย่าง

งานของการประมวลผลการทดลองด้วยการวัดทางอ้อมคือการคำนวณค่าที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดของค่าที่ต้องการและประเมินข้อผิดพลาดของการวัดทางอ้อมตามผลการวัดโดยตรงของปริมาณ (อาร์กิวเมนต์) ที่เกี่ยวข้องกับค่าที่ต้องการโดยการพึ่งพาฟังก์ชันบางอย่าง

มีหลายวิธีในการจัดการการวัดทางอ้อม พิจารณาสองวิธีต่อไปนี้

ให้ปริมาณทางกายภาพบางอย่างถูกกำหนดโดยวิธีการวัดทางอ้อม

ผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงของอาร์กิวเมนต์ x, y, z แสดงไว้ในตาราง สี่.

ตารางที่ 4

หมายเลขประสบการณ์	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
น				…

วิธีแรกในการประมวลผลผลลัพธ์มีดังนี้ โดยใช้สูตรที่คำนวณได้ (17) ค่าที่ต้องการจะคำนวณจากผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้ง

(17)

วิธีการที่อธิบายไว้ในการประมวลผลผลลัพธ์นั้น โดยหลักการแล้ว ในทุกกรณีของการวัดทางอ้อมโดยไม่มีข้อยกเว้น อย่างไรก็ตาม เป็นการเหมาะสมที่สุดที่จะใช้เมื่อจำนวนของการวัดอาร์กิวเมนต์ซ้ำๆ มีน้อย และสูตรการคำนวณสำหรับค่าที่วัดทางอ้อมนั้นค่อนข้างง่าย

ในวิธีที่สองของการประมวลผลผลลัพธ์ของการทดลอง ขั้นแรกโดยใช้ผลลัพธ์ของการวัดโดยตรง (ตารางที่ 4) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอาร์กิวเมนต์แต่ละรายการรวมถึงข้อผิดพลาดของการวัดจะถูกคำนวณก่อน ทดแทน , , ,... ลงในสูตรการคำนวณ (17) กำหนดค่าที่น่าจะเป็นที่สุดของปริมาณที่วัดได้

(17*)