การคำนวณตัวอย่างข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์ ข้อผิดพลาดในการวัดค่าสัมบูรณ์

X \u003d X cf X

แอบโซลูท

ข้อผิดพลาด

ญาติ

ข้อผิดพลาด

a+ ข

a+ ข

บ่อยครั้งในชีวิตเราต้องจัดการกับค่าประมาณต่างๆ การคำนวณโดยประมาณเป็นการคำนวณที่มีข้อผิดพลาดอยู่เสมอ

แนวคิดของข้อผิดพลาดแน่นอน

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่าโดยประมาณคือโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนและค่าโดยประมาณ
นั่นคือจากค่าที่แน่นอน คุณต้องลบค่าโดยประมาณแล้วนำตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์มาโมดูโล ดังนั้นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จึงเป็นบวกเสมอ

วิธีการคำนวณข้อผิดพลาดแอบโซลูท

เราจะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้อาจมีลักษณะอย่างไรในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น เรามีกราฟของค่าหนึ่ง ให้มันเป็นพาราโบลา: y=x^2

จากกราฟ เราสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้ในบางจุด ตัวอย่างเช่น ที่ x=1.5 ค่าของ y จะอยู่ที่ประมาณ 2.2 (y≈2.2)

โดยใช้สูตร y=x^2 เราสามารถหาค่าที่แน่นอนที่จุด x=1.5 y= 2.25

ตอนนี้เราคำนวณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการวัดของเรา |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.

ข้อผิดพลาดที่แน่นอนคือ 0.05 ในกรณีเช่นนี้ พวกเขายังบอกด้วยว่าค่าถูกคำนวณด้วยความแม่นยำ 0.05

บ่อยครั้งที่ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถหาข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ได้เสมอไป

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดโดยใช้ไม้บรรทัด หรือมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ เราก็จะได้ค่าโดยประมาณ แต่ไม่สามารถคำนวณมูลค่าที่แน่นอนได้ ในกรณีนี้ เราสามารถระบุจำนวนที่ไม่เกินค่าของความผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ได้

ในตัวอย่างที่มีไม้บรรทัด ค่านี้จะเท่ากับ 0.1 ซม. เนื่องจากค่าหารบนไม้บรรทัดคือ 1 มม. ในตัวอย่างสำหรับไม้โปรแทรกเตอร์ 1 ดีกรีเป็นเพราะไม้โปรแทรกเตอร์มีการจัดระดับทุกองศา ดังนั้นค่าของความผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ในกรณีแรกคือ 0.1 และในกรณีที่สองคือ 1

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ เมื่อเราเปรียบเทียบความแม่นยำในการวัดของค่าโดยประมาณ เราใช้ข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์

แนวคิดของข้อผิดพลาดแน่นอน

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่าโดยประมาณคือโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนและค่าโดยประมาณ
ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สามารถใช้เปรียบเทียบความแม่นยำของการประมาณของปริมาณเดียวกัน และถ้าเราจะเปรียบเทียบความแม่นยำของการประมาณของปริมาณที่แตกต่างกัน ข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์เพียงอย่างเดียวก็ไม่เพียงพอ

ตัวอย่างเช่น:ความยาวของกระดาษ A4 คือ (29.7 ± 0.1) ซม. และระยะทางจากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กไปมอสโกคือ (650 ± 1) กม. ข้อผิดพลาดแน่นอนในกรณีแรกไม่เกินหนึ่งมิลลิเมตรและในวินาที - หนึ่งกิโลเมตร คำถามคือการเปรียบเทียบความถูกต้องของการวัดเหล่านี้

ถ้าคิดว่าความยาวของแผ่นวัดได้แม่นยำกว่าเพราะค่าคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1 มม. แล้วคุณคิดผิด ค่าเหล่านี้ไม่สามารถเปรียบเทียบได้โดยตรง มาทำเหตุผลกัน

เมื่อวัดความยาวของแผ่นงาน ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.1 ซม. โดย 29.7 ซม. นั่นคือ เป็นเปอร์เซ็นต์ คือ 0.1 / 29.7 * 100% = 0.33% ของค่าที่วัดได้

เมื่อเราวัดระยะทางจากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กไปมอสโก ข้อผิดพลาดแน่นอนไม่เกิน 1 กม. ต่อ 650 กม. ซึ่งเท่ากับ 1/650 * 100% = 0.15% ของค่าที่วัดได้เป็นเปอร์เซ็นต์ เราจะเห็นว่าระยะห่างระหว่างเมืองนั้นวัดได้แม่นยำกว่าความยาวของกระดาษ A4

แนวคิดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

ในการประเมินคุณภาพของการประมาณค่า ได้แนะนำแนวคิดใหม่เกี่ยวกับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือ ผลหารของการหารค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ด้วยโมดูลัสของค่าโดยประมาณของปริมาณที่วัดได้ โดยปกติ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ในตัวอย่างของเรา เรามีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สองข้อเท่ากับ 0.33% และ 0.15%

อย่างที่คุณอาจเดาได้ ค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์จะเป็นบวกเสมอ จากข้อเท็จจริงที่ว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เป็นค่าบวกเสมอ และเราหารด้วยโมดูลัส และโมดูลัสยังเป็นบวกเสมอ

เนื่องจากข้อผิดพลาดที่มีอยู่ในเครื่องมือวัด วิธีการที่เลือกและเทคนิคการวัด ความแตกต่างในสภาวะภายนอกที่ทำการวัดจากค่าที่กำหนดไว้ และสาเหตุอื่นๆ ผลลัพธ์ของการวัดเกือบทั้งหมดจึงมีข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดนี้มีการคำนวณหรือประมาณการและนำมาประกอบกับผลลัพธ์ที่ได้รับ

ข้อผิดพลาดในการวัด(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดในการวัด) - ส่วนเบี่ยงเบนของผลการวัดจากค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้

มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณอันเนื่องมาจากข้อผิดพลาดยังไม่ทราบ มันถูกใช้ในการแก้ปัญหาทางทฤษฎีของมาตรวิทยา ในทางปฏิบัติ จะใช้มูลค่าจริงของปริมาณ ซึ่งจะแทนที่มูลค่าที่แท้จริง

ข้อผิดพลาดในการวัด (Δx) หาได้จากสูตร:

x = x การวัด - x จริง (1.3)

โดยที่ x meas - มูลค่าของปริมาณที่ได้รับตามการวัด x จริง คือมูลค่าของปริมาณที่ใช้จริง

ค่าจริงสำหรับการวัดเดี่ยวมักใช้เป็นค่าที่ได้รับโดยใช้เครื่องมือวัดที่เป็นแบบอย่าง สำหรับการวัดซ้ำ - ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าของการวัดแต่ละรายการที่รวมอยู่ในชุดนี้

ข้อผิดพลาดในการวัดสามารถจำแนกได้ตามเกณฑ์ต่อไปนี้:

โดยธรรมชาติของการสำแดง - เป็นระบบและสุ่ม;

โดยวิธีการแสดงออก - สัมบูรณ์และสัมพัทธ์;

ตามเงื่อนไขสำหรับการเปลี่ยนค่าที่วัดได้ - แบบคงที่และแบบไดนามิก

ตามวิธีการประมวลผลจำนวนการวัด - เลขคณิตและค่าเฉลี่ยรูตกำลังสอง

ตามความสมบูรณ์ของงานวัด - ส่วนตัวและสมบูรณ์;

เกี่ยวกับหน่วยของปริมาณทางกายภาพ - ข้อผิดพลาดของการทำซ้ำของหน่วย การจัดเก็บของหน่วย และการส่งของขนาดของหน่วย

ข้อผิดพลาดในการวัดอย่างเป็นระบบ(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ) - องค์ประกอบของข้อผิดพลาดของผลการวัดซึ่งยังคงที่สำหรับชุดการวัดที่กำหนดหรือการเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอในระหว่างการวัดซ้ำของปริมาณทางกายภาพเดียวกัน

ตามลักษณะของการสำแดง ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบแบ่งออกเป็นแบบคงที่ แบบก้าวหน้า และแบบเป็นระยะ ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบถาวร(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดคงที่) - ข้อผิดพลาดที่คงค่าไว้เป็นเวลานาน (เช่นระหว่างชุดการวัดทั้งหมด) นี่เป็นข้อผิดพลาดประเภทที่พบบ่อยที่สุด

ข้อผิดพลาดของระบบที่ก้าวหน้า(ข้อผิดพลาดแบบค่อยเป็นค่อยไป) - ข้อผิดพลาดที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง (เช่น ข้อผิดพลาดจากการสึกหรอของเคล็ดลับการวัดที่มาสัมผัสระหว่างการเจียรด้วยชิ้นส่วนเมื่อถูกควบคุมโดยอุปกรณ์ควบคุมที่ทำงานอยู่)

ข้อผิดพลาดของระบบเป็นระยะ(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดเป็นระยะ) - ข้อผิดพลาดค่าซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลาหรือฟังก์ชันของการเคลื่อนที่ของตัวชี้ของอุปกรณ์วัด (ตัวอย่างเช่นการปรากฏตัวของความเยื้องศูนย์ใน goniometers ที่มีมาตราส่วนวงกลมทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ ที่แตกต่างกันไปตามกฎหมายเป็นระยะ)

จากสาเหตุของข้อผิดพลาดที่เป็นระบบ มีข้อผิดพลาดของเครื่องมือ ข้อผิดพลาดของวิธีการ ข้อผิดพลาดส่วนตัวและข้อผิดพลาดเนื่องจากการเบี่ยงเบนของเงื่อนไขการวัดภายนอกจากวิธีการที่จัดตั้งขึ้น

ข้อผิดพลาดในการวัดด้วยเครื่องมือ(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดของเครื่องมือ) เป็นผลมาจากสาเหตุหลายประการ: การสึกหรอของชิ้นส่วนเครื่องมือ, แรงเสียดทานมากเกินไปในกลไกเครื่องมือ, จังหวะที่ไม่ถูกต้องบนมาตราส่วน, ความคลาดเคลื่อนระหว่างค่าจริงและค่าเล็กน้อยของการวัด ฯลฯ

ข้อผิดพลาดของวิธีการวัด(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดของวิธีการ) อาจเกิดขึ้นเนื่องจากความไม่สมบูรณ์ของวิธีการวัดหรือการทำให้เข้าใจง่ายซึ่งกำหนดโดยขั้นตอนการวัด ตัวอย่างเช่น ข้อผิดพลาดดังกล่าวอาจเกิดจากความเร็วไม่เพียงพอของเครื่องมือวัดที่ใช้ในการวัดค่าพารามิเตอร์ของกระบวนการที่รวดเร็วหรือไม่นับสิ่งเจือปนเมื่อกำหนดความหนาแน่นของสารตามผลการวัดมวลและปริมาตร

ข้อผิดพลาดในการวัดอัตนัย(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดส่วนตัว) เกิดจากข้อผิดพลาดส่วนบุคคลของผู้ปฏิบัติงาน บางครั้งข้อผิดพลาดนี้เรียกว่าความแตกต่างส่วนบุคคล เกิดจากความล่าช้าหรือความก้าวหน้าในการรับสัญญาณจากผู้ปฏิบัติงาน

ข้อผิดพลาดการเบี่ยงเบน(ในทิศทางเดียว) เงื่อนไขการวัดภายนอกจากที่กำหนดโดยขั้นตอนการวัดจะทำให้เกิดองค์ประกอบที่เป็นระบบของข้อผิดพลาดในการวัด

ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบบิดเบือนผลการวัด ดังนั้นต้องกำจัดให้มากที่สุดโดยแนะนำการแก้ไขหรือปรับเครื่องมือเพื่อให้ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบน้อยที่สุดที่ยอมรับได้

ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบที่ไม่ยกเว้น(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดที่ไม่ได้ยกเว้น) - นี่คือข้อผิดพลาดของผลการวัดเนื่องจากข้อผิดพลาดในการคำนวณและแนะนำการแก้ไขสำหรับผลกระทบของข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบหรือข้อผิดพลาดระบบเล็กน้อยการแก้ไขที่ไม่ได้แนะนำเนื่องจาก ความเล็ก

ข้อผิดพลาดประเภทนี้บางครั้งเรียกว่า เศษอคติที่ไม่ได้รับการยกเว้น(สั้น ๆ - ยอดคงเหลือที่ไม่รวม) ตัวอย่างเช่น เมื่อทำการวัดความยาวของเครื่องวัดเส้นในความยาวคลื่นของการแผ่รังสีอ้างอิง ข้อผิดพลาดเชิงระบบที่ไม่ได้รับการยกเว้นหลายอย่างถูกเปิดเผย (i): เนื่องจากการวัดอุณหภูมิที่ไม่ถูกต้อง - 1 ; เนื่องจากการกำหนดดัชนีการหักเหของอากาศที่ไม่ถูกต้อง - 2 เนื่องจากค่าความยาวคลื่นที่ไม่ถูกต้อง - 3

โดยปกติ จะคำนึงถึงผลรวมของข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบที่ไม่ได้รับการยกเว้น (มีการกำหนดขอบเขต) ด้วยจำนวนเงื่อนไข N ≤ 3 ขอบเขตของข้อผิดพลาดเชิงระบบที่ไม่รวมจะถูกคำนวณโดยสูตร

เมื่อจำนวนพจน์เป็น N ≥ 4 จะใช้สูตรในการคำนวณ

(1.5)

โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์การพึ่งพาของข้อผิดพลาดเชิงระบบที่ไม่ได้รับการยกเว้นบนความน่าจะเป็นของความมั่นใจที่เลือก P พร้อมการกระจายแบบสม่ำเสมอ ที่ P = 0.99, k = 1.4, ที่ P = 0.95, k = 1.1

ข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่ม(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดแบบสุ่ม) - องค์ประกอบของข้อผิดพลาดของผลการวัด การเปลี่ยนแปลงแบบสุ่ม (ในเครื่องหมายและค่า) ในชุดของการวัดที่มีขนาดเท่ากันของปริมาณทางกายภาพ สาเหตุของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม: ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเมื่ออ่านค่าที่อ่านได้ ความผันแปรของค่าที่อ่านได้ การเปลี่ยนแปลงในสภาวะการวัดที่มีลักษณะสุ่ม เป็นต้น

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มทำให้เกิดการกระจายผลการวัดในอนุกรม

ทฤษฎีข้อผิดพลาดอยู่บนพื้นฐานของสองบทบัญญัติ ยืนยันโดยการปฏิบัติ:

1. ด้วยการวัดจำนวนมาก ข้อผิดพลาดแบบสุ่มของค่าตัวเลขเดียวกัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน มักเกิดขึ้นเท่าๆ กัน

2. ข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ (ในค่าสัมบูรณ์) มักน้อยกว่าข้อผิดพลาดเล็กน้อย

ข้อสรุปที่สำคัญสำหรับการปฏิบัติดังต่อไปนี้จากตำแหน่งแรก: ด้วยจำนวนการวัดที่เพิ่มขึ้น ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่มของผลลัพธ์ที่ได้จากชุดการวัดจะลดลง เนื่องจากผลรวมของข้อผิดพลาดของการวัดแต่ละชุดในอนุกรมนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์ เช่น.

(1.6)

ตัวอย่างเช่นจากการวัดจะได้ชุดของค่าความต้านทานไฟฟ้า (ซึ่งได้รับการแก้ไขสำหรับผลกระทบของข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ): R 1 \u003d 15.5 โอห์ม, R 2 \u003d 15.6 โอห์ม, R 3 \u003d 15.4 โอห์ม, R 4 \u003d 15, 6 โอห์มและ R 5 = 15.4 โอห์ม ดังนั้น R = 15.5 โอห์ม การเบี่ยงเบนจาก R (R 1 \u003d 0.0; R 2 \u003d +0.1 Ohm, R 3 \u003d -0.1 Ohm, R 4 \u003d +0.1 Ohm และ R 5 \u003d -0.1 Ohm) เป็นข้อผิดพลาดแบบสุ่มของการวัดแต่ละรายการใน a ซีรีส์ที่กำหนด ง่ายที่จะเห็นว่าผลรวม R i = 0.0 ซึ่งบ่งชี้ว่าข้อผิดพลาดของการวัดแต่ละรายการของชุดนี้คำนวณอย่างถูกต้อง

แม้ว่าจะมีการเพิ่มจำนวนการวัด ผลรวมของข้อผิดพลาดแบบสุ่มมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (ในตัวอย่างนี้ มันกลายเป็นศูนย์โดยไม่ได้ตั้งใจ) ข้อผิดพลาดแบบสุ่มของผลการวัดก็จำเป็นต้องประมาณ ในทฤษฎีตัวแปรสุ่ม การกระจายตัวของ o2 ทำหน้าที่เป็นลักษณะเฉพาะของการกระจายตัวของค่าของตัวแปรสุ่ม "| / o2 \u003d a เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วไปหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สะดวกกว่าการกระจายตัว เนื่องจากขนาดของมันตรงกับขนาดของปริมาณที่วัดได้ (เช่น ค่าของปริมาณที่ได้มาเป็นโวลต์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะเป็นโวลต์ด้วย) เนื่องจากในทางปฏิบัติการวัดหนึ่งเกี่ยวข้องกับคำว่า "ข้อผิดพลาด" คำว่า "ข้อผิดพลาด rms" ที่มาจากคำนี้จึงควรใช้เพื่อกำหนดลักษณะการวัดจำนวนหนึ่ง การวัดจำนวนหนึ่งสามารถระบุได้โดยความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือช่วงของผลการวัด

ช่วงของผลการวัด (ช่วงสั้นๆ) คือผลต่างเชิงพีชคณิตระหว่างผลลัพธ์ที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของการวัดแต่ละรายการที่สร้างชุด (หรือตัวอย่าง) ของการวัด n รายการ:

R n \u003d X สูงสุด - X นาที (1.7)

โดยที่ R n คือช่วง; X max และ X min - ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของปริมาณในชุดการวัดที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น จากห้าการวัดเส้นผ่านศูนย์กลางรู d ค่า R 5 = 25.56 มม. และ R 1 = 25.51 มม. กลายเป็นค่าสูงสุดและต่ำสุด ในกรณีนี้ R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25.56 มม. - 25.51 มม. \u003d 0.05 มม. ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดที่เหลือของซีรีส์นี้น้อยกว่า 0.05 มม.

ความคลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์เฉลี่ยของการวัดเดี่ยวในอนุกรม(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดของค่าเฉลี่ยเลขคณิต) - ลักษณะการกระเจิงทั่วไป (เนื่องจากเหตุผลแบบสุ่ม) ของผลการวัดแต่ละรายการ (ของค่าเดียวกัน) รวมอยู่ในชุดของ n การวัดอิสระที่แม่นยำเท่าเทียมกัน คำนวณโดยสูตร

(1.8)

โดยที่ X i คือผลลัพธ์ของการวัดที่ i-th ที่รวมอยู่ในชุดข้อมูล x คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่า n ของปริมาณ: |X i - X| คือค่าสัมบูรณ์ของความคลาดเคลื่อนของการวัดที่ i r คือค่าคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าที่แท้จริงของความผิดพลาดค่าเฉลี่ยเลขคณิต p ถูกกำหนดจากอัตราส่วน

พี = ลิมร, (1.9)

ด้วยจำนวนการวัด n > 30 ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต (r) และค่าเฉลี่ยกำลังสอง (ส)มีความเกี่ยวข้องกัน

s = 1.25r; r และ = 0.80 วิ (1.10)

ข้อดีของความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือความง่ายในการคำนวณ แต่มักจะระบุความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย

รูตหมายถึงข้อผิดพลาดกำลังสองการวัดแต่ละรายการในอนุกรม (อย่างสั้น - ความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยรูต) - ลักษณะการกระเจิงทั่วไป (เนื่องจากเหตุผลแบบสุ่ม) ของผลการวัดแต่ละรายการ (ของค่าเดียวกัน) รวมอยู่ในชุดของ พีการวัดอิสระที่แม่นยำเท่ากัน คำนวณโดยสูตร

(1.11)

ความคลาดเคลื่อนกำลังสองของค่าเฉลี่ยรูทสำหรับตัวอย่างทั่วไป o ซึ่งเป็นขีดจำกัดทางสถิติของ S สามารถคำนวณหา /i-mx > โดยสูตร:

Σ = limS (1.12)

ในความเป็นจริง จำนวนของมิติจะถูกจำกัดเสมอ ดังนั้นจึงไม่ใช่ σ ที่คำนวณได้ , และค่าโดยประมาณ (หรือค่าประมาณ) ซึ่งก็คือ s ยิ่ง พียิ่ง s เข้าใกล้ขีดจำกัด σ .

ด้วยการแจกแจงแบบปกติ ความน่าจะเป็นที่ความคลาดเคลื่อนของการวัดครั้งเดียวในชุดข้อมูลจะไม่เกินค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองของค่าเฉลี่ยรูทที่คำนวณได้มีน้อย: 0.68 ดังนั้น ใน 32 กรณีจาก 100 หรือ 3 กรณีจาก 10 ข้อผิดพลาดจริงอาจมากกว่าข้อผิดพลาดที่คำนวณได้

รูปที่ 1.2 ค่าความคลาดเคลื่อนแบบสุ่มของผลการวัดหลายค่าลดลงด้วยการเพิ่มจำนวนการวัดในอนุกรม

ในชุดการวัด มีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาด rms ของการวัดแต่ละรายการ s และข้อผิดพลาด rms ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต S x:

ซึ่งมักเรียกว่า "กฎของ Y n" จากกฎนี้ข้อผิดพลาดในการวัดอันเนื่องมาจากการกระทำของสาเหตุแบบสุ่มสามารถลดลงได้ n เท่า หากดำเนินการวัด n ที่มีขนาดเท่ากันของปริมาณใดๆ และนำค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นผลลัพธ์สุดท้าย (รูปที่ 1.2) ).

การวัดอย่างน้อย 5 ครั้งในซีรีย์ทำให้สามารถลดผลกระทบของข้อผิดพลาดแบบสุ่มได้มากกว่า 2 ครั้ง ด้วยการวัด 10 ครั้ง ผลกระทบของข้อผิดพลาดแบบสุ่มจะลดลง 3 เท่า การเพิ่มจำนวนการวัดเพิ่มเติมนั้นไม่สามารถทำได้ในเชิงเศรษฐกิจเสมอไป และตามกฎแล้ว จะดำเนินการสำหรับการวัดที่สำคัญซึ่งต้องการความแม่นยำสูงเท่านั้น

ความคลาดเคลื่อนกำลังสองของค่าเฉลี่ยรากของการวัดครั้งเดียวจากชุดการวัดสองเท่าที่เป็นเนื้อเดียวกัน S α คำนวณโดยสูตร

(1.14)

โดยที่ x" i และ x"" i คือผลลัพธ์ลำดับที่ i ของการวัดปริมาณขนาดเดียวกันในทิศทางไปข้างหน้าและย้อนกลับด้วยเครื่องมือวัดหนึ่งชิ้น

ด้วยการวัดที่ไม่เท่ากัน ความคลาดเคลื่อนกำลังสองของค่าเฉลี่ยรูตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตในอนุกรมนั้นถูกกำหนดโดยสูตร

(1.15)

โดยที่ p i คือน้ำหนักของการวัดที่ i-th ในชุดของการวัดที่ไม่เท่ากัน

ความคลาดเคลื่อนกำลังสองของรากของผลลัพธ์ของการวัดทางอ้อมของปริมาณ Y ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ Y \u003d F (X 1, X 2, X n) คำนวณโดยสูตร

(1.16)

โดยที่ S 1 , S 2 , S n คือข้อผิดพลาดรูท-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองของผลการวัดสำหรับ X 1 , X 2 , X n

ถ้าสำหรับความน่าเชื่อถือที่มากขึ้นในการได้ผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ มีการวัดหลายชุด ความคลาดเคลื่อนราก-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองของการวัดแต่ละรายการจาก m ซีรีส์ (S m) จะพบโดยสูตร

(1.17)

โดยที่ n คือจำนวนการวัดในชุดข้อมูล N คือจำนวนการวัดทั้งหมดในอนุกรมทั้งหมด m คือจำนวนชุดข้อมูล

ด้วยจำนวนการวัดที่จำกัด จึงมักจำเป็นต้องทราบข้อผิดพลาด RMS ในการพิจารณาข้อผิดพลาด S ซึ่งคำนวณโดยสูตร (2.7) และข้อผิดพลาด S m ซึ่งคำนวณโดยสูตร (2.12) คุณสามารถใช้นิพจน์ต่อไปนี้

(1.18)

(1.19)

โดยที่ S และ S m เป็นค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของ S และ S m ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น เมื่อประมวลผลผลลัพธ์ของชุดการวัดความยาว x เราได้รับ

= 86 มม. 2 ที่ n = 10,

= 3.1 มม.

= 0.7 มม. หรือ S = ±0.7 มม.

ค่า S = ±0.7 มม. หมายความว่าเนื่องจากข้อผิดพลาดในการคำนวณ s อยู่ในช่วง 2.4 ถึง 3.8 มม. ดังนั้น หนึ่งในสิบของมิลลิเมตรจึงไม่น่าเชื่อถือ ในกรณีที่พิจารณา จำเป็นต้องจด: S = ±3 มม.

เพื่อให้มีความมั่นใจมากขึ้นในการประมาณค่าความผิดพลาดของผลการวัด ข้อผิดพลาดของความเชื่อมั่นหรือขีดจำกัดความเชื่อมั่นของข้อผิดพลาดจะถูกคำนวณ ด้วยกฎการแจกแจงแบบปกติ ขีดจำกัดความเชื่อมั่นของข้อผิดพลาดจะคำนวณเป็น ±t-s หรือ ±t-s x โดยที่ s และ s x เป็นค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองของค่าเฉลี่ยรูตตามลำดับ ของการวัดครั้งเดียวในชุดและค่าเฉลี่ยเลขคณิต เสื้อ เป็นตัวเลขขึ้นอยู่กับระดับความเชื่อมั่น P และจำนวนการวัด n

แนวคิดที่สำคัญคือความน่าเชื่อถือของผลการวัด (α) เช่น ความน่าจะเป็นที่ค่าที่ต้องการของปริมาณที่วัดได้จะอยู่ภายในช่วงความเชื่อมั่นที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น เมื่อประมวลผลชิ้นส่วนบนเครื่องมือกลในโหมดเทคโนโลยีที่เสถียร การกระจายข้อผิดพลาดจะเป็นไปตามกฎหมายปกติ สมมติว่ากำหนดพิกัดความเผื่อความยาวของชิ้นส่วนไว้ที่ 2a ในกรณีนี้ ช่วงความเชื่อมั่นซึ่งค่าที่ต้องการของความยาวของชิ้นส่วน a จะอยู่ (a - a, a + a)

หาก 2a = ±3s ความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์คือ a = 0.68 นั่นคือ ใน 32 กรณีจาก 100 รายการ ขนาดชิ้นส่วนควรเกินค่าความเผื่อ 2a เมื่อประเมินคุณภาพของชิ้นส่วนตามความคลาดเคลื่อน 2a = ±3s ความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์จะเท่ากับ 0.997 ในกรณีนี้ คาดว่ามีเพียงสามส่วนจากทั้งหมด 1,000 รายการที่เกินพิกัดความเผื่อที่กำหนดไว้ อย่างไรก็ตาม ความน่าเชื่อถือที่เพิ่มขึ้นจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อข้อผิดพลาดในความยาวของชิ้นส่วนลดลงเท่านั้น ดังนั้น เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือจาก a = 0.68 เป็น a = 0.997 ข้อผิดพลาดในความยาวของชิ้นส่วนจะต้องลดลงสามเท่า

เมื่อเร็ว ๆ นี้ คำว่า "ความน่าเชื่อถือในการวัด" ได้กลายเป็นที่แพร่หลาย ในบางกรณี จะใช้แทนคำว่า "ความแม่นยำในการวัด" อย่างไม่สมเหตุสมผล ตัวอย่างเช่น ในบางแหล่ง คุณสามารถค้นหานิพจน์ "การสร้างความสามัคคีและความน่าเชื่อถือของการวัดในประเทศ" โดยที่เป็นการถูกต้องกว่าที่จะพูดว่า "การสร้างความสามัคคีและความแม่นยำในการวัด" เราถือว่าความน่าเชื่อถือเป็นคุณลักษณะเชิงคุณภาพ ซึ่งสะท้อนถึงความใกล้ชิดกับศูนย์ของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ในเชิงปริมาณสามารถกำหนดได้โดยความไม่น่าเชื่อถือของการวัด

ความไม่แน่นอนของการวัด(สั้น ๆ - ไม่น่าเชื่อถือ) - การประเมินความคลาดเคลื่อนระหว่างผลลัพธ์ในชุดการวัดเนื่องจากอิทธิพลของผลกระทบทั้งหมดของข้อผิดพลาดแบบสุ่ม (กำหนดโดยวิธีทางสถิติและไม่ใช่ทางสถิติ) กำหนดโดยช่วงของค่าใน ซึ่งเป็นมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้

ตามคำแนะนำของสำนักชั่งน้ำหนักและมาตรการระหว่างประเทศ ความไม่แน่นอนจะแสดงเป็นข้อผิดพลาดมาตรฐานรวมของการวัด - Su รวมถึงข้อผิดพลาดมาตรฐาน S (กำหนดโดยวิธีการทางสถิติ) และข้อผิดพลาดมาตรฐาน u (กำหนดโดยวิธีที่ไม่ใช่ทางสถิติ ), เช่น.

(1.20)

ข้อผิดพลาดในการวัดขีดจำกัด(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดเล็กน้อย) - ข้อผิดพลาดในการวัดสูงสุด (บวก ลบ) ความน่าจะเป็นที่ไม่เกินค่าของ P ในขณะที่ความแตกต่าง 1 - P ไม่มีนัยสำคัญ

ตัวอย่างเช่น ด้วยการแจกแจงแบบปกติ ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่ ±3 วินาทีคือ 0.997 และความแตกต่าง 1-P = 0.003 ไม่มีนัยสำคัญ ดังนั้น ในหลายกรณี ข้อผิดพลาดของความเชื่อมั่น ±3s จึงเป็นขีดจำกัด กล่าวคือ pr = ±3s หากจำเป็น pr ยังสามารถมีความสัมพันธ์อื่นๆ กับ s สำหรับ P ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ (2s, 2.5s, 4s เป็นต้น)

ในการเชื่อมต่อกับข้อเท็จจริงที่ว่าในมาตรฐาน GSI แทนที่จะใช้คำว่า "รูตหมายถึงความคลาดเคลื่อนกำลังสอง" จะใช้คำว่า "ค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ยรูต" ในการให้เหตุผลเพิ่มเติม เราจะยึดถือคำนี้

ข้อผิดพลาดในการวัดค่าสัมบูรณ์(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดแน่นอน) - ข้อผิดพลาดในการวัดแสดงเป็นหน่วยของค่าที่วัดได้ ดังนั้น ข้อผิดพลาด X ของการวัดความยาวของส่วน X ซึ่งแสดงเป็นไมโครมิเตอร์ จึงเป็นข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์

คำว่า "ข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์" และ "ค่าความผิดพลาดแบบสัมบูรณ์" ไม่ควรสับสน ซึ่งเข้าใจว่าเป็นค่าของข้อผิดพลาดโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย ดังนั้น หากข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์คือ ±2 μV ค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดจะเป็น 0.2 μV

ข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์(สั้น ๆ - ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์) - ข้อผิดพลาดในการวัดซึ่งแสดงเป็นเศษส่วนของค่าของค่าที่วัดได้หรือเป็นเปอร์เซ็นต์ พบข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ δ จากอัตราส่วน:

(1.21)

ตัวอย่างเช่น มีค่าจริงของความยาวชิ้นส่วน x = 10.00 มม. และค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาด x = 0.01 มม. ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะเป็น

ข้อผิดพลาดคงที่คือความคลาดเคลื่อนของผลการวัดอันเนื่องมาจากสภาวะของการวัดแบบสถิต

ข้อผิดพลาดแบบไดนามิกคือความคลาดเคลื่อนของผลการวัดอันเนื่องมาจากสภาวะของการวัดแบบไดนามิก

ข้อผิดพลาดในการทำสำเนาหน่วย- ข้อผิดพลาดของผลการวัดที่ดำเนินการเมื่อทำซ้ำหน่วยของปริมาณทางกายภาพ ดังนั้นข้อผิดพลาดในการทำซ้ำหน่วยโดยใช้มาตรฐานของรัฐจะแสดงในรูปแบบของส่วนประกอบ: ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบที่ไม่ได้รับการยกเว้นซึ่งมีลักษณะเป็นขอบเขต ข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่โดดเด่นด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s และความไม่แน่นอนรายปี ν

ข้อผิดพลาดในการส่งขนาดหน่วยคือข้อผิดพลาดในผลลัพธ์ของการวัดที่ดำเนินการเมื่อส่งขนาดของหน่วย ข้อผิดพลาดในการส่งขนาดหน่วยรวมถึงข้อผิดพลาดที่ไม่เป็นระบบและข้อผิดพลาดแบบสุ่มของวิธีการและวิธีการส่งขนาดหน่วย (เช่น ตัวเปรียบเทียบ)

ในทางปฏิบัติ โดยปกติตัวเลขที่ทำการคำนวณจะเป็นค่าโดยประมาณของปริมาณที่แน่นอน เพื่อความกระชับ ค่าโดยประมาณของปริมาณเรียกว่าจำนวนโดยประมาณ มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณเรียกว่าจำนวนที่แน่นอน ตัวเลขโดยประมาณมีค่าที่ใช้งานได้จริงก็ต่อเมื่อเราสามารถกำหนดระดับความแม่นยำที่ได้รับนั่นคือ ประเมินข้อผิดพลาดของมัน ระลึกถึงแนวคิดพื้นฐานจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ทั่วไป

แสดงว่า: x- จำนวนที่แน่นอน (มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณ) เอ- จำนวนโดยประมาณ (ค่าโดยประมาณของปริมาณ)

คำจำกัดความ 1. ข้อผิดพลาด (หรือข้อผิดพลาดจริง) ของตัวเลขโดยประมาณคือความแตกต่างระหว่างตัวเลข xและค่าโดยประมาณ เอ. ข้อผิดพลาดโดยประมาณ เอเราจะแสดงว่า ดังนั้น,

จำนวนที่แน่นอน xส่วนใหญ่มักไม่เป็นที่รู้จัก ดังนั้นจึงไม่สามารถค้นหาข้อผิดพลาดที่แท้จริงและแน่นอนได้ ในทางกลับกัน อาจจำเป็นต้องประมาณค่าความผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ กล่าวคือ ระบุตัวเลขที่ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่สามารถเกินได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อวัดความยาวของวัตถุด้วยเครื่องมือนี้ เราต้องแน่ใจว่าข้อผิดพลาดของค่าตัวเลขที่ได้รับจะไม่เกินจำนวนที่กำหนด เช่น 0.1 มม. กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องรู้ขอบเขตของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ ขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์การจำกัด

คำจำกัดความ 3. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัดของจำนวนโดยประมาณ เอเรียกว่าจำนวนบวก เช่น

วิธี, Xโดยขาด, เกิน. รายการต่อไปนี้ยังใช้:

เป็นที่ชัดเจนว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัดถูกกำหนดอย่างคลุมเครือ: หากจำนวนหนึ่งเป็นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัด จำนวนที่มากกว่านั้นก็คือข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัด ในทางปฏิบัติ พวกเขาพยายามเลือกจำนวนที่น้อยที่สุดและเรียบง่าย (ที่มีเลขนัยสำคัญ 1-2 หลัก) ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (2.3)

ตัวอย่าง.กำหนดข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ที่แท้จริง สัมบูรณ์ และขีดจำกัดของจำนวน a \u003d 0.17 ซึ่งถือเป็นค่าโดยประมาณของตัวเลข

ข้อผิดพลาดที่แท้จริง:

ข้อผิดพลาดแน่นอน:

สำหรับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์แบบจำกัด คุณสามารถใช้ตัวเลขและจำนวนที่มากกว่าก็ได้ ในรูปแบบทศนิยม เราจะมี: การแทนที่ตัวเลขนี้ด้วยระเบียนที่มีขนาดใหญ่และอาจง่ายกว่า เราจะยอมรับ:

ความคิดเห็น. ถ้า เอเป็นค่าโดยประมาณของตัวเลข Xและข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ จำกัด เท่ากับ ชม.แล้วพวกเขากล่าวว่า เอเป็นค่าโดยประมาณของตัวเลข Xจนถึง ชม.

การรู้ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่เพียงพอต่อการกำหนดลักษณะคุณภาพของการวัดหรือการคำนวณ ยกตัวอย่าง ผลลัพธ์ดังกล่าวได้มาจากการวัดความยาว ระยะห่างระหว่างสองเมือง S1=500 1 กม. และระยะทางระหว่างสองอาคารในเมือง S2=10 1 กม. แม้ว่าข้อผิดพลาดแน่นอนของผลลัพธ์ทั้งสองจะเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม มันเป็นสิ่งสำคัญที่ในกรณีแรกข้อผิดพลาดแน่นอน 1 กม. ตก 500 กม. ในวินาที - 10 กม. คุณภาพการวัดในกรณีแรกดีกว่าในกรณีที่สอง คุณภาพของผลการวัดหรือผลการคำนวณมีลักษณะเป็นข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

คำจำกัดความ 4ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าโดยประมาณ เอตัวเลข Xคืออัตราส่วนของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของจำนวน เอถึงค่าสัมบูรณ์ของจำนวน X:

คำจำกัดความ 5.ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จำกัดของจำนวนโดยประมาณ เอเรียกว่าจำนวนบวกเช่นนั้น

เนื่องจาก ตามมาจากสูตร (2.7) ที่สามารถคำนวณได้จากสูตร

เพื่อความกระชับ ในกรณีที่สิ่งนี้ไม่ทำให้เกิดความเข้าใจผิด แทนที่จะ "จำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์" พวกเขาเพียงพูดว่า "ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์"

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่จำกัดมักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

ตัวอย่าง 1. . สมมติว่าเราสามารถยอมรับได้ = โดยการหารและปัดเศษ (จำเป็นต้องขึ้นไป) เราจะได้ = 0.0008 = 0.08%

ตัวอย่าง 2เมื่อชั่งน้ำหนักร่างกาย ได้ผลลัพธ์: p=23.4 0.2 g. เรามี = 0.2. . หารและปัดเศษ เราจะได้ = 0.9%

สูตร (2.8) กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์ จากสูตร (2.8) ดังนี้

โดยใช้สูตร (2.8) และ (2.9) เราทำได้ถ้าทราบตัวเลข เอค้นหาข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ตามข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่กำหนดและในทางกลับกัน

โปรดทราบว่ามักจะต้องใช้สูตร (2.8) และ (2.9) แม้ว่าเราจะไม่ทราบจำนวนโดยประมาณ เอด้วยความแม่นยำที่ต้องการ แต่เราทราบค่าประมาณคร่าวๆ เอ. ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องวัดความยาวของวัตถุที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 0.1% คำถามคือ เป็นไปได้ไหมที่จะวัดความยาวด้วยความแม่นยำที่ต้องการโดยใช้คาลิปเปอร์ที่ให้คุณวัดความยาวโดยมีค่าความผิดพลาดสูงสุด 0.1 มม. แม้ว่าเราจะยังไม่ได้วัดวัตถุด้วยเครื่องมือที่แม่นยำ แต่เรารู้ว่าค่าความยาวโดยประมาณคร่าวๆ จะอยู่ที่ประมาณ 12 ซม.ตามสูตร (1.9) เราพบข้อผิดพลาดแน่นอน:

จากนี้ จะเห็นได้ว่าการใช้คาลิปเปอร์ทำให้สามารถทำการวัดได้อย่างแม่นยำตามที่ต้องการ

ในกระบวนการคำนวณ บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องเปลี่ยนจากข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์เป็นข้อผิดพลาดแบบสัมพัทธ์ และในทางกลับกัน ซึ่งทำได้โดยใช้สูตร (1.8) และ (1.9)

ไม่พบคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? ดูที่นี่

ลุงวันยา พล็อตเรื่อง “ลุงอีวาน ทัศนคติต่ออาจารย์ของผู้อื่น

Tsakhes น้อยชื่อเล่น Zinnober

Maikov, Apollon Nikolaevich - ชีวประวัติสั้น