การคำนวณอินทิกรัลแน่นอนโดยวิธีสี่เหลี่ยม การรวมตัวเลข

เยคาเตรินเบิร์ก

การคำนวณอินทิกรัลแน่นอน

บทนำ

งานของการรวมฟังก์ชันเชิงตัวเลขคือการคำนวณค่าประมาณของอินทิกรัลบางตัว:

ขึ้นอยู่กับชุดของค่าของจำนวนเต็ม( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

สูตรสำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขของอินทิกรัลเดียวเรียกว่าสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส, ลูกบาศก์คู่และทวีคูณมากกว่า

เทคนิคปกติสำหรับการสร้างสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือการแทนที่จำนวนเต็ม f(x) บนเซ็กเมนต์ด้วยฟังก์ชันการประมาณค่าหรือการประมาณ g(x) ของรูปแบบที่ค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่น พหุนาม ตามด้วยการรวมเชิงวิเคราะห์ นำไปสู่การนำเสนอ

ละเลยเทอมที่เหลือ R[f] เราได้รับสูตรโดยประมาณ

แสดงโดย y i = f(x i) ค่าของ integrand ที่จุดต่างๆ บน . สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสูตรประเภทปิด ถ้า x 0 =a, x n =b

เป็นฟังก์ชันโดยประมาณ g(x) เราพิจารณาพหุนามการประมาณค่าในรูปของพหุนามลากรองจ์:

, โดยที่ โดยที่ระยะเวลาที่เหลือของสูตรการแก้ไขลากรองจ์อยู่ที่ไหน

สูตร (1) ให้

, (2)

. (3)

ในสูตร (2) ปริมาณ () เรียกว่าโหนด () - น้ำหนัก - ข้อผิดพลาดของสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส หากน้ำหนัก () ของสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคำนวณโดยสูตร (3) ดังนั้นสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้องจะเรียกว่าสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของประเภทการประมาณค่า

สรุป.

1. น้ำหนัก () ของสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (2) สำหรับการจัดเรียงโหนดที่กำหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับประเภทของอินทิกรัล

2. ในสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของประเภทการประมาณค่า ระยะที่เหลือ R n [f] สามารถแสดงเป็นค่าของตัวดำเนินการส่วนต่างเฉพาะบนฟังก์ชัน f(x) สำหรับ

3. สำหรับพหุนามจนถึงลำดับรวม n สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (2) นั้นแน่นอน กล่าวคือ . ดีกรีสูงสุดของพหุนามที่มีสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แน่นอนเรียกว่า ดีกรีของสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

พิจารณากรณีพิเศษของสูตร (2) และ (3): วิธีการของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมคางหมู, พาราโบลา (วิธีของซิมป์สัน) ชื่อของวิธีการเหล่านี้เกิดจากการตีความทางเรขาคณิตของสูตรที่เกี่ยวข้อง

วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า

อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันของฟังก์ชัน ฉ(x): เป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y=0, x=a, x=b, y=f(x) (รูปที่ 1).

ข้าว. 1 พื้นที่ใต้เส้นโค้ง y=f(x) ในการคำนวณพื้นที่นี้ ช่วงการรวมทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็น n ช่วงย่อยที่เท่ากันของความยาว h=(b-a)/n พื้นที่ใต้ปริพันธ์จะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมโดยประมาณ ดังแสดงในรูปที่ (2)

ข้าว. 2 พื้นที่ใต้เส้นโค้ง y=f(x) ถูกประมาณโดยผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม
ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมดคำนวณโดยสูตร

วิธีที่แสดงโดยสูตร (4) เรียกว่าวิธีกล่องด้านซ้าย และวิธีที่แสดงโดยสูตร (5) เรียกว่าวิธีกล่องด้านขวา:

ข้อผิดพลาดในการคำนวณอินทิกรัลถูกกำหนดโดยค่าของขั้นตอนการรวม h ยิ่งขั้นตอนการรวมมีขนาดเล็กเท่าใด ผลรวมของอินทิกรัล S ก็จะยิ่งใกล้เคียงกับค่าของอินทิกรัล I โดยอิงจากสิ่งนี้ อัลกอริธึมถูกสร้างขึ้นเพื่อคำนวณอินทิกรัลด้วยความแม่นยำที่กำหนด ถือว่าผลรวมอินทิกรัล S แทนค่าของอินทิกรัล I ด้วยความแม่นยำของ eps หากผลต่างของค่าสัมบูรณ์ระหว่างผลรวมอินทิกรัลและคำนวณด้วยขั้นตอน h และ h/2 ตามลำดับ ไม่เกิน eps

ในการหาอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้วิธีการของสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลาง พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น a และ b จะถูกแบ่งออกเป็น n สี่เหลี่ยมที่มีฐานเดียวกัน h ความสูงของสี่เหลี่ยมจะเป็นจุดตัดของฟังก์ชัน f(x) ด้วย จุดกึ่งกลางของสี่เหลี่ยม (h/2) อินทิกรัลจะเป็นตัวเลขเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม n รูป (รูปที่ 3)

ข้าว. 3 พื้นที่ใต้เส้นโค้ง y=f(x) ถูกประมาณโดยผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม

n คือจำนวนพาร์ติชั่นของเซ็กเมนต์

วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

ในการหาอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งยังถูกแบ่งออกเป็น n สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมที่มีความสูง h และฐาน y 1, y 2, y 3,..y n โดยที่ n คือจำนวน สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม อินทิกรัลจะเป็นตัวเลขเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม (รูปที่ 4)

ข้าว. 4 พื้นที่ใต้เส้นโค้ง y=f(x) ถูกประมาณโดยผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

n คือจำนวนพาร์ติชั่น

(6)

ความคลาดเคลื่อนของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณโดยตัวเลข

ข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเร็วกว่าเมื่อเติบโตมากกว่าข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูช่วยให้คุณได้ความแม่นยำมากกว่าวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรซิมป์สัน

หากสำหรับแต่ละคู่ของเซ็กเมนต์ เราสร้างพหุนามของดีกรีที่สอง จากนั้นรวมเข้ากับเซกเมนต์และใช้คุณสมบัติการบวกของอินทิกรัล เราก็จะได้สูตรซิมป์สัน

ในวิธีการของซิมป์สันในการคำนวณอินทิกรัลแน่นอน ช่วงการรวมทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงย่อยที่มีความยาวเท่ากัน h=(b-a)/n จำนวนพาร์ติชันเป็นเลขคู่ จากนั้น ในแต่ละคู่ของช่วงย่อยที่อยู่ติดกัน ฟังก์ชันอินทิกรัลย่อย f(x) จะถูกแทนที่ด้วยพหุนามลากรองจ์ของดีกรีที่สอง (รูปที่ 5)

ข้าว. 5 ฟังก์ชัน y=f(x) บนเซ็กเมนต์ถูกแทนที่ด้วยพหุนามของลำดับที่ 2

พิจารณาอินทิกรัลบนช่วง ให้เราแทนที่อินทิกรัลนี้ด้วยพหุนามการแก้ไขลากรองจ์ดีกรีที่สองที่ประจวบกับ y= ที่จุด :

เรารวมเข้ากับส่วน .:

เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร:

ด้วยสูตรการทดแทน

หลังจากรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้สูตร Simpson:

ค่าที่ได้รับสำหรับอินทิกรัลตรงกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และพาราโบลาที่ผ่านจุดต่างๆ ในส่วน สูตรของ Simpson จะมีลักษณะดังนี้:

ในสูตรพาราโบลา ค่าของฟังก์ชัน f (x) ที่จุดแยกคี่ x 1, x 3, ..., x 2 n -1 มีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 4 ที่จุดคู่ x 2, x 4, .. ., x 2 n -2 - สัมประสิทธิ์ 2 และที่จุดขอบเขตสองจุด x 0 \u003d a, x n \u003d b - สัมประสิทธิ์ 1

ความหมายทางเรขาคณิตของสูตรของซิมป์สัน: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งภายใต้กราฟของฟังก์ชัน f(x) บนเซ็กเมนต์จะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขที่วางอยู่ใต้พาราโบลาโดยประมาณ

หากฟังก์ชัน f(x) มีอนุพันธ์ต่อเนื่องของลำดับที่สี่ ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดของสูตรซิมป์สันจะไม่เกิน

โดยที่ M คือค่าที่ใหญ่ที่สุดในกลุ่ม เนื่องจาก n 4 เติบโตเร็วกว่า n 2 ข้อผิดพลาดของสูตรของ Simpson จะลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น n เร็วกว่าข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู

เราคำนวณอินทิกรัล

อินทิกรัลนี้คำนวณได้ง่าย:

ลองหา n เท่ากับ 10, h=0.1 คำนวณค่าของ integrand ที่จุดพาร์ติชั่น เช่นเดียวกับจุดครึ่งจำนวนเต็ม .

ตามสูตรสี่เหลี่ยมตรงกลาง เราได้ I ตรง = 0.785606 (ข้อผิดพลาด 0.027%) ตามสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู I trap = 0.784981 (ข้อผิดพลาดประมาณ 0.054 เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมด้านขวาและซ้ายข้อผิดพลาด มากกว่า 3%

เพื่อเปรียบเทียบความถูกต้องของสูตรโดยประมาณ เราจะคำนวณค่าปริพันธ์อีกครั้ง

แต่ตอนนี้ตามสูตร Simpson สำหรับ n=4 เราแบ่งส่วนออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันด้วยคะแนน x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 และคำนวณค่าโดยประมาณ ของฟังก์ชัน f (x) \u003d 1 / ( 1+x) ที่จุดเหล่านี้: y 0 =1.00000, y 1 =0.8000, y 2 =0.6667, y 3 =0.5714, y 4 =0.5000

โดยสูตรของซิมป์สัน เราจะได้

ให้เราประเมินข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ที่ได้รับ สำหรับอินทิกรัล f(x)=1/(1+x) เรามี: f (4) (x)=24/(1+x) 5 ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้นในเซ็กเมนต์ ดังนั้นเราสามารถหา M=24 และข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ไม่เกิน 24/(2880× 4 4)=0.0004 การเปรียบเทียบค่าโดยประมาณกับค่าที่แน่นอน เราสรุปได้ว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของผลลัพธ์ที่ได้จากสูตรซิมป์สันนั้นน้อยกว่า 0.00011 ซึ่งเป็นไปตามค่าประมาณข้อผิดพลาดที่ให้ไว้ข้างต้น และนอกจากนี้ ยังระบุว่าสูตรซิมป์สันมีความแม่นยำมากกว่าสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูมาก ดังนั้น สูตรซิมป์สันสำหรับการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอนจึงถูกใช้บ่อยกว่าสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู

เปรียบเทียบวิธีการเพื่อความแม่นยำ

ลองเปรียบเทียบวิธีการในแง่ของความแม่นยำ สำหรับสิ่งนี้ เราจะคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชัน y=x, y=x+2, y=x 2 , ที่ n=10 และ n=60, a=0, b=10 . มูลค่าที่แน่นอนของปริพันธ์คือ 50, 70, 333.(3)

ตารางที่ 1

ตารางที่ 1 แสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลที่เที่ยงตรงที่สุดที่สูตร Simpson ค้นพบ เมื่อคำนวณฟังก์ชันเชิงเส้น y=x, y=x+2 ความแม่นยำนั้นทำได้โดยวิธีสี่เหลี่ยมตรงกลางและวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู วิธีขวา สี่เหลี่ยมมีความแม่นยำน้อยกว่า ตารางที่ 1 แสดงให้เห็นว่าด้วยการเพิ่มจำนวนพาร์ติชั่น n (การเพิ่มจำนวนของการรวม) ความแม่นยำของการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลจะเพิ่มขึ้น

มอบหมายงานห้องปฏิบัติการ

1) เขียนโปรแกรมสำหรับคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้วิธีการ: กลาง, สี่เหลี่ยมด้านขวา, สี่เหลี่ยมคางหมูและวิธีของซิมป์สัน ดำเนินการผสานรวมฟังก์ชันต่อไปนี้:

ในส่วนที่มีขั้นตอน , ,

3. ดำเนินการเปลี่ยนแปลงของแต่ละงาน (ตารางที่ 2)

ตารางที่ 2 ตัวเลือกงานส่วนบุคคล

	ฟังก์ชัน f(x)	ส่วนของการรวมตัว

2) ดำเนินการวิเคราะห์เปรียบเทียบของวิธีการ

การคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน: แนวทางการทำงานในห้องปฏิบัติการในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ" / คอมพ์ ไอ.เอ. เซลิวาโนว่า เยคาเตรินเบิร์ก: GOU VPO USTU-UPI, 2549 14 น.

แนวทางนี้จัดทำขึ้นสำหรับนักเรียนทุกรูปแบบการศึกษาเฉพาะทาง 230101 - "คอมพิวเตอร์ คอมเพล็กซ์ ระบบและเครือข่าย" และปริญญาตรีสาขา 230100 - "วิทยาการคอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์" เรียบเรียงโดย Selivanova Irina Anatolyevna

ภาพกราฟิก:

ให้เราคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัล ในการประเมินความถูกต้อง เราใช้การคำนวณโดยวิธีสี่เหลี่ยมด้านซ้ายและขวา

คำนวณขั้นตอนเมื่อแบ่งออกเป็น 10 ส่วน:

จุดแยกของส่วนถูกกำหนดเป็น

เราคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลโดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยมด้านซ้าย:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

เราคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลโดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยมด้านขวา:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

การแก้ปัญหาค่าขอบเขตสำหรับสมการอนุพันธ์สามัญโดยวิธีกวาด

สำหรับคำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สามารถใช้วิธีการกวาดได้

พิจารณา d.p. เชิงเส้น

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

ด้วยเงื่อนไขขอบเขตเชิงเส้นสองจุด

มาแนะนำสัญกรณ์:

วิธีการกวาดประกอบด้วย "การเคลื่อนที่ไปข้างหน้า" ซึ่งกำหนดค่าสัมประสิทธิ์:

หลังจากดำเนินการ "เดินหน้า" พวกเขาจะดำเนินการ "ย้อนกลับ" ซึ่งประกอบด้วยการกำหนดค่าของฟังก์ชันที่ต้องการตามสูตร:

ใช้วิธีการกวาด เขียนคำตอบของปัญหาค่าขอบเขตสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่มีความแม่นยำ ขั้นตอน ชั่วโมง=0.05

2; ก=1; =0; ข=1.2;

ปัญหา Dirichlet สำหรับสมการ Laplace โดยวิธีกริด

ค้นหาฟังก์ชันต่อเนื่อง u(x, y) ที่ตรงกับสมการ Laplace ภายในพื้นที่สี่เหลี่ยม

และรับขอบเขตของภูมิภาคที่กำหนดค่าเช่น

โดยที่ f l , f 2 , f 3 , f 4 ได้รับฟังก์ชัน

แนะนำสัญกรณ์ เราประมาณอนุพันธ์บางส่วนและที่โหนดกริดภายในแต่ละโหนดโดยอนุพันธ์อันดับสองส่วนกลาง

และแทนที่สมการลาปลาซด้วยสมการความแตกต่างจำกัด

ข้อผิดพลาดของการแทนที่สมการอนุพันธ์ด้วยผลต่างคือ

สมการ (1) ร่วมกับค่าที่โหนดขอบเขตสร้างระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสำหรับค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน ยู(x, y) ที่โหนดกริด ระบบนี้มีรูปแบบที่ง่ายที่สุดเมื่อ:

เมื่อได้สมการกริด (2) จะใช้โครงร่างของโหนดที่แสดงในรูปที่ 1 1. ชุดของโหนดที่ใช้ในการประมาณสมการ ณ จุดหนึ่งเรียกว่าเทมเพลต

รูปที่ 1

การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหา Dirichlet สำหรับสมการ Laplace ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าประกอบด้วยการค้นหาค่าโดยประมาณของฟังก์ชันที่ต้องการ u(x, y) ที่โหนดภายในของกริด ในการกำหนดปริมาณ จำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (2)

ในบทความนี้ จะแก้ไขโดยวิธี Gauss--Seidel ซึ่งประกอบด้วยการสร้างลำดับการวนซ้ำของแบบฟอร์ม

(ตัวยกหมายถึงหมายเลขการวนซ้ำ) สำหรับ ลำดับมาบรรจบกับคำตอบที่แน่นอนของระบบ (2) เป็นเงื่อนไขสำหรับการสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำ เราสามารถเอา

ดังนั้น ข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่ได้จากวิธีกริดจึงประกอบด้วยข้อผิดพลาดสองประการ: ข้อผิดพลาดในการประมาณสมการเชิงอนุพันธ์ตามผลต่าง ข้อผิดพลาดที่เกิดจากการแก้ปัญหาโดยประมาณของระบบสมการผลต่าง (2)

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ารูปแบบความแตกต่างที่อธิบายไว้ในที่นี้มีคุณสมบัติของความเสถียรและการบรรจบกัน ความเสถียรของรูปแบบหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในข้อมูลเริ่มต้นนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการแก้ปัญหาความแตกต่าง เฉพาะรูปแบบดังกล่าวเท่านั้นที่นำไปใช้ในการคำนวณจริง การบรรจบกันของรูปแบบหมายความว่าเมื่อขั้นตอนกริดมีแนวโน้มเป็นศูนย์ () การแก้ปัญหาความแตกต่างมีแนวโน้มที่จะแก้ปัญหาเดิมในแง่หนึ่ง ดังนั้นโดยการเลือกขั้นตอนเล็ก ๆ ที่เพียงพอ h เราสามารถแก้ปัญหาเดิมได้โดยพลการอย่างแน่นอน

ใช้วิธีกริด เขียนวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของปัญหาไดริชเล็ตสำหรับสมการลาปลาซในสี่เหลี่ยม ABCD ที่มีจุดยอด A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); ขั้นตอน ชั่วโมง=0.02 เมื่อแก้ปัญหา ให้ใช้กระบวนการเฉลี่ยซ้ำของ Libman จนกว่าจะได้คำตอบที่มีความแม่นยำ 0.01

1) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ด้านข้าง:

1. ด้าน AB : ตามสูตร ยู(0;0)=0 ยู(0;0.2)=9.6 ยู(0;0.4)=16.8 ยู(0;0.6)=19.2 ยู(0;0.8)=14.4 ยู(0;1)=0
2. ด้าน BC=0
3. ด้าน CD=0

4. ด้าน AD: โดยสูตร u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)=29.44 ยู(1;0)=0
2) เพื่อกำหนดค่าของฟังก์ชันที่จุดภายในของภูมิภาคโดยใช้วิธีกริด เราแทนที่สมการ Laplace ที่กำหนดในแต่ละจุดด้วยสมการความแปรปรวนจำกัดตามสูตร

โดยใช้สูตรนี้ เราจะสร้างสมการสำหรับแต่ละจุดภายใน เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการ

การแก้ปัญหาของระบบนี้ดำเนินการโดยวิธีการวนซ้ำประเภท Liebman สำหรับแต่ละค่า เราสร้างลำดับที่เราสร้างขึ้นเพื่อบรรจบกันในหนึ่งในร้อย ให้เราเขียนความสัมพันธ์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราจะพบองค์ประกอบของลำดับทั้งหมด:

สำหรับการคำนวณโดยใช้สูตรเหล่านี้ จำเป็นต้องกำหนดค่าเริ่มต้นที่หาได้ไม่ว่าด้วยวิธีใด

3) เพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นโดยประมาณ เราถือว่าฟังก์ชัน u(x,y) มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอตามแนวนอนของพื้นที่

ขั้นแรก ให้พิจารณาเส้นแนวนอนที่มีจุดขอบเขต (0;0.2) และ (1;0.2)

ให้เราแสดงค่าที่ต้องการของฟังก์ชันที่จุดภายในผ่าน

เนื่องจากเซกเมนต์ถูกแบ่งออกเป็น 5 ส่วน ขั้นตอนการวัดของฟังก์ชัน

จากนั้นเราได้รับ:

ในทำนองเดียวกัน เราพบค่าของฟังก์ชันที่จุดภายในของแนวนอนอื่นๆ สำหรับแนวนอน โดยมีจุดขอบเขต (0;0.4) และ (1;0.4) เรามี

สำหรับแนวนอนที่มีจุดขอบเขต (0;0.6) และ (1;0.6) เรามี

สุดท้าย เราพบค่าของแนวนอนที่มีจุดขอบเขต (0;0.8) และ (1;0.8)

เราจะนำเสนอค่าที่ได้รับทั้งหมดในตารางต่อไปนี้ซึ่งเรียกว่ารูปแบบ null:

การประมาณระยะเวลาที่เหลือของสูตร:

หรือ

งานบริการ. บริการนี้มีไว้สำหรับการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์โดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยม

คำแนะนำ. ป้อน integrand f(x) คลิก Solve โซลูชันที่ได้จะถูกบันทึกในไฟล์ Word เทมเพลตโซลูชันจะถูกสร้างขึ้นใน Excel ด้วย ด้านล่างเป็นวิดีโอคำแนะนำ

กฎการป้อนฟังก์ชัน

ตัวอย่าง
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) นี่คือสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมที่ง่ายที่สุดสำหรับการคำนวณอินทิกรัล ซึ่งใช้ค่าหนึ่งของฟังก์ชัน

(8.5.1)
ที่ไหน ; h=x 1 -x 0 .
สูตร (8.5.1) เป็นสูตรกลางของสี่เหลี่ยม ลองคำนวณส่วนที่เหลือ ให้เราขยายฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด ε 0 เป็นอนุกรมเทย์เลอร์:
(8.5.2)
ที่ไหน ; . เรารวม (8.5.2):

(8.5.3)

ในระยะที่สอง integrand เป็นเลขคี่ และขีดจำกัดของการรวมจะสมมาตรตามจุด ε 0 . ดังนั้นอินทิกรัลที่สองจึงเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จาก (8.5.3) จะเป็นดังนี้ .
เนื่องจากตัวประกอบที่สองของอินทิกรัลไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ดังนั้นโดยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยที่เราได้รับ , ที่ไหน . หลังจากบูรณาการ เราจะได้ . (8.5.4)
เมื่อเทียบกับส่วนที่เหลือของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะเห็นว่าข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้าน้อยกว่าข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูสองเท่า ผลลัพธ์นี้เป็นจริงหากในสูตรของสี่เหลี่ยมเราใช้ค่าของฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลาง
เราได้สูตรของสี่เหลี่ยมและระยะที่เหลือสำหรับช่วงเวลา ให้กริด x i =a+ih, i=0,1,...,n, . พิจารณาตาราง ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2 แล้ว . (8.5.5)
ระยะเวลาคงเหลือ .
ในทางเรขาคณิต สูตรของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถแสดงด้วยรูปต่อไปนี้:

หากกำหนดฟังก์ชัน f (x) ในตาราง ให้ใช้สูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านซ้ายมือ (สำหรับเส้นตารางที่สม่ำเสมอ)

หรือสูตรทางขวาของสี่เหลี่ยม

.
ข้อผิดพลาดของสูตรเหล่านี้ประเมินได้จากอนุพันธ์อันดับ 1 สำหรับช่วงเวลา ข้อผิดพลาดคือ

; .
หลังจากบูรณาการ เราจะได้ .

ตัวอย่าง. คำนวณอินทิกรัลสำหรับ n=5:
ก) ตามสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
b) ตามสูตรของสี่เหลี่ยม
c) ตามสูตรซิมป์สัน
d) ตามสูตรเกาส์;
จ) ตามสูตร Chebyshev
คำนวณข้อผิดพลาด
วิธีการแก้. สำหรับโหนดการรวม 5 โหนด ขั้นตอนกริดจะเป็น 0.125
เมื่อแก้เราจะใช้ตารางค่าฟังก์ชัน ที่นี่ f(x)=1/x.

	x		เอฟ(x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

ก) สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:
ผม=h/2×;
ผม=(0.125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢(x);
f¢(x)=2/(x 3).
ค่าสูงสุดของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันในช่วงเวลาคือ 16: max (f¢¢(x)), xн=2/(0.5 3)=16 ดังนั้น
R=[-(1-0.5)/12]×0.125×16=- 0.0833;
b) สูตรสี่เหลี่ยม:
สำหรับสูตรทางซ้ายมือ I=h×(y0+y1+y2+y3);
ผม=0.125×(2+1.6+1.33+1.14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2×y¢(x);
R=[(1-0.5)/6]×0.125 2×16= 0.02;
c) สูตรของซิมป์สัน:
ฉัน=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
ผม=(2×0.125)/6×(2+1+4×(1.6+1.14)+2×1.33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4×y (4) (x);
ฉ(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0.5)/180]×(0.125) 4×768 = - 5.2 อี-4;
d) สูตรเกาส์:
ฉัน=(b-a)/2×;
x ผม =(b+a)/2+t ผม (b-a)/2
(A i , t i - ค่าตาราง)

				เสื้อ (n=5)		เอ (n=5)
x1	0.9765	y1	1.02	t1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t2	0.53846931	A2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	A4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	A5	0.23692688

ผม=(1-0.5)/2×(0.2416+0.5408+0.7566+0.7777+0.4525)= 0.6923;
จ) สูตร Chebyshev:
ผม=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - การลดช่วงการรวมที่จำเป็นเป็นช่วง [-1;1]
สำหรับ n=5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

ลองหาค่า x และค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:

x1	0,958	ฉ(x1)	1,043
x2	0,844	ฉ(x2)	1,185
x3	0,75	ฉ(x3)	1,333
x4	0,656	ฉ(x4)	1,524
x5	0,542	ฉ(x5)	1,845

ผลรวมของค่าฟังก์ชันคือ 6.927
ผม=(1-0.5)/5×6.927=0.6927.

โดยทั่วไป สูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านซ้ายในส่วน ดังนี้ (21) :

ในสูตรนี้ x 0 =a, x น =bเนื่องจากอินทิกรัลโดยทั่วไปมีลักษณะดังนี้: (ดูสูตร 18 ).

h สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร 19 .

y 0 ,y 1 ,...,ย n-1 x 0 , x 1 ,...,x n-1 (x ผม =x i-1 +ห่า).

สูตรสี่เหลี่ยมมุมฉาก.

โดยทั่วไป สูตรสี่เหลี่ยมมุมฉากในส่วน ดังนี้ (22) :

ในสูตรนี้ x 0 =a, x น =b(ดูสูตรสี่เหลี่ยมด้านซ้าย)

h สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเดียวกับในสูตรของสี่เหลี่ยมด้านซ้าย

y 1 ,y 2 ,...,ย นคือค่าของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน f(x) ที่จุด x 1 , x 2 ,...,x น (x ผม =x i-1 +ห่า).

สูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลาง

โดยทั่วไป สูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลางในส่วน ดังนี้ (23) :

ที่ไหน x ผม =x i-1 +ห่า.

ในสูตรนี้เช่นเดียวกับในสูตรก่อนหน้า h จะต้องคูณผลรวมของค่าของฟังก์ชัน f (x) แต่ไม่ใช่แค่การแทนที่ค่าที่สอดคล้องกัน x 0 ,x 1 ,...,x n-1ลงในฟังก์ชัน f(x) แล้วบวกค่าเหล่านี้เข้าไปแต่ละค่า ชั่วโมง/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) แล้วแทนที่พวกมันลงในฟังก์ชันที่กำหนดเท่านั้น

h สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเดียวกับในสูตรสี่เหลี่ยมด้านซ้าย" [ 6 ]

ในทางปฏิบัติวิธีการเหล่านี้ถูกนำมาใช้ดังนี้:

Mathcad ;

เก่ง .

Mathcad ;

เก่ง .

ในการคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉลี่ยใน Excel คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ทำงานในเอกสารเดิมต่อไปเมื่อคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยมด้านซ้ายและขวา

ป้อนข้อความ xi+h/2 ในเซลล์ E6 และ f(xi+h/2) ในเซลล์ F6

ป้อนสูตร =B7+$B$4/2 ในเซลล์ E7 คัดลอกสูตรนี้โดยลากไปยังช่วงของเซลล์ E8:E16

ป้อนสูตร =ROOT(E7^4-E7^3+8) ในเซลล์ F7 คัดลอกสูตรนี้โดยดึงไปที่ช่วงของเซลล์ F8:F16

ป้อนสูตร =SUM(F7:F16) ในเซลล์ F18

ป้อนสูตร =B4*F18 ในเซลล์ F19

ป้อนข้อความของค่าเฉลี่ยในเซลล์ F20

เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

คำตอบ: ค่าของอินทิกรัลที่กำหนดคือ 13.40797

จากผลลัพธ์ที่ได้ เราสามารถสรุปได้ว่าสูตรสำหรับสี่เหลี่ยมตรงกลางนั้นแม่นยำกว่าสูตรสำหรับสี่เหลี่ยมด้านขวาและด้านซ้าย

1. วิธีมอนติคาร์โล

"แนวคิดหลักของวิธีมอนติคาร์โลคือการสุ่มทดสอบซ้ำหลายครั้ง คุณลักษณะเฉพาะของวิธีมอนติคาร์โลคือการใช้ตัวเลขสุ่ม (ค่าตัวเลขของตัวแปรสุ่มบางตัว) ตัวเลขดังกล่าวสามารถรับได้โดยใช้ ตัวสร้างตัวเลขสุ่ม ตัวอย่างเช่น ภาษาโปรแกรม Turbo Pascal มีฟังก์ชันมาตรฐาน สุ่มที่มีค่าเป็นตัวเลขสุ่มกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา . ซึ่งหมายความว่าหากคุณแบ่งเซ็กเมนต์ที่ระบุเป็นช่วงที่เท่ากันจำนวนหนึ่ง และคำนวณค่าของฟังก์ชันสุ่มเป็นจำนวนมาก ครั้ง ตัวเลขสุ่มจำนวนเท่ากันโดยประมาณจะตกในแต่ละช่วง ในภาษาการเขียนโปรแกรมลุ่มน้ำ เซ็นเซอร์ที่คล้ายกันคือฟังก์ชัน rnd ในสเปรดชีต MS Excel ฟังก์ชัน RANDส่งกลับตัวเลขสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และน้อยกว่า 1 (เปลี่ยนแปลงเมื่อคำนวณใหม่)" [ 7 ].

ในการคำนวณคุณต้องใช้สูตร () :