การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยที่กำหนดโดยระบบสมการ

กำหนดระบบสมการ

หรือสั้นๆF(x, y)=0 (1)

คำนิยาม. ระบบ (1) กำหนดฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายy= ฉ(x) บนดี R น

,

ถ้า x ดี : F(x , ฉ(x)) = 0.

ทฤษฎีบท (การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการทำแผนที่ที่กำหนดโดยปริยายโดยระบบสมการ) อนุญาต

แล้วในละแวกใกล้เคียงบ้างยู (x 0 ) มีฟังก์ชั่นเฉพาะ (การทำแผนที่) ที่กำหนดไว้ในละแวกนี้y = ฉ(x), ดังนั้น

 x ยู (x 0 ) : F(x, ฉ(x))=0 และy 0 = ฉ(x 0 ).

ฟังก์ชันนี้สร้างความแตกต่างได้อย่างต่อเนื่องในบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุดx 0 .

5. การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยที่กำหนดโดยระบบสมการ

ระบบที่กำหนด

(1)

เราจะถือว่าเงื่อนไขของการดำรงอยู่และทฤษฎีบทเฉพาะสำหรับฟังก์ชันโดยปริยายที่กำหนดโดยระบบสมการนี้เป็นที่พอใจ เราแสดงถึงฟังก์ชันนี้ y= ฉ(x) . จากนั้นในบริเวณใกล้เคียงของจุด x 0 ตัวตน

(F(x, f(x))=0) (2)

แยกแยะเอกลักษณ์เหล่านี้ด้วยความเคารพ x เจ เราได้รับ

=0 (3)

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์

, (3)

หรือขยายออก

.

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงจากความเท่าเทียมกัน F(x, ฉ(x))=0 ถึง
, สอดคล้องกับกฎของความแตกต่างในกรณีเมื่อ x และ yเป็นจุดในปริภูมิหนึ่งมิติ เมทริกซ์ ไม่ได้เสื่อมไปตามสมมติฐาน ดังนั้นสมการเมทริกซ์
มีทางแก้
. ดังนั้นเราสามารถหาอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชันโดยปริยายได้ . ในการหาส่วนต่างเราแสดงว่า

dy = ,dx = , แยกแยะความเท่าเทียมกัน (2) เราได้รับ

=0 ,

หรือในรูปแบบเมทริกซ์

. (4)

ขยาย

.

เช่นเดียวกับกรณีอนุพันธ์ย่อย สูตร (4) เรามีรูปแบบเดียวกับกรณีของช่องว่างหนึ่งมิติ น=1, พี=1. คำตอบของสมการเมทริกซ์นี้สามารถเขียนได้เป็น
. ในการหาอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่สอง จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของตัวตน (3) (ในการคำนวณส่วนต่างอันดับสอง คุณต้องแยกความแตกต่างของข้อมูลประจำตัว (4) ). ดังนั้นเราจึงได้รับ

,

ผ่านที่ไหน อา มีการระบุเงื่อนไขที่ไม่มีคำที่ต้องการ
.

เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบนี้สำหรับกำหนดอนุพันธ์
คือเมทริกซ์จาโคเบียน .

สามารถหาสูตรที่คล้ายกันได้สำหรับส่วนต่าง ในแต่ละกรณีเหล่านี้ จะได้สมการเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์เดียวกัน ในระบบสมการเพื่อหาอนุพันธ์หรืออนุพันธ์ที่ต้องการ สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นภายใต้ความแตกต่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา ,,ณ จุดนั้น ยู=1, วี=1.

วิธีการแก้. แยกแยะความเท่าเทียมกันที่กำหนด

(5)

สังเกตว่า ตามสูตรของปัญหา เราควรพิจารณาเป็นตัวแปรอิสระ x, y. จากนั้นฟังก์ชันจะเป็น z, ยู, วี. ดังนั้นระบบ (5) ตัดสินใจในสิ่งที่ไม่รู้จัก ดู, dv, dz . ในรูปแบบเมทริกซ์จะมีลักษณะดังนี้

.

มาแก้ระบบนี้โดยใช้กฎของแครมเมอร์ ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สัมประสิทธิ์

, ตัวกำหนด "แทนที่" ตัวที่สามสำหรับ dz จะเท่ากับ (คำนวณโดยขยายคอลัมน์สุดท้าย)

, แล้ว

dz =
, และ
,
.

สร้างความแตกต่าง (5) อีกครั้ง ( x, y – ตัวแปรอิสระ)

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบเหมือนกัน ดีเทอร์มีแนนต์ที่สาม

แก้ระบบนี้ เราได้รับนิพจน์สำหรับ d 2 z ซึ่งคุณสามารถหาอนุพันธ์ที่ต้องการได้

ดังที่คุณทราบ ฟังก์ชันที่กำหนดโดยนัยของตัวแปรหนึ่งตัวถูกกำหนดดังนี้: ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x จะถูกเรียกโดยปริยาย หากถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่ถูกแก้ไขด้วยความเคารพต่อ y:

ตัวอย่าง 1.11

สมการ

โดยปริยายกำหนดสองหน้าที่:

และสมการ

ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันใด ๆ

ทฤษฎีบท 1.2 (การมีอยู่ของฟังก์ชันโดยปริยาย)

ให้ฟังก์ชัน z \u003d f (x, y) และอนุพันธ์บางส่วนของมัน f "x และ f" y ถูกกำหนดและต่อเนื่องในละแวกใกล้เคียง UM0 ของจุด M0 (x0y0) นอกจากนี้ f(x0,y0)=0 และ f"(x0,y0)≠0 จากนั้น Eq. (1.33) กำหนดในละแวกใกล้เคียงของ UM0 ฟังก์ชันโดยปริยาย y= y(x) ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วงเวลา D โดยมีจุดศูนย์กลางที่จุด x0 และ y(x0)=y0

ไม่มีหลักฐาน.

จากทฤษฎีบท 1.2 เป็นไปตามช่วงเวลา D นี้:

นั่นคือมีอัตลักษณ์ใน

โดยจะพบอนุพันธ์ "รวม" ตาม (1.31)

นั่นคือ (1.35) ให้สูตรสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยนัยของตัวแปรหนึ่งตัว x

ฟังก์ชันโดยนัยของตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไปถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างเช่น หากในบางพื้นที่ V ของช่องว่าง Oxyz สมการต่อไปนี้เป็นจริง:

จากนั้นภายใต้เงื่อนไขบางประการของฟังก์ชัน F จะกำหนดฟังก์ชันโดยปริยาย

ในเวลาเดียวกัน โดยการเปรียบเทียบกับ (1.35) อนุพันธ์ย่อยของมันถูกพบดังนี้:

ตัวอย่าง 1.12 สมมติว่าสมการ

กำหนดฟังก์ชันโดยปริยาย

ค้นหา z "x, z" y

ดังนั้นตาม (1.37) เราได้รับคำตอบ

11. การใช้อนุพันธ์ย่อยในเรขาคณิต

12. Extrema ของฟังก์ชันของสองตัวแปร

แนวคิดของฟังก์ชันสูงสุด ต่ำสุด และสูงสุด ของตัวแปรสองตัวนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันของตัวแปรอิสระหนึ่งตัว (ดูหัวข้อ 25.4)

ให้ฟังก์ชัน z = ƒ(х;у) ถูกกำหนดในบางโดเมน D จุด N(x0;y0) н D

จุด (x0; y0) เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน z=ƒ(x; y) หากมีย่านใกล้เคียงของจุด (x0; y0) ที่สำหรับแต่ละจุด (x; y) นอกเหนือจาก (xo; yo) ย่านนี้ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

แต่ จุดต่ำสุดของฟังก์ชันถูกกำหนดอย่างมีเหตุผล: สำหรับทุกจุด (x; y) นอกเหนือจาก (x0; y0) อสมการต่อไปนี้ถือจาก d-neighborhood ของจุด (xo; yo): ƒ(x; y) >ƒ(x0; y0).

ในรูปที่ 210: N1 คือจุดสูงสุด และ N2 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน z=ƒ(x;y)

ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดสูงสุด (ต่ำสุด) เรียกว่า ค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุดเรียกว่า extrema

โปรดทราบว่าโดยอาศัยอำนาจตามคำจำกัดความ จุดปลายสุดของฟังก์ชันอยู่ภายในโดเมนของฟังก์ชัน ค่าสูงสุดและต่ำสุดมีอักขระท้องถิ่น (ท้องถิ่น): ค่าของฟังก์ชันที่จุด (x0; y0) ถูกเปรียบเทียบกับค่าที่จุดที่ใกล้เคียงกับ (x0; y0) พอสมควร ในภูมิภาค D ฟังก์ชันอาจมีหลายจุดหรือไม่มีเลย

46.2. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสุดขั้ว

พิจารณาเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว

ทฤษฎีบท 46.1 (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดโต่ง) ถ้า ณ จุด N (x0; y0) ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล z \u003d ƒ (x; y) มีปลายสุด ดังนั้นอนุพันธ์บางส่วน ณ จุดนี้จะเท่ากับศูนย์: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0 ƒ" y (x0; y0 )=0.

เราแก้ไขหนึ่งในตัวแปร สมมติว่า y=y0 จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน ƒ(x; y0)=φ(x) ของตัวแปรหนึ่งตัวซึ่งมีปลายสุดที่ x = x0 ดังนั้นตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว (ดูย่อหน้าที่ 25.4), φ "(x0) \u003d 0 นั่นคือ ƒ "x (x0; y0) \u003d 0

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า ƒ "y (x0; y0) \u003d 0

ในเชิงเรขาคณิต ความเท่าเทียมกัน ƒ "x (x0; y0) \u003d 0 และƒ "y (x0; y0) \u003d 0 หมายความว่าที่จุดปลายสุดของฟังก์ชัน z \u003d ƒ (x; y) ระนาบสัมผัสถึง พื้นผิวที่แสดงฟังก์ชัน ƒ (x; y ) ขนานกับระนาบ Oxy เนื่องจากสมการของระนาบสัมผัสคือ z=z0 (ดูสูตร (45.2))

W บันทึก. ฟังก์ชันสามารถมีปลายสุดที่จุดที่ไม่มีอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน มีค่าสูงสุดที่จุด O (0; 0) (ดูรูปที่ 211) แต่ไม่มีอนุพันธ์บางส่วน ณ จุดนี้

จุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน z ≈ ƒ(x; y) เท่ากับศูนย์ นั่นคือ f "x=0, f" y=0 เรียกว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน z

จุดและจุดที่อยู่กับที่ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งส่วนเรียกว่าจุดวิกฤต

ที่จุดวิกฤต ฟังก์ชันอาจมีหรือไม่มีสุดโต่งก็ได้ ความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ของอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดโต่ง ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาฟังก์ชัน z = xy สำหรับเธอ จุด O (0; 0) เป็นสิ่งสำคัญ (ในนั้น z "x \u003d y และ z" y - x หายไป) อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชัน z=xy ไม่มีส่วนปลายในนั้น เนื่องจากในย่านที่เล็กพอของจุด O(0; 0) มีจุดที่ z>0 (จุด I และ III ของไตรมาส) และ z< 0 (точки II и IV четвертей).

ดังนั้น เพื่อที่จะค้นหาจุดสุดขั้วของฟังก์ชันในภูมิภาคที่กำหนด จำเป็นต้องนำจุดวิกฤตแต่ละจุดของฟังก์ชันไปศึกษาเพิ่มเติม

ทฤษฎีบท 46.2 (เงื่อนไขเพียงพอสำหรับสุดขั้ว). ปล่อยให้ฟังก์ชัน ƒ(x; y) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องจนถึงลำดับที่สองรวมที่จุดคงที่ (xo; yo) และบางส่วนของบริเวณใกล้เคียง ให้เราคำนวณที่จุด (x0;y0) ค่า A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . หมายถึง

1. ถ้า Δ > 0 แสดงว่าฟังก์ชัน ƒ(x; y) ที่จุด (x0; y0) มีเอ็กซ์ตรีม: สูงสุดถ้า A< 0; минимум, если А > 0;

2. ถ้า Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

ในกรณีของ Δ = 0 อาจมีหรือไม่มีสุดขั้วที่จุดนั้น (x0; y0) จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

งาน

1.

ตัวอย่าง.ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน วิธีการแก้.ก้าวแรกคือ การหาพื้นที่ของนิยามฟังก์ชัน. ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรหายไป ดังนั้น . มาดูฟังก์ชันอนุพันธ์กัน: ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันและในขอบเขตของคำจำกัดความ ให้เราใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีช่วงเวลา รากที่แท้จริงของตัวเศษคือ x=2และตัวส่วนจะหายไปที่ x=0. จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงเครื่องหมายไว้ มาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวนกัน โดยค่าบวกและค่าลบ เราระบุช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นค่าบวกหรือค่าลบตามเงื่อนไข ลูกศรด้านล่างแผนผังแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง ทางนี้, และ . ณ จุดนั้น x=2ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่อง ดังนั้นจึงต้องเพิ่มทั้งช่วงที่เพิ่มขึ้นและช่วงที่ลดลง ณ จุดนั้น x=0ฟังก์ชันนี้ไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้นจุดนี้จึงไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ ตอบ:ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย , ลดลงในช่วงเวลา (0; 2] .

2.

ตัวอย่าง.

กำหนดช่วงเวลาสำหรับความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง y = 2 – x 2 .

มาหากัน y"" และกำหนดว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นค่าบวกและค่าลบอยู่ที่ใด y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = อี x. เพราะ y"" = อี x > 0 สำหรับใดๆ xจากนั้นเส้นโค้งเว้าทุกที่

y = x 3 . เพราะ y"" = 6x, แล้ว y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 เมื่อ x> 0. ดังนั้น ที่ x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 คือเว้า

3.

4. กำหนดฟังก์ชัน z=x^2-y^2+5x+4y, เวกเตอร์ l=3i-4j และจุด A(3,2) ค้นหา dz/dl (ตามที่ฉันเข้าใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันในทิศทางของเวกเตอร์), gradz(A), |gradz(A)|. ค้นหาอนุพันธ์บางส่วน: z(ใน x)=2x+5 z(ใน y)=-2y+4 ค้นหาค่าของอนุพันธ์ที่จุด A(3,2): z(ใน x)(3,2)= 2*3+ 5=11 z(by y)(3,2)=-2*2+4=0 ^2)=11 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน z ในทิศทางของเวกเตอร์ l: dz/dl=z( ใน x)*cosa+z(in y)*cosb, a,b-angles ของเวกเตอร์ l ที่มีแกนพิกัด cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้โดยปริยาย นั่นคือ ให้โดยสมการบางตัวที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรซึ่งกันและกัน xและ y. ตัวอย่างของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

,

,

อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยนั้นหาได้ง่ายพอสมควร ตอนนี้ มาวิเคราะห์กฎและตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกัน แล้วค้นหาว่าเหตุใดจึงจำเป็น

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้โดยปริยาย จำเป็นต้องแยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x เทอมเหล่านั้นที่มีเพียง x เท่านั้นจะกลายเป็นอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันของ x และเทอมที่มี y จะต้องสร้างความแตกต่างโดยใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน เนื่องจาก y เป็นฟังก์ชันของ x ถ้ามันค่อนข้างง่าย ในผลลัพธ์อนุพันธ์ของเทอมที่มี x มันควรจะเป็น: อนุพันธ์ของฟังก์ชันจาก y คูณด้วยอนุพันธ์ของ y ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของคำศัพท์จะถูกเขียนเป็น อนุพันธ์ของคำศัพท์จะถูกเขียนเป็น นอกจากนี้ จากทั้งหมดนี้ จำเป็นต้องแสดง "จังหวะ y" นี้และจะได้อนุพันธ์ที่ต้องการของฟังก์ชันที่ให้โดยปริยาย ลองดูสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

วิธีการแก้. เราแยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x โดยสมมติว่า y เป็นฟังก์ชันของ x

จากที่นี่เราจะได้อนุพันธ์ที่จำเป็นในงาน:

ตอนนี้บางอย่างเกี่ยวกับคุณสมบัติที่คลุมเครือของฟังก์ชันที่กำหนดไว้โดยนัย และเหตุใดจึงจำเป็นต้องมีกฎพิเศษสำหรับการแยกความแตกต่าง ในบางกรณี คุณสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าการแทนที่ในสมการที่กำหนด (ดูตัวอย่างด้านบน) แทนที่จะเป็น y ของนิพจน์ผ่าน x จะทำให้สมการนี้กลายเป็นเอกลักษณ์ ดังนั้น. สมการข้างต้นกำหนดฟังก์ชันต่อไปนี้โดยปริยาย:

หลังจากแทนนิพจน์ y กำลังสองถึง x ลงในสมการดั้งเดิม เราได้เอกลักษณ์:

.

นิพจน์ที่เราแทนได้มาจากการแก้สมการของ y

หากเราต้องแยกแยะฟังก์ชั่นที่ชัดเจนที่สอดคล้องกัน

จากนั้นเราจะได้รับการตอบสนองตามตัวอย่างที่ 1 - จากฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

แต่ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่ให้โดยปริยายสามารถแสดงในรูปแบบ y = ฉ(x) . ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่กำหนดไว้โดยปริยาย

ไม่ได้แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน กล่าวคือ สมการเหล่านี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่อผู้เล่น ดังนั้นจึงมีกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยปริยาย ซึ่งเราได้ศึกษาไปแล้วและจะนำไปใช้ในตัวอย่างอื่นๆ อย่างสม่ำเสมอ

ตัวอย่าง 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

.

เราแสดงไพรม์ y และ - ที่เอาต์พุต - อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

.

วิธีการแก้. แยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x:

.

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

.

วิธีการแก้. แยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x:

.

เราแสดงและรับอนุพันธ์:

.

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

วิธีการแก้. เราโอนเทอมทางด้านขวาของสมการไปทางซ้าย และปล่อยศูนย์ไว้ทางด้านขวา แยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x

ฟังก์ชันโดยนัยที่กำหนดโดยระบบสมการ

กำหนดระบบสมการ

หรือสั้นๆ F(x,y)= 0. (6.7)

คำนิยาม. ระบบ(6.7)กำหนดฟังก์ชันโดยปริยาย y=f(x)ถึง DÌR n

ถ้า "xOD:F(x , ฉ(x)) = 0.

ทฤษฎีบท (การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการทำแผนที่ที่กำหนดโดยปริยายโดยระบบสมการ)อนุญาต

1) F i(x,y)จาก (6.4) ถูกกำหนดและมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องของลำดับที่หนึ่ง (i= 1,…,p, k= 1,…,น, เจ= 1,…,p) ในละแวก U(เอ็ม 0)คะแนน M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(เอ็ม 0)=0,

3) เดช

จากนั้นในละแวกใกล้เคียงU(x 0)มีฟังก์ชันเฉพาะ (การทำแผนที่) ที่กำหนดไว้ในละแวกนี้ y = f(x), ดังนั้น

"xO U(x 0) :F(x, f(x))=0และ y 0 = ฉ(x 0).

ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x 0 .

ระบบที่กำหนด

เราจะถือว่าเงื่อนไขของการดำรงอยู่และทฤษฎีบทเฉพาะสำหรับฟังก์ชันโดยปริยายที่กำหนดโดยระบบสมการนี้เป็นที่พอใจ เราแสดงถึงฟังก์ชันนี้ y=f(x) . จากนั้นในบริเวณใกล้เคียงของจุด x 0 ตัวตนที่เป็นจริง

แยกแยะเอกลักษณ์เหล่านี้ด้วยความเคารพ x jเราได้รับ

= 0.(6.9)

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์

หรือขยายออก

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงจากความเท่าเทียมกัน F(x, f(x))=0k , สอดคล้องกับกฎของความแตกต่างในกรณีเมื่อ xและ yเป็นจุดในปริภูมิหนึ่งมิติ เมทริกซ์ไม่เสื่อมตามเงื่อนไข ดังนั้นสมการเมทริกซ์จึงมีคำตอบ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชันโดยนัย ในการหาส่วนต่างเราแสดงว่า

dy= , dx=, ความแตกต่างของความเท่าเทียมกัน (6.8) เราได้รับ

หรือในรูปแบบเมทริกซ์

ขยาย

เช่นเดียวกับกรณีอนุพันธ์บางส่วน สูตร (6.10) มีรูปแบบเดียวกับกรณีของช่องว่างหนึ่งมิติ n= 1, p= 1. คำตอบของสมการเมทริกซ์นี้สามารถเขียนได้เป็น ในการหาอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่สอง จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของข้อมูลประจำตัว (6.9) (ในการคำนวณความแตกต่างของลำดับที่สอง มีความจำเป็นต้องแยกความแตกต่างของข้อมูลเฉพาะตัว (6.10)) ดังนั้นเราจึงได้รับ

ผ่านที่ไหน อาเงื่อนไขที่ไม่มีคำที่ต้องการจะแสดงไว้

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบนี้สำหรับกำหนดอนุพันธ์คือเมทริกซ์จาโคเบียน

สามารถหาสูตรที่คล้ายกันได้สำหรับส่วนต่าง ในแต่ละกรณีเหล่านี้ สมการเมทริกซ์จะได้รับด้วยเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เดียวกันในระบบสมการเพื่อกำหนดอนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียลที่ต้องการ สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นภายใต้ความแตกต่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่าง 1ค้นหา ณ จุดหนึ่ง คุณ= 1,v= 1.

วิธีการแก้. แยกแยะความเท่าเทียมกันที่กำหนด

สังเกตจากสภาพปัญหาที่เราควรพิจารณาเป็นตัวแปรอิสระ x, ย.จากนั้นฟังก์ชันจะเป็น z, คุณ, วีดังนั้น ระบบ (6.11) ควรจะแก้ไขโดยคำนึงถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก ดู่, ดีวี, ดซ.ในรูปแบบเมทริกซ์จะมีลักษณะดังนี้

มาแก้ระบบนี้โดยใช้กฎของแครมเมอร์ ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์สัมประสิทธิ์

ตัวกำหนด "แทนที่" ตัวที่สามสำหรับ dzจะเท่ากับ (คำนวณโดยขยายคอลัมน์สุดท้าย)

ดซ = ,และ, .

เราแยกความแตกต่าง (6.11) อีกครั้ง ( x, y-ตัวแปรอิสระ)

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบเหมือนกัน ดีเทอร์มีแนนต์ที่สาม

แก้ระบบนี้ เราได้รับนิพจน์สำหรับ d2zซึ่งคุณสามารถหาอนุพันธ์ที่ต้องการได้

6.3. การแมปที่แตกต่างกัน

การทำแผนที่อนุพันธ์ จอแสดงผลปกติ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการพึ่งพาอาศัยกันตามหน้าที่

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยปริยายโดยใช้สมการ
(1) .
และให้สมการนี้มีคำตอบเฉพาะสำหรับค่าบางอย่าง ให้ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลที่จุด และ
.
จากนั้น สำหรับค่านี้มีอนุพันธ์ ซึ่งกำหนดโดยสูตร:
(2) .

การพิสูจน์

สำหรับการพิสูจน์ ให้พิจารณาฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปร :
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อนและหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรของด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ
(3) :
.
เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ และ แล้ว
(4) ;
.

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ให้เราเขียนสมการ (4) ใหม่โดยใช้สัญลักษณ์อื่น:
(4) .
นอกจากนี้ และเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปร :
;
.
การพึ่งพาอาศัยกันกำหนดสมการ (1):
(1) .

เราหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ (4)
จากสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้:
;
.
ตามสูตรผลิตภัณฑ์อนุพันธ์:

.
ตามสูตรผลรวมอนุพันธ์:


.

เนื่องจากอนุพันธ์ของด้านขวาของสมการ (4) เท่ากับศูนย์ ดังนั้น
(5) .
การแทนที่อนุพันธ์ตรงนี้ เราได้รับค่าของอนุพันธ์อันดับสองในรูปแบบโดยปริยาย

สมการอนุพันธ์ (5) ในทำนองเดียวกัน เราได้สมการที่มีอนุพันธ์อันดับสาม:
.
แทนที่ค่าที่พบของอนุพันธ์ของคำสั่งแรกและอันดับสองที่นี่ เราจะหาค่าของอนุพันธ์อันดับสาม

การแยกความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง เราสามารถหาอนุพันธ์ของคำสั่งใดๆ ได้

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายโดยสมการ:
(P1) .

สูตร 2 โซลูชั่น

เราพบอนุพันธ์ตามสูตร (2):
(2) .

ลองย้ายตัวแปรทั้งหมดไปทางด้านซ้ายเพื่อให้สมการอยู่ในรูปแบบ
.
จากที่นี่.

เราหาอนุพันธ์เทียบกับ สมมติว่าเป็นค่าคงที่
;
;
;
.

เราหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปร โดยสมมติว่าตัวแปรเป็นค่าคงที่
;
;
;
.

ตามสูตร (2) เราพบว่า:
.

เราสามารถลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ได้หากเราสังเกตว่าตามสมการดั้งเดิม (A.1), . ทดแทน :
.
คูณทั้งเศษและส่วนด้วย:
.

ทางออกในวิธีที่สอง

ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยวิธีที่สอง ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรของส่วนซ้ายและขวาของสมการดั้งเดิม (P1)

เราใช้:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของเศษส่วน:
;
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
เราแยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิม (P1)
(P1) ;
;
.
คูณด้วยและจัดกลุ่มเงื่อนไข
;
.

ทดแทน (จากสมการ (P1)):
.
ลองคูณด้วย:
.

ตอบ

ตัวอย่าง 2

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายโดยใช้สมการ:
(P2.1) .

วิธีการแก้

แยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิมเทียบกับตัวแปร โดยสมมติว่าเป็นฟังก์ชันของ :
;
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.

เราแยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิม (A2.1):
;
.
จากสมการเดิม (A2.1) ว่า . ทดแทน :
.
ขยายวงเล็บและจัดกลุ่มสมาชิก:
;
(P2.2) .
เราพบอนุพันธ์ของลำดับแรก:
(P2.3) .

ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง เราแยกสมการ (A2.2)
;
;
;
.
เราแทนที่นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง (A2.3):
.
ลองคูณด้วย:

;
.
จากตรงนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของลำดับที่สอง

ตอบ

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายโดยใช้สมการ:
(P3.1) .

วิธีการแก้

แยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิมเทียบกับตัวแปร โดยถือว่านั่นเป็นฟังก์ชันของ
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

เราแยกสมการ (A3.2) เทียบกับตัวแปร
;
;
;
;
;
(P3.3) .

เราแยกสมการ (A3.3)
;
;
;
;
;
(P3.4) .

จากสมการ (A3.2), (A3.3) และ (A3.4) เราจะหาค่าอนุพันธ์ได้ที่
;
;
.