สิ่งพิมพ์นำเสนอตรรกะของความแตกต่างในนิพจน์พีชคณิตสำหรับนักเรียนทั่วไปขั้นพื้นฐานและมัธยมศึกษา (สมบูรณ์) ทั่วไปเป็นขั้นตอนการเปลี่ยนผ่านในการก่อตัวของตรรกะของความแตกต่างในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในฟิสิกส์ ฯลฯ สำหรับการก่อตัวในอนาคตของแนวคิดเกี่ยวกับปรากฏการณ์ งาน การจำแนกประเภท และวิธีการของแนวทางการแก้ปัญหา

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

นิพจน์พีชคณิตและลักษณะของมัน

© Skarzhinsky Ya.Kh.

พีชคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ศึกษารูปแบบของการกระทำในชุดแสดงด้วยตัวอักษรการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตรวมถึงการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกรากอันเป็นผลมาจากการกระทำเหล่านี้ นิพจน์พีชคณิตถูกสร้างขึ้นนิพจน์พีชคณิต - นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวอักษรที่แสดงถึงชุดซึ่งดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตการกระทำเหล่านี้ส่งผ่านไปยังพีชคณิตจากเลขคณิต ในพีชคณิตเราพิจารณาเท่ากับนิพจน์พีชคณิตหนึ่งกับอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งเป็นความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน ตัวอย่างของนิพจน์พีชคณิตมีอยู่ใน §1วิธีการแปลงและความสัมพันธ์ของนิพจน์ก็ยืมมาจากเลขคณิต. ความรู้เกี่ยวกับรูปแบบเลขคณิตของการกระทำในนิพจน์เลขคณิตช่วยให้คุณทำการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่คล้ายคลึงกันได้ แปลงรูปแบบ ทำให้ง่ายขึ้น เปรียบเทียบ วิเคราะห์พีชคณิตเป็นศาสตร์แห่งความสม่ำเสมอของการแปลงนิพจน์ซึ่งประกอบด้วยชุดที่แสดงในรูปแบบของการกำหนดตัวอักษรซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณของการกระทำต่างๆนอกจากนี้ยังมีนิพจน์พีชคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้นที่ศึกษาในสถาบันอุดมศึกษา แม้จะแบ่งได้เป็นประเภทที่นิยมใช้กันมากที่สุดในรายวิชาของโรงเรียน

1 ประเภทของนิพจน์พีชคณิต

รายการ 1 นิพจน์ง่ายๆ: 4a; (a+b); (a + b)3c; ; .

รายการ 2 ความเท่าเทียมกันของตัวตน:(a + b)c = ac + bc; ;

ข้อ 3 อสมการ: as ; a + c .

หน้า 4 สูตร: x=2a+5; y=3b; y \u003d 0.5d 2 +2;

หน้า 5 สัดส่วน:

ระดับความยากระดับแรก

ความยากระดับที่สอง

ระดับความยากระดับที่สามในแง่ของการหาค่าชุด

a, b, c, m, k, d:

ระดับความยากที่สี่จากมุมมองของการค้นหาค่าสำหรับชุด a, y:

หน้า 6 สมการ:

ขวาน + c \u003d -5bx; 4x 2 + 2x = 42;

เป็นต้น

รายการ 7 การพึ่งพาการทำงาน: y=3x; y=ax 2 +4b; y \u003d 0.5x 2 +2;

เป็นต้น

2 พิจารณานิพจน์พีชคณิต

2.1 ส่วนที่ 1 นำเสนอนิพจน์พีชคณิตอย่างง่าย มีวิวและ

ยากขึ้น เช่น

ตามกฎแล้ว นิพจน์ดังกล่าวจะไม่มีเครื่องหมาย "=" งานเมื่อพิจารณานิพจน์ดังกล่าวคือการแปลงรูปแบบและรับในรูปแบบที่เรียบง่าย เมื่อแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับการอ้างสิทธิ์ 1 จะได้รับนิพจน์พีชคณิตใหม่ ซึ่งเทียบเท่ากับความหมายก่อนหน้า นิพจน์ดังกล่าวกล่าวกันว่าเทียบเท่ากัน เหล่านั้น. นิพจน์พีชคณิตทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับมีความหมายเท่ากับนิพจน์พีชคณิตทางด้านขวา ในกรณีนี้ ได้นิพจน์พีชคณิตของชนิดใหม่ เรียกว่าความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน (ดูข้อ 2)

2.2 ส่วนที่ 2 นำเสนอความเท่าเทียมกันของเอกลักษณ์เชิงพีชคณิต, ซึ่งเกิดขึ้นด้วยวิธีการแปลงพีชคณิตพิจารณานิพจน์พีชคณิตซึ่งส่วนใหญ่มักใช้เป็นวิธีการในการแก้ปัญหาในวิชาฟิสิกส์ ตัวอย่างความเท่าเทียมกันของการแปลงพีชคณิตที่มักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์:

กฎการสลับของการบวก:ก + ข = ข + ก.

กฎหมายประกอบการบวก:(a + b) + c = a + (b + c)

กฎการคูณของการคูณ: ab=ba.

กฎหมายประกอบการคูณ:(ab)c = a(bc)

กฎการกระจายของการคูณด้วยการบวก:

(a + b)c = ac + bc.

กฎการกระจายของการคูณในส่วนที่เกี่ยวกับการลบ:

(a - b)c \u003d ac - bc.

ความเท่าเทียมกันของตัวตนนิพจน์พีชคณิตเศษส่วน(สันนิษฐานว่าตัวส่วนของเศษส่วนไม่เป็นศูนย์):

ความเท่าเทียมกันของตัวตนนิพจน์พีชคณิตที่มีอำนาจ:

ก) ,

โดยที่ (n ครั้ง, ) - องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 .

ความเท่าเทียมกันของตัวตนนิพจน์พีชคณิตกับรากองศาที่ n:

การแสดงออก - รากเลขคณิตน องศาจากในหมู่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, - สี่เหลี่ยมเลขคณิต

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (ตรรกยะ)ราก:

นิพจน์ที่เทียบเท่ากันที่ให้ไว้ข้างต้นใช้เพื่อแปลงนิพจน์พีชคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งไม่มีเครื่องหมาย "="

ให้เราพิจารณาตัวอย่างซึ่งสำหรับการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น ความรู้ที่ได้รับระหว่างการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เรียบง่ายกว่าในรูปแบบของความเท่าเทียมกันที่เหมือนกันถูกนำมาใช้

2.3 ส่วนที่ 3 นำเสนอพีชคณิตความเท่าเทียมกัน ซึ่งนิพจน์พีชคณิตของด้านซ้ายไม่เท่ากับด้านขวา นั่นคือ ไม่เหมือนกัน ในกรณีนี้คือความไม่เท่าเทียมกัน ตามกฎแล้วเมื่อแก้ปัญหาบางอย่างในวิชาฟิสิกส์คุณสมบัติของอสมการมีความสำคัญ:

1) ถ้า a จากนั้นสำหรับ c ใด ๆ : a + c .

2) ถ้า และ c > 0 จากนั้นเป็น .

3) ถ้า และค จากนั้น ac > bc

4) ถ้า , a และ b หนึ่งป้ายแล้ว 1/a > 1/b .

5) ถ้า และค จากนั้น a + с , เอ - ด .

6) ถ้า , ค , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 จากนั้น ac .

7) ถ้า , a > 0, b > 0 จากนั้น

8) ถ้า แล้ว

2.4 ส่วนที่ 4 แสดงสูตรพีชคณิตเหล่านั้น. นิพจน์พีชคณิตที่มีตัวอักษรอยู่ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ ซึ่งหมายถึงชุดที่ไม่ทราบค่าและต้องกำหนด และทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับมีชุดที่ทราบค่า ในกรณีนี้ นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตนี้เรียกว่าสูตรพีชคณิต

สูตรพีชคณิตคือนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่มีเครื่องหมายเท่ากับ ทางด้านซ้ายมีชุดที่ไม่ทราบค่า และทางด้านขวาจะมีชุดที่มีค่าที่ทราบ ตามเงื่อนไขของปัญหาในการกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของชุดทางด้านซ้ายของเครื่องหมาย "เท่ากับ" ค่าที่ทราบของปริมาณทางด้านขวาของเครื่องหมาย "เท่ากับ" จะถูกแทนที่และการดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ระบุในนิพจน์พีชคณิตในนี้ ส่วนหนึ่งจะดำเนินการ

ตัวอย่างที่ 1:

ให้: วิธีแก้ไข:

a=25 ให้นิพจน์พีชคณิตได้รับ:

x=? x=2a+5.

นิพจน์พีชคณิตนี้เป็นสูตรพีชคณิตตั้งแต่ ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับคือชุดที่ต้องการหาค่า และทางขวาคือชุดที่มีค่าที่ทราบ

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะทำการแทนที่ค่าที่ทราบสำหรับชุด "a" เพื่อกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของชุด "x":

x=2 25+5=55. คำตอบ: x=55.

ตัวอย่างที่ 2:

ให้: วิธีแก้ไข:

a=25 นิพจน์พีชคณิตเป็นสูตร

b=4 ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะทำการแทนค่าที่รู้จัก

c=8 ค่าสำหรับชุดทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

d=3 เพื่อกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของชุด "k"

m=20 ยืนอยู่ทางซ้าย:

n=6 คำตอบ: k=3.2.

คำถาม

1 นิพจน์พีชคณิตคืออะไร?

2 คุณรู้จักนิพจน์พีชคณิตประเภทใด

3 นิพจน์พีชคณิตใดที่เรียกว่าความเท่าเทียมกัน

4 เหตุใดจึงต้องรู้รูปแบบของความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน

5 นิพจน์พีชคณิตใดที่เรียกว่าสูตร?

6 นิพจน์พีชคณิตใดที่เรียกว่าสมการ?

7 นิพจน์พีชคณิตใดที่เรียกว่าการพึ่งพาฟังก์ชัน?

บทเรียนพีชคณิตทำให้เรารู้จักนิพจน์ประเภทต่างๆ เมื่อเนื้อหาใหม่มาถึง นิพจน์จะซับซ้อนมากขึ้น เมื่อคุณคุ้นเคยกับพลังอำนาจ พลังเหล่านั้นจะค่อยๆ เพิ่มเข้าไปในนิพจน์ ซึ่งทำให้ซับซ้อนขึ้น นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นกับเศษส่วนและนิพจน์อื่นๆ

เพื่อให้การศึกษาเนื้อหาสะดวกที่สุดทำได้โดยใช้ชื่อบางชื่อเพื่อให้สามารถเน้นได้ บทความนี้จะให้ภาพรวมที่สมบูรณ์ของนิพจน์พีชคณิตขั้นพื้นฐานของโรงเรียนทั้งหมด

โมโนเมียลและพหุนาม

นิพจน์ทั่วไปและพหุนามมีการศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียนตั้งแต่เกรด 7 หนังสือเรียนได้ให้คำจำกัดความประเภทนี้

คำจำกัดความ 1

โมโนเมียล- สิ่งเหล่านี้คือตัวเลข ตัวแปร องศาพร้อมตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ งานใด ๆ ที่ทำด้วยความช่วยเหลือ

คำจำกัดความ 2

พหุนามเรียกว่าผลรวมของโมโนเมียล

ถ้าเรายกตัวอย่างเช่น ตัวเลข 5 ตัวแปร x ดีกรี z 7 แล้วผลคูณของแบบฟอร์ม 5 xและ 7 x 2 7 z 7ถือเป็นสมาชิกโสด เมื่อนำผลรวมของโมโนเมียลของแบบฟอร์ม 5+xหรือ z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7แล้วเราจะได้พหุนาม

ในการแยกแยะโมโนเมียลจากพหุนาม ให้ใส่ใจกับดีกรีและคำจำกัดความของมัน แนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์เป็นสิ่งสำคัญ เมื่อลดพจน์ที่คล้ายกัน จะแบ่งออกเป็นพจน์อิสระของพหุนามหรือสัมประสิทธิ์นำหน้า

ส่วนใหญ่มักจะดำเนินการบางอย่างกับโมโนเมียลและพหุนาม หลังจากนั้นนิพจน์จะลดลงเพื่อดูโมโนเมียล ดำเนินการบวก ลบ คูณ และหาร โดยใช้อัลกอริธึมในการดำเนินการกับพหุนาม

เมื่อมีตัวแปรหนึ่งตัว เป็นไปได้ที่จะแบ่งพหุนามเป็นพหุนามซึ่งแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ การกระทำนี้เรียกว่าการแยกตัวประกอบของพหุนาม

เศษส่วนตรรกยะ (พีชคณิต)

แนวคิดเรื่องเศษส่วนตรรกยะมีการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ของโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย ผู้เขียนบางคนเรียกว่าเศษส่วนพีชคณิต

คำจำกัดความ 3

เศษส่วนเชิงพีชคณิตพวกเขาเรียกเศษส่วนซึ่งพหุนามหรือโมโนเมียล, ตัวเลข, แทนที่ตัวเศษและตัวส่วน.

พิจารณาตัวอย่างการเขียนเศษส่วนตรรกยะประเภท 3 x + 2, 2 a + 3 b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 และ 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4 จากคำจำกัดความ เราสามารถพูดได้ว่าทุก ๆ เศษส่วนถือเป็นเศษส่วนตรรกยะ

เศษส่วนพีชคณิตสามารถบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้ นี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อการดำเนินการกับเศษส่วนพีชคณิต หากจำเป็นต้องแปลงเศษส่วน มักใช้คุณสมบัติของการลดลงและการลดลงเป็นตัวส่วนร่วม

การแสดงออกที่มีเหตุผล

ในหลักสูตรของโรงเรียนมีการศึกษาแนวคิดเรื่องเศษส่วนไม่ลงตัวเนื่องจากจำเป็นต้องทำงานกับนิพจน์ที่มีเหตุผล

คำจำกัดความ 4

การแสดงออกที่มีเหตุผลถือเป็นนิพจน์ที่เป็นตัวเลขและตัวอักษร ซึ่งใช้ตัวเลขและตัวอักษรที่เป็นตรรกยะกับการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม

การแสดงออกที่มีเหตุผลอาจไม่มีสัญญาณที่เป็นของฟังก์ชันที่นำไปสู่ความไร้เหตุผล นิพจน์ที่มีเหตุผลไม่มีราก เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวที่เป็นเศษส่วน เลขชี้กำลังที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง นิพจน์ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และอื่นๆ

ตามกฎข้างต้น เราจะยกตัวอย่างการแสดงออกที่มีเหตุผล จากคำจำกัดความข้างต้น เรามีทั้งนิพจน์ตัวเลขของรูปแบบ 1 2 + 3 4 และ 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 ถือว่ามีเหตุผล นิพจน์ที่มีตัวอักษรเรียกอีกอย่างว่าตรรกยะ a 2 + b 2 3 a - 0, 5 b โดยมีตัวแปรในรูปแบบ a x 2 + b x + c และ x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

นิพจน์ตรรกยะทั้งหมดแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

นิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็ม

คำจำกัดความ 5

นิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็มเป็นนิพจน์ที่ไม่มีการแบ่งออกเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรระดับลบ

จากคำจำกัดความ เรามีนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็มเป็นนิพจน์ที่มีตัวอักษรด้วย เช่น a + 1 นิพจน์ที่มีตัวแปรหลายตัว เช่น x 2 y 3 − z + 3 2 และ a + b 3

นิพจน์เช่น x: (y -1)และ 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 ไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มตรรกยะได้ เนื่องจากมีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร

นิพจน์เหตุผลเศษส่วน

คำจำกัดความ 6

นิพจน์เหตุผลเศษส่วนเป็นนิพจน์ที่มีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปรระดับลบ

จากคำจำกัดความที่ว่านิพจน์ตรรกยะเศษส่วนสามารถเป็น 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 และ 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

หากเราพิจารณานิพจน์ประเภทนี้ (2 x - x 2): 4 และ a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2 จะไม่ถือว่าเป็นตรรกยะแบบเศษส่วน เนื่องจากไม่มีนิพจน์ที่มีตัวแปรอยู่ใน ตัวส่วน

นิพจน์ที่มีอำนาจ

คำจำกัดความ 7

นิพจน์ที่มีอำนาจในส่วนใดส่วนหนึ่งของสัญกรณ์เรียกว่า การแสดงออกของพลังหรือ การแสดงออกของพลัง.

สำหรับแนวคิด เราได้ยกตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าว อาจไม่มีตัวแปร เช่น 2 3 , 32 - 1 5 + 1 . 5 3 . 5 · 5 - 2 5 - 1 . 5 การแสดงออกของรูปแบบ 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 ก็เป็นลักษณะเฉพาะเช่นกัน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง

นิพจน์ไม่ลงตัว นิพจน์ที่มีราก

รูทซึ่งมีตำแหน่งในนิพจน์ ให้ชื่อที่ต่างออกไป พวกเขาเรียกว่าไม่มีเหตุผล

คำจำกัดความ 8

นิพจน์ที่ไม่ลงตัวนิพจน์ชื่อที่มีสัญญาณของรากในบันทึก

จะเห็นได้จากคำนิยามเหล่านี้เป็นนิพจน์ของรูปแบบ 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x และ x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . แต่ละคนมีไอคอนรูทอย่างน้อยหนึ่งไอคอน รากและองศาเชื่อมต่อกัน คุณจึงสามารถเห็นนิพจน์ต่างๆ เช่น x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3

นิพจน์ตรีโกณมิติ

คำจำกัดความ 9

นิพจน์ตรีโกณมิติคือนิพจน์ที่ประกอบด้วย sin , cos , tg และ ctg และค่าผกผัน - arcsin , arccos , arctg และ arcctg

ตัวอย่างของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นชัดเจน: sin π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 และ 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 .

ในการทำงานกับฟังก์ชันดังกล่าว จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติ สูตรพื้นฐานของฟังก์ชันทางตรงและฟังก์ชันผกผัน การแปลงบทความของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเปิดเผยปัญหานี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น

นิพจน์ลอการิทึม

หลังจากทำความคุ้นเคยกับลอการิทึมแล้ว เราสามารถพูดถึงนิพจน์ลอการิทึมที่ซับซ้อนได้

คำจำกัดความ 10

นิพจน์ที่มีลอการิทึมเรียกว่า ลอการิทึม.

ตัวอย่างของฟังก์ชันดังกล่าว ได้แก่ log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2)

คุณสามารถค้นหานิพจน์ที่มีองศาและลอการิทึมได้ สิ่งนี้เข้าใจได้ เนื่องจากจากนิยามของลอการิทึม มันตามมาว่านี่คือเลขชี้กำลัง จากนั้นเราได้รับนิพจน์เช่น x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2

หากต้องการศึกษาเนื้อหาให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น คุณควรอ้างอิงเนื้อหาเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์ลอการิทึม

เศษส่วน

มีนิพจน์ชนิดพิเศษที่เรียกว่าเศษส่วน เนื่องจากพวกมันมีตัวเศษและตัวส่วน พวกมันจึงไม่เพียงแต่มีค่าตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ประเภทใดก็ได้ด้วย พิจารณานิยามของเศษส่วน.

คำจำกัดความ 11

ช็อตพวกเขาเรียกนิพจน์ดังกล่าวที่มีตัวเศษและตัวส่วนซึ่งมีการกำหนดหรือนิพจน์ทั้งที่เป็นตัวเลขและตัวอักษร

ตัวอย่างของเศษส่วนที่มีตัวเลขในตัวเศษและตัวส่วนมีลักษณะดังนี้ 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . ตัวเศษและตัวส่วนสามารถมีได้ทั้งนิพจน์ที่เป็นตัวเลขและตัวอักษรของแบบฟอร์ม (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - บาป 2 α 1 + 3 t ก. α , 2 + ln 5 ln x .

แม้ว่านิพจน์เช่น 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 จะไม่ใช่เศษส่วน แต่ก็มีเศษส่วนอยู่ในสัญกรณ์

นิพจน์ทั่วไป

ชนชั้นสูงพิจารณางานที่มีความยากเพิ่มขึ้นซึ่งมีงานรวมของกลุ่ม C ใน USE นิพจน์เหล่านี้ซับซ้อนเป็นพิเศษและมีการรวมกันของราก ลอการิทึม ยกกำลัง และฟังก์ชันตรีโกณมิติที่หลากหลาย นี่คืองานเช่น x 2 - 1 sin x + π 3 หรือ sin a r c t g x - a x 1 + x 2

ลักษณะที่ปรากฏของพวกเขาบ่งชี้ว่าสามารถนำมาประกอบกับสายพันธุ์ใด ๆ ข้างต้นได้ ส่วนใหญ่มักจะไม่ถูกจัดประเภทเนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหาแบบรวมเฉพาะ สิ่งเหล่านี้ถือเป็นนิพจน์ของรูปแบบทั่วไป และไม่มีการใช้คำชี้แจงหรือนิพจน์เพิ่มเติมสำหรับคำอธิบาย

เมื่อแก้นิพจน์พีชคณิต จำเป็นต้องใส่ใจกับสัญกรณ์ การมีอยู่ของเศษส่วน ยกกำลัง หรือนิพจน์เพิ่มเติมเสมอ นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อกำหนดวิธีการแก้ไขได้อย่างถูกต้อง หากไม่มีความแน่นอนในชื่อ ขอแนะนำให้เรียกนิพจน์ประเภททั่วไปและแก้ไขตามอัลกอริทึมที่เขียนไว้ด้านบน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

(1) a m ⋅ a n = a m + n

ตัวอย่าง:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

ตัวอย่าง:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = น ⋅ ข น

ตัวอย่าง:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

ตัวอย่าง:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a ม. ) n = a m ⋅ n

ตัวอย่าง:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

ตัวอย่าง:

$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

คุณสมบัติของรากที่สอง:

(1) a b = a ⋅ b สำหรับ a ≥ 0 , b ≥ 0

ตัวอย่าง:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b สำหรับ a ≥ 0 , b > 0

ตัวอย่าง:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a สำหรับ a ≥ 0

ตัวอย่าง:

(4) a 2 = | a | สำหรับ a . ใดๆ

ตัวอย่าง:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

สรุปตัวเลข คือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วม m n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n คือจำนวนธรรมชาติ (ℕ = 1,   2,   3,   4 …)

ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

จำนวนอตรรกยะ - ตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ m n ตัวเลขเหล่านี้เป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นระยะอนันต์

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ:

อี = 2.71828182845…

π = 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

พูดง่ายๆ ว่า จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่มีเครื่องหมายกรณฑ์อยู่ในสัญกรณ์ แต่ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายนัก จำนวนตรรกยะบางจำนวนปลอมตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น หมายเลข 4 มีเครื่องหมายกรณฑ์ในสัญกรณ์ แต่เราทราบดีว่าเราสามารถทำให้สัญกรณ์ 4 = 2 ง่ายขึ้นได้ ซึ่งหมายความว่าจำนวน 4 เป็นจำนวนตรรกยะ

ในทำนองเดียวกัน จำนวน 4 81 = 4 81 = 2 9 เป็นจำนวนตรรกยะ

ปัญหาบางอย่างต้องการให้คุณกำหนดว่าตัวเลขใดมีเหตุผลและไม่ลงตัว ภารกิจคือการทำความเข้าใจว่าตัวเลขใดไม่สมเหตุสมผลและตัวเลขใดปลอมแปลงเป็นตัวเลข ในการทำเช่นนี้ คุณต้องสามารถดำเนินการดึงตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายกรณฑ์และแนะนำตัวประกอบภายใต้เครื่องหมายรูทได้

การแทรกและการลบตัวประกอบสำหรับเครื่องหมายของรากที่สอง

การนำตัวประกอบออกจากเครื่องหมายกรณฑ์ จะทำให้นิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางนิพจน์ง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัวอย่าง:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 2 8 2

1 วิธี (นำตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

วิธีที่ 2 (แนะนำตัวคูณภายใต้เครื่องหมายรูท): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

สูตรคูณย่อ (FSU)

ผลรวมสี่เหลี่ยม

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

ตัวอย่าง:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

สแควร์ของความแตกต่าง

(2) (a - b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

ตัวอย่าง:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

ผลรวมของกำลังสองไม่มีตัวประกอบ

ความแตกต่างของสี่เหลี่ยม

(3) a 2 − b 2 = (a - b) (a + b)

ตัวอย่าง:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

ผลรวมลูกบาศก์

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

ตัวอย่าง:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

ลูกบาศก์ความแตกต่าง

(5) (a - b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

ตัวอย่าง:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

ผลรวมของลูกบาศก์

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

ตัวอย่าง:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

ความแตกต่างของลูกบาศก์

(7) a 3 − b 3 = (a - b) (a 2 + a b + b 2)

ตัวอย่าง:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

รูปแบบมาตรฐานของตัวเลข

เพื่อให้เข้าใจวิธีนำจำนวนตรรกยะตามอำเภอใจมาไว้ในแบบฟอร์มมาตรฐาน คุณจำเป็นต้องรู้ว่าเลขนัยสำคัญตัวแรกของตัวเลขนั้นคืออะไร

เลขนัยสำคัญตัวแรกของตัวเลข เรียกมันว่าตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์แรกทางด้านซ้าย

ตัวอย่าง:
2 5 ; 3, 05; 0, 143 ; 0, 00 1 2 . เลขนัยสำคัญตัวแรกถูกเน้นด้วยสีแดง

ในการแปลงตัวเลขเป็นรูปแบบมาตรฐาน:

1. เลื่อนลูกน้ำให้อยู่หลังเลขนัยสำคัญตัวแรก
2. คูณจำนวนผลลัพธ์ด้วย 10 n โดยที่ n คือตัวเลข ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:
3. n > 0 ถ้าเครื่องหมายจุลภาคถูกเลื่อนไปทางซ้าย (การคูณด้วย 10 n แสดงว่าจุลภาคควรอยู่ทางขวาจริง ๆ);
4. น< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข n เท่ากับจำนวนหลักที่เครื่องหมายจุลภาคถูกเลื่อน

ตัวอย่าง:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

เครื่องหมายจุลภาคเลื่อนไปทางซ้าย 1 หลัก เนื่องจากจุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย เลขชี้กำลังจึงเป็นบวก

มาถึงฟอร์มมาตรฐานแล้วไม่ต้องทำอะไรกับมัน สามารถเขียนได้เป็น 3.05 ⋅ 10 0 แต่เนื่องจาก 10 0 = 1 เราจึงปล่อยให้ตัวเลขอยู่ในรูปแบบเดิม

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

เครื่องหมายจุลภาคเลื่อนไปทางขวา 1 หลัก เนื่องจากจุดทศนิยมถูกเลื่อนไปทางขวา เลขชี้กำลังจึงเป็นลบ

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

เครื่องหมายจุลภาคได้ย้ายสามตำแหน่งไปทางขวา เนื่องจากจุดทศนิยมถูกเลื่อนไปทางขวา เลขชี้กำลังจึงเป็นลบ

นิพจน์พีชคณิตประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรโดยใช้เครื่องหมายของการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลังเป็นจำนวนตรรกยะและการแยกราก และใช้วงเล็บ

ลองพิจารณาตัวอย่างนิพจน์พีชคณิตบางส่วน:

2a 2 b – 3ab 2 (a + b)

(1/a + 1/b – c/3) 3 .

มีนิพจน์พีชคณิตหลายประเภท

จำนวนเต็มคือนิพจน์พีชคณิตที่ไม่มีการแบ่งตัวแปรและการแยกรากออกจากตัวแปร (รวมถึงการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน)

2a 2 b – 3ab 2 (a + b) คือนิพจน์พีชคณิตจำนวนเต็ม

(1/a + 1/b – c/3) 3 ไม่ใช่นิพจน์พีชคณิตจำนวนเต็มเพราะ มีการหารด้วยตัวแปร

นิพจน์เศษส่วนคือนิพจน์พีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรโดยใช้การดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ และการหาร

(1/a + 1/b – c/3) 3 คือนิพจน์พีชคณิตเศษส่วน

นิพจน์พีชคณิตที่มีเหตุผลคือนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน

ดังนั้น ทั้ง 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) และ (1/a + 1/b – c/3) 3 จึงเป็นนิพจน์พีชคณิตแบบมีเหตุผล

นิพจน์พีชคณิตที่ไม่ลงตัวคือนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ใช้การรูทของตัวแปร (หรือการเพิ่มตัวแปรเป็นยกกำลังเศษส่วน)

a 2/3 – b 2/3 คือนิพจน์พีชคณิตที่ไม่ลงตัว

กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่: นิพจน์พีชคณิตที่มีเหตุผลและอตรรกยะ ในทางกลับกัน การแสดงออกเชิงเหตุผลจะแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

ค่าตัวแปรที่ยอมรับได้คือค่าของตัวแปรที่นิพจน์พีชคณิตมีความสมเหตุสมผล ชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรคือโดเมนของนิพจน์พีชคณิต

นิพจน์จำนวนเต็มเหมาะสมสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร ตัวอย่างเช่น 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) สมเหตุสมผลสำหรับ a = 0, b = 1 และสำหรับ a = 3, b = 6 เป็นต้น

สมมติว่า a = 0, b = 1 และพยายามหาคำตอบของนิพจน์

2a 2 b – 3ab 2 (a + b)

ถ้า a = 0, b = 1 แล้ว 2 ∙ 0 2 ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1 2 ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0

ดังนั้น สำหรับ a = 0, b = 1 นิพจน์จะเท่ากับ 0

นิพจน์เศษส่วนจะเข้าท่าก็ต่อเมื่อค่าไม่ได้ตั้งค่าตัวแปรให้เป็นศูนย์: จำ "กฎทอง" ของเรา - คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

นิพจน์ (1/a + 1/b – c/3) 3 สมเหตุสมผลเมื่อ a และ b ไม่เท่ากับศูนย์ (a ≠ 0, b ≠ 0) มิฉะนั้น เราจะได้หารด้วยศูนย์

นิพจน์ที่ไม่ลงตัวจะไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าตัวแปรที่เปลี่ยนเป็นจำนวนลบของนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของรูทของระดับคู่หรือภายใต้เครื่องหมายของการยกกำลังเป็นเศษส่วน

นิพจน์ a 2/3 - b 2/3 เหมาะสมเมื่อ a ≥ 0 และ b ≥ 0 มิฉะนั้น เราจะต้องเผชิญกับการเพิ่มจำนวนลบเป็นยกกำลังเศษส่วน

ค่าของนิพจน์พีชคณิตคือนิพจน์ตัวเลขที่เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปรได้รับค่าที่ถูกต้อง

มาหาค่าของนิพจน์พีชคณิต

a + b + c/5 สำหรับ a = 6, b = 3, c = 5

1. นิพจน์ a + b + c/5 เป็นนิพจน์พีชคณิตจำนวนเต็ม → ค่าทั้งหมดถูกต้อง

2. แทนค่าตัวเลขของตัวแปรและรับ:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

ดังนั้น คำตอบคือ 10.

เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปรที่เป็นส่วนประกอบ

นิพจน์จะกล่าวว่าเท่ากันถ้าค่าที่สอดคล้องกันของพวกเขาสอดคล้องกันสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปร ดังนั้นนิพจน์ x 5 และ x 2 ∙ x 3, a + b + c และ b + c + a มีค่าเท่ากัน

แนวคิดเรื่องการแสดงออกที่เท่าเทียมกันนำเราไปสู่แนวคิดที่สำคัญอีกประการหนึ่ง - การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ของการแสดงออก

การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์เป็นการแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่ง ซึ่งเท่ากันกับนิพจน์นั้น

ซึ่งหมายความว่านิพจน์ x 5 สามารถแปลงเป็นนิพจน์ x 2 ∙ x 3 ได้เหมือนกัน

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

นิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม และการแตกราก (เลขชี้กำลังและรากต้องเป็นตัวเลขคงที่) ก.ใน. เรียกว่า rational เกี่ยวกับตัวอักษรบางตัวที่รวมอยู่ในนั้น ถ้าไม่มีอยู่ใต้เครื่องหมาย root extraction เช่น

มีเหตุผลเกี่ยวกับ a, b และ c ก.ใน. เรียกว่าจำนวนเต็มเทียบกับตัวอักษรบางตัว ถ้าไม่มีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวอักษรเหล่านี้ เช่น 3a / c + bc 2 - 3ac / 4 เป็นจำนวนเต็มเทียบกับ a และ b หากตัวอักษรบางตัว (หรือทั้งหมด) ถือเป็นตัวแปร ดังนั้น A.c. เป็นฟังก์ชันพีชคณิต

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "นิพจน์พีชคณิต" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร:

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต: การบวก, การลบ, การคูณ, การหาร, การเพิ่มกำลัง, การแยกรูท ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

นิพจน์พีชคณิต- - หัวข้อ อุตสาหกรรมน้ำมันและก๊าซ TH นิพจน์พีชคณิต ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตคือปริมาณพีชคณิตอย่างน้อยหนึ่งค่า (ตัวเลขและตัวอักษร) ที่เชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต: การบวกการลบการคูณและการหารตลอดจนการแยกรากและการเพิ่มเป็นจำนวนเต็ม ... ... Wikipedia

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต: การบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง การถอนราก * * * พีชคณิต EXPRESSION พีชคณิตนิพจน์, นิพจน์, ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

นิพจน์พีชคณิต- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: อังกฤษ สำนวนเกี่ยวกับพีชคณิต นักพีชคณิต Ausdruck, m rus นิพจน์พีชคณิต n pranc สำนวน พีชคณิต, f … Fizikos terminų žodynas

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายของพีชคณิต การกระทำ: การบวก, การลบ, การคูณ, การหาร, การยกกำลัง, การถอนราก ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

นิพจน์พีชคณิตที่เกี่ยวกับตัวแปรที่กำหนด ตรงกันข้ามกับนิพจน์ที่เหนือธรรมชาติ คือ นิพจน์ที่ไม่มีฟังก์ชันอื่นๆ ของปริมาณที่กำหนด ยกเว้นผลรวม ผลิตภัณฑ์ หรือกำลังของปริมาณนี้ นอกจากนี้ เงื่อนไข ... พจนานุกรมสารานุกรมเอฟเอ Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

EXPRESSION, นิพจน์, cf. 1. การดำเนินการตาม Ch. ด่วน ด่วน. ฉันไม่สามารถหาคำที่จะแสดงความขอบคุณได้ 2. บ่อยกว่าไม่ ศูนย์รวมของความคิดในรูปแบบของศิลปะบางประเภท (ปรัชญา) มีเพียงศิลปินที่ยิ่งใหญ่เท่านั้นที่สามารถสร้างการแสดงออกเช่นนี้ ... ... พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

สมการที่ได้จากการเทียบนิพจน์พีชคณิตสองนิพจน์ (ดู นิพจน์พีชคณิต) ก.ย. โดยที่ไม่ทราบตัวใดตัวหนึ่งเรียกว่าเศษส่วนหากรวมสิ่งที่ไม่รู้จักอยู่ในตัวส่วน และอตรรกยะถ้ารวมสิ่งที่ไม่รู้จักไว้ใต้ ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

การแสดงออก- แนวคิดทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น ซึ่งหมายถึงการบันทึกตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่วงเล็บ เครื่องหมายฟังก์ชัน ฯลฯ สามารถใช้ได้ โดยปกติ B คือสูตรล้านส่วนของมัน แยกแยะ (1) ... ... สารานุกรมสารานุกรมอันยิ่งใหญ่