คำนวณโมดูลัสของผลรวมทางเรขาคณิตของเวกเตอร์ เวกเตอร์

ปริมาณทางกายภาพจำนวนมากถูกกำหนดโดยการกำหนดจำนวนจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ปริมาตร มวล ความหนาแน่น อุณหภูมิของร่างกาย เป็นต้น ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า สเกลาร์ ด้วยเหตุนี้ บางครั้งจึงเรียกตัวเลขว่าสเกลาร์ แต่ยังมีปริมาณที่กำหนดโดยการตั้งค่าไม่เพียง แต่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางที่แน่นอนด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อร่างกายเคลื่อนไหว ไม่ควรระบุเพียงความเร็วที่ร่างกายเคลื่อนไหว แต่ยังรวมถึงทิศทางของการเคลื่อนไหวด้วย ในทำนองเดียวกันเมื่อศึกษาการกระทำของแรงใด ๆ จำเป็นต้องระบุไม่เพียง แต่ค่าของแรงนี้ แต่ยังรวมถึงทิศทางของการกระทำด้วย ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า เวกเตอร์เพื่ออธิบายแนวคิดของเวกเตอร์ได้ถูกนำมาใช้ซึ่งกลายเป็นประโยชน์สำหรับคณิตศาสตร์

นิยามเวกเตอร์

คู่คำสั่งของจุด A ถึง B ในช่องว่างกำหนด ส่วนกำกับ, เช่น. แบ่งส่วนตามทิศทางที่กำหนด หากจุด A เป็นจุดแรก จะเรียกว่าจุดเริ่มต้นของส่วนที่กำกับ และจุด B จะเรียกว่าจุดสิ้นสุด ทิศทางของส่วนคือทิศทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด

คำนิยาม
ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์

เราจะระบุเวกเตอร์ด้วยสัญลักษณ์ \(\overrightarrow(AB) \) โดยที่ตัวอักษรตัวแรกหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และตัวที่สอง - จุดสิ้นสุด

เรียกว่าเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเหมือนกัน ศูนย์และเขียนแทนด้วย \(\vec(0) \) หรือแค่ 0

ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เรียกว่า ยาวและเขียนแทนด้วย \(|\overrightarrow(AB)| \) หรือ \(|\vec(a)| \)

เวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เรียกว่า คอลิเนียร์ถ้าอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นขนาน เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถกำกับให้เหมือนกันหรือตรงกันข้ามได้

ตอนนี้เราสามารถกำหนดแนวคิดที่สำคัญของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สองตัวได้

คำนิยาม
เวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เรียกว่า เท่ากัน (\(\vec(a) = \vec(b) \)) หากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางเดียวกัน และมีความยาวเท่ากัน

บนมะเดื่อ 1 เวกเตอร์ที่ไม่เท่ากันแสดงทางด้านซ้าย และเวกเตอร์ที่เท่ากัน \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) แสดงทางด้านขวา จากนิยามของความเท่ากันของเวกเตอร์ที่ว่า ถ้าเวกเตอร์ที่กำหนดเคลื่อนที่ขนานกับตัวเอง จะได้เวกเตอร์ที่เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด ในที่นี้จะเรียกเวกเตอร์ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ฟรี.

การฉายเวกเตอร์บนแกน

ให้แกน \(u\) และเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)\) อยู่ในอวกาศ ลองวาดผ่านจุด A และ B ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกน \ (u \) ให้เราแสดงโดย A "และ B" จุดตัดของระนาบเหล่านี้กับแกน (ดูรูปที่ 2)

เส้นโครงของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) บนแกน \(u\) คือค่า A"B" ของส่วนที่กำกับ A"B" บนแกน \(u\) จำได้ว่า
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) ถ้าทิศทาง \(\overrightarrow(A"B") \) เหมือนกับทิศทางของแกน \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) ถ้าทิศทางของ \(\overrightarrow(A"B") \) อยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกน \(u \)
เส้นโครงของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) ไปยังแกน \(u \) แสดงได้ดังนี้ \(Pr_u \overrightarrow(AB) \)

ทฤษฎีบท
เส้นโครงของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) บนแกน \(u \) เท่ากับความยาวของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) คูณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ \( \overrightarrow(AB) \) และแกน \( u \) เช่น

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) โดยที่ \(\varphi \) คือมุมระหว่างเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) กับแกน \(u \).

ความคิดเห็น
ให้ \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) และกำหนดแกน \(u \) เราใช้สูตรของทฤษฎีบทกับเวกเตอร์แต่ละตัวเหล่านี้

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) เช่น เวกเตอร์ที่เท่ากันมีเส้นโครงเท่ากันบนแกนเดียวกัน

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz และเวกเตอร์ตามอำเภอใจ \(\overrightarrow(AB) \) ในอวกาศ ต่อไป \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \) เส้นโครง X, Y, Z ของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) บนแกนพิกัดเรียกว่า พิกัด.ในเวลาเดียวกันพวกเขาเขียน
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

ทฤษฎีบท
ไม่ว่าสองจุด A(x 1 ; y 1 ; z 1) และ B(x 2 ; y 2 ; z 2) จะเป็นเท่าใดก็ตาม พิกัดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) จะถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้ :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

ความคิดเห็น
ถ้าเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) ออกจากจุดกำเนิด นั่นคือ x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z แล้วพิกัด X, Y, Z ของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) จะเท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุด:
X=x, Y=y, Z=z

โคไซน์ทิศทางเวกเตอร์

ให้เวกเตอร์ตามอำเภอใจ \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); เราถือว่า \(\vec(a) \) ออกจากจุดกำเนิดและไม่อยู่ในระนาบพิกัดใดๆ ให้เราวาดผ่านจุด A ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกน เมื่อรวมกับระนาบพิกัดแล้วพวกมันจะสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันซึ่งเส้นทแยงมุมคือส่วน OA (ดูรูป)

จากเรขาคณิตเบื้องต้นเป็นที่รู้กันว่ากำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของสามมิติ เพราะเหตุนี้,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
แต่ \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); ดังนั้นเราจึงได้รับ
\(|\vec(ก)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
หรือ
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
สูตรนี้แสดงความยาวของเวกเตอร์โดยพลการในแง่ของพิกัด

แสดงโดย \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) มุมระหว่างเวกเตอร์ \(\vec(a) \) และแกนพิกัด จากสูตรสำหรับการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนและความยาวของเวกเตอร์ เราได้รับ
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) เรียกว่า โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ \(\vec(a) \).

เราได้กำลังสองด้านซ้ายและขวาของการเท่ากันก่อนหน้านี้และสรุปผลลัพธ์
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
เหล่านั้น. ผลรวมของโคไซน์ทิศทางกำลังสองของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับหนึ่ง

การดำเนินการเชิงเส้นของเวกเตอร์และคุณสมบัติหลัก

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์คือการดำเนินการของการบวกและการลบเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

การบวกเวกเตอร์สองตัว

ให้เวกเตอร์สองตัวคือ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) ผลรวม \(\vec(a) + \vec(b) \) คือเวกเตอร์ที่ต่อจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ \(\vec(a) \) ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\vec(b) \) โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ \(\vec(b) \) ต่อท้ายเวกเตอร์ \(\vec(a) \) (ดูรูป)

ความคิดเห็น
การกระทำของการลบเวกเตอร์นั้นตรงกันข้ามกับการกระทำของการบวก นั่นคือ ความแตกต่าง \(\vec(b) - \vec(a) \) ของเวกเตอร์ \(\vec(b) \) และ \(\vec(a) \) คือเวกเตอร์ซึ่งร่วมกับเวกเตอร์ \( \vec(a) ) \) ให้เวกเตอร์ \(\vec(b) \) (ดูรูป)

ความคิดเห็น
เมื่อพิจารณาผลรวมของเวกเตอร์สองตัวแล้ว เราสามารถหาผลรวมของเวกเตอร์ที่กำหนดในจำนวนเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น ให้เวกเตอร์สามตัว \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \) การเพิ่ม \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เราจะได้เวกเตอร์ \(\vec(a) + \vec(b) \) ตอนนี้เพิ่มเวกเตอร์ \(\vec(c) \) เข้าไป เราจะได้เวกเตอร์ \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

ผลคูณของเวกเตอร์ด้วยจำนวน

ให้เวกเตอร์ \(\vec(a) \neq \vec(0) \) และจำนวน \(\lambda \neq 0 \) ให้ ผลคูณ \(\lambda \vec(a) \) คือเวกเตอร์ที่เรียงกันเป็นเวกเตอร์ \(\vec(a) \) ซึ่งมีความยาวเท่ากับ \(|\lambda| |\vec(a)| \) และทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ \(\vec(a) \) ถ้า \(\lambda > 0 \) และตรงข้าม if \(\lambda (0) \) ตามจำนวน \(\lambda \neq 0 \) สามารถแสดงได้ดังนี้: ถ้า \(|\lambda| >1 \) จากนั้นเมื่อคูณเวกเตอร์ \(\vec(a) \) ด้วยจำนวน \( \lambda \) เวกเตอร์ \( \vec(a) \) จะ "ยืดออก" โดย \(\lambda \) ครั้ง และถ้า \(|\lambda| 1 \)

ถ้า \(\lambda =0 \) หรือ \(\vec(a) = \vec(0) \) ดังนั้นผลคูณ \(\lambda \vec(a) \) จะถือว่าเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

ความคิดเห็น
การใช้นิยามของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ทำให้ง่ายต่อการพิสูจน์ว่าถ้าเวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เป็นแนวร่วมและ \(\vec(a) \neq \vec(0) \) จากนั้นมี (และมีเพียงหนึ่งเดียว) หมายเลข \(\lambda \) เช่นนั้น \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

คุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการเชิงเส้น

1. สมบัติการสลับที่ของการบวก
\(\vec(ก) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(ก) \)

2. คุณสมบัติร่วมของการบวก
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. สมบัติร่วมของการคูณ
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. คุณสมบัติการกระจายที่เกี่ยวกับผลรวมของตัวเลข
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. คุณสมบัติการกระจายที่เกี่ยวกับผลรวมของเวกเตอร์
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

ความคิดเห็น
คุณสมบัติเหล่านี้ของการดำเนินการเชิงเส้นมีความสำคัญพื้นฐาน เนื่องจากทำให้สามารถดำเนินการทางพีชคณิตทั่วไปกับเวกเตอร์ได้ ตัวอย่างเช่น เนื่องจากคุณสมบัติ 4 และ 5 จึงเป็นไปได้ที่จะทำการคูณพหุนามแบบสเกลาร์ด้วยพหุนามแบบเวกเตอร์ "เทอมต่อเทอม"

ทฤษฎีบทการฉายเวกเตอร์

ทฤษฎีบท
การฉายภาพผลรวมของเวกเตอร์สองตัวบนแกนหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของการฉายภาพบนแกนนี้ นั่นคือ
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

ทฤษฎีบทสามารถสรุปเป็นกรณีของพจน์จำนวนเท่าใดก็ได้

ทฤษฎีบท
เมื่อคูณเวกเตอร์ \(\vec(a) \) ด้วยจำนวน \(\lambda \) เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนก็จะคูณด้วยตัวเลขนี้ด้วย เช่น \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

ผลที่ตามมา
ถ้า \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) และ \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \) ดังนั้น
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

ผลที่ตามมา
ถ้า \(\vec(a) = (x;y;z) \) ดังนั้น \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) สำหรับ จำนวนเท่าใดก็ได้ \(\lambda \)

จากที่นี่ง่ายต่อการอนุมาน เงื่อนไขของความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สองตัวในพิกัด
แท้จริงแล้ว ความเท่าเทียมกัน \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) หรือ
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) เช่น เวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เป็นเส้นตรงหากพิกัดของพวกมันเป็นสัดส่วนเท่านั้น

การสลายตัวของเวกเตอร์ในรูปของพื้นฐาน

ทฤษฎีบท
เวกเตอร์ใดๆ \(\vec(a) \) สามารถขยายได้โดยไม่ซ้ำกันในฐาน \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), เช่น นำเสนอในรูปแบบ
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
โดยที่ \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) คือตัวเลขบางตัว

ผลรวมของเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์ เพื่อนที่รัก มีกลุ่มของงานที่มีเวกเตอร์ในประเภทของการสอบหลัง งานที่ค่อนข้างกว้าง (สิ่งสำคัญคือต้องรู้พื้นฐานทางทฤษฎี) ส่วนใหญ่ได้รับการแก้ไขด้วยปากเปล่า คำถามเกี่ยวข้องกับการหาความยาวของเวกเตอร์ ผลรวม (ผลต่าง) ของเวกเตอร์ ผลคูณสเกลาร์ นอกจากนี้ยังมีงานมากมายในการแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องดำเนินการกับพิกัดของเวกเตอร์

ทฤษฎีเบื้องหลังเวกเตอร์นั้นเรียบง่ายและควรเข้าใจเป็นอย่างดี ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์งานที่เกี่ยวข้องกับการหาความยาวของเวกเตอร์ เช่นเดียวกับผลรวม (ผลต่าง) ของเวกเตอร์ ประเด็นทางทฤษฎีบางประการ:

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์

เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรง

เวกเตอร์ทุกตัวที่มีทิศทางเดียวกันและยาวเท่ากันมีค่าเท่ากัน

*เวกเตอร์ทั้งสี่ด้านบนเท่ากัน!

นั่นคือถ้าเราใช้การแปลแบบคู่ขนานเพื่อย้ายเวกเตอร์ที่กำหนดให้ เราจะได้เวกเตอร์เท่ากับต้นฉบับเสมอ ดังนั้น เวกเตอร์ที่เท่ากันสามารถมีได้ไม่จำกัดจำนวน

สัญกรณ์เวกเตอร์

เวกเตอร์สามารถแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น

ด้วยสัญกรณ์รูปแบบนี้ ตัวอักษรที่แสดงถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะถูกเขียนขึ้นก่อน จากนั้นจึงเขียนตัวอักษรที่แสดงถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

เวกเตอร์อื่นแสดงด้วยตัวอักษรละตินหนึ่งตัว (ตัวพิมพ์ใหญ่):

การกำหนดโดยไม่มีลูกศรก็เป็นไปได้เช่นกัน:

ผลรวมของเวกเตอร์ AB และ BC สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ AC
เขียนเป็น AB + BC \u003d AC

กฎนี้เรียกว่า - กฎสามเหลี่ยม.

นั่นคือถ้าเรามีเวกเตอร์สองตัว - เรียกพวกมันตามเงื่อนไข (1) และ (2) และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (1) ตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ (2) ดังนั้นผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็น a เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ (1) และจุดสิ้นสุดตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (2)

สรุป: ถ้าเรามีเวกเตอร์สองตัวบนระนาบ เราจะหาผลรวมของมันได้เสมอ เมื่อใช้การแปลแบบคู่ขนาน คุณสามารถย้ายเวกเตอร์เหล่านี้และเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์อื่นได้ ตัวอย่างเช่น:

ลองย้ายเวกเตอร์ ขหรืออีกวิธีหนึ่ง - เราจะสร้างให้เท่ากัน:

หาผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวได้อย่างไร ด้วยหลักการเดียวกัน:

* * *

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กฎนี้เป็นผลมาจากข้างต้น

สำหรับเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดร่วมกัน ผลรวมของพวกมันจะแสดงด้วยเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์เหล่านี้

ลองสร้างเวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์กัน ขเพื่อให้จุดเริ่มต้นตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ กและเราสามารถสร้างเวกเตอร์ที่จะเป็นผลรวมของมันได้:

ข้อมูลสำคัญบางอย่างที่จำเป็นในการแก้ปัญหา

เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับเวกเตอร์ดั้งเดิม แต่กำกับตรงกันข้าม จะแสดงด้วย แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

ข้อมูลนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการแก้ปัญหาที่มีคำถามเกี่ยวกับการค้นหาความแตกต่างของเวกเตอร์ อย่างที่คุณเห็น ผลต่างของเวกเตอร์คือผลรวมเดียวกันในรูปแบบที่แก้ไข

ให้เวกเตอร์สองตัวหาความแตกต่าง:

เราสร้างเวกเตอร์ตรงข้ามกับเวกเตอร์ b และพบความแตกต่าง

พิกัดเวกเตอร์

ในการหาพิกัดเวกเตอร์ คุณต้องลบพิกัดเริ่มต้นที่สอดคล้องกันออกจากพิกัดสิ้นสุด:

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์เป็นคู่ของตัวเลข

ถ้า ก

และพิกัดของเวกเตอร์มีลักษณะดังนี้:

จากนั้น c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

ถ้า ก

จากนั้น c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

โมดูลัสเวกเตอร์

โมดูลของเวกเตอร์คือความยาวที่กำหนดโดยสูตร:

สูตรสำหรับกำหนดความยาวของเวกเตอร์หากทราบพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

พิจารณางาน:

ด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD คือ 6 และ 8 เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด O จงหาความยาวของผลต่างระหว่างเวกเตอร์ AO และ BO

มาหาเวกเตอร์ที่จะเป็นผลลัพธ์ของ AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

นั่นคือความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ AO และ VO จะเป็นเวกเตอร์ เอบี และความยาวของมันคือแปด

เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีคือ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์ AB +AD

ลองหาเวกเตอร์ที่จะเป็นผลรวมของเวกเตอร์ AD และ AB BC เท่ากับเวกเตอร์ AD ดังนั้น AB+AD=AB+BC=AC

AC คือความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เครื่องปรับอากาศเท่ากับ 16

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ตัดกันที่จุดหนึ่ง อและเท่ากับ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์ AO + BO

ลองหาเวกเตอร์ที่จะเป็นผลรวมของเวกเตอร์ AO และ BO BO เท่ากับเวกเตอร์ OD

AD คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ปัญหาคือการหาด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AOD ลองคำนวณขา:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ตัดกันที่จุด O และเท่ากับ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์ AO –BO

มาหาเวกเตอร์ที่จะเป็นผลลัพธ์ของ AO - VO:

AB คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ปัญหาคือการหาด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ใน AOB สามเหลี่ยมมุมฉาก คำนวณขา:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ด้านของสามเหลี่ยม ABC ปกติคือ 3

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ AB -AC

มาหาผลต่างของเวกเตอร์กัน:

CB เท่ากับ 3 เนื่องจากเงื่อนไขบอกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าและด้านเท่ากับ 3

27663. จงหาความยาวของเวกเตอร์ a (6; 8).

27664. หากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ AB

ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ นักเรียนและเด็กนักเรียนมักจะเจองานเกี่ยวกับปริมาณเวกเตอร์และการดำเนินการต่างๆ กับพวกเขา อะไรคือความแตกต่างระหว่างปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์ที่เราคุ้นเคย คุณลักษณะเดียวที่เป็นค่าตัวเลข เพราะมีแนวทาง

การใช้ปริมาณเวกเตอร์อธิบายได้ชัดเจนที่สุดในฟิสิกส์ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือแรง (แรงเสียดทาน แรงยืดหยุ่น น้ำหนัก) ความเร็วและความเร่ง เนื่องจากนอกจากค่าตัวเลขแล้ว พวกมันยังมีทิศทางของการกระทำด้วย สำหรับการเปรียบเทียบลองมา ตัวอย่างสเกลาร์: นี่อาจเป็นระยะห่างระหว่างจุดสองจุดหรือมวลของร่างกาย เหตุใดจึงต้องดำเนินการกับปริมาณเวกเตอร์ เช่น การบวกหรือการลบ สิ่งนี้จำเป็นเพื่อให้สามารถกำหนดผลลัพธ์ของการกระทำของระบบเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ 2 องค์ประกอบขึ้นไป

คำจำกัดความของคณิตศาสตร์เวกเตอร์

ให้เราแนะนำคำจำกัดความหลักที่ใช้เมื่อดำเนินการเชิงเส้น

เวกเตอร์คือส่วนที่กำกับ (มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด)
ความยาว (โมดูลัส) คือความยาวของส่วนที่กำกับ
เวกเตอร์คอลลิเนียร์คือเวกเตอร์สองตัวที่ขนานกับเส้นตรงเดียวกันหรืออยู่บนเส้นนั้นพร้อมกัน
เวกเตอร์ที่กำกับตรงข้ามเรียกว่า collinear และในเวลาเดียวกันก็มีทิศทางต่างกัน หากทิศทางตรงกันแสดงว่ามีทิศทางร่วม
เวกเตอร์จะเท่ากันเมื่อมีทิศทางร่วมและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน
ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว กและ ขเป็นเวกเตอร์ดังกล่าว คจุดเริ่มต้นที่ตรงกับจุดเริ่มต้นของครั้งแรกและจุดสิ้นสุด - กับจุดสิ้นสุดของวินาทีโดยมีเงื่อนไขว่า ขเริ่มต้นที่จุดเดียวกันสิ้นสุด ก.
ความแตกต่างของเวกเตอร์ กและ ขเรียกผลรวม กและ ( - ข ), ที่ไหน ( - ข ) - ตรงข้ามกับเวกเตอร์ ข. นอกจากนี้ยังสามารถให้คำจำกัดความของความแตกต่างของเวกเตอร์สองตัวได้ดังนี้: โดยผลต่าง คเวกเตอร์คู่ กและ ขเรียกสิ่งนี้ คซึ่งเมื่อนำมาบวกเข้ากับตัวลบ ขรูปแบบที่ลดลง ก.

วิธีการวิเคราะห์

วิธีการวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการได้รับพิกัดของความแตกต่างตามสูตรโดยไม่ต้องสร้าง เป็นไปได้ที่จะทำการคำนวณสำหรับพื้นที่แบน (สองมิติ) ปริมาตร (สามมิติ) หรือ n มิติ

สำหรับปริภูมิสองมิติและ ปริมาณเวกเตอร์ ก {ก₁;เอ₂) และ ข {ข₁;ข₂} การคำนวณจะมีลักษณะดังนี้: ค {ค₁; ค₂} = {ก₁ – ข₁; ก₂ – ข₂}.

ในกรณีของการเพิ่มพิกัดที่สาม การคำนวณจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันและสำหรับ ก {ก₁;เอ₂; ก₃) และ ข {ข₁;ข₂; ข₃) พิกัดของความแตกต่างจะได้รับโดยการลบแบบคู่: ค {ค₁; ค₂; ค₃} = {ก₁ – ข₁; ก₂ – ข₂; ก₃–b₃}.

การคำนวณความแตกต่างแบบกราฟิก

ในการลงจุดความแตกต่างแบบกราฟิก คุณควรใช้กฎสามเหลี่ยม ในการทำเช่นนี้คุณต้องดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:

สำหรับพิกัดที่กำหนด ให้สร้างเวกเตอร์ที่คุณต้องการหาความแตกต่าง
รวมส่วนปลายเข้าด้วยกัน (เช่น สร้างส่วนที่กำกับสองส่วนเท่ากับส่วนที่กำหนด ซึ่งจะสิ้นสุดที่จุดเดียวกัน)
เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของส่วนที่กำกับทั้งสองและระบุทิศทาง ผลลัพธ์ที่ได้จะเริ่มต้นที่จุดเดียวกันกับที่เวกเตอร์ที่ถูกลบเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ถูกลบ

ผลลัพธ์ของการลบจะแสดงในรูปด้านล่าง.

นอกจากนี้ยังมีวิธีการสร้างความแตกต่างแตกต่างจากก่อนหน้านี้เล็กน้อย สาระสำคัญของมันอยู่ในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความแตกต่างของเวกเตอร์ซึ่งมีการกำหนดดังนี้: เพื่อค้นหาความแตกต่างของส่วนที่กำกับคู่หนึ่งก็เพียงพอที่จะหาผลรวมของส่วนแรกกับส่วนที่ตรงกันข้าม ถึงวินาที อัลกอริทึมการก่อสร้างจะมีลักษณะดังนี้:

สร้างส่วนกำกับเริ่มต้น
สิ่งที่ถูกลบออกจะต้องสะท้อนให้เห็น เช่น สร้างส่วนที่กำกับตรงข้ามและเท่ากัน จากนั้นรวมจุดเริ่มต้นเข้ากับการลดขนาด
สร้างผลรวม: เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของส่วนแรกกับจุดสิ้นสุดของส่วนที่สอง

ผลลัพธ์ของการตัดสินใจนี้แสดงในรูป:

การแก้ปัญหา

ในการรวมทักษะ เราจะวิเคราะห์งานหลายอย่างที่จำเป็นในการคำนวณความแตกต่างในเชิงวิเคราะห์หรือเชิงกราฟิก

ภารกิจที่ 1. มี 4 จุดบนระนาบ: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2) กำหนดพิกัดของเวกเตอร์ q = AB - CD และคำนวณความยาวของมันด้วย

วิธีการแก้. ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาพิกัด เอบีและ ซีดี. ในการทำเช่นนี้ ให้ลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด สำหรับ เอบีจุดเริ่มต้นคือ ก(1; -3) และจุดสิ้นสุด - ข(0; 4). คำนวณพิกัดของส่วนที่กำกับ:

เอบี {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

มีการคำนวณที่คล้ายกันสำหรับ ซีดี:

ซีดี {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

ตอนนี้เมื่อทราบพิกัดแล้วคุณจะพบความแตกต่างของเวกเตอร์ สูตรสำหรับการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ของเครื่องบินได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้: สำหรับ ค = ก- ขพิกัดมีลักษณะดังนี้ ( ค₁; ค₂} = {ก₁ – ข₁; ก₂ – ข₂). สำหรับบางกรณี คุณสามารถเขียน:

ถาม = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

เพื่อหาความยาว ถามเราใช้สูตร | ถาม| = √(q₁² + คิว₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06

ภารกิจที่ 2. รูปแสดงเวกเตอร์ m, n และ p

จำเป็นต้องสร้างความแตกต่างให้กับพวกเขา: p- n; ม- n; ม-น- หน้า ค้นหาว่าโมดูลัสใดมีโมดูลัสที่เล็กที่สุด

วิธีการแก้. งานนี้ต้องการสามสิ่งก่อสร้าง เรามาดูรายละเอียดแต่ละส่วนของงานกันดีกว่า

ส่วนที่ 1.เพื่อเป็นการพรรณนา หน้า-n,ลองใช้กฎสามเหลี่ยม ในการดำเนินการนี้ โดยใช้การแปลแบบคู่ขนาน เราเชื่อมต่อส่วนต่างๆ เพื่อให้จุดสิ้นสุดตรงกัน ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นและกำหนดทิศทางกัน ในกรณีของเรา เวกเตอร์ผลต่างเริ่มต้นที่ตำแหน่งเดียวกับที่ลบออก น.

ส่วนที่ 2มาวาดภาพกันเถอะ ม-น. ตอนนี้สำหรับวิธีแก้ปัญหา เราใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลต่างของเวกเตอร์ ในการทำเช่นนี้ ให้สร้างเวกเตอร์ตรงข้าม เอ็นแล้วหาผลรวมกับ ม.ผลลัพธ์จะมีลักษณะดังนี้:

ตอนที่ 3เพื่อค้นหาความแตกต่าง m-n-p,แยกนิพจน์ออกเป็นสองขั้นตอน เนื่องจากกฎที่คล้ายกับกฎเลขคณิตมีผลใช้ในพีชคณิตเวกเตอร์ จึงมีตัวเลือกดังต่อไปนี้:

ม-(n+p): ในกรณีนี้ ผลรวมจะถูกสร้างขึ้นก่อน n+pซึ่งจะถูกลบออกจาก ม;
(ม-น)-ป: ที่นี่ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา ม-นแล้วลบออกจากผลต่างนี้ หน้า;
(ม-ป)-น: การกระทำแรกถูกกำหนด m-pหลังจากนั้นคุณต้องลบออกจากผลลัพธ์ น.

เนื่องจากในส่วนก่อนหน้าของปัญหาเราพบความแตกต่างแล้ว ม-นเราสามารถลบออกจากมันได้เท่านั้น หน้า. ให้เราสร้างความแตกต่างของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทความแตกต่าง คำตอบแสดงอยู่ในภาพด้านล่าง (สีแดงหมายถึงผลลัพธ์ขั้นกลาง และสีเขียวหมายถึงผลลัพธ์ขั้นสุดท้าย)

ยังคงต้องพิจารณาว่าส่วนใดมีโมดูลัสที่เล็กที่สุด จำไว้ว่าแนวคิดเรื่องความยาวและโมดูลัสในคณิตศาสตร์เวกเตอร์นั้นเหมือนกัน ประมาณความยาวด้วยสายตา หน้า- n, ม-นและ ม-น-หน้า. เห็นได้ชัดว่าคำตอบในส่วนสุดท้ายของโจทย์สั้นที่สุดและมีโมดูลัสที่เล็กที่สุดได้แก่ ม-น-หน้า.

ปริมาณทางคณิตศาสตร์หรือทางกายภาพสามารถแสดงเป็นปริมาณสเกลาร์ (ค่าตัวเลข) หรือปริมาณเวกเตอร์ (ขนาดและทิศทางในอวกาศ)

เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรงซึ่งระบุว่าจุดใดของขอบเขตคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ดังนั้นจึงมีองค์ประกอบสองส่วนในเวกเตอร์ - นี่คือความยาวและทิศทาง

ภาพของเวกเตอร์บนภาพวาด

เมื่อทำงานกับเวกเตอร์ มักจะมีการนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมาใช้ ซึ่งพิกัดของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยการแยกย่อยออกเป็นเวกเตอร์พื้นฐาน:

สำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ในพื้นที่พิกัด (x,y,z) และออกจากจุดกำเนิด

ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เรียกว่าความยาว และสัญลักษณ์โมดูลัสจะใช้เพื่อแสดงความยาวของเวกเตอร์ (ค่าสัมบูรณ์)

เวกเตอร์ที่อยู่ในเส้นเดียวกันหรือเส้นขนานเรียกว่า collinear เวกเตอร์ว่างถือว่าใกล้เคียงกับเวกเตอร์ใดๆ ในบรรดาเวกเตอร์คอลลิเนียร์ มีความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ที่กำกับเท่ากัน (กำกับร่วม) และเวกเตอร์ที่กำกับตรงข้ามกัน เวกเตอร์เรียกว่า coplanar ถ้าพวกมันอยู่บนระนาบเดียวกันหรือบนเส้นตรงที่ขนานกับระนาบเดียวกัน

1.ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัสเวกเตอร์)

ความยาวของเวกเตอร์กำหนดค่าสเกลาร์ของมันและขึ้นอยู่กับพิกัดของมัน แต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทางของมัน ความยาวของเวกเตอร์ (หรือโมดูลัสของเวกเตอร์) คำนวณโดยใช้รากที่สองเลขคณิตของผลรวมของกำลังสองของพิกัด (ส่วนประกอบ) ของเวกเตอร์ (กฎสำหรับการคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากถูกใช้ โดยที่ เวกเตอร์จะกลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก)

โมดูลของเวกเตอร์คำนวณผ่านพิกัดดังนี้:

สำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิพิกัด (x,y) และออกมาจากจุดกำเนิด

สำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิพิกัด (x,y,z) และออกมาจากจุดกำเนิด สูตรจะคล้ายกับสูตรสำหรับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากเวกเตอร์ในอวกาศจะมีตำแหน่งเดียวกันเมื่อเทียบกับพิกัด แกน

2. มุมระหว่างเวกเตอร์

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวที่พล็อตจากจุดหนึ่งคือมุมที่สั้นที่สุดซึ่งเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งต้องหมุนรอบจุดกำเนิดไปยังตำแหน่งของเวกเตอร์ตัวที่สอง มุมระหว่างเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยใช้นิพจน์เพื่อกำหนดผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์

ดังนั้น โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จะเท่ากับอัตราส่วนของผลคูณสเกลาร์ต่อผลคูณของความยาวหรือโมดูลของเวกเตอร์ สูตรนี้สามารถใช้ได้หากทราบความยาวของเวกเตอร์และผลคูณสเกลาร์ หรือเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยพิกัดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบหรือในอวกาศในรูปแบบ: และ

ถ้ากำหนดเวกเตอร์ A และ B ในปริภูมิสามมิติ และพิกัดของแต่ละเวกเตอร์ถูกกำหนดในรูปแบบ: และ แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

ควรสังเกตว่ามุมระหว่างเวกเตอร์และยังสามารถกำหนดได้โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยม: กำลังสองของด้านใด ๆ ของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านลบสองเท่าของผลคูณของ ด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

โดยที่ AB, OA, OB คือด้านที่ตรงกันของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับรูปสามเหลี่ยม

สำหรับแคลคูลัสเวกเตอร์ สูตรนี้จะเขียนใหม่ดังนี้:

ดังนั้น มุมระหว่างเวกเตอร์ และ ถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

โดยที่ และ คือโมดูล (ความยาว) ของเวกเตอร์ และเป็นโมดูล (ความยาว) ของเวกเตอร์ ซึ่งพิจารณาจากความแตกต่างของเวกเตอร์สองตัว สิ่งแปลกปลอมที่เข้าสู่สมการถูกกำหนดโดยพิกัดของเวกเตอร์ และ

3. การบวกเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์สองตัวและ (ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว) คือการดำเนินการคำนวณเวกเตอร์ ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมแบบคู่ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และ . ถ้าให้เวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ผลรวมของเวกเตอร์

แบบกราฟิกด้วย ตำแหน่งของเวกเตอร์อิสระสองตัวสามารถดำเนินการได้ทั้งตามกฎของรูปสามเหลี่ยมและตามกฎของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การบวกเวกเตอร์สองตัว

การเพิ่มเวกเตอร์เลื่อนสองตัวถูกกำหนดเฉพาะในกรณีที่เส้นที่อยู่ตัดกัน การเพิ่มเวกเตอร์คงที่สองตัวจะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อพวกมันมีจุดกำเนิดร่วมกัน

กฎสามเหลี่ยม.

ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสามเหลี่ยม เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกโอนขนานกันเพื่อให้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์หนึ่งตรงกับจุดสิ้นสุดของอีกเวกเตอร์หนึ่ง จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น และจุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง

มุมระหว่างเวกเตอร์คือที่ใดเมื่อจุดเริ่มต้นของอันหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอีกอันหนึ่ง

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกถ่ายโอนขนานกันเพื่อให้จุดเริ่มต้นตรงกัน จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากจุดกำเนิดเดียวกัน

โมดูล (ความยาว) ของเวกเตอร์ผลรวมถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทโคไซน์:

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ออกมาจากจุดเดียวกันคือที่ไหน

บันทึก:

อย่างที่คุณเห็น ขึ้นอยู่กับมุมที่เลือก เครื่องหมายหน้าโคไซน์ของมุมจะเปลี่ยนไปในสูตรสำหรับกำหนดโมดูล (ความยาว) ของเวกเตอร์ผลรวม

4. ความแตกต่างของเวกเตอร์

ผลต่างของเวกเตอร์และ (การลบเวกเตอร์) คือการดำเนินการคำนวณเวกเตอร์ ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดจะเท่ากับผลต่างคู่ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และ ถ้าให้เวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ความแตกต่างของเวกเตอร์และสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ในรูปแบบกราฟิก ผลต่างของเวกเตอร์และเป็นผลรวมของเวกเตอร์และเวกเตอร์ตรงข้ามกับเวกเตอร์ เช่น

ความแตกต่างของเวกเตอร์อิสระสองตัว

ความแตกต่างของเวกเตอร์อิสระสองตัวในรูปแบบกราฟิกสามารถกำหนดได้ทั้งจากกฎสามเหลี่ยมและกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน โมดูลัส (ความยาว) ของเวกเตอร์ความแตกต่างถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทโคไซน์ ขึ้นอยู่กับมุมที่ใช้ในสูตร เครื่องหมายที่อยู่หน้าโคไซน์จะเปลี่ยนไป (กล่าวถึงก่อนหน้านี้)

5. ดอทโปรดัคของเวกเตอร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นจำนวนจริงเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่คูณกันและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และแสดงด้วยหนึ่งในสัญกรณ์ต่อไปนี้ หรือ หรือ และถูกกำหนดโดยสูตร: