คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมออนไลน์ วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

1. สำหรับสองขา S = a * b/2, a, b – ขา

ตัวเลือกที่สองสำหรับการคำนวณพื้นที่จะใช้ไซน์ของมุมที่ทราบแทนโคแทนเจนต์ ในรุ่นนี้ สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านที่ทราบ คูณด้วยไซน์ของแต่ละมุมแล้วหารด้วยไซน์คู่ของมุมเหล่านี้: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *บาป(α + β)) ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยมเดียวกันที่มีด้านที่ทราบยาว 15 ซม. และอยู่ติดกัน มุมที่ 40° และ 60° การคำนวณพื้นที่จะมีลักษณะดังนี้: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 ตารางเซนติเมตร

เวอร์ชันการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมเกี่ยวข้องกับมุม พื้นที่จะเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านที่ทราบ คูณด้วยแทนเจนต์ของแต่ละมุมแล้วหารด้วยผลรวมสองเท่าของแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ) เช่นสำหรับสามเหลี่ยมที่ใช้ในขั้นตอนที่แล้วที่มีด้านยาว 15 ซม. และติดกัน มุมที่ 40° และ 60° การคำนวณพื้นที่จะมีลักษณะดังนี้: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 ตารางเซนติเมตร

สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมีจุดยอดสามจุดและมีด้านสามด้าน สามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก เรียกว่า สามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก จะใช้สูตรทั้งหมดสำหรับสามเหลี่ยมทั่วไปได้ อย่างไรก็ตามสามารถแก้ไขได้โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของมุมขวาด้วย

คำแนะนำ

เบื้องต้นในการหาพื้นที่ สามเหลี่ยมผ่านฐานได้ดังนี้ S = 1/2 * b * h โดยที่ b คือด้าน สามเหลี่ยมและซ – สามเหลี่ยม- ความสูง สามเหลี่ยมเป็นเส้นตั้งฉากจากจุดยอด สามเหลี่ยมไปยังเส้นที่มีสิ่งที่ตรงกันข้าม สำหรับทรงสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมความสูง k b ตรงกับขา a วิธีนี้คุณจะได้สูตรคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยมมีมุม: S = 1/2 * a * b

พิจารณา. ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า a = 3, b = 4 จากนั้น S = 1/2 * 3 * 4 = 6 คำนวณ สี่เหลี่ยมเหมือนกัน สามเหลี่ยมแต่ตอนนี้ให้รู้เพียงด้านเดียวเท่านั้น b = 4 และมุม α, tan α = 3/4 ก็รู้เช่นกัน จากนั้น จากนิพจน์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติแทนเจนต์ α ให้แสดงขา a: tg α = a/b => a = b * tan α แทนค่านี้ลงในสูตรเพื่อคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมและเราได้: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​​​= 6

พิจารณาเป็นกรณีพิเศษในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยม- สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน ในกรณีที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมปรากฎว่า a = b เขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับกรณีนี้: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2 จากนั้นแทนค่านี้เป็นสูตรในการคำนวณพื้นที่ดังนี้ S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

หากทราบรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ r และวงกลมวงกลม R แล้ว สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมคำนวณโดยสูตร S = r^2 + 2 * r * R ให้รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสามเหลี่ยมเป็น r = 1 รัศมีของวงกลมที่เขียนในสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมวงกลม R = 5/2 จากนั้น S = 1 + 2 * 1 * 5/2 = 6

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก: R = c / 2 รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากจะพบได้จากสูตร r = (a + b – c) / 2

นี่คือหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด โดยมีสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดเป็นคู่เพื่อจำกัดส่วนหนึ่งของระนาบ ความรู้เกี่ยวกับพารามิเตอร์บางอย่างของรูปสามเหลี่ยม (ความยาวของด้าน, มุม, รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกหรือถูก จำกัด ความสูง ฯลฯ ) ในชุดค่าผสมต่างๆ ช่วยให้สามารถคำนวณพื้นที่ของส่วนที่ จำกัด ของเครื่องบินได้

คำแนะนำ

ถ้าทราบความยาวของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยม (A และ B) และขนาดของมุม (γ) พื้นที่ (S) ของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านและ ไซน์ของมุมที่ทราบ: S=A∗B∗sin(γ)/2

หากทราบความยาวของทั้งสามด้าน (A, B และ C) ในรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจแล้วในการคำนวณพื้นที่ (S) จะสะดวกกว่าในการแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม - กึ่งเส้นรอบวง (p) ตัวแปรนี้คำนวณเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวของทุกด้าน: p=(A+B+C)/2 การใช้ตัวแปรนี้สามารถกำหนดให้เป็นรากที่สองของผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปของตัวแปรนี้และความยาวของด้าน: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C))

หากนอกเหนือจากความยาวของทุกด้าน (A, B และ C) แล้วยังทราบความยาวของรัศมี (R) ของวงกลมที่ล้อมรอบใกล้กับรูปสามเหลี่ยมโดยพลการแล้วคุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องมีกึ่งเส้นรอบวง - พื้นที่ (S) จะเท่ากับอัตราส่วนผลคูณของความยาวของทุกด้านต่อรัศมีสี่เท่าของวงกลม: S=A ∗B∗C/(4∗R)

หากทราบค่าของทุกมุมของสามเหลี่ยม (α, β และ γ) และความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง (A) พื้นที่ (S) จะเท่ากับอัตราส่วนของผลิตภัณฑ์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ของความยาวของด้านที่ทราบโดยไซน์ของสองมุมที่อยู่ติดกันกับไซน์คู่ของมุมหนึ่งที่อยู่ตรงข้าม: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α))

หากทราบค่าของทุกมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ (α, βและγ) และรัศมี (R) ของวงกลมที่ จำกัด พื้นที่ (S) จะเท่ากับสองเท่าของกำลังสองของรัศมีและ ไซน์ของทุกมุม: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ)

วิดีโอในหัวข้อ

การหาปริมาตรของรูปสามเหลี่ยมเป็นงานที่ไม่สำคัญเลย ความจริงก็คือสามเหลี่ยมเป็นรูปสองมิตินั่นคือ มันอยู่ในระนาบเดียว ซึ่งหมายความว่ามันไม่มีปริมาตร แน่นอนว่าคุณไม่สามารถหาสิ่งที่ไม่มีอยู่ได้ แต่อย่ายอมแพ้! เราสามารถยอมรับสมมติฐานต่อไปนี้: ปริมาตรของรูปสองมิติคือพื้นที่ของมัน เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คุณจะต้อง

• แผ่นกระดาษ ดินสอ ไม้บรรทัด เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

วาดบนกระดาษโดยใช้ไม้บรรทัดและดินสอ เมื่อตรวจสอบสามเหลี่ยมอย่างละเอียด คุณจะแน่ใจได้ว่าสามเหลี่ยมนั้นไม่มีรูปสามเหลี่ยมจริงๆ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมนั้นวาดบนเครื่องบิน เขียนกำกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม: ให้ด้านหนึ่งเป็นด้าน "a" อีกด้านเป็น "b" และด้านที่สามเป็น "c" ติดป้ายกำกับจุดยอดของสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร "A", "B" และ "C"

วัดด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลลัพธ์ไว้ หลังจากนั้นให้คืนค่าตั้งฉากกับด้านที่วัดจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับจุดนั้น ซึ่งตั้งฉากดังกล่าวจะเป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยม ในกรณีที่แสดงในรูป ค่าตั้งฉาก "h" จะกลับคืนสู่ด้าน "c" จากจุดยอด "A" วัดความสูงผลลัพธ์ด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลการวัด

อาจเป็นเรื่องยากสำหรับคุณที่จะคืนค่าตั้งฉากที่แน่นอน ในกรณีนี้ คุณควรใช้สูตรอื่น วัดทุกด้านของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัด หลังจากนั้น ให้คำนวณกึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม “p” โดยบวกความยาวผลลัพธ์ของด้านแล้วหารผลรวมเป็นครึ่งหนึ่ง เมื่อรู้ค่ากึ่งเส้นรอบรูปแล้ว คุณสามารถใช้สูตรของเฮรอนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหาค่ารากที่สองของค่าต่อไปนี้: p(p-a)(p-b)(p-c)

คุณได้พื้นที่สามเหลี่ยมที่ต้องการแล้ว ปัญหาการหาปริมาตรของสามเหลี่ยมยังไม่ได้รับการแก้ไข แต่ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ปริมาตรไม่ได้ได้รับการแก้ไข คุณสามารถหาปริมาตรที่เป็นรูปสามเหลี่ยมได้ในโลกสามมิติ หากเราจินตนาการว่าสามเหลี่ยมเดิมของเรากลายเป็นปิรามิดสามมิติ ปริมาตรของปิรามิดนั้นจะเป็นผลคูณของความยาวของฐานคูณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เราได้รับ

โปรดทราบ

ยิ่งคุณวัดได้ละเอียดมากเท่าไร การคำนวณของคุณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

แหล่งที่มา:

• เครื่องคิดเลข "ทุกอย่างถึงทุกสิ่ง" - พอร์ทัลสำหรับค่าอ้างอิง
• ปริมาตรของสามเหลี่ยม

คุณสามารถค้นหาสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้มากกว่า 10 สูตรบนอินเทอร์เน็ต หลายสูตรใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม มีตัวอย่างที่ซับซ้อนจำนวนหนึ่ง โดยตามเงื่อนไขของงาน ที่ทราบเพียงด้านเดียวและมุมของสามเหลี่ยม หรือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบหรือถูกจารึกไว้ และคุณลักษณะอีกประการหนึ่ง ในกรณีเช่นนี้ จะไม่สามารถใช้สูตรอย่างง่ายได้

สูตรที่ให้ไว้ด้านล่างจะช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ 95 เปอร์เซ็นต์ที่คุณต้องหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
มาดูสูตรพื้นที่ส่วนกลางกันดีกว่า
พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่แสดงในภาพด้านล่าง

ในรูปและด้านล่างของสูตร มีการแนะนำการกำหนดแบบคลาสสิกของคุณลักษณะทั้งหมด
a,b,c – ด้านของสามเหลี่ยม
R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
r - รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
h[b],h[a],h[c] – ความสูงที่วาดตามด้าน a,b,c
อัลฟา เบตา ฮัมมา – มุมใกล้จุดยอด

สูตรพื้นฐานสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม

1. พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและความสูงลดลงมาทางด้านนี้ ในภาษาของสูตร คำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้ดังนี้

ดังนั้น ถ้าทราบด้านและความสูง นักเรียนทุกคนก็จะหาพื้นที่ได้
อย่างไรก็ตาม จากสูตรนี้เราสามารถหาความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งระหว่างความสูงได้

2. หากเราคำนึงว่าความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ผ่านด้านประชิดนั้นแสดงโดยการพึ่งพา

จากนั้นสูตรพื้นที่แรกจะตามด้วยสูตรที่สองซึ่งเป็นประเภทเดียวกัน

ดูสูตรอย่างละเอียด - ง่ายต่อการจดจำเนื่องจากงานเกี่ยวข้องกับสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา หากเรากำหนดด้านและมุมของสามเหลี่ยมได้อย่างถูกต้อง (ดังรูปด้านบน) เราจะได้ด้าน a, b สองด้าน และมุมนั้นเชื่อมต่อกับมุมที่สามด้วย (ฮัมมะ)

3. สำหรับมุมของสามเหลี่ยม ความสัมพันธ์จะเป็นจริง

การพึ่งพาอาศัยกันช่วยให้คุณใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมในการคำนวณ:

ตัวอย่างของการพึ่งพาอาศัยกันนี้หายากมาก แต่คุณต้องจำไว้ว่ามีสูตรดังกล่าว

4. ถ้าทราบด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน สูตรก็จะหาพื้นที่ได้

5. สูตรหาพื้นที่ในรูปด้านและโคแทนเจนต์ของมุมที่อยู่ติดกันมีดังนี้

ด้วยการจัดเรียงดัชนีใหม่ คุณจะได้รับการอ้างอิงสำหรับบุคคลอื่น

6. สูตรพื้นที่ด้านล่างนี้ใช้ในปัญหาเมื่อมีการระบุจุดยอดของสามเหลี่ยมบนระนาบด้วยพิกัด ในกรณีนี้ พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของปัจจัยกำหนดที่ใช้แบบโมดูโล

7. สูตรนกกระสาใช้ในตัวอย่างที่มีด้านที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม
ขั้นแรกให้หาระยะกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

แล้วกำหนดพื้นที่โดยใช้สูตร

หรือ

มักใช้ในโค้ดของโปรแกรมเครื่องคิดเลข

8. หากทราบความสูงทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่นั้นจะถูกกำหนดโดยสูตร

การคำนวณด้วยเครื่องคิดเลขเป็นเรื่องยาก แต่ใน MathCad, Mathematica, Maple แพคเกจพื้นที่คือ "เวลาสอง"

9. สูตรต่อไปนี้ใช้รัศมีที่ทราบของวงกลมภายในและวงกลมล้อมรอบ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากทราบรัศมีและด้านข้างของสามเหลี่ยมหรือเส้นรอบวง พื้นที่นั้นจะถูกคำนวณตามสูตร

10. ตัวอย่างที่ให้ด้านและรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ พื้นที่หาได้จากสูตร

11. สูตรต่อไปนี้กำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในแง่ของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

และสุดท้าย - กรณีพิเศษ:
พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีขา a และ b เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า (ปกติ)=

= หนึ่งในสี่ของผลคูณของด้านกำลังสองและรากของสาม

รูปสามเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยเส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมต่อกัน ณ จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดเชื่อมต่อของเส้นคือจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมซึ่งกำหนดด้วยตัวอักษรละติน (เช่น A, B, C) เส้นตรงที่เชื่อมต่อกันของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าส่วนต่างๆ ซึ่งโดยปกติจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน สามเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

• สี่เหลี่ยม
• ป้าน.
• เชิงมุมเฉียบพลัน
• อเนกประสงค์
• ด้านเท่ากันหมด
• หน้าจั่ว.

สูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมตามความยาวและความสูง

S= a*h/2,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ h คือความยาวของความสูงที่ลากถึงฐาน

สูตรของนกกระสา

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
โดยที่ √ คือรากที่สอง, p คือกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม, a,b,c คือความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ระยะกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร p=(a+b+c)/2

สูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากมุมและความยาวของส่วน

S = (a*b*บาป(α))/2,
โดยที่ b,c คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม sin(α) คือไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองด้าน

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมกำหนดรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และด้านทั้งสาม

ส=พี*อาร์,
โดยที่ p คือพื้นที่กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบมัน

S= (ก*ข*ค)/4*ร
โดยที่ a,b,c คือความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนของจุด

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดคือพิกัดในระบบ xOy โดยที่ x คือ Abscissa และ y คือพิกัด ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน xOy บนระนาบคือแกนตัวเลขตั้งฉากร่วมกันระหว่าง Ox และ Oy โดยมีจุดกำเนิดร่วมกันที่จุด O หากพิกัดของจุดบนระนาบนี้กำหนดไว้ในรูปแบบ A(x1, y1), B(x2, y2) ) และ C(x3, y3 ) จากนั้นคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่อไปนี้ซึ่งได้มาจากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว
ส = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ที่ไหน || ย่อมาจากโมดูล

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมวัดได้ 90 องศา สามเหลี่ยมสามารถมีมุมดังกล่าวได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากสองด้าน

S= ก*ข/2,
โดยที่ a,b คือความยาวของขา ขาเป็นด้านที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

S = a*b*บาป(α)/ 2,
โดยที่ a, b คือขาของสามเหลี่ยม และ sin(α) คือไซน์ของมุมที่เส้น a, b ตัดกัน

สูตรหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านและมุมตรงข้าม

S = a*b/2*tg(β)
โดยที่ a, b คือขาของรูปสามเหลี่ยม, tan(β) คือแทนเจนต์ของมุมที่ขา a, b เชื่อมต่อกัน

วิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้าง และอีกด้านเป็นฐาน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้

สูตรพื้นฐานในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

S=h*c/2,
โดยที่ c คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลดระดับลงถึงฐาน

สูตรของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยพิจารณาจากด้านและฐาน

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
โดยที่ c คือฐานของสามเหลี่ยม a คือขนาดของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สามเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านเท่ากัน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:
S = (√3*ก*ก)/4,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สูตรข้างต้นจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ที่ต้องการของรูปสามเหลี่ยมได้ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าในการคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมคุณต้องพิจารณาประเภทของสามเหลี่ยมและข้อมูลที่มีอยู่ที่สามารถใช้ในการคำนวณได้

ดังที่คุณอาจจำได้จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน สามเหลี่ยมคือรูปร่างที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมประกอบขึ้นเป็นสามมุม จึงเป็นที่มาของชื่อรูปนั้น คำจำกัดความอาจแตกต่างกัน สามเหลี่ยมสามารถเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุมได้คำตอบก็จะถูกต้องเช่นกัน สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งตามจำนวนด้านที่เท่ากันและขนาดของมุมในรูป ดังนั้น สามเหลี่ยมจึงถูกจำแนกเป็นหน้าจั่ว ด้านเท่ากันหมด และด้านไม่เท่ากัน เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยม เฉียบพลัน และป้าน ตามลำดับ

มีสูตรคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมมากมาย เลือกวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเช่น จะใช้สูตรไหนก็ขึ้นอยู่กับคุณ แต่ก็น่าสังเกตเพียงสัญลักษณ์บางส่วนที่ใช้ในหลายสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น จำไว้ว่า:

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม

R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

p คือกึ่งปริมณฑล

ต่อไปนี้เป็นสัญลักษณ์พื้นฐานที่อาจเป็นประโยชน์สำหรับคุณหากคุณลืมวิชาเรขาคณิตไปโดยสิ้นเชิง ด้านล่างนี้เป็นตัวเลือกที่เข้าใจได้และไม่ซับซ้อนที่สุดสำหรับการคำนวณพื้นที่ที่ไม่รู้จักและลึกลับของรูปสามเหลี่ยม ไม่ใช่เรื่องยากและจะเป็นประโยชน์ทั้งต่อความต้องการในครัวเรือนและช่วยเหลือลูก ๆ ของคุณ จำวิธีคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมให้ง่ายที่สุด:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ: S = ½ * 2.2 ซม. * 2.5 ซม. = 2.75 ตร.ซม. โปรดจำไว้ว่าพื้นที่มีหน่วยเป็นตารางเซนติเมตร (ตร.ซม.)

สามเหลี่ยมมุมฉากและพื้นที่ของมัน

สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา (จึงเรียกว่ามุมฉาก) มุมฉากเกิดจากเส้นตั้งฉากสองเส้น (ในกรณีของรูปสามเหลี่ยม เส้นตั้งฉากสองเส้น) ในสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมฉากได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น เพราะ... ผลรวมของมุมทุกมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180 องศา ปรากฎว่าอีก 2 มุมควรหาร 90 องศาที่เหลือ เช่น 70 กับ 20, 45 และ 45 เป็นต้น ดังนั้นคุณจำสิ่งสำคัญได้สิ่งที่เหลืออยู่คือค้นหาวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองจินตนาการว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ตรงหน้า และเราจำเป็นต้องหาพื้นที่ S ของมัน

1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ: S = 2.5 ซม. * 3 ซม. / 2 = 3.75 ตร.ซม.

โดยหลักการแล้วไม่จำเป็นต้องตรวจสอบพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีอื่นอีกต่อไปเพราะว่า เพียงเท่านี้ก็จะมีประโยชน์และจะช่วยในชีวิตประจำวัน แต่ยังมีตัวเลือกในการวัดพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านมุมแหลมอีกด้วย

2. สำหรับวิธีคำนวณอื่นๆ คุณต้องมีตารางโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตัดสินด้วยตัวคุณเองต่อไปนี้เป็นตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ยังสามารถใช้ได้:

เราตัดสินใจใช้สูตรแรกและมีจุดเล็กๆ น้อยๆ (เราวาดมันในสมุดบันทึกและใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์เก่า) แต่เราได้รับการคำนวณที่ถูกต้อง:

ส = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2) เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: 3.6=3.7 แต่เมื่อคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของเซลล์ เราสามารถให้อภัยความแตกต่างเล็กน้อยนี้ได้

สามเหลี่ยมหน้าจั่วและพื้นที่ของมัน

หากคุณกำลังเผชิญกับงานคำนวณสูตรสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ววิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้หลักและสิ่งที่ถือเป็นสูตรคลาสสิกสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม

แต่ก่อนอื่น ก่อนที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เรามาดูกันว่านี่คือรูปประเภทใด สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ทั้งสองด้านเรียกว่าด้านข้าง ด้านที่สามเรียกว่าฐาน อย่าสับสนระหว่างสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับสามเหลี่ยมด้านเท่า เช่น สามเหลี่ยมปกติที่มีด้านทั้งสามด้านเท่ากัน ในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่มีแนวโน้มพิเศษกับมุมหรือขนาดของมัน อย่างไรก็ตาม มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน แต่แตกต่างจากมุมระหว่างด้านที่เท่ากัน คุณรู้สูตรแรกและสูตรหลักแล้ว แต่ยังต้องหาสูตรอื่นในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมเป็นรูปที่ทุกคนคุ้นเคย และแม้จะมีรูปแบบที่หลากหลายก็ตาม สี่เหลี่ยม ด้านเท่ากันหมด แหลม หน้าจั่ว ป้าน แต่ละคนมีความแตกต่างกันในทางใดทางหนึ่ง แต่สำหรับใครก็ตามคุณต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

สูตรทั่วไปสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ใช้ความยาวของด้านหรือความสูง

การกำหนดที่ใช้ในนั้น: ด้าน - a, b, c; ความสูงด้านที่สอดคล้องกันของ a, n in, n ด้วย

1. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคำนวณเป็นผลคูณของ ½ ด้านหนึ่งและลบความสูงออกแล้ว S = ½ * ก * n ก สูตรสำหรับอีกสองด้านควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. สูตรของนกกระสาซึ่งปรากฏกึ่งเส้นรอบวง (โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็ก p ตรงกันข้ามกับเส้นรอบวงเต็ม) ต้องคำนวณครึ่งเส้นรอบวงดังนี้: เพิ่มด้านทั้งหมดแล้วหารด้วย 2 สูตรสำหรับครึ่งเส้นรอบวงคือ: p = (a+b+c) / 2 จากนั้นความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของ ​​รูปมีลักษณะดังนี้: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с))

3. หากคุณไม่ต้องการใช้เส้นรอบรูปครึ่งวงกลม สูตรที่มีเฉพาะความยาวของด้านจะมีประโยชน์: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (ก + ค - ค) * (ก + ข - ค)) ยาวกว่าครั้งก่อนเล็กน้อย แต่จะช่วยได้หากคุณลืมวิธีหาเส้นรอบรูป

สูตรทั่วไปเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยม

สัญลักษณ์ที่จำเป็นในการอ่านสูตร: α, β, γ - มุม พวกมันอยู่ตรงข้ามกับ a, b, c ตามลำดับ

1. จากข้อมูลดังกล่าว ครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองจะเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ: S = ½ a * b * sin γ สูตรสำหรับอีกสองกรณีควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากด้านหนึ่งและสามมุมที่รู้จัก S = (a 2 * บาป β * บาป γ) / (2 บาป α)

3. นอกจากนี้ยังมีสูตรที่มีด้านหนึ่งที่รู้จักและสองมุมที่อยู่ติดกัน ดูเหมือนว่านี้: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))

สองสูตรสุดท้ายไม่ใช่สูตรที่ง่ายที่สุด มันค่อนข้างยากที่จะจดจำพวกเขา

สูตรทั่วไปสำหรับสถานการณ์ที่ทราบรัศมีของวงกลมภายในหรือวงกลมภายในเส้นรอบวง

การกำหนดเพิ่มเติม: r, R - รัศมี อันแรกใช้สำหรับรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ประการที่สองคือสิ่งที่อธิบายไว้

1. สูตรแรกที่คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสัมพันธ์กับกึ่งปริมณฑล ส = ร * ร. วิธีเขียนอีกวิธีหนึ่งคือ: S = ½ r * (a + b + c)

2. ในกรณีที่สอง คุณจะต้องคูณทุกด้านของสามเหลี่ยมแล้วหารด้วยสี่เท่าของรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ ในการแสดงออกตามตัวอักษรจะมีลักษณะดังนี้: S = (a * b * c) / (4R)

3. สถานการณ์ที่สามช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องรู้ด้าน แต่คุณจะต้องมีค่าของทั้งสามมุม S = 2 R 2 * บาป α * บาป β * บาป γ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมมุมฉาก

นี่เป็นสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด เนื่องจากต้องใช้เพียงความยาวของขาทั้งสองข้างเท่านั้น ถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละติน a และ b พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่บวกเข้าไป

ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะดังนี้: S = ½ a * b มันง่ายที่สุดที่จะจำ เนื่องจากดูเหมือนสูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจึงปรากฏเพียงเศษส่วนแสดงว่าเป็นครึ่งหนึ่ง

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เนื่องจากมีด้านสองด้านเท่ากัน สูตรบางสูตรสำหรับพื้นที่จึงดูค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่น สูตรของนกกระสาซึ่งคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วใช้รูปแบบต่อไปนี้:

S = ½ นิ้ว √((a + ½ นิ้ว)*(a - ½ นิ้ว))

ถ้าแปลงร่างจะสั้นลง ในกรณีนี้ สูตรของเฮรอนสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วเขียนได้ดังนี้:

S = ¼ ใน √(4 * a 2 - b 2)

สูตรพื้นที่จะดูง่ายกว่าสามเหลี่ยมใดๆ หากทราบด้านและมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น S = ½ a 2 * บาป β

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมด้านเท่า

โดยปกติแล้วจะมีปัญหาด้านที่ทราบหรือสามารถพบได้ในทางใดทางหนึ่ง จากนั้นสูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีดังนี้

ส = (ก 2 √3) / 4

ปัญหาในการค้นหาพื้นที่หากแสดงรูปสามเหลี่ยมบนกระดาษตารางหมากรุก

สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดคือเมื่อวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อให้ขาของมันตรงกับเส้นกระดาษ จากนั้นคุณเพียงแค่ต้องนับจำนวนเซลล์ที่พอดีกับขา จากนั้นคูณและหารด้วยสอง

เมื่อรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลมหรือป้าน จะต้องลากเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะมีสามเหลี่ยม 3 อัน หนึ่งคือสิ่งที่ได้รับในปัญหา และอีกสองอันเป็นแบบเสริมและสี่เหลี่ยม ต้องกำหนดพื้นที่ของสองส่วนสุดท้ายโดยใช้วิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและลบออกจากพื้นที่ที่คำนวณไว้สำหรับพื้นที่เสริม กำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สถานการณ์ที่ไม่มีด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมตรงกับเส้นกระดาษจะซับซ้อนกว่ามาก จากนั้นจะต้องจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมเพื่อให้จุดยอดของร่างต้นฉบับอยู่ด้านข้าง ในกรณีนี้จะมีสามเหลี่ยมมุมฉากเสริมสามรูป

ตัวอย่างปัญหาการใช้สูตรของเฮรอน

เงื่อนไข. สามเหลี่ยมบางอันรู้ด้านแล้ว มีค่าเท่ากับ 3, 5 และ 6 ซม. คุณต้องหาพื้นที่ของมัน

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรข้างต้นได้ ใต้รากที่สองเป็นผลคูณของตัวเลขสี่ตัว: 7, 4, 2 และ 1 นั่นคือ พื้นที่คือ √(4 * 14) = 2 √(14)

หากไม่ต้องการความแม่นยำมากกว่านี้ คุณสามารถหารากที่สองของ 14 ได้ ซึ่งจะเท่ากับ 3.74 จากนั้นพื้นที่จะเป็น 7.48

คำตอบ. S = 2 √14 ซม. 2 หรือ 7.48 ซม. 2

ตัวอย่างปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากมีขนาดใหญ่กว่าขาที่สอง 31 ซม. คุณต้องค้นหาความยาวของมันหากพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 180 ซม. 2
สารละลาย. เราจะต้องแก้ระบบสมการสองสมการ ประการแรกเกี่ยวข้องกับพื้นที่ อย่างที่สองคืออัตราส่วนของขาซึ่งระบุไว้ในโจทย์
180 = ½ ก * ข;

ก = ข + 31
ขั้นแรก ต้องแทนที่ค่า "a" ในสมการแรก ปรากฎว่า: 180 = ½ (ใน + 31) * นิ้ว มีปริมาณที่ไม่รู้จักเพียงปริมาณเดียว ดังนั้นจึงแก้ได้ง่าย หลังจากเปิดวงเล็บแล้วจะได้สมการกำลังสอง: 2 + 31 360 = 0 ซึ่งให้ค่า "ใน" สองค่า: 9 และ - 40 ตัวเลขที่สองไม่เหมาะเป็นคำตอบเนื่องจากความยาวของด้าน ของรูปสามเหลี่ยมไม่สามารถเป็นค่าลบได้

ยังคงต้องคำนวณเลกที่สอง: เพิ่ม 31 เข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ กลายเป็น 40 นี่คือปริมาณที่ต้องการในปัญหา

คำตอบ. ขาของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 9 และ 40 ซม.

ปัญหาการหาด้านผ่านพื้นที่ ด้าน และมุมของรูปสามเหลี่ยม

เงื่อนไข. พื้นที่ของสามเหลี่ยมบางรูปคือ 60 ซม. 2 จำเป็นต้องคำนวณด้านใดด้านหนึ่งหากด้านที่สองคือ 15 ซม. และมุมระหว่างด้านคือ30°

สารละลาย. ตามสัญกรณ์ที่ยอมรับ ด้านที่ต้องการคือ “a” ด้านที่ทราบคือ “b” มุมที่กำหนดคือ “γ” จากนั้นสูตรพื้นที่สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

60 = ½ a * 15 * บาป 30° ตรงนี้ไซน์ของ 30 องศาคือ 0.5

หลังจากการแปลง "a" จะเท่ากับ 60 / (0.5 * 0.5 * 15) นั่นคือ 16

คำตอบ. ด้านที่ต้องการคือ 16 ซม.

ปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 24 ซม. เกิดขึ้นพร้อมกับมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม อีกสองคนนอนตะแคง อันที่สามเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก. ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 42 ซม. สามเหลี่ยมมุมฉากมีพื้นที่เท่าไร?

สารละลาย. พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน อันแรกคืออันที่ระบุในงาน อันที่สองอิงตามขาที่รู้จักของสามเหลี่ยมดั้งเดิม พวกมันคล้ายกันเพราะมีมุมที่เหมือนกันและประกอบด้วยเส้นคู่ขนาน

อัตราส่วนของขาก็จะเท่ากัน ขาของสามเหลี่ยมเล็กกว่านั้นเท่ากับ 24 ซม. (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ 18 ซม. (ขาที่ให้มา 42 ซม. ลบด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 ซม.) ขาที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมขนาดใหญ่คือ 42 ซม. และ x ซม. นี่คือ "x" ที่จำเป็นในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม

18/42 = 24/x นั่นคือ x = 24 * 42/18 = 56 (ซม.)

จากนั้น พื้นที่จะเท่ากับผลคูณของ 56 และ 42 หารด้วย 2 นั่นคือ 1176 ซม. 2

คำตอบ. พื้นที่ที่ต้องการคือ 1176 ซม. 2