ล็อตนูนและคุณสมบัติของมัน กำหนดชุดนูน

โดยที่จุดทั้งหมดของเซกเมนต์ที่เกิดจากจุดสองจุดใดๆ ของเซตที่กำหนดจะเป็นของเซตนี้ด้วย

คำจำกัดความ

ตัวอย่าง

• เซตย่อยนูนของเซต $\backslash อาร์$(ชุด ตัวเลขจริง) แสดงถึงช่วงเวลาจาก $\backslash อาร์$.
• ตัวอย่างของเซตย่อยนูนในปริภูมิยูคลิดสองมิติ ( $\backslash อาร์^2$) เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ตัวอย่างของเซตย่อยนูนในปริภูมิยูคลิดสามมิติ ( $\backslash อาร์^3$) คือของแข็งอาร์คิมีดีนและรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
• ตัว Keppler-Poinsot (รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติ) เป็นตัวอย่างของ non- ชุดนูน.

คุณสมบัติ

• ส่วนนูนที่ตั้งอยู่ในปริภูมิเชิงเส้นของทอพอโลยีมีการเชื่อมต่อและเชื่อมต่อกับเส้นทาง มีโฮโมโทพีเทียบเท่ากับจุด
• ในแง่ของการเชื่อมต่อ ชุดนูนสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้: ชุดจะนูนถ้ามีจุดตัดกับเส้น (จริง) เชื่อมต่ออยู่
• อนุญาต $เค$- ชุดนูนในปริภูมิเชิงเส้น แล้วสำหรับธาตุใดๆ $u\_1,\backslash ;u\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;u\_r$เป็นเจ้าของ $เค$และสำหรับทุกคนที่ไม่เป็นลบ $\backslash lambda\_1,\backslash ;\backslash lambda\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;\backslash lambda\_r$เช่นนั้น $\backslash lambda\_1+\backslash lambda\_2+\backslash ldots+\backslash lambda\_r=1$, เวกเตอร์ $w=\backslash sum\_(k=1)^r\backslash lambda\_k\; u\_k$

เป็นของ $เค$.

• เวกเตอร์ $ว$เรียกว่าการรวมกันขององค์ประกอบนูน $u\_1,\backslash ;u\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;u\_r$.

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

• หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ คำจำกัดความนี้ใช้ได้กับการเว้นวรรคโดยไม่จำกัดส่วนขยายของสนามจำนวนจริง

ดูเพิ่มเติม

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "ชุดนูน"

วรรณกรรม

• Polovinkin E. S. , Balashov M. V.องค์ประกอบของการวิเคราะห์นูนและนูนอย่างยิ่ง - อ.: FIZMATLIT, 2004. - 416 หน้า - ไอ 5-9221-0499-3..
• ติโมริน วี.เอ.- - อ.: MTsNMO, 2545. - 16 น. - ไอ 5-94057-024-0..

ลิงค์

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงลักษณะชุดนูน

และนาตาชายืนเขย่งปลายเท้าและเดินออกจากห้องเหมือนกับที่นักเต้นทำ แต่ยิ้มในแบบที่เด็กสาววัย 15 ปีที่มีความสุขเท่านั้นที่ยิ้ม เมื่อพบกับ Sonya ในห้องนั่งเล่น Rostov ก็หน้าแดง เขาไม่รู้ว่าจะจัดการกับเธออย่างไร เมื่อวานพวกเขาจูบกันในนาทีแรกของการออกเดทอย่างมีความสุข แต่วันนี้พวกเขารู้สึกว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำเช่นนี้ เขารู้สึกว่าทุกคน ทั้งแม่และพี่สาวต่างมองเขาอย่างสงสัยและคาดหวังจากเขาว่าเขาจะปฏิบัติต่อเธออย่างไร เขาจูบมือเธอแล้วเรียกเธอว่าคุณ - ซอนย่า แต่เมื่อสบตากันแล้วพูดว่า "คุณ" ต่อกันและจูบอย่างอ่อนโยน ด้วยการจ้องมองเธอขอให้เขายกโทษให้กับความจริงที่ว่าที่สถานทูตของนาตาชาเธอกล้าเตือนเขาถึงคำสัญญาของเขาและขอบคุณเขาสำหรับความรักของเขา ด้วยการจ้องมองเขาขอบคุณเธอสำหรับข้อเสนออิสรภาพและกล่าวว่าไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเขาจะไม่มีวันหยุดรักเธอเพราะมันเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่รักเธอ
“ มันช่างแปลกเหลือเกิน” เวร่ากล่าวโดยเลือกช่วงเวลาแห่งความเงียบทั่วไป“ ที่ Sonya และ Nikolenka พบกันเหมือนคนแปลกหน้า” – คำพูดของ Vera นั้นยุติธรรม เช่นเดียวกับความคิดเห็นทั้งหมดของเธอ แต่เช่นเดียวกับคำพูดส่วนใหญ่ของเธอทุกคนรู้สึกอึดอัดใจและไม่เพียง แต่ Sonya, Nikolai และ Natasha เท่านั้น แต่ยังรวมถึงคุณหญิงชราที่กลัวความรักของลูกชายคนนี้ที่มีต่อ Sonya ซึ่งอาจกีดกันเขาจากงานปาร์ตี้ที่ยอดเยี่ยมก็หน้าแดงเหมือนเด็กผู้หญิงด้วย . ทำให้ Rostov ต้องประหลาดใจในชุดเครื่องแบบใหม่ซึ่งมีการใส่น้ำมันและกลิ่นหอม ปรากฏตัวในห้องนั่งเล่นที่ดูหรูหราราวกับอยู่ในการต่อสู้ และเป็นมิตรกับสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษอย่างที่ Rostov ไม่เคยคาดคิดมาก่อนว่าจะได้พบเขา

เมื่อกลับไปมอสโคว์จากกองทัพ Nikolai Rostov ก็ได้รับจากครอบครัวของเขาในฐานะ ลูกชายที่ดีที่สุดฮีโร่และ Nikolushka อันเป็นที่รัก; ญาติ - ในฐานะชายหนุ่มที่อ่อนหวานน่ารื่นรมย์และให้ความเคารพ คนรู้จัก - เหมือนร้อยโทเสือเสือสุดหล่อ นักเต้นที่เก่งกาจ และเจ้าบ่าวที่เก่งที่สุดคนหนึ่งในมอสโกว
Rostovs รู้จักมอสโกทั้งหมด ในปีนี้จำนวนคนชรามีเงินเพียงพอเพราะที่ดินทั้งหมดของเขาถูกจำนองอีกครั้งดังนั้น Nikolushka จึงมีตีนเป็ดของตัวเองและกางเกงรัดรูปที่ทันสมัยที่สุดกางเกงพิเศษที่ไม่มีใครในมอสโกมีและรองเท้าบูทที่ทันสมัยที่สุด สวมถุงเท้าที่แหลมที่สุดและเดือยสีเงินอันเล็กๆ สนุกสนานกันมาก Rostov เมื่อกลับบ้านรู้สึกสบายตัวหลังจากลองพยายามใช้ชีวิตแบบเดิมๆ มาระยะหนึ่งแล้ว ดูเหมือนว่าเขาจะเป็นผู้ใหญ่และเติบโตขึ้นมาก ความสิ้นหวังที่ไม่ผ่านการสอบตามกฎหมายของพระเจ้ายืมเงินจาก Gavrila เป็นคนขับรถแท็กซี่จูบอย่างลับๆกับ Sonya เขาจำได้ว่าทั้งหมดนี้เป็นเพียงความเป็นเด็กซึ่งตอนนี้เขาอยู่ห่างไกลอย่างนับไม่ถ้วน ปัจจุบันเขาเป็นร้อยโทเสือเสือในชุดสีเงิน โดยมีทหารชื่อจอร์จ กำลังเตรียมตีนเป็ดเพื่อวิ่งร่วมกับนักล่าชื่อดัง ผู้สูงอายุ ผู้น่านับถือ เขารู้จักผู้หญิงคนหนึ่งบนถนนที่เขาไปพบในตอนเย็น เขาแสดง mazurka ที่ลูกบอลของ Arkharovs พูดคุยเกี่ยวกับสงครามกับจอมพล Kamensky เยี่ยมชมสโมสรในอังกฤษ และเป็นมิตรกับผู้พันวัยสี่สิบปีที่เดนิซอฟแนะนำให้เขารู้จัก
ความหลงใหลในอธิปไตยของเขาอ่อนแอลงบ้างในมอสโกเนื่องจากเขาไม่เห็นเขาในช่วงเวลานี้ แต่เขามักจะพูดถึงอธิปไตย เกี่ยวกับความรักที่เขามีต่อเขา ทำให้รู้สึกว่าเขายังบอกไม่หมด ว่ายังมีความรู้สึกอื่นในองค์อธิปไตยที่ทุกคนไม่สามารถเข้าใจได้ และด้วยสุดใจของฉันเขาได้แบ่งปันความรู้สึกโดยทั่วไปของความรักในมอสโกในเวลานั้นสำหรับจักรพรรดิอเล็กซานเดอร์พาฟโลวิชซึ่งในมอสโกในเวลานั้นได้รับชื่อของทูตสวรรค์ในเนื้อหนัง
ในช่วงระยะเวลาสั้น ๆ ของ Rostov ในมอสโกก่อนที่จะออกจากกองทัพเขาไม่ได้สนิทสนม แต่ตรงกันข้ามเลิกกับ Sonya เธอสวยมาก อ่อนหวาน และเห็นได้ชัดว่าหลงรักเขาอย่างหลงใหล แต่เขาอยู่ในวัยเยาว์นั้นซึ่งดูเหมือนจะมีงานให้ทำมากมายจนไม่มีเวลาทำและชายหนุ่มก็กลัวที่จะเข้าไปยุ่ง - เขาเห็นคุณค่าของอิสรภาพที่เขาต้องการสำหรับหลาย ๆ คน สิ่งอื่น ๆ เมื่อเขาคิดถึง Sonya ระหว่างการเข้าพักครั้งใหม่ในมอสโกวเขาก็พูดกับตัวเองว่า: เอ๊ะ! จะมีอีกมากมาย มากกว่านี้ ที่ไหนสักแห่งที่ฉันยังไม่รู้จัก ฉันยังมีเวลาจะรักเมื่อต้องการ แต่ตอนนี้ไม่มีเวลาแล้ว นอกจากนี้ สำหรับเขาแล้วดูเหมือนว่ามีบางอย่างที่น่าอับอายสำหรับความกล้าหาญของเขาในสังคมหญิง เขาไปงานบอลและชมรม โดยแกล้งทำเป็นว่าทำโดยขัดกับความประสงค์ของเขา วิ่ง สโมสรอังกฤษ สนุกสนานกับเดนิซอฟ ไปเที่ยวที่นั่น - นั่นเป็นอีกเรื่องหนึ่ง: มันเหมาะกับเสือเสือตัวเก่ง
เมื่อต้นเดือนมีนาคม เคานต์ Ilya Andreich Rostov ผู้เฒ่ากำลังยุ่งอยู่กับการเตรียมอาหารค่ำที่สโมสรอังกฤษเพื่อรับเจ้าชาย Bagration
เคานต์ในชุดคลุมเดินไปรอบๆ ห้องโถง โดยสั่งแม่บ้านประจำคลับและธีออคทิสทัส ผู้มีชื่อเสียง ซึ่งเป็นพ่อครัวอาวุโส สโมสรอังกฤษเกี่ยวกับหน่อไม้ฝรั่ง แตงกวาสด สตรอเบอร์รี่ เนื้อลูกวัว และปลาสำหรับอาหารค่ำของ Prince Bagration เคานต์ นับตั้งแต่วันที่ก่อตั้งสโมสร เป็นสมาชิกและหัวหน้าคนงาน เขาได้รับความไว้วางใจจากสโมสรให้จัดงานเฉลิมฉลองให้กับ Bagration เพราะแทบไม่มีใครรู้วิธีจัดงานฉลองที่ยิ่งใหญ่และมีอัธยาศัยดีเช่นนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะแทบไม่มีใครรู้วิธีและต้องการบริจาคเงินหากจำเป็นต้องจัดระเบียบ งานฉลอง พ่อครัวและแม่บ้านของสโมสรฟังคำสั่งของเคานต์ด้วยสีหน้าร่าเริง เพราะพวกเขารู้ว่าไม่มีใครสามารถทำกำไรได้ดีไปกว่ามื้อเย็นที่ราคาหลายพัน

เซต X เรียกว่านูน ถ้าจุดสองจุดใดๆ ของมัน A,B ∈ X ทุกจุดของเซ็กเมนต์เป็นของเซต X ด้วย นั่นคือ ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดๆ ของมัน A,B ∈ X และสำหรับค่าใดๆ α ในจุด M = αA + (1 − α)B ยังอยู่ในเซต X: M ∈ X

ให้ X1, ...Xn มอบให้ - เซตนูน ให้เราแสดงว่า Y =Xi - จุดตัดของเซตนูน ลองแสดงว่า Y เป็นเซตนูน ในการทำเช่นนี้ เราแสดงว่าสำหรับจุดใดๆ A,B ∈ Y และสำหรับค่าใดๆ ของ α ใน จุด M = αA + (1 − α)B ก็เป็นของเซต Y เช่นกัน: M ∈ Y เนื่องจาก Y เป็นจุดตัดของเซตนูน X1, ...Xn จากนั้นเลือกตามใจชอบ จุด A, Bเป็นของแต่ละเซต Xi, i = 1..n เนื่องจากความนูนของเซต Xi แต่ละเซต ตามคำจำกัดความ จะตามมาว่าสำหรับค่าที่เลือกโดยพลการ α ∈ จุด M = αA+(1−α)B เป็นของแต่ละเซต (ทุกเซตมีลักษณะนูนและมี A ข) เนื่องจากเซต Xi ทั้งหมดมีจุด M ดังนั้น

จุดตัดของเซตเหล่านี้ยังมีจุด M: M ∈ Y จากการรวมครั้งสุดท้ายมีผลใช้บังคับ ความสุ่ม A,B∈ Y และความเด็ดขาดของพารามิเตอร์ α ∈ แสดงถึงความนูนของเซต Y ตามที่ต้องการแสดง

95. เซตของคะแนนเป็นไปตามเงื่อนไขนูนหรือไม่? ชี้แจงคำตอบของคุณ

ใช่ เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันนี้กำหนดครึ่งระนาบเชิงเส้นใน R4

เรามาพิสูจน์สิ่งนี้ตามคำจำกัดความ:

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X,

ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันข้างต้น

ลองพิจารณาดู จุดใดก็ได้ M = αA + (1 − α)B โดยที่ α ∈ คือค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง จากนั้นM(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

ความเป็นไปได้ของความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด:

5 + 2m1 + 3m2 - m3 + 5m4 ≥ 0

5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0

ลองนึกภาพ 5 = α5+(1−α)5 ขยายและจัดกลุ่มคำศัพท์สำหรับ ai และ bi เราได้รับ:

α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0

เนื่องจากจุด A, B อยู่ในเซต X พิกัดของจุดจึงเป็นไปตามอสมการ

ถึงผู้ที่จัดฉาก ซึ่งหมายความว่าทั้งสองคำไม่เป็นลบเนื่องจากไม่เป็นเชิงลบ

α และ 1 − α ดังนั้น อสมการสุดท้ายจึงถือเป็นค่า A, B และค่าใดๆ ก็ตาม

พารามิเตอร์ α ∈ . ตามคำนิยาม เราได้แสดงว่าเซต X ที่กำหนดคือ

นูน

96. เซตของคะแนนเป็นไปตามเงื่อนไขนูนหรือไม่? ชี้แจงคำตอบของคุณ

ใช่ เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันนี้กำหนดไฮเปอร์เพลนเชิงเส้นใน R4

เรามาพิสูจน์สิ่งนี้ตามคำจำกัดความ:

พิจารณาจุดสองจุดใดๆ ของปริภูมินี้

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X

เป็นไปตามความเท่าเทียมกันข้างต้น

พิจารณาจุดใดๆ ที่ต้องการ M = αA + (1 − α)B โดยที่ α ∈ คือค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ จากนั้น M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

ให้เราตรวจสอบความเป็นสมาชิกจุด M(m1,m2,m3,m4) ในชุด X โดยใช้

ความเป็นไปได้ ให้ความเท่าเทียมกัน:

m1 + 2m2 - 3m3 + 4m4 = 55

(αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55

ลองเปิดวงเล็บแล้วจัดกลุ่มคำศัพท์สำหรับ ai และ bi เราได้รับ:

α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55

เนื่องจากจุด A, B อยู่ในเซต X พิกัดของจุดจึงมีความเท่าเทียมกัน

การกำหนดเซต นั่นคือ (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 และ (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55

แทนที่ความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นนิพจน์สุดท้ายที่เราได้รับ:

α55 + (1 − α)55 = 55

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจะคงไว้สำหรับ A,B ใดๆ และค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ α ∈ ตามคำจำกัดความ เราได้แสดงว่าเซต X นี้นูน

97. ยกตัวอย่างเซตนูน ก) มีจุดมุม; b) ไม่มีจุดมุม ชุดนูนที่ไม่มีขอบเขตสามารถมีจุดมุมได้หรือไม่? ยกตัวอย่าง.

ก) สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดมุม 4 จุด

b) วงกลมไม่มีจุดมุม

c) ชุดไม่จำกัดสามารถมีจุดมุมได้: มีจุดมุมหนึ่งจุด (0;0)

98. กำหนดตัวถังนูนของระบบจุด อนุญาต เป็นเปลือกนูนของจุด , , , . ทำคะแนน: , ? ชี้แจงคำตอบของคุณ

นั่นคือ เงื่อนไขเป็นที่พอใจว่านี่คือผลรวมเชิงเส้นนูน ซึ่งหมายความว่า X เป็นส่วนหนึ่งของตัวถังนูน สมมติว่า Y รวมอยู่ในชุดค่าผสมนูนด้วย ดังนั้นจุดทั้งหมดของส่วนจะต้องรวมอยู่ในชุดค่าผสมเชิงเส้น แต่จากจุดเริ่มต้นจะชัดเจน (ทั้งหมดอยู่ทางด้านขวาของเส้นตรง x = -1) การรวมกันนูนทั้งหมดตั้งอยู่ทางด้านขวาของเส้นตรง x = -1 และจุด Y อยู่ทางด้านซ้าย ซึ่งยืนยันว่าทั้งส่วนและจุด Y ไม่ใช่ของตัวถังนูน

ชุดนูน- เซตย่อยของปริภูมิแบบยุคลิดที่มีส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดใดๆ ของเซตนี้

คำนิยาม

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตจะเรียกว่านูน ถ้า:

นั่นก็คือถ้าเป็นชุด เอ็กซ์เมื่อรวมกับจุดสองจุดใดๆ ที่เป็นของชุดนี้ จะมีส่วนที่เชื่อมต่อกัน:

ในอวกาศ ชุดนูนได้แก่ เส้นตรง ครึ่งเส้น ส่วน ช่วง และเซตจุดเดียว

ในอวกาศ ปริภูมิเอง สเปซเชิงเส้นใดๆ ทรงกลม เซตหนึ่งจุด จะนูนออกมา นอกจากนี้ชุดต่อไปนี้จะนูน:

• ไฮเปอร์เพลน H p? ด้วยความปกติ พี :

• ช่องว่างครึ่งหนึ่งที่ไฮเปอร์เพลนแบ่งช่องว่าง:

ชุดที่ระบุไว้ทั้งหมด (ยกเว้นสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อย) เป็นกรณีพิเศษของชุดรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

คุณสมบัติของเซตนูน

• จุดตัดของเซตนูนจะนูนออกมา
• ผลรวมเชิงเส้นของจุดของเซ็ตนูนคือนูน
• ชุดนูนประกอบด้วยจุดรวมกันนูนใดๆ
• จุดใดก็ได้ nมิติปริภูมิแบบยุคลิดที่มีตัวเรือนูนของชุดสามารถแสดงเป็นผลรวมนูนได้มากที่สุด n+1 คะแนนชุดนี้

ลองพิจารณาดู nเป็นปริภูมิแบบยูคลิดในมิติและปล่อยให้ - จุดหนึ่งในพื้นที่นี้

พิจารณาสองประเด็น และ เป็นของ .Set of point ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปแบบ

(ในพิกัดนี้เขียนดังนี้:

ส่วนการเชื่อมต่อจุดและ. จุดนั้นเรียกว่า ส่วนท้ายของส่วน- ในกรณีที่ n=2 และ n=3 คือส่วนในความหมายปกติของคำบนเครื่องบินหรือในอวกาศ (ดูรูปที่ 12) โปรดทราบว่าสำหรับ ` =0 และสำหรับ ` =1 นั่นคือ เมื่อ ` =0 และ ` =1 จะได้จุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์

ให้เข้า

ที่ให้ไว้ เคคะแนน

- จุด

ที่ซึ่งทุกสิ่งถูกเรียกว่า การรวมกันนูนจุด

ให้มีขอบเขตในอวกาศบ้าง (กล่าวคือ

ชมีจุดอยู่บ้างจาก

).

คำนิยาม. เซต (พื้นที่) เรียกว่า นูนถ้าจากสิ่งต่อไปนี้ สำหรับ `  . กล่าวอีกนัยหนึ่ง กชุดนูนหากประกอบกับจุดสองจุดใด ๆ จะมีส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้

ในรูปเหล่านี้ “a” และ “b” เป็นเซตนูน และ “c” ไม่ใช่เซตนูน เนื่องจากมีจุดคู่กัน ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อกันจึงไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเซตนี้ทั้งหมด

ทฤษฎีบท 1 ให้ G เป็นเซตนูน จากนั้นผลรวมของจุดนูนใดๆ ที่เป็นของเซตนี้ก็จะเป็นของเซตนี้ด้วย

การพิสูจน์

ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้วิธีนี้กัน การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์- ที่ เคทฤษฎีบท =2 เป็นจริง เนื่องจากเป็นเพียงนิยามของเซตนูน

ให้ทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับบางคน เค- ลองพิจารณาประเด็นและพิจารณาชุดค่าผสมนูน

ทุกคนอยู่ที่ไหน

และ .

ลองจินตนาการดู

ในรูปแบบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2 โดเมนที่ยอมรับได้ของปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นชุดนูน

การพิสูจน์.

1. ในรูปแบบมาตรฐานในรูปแบบเมทริกซ์ พื้นที่ที่ถูกต้อง G ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข

เหล่านั้น. x เป็นของ G และดังนั้นจึงนูน

2. ในรูปแบบบัญญัติพื้นที่ G ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข

ให้ และ เป็นของ G เช่น

.

เหล่านั้น. ดังนั้น G จึงนูนออกมา ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังนั้น พื้นที่ที่เป็นไปได้ในปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นคือเซตนูน โดยการเปรียบเทียบกับสองมิติหรือ กรณีสามมิติเพื่ออะไรก็ตาม nบริเวณนี้เรียกว่า นูน

รูปทรงหลายเหลี่ยม ไม่มีพื้นที่มิติ

ทฤษฎีบท 3 ชุดแผนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นคือนูน (หากไม่ว่างเปล่า)

การพิสูจน์

หากวิธีแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมีลักษณะเฉพาะ จุดนั้นจะถูกพิจารณาว่าเป็นเซตนูน ตอนนี้เรามีแผนที่เหมาะสมที่สุดสองประการสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

เหล่านั้น. นอกจากนี้ยังมีแผนที่เหมาะสมที่สุดด้วยเหตุนี้ชุดของแผนที่เหมาะสมที่สุดจึงนูนออกมา ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 4 เพื่อให้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหา จำเป็นและเพียงพอ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์บนชุดที่ยอมรับได้นั้นถูกผูกไว้จากด้านบน (เมื่อแก้ไขปัญหาสูงสุด) หรือจากด้านล่าง (เมื่อแก้ไขปัญหาขั้นต่ำ)

เราให้ทฤษฎีบทนี้โดยไม่มีการพิสูจน์

อนุญาต เอ็กซ์, ที่, z– องค์ประกอบ n-มิติปริภูมิแบบยุคลิดจริง เราจะเรียกพวกมันว่าเวกเตอร์หรือจุดของอวกาศด้วย

คำนิยาม - จุดเชื่อมต่อส่วนของเส้นตรง xและ ยเรียกว่าเซตของจุดในรูป

คำนิยาม - เซตของคะแนนเรียกว่า ชุดนูนหากส่วนที่เชื่อมต่อสองจุดใด ๆ รวมอยู่ในชุด มนั่นคือ

ตัวอย่างเช่น ชุดนูนได้แก่ จุด ส่วน พื้นที่รูปขนานเปิดและปิด ลูกบอลเปิดและปิด ชุดเปล่า ไม่ใช่นูน

ทฤษฎีบท - จุดตัดที่ไม่ว่างของเซตนูนจำนวนเท่าใดก็ได้จะเป็นเซตนูน

การพิสูจน์ - อนุญาต ชุดและจุดนูน x, ยอยู่ในเซตเหล่านี้ทั้งหมดพร้อมกัน ดังนั้น ตามคำจำกัดความของเซตนูน จุดจึงเป็นของเซตทั้งหมดพร้อมกัน ดังนั้น สำหรับจุดสองจุดใดๆ แต้มจะเป็นของเซต ม- ดังนั้นตามคำนิยาม ม– ชุดนูน.

คำนิยาม . ไฮเปอร์เพลนในเรียกว่าเซตของจุด

ที่ไหน หนึ่ง-มิติ เวกเตอร์นำทาง, วงเล็บระบุ ผลิตภัณฑ์ดอท จำนวนจริง กับเรียกว่าเป็นสมาชิกฟรี

หมายเหตุ - 1) ไฮเปอร์เพลนเป็นเซตนูน แท้จริงแล้วให้จุดใดจุดหนึ่งเป็นของมัน ช, เพราะ

2) เวกเตอร์นำทาง กตั้งฉากกับไฮเปอร์เพลน นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ซี = x – ยการเชื่อมต่อสองจุดที่ไม่ตรงกันโดยพลการของไฮเปอร์เพลน ( ก, z) = 0 อันที่จริง

(ก, z) = (ก, x) – (ก, ย) = ค – ค = 0.

คำนิยาม - หลายมุมมอง

เรียกว่า ครึ่งช่องว่างวี

ทิศทางของความไม่เท่าเทียมกันในคำจำกัดความสามารถนำไปใช้ในทิศทางตรงกันข้ามได้

ความคิดเห็น - ครึ่งปริภูมิเป็นเซตนูน แท้จริงแล้วให้จุดใดจุดหนึ่งเป็นของมัน ส, เพราะ

คำนิยาม - ทางแยกที่ไม่ว่างเปล่า จำนวนจำกัดเรียกว่าครึ่งช่องว่าง รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน.

การใช้คำว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าครึ่งปริภูมิเป็นเซตนูน และจุดตัดที่ไม่ว่างของเซตนูนจำนวนจำกัดถือเป็นเซตนูน

คำนิยาม - หลายชนิด

เรียกว่า บวก orthant.

ออร์แทนต์ที่เป็นบวกคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน แท้จริงแล้วความไม่เท่าเทียมกันสามารถตีความได้ว่าเป็นระบบของความไม่เท่าเทียมกัน

คำนิยาม - ปล่อยให้มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ชกำหนดโดยระบบความไม่เท่าเทียมกัน

เวกเตอร์ทิศทางอยู่ที่ไหน เค > n- หากจุดเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันอย่างน้อยที่สุด nอสมการและอันดับของระบบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันเท่ากับ nแล้วชี้ ที่เรียกว่า เชิงมุม(หรือสุดขั้ว) ของรูปทรงหลายเหลี่ยม

โปรดทราบว่าจำนวนจุดมุม รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนอาจจะ (ขึ้นอยู่กับ nและ เค) ใหญ่มาก ใช่เมื่อ n = 10, เค= 20 ตัวเลขนี้เทียบได้กับ 10 11

ความคิดเห็น - เนื่องจากความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

สามารถถูกแทนที่ด้วยระบบสองอสมการ

ถ้าในคำจำกัดความของความไม่เท่าเทียมกันบางส่วน (หรือความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด) ถูกแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน ระบบเงื่อนไขที่เป็นผลลัพธ์ก็จะกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนด้วย

ให้เรานึกถึงคำจำกัดความของเซตนูนที่ใช้บ่อย

คำนิยาม - ε – ย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่งเป็นลูกบอลเปิด

แน่นอนว่า ε ซึ่งเป็นย่านใกล้เคียงของจุด เป็นเซตนูน

คำนิยาม - จุด xเรียกว่า จุดขอบเขตตั้งค่าถ้า ε -พื้นที่ใกล้เคียงมีจุดที่เป็นของชุด เอ็กซ์และแต้มที่ไม่อยู่ในเซต เอ็กซ์.

คำนิยาม - จุด xเรียกว่า จุดภายในเซต หากพบว่าพื้นที่ใกล้เคียง ε อยู่ภายในเซตทั้งหมด เอ็กซ์.

ความคิดเห็น - จุดขอบเขตอาจไม่ใช่ของเซต เอ็กซ์- ตัวอย่างเช่นสำหรับชุด คำนิยาม- มากมาย เอ็กซ์เรียกว่า จำกัดถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นจำนวนจำกัด

คำนิยาม . กรวยเรียกว่าเซตที่เป็นไปตามนั้น

ความคิดเห็น - จากคำจำกัดความพบว่ากรวยมีจุดศูนย์ เอ็กซ์= 0 กรวยเป็นเซตที่ไม่มีขอบเขต (ยกเว้นกรณีที่เสื่อมลงเมื่อกรวยมีจุดเดียวเท่านั้น เอ็กซ์= 0) กรวยอาจเป็นชุดปิดหรือชุดเปิดก็ได้

คำนิยาม . กะทัดรัดเรียกว่าเซตขอบเขตปิด

ความคิดเห็น - เซตที่มีขอบเขตปิดมีความน่าสนใจเป็นพิเศษเกี่ยวกับทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส ซึ่งกล่าวไว้เช่นนั้น ฟังก์ชั่นต่อเนื่องเมื่อปิด ชุดจำกัด(กะทัดรัด) ถึงค่าสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อค้นคว้า ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจ วิธีการทางคณิตศาสตร์คุณสมบัติของชุดและฟังก์ชันหลายอย่างเช่นความนูนกลายเป็นสิ่งที่สำคัญมาก พฤติกรรมของหน่วยงานทางเศรษฐกิจหลายแห่งก็เนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า การพึ่งพาบางอย่างซึ่งบรรยายถึงวัตถุเหล่านี้มีลักษณะนูนออกมา

ความนูนของฟังก์ชันและเซตมักเกี่ยวข้องกับการมีอยู่หรือเอกลักษณ์ของวิธีแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจ: อัลกอริธึมการคำนวณจำนวนมากใช้คุณสมบัติเดียวกันนี้

ความถูกต้องของข้อความหลายคำที่เกี่ยวข้องกับเซตและฟังก์ชันนูนมีความชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ซึ่งแทบจะชัดเจนเลย ในขณะเดียวกันการพิสูจน์ก็มักจะยากมาก ดังนั้นข้อเท็จจริงพื้นฐานบางประการที่เกี่ยวข้องกับความนูนจะถูกระบุไว้ที่นี่โดยไม่มีข้อพิสูจน์ โดยหวังว่าจะสามารถโน้มน้าวใจได้ตามสัญชาตญาณ

ชุดนูนบนเครื่องบิน.

ใดๆ รูปทรงเรขาคณิตบนเครื่องบินถือได้ว่าเป็นชุดของคะแนนที่เป็นของรูปนี้ บางชุด (เช่น วงกลม สี่เหลี่ยม แถบระหว่างเส้นคู่ขนาน) มีทั้งจุดภายในและขอบเขต ส่วนอื่นๆ (เช่น ส่วน วงกลม) ประกอบด้วยจุดขอบเขตเท่านั้น

ชุดของจุดบนระนาบเรียกว่านูนถ้ามี คุณสมบัติต่อไปนี้: ส่วนที่เชื่อมต่อสองจุดใดๆ ของชุดนี้จะมีอยู่ในชุดนี้ทั้งหมด

ตัวอย่างของชุดส่วนนูนได้แก่ สามเหลี่ยม ส่วน ครึ่งระนาบ (ส่วนหนึ่งของระนาบที่วางอยู่ด้านหนึ่งของเส้น) ระนาบทั้งหมด

เซตที่ประกอบด้วยจุดเดียวและเซตว่างที่ไม่มีจุดเดียวจะถือว่านูนเช่นกัน ไม่ว่าในกรณีใด ในชุดเหล่านี้ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะวาดส่วนที่เชื่อมต่อจุดบางจุดของชุดเหล่านี้และไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของชุดเหล่านี้ทั้งหมด - โดยทั่วไปแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกจุดสองจุดในชุดเหล่านั้น ดังนั้นการรวมไว้ในจำนวนชุดนูนจะไม่นำไปสู่ความขัดแย้งกับคำจำกัดความ และนี่ก็เพียงพอสำหรับการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

ทางแยกเช่น ส่วนทั่วไปชุดนูนสองชุด นูนเสมอ: เมื่อนำจุดตัดกันสองจุดใดๆ (และเป็นจุดร่วม นั่นคือเป็นของชุดที่ตัดกันแต่ละชุด) และเชื่อมต่อพวกมันเข้ากับเซกเมนต์ เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าจุดทั้งหมดของเซกเมนต์มีร่วมกัน ทั้งสองชุดแล้วแต่ละชุดจะนูนอย่างไร จุดตัดของเซตนูนจำนวนเท่าใดก็ได้ก็จะนูนออกมาเช่นกัน

คุณสมบัติที่สำคัญของเซตนูนคือสามารถแยกออกจากกันได้: ถ้าเซตนูนสองเซตไม่เหมือนกัน จุดภายในจากนั้นสามารถตัดระนาบตามแนวเส้นตรงในลักษณะที่ชุดใดชุดหนึ่งจะวางอยู่ในระนาบครึ่งหนึ่งและอีกชุดอยู่ในอีกชุดหนึ่ง (จุดของทั้งสองชุดสามารถอยู่บนเส้นตัดได้) เส้นตรงที่แยกพวกมันออกในบางกรณีกลายเป็นเส้นเดียวที่เป็นไปได้ แต่ในบางกรณีกลับไม่ใช่

จุดขอบเขตของเซตนูนใดๆ ถือได้ว่าเป็นเซตนูนที่ไม่มีจุดภายในร่วมกับเซตดั้งเดิม ดังนั้น จึงสามารถแยกออกจากเซตนั้นได้ด้วยเส้นตรงบางเส้น เส้นตรงที่แยกจุดขอบเขตออกจากเซตนูนเรียกว่าเส้นตรงรองรับของเซตนี้ ณ จุดนี้ เส้นอ้างอิงอาจเป็นเส้นเดียวในบางจุดของเส้นขอบ แต่ไม่ใช่เส้นเดียวที่จุดอื่นๆ

เรามาแนะนำระบบบนเครื่องบินกันดีกว่า พิกัดคาร์ทีเซียนเอ็กซ์, ย. ตอนนี้เรามีโอกาสที่จะพิจารณาตัวเลขต่างๆ ว่าเป็นเซตของจุดซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการหรืออสมการบางอย่าง (หากพิกัดของจุดตรงตามเงื่อนไขใดๆ เพื่อความกระชับ เราจะบอกว่าจุดนั้นตรงตามเงื่อนไขนี้)