เมื่อศึกษาหัวข้อของตัวเลข นิพจน์ และนิพจน์ด้วยตัวแปร จำเป็นต้องให้ความสนใจกับแนวคิด ค่านิพจน์. ในบทความนี้เราจะตอบคำถามว่าค่าของนิพจน์ตัวเลขคืออะไรและอะไรที่เรียกว่าค่าของนิพจน์ตามตัวอักษรและนิพจน์ที่มีตัวแปรสำหรับค่าที่เลือกของตัวแปร เพื่อชี้แจงคำจำกัดความเหล่านี้ เราได้ยกตัวอย่าง

การนำทางหน้า

ค่าของนิพจน์ตัวเลขคืออะไร?

ความคุ้นเคยกับการแสดงออกทางตัวเลขเริ่มต้นเกือบตั้งแต่บทเรียนแรกของวิชาคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน เกือบจะในทันที มีการแนะนำแนวคิดของ "ค่าของนิพจน์ตัวเลข" หมายถึงนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเลขคณิต (+, −, ·, :) ให้เราให้คำจำกัดความที่เหมาะสม

คำนิยาม.

ค่าของนิพจน์ตัวเลข- นี่คือตัวเลขที่ได้รับหลังจากดำเนินการทั้งหมดในนิพจน์ตัวเลขดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ตัวเลข 1+2 หลังจากดำเนินการ เราได้ตัวเลข 3 มันคือค่าของนิพจน์ตัวเลข 1+2

บ่อยครั้งในวลี "ค่าของนิพจน์ตัวเลข" คำว่า "ตัวเลข" จะถูกละเว้น และพวกเขาก็เพียงแค่พูดว่า "ค่าของนิพจน์" เนื่องจากยังคงชัดเจนว่านิพจน์ใดหมายถึงนิพจน์

คำจำกัดความข้างต้นของความหมายของนิพจน์ยังใช้กับนิพจน์เชิงตัวเลขของรูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย ที่นี่ควรสังเกตว่าอาจพบนิพจน์ตัวเลขซึ่งไม่สามารถระบุค่าได้ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในบางนิพจน์มันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำที่บันทึกไว้ ตัวอย่างเช่น เราไม่สามารถระบุค่าของนิพจน์ 3:(2−2) ได้ นิพจน์ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า คำพูดที่ไม่สมเหตุสมผล.

ในทางปฏิบัติ บ่อยครั้ง นิพจน์ตัวเลขไม่น่าสนใจเท่าค่าของนิพจน์ นั่นคืองานที่เกิดขึ้นซึ่งประกอบด้วยการกำหนดค่าของนิพจน์นี้ ในกรณีนี้ พวกเขามักจะบอกว่าคุณต้องหาค่าของนิพจน์ ในบทความนี้ มีการวิเคราะห์กระบวนการค้นหาค่าของนิพจน์ตัวเลขประเภทต่างๆ อย่างละเอียด และพิจารณาตัวอย่างจำนวนมากพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของโซลูชัน

ความหมายของนิพจน์ตามตัวอักษรและตัวแปร

นอกเหนือจากนิพจน์ตัวเลขแล้ว พวกเขายังศึกษานิพจน์ตามตัวอักษร กล่าวคือ นิพจน์ที่มีตัวอักษรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปพร้อมกับตัวเลข ตัวอักษรในนิพจน์ตามตัวอักษรสามารถแทนตัวเลขที่แตกต่างกัน และหากตัวอักษรถูกแทนที่ด้วยตัวเลขเหล่านี้ นิพจน์ตามตัวอักษรจะกลายเป็นตัวเลข

คำนิยาม.

ตัวเลขที่แทนที่ตัวอักษรในนิพจน์ตามตัวอักษรเรียกว่า ความหมายของตัวอักษรเหล่านี้และค่าของนิพจน์ตัวเลขที่ได้จะเรียกว่า ค่าของนิพจน์ตามตัวอักษรที่กำหนดค่าของตัวอักษร.

ดังนั้นสำหรับนิพจน์ตามตัวอักษร เราไม่เพียงพูดถึงความหมายของนิพจน์ตามตัวอักษร แต่เกี่ยวกับความหมายของนิพจน์ตามตัวอักษรสำหรับค่าที่กำหนด (ระบุ ระบุ ฯลฯ ) ของตัวอักษร

ลองมาดูตัวอย่างกัน ลองใช้นิพจน์ตามตัวอักษร 2·a+b กัน ให้ค่าของตัวอักษร a และ b ตัวอย่างเช่น a=1 และ b=6 . การแทนที่ตัวอักษรในนิพจน์ดั้งเดิมด้วยค่าของมัน เราจะได้นิพจน์ตัวเลขของรูปแบบ 2 1+6 ค่าของมันคือ 8 . ดังนั้นหมายเลข 8 คือค่าของนิพจน์ตามตัวอักษร 2·a+b ที่กำหนดค่าของตัวอักษร a=1 และ b=6 . หากระบุค่าตัวอักษรอื่น ๆ เราก็จะได้ค่าของนิพจน์ตามตัวอักษรสำหรับค่าตัวอักษรเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ด้วย a=5 และ b=1 เรามีค่า 2 5+1=11

ในโรงเรียนมัธยมศึกษาพีชคณิต อนุญาตให้ใช้ตัวอักษรในนิพจน์ตามความหมายต่าง ๆ ได้ ตัวอักษรดังกล่าวเรียกว่าตัวแปร และนิพจน์ตามตัวอักษรคือนิพจน์ที่มีตัวแปร สำหรับนิพจน์เหล่านี้ แนวคิดของค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปรถูกนำมาใช้สำหรับค่าที่เลือกของตัวแปร มาดูกันว่ามันคืออะไร

คำนิยาม.

ค่าของนิพจน์พร้อมตัวแปรสำหรับค่าที่เลือกของตัวแปรเรียกค่าของนิพจน์ตัวเลขซึ่งได้มาหลังจากการแทนที่ค่าที่เลือกของตัวแปรลงในนิพจน์ดั้งเดิม

ให้เราอธิบายคำจำกัดความที่ฟังด้วยตัวอย่าง พิจารณานิพจน์ที่มีตัวแปร x และ y ในรูปแบบ 3·x·y+y ลองใช้ x=2 และ y=4 แทนค่าตัวแปรเหล่านี้เป็นนิพจน์ดั้งเดิมเราจะได้นิพจน์ตัวเลข 3 2 4+4 . ลองคำนวณค่าของนิพจน์นี้: 3 2 4+4=24+4=28 ค่าที่พบ 28 คือค่าของนิพจน์ดั้งเดิมที่มีตัวแปร 3·x·y+y พร้อมค่าที่เลือกของตัวแปร x=2 และ y=4 .

หากคุณเลือกค่าตัวแปรอื่น เช่น x=5 และ y=0 ค่าตัวแปรที่เลือกเหล่านี้จะสอดคล้องกับค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปรเท่ากับ 3 5 0+0=0 .

สามารถสังเกตได้ว่าบางครั้งค่าที่เท่ากันของนิพจน์สามารถรับได้สำหรับค่าตัวแปรที่เลือกต่างกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับ x=9 และ y=1 ค่าของนิพจน์ 3 x y+y คือ 28 (เพราะ 3 9 1+1=27+1=28 ) และด้านบนเราพบว่าค่าเดียวกันคือนิพจน์ด้วย ตัวแปรมีที่ x=2 และ y=4

สามารถเลือกค่าตัวแปรได้ตามลำดับ ช่วงของค่าที่ยอมรับได้. มิฉะนั้น การแทนที่ค่าของตัวแปรเหล่านี้ลงในนิพจน์ดั้งเดิมจะส่งผลให้นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล ตัวอย่างเช่น หากคุณเลือก x=0 และแทนที่ค่านั้นลงในนิพจน์ 1/x คุณจะได้รับนิพจน์ตัวเลข 1/0 ซึ่งไม่สมเหตุสมผลเพราะไม่มีการหารด้วยศูนย์

เหลือเพียงการเพิ่มว่ามีนิพจน์ที่มีตัวแปรซึ่งค่าไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรที่เป็นส่วนประกอบ ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปร x ในรูปแบบ 2+x−x ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรนี้ แต่จะเท่ากับ 2 สำหรับค่าที่เลือกของตัวแปร x จากช่วงของค่าที่ถูกต้อง ซึ่งในกรณีนี้คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์: การศึกษา สำหรับ 5 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ไอเอสบีเอ็น 5-346-00699-0
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9

นิพจน์ตามตัวอักษร (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ต่อไปนี้เป็นตัวอักษร:

a+b+4

คุณสามารถเขียนกฎ สูตร สมการ และฟังก์ชันโดยใช้นิพจน์ตามตัวอักษรได้ ความสามารถในการจัดการนิพจน์ตามตัวอักษรคือกุญแจสู่ความรู้ที่ดีเกี่ยวกับพีชคณิตและคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น

ปัญหาร้ายแรงในวิชาคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากการแก้สมการ และเพื่อให้สามารถแก้สมการได้ คุณต้องสามารถทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษรได้

ในการทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษร คุณต้องศึกษาเลขคณิตพื้นฐานให้ดี: การบวก การลบ การคูณ การหาร กฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์ เศษส่วน การกระทำที่มีเศษส่วน สัดส่วน และไม่ใช่แค่เพื่อศึกษา แต่ต้องเข้าใจอย่างถ่องแท้

เนื้อหาบทเรียน

ตัวแปร

ตัวอักษรที่มีอยู่ในนิพจน์ที่เรียกว่า ตัวแปร. ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ a+b+ 4 ตัวแปรคือตัวอักษร เอและ ข. หากแทนตัวแปรเหล่านี้ เราแทนตัวเลขใดๆ แทน นิพจน์ตามตัวอักษร a+b+ 4 จะกลายเป็นนิพจน์ตัวเลข ซึ่งสามารถหาค่าได้

ตัวเลขที่ใช้แทนตัวแปรเรียกว่า ค่าตัวแปร. ตัวอย่างเช่น มาเปลี่ยนค่าของตัวแปร เอและ ข. ใช้เครื่องหมายเท่ากับเพื่อเปลี่ยนค่า

ก = 2, ข = 3

เราได้เปลี่ยนค่าของตัวแปร เอและ ข. ตัวแปร เอมีค่า 2 , ตัวแปร ขมีค่า 3 . เป็นผลให้นิพจน์ตามตัวอักษร a+b+4แปลงเป็นนิพจน์ตัวเลขปกติ 2+3+4 ซึ่งสามารถหาค่าได้:

เมื่อคูณตัวแปร จะถูกเขียนรวมกัน ตัวอย่างเช่น รายการ อะบีมีความหมายเดียวกับรายการ ก x ข. ถ้าเราแทนค่าตัวแปร เอและ ขตัวเลข 2 และ 3 จากนั้นเราจะได้ 6

คุณยังสามารถเขียนการคูณตัวเลขด้วยนิพจน์ในวงเล็บร่วมกันได้ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น a×(b + c)เขียนได้ ก (b + ค). ใช้กฎการกระจายของการคูณ เราได้รับ a(b + c)=ab+ac.

อัตราต่อรอง

ในนิพจน์ตามตัวอักษร คุณมักจะพบสัญกรณ์ที่มีการเขียนตัวเลขและตัวแปรร่วมกัน ตัวอย่างเช่น 3a. อันที่จริง นี่เป็นชวเลขสำหรับการคูณตัวเลข 3 ด้วยตัวแปร เอและรายการนี้ดูเหมือน 3×a .

กล่าวอีกนัยหนึ่งนิพจน์ 3aเป็นผลคูณของจำนวน 3 และตัวแปร เอ. ตัวเลข 3 ในงานนี้เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์. สัมประสิทธิ์นี้แสดงจำนวนครั้งที่ตัวแปรจะเพิ่มขึ้น เอ. นิพจน์นี้สามารถอ่านได้ว่า " เอสามครั้งหรือสามครั้ง เอ" หรือ "เพิ่มค่าของตัวแปร เอสามครั้ง" แต่ส่วนใหญ่มักอ่านว่า "สาม เอ«

ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวแปร เอเท่ากับ 5 แล้วค่าของนิพจน์ 3aจะเท่ากับ 15

3 x 5 = 15

กล่าวง่ายๆ สัมประสิทธิ์คือตัวเลขที่อยู่หน้าตัวอักษร (ก่อนตัวแปร)

สามารถมีตัวอักษรได้หลายตัว ตัวอย่างเช่น 5abc. สัมประสิทธิ์คือจำนวน 5 . สัมประสิทธิ์นี้แสดงว่าผลคูณของตัวแปร abcเพิ่มขึ้นห้าเท่า นิพจน์นี้สามารถอ่านได้ว่า " abcห้าครั้ง" หรือ "เพิ่มมูลค่าของนิพจน์ abcห้าครั้ง" หรือ "ห้า abc«.

ถ้าแทนตัวแปร abcแทนที่ตัวเลข 2, 3 และ 4 ตามด้วยค่าของนิพจน์ 5abcจะเท่ากับ 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

คุณสามารถจินตนาการได้ว่าตัวเลข 2, 3 และ 4 ถูกคูณครั้งแรกอย่างไรและค่าผลลัพธ์เพิ่มขึ้นห้าเท่า:

เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์หมายถึงสัมประสิทธิ์เท่านั้น และไม่ใช้กับตัวแปร

พิจารณานิพจน์ −6b. ลบหน้าสัมประสิทธิ์ 6 , ใช้กับสัมประสิทธิ์เท่านั้น 6 และไม่ใช้กับตัวแปร ข. การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้คุณไม่ทำผิดพลาดในอนาคตด้วยสัญญาณ

ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = 3.

−6b −6×ข. เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ −6bในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ข

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

ตัวอย่าง 2ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = −5

มาเขียนนิพจน์กันเถอะ −6bในรูปแบบขยาย

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ −5a+ขที่ a = 3และ ข = 2

−5a+ขเป็นตัวย่อสำหรับ −5 × a + bดังนั้น เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ −5×a+ขในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร เอและ ข

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

บางครั้งตัวอักษรก็เขียนโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ เช่น เอหรือ อะบี. ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์คือหนึ่ง:

แต่หน่วยตามธรรมเนียมจะไม่เขียนลง ดังนั้นพวกเขาก็แค่เขียน เอหรือ อะบี

หากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าตัวอักษร สัมประสิทธิ์จะเป็นตัวเลข −1 . ตัวอย่างเช่น นิพจน์ -aจริงๆดูเหมือน -1a. นี่คือผลคูณของลบหนึ่งและตัวแปร ก.มันออกมาเช่นนี้:

-1 × a = -1a

นี่เป็นเคล็ดลับเล็ก ๆ ในนิพจน์ -aลบก่อนตัวแปร เออันที่จริงหมายถึง "หน่วยที่มองไม่เห็น" ไม่ใช่ตัวแปร เอ. ดังนั้นในการแก้ปัญหาจึงควรระมัดระวัง

ตัวอย่างเช่น รับนิพจน์ -aและขอให้เราหาค่าของมันที่ a = 2ที่โรงเรียนเราแทนที่ deuce แทนตัวแปร เอแล้วได้คำตอบ −2 ไม่ได้เน้นว่ามันจะออกมาเป็นอย่างไร อันที่จริง มีการคูณลบหนึ่งด้วยจำนวนบวก 2

-a = -1 × a

-1 × a = -1 × 2 = −2

หากมีการแสดงนิพจน์ -aและจำเป็นต้องหาค่าที่ ก = −2, จากนั้นเราแทนที่ −2 แทนที่จะเป็นตัวแปร เอ

-a = -1 × a

-1 × a = -1 × (−2) = 2

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ในตอนแรกหน่วยที่มองไม่เห็นสามารถเขียนได้อย่างชัดเจน

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ abcที่ a=2 , b=3และ ค=4

การแสดงออก abc 1×a×b×c.เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ abc ก , ขและ ค

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์ abcที่ ก=−2 , ข=−3และ ค=−4

มาเขียนนิพจน์กันเถอะ abcในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ก , ขและ ค

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาค่าของนิพจน์ − abcที่ a=3 , b=5 และ c=7

การแสดงออก − abcเป็นตัวย่อสำหรับ -1×ก×ข×ค.เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ − abcในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ก , ขและ ค

−abc = -1 × a × b × c = -1 × 3 × 5 × 7 = −105

ตัวอย่าง 7ค้นหาค่าของนิพจน์ − abcที่ a=−2 , b=−4 และ c=−3

มาเขียนนิพจน์กันเถอะ − abcขยาย:

−abc = -1 × a × b × c

แทนค่าของตัวแปร เอ , ขและ ค

−abc = -1 × a × b × c = -1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

วิธีการกำหนดสัมประสิทธิ์

บางครั้งจำเป็นต้องแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องกำหนดสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ โดยหลักการแล้ว งานนี้ง่ายมาก ก็เพียงพอที่จะสามารถคูณตัวเลขได้อย่างถูกต้อง

ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์ คุณจะต้องคูณตัวเลขที่รวมอยู่ในนิพจน์นี้แยกกัน และคูณตัวอักษรแยกกัน ปัจจัยเชิงตัวเลขที่ได้จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง 1 7m×5a×(−3)×n

นิพจน์ประกอบด้วยปัจจัยหลายประการ สิ่งนี้สามารถเห็นได้อย่างชัดเจนหากนิพจน์ถูกเขียนในรูปแบบขยาย นั่นคือทำงาน 7mและ 5aเขียนในแบบฟอร์ม 7×mและ 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

เราใช้กฎการคูณของการคูณ ซึ่งช่วยให้เราสามารถคูณตัวประกอบในลำดับใดก็ได้ กล่าวคือคูณตัวเลขและคูณตัวอักษร (ตัวแปร) แยกกัน:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

ค่าสัมประสิทธิ์คือ −105 . หลังจากเสร็จสิ้น ส่วนของตัวอักษรควรเรียงตามลำดับตัวอักษร:

−105 น.

ตัวอย่าง 2กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

ค่าสัมประสิทธิ์คือ 6

ตัวอย่างที่ 3กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์:

มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

สัมประสิทธิ์คือ -1 โปรดทราบว่าหน่วยจะไม่ถูกบันทึก เนื่องจากปกติแล้วค่าสัมประสิทธิ์ 1 จะไม่ถูกบันทึก

งานที่ดูเหมือนง่าย ๆ เหล่านี้สามารถเล่นเรื่องตลกที่โหดร้ายกับเราได้ บ่อยครั้งที่ปรากฎว่ามีการตั้งค่าเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ไม่ถูกต้อง: เครื่องหมายลบถูกละเว้นหรือในทางตรงกันข้ามมันถูกตั้งค่าอย่างไร้ประโยชน์ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญเหล่านี้ จะต้องศึกษาในระดับดี

เงื่อนไขในนิพจน์ตามตัวอักษร

เมื่อคุณบวกตัวเลขหลายตัว คุณจะได้ผลรวมของตัวเลขเหล่านั้น ตัวเลขที่รวมกันเรียกว่าเงื่อนไข สามารถมีได้หลายคำ เช่น

1 + 2 + 3 + 4 + 5

เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยพจน์ จะคำนวณได้ง่ายกว่ามาก เนื่องจากจะเพิ่มง่ายกว่าการลบ แต่นิพจน์สามารถประกอบด้วยการบวกไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการลบด้วยเช่น:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

ในนิพจน์นี้ ตัวเลข 3 และ 5 จะถูกลบออก ไม่มีการบวก แต่ไม่มีอะไรป้องกันเราจากการแทนที่การลบด้วยการบวก จากนั้นเราจะได้นิพจน์ที่ประกอบด้วยเทอมอีกครั้ง:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

ไม่สำคัญว่าตอนนี้ตัวเลข -3 และ -5 จะเป็นเครื่องหมายลบ สิ่งสำคัญคือตัวเลขทั้งหมดในนิพจน์นี้เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก กล่าวคือ นิพจน์เป็นผลรวม

ทั้งสองสำนวน 1 + 2 − 3 + 4 − 5 และ 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) มีค่าเท่ากัน - ลบหนึ่ง

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

ดังนั้นค่าของนิพจน์จะไม่ได้รับผลกระทบจากความจริงที่ว่าเราแทนที่การลบด้วยการบวกที่ใดที่หนึ่ง

คุณยังสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกในนิพจน์ตามตัวอักษร ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

สำหรับค่าตัวแปรใด ๆ เอบีซีดีและ สสำนวน 7a + 6b - 3c + 2d - 4s และ 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) จะมีค่าเท่ากัน

คุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับความจริงที่ว่าครูที่โรงเรียนหรือครูในสถาบันสามารถเรียกคำศัพท์ได้แม้กระทั่งตัวเลข (หรือตัวแปร) ที่ไม่ใช่ตัวเลขเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น หากเขียนความแตกต่างไว้บนกระดาน a-b,แล้วอาจารย์จะไม่พูดอย่างนั้น เอเป็น minuend และ ข- หักได้ เขาจะเรียกทั้งสองตัวแปรหนึ่งคำทั่วไป - เงื่อนไข. และทั้งหมดเป็นเพราะการแสดงออกของรูปแบบ a-bนักคณิตศาสตร์เห็นว่าผลรวมเป็นอย่างไร a + (−b). ในกรณีนี้ นิพจน์จะกลายเป็นผลรวม และตัวแปร เอและ (−b)กลายเป็นส่วนประกอบ

คำที่คล้ายกัน

คำที่คล้ายกันเป็นคำที่มีส่วนของตัวอักษรเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 7a + 6b + 2a. เงื่อนไข 7aและ 2aมีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ตัวแปร เอ. ดังนั้นเงื่อนไข 7aและ 2aมีความคล้ายคลึงกัน

โดยปกติแล้ว จะมีการเติมคำศัพท์เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นหรือแก้สมการ การดำเนินการนี้เรียกว่า การลดเงื่อนไขการชอบ.

ในการนำพจน์ที่คล้ายกัน คุณต้องเพิ่มสัมประสิทธิ์ของเทอมเหล่านี้ และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป

ตัวอย่างเช่น เราให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 3a + 4a + 5a. ในกรณีนี้ เงื่อนไขทั้งหมดจะคล้ายกัน เราเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป - โดยตัวแปร เอ

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) ×a = 12a

เงื่อนไขดังกล่าวมักจะให้ไว้ในใจและผลลัพธ์จะถูกบันทึกไว้ทันที:

3a + 4a + 5a = 12a

นอกจากนี้ คุณสามารถโต้แย้งได้ดังนี้:

มี 3 ตัวแปร a อีก 4 ตัวแปร a และอีก 5 ตัวแปร a ถูกเพิ่มเข้าไป เป็นผลให้เราได้รับ 12 ตัวแปร a

ลองพิจารณาตัวอย่างหลายๆ ตัวของการลดคำที่คล้ายกัน พิจารณาว่าหัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ในตอนแรกเราจะจดรายละเอียดทั้งหมดอย่างละเอียด แม้ว่าที่จริงแล้วทุกอย่างจะง่ายมากที่นี่ แต่คนส่วนใหญ่ทำผิดพลาดมากมาย ส่วนใหญ่เกิดจากการไม่ตั้งใจ ไม่ใช่ความไม่รู้

ตัวอย่าง 1 3a + 2a + 6a + 8เอ

เราเพิ่มสัมประสิทธิ์ในนิพจน์นี้และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

ออกแบบ (3 + 2 + 6 + 8)×aคุณไม่สามารถเขียนได้ดังนั้นเราจะเขียนคำตอบทันที

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

ตัวอย่าง 2นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a+a

เทอมที่สอง เอเขียนโดยไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วมีสัมประสิทธิ์นำหน้าด้วย 1 ซึ่งเราไม่เห็นเพราะว่าไม่ได้บันทึก ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

2a + 1a

ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน นั่นคือเราเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

2a + a = 3a

2a+aคุณสามารถโต้แย้งได้อีกทางหนึ่ง:

ตัวอย่างที่ 3นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a - อะ

มาแทนที่การลบด้วยการบวก:

2a + (−a)

เทอมที่สอง (−ก)เขียนไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วดูเหมือน (-1ก).ค่าสัมประสิทธิ์ −1 มองไม่เห็นอีกครั้งเนื่องจากไม่ได้บันทึก ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

2a + (-1a)

ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

มักจะเขียนให้สั้นกว่า:

2a − a = a

นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a−aคุณสามารถโต้แย้งด้วยวิธีอื่น:

มี 2 ​​ตัวแปร a ลบหนึ่งตัวแปร a ส่งผลให้มีตัวแปร a . เพียงตัวเดียว

ตัวอย่างที่ 4นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = -1a = −a

ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

6a - 3a + 4a - 8a = -a

มีนิพจน์ที่มีกลุ่มคำที่คล้ายคลึงกันหลายกลุ่ม ตัวอย่างเช่น, 3a + 3b + 7a + 2b. สำหรับนิพจน์ดังกล่าว จะใช้กฎเดียวกันกับส่วนที่เหลือ กล่าวคือ การเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป แต่เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด จะสะดวกที่จะขีดเส้นใต้กลุ่มคำต่างๆ ด้วยบรรทัดที่ต่างกัน

ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3a + 3b + 7a + 2bคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร เอสามารถขีดเส้นใต้ด้วยหนึ่งบรรทัด และคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร ขสามารถขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:

ตอนนี้เราสามารถนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา นั่นคือ บวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป สิ่งนี้จะต้องทำสำหรับคำศัพท์ทั้งสองกลุ่ม: สำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร เอและสำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร ข.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

เราขอย้ำอีกครั้งว่า นิพจน์นั้นเรียบง่าย และสามารถให้คำที่คล้ายกันในใจได้:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

ตัวอย่างที่ 5นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 5a - 6a - 7b + b

เราแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

ขีดเส้นใต้คำเหมือนที่มีบรรทัดต่างกัน ศัพท์ที่มีตัวแปร เอขีดเส้นใต้หนึ่งบรรทัดและเนื้อหาเงื่อนไขเป็นตัวแปร ขขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:

ตอนนี้เราสามารถนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา นั่นคือ บวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

หากนิพจน์มีตัวเลขธรรมดาที่ไม่มีตัวประกอบตามตัวอักษร จะถูกเพิ่มแยกกัน

ตัวอย่างที่ 6นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 4a + 3a − 5 + 2b + 7

มาแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

ให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกัน ตัวเลข −5 และ 7 ไม่มีตัวประกอบตามตัวอักษร แต่เป็นคำที่คล้ายกัน - คุณเพียงแค่ต้องรวมเข้าด้วยกัน และคำว่า 2bจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากเป็นเพียงตัวเดียวในนิพจน์นี้ที่มีตัวประกอบตัวอักษร ขและไม่มีอะไรจะเพิ่มด้วย:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

สามารถสั่งซื้อข้อกำหนดเพื่อให้คำที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกันอยู่ในส่วนเดียวกันของนิพจน์

ตัวอย่าง 7นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 5t+2x+3x+5t+x

เนื่องจากนิพจน์เป็นผลรวมของคำศัพท์หลายคำ ซึ่งช่วยให้เราประเมินค่าในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นเงื่อนไขที่มีตัวแปร tสามารถเขียนขึ้นต้นนิพจน์ได้ และพจน์ที่มีตัวแปร xที่ส่วนท้ายของนิพจน์:

5t+5t+2x+3x+x

ตอนนี้เราสามารถเพิ่มคำที่ชอบได้:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์ กฎนี้ยังใช้ได้กับนิพจน์ตามตัวอักษรอีกด้วย หากนิพจน์มีคำศัพท์เหมือนกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม คุณสามารถกำจัดพวกมันได้ในขั้นตอนการลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน พูดอีกอย่างก็คือ ปล่อยมันออกจากนิพจน์เพราะผลรวมของพวกมันเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 8นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 3t − 4t − 3t + 2t

มาแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

เงื่อนไข 3tและ (-3t)อยู่ตรงข้าม ผลรวมของพจน์ตรงข้ามเท่ากับศูนย์ ถ้าเราลบศูนย์นี้ออกจากนิพจน์ ค่าของนิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นเราจะลบมันออก และเราจะลบออกโดยการลบเงื่อนไขตามปกติ 3tและ (-3t)

เป็นผลให้เราจะได้นิพจน์ (−4t) + 2t. ในนิพจน์นี้ คุณสามารถเพิ่มคำที่ชอบและรับคำตอบสุดท้ายได้:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

การลดความซับซ้อนของนิพจน์

"ลดความซับซ้อนของการแสดงออก" และต่อไปนี้คือนิพจน์ที่จะทำให้ง่ายขึ้น ลดความซับซ้อนของนิพจน์หมายถึงทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง

อันที่จริง เราได้จัดการกับการลดความซับซ้อนของนิพจน์เมื่อลดเศษส่วนแล้ว หลังจากการลดลง เศษส่วนจะสั้นลงและอ่านง่ายขึ้น

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลดความซับซ้อนของนิพจน์

งานนี้สามารถเข้าใจได้อย่างแท้จริงดังนี้: "ทำทุกอย่างที่ทำได้ด้วยสำนวนนี้ แต่ทำให้ง่ายขึ้น" .

ในกรณีนี้ คุณสามารถลดเศษส่วน กล่าวคือ หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 2:

ทำอะไรได้อีกบ้าง? คุณสามารถคำนวณเศษส่วนผลลัพธ์ จากนั้นเราจะได้ทศนิยม 0.5

เป็นผลให้เศษส่วนถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็น 0.5

คำถามแรกที่ถามตัวเองในการแก้ปัญหาดังกล่าวควรเป็น “จะทำอะไรได้” . เพราะมีบางอย่างที่ทำได้และมีบางอย่างที่ทำไม่ได้

จุดสำคัญอีกประการที่ควรทราบคือค่าของนิพจน์ต้องไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากที่นิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้น กลับไปที่นิพจน์ นิพจน์นี้เป็นส่วนที่สามารถทำได้ เมื่อทำการหารนี้ เราจะได้ค่าของนิพจน์นี้ ซึ่งเท่ากับ 0.5

แต่เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและได้รับนิพจน์ที่ง่ายขึ้นใหม่ ค่าของนิพจน์แบบง่ายใหม่ยังคงเป็น 0.5

แต่เรายังพยายามทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยการคำนวณ ผลที่ได้คือคำตอบสุดท้ายคือ 0.5

ดังนั้น ไม่ว่าเราจะลดความซับซ้อนของนิพจน์อย่างไร ค่าของนิพจน์ผลลัพธ์ยังคงเป็น 0.5 ซึ่งหมายความว่าการทำให้เข้าใจง่ายได้ดำเนินการอย่างถูกต้องในแต่ละขั้นตอน นี่คือสิ่งที่เราต้องพยายามเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ - ความหมายของนิพจน์ไม่ควรได้รับผลกระทบจากการกระทำของเรา

บ่อยครั้งจำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ตามตัวอักษร สำหรับพวกเขา กฎการทำให้เข้าใจง่ายแบบเดียวกับที่ใช้กับนิพจน์ตัวเลข คุณสามารถดำเนินการใดๆ ที่ถูกต้องได้ ตราบใดที่ค่าของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง 1ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5.21s × t × 2.5

ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน งานนี้คล้ายกับงานที่เราพิจารณาเมื่อเราเรียนรู้การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

ดังนั้นการแสดงออก 5.21s × t × 2.5ง่ายไป 13.025st.

ตัวอย่าง 2ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −0.4×(−6.3b)×2

งานที่สอง (−6.3b)สามารถแปลเป็นแบบฟอร์มที่เราเข้าใจได้ กล่าวคือ เขียนในรูปแบบ ( −6.3)×ข ,จากนั้นคูณตัวเลขและคูณตัวอักษรแยกกัน:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

ดังนั้นการแสดงออก −0.4×(−6.3b)×2 ง่ายไป 5.04b

ตัวอย่างที่ 3ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาเขียนนิพจน์นี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อให้เห็นได้ชัดเจนว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

ตอนนี้เราคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน:

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป −abc.วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้:

เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ เศษส่วนสามารถลดลงได้ในกระบวนการแก้ ไม่ใช่ในตอนท้าย เหมือนที่เราทำกับเศษส่วนธรรมดา ตัวอย่างเช่น หากในระหว่างการแก้เราเจอนิพจน์ของ form ก็ไม่จำเป็นที่จะต้องคำนวณตัวเศษและตัวส่วนและทำสิ่งนี้:

เศษส่วนสามารถลดลงได้โดยเลือกทั้งตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วน และลดตัวประกอบเหล่านี้ด้วยตัวหารร่วมมากของพวกมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ใช้ ซึ่งเราไม่ได้อธิบายรายละเอียดว่าตัวเศษและตัวส่วนถูกแบ่งออกเป็นอะไร

ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ ตัวประกอบ 12 และตัวส่วน ตัวประกอบ 4 สามารถลดลงได้ 4 เรานึกถึงสี่ตัว และหาร 12 และ 4 ด้วยสี่นี่ เราเขียนคำตอบถัดจากตัวเลขเหล่านี้โดย ก่อนหน้านี้ขีดฆ่าพวกเขาออก

ตอนนี้คุณสามารถคูณปัจจัยเล็ก ๆ ที่เป็นผลลัพธ์ได้ ในกรณีนี้มีไม่มากนักและคุณสามารถคูณไว้ในใจได้:

เมื่อเวลาผ่านไป คุณอาจพบว่าเมื่อแก้ปัญหาบางอย่าง สำนวนเริ่ม "อ้วน" ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับการคำนวณอย่างรวดเร็ว สิ่งที่คำนวณได้ในใจต้องคำนวณในใจ สิ่งที่ตัดได้เร็วก็ควรตัดให้เร็ว

ตัวอย่างที่ 4ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เราคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป นาที.

ตัวอย่างที่ 6ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาเขียนนิพจน์นี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อให้เห็นได้ชัดเจนว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

ตอนนี้เราคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษส่วนทศนิยม −6.4 และจำนวนคละสามารถแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้:

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนได้สั้นกว่ามาก มันจะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่าง 7ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เราคูณตัวเลขแยกกันและแยกตัวอักษร เพื่อความสะดวกในการคำนวณ สามารถแปลงจำนวนคละและเศษส่วนทศนิยม 0.1 และ 0.6 เป็นเศษส่วนธรรมดาได้:

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป เอบีซีดี. หากคุณข้ามรายละเอียด วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก:

สังเกตว่าเศษส่วนลดลงอย่างไร ตัวคูณใหม่ซึ่งได้มาจากการลดตัวคูณก่อนหน้าก็สามารถลดลงได้เช่นกัน

ทีนี้มาพูดถึงสิ่งที่ไม่ควรทำกัน เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ ห้ามมิให้คูณตัวเลขและตัวอักษรหากนิพจน์เป็นผลรวมและไม่ใช่ผลคูณ

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5a + 4bจึงไม่สามารถเขียนได้ดังนี้

นี่เทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าเราถูกขอให้บวกตัวเลขสองตัว และเราจะคูณพวกมันแทนการบวก

เมื่อแทนค่าตัวแปรใดๆ เอและ ขการแสดงออก 5a+4bเปลี่ยนเป็นนิพจน์ตัวเลขอย่างง่าย สมมติว่าตัวแปร เอและ ขมีความหมายดังต่อไปนี้:

a = 2 , b = 3

จากนั้นค่าของนิพจน์จะเป็น22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

ขั้นแรกให้ทำการคูณแล้วเพิ่มผลลัพธ์ และถ้าเราพยายามทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นด้วยการคูณตัวเลขและตัวอักษร เราจะได้ค่าต่อไปนี้:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

มันกลับกลายเป็นความหมายที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงของนิพจน์ ในกรณีแรกปรากฎ 22 , ในกรณีที่สอง 120 . ซึ่งหมายความว่าการลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5a + 4bถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง

หลังจากลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว ค่าของนิพจน์ไม่ควรเปลี่ยนด้วยค่าตัวแปรเดียวกัน หากเมื่อแทนที่ค่าตัวแปรใด ๆ ลงในนิพจน์ดั้งเดิม จะได้รับหนึ่งค่า จากนั้นหลังจากลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว ควรได้รับค่าเดียวกันก่อนที่จะทำให้เข้าใจง่าย

ด้วยการแสดงออก 5a + 4bอันที่จริงไม่มีอะไรสามารถทำได้ มันไม่ได้ง่ายขึ้น

หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ก็สามารถเพิ่มได้หากเป้าหมายของเราคือทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 8ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

หรือสั้นกว่า: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a

ดังนั้นการแสดงออก 0.3a−0.4a+aง่ายไป 0.9a

ตัวอย่างที่ 9ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −7.5a − 2.5b + 4a

ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

หรือสั้นกว่า −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

ภาคเรียน (−2.5b)ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอะไรให้พับ

ตัวอย่าง 10ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ค่าสัมประสิทธิ์เพื่อความสะดวกในการคำนวณ

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

ตัวอย่างที่ 11ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

ในตัวอย่างนี้ ควรบวกค่าสัมประสิทธิ์ตัวแรกและตัวสุดท้ายก่อน ในกรณีนี้ เราจะได้คำตอบสั้นๆ มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

ตัวอย่างที่ 12ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป .

คำนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอะไรให้เพิ่มเข้าไป

วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก มันจะมีลักษณะดังนี้:

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ละเว้นขั้นตอนการแทนที่การลบด้วยการบวกและบันทึกโดยละเอียดว่าเศษส่วนถูกลดทอนเป็นตัวส่วนร่วมอย่างไร

ความแตกต่างอีกประการหนึ่งคือในการแก้ปัญหาโดยละเอียด คำตอบดูเหมือน แต่โดยย่อว่า . อันที่จริงมันเป็นนิพจน์เดียวกัน ความแตกต่างคือในกรณีแรก การลบจะถูกแทนที่ด้วยการบวก เนื่องจากในตอนแรก เมื่อเราจดวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบรายละเอียด เราจะแทนที่การลบด้วยการบวกทุกเมื่อที่ทำได้ และการแทนที่นี้ได้รับการเก็บรักษาไว้สำหรับคำตอบ

ข้อมูลประจำตัว นิพจน์เท่ากัน

หลังจากที่เราได้ลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว นิพจน์นั้นจะง่ายและสั้นลง ในการตรวจสอบว่านิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้องหรือไม่ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปรก่อนในนิพจน์ก่อนหน้า ซึ่งจะต้องทำให้ง่ายขึ้น แล้วจึงเปลี่ยนเป็นค่าใหม่ซึ่งถูกทำให้ง่ายขึ้น หากค่าในนิพจน์ทั้งสองเหมือนกัน นิพจน์จะถูกลดความซับซ้อนอย่างถูกต้อง

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ให้จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ 2a × 7b. ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

ลองดูว่าเราลดรูปนิพจน์ให้ถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปร เอและ ขก่อนถึงนิพจน์แรกซึ่งจำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น และจากนั้นไปยังนิพจน์ที่สองซึ่งถูกทำให้ง่ายขึ้น

ให้ค่าของตัวแปร เอ , ขจะเป็นดังนี้:

a = 4 , b = 5

แทนที่พวกเขาในนิพจน์แรก 2a × 7b

ตอนนี้เรามาแทนที่ค่าตัวแปรเดียวกันลงในนิพจน์ที่เกิดจากการลดความซับซ้อน 2a×7bกล่าวคือในนิพจน์ 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

เราเห็นว่าที่ a=4และ b=5ค่าของนิพจน์แรก 2a×7bและค่าของนิพจน์ที่สอง 14abเท่ากัน

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

เช่นเดียวกันจะเกิดขึ้นสำหรับค่าอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ให้ a=1และ b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

ดังนั้นสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรนิพจน์ 2a×7bและ 14abมีค่าเท่ากัน สำนวนดังกล่าวเรียกว่า เท่ากัน.

เราสรุปได้ว่าระหว่างนิพจน์ 2a×7bและ 14abคุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับ เพราะมันเท่ากับค่าเดียวกัน

2a × 7b = 14ab

ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์ใดๆ ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=)

และความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 2a×7b = 14abเรียกว่า ตัวตน.

เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร

ตัวอย่างอื่น ๆ ของข้อมูลประจำตัว:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

ใช่ กฎของคณิตศาสตร์ที่เราศึกษาคืออัตลักษณ์

ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงยังเป็นตัวตนอีกด้วย ตัวอย่างเช่น:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

เมื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อน เพื่อความสะดวกในการคำนวณ นิพจน์ที่ซับซ้อนจะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ง่ายกว่าซึ่งเท่ากับนิพจน์ก่อนหน้าเหมือนกัน การทดแทนดังกล่าวเรียกว่า การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันหรือง่ายๆ การแปลงนิพจน์.

ตัวอย่างเช่น เราลดความซับซ้อนของนิพจน์ 2a × 7bและรับนิพจน์ที่ง่ายกว่า 14ab. การทำให้เข้าใจง่ายนี้เรียกว่าการแปลงเอกลักษณ์

คุณมักจะพบงานที่บอกว่า "พิสูจน์ความเท่าเทียมคืออัตลักษณ์" แล้วให้ความเท่าเทียมกันที่จะพิสูจน์ได้ โดยปกติความเท่าเทียมกันนี้ประกอบด้วยสองส่วน: ส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน หน้าที่ของเราคือทำการแปลงที่เหมือนกันกับส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันและรับส่วนอื่น หรือทำการแปลงที่เหมือนกันกับทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันมีนิพจน์เหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abเป็นอัตลักษณ์

ลดความซับซ้อนทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

จากการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เล็กๆ น้อยๆ ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันจึงเท่ากับด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abเป็นอัตลักษณ์

จากการแปลงที่เหมือนกัน เราเรียนรู้ที่จะบวก ลบ คูณและหารตัวเลข ลดเศษส่วน นำพจน์ที่เหมือนกันมา และทำให้นิพจน์บางนิพจน์ง่ายขึ้นด้วย

แต่สิ่งเหล่านี้อยู่ไกลจากการแปลงที่เหมือนกันทั้งหมดที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ มีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันอีกมากมาย เราจะเห็นสิ่งนี้ครั้งแล้วครั้งเล่าในอนาคต

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนบทเรียนใหม่

การเขียนเงื่อนไขของปัญหาโดยใช้สัญกรณ์ที่ยอมรับในวิชาคณิตศาสตร์ทำให้เกิดนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่านิพจน์ ซึ่งเรียกง่ายๆ ว่านิพจน์ ในบทความนี้เราจะพูดถึงรายละเอียดเกี่ยวกับ นิพจน์ตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร: เราจะให้คำจำกัดความและยกตัวอย่างการแสดงออกของแต่ละประเภท

การนำทางหน้า

นิพจน์ตัวเลข - มันคืออะไร?

ความคุ้นเคยกับการแสดงออกทางตัวเลขเริ่มต้นเกือบตั้งแต่บทเรียนแรกสุดของคณิตศาสตร์ แต่ชื่อของพวกเขา - นิพจน์ตัวเลข - พวกเขาได้มาในภายหลังเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น หากคุณปฏิบัติตามหลักสูตรของ M. I. Moro สิ่งนี้จะเกิดขึ้นบนหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 มีการแสดงนิพจน์ตัวเลขดังนี้: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1, เป็นต้น - มันทั้งหมด นิพจน์ตัวเลขและถ้าเราดำเนินการตามที่ระบุในนิพจน์ เราจะพบ ค่านิพจน์.

สรุปได้ว่าในขั้นนี้ของการศึกษาคณิตศาสตร์ นิพจน์เชิงตัวเลขเรียกว่าเร็กคอร์ดที่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมายของการบวกและการลบ

หลังจากทำความคุ้นเคยกับการคูณและการหารแล้ว รายการของนิพจน์ตัวเลขจะเริ่มมีเครื่องหมาย "·" และ ":" นี่คือตัวอย่างบางส่วน: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 เป็นต้น

และในโรงเรียนมัธยมปลาย ความหลากหลายของรายการสำหรับการแสดงออกทางตัวเลขก็เติบโตขึ้นเหมือนก้อนหิมะกลิ้งลงมาจากภูเขา เศษส่วนร่วมและทศนิยม จำนวนคละและจำนวนลบ ยกกำลัง ราก ลอการิทึม ไซน์ โคไซน์ และอื่นๆ ปรากฏขึ้น

มาสรุปข้อมูลทั้งหมดในคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข:

คำนิยาม.

นิพจน์ตัวเลขคือการรวมกันของตัวเลข เครื่องหมายของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ จังหวะเศษส่วน เครื่องหมายราก (รากศัพท์) ลอการิทึม สัญกรณ์ตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติผกผัน และฟังก์ชันอื่นๆ รวมทั้งวงเล็บและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษอื่นๆ ที่รวบรวมตามกฎที่ยอมรับใน คณิตศาสตร์.

ให้เราอธิบายส่วนประกอบทั้งหมดของคำจำกัดความที่เปล่งออกมา

ตัวเลขใดๆ ก็ตามสามารถมีส่วนร่วมในนิพจน์เชิงตัวเลขได้ ตั้งแต่ธรรมชาติจนถึงจำนวนจริง หรือแม้แต่ซับซ้อน นั่นคือในนิพจน์ตัวเลขเราสามารถพบ

ทุกอย่างชัดเจนด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการเลขคณิต - นี่คือสัญญาณของการบวก การลบ การคูณ และการหาร ตามลำดับ โดยมีรูปแบบ "+", "−", "·" และ ":" ในนิพจน์ตัวเลข อาจมีอักขระตัวใดตัวหนึ่งเหล่านี้ บางตัวหรือทั้งหมดพร้อมกัน และมากกว่าหนึ่งครั้ง นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ตัวเลขที่มี: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12-1/12.

สำหรับวงเล็บ มีทั้งนิพจน์ตัวเลขที่มีวงเล็บและนิพจน์ที่ไม่มี หากมีวงเล็บในนิพจน์ตัวเลข โดยทั่วไปแล้วจะเป็น

และบางครั้งวงเล็บในนิพจน์ตัวเลขก็มีวัตถุประสงค์พิเศษเฉพาะเจาะจงแยกจากกัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหาวงเล็บเหลี่ยมที่แสดงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขได้ ดังนั้นนิพจน์ตัวเลข +2 หมายความว่าหมายเลข 2 ถูกเพิ่มลงในส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข 1.75

จากคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข เป็นที่ชัดเจนว่านิพจน์สามารถมี , , log , ln , lg , designations หรืออื่นๆ ต่อไปนี้คือตัวอย่างนิพจน์ตัวเลขที่มี: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 และ .

การหารในนิพจน์ตัวเลขสามารถแสดงด้วย . ในกรณีนี้ มีนิพจน์ตัวเลขที่มีเศษส่วน นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าว: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 และ .

ในฐานะที่เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษและสัญกรณ์ที่สามารถพบได้ในนิพจน์ตัวเลข เราให้ ตัวอย่างเช่น ให้แสดงนิพจน์ตัวเลขด้วยโมดูลัส .

นิพจน์ตามตัวอักษรคืออะไร?

แนวคิดของนิพจน์ตามตัวอักษรจะได้รับเกือบจะในทันทีหลังจากทำความคุ้นเคยกับนิพจน์ตัวเลข เข้าแบบนี้. ในนิพจน์ตัวเลขบางตัวเลข ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งไม่ได้ถูกจดไว้ แต่มีวงกลม (หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสิ่งที่คล้ายกัน) เข้ามาแทนที่ และว่ากันว่าตัวเลขบางตัวสามารถใช้แทนวงกลมได้ ลองมาดูรายการเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น หากคุณใส่ตัวเลข 2 แทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยม คุณจะได้นิพจน์ตัวเลข 3 + 2 ดังนั้นแทนที่จะเป็นวงกลม สี่เหลี่ยม ฯลฯ ตกลงที่จะเขียนจดหมายและนิพจน์ดังกล่าวด้วยตัวอักษรเรียกว่า นิพจน์ตามตัวอักษร. กลับไปที่ตัวอย่างของเรา ถ้าในรายการนี้แทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราใส่ตัวอักษร a แล้วเราจะได้นิพจน์ตามตัวอักษรของรูปแบบ 3+a

ดังนั้น หากเราอนุญาตให้นิพจน์ตัวเลขมีตัวอักษรที่แสดงถึงตัวเลขบางตัวในนิพจน์ตัวเลข เราก็จะได้นิพจน์ตามตัวอักษรที่เรียกว่า ให้เราให้คำจำกัดความที่เหมาะสม

คำนิยาม.

นิพจน์ที่มีตัวอักษรที่แสดงตัวเลขบางตัวเรียกว่า การแสดงออกตามตัวอักษร.

จากคำจำกัดความนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าโดยพื้นฐานแล้ว นิพจน์ตามตัวอักษรแตกต่างจากนิพจน์ตัวเลขตรงที่สามารถมีตัวอักษรได้ โดยปกติในนิพจน์ตามตัวอักษรจะใช้อักษรตัวเล็กของอักษรละติน (a, b, c, ...) และเมื่อแสดงมุม อักษรตัวเล็กของอักษรกรีก (α, β, γ, ...)

ดังนั้น นิพจน์เชิงตัวอักษรสามารถประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และมีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่สามารถพบได้ในนิพจน์ตัวเลข เช่น วงเล็บ เครื่องหมายราก ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และฟังก์ชันอื่นๆ เป็นต้น แยกจากกัน เราเน้นว่านิพจน์ตามตัวอักษรประกอบด้วยตัวอักษรอย่างน้อยหนึ่งตัว แต่ก็สามารถมีตัวอักษรที่เหมือนกันหรือต่างกันได้หลายตัว

ตอนนี้เรายกตัวอย่างของนิพจน์ตามตัวอักษร ตัวอย่างเช่น a+b คือนิพจน์ตามตัวอักษรที่มีตัวอักษร a และ b นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของนิพจน์ตามตัวอักษร 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5 และเราให้ตัวอย่างการแสดงออกตามตัวอักษรของรูปแบบที่ซับซ้อน: .

นิพจน์ที่มีตัวแปร

หากในนิพจน์ตามตัวอักษร จดหมายแสดงถึงค่าที่ไม่ใช้กับค่าใดค่าหนึ่ง แต่สามารถรับค่าที่ต่างกันได้ จดหมายนี้จะเรียกว่า ตัวแปรและนิพจน์นี้เรียกว่า นิพจน์ตัวแปร.

คำนิยาม.

นิพจน์ด้วยตัวแปรเป็นนิพจน์ตามตัวอักษรซึ่งตัวอักษร (ทั้งหมดหรือบางส่วน) หมายถึงปริมาณที่ใช้ค่าต่างๆ

ตัวอย่างเช่น ให้ในนิพจน์ x 2 -1 ตัวอักษร x สามารถใช้ค่าธรรมชาติใดๆ จากช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 10 จากนั้น x จะเป็นตัวแปร และนิพจน์ x 2 -1 คือนิพจน์ที่มีตัวแปร x

เป็นที่น่าสังเกตว่าในนิพจน์สามารถมีตัวแปรได้หลายตัว ตัวอย่างเช่น หากเราถือว่า x และ y เป็นตัวแปร ดังนั้นนิพจน์ เป็นนิพจน์ที่มีสองตัวแปร x และ y

โดยทั่วไป การเปลี่ยนจากแนวคิดของนิพจน์ตามตัวอักษรไปเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรเกิดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อพวกเขาเริ่มเรียนพีชคณิต ถึงจุดนี้ นิพจน์ตามตัวอักษรได้จำลองงานเฉพาะบางอย่าง ในพีชคณิต พวกเขาเริ่มมองนิพจน์โดยทั่วไป โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงงานใดงานหนึ่ง โดยเข้าใจว่านิพจน์นี้เหมาะกับงานจำนวนมาก

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ ให้เราใส่ใจกับอีกประเด็นหนึ่ง: โดยการปรากฏตัวของนิพจน์ตามตัวอักษร มันเป็นไปไม่ได้ที่จะรู้ว่าตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้นเป็นตัวแปรหรือไม่ ดังนั้นจึงไม่มีสิ่งใดขัดขวางไม่ให้เราพิจารณาตัวอักษรเหล่านี้เป็นตัวแปร ในกรณีนี้ ความแตกต่างระหว่างคำว่า "นิพจน์ตามตัวอักษร" และ "นิพจน์ที่มีตัวแปร" จะหายไป

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์. 2 เซลล์ Proc. เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันที่มี adj. ไปเป็นอิเล็กตรอน ผู้ให้บริการ. เวลา 2 นาฬิกา ตอนที่ 1 / [ม. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova และคนอื่นๆ] - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555. - 96 น.: ป่วย. - (โรงเรียนของรัสเซีย). - ไอ 978-5-09-028297-0.
• คณิตศาสตร์: การศึกษา สำหรับ 5 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ไอเอสบีเอ็น 5-346-00699-0
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต การแปลงนิพจน์

นิพจน์ในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร? ทำไมการแปลงนิพจน์จึงจำเป็น?

คำถามอย่างที่พวกเขาพูดนั้นน่าสนใจ... ความจริงก็คือแนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด คณิตศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์และการเปลี่ยนแปลง ไม่ค่อยชัด? ให้ฉันอธิบาย

สมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่ชั่วร้าย ใหญ่มากและซับซ้อนมาก สมมติว่าคุณเก่งคณิตศาสตร์และไม่กลัวอะไรเลย! คุณสามารถตอบได้ทันที?

คุณจะต้อง ตัดสินใจตัวอย่างนี้ ตามลำดับ ทีละขั้นตอน ตัวอย่างนี้ ลดความซับซ้อน. ตามกฎบางอย่างแน่นอน เหล่านั้น. ทำ การแปลงนิพจน์. คุณทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้สำเร็จเพียงใด ดังนั้นคุณจึงแข็งแกร่งในวิชาคณิตศาสตร์ ถ้าคุณไม่รู้วิธีแปลงร่างที่ถูกต้อง ในทางคณิตศาสตร์คุณทำไม่ได้ ไม่มีอะไร...

เพื่อหลีกเลี่ยงอนาคตที่น่าอึดอัดเช่นนี้ (หรือปัจจุบัน ...) การเข้าใจหัวข้อนี้ไม่เสียหาย)

มาเริ่มกันเลยดีกว่า นิพจน์ทางคณิตศาสตร์คืออะไร. อะไร นิพจน์ตัวเลขและอะไรคือ นิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่กว้างมาก เกือบทุกอย่างที่เราจัดการในวิชาคณิตศาสตร์คือชุดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง สูตร เศษส่วน สมการ และอื่นๆ ทั้งหมดประกอบด้วย นิพจน์ทางคณิตศาสตร์.

3+2 เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ c 2 - d 2ยังเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อีกด้วย และเศษส่วนสมบูรณ์ และแม้แต่ตัวเลขเดียว - ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ สมการ เช่น

5x + 2 = 12

ประกอบด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองนิพจน์ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ นิพจน์หนึ่งอยู่ทางซ้าย อีกนิพจน์อยู่ทางขวา

โดยทั่วไปคำว่า นิพจน์ทางคณิตศาสตร์" ใช้บ่อยที่สุดเพื่อไม่ให้พึมพำ พวกเขาจะถามคุณว่าเศษส่วนธรรมดาคืออะไร และจะตอบอย่างไร!

คำตอบ 1: "มัน... ม-ม-ม-ม... สิ่งนั้น ... ซึ่ง ... ฉันจะเขียนเศษส่วนให้ดีขึ้นได้ไหม? อยากได้อันไหน?"

ตัวเลือกคำตอบที่สอง: "เศษส่วนธรรมดาคือ (อย่างร่าเริงและสนุกสนาน!) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัวเศษและตัวส่วน!"

ตัวเลือกที่สองนั้นน่าประทับใจกว่าใช่ไหม)

เพื่อจุดประสงค์นี้วลี " นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ "ดีมาก ทั้งถูกทั้งแข็ง แต่สำหรับการใช้งานจริงต้องชำนาญ นิพจน์เฉพาะทางคณิตศาสตร์ .

ประเภทเฉพาะเป็นอีกเรื่องหนึ่ง มัน อีกอย่างนึง!นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภทมี ของฉันชุดของกฎและเทคนิคที่จะต้องใช้ในการตัดสินใจ ในการทำงานกับเศษส่วน - หนึ่งชุด สำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ - ที่สอง สำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ที่สาม และอื่นๆ. ที่ไหนสักแห่งที่กฎเหล่านี้ตรงกัน แต่อย่ากลัวคำพูดที่น่ากลัวเหล่านี้ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และสิ่งลึกลับอื่น ๆ เราจะเชี่ยวชาญในส่วนที่เกี่ยวข้อง

ที่นี่เราจะเชี่ยวชาญ (หรือ - ทำซ้ำตามที่คุณต้องการ ... ) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองประเภทหลัก นิพจน์ตัวเลขและนิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ตัวเลข

อะไร นิพจน์ตัวเลข? นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ชื่อบ่งบอกว่านี่คือนิพจน์ที่มีตัวเลข นั่นคือสิ่งที่มันเป็น นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เรียกว่า นิพจน์ตัวเลข

7-3 เป็นนิพจน์ตัวเลข

(8+3.2) 5.4 ก็เป็นนิพจน์ตัวเลขเช่นกัน

และสัตว์ประหลาดตัวนี้:

เป็นนิพจน์ตัวเลขด้วย ใช่...

ตัวเลขธรรมดา เศษส่วน ตัวอย่างการคำนวณใดๆ ที่ไม่มี x และตัวอักษรอื่นๆ ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ตัวเลข

คุณสมบัติหลัก ตัวเลขนิพจน์ในนั้น ไม่มีตัวอักษร. ไม่มี. เฉพาะตัวเลขและไอคอนทางคณิตศาสตร์ (ถ้าจำเป็น) มันง่ายใช่มั้ย?

และสิ่งที่สามารถทำได้ด้วยนิพจน์ตัวเลข? ปกติสามารถนับนิพจน์ตัวเลขได้ ในการทำเช่นนี้ บางครั้งคุณต้องเปิดวงเล็บ เปลี่ยนเครื่องหมาย ย่อ สลับเงื่อนไข - เช่น ทำ การแปลงนิพจน์. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่ด้านล่าง

ที่นี่เราจะจัดการกับกรณีที่ตลกเมื่อใช้นิพจน์ตัวเลข คุณไม่ต้องทำอะไรเลยก็ไม่มีอะไรเลย! ปฏิบัติการดีๆแบบนี้ ไม่ทำอะไร)- ถูกดำเนินการเมื่อนิพจน์ ไม่สมเหตุสมผล.

นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผลเมื่อใด

แน่นอน หากเราเห็นอักษรอาบอบราอยู่ต่อหน้าเรา เช่น

แล้วเราจะไม่ทำอะไรเลย เนื่องจากไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมัน เรื่องไร้สาระบางอย่าง เว้นแต่จะนับจำนวนบวก ...

แต่มีการแสดงออกที่ค่อนข้างดีจากภายนอก ตัวอย่างเช่นนี้:

(2+3) : (16 - 2 8)

อย่างไรก็ตาม นิพจน์นี้ก็เช่นกัน ไม่สมเหตุสมผล! ด้วยเหตุผลง่ายๆ ว่าในวงเล็บที่สอง - ถ้าคุณนับ - คุณจะได้ศูนย์ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้! นี่เป็นการดำเนินการที่ต้องห้ามในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับนิพจน์นี้เช่นกัน สำหรับงานใดๆ ที่มีนิพจน์ดังกล่าว คำตอบจะเหมือนกันเสมอ: “ท่าทางไม่เข้าท่า!”

ในการให้คำตอบนั้น แน่นอน ฉันต้องคำนวณสิ่งที่จะอยู่ในวงเล็บ และบางครั้งในวงเล็บก็บิดเบี้ยว ... ไม่มีอะไรจะทำกับมัน

มีการดำเนินการที่ต้องห้ามไม่มากนักในวิชาคณิตศาสตร์ มีอันเดียวในกระทู้นี้ การหารด้วยศูนย์. ข้อห้ามเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นในรากและลอการิทึมจะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้นความคิดของสิ่งที่เป็น นิพจน์ตัวเลข- ได้. แนวคิด นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล- ที่ตระหนักรู้. ไปกันเลยดีกว่า

นิพจน์พีชคณิต

ถ้าตัวอักษรปรากฏในนิพจน์ตัวเลข นิพจน์นี้จะกลายเป็น... นิพจน์จะกลายเป็น... ใช่! มันกลายเป็น นิพจน์พีชคณิต. ตัวอย่างเช่น:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

สำนวนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า นิพจน์ตามตัวอักษรหรือ นิพจน์ที่มีตัวแปรมันเป็นสิ่งเดียวกัน การแสดงออก 5a +cตัวอย่างเช่น - ทั้งตามตัวอักษรและพีชคณิต และนิพจน์ที่มีตัวแปร

แนวคิด นิพจน์พีชคณิต -กว้างกว่าตัวเลข มัน รวมถึงและนิพจน์ตัวเลขทั้งหมด เหล่านั้น. นิพจน์ตัวเลขยังเป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต โดยไม่มีตัวอักษรเท่านั้น ปลาเฮอริ่งทุกตัวเป็นปลา แต่ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่เป็นปลาเฮอริ่ง...)

ทำไม ตามตัวอักษร- แจ่มใส. เนื่องจากมีตัวอักษร ... วลี นิพจน์ด้วยตัวแปรก็ไม่งงมากเช่นกัน หากคุณเข้าใจว่าตัวเลขถูกซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษร ตัวเลขทุกประเภทสามารถซ่อนไว้ใต้ตัวอักษร ... และ 5 และ -18 และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ นั่นคือจดหมายสามารถ แทนที่สำหรับตัวเลขต่างๆ จึงเรียกตัวอักษรว่า ตัวแปร.

ในนิพจน์ y+5, ตัวอย่างเช่น, ที่- ตัวแปร. หรือแค่พูดว่า " ตัวแปร"โดยไม่มีคำว่า "ค่า" ต่างจากห้าซึ่งเป็นค่าคงที่ หรือเพียงแค่ - คงที่.

ภาคเรียน นิพจน์พีชคณิตหมายความว่าจะทำงานกับนิพจน์นี้ คุณต้องใช้กฎหมายและกฎเกณฑ์ พีชคณิต. ถ้า เลขคณิตทำงานกับตัวเลขเฉพาะแล้ว พีชคณิต- พร้อมตัวเลขทั้งหมดพร้อมกัน ตัวอย่างง่ายๆ เพื่อความกระจ่าง

ในทางเลขคณิตสามารถเขียนได้ว่า

แต่ถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันที่คล้ายกันผ่านนิพจน์พีชคณิต:

a + b = b + a

เราจะตัดสินใจทันที ทั้งหมดคำถาม. สำหรับ ตัวเลขทั้งหมดจังหวะ. เพื่อสิ่งของจำนวนนับไม่ถ้วน เพราะภายใต้ตัวอักษร เอและ ขโดยนัย ทั้งหมดตัวเลข และไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่รวมถึงนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ด้วย นี่คือวิธีการทำงานของพีชคณิต

นิพจน์พีชคณิตไม่สมเหตุสมผลเมื่อใด

ทุกอย่างชัดเจนเกี่ยวกับนิพจน์ตัวเลข คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ และด้วยตัวอักษร เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาว่าเราหารด้วยอะไร!

ลองใช้นิพจน์ตัวแปรต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง:

2: (เอ - 5)

มันสมเหตุสมผลหรือไม่? แต่ใครจะรู้จักเขา? เอ- เบอร์ไหนก็ได้...

ใดๆ ใดๆ... แต่มีหนึ่งความหมาย เอซึ่งสำนวนนี้ อย่างแน่นอนไม่สมเหตุสมผล! และตัวเลขนั้นคืออะไร? ใช่! มัน 5! ถ้าตัวแปร เอแทนที่ (พวกเขาพูดว่า - "แทนที่") ด้วยหมายเลข 5 ในวงเล็บจะกลายเป็นศูนย์ ที่ไม่สามารถแบ่งได้ ปรากฎว่าการแสดงออกของเรา ไม่สมเหตุสมผล, ถ้า a = 5. แต่สำหรับค่าอื่นๆ เอมันสมเหตุสมผลไหม คุณสามารถแทนที่ตัวเลขอื่น ๆ ได้หรือไม่?

แน่นอน. ในกรณีเช่นนี้ พูดง่าย ๆ ว่า

2: (เอ - 5)

สมเหตุสมผลสำหรับค่าใด ๆ เอ, ยกเว้น a = 5 .

ตัวเลขทั้งชุด สามารถแทนที่ในนิพจน์ที่กำหนดเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้องการแสดงออกนี้

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยุ่งยาก เราดูที่นิพจน์ด้วยตัวแปรและคิดว่า: การดำเนินการที่ต้องห้ามได้รับค่าใด (หารด้วยศูนย์)

แล้วอย่าลืมดูคำถามของงาน พวกเขากำลังถามอะไร

ไม่สมเหตุสมผลค่าต้องห้ามของเราจะเป็นคำตอบ

หากพวกเขาถามถึงค่าของตัวแปรนิพจน์ มีความหมาย(สัมผัสได้ถึงความแตกต่าง!) คำตอบจะเป็น ตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นสิ่งต้องห้าม

ทำไมเราต้องการความหมายของนิพจน์? เขาอยู่ เขาไม่... ต่างกันยังไง!? ความจริงก็คือแนวคิดนี้มีความสำคัญมากในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย สำคัญมาก ๆ! นี่เป็นพื้นฐานสำหรับแนวคิดที่มั่นคง เช่น ช่วงของค่าที่ถูกต้องหรือขอบเขตของฟังก์ชัน หากไม่มีสิ่งนี้ คุณจะไม่สามารถแก้สมการร้ายแรงหรือความไม่เท่าเทียมกันได้เลย แบบนี้.

การแปลงนิพจน์ การแปลงเอกลักษณ์

เราทำความคุ้นเคยกับนิพจน์เชิงตัวเลขและพีชคณิต ทำความเข้าใจว่าวลี "สำนวนไม่สมเหตุสมผล" หมายถึงอะไร ตอนนี้เราต้องคิดให้ออกว่า การแปลงนิพจน์คำตอบนั้นง่าย อุกอาจ) นี่คือการกระทำใดๆ ที่มีนิพจน์ และนั่นแหล่ะ คุณได้ทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ตั้งแต่ชั้นเฟิร์สคลาส

ใช้นิพจน์ตัวเลขที่น่าสนใจ 3+5 จะดัดแปลงได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! คำนวณ:

การคำนวณนี้จะเป็นการแปลงนิพจน์ คุณสามารถเขียนนิพจน์เดียวกันด้วยวิธีที่ต่างออกไป:

เราไม่ได้นับอะไรที่นี่ เพียงแค่เขียนนิพจน์ ในรูปแบบที่แตกต่างกันนี่จะเป็นการแปลงนิพจน์ด้วย สามารถเขียนได้ดังนี้

และนี่ก็เช่นกัน คือการแปลงนิพจน์ คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้มากเท่าที่คุณต้องการ

ใดๆการกระทำต่อนิพจน์ ใดๆการเขียนในรูปแบบอื่นเรียกว่าการแปลงนิพจน์ และทุกสิ่ง ทุกอย่างง่ายมาก แต่มีสิ่งหนึ่งอยู่ที่นี่ กฎที่สำคัญมากสำคัญจนเรียกได้อย่างปลอดภัย กฎหลักคณิตศาสตร์ทั้งหมด แหกกฎข้อนี้ อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้นำไปสู่ข้อผิดพลาด เราเข้าใจไหม?)

สมมติว่าเราได้เปลี่ยนนิพจน์ของเราตามอำเภอใจ เช่นนี้

แปลงร่าง? แน่นอน. เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบอื่น มีอะไรผิดปกติที่นี่?

ไม่ใช่อย่างนั้น) ความจริงก็คือการเปลี่ยนแปลง "อะไรก็ตาม"คณิตศาสตร์ไม่สนใจเลย) คณิตศาสตร์ทั้งหมดสร้างขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงที่รูปลักษณ์เปลี่ยนไป แต่สาระสำคัญของการแสดงออกไม่เปลี่ยนแปลงสามบวกห้าสามารถเขียนในรูปแบบใดก็ได้ แต่ต้องเป็นแปด

การเปลี่ยนแปลง นิพจน์ที่ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญเรียกว่า เหมือนกัน

อย่างแน่นอน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันและให้เราเปลี่ยนตัวอย่างที่ซับซ้อนเป็นนิพจน์ง่ายๆ ทีละขั้นตอน สาระสำคัญของตัวอย่างถ้าเราทำผิดพลาดในห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง เราจะทำการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เหมือนกัน แล้วเราจะตัดสินใจ อื่นตัวอย่าง. พร้อมคำตอบอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำตอบที่ถูกต้อง)

นี่คือกฎหลักสำหรับการแก้ไขงานใดๆ: การปฏิบัติตามเอกลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลง

ฉันยกตัวอย่างด้วยนิพจน์ตัวเลข 3 + 5 เพื่อความชัดเจน ในนิพจน์พีชคณิต การแปลงที่เหมือนกันจะได้รับจากสูตรและกฎ สมมติว่ามีสูตรในพีชคณิต:

a(b+c) = ab + ac

ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด เราสามารถแทนนิพจน์ได้ ก(b+c)รู้สึกอิสระที่จะเขียนนิพจน์ ab+ac. และในทางกลับกัน. มัน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันคณิตศาสตร์ทำให้เราเลือกนิพจน์ทั้งสองนี้ได้ และอันไหนที่จะเขียนขึ้นอยู่กับตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างอื่น. การแปลงที่สำคัญและจำเป็นอย่างหนึ่งคือคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์ แต่ที่นี่ฉันแค่เตือนกฎ: ถ้าตัวเศษและตัวส่วนของเศษถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน หรือนิพจน์ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงนี่คือตัวอย่างของการแปลงที่เหมือนกันสำหรับคุณสมบัตินี้:

อย่างที่คุณอาจเดาได้ ห่วงโซ่นี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด...) ทรัพย์สินที่สำคัญมาก มันช่วยให้คุณเปลี่ยนสัตว์ประหลาดตัวอย่างทุกประเภทให้กลายเป็นสีขาวและปุย)

มีหลายสูตรที่กำหนดการแปลงที่เหมือนกัน แต่ที่สำคัญที่สุด - ค่อนข้างสมเหตุสมผล การแปลงพื้นฐานอย่างหนึ่งคือการแยกตัวประกอบ มันถูกใช้ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด - ตั้งแต่ระดับประถมศึกษาจนถึงระดับสูง มาเริ่มกันที่ ในบทเรียนต่อไป)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

รายการที่2 เอ + 8, 3เอ + 5ข, เอ 4 – bсเรียกว่านิพจน์ที่มีตัวแปร แทนที่ตัวเลขแทนที่จะเป็นตัวอักษร เราจะได้นิพจน์ที่เป็นตัวเลข แนวคิดทั่วไปของนิพจน์ที่มีตัวแปรถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับแนวคิดของนิพจน์ตัวเลขเท่านั้น นอกเหนือจากตัวเลขแล้ว นิพจน์ที่มีตัวแปรสามารถมีตัวอักษรได้เช่นกัน

สำหรับนิพจน์ที่มีตัวแปร การทำให้เข้าใจง่ายยังถูกนำไปใช้: อย่าใส่วงเล็บที่มีตัวเลขหรือตัวอักษรเท่านั้น อย่าใส่เครื่องหมายคูณระหว่างตัวอักษร ระหว่างตัวเลขและตัวอักษร ฯลฯ

มีนิพจน์หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตัวแปร กำหนด แต่(X), ที่(x, y) เป็นต้น

นิพจน์ที่มีตัวแปรไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นคำสั่งหรือเพรดิเคต ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับนิพจน์ 2 เอ+5 เป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าจริงหรือเท็จ ดังนั้นจึงไม่ใช่ข้อเสนอ ถ้าแทนที่จะเป็นตัวแปร เอแทนที่ตัวเลข จากนั้นเราจะได้นิพจน์ตัวเลขต่างๆ ซึ่งไม่ใช่คำสั่งด้วย ดังนั้น นิพจน์นี้จึงไม่ใช่เพรดิเคตด้วย

แต่ละนิพจน์ที่มีตัวแปรจะสัมพันธ์กับชุดของตัวเลข ซึ่งใช้แทนกันซึ่งส่งผลให้เป็นนิพจน์เชิงตัวเลขที่สมเหตุสมผล ชุดนี้เรียกว่าโดเมนของนิพจน์

ตัวอย่าง. 8: (4 – X) - โดเมน R\(4), เพราะ ที่ X= 4 นิพจน์ 8: (4 - 4) ไม่สมเหตุสมผล

หากนิพจน์ประกอบด้วยตัวแปรหลายตัว เช่น Xและ ที่ดังนั้นโดเมนของนิพจน์นี้คือชุดของตัวเลขคู่ ( เอ; ข) เช่นนั้นเมื่อเปลี่ยน Xบน เอและ ที่บน ขผลลัพธ์ในนิพจน์ตัวเลขที่มีค่า

ตัวอย่าง. , โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของคู่ ( เอ; ข) │เอ≥ ข.

คำนิยาม. นิพจน์สองนิพจน์ที่มีตัวแปรจะเรียกว่าเท่ากันหากมีค่าใด ๆ ตัวแปรจากขอบเขตของนิพจน์ ค่าที่เกี่ยวข้องจะเท่ากัน

ที่. สองนิพจน์ แต่(X), ที่(X) มีค่าเท่ากันในชุด X, ถ้า

1) ชุดค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรในนิพจน์เหล่านี้เหมือนกัน

2) สำหรับใดๆ X 0 ชุดของค่าที่อนุญาต, ค่าของนิพจน์ที่ X 0 แมตช์คือ แต่(X 0) = ที่(X 0) คือความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

ตัวอย่าง. (2 X+ 5) 2 และ 4 X 2 + 20X+ 25 – นิพจน์เท่ากัน

กำหนด แต่(X) º ที่(X). โปรดทราบว่าหากนิพจน์สองนิพจน์เท่ากันในบาง set อีแล้วพวกมันจะเท่ากันในทุกเซตย่อย อี 1 เดือน อีนอกจากนี้ ควรสังเกตด้วยว่าคำสั่งเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของนิพจน์สองนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันคือคำสั่ง

หากนิพจน์สองนิพจน์ที่เท่ากันในชุดใดชุดหนึ่งรวมกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ เราก็จะได้ประโยคซึ่งเรียกว่าเอกลักษณ์ในเซตนี้

ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงถือเป็นตัวตนด้วย อัตลักษณ์คือกฎของการบวกและการคูณจำนวนจริง กฎสำหรับการลบตัวเลขจากผลรวมและผลรวมจากตัวเลข กฎสำหรับการหารผลรวมด้วยตัวเลข ฯลฯ ข้อมูลประจำตัวยังเป็นกฎสำหรับการดำเนินการที่มีศูนย์และหนึ่ง .

การแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์อื่นที่เหมือนกันในบางชุดเรียกว่าการแปลงที่เหมือนกันของนิพจน์ที่กำหนด

ตัวอย่าง. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - การแปลงที่เหมือนกัน, ไม่ใช่การแปลงที่เหมือนกันบน R.

§ 5. การจำแนกนิพจน์ด้วยตัวแปร

1) นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวแปรและตัวเลขโดยใช้การดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ การยกกำลังเท่านั้น เรียกว่า นิพจน์จำนวนเต็ม หรือพหุนาม

ตัวอย่าง. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3ที่)

2) Rational เป็นนิพจน์ที่สร้างขึ้นจากตัวแปรและตัวเลขโดยใช้การดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง นิพจน์ตรรกยะสามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของนิพจน์จำนวนเต็มสองนิพจน์ นั่นคือ พหุนาม โปรดทราบว่านิพจน์จำนวนเต็มเป็นกรณีพิเศษของจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่าง. .

3) อตรรกยะ คือ นิพจน์ที่สร้างขึ้นจากตัวแปรและตัวเลข โดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง ตลอดจนการดำเนินการแยกราก พี- องศา