ผม. ขวาน 2 =0 – ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ข=0, ค=0 - วิธีแก้: x=0 คำตอบ: 0.

แก้สมการ

2x·(x+3)=6x-x 2 .

สารละลาย.ลองเปิดวงเล็บด้วยการคูณกัน 2xสำหรับแต่ละเทอมในวงเล็บ:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; เราย้ายเงื่อนไขจากด้านขวาไปทางซ้าย:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

3x 2 = 0 ดังนั้น x=0

คำตอบ: 0.

ครั้งที่สอง ขวาน 2 +bx=0 –ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ค=0 - วิธีแก้: x (ax+b)=0 → x 1 =0 หรือ ax+b=0 → x 2 =-b/a คำตอบ: 0; -ข/ก.

5x 2 -26x=0.

สารละลาย.ลองเอาตัวประกอบร่วมออกมาดู เอ็กซ์นอกวงเล็บ:

x(5x-26)=0; แต่ละปัจจัยสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์:

x=0หรือ 5x-26=0→ 5x=26 หารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย 5 และเราได้: x=5.2

คำตอบ: 0; 5,2.

ตัวอย่างที่ 3 64x+4x 2 =0

สารละลาย.ลองเอาตัวประกอบร่วมออกมาดู 4xนอกวงเล็บ:

4x(16+x)=0. เรามีตัวประกอบสามตัว นั่นคือ 4≠0 หรือ x=0หรือ 16+x=0. จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด เราได้ x=-16

คำตอบ: -16; 0.

ตัวอย่างที่ 4(x-3) 2 +5x=9.

สารละลาย.ใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์ เราจะเปิดวงเล็บ:

x 2 -6x+9+5x=9; แปลงเป็นรูปแบบ: x ​​2 -6x+9+5x-9=0; ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

x 2 -x=0; เราจะเอามันออกไป เอ็กซ์นอกวงเล็บ เราจะได้: x (x-1)=0 จากที่นี่หรือ x=0หรือ x-1=0→ x=1

คำตอบ: 0; 1.

ที่สาม ขวาน 2 +c=0 –ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ข=0 - วิธีแก้: ขวาน 2 =-c → x 2 =-c/a

ถ้า (-ค/ก)<0 แล้วไม่มีรากที่แท้จริง ถ้า (-с/а)>0

ตัวอย่างที่ 5 x 2 -49=0.

สารละลาย.

x 2 =49 จากตรงนี้ x=±7 คำตอบ:-7; 7.

ตัวอย่างที่ 6 9x 2 -4=0.

สารละลาย.

บ่อยครั้งที่คุณต้องค้นหาผลรวมของกำลังสอง (x 1 2 +x 2 2) หรือผลรวมของลูกบาศก์ (x 1 3 +x 2 3) ของรากของสมการกำลังสองซึ่งน้อยกว่า - ผลรวมของค่าส่วนกลับ ​ของกำลังสองของรากหรือผลรวมของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของรากของสมการกำลังสอง:

ทฤษฎีบทของ Vieta สามารถช่วยในเรื่องนี้ได้:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q

มาแสดงออกกันเถอะ ผ่าน พีและ ถาม:

1) ผลรวมของกำลังสองของรากของสมการ x 2 +px+q=0;

2) ผลรวมของกำลังสามของรากของสมการ x 2 +px+q=0.

สารละลาย.

1) การแสดงออก x 1 2 + x 2 2ได้จากการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; เปิดวงเล็บ: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; เราแสดงจำนวนที่ต้องการ: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. เรามีความเท่าเทียมกันที่เป็นประโยชน์: x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.

2) การแสดงออก x 1 3 + x 2 3ให้เราแทนผลรวมของลูกบาศก์โดยใช้สูตร:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3คิว)

อีกสมการที่มีประโยชน์: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q)

ตัวอย่าง.

3) x 2 -3x-4=0.คำนวณค่าของนิพจน์โดยไม่ต้องแก้สมการ x 1 2 + x 2 2.

สารละลาย.

x 1 +x 2 =-พี=3,และการทำงาน x 1 ∙x 2 =q=ในตัวอย่างที่ 1) ความเท่าเทียมกัน:

x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.เรามี -พี=x 1 +x 2 = 3 → หน้า 2 =3 2 =9; คิว= x 1 x 2 = -4. แล้ว x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

คำตอบ: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.คำนวณ: x 1 3 +x 2 3 .

สารละลาย.

ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลงนี้คือ x 1 +x 2 =-พี=2,และการทำงาน x 1 ∙x 2 =q=-4. ลองใช้สิ่งที่เราได้รับ ( ในตัวอย่างที่ 2) ความเท่าเทียมกัน: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

คำตอบ: x 1 3 +x 2 3 =32.

คำถาม: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราได้รับสมการกำลังสองแบบไม่ลดขนาดล่ะ? คำตอบ: สามารถ "ลดลง" ได้เสมอโดยการหารเทอมต่อเทอมด้วยสัมประสิทธิ์แรก

5) 2x 2 -5x-7=0โดยไม่ต้องตัดสินใจ ให้คำนวณ: x 1 2 + x 2 2.

สารละลาย.เราได้รับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ หารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 2 (สัมประสิทธิ์แรก) และได้สมการกำลังสองต่อไปนี้: x 2 -2.5x-3.5=0.

ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากเท่ากับ 2,5 - ผลคูณของรากมีค่าเท่ากัน -3,5 .

เราแก้มันด้วยวิธีเดียวกับตัวอย่าง 3) ใช้ความเท่าเทียมกัน: x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

คำตอบ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.หา:

ให้เราแปลงความเท่าเทียมกันนี้และใช้ทฤษฎีบทของ Vieta แทนที่ผลรวมของรากด้วย -พีและผลคูณของรากผ่าน ถามเราก็ได้สูตรที่มีประโยชน์อีกสูตรหนึ่ง เมื่อได้สูตร เราใช้ความเท่าเทียมกัน 1): x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.

ในตัวอย่างของเรา x 1 +x 2 =-พี=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตรผลลัพธ์:

7) x 2 -13x+36=0หา:

ลองแปลงผลรวมนี้แล้วได้สูตรที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของรากที่สองทางคณิตศาสตร์จากรากของสมการกำลังสอง

เรามี x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตรผลลัพธ์:

คำแนะนำ : ตรวจสอบความเป็นไปได้ในการหารากของสมการกำลังสองโดยใช้วิธีที่เหมาะสมเสมอ เพราะ 4 ตรวจสอบแล้ว สูตรที่มีประโยชน์ช่วยให้คุณทำงานให้เสร็จได้อย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ผู้เลือกปฏิบัติเป็นหมายเลขที่ “ไม่สะดวก” ในกรณีง่ายๆ ทั้งหมด ให้ค้นหารากและดำเนินการกับมัน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างสุดท้าย เราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากควรเท่ากับ 13 และผลผลิตจากราก 36 - ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? แน่นอน, 4 และ 9ตอนนี้คำนวณผลรวมของรากที่สองของตัวเลขเหล่านี้: 2+3=5. แค่นั้นแหละ!

I. ทฤษฎีบทของเวียตตาสำหรับสมการกำลังสองลดลง

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง x 2 +px+q=0เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากับเทอมอิสระ:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q

ค้นหารากของสมการกำลังสองที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ตัวอย่างที่ 1) x 2 -x-30=0นี่คือสมการกำลังสองรีดิวซ์ ( x 2 +px+q=0), สัมประสิทธิ์ที่สอง พี=-1และสมาชิกอิสระ ค=-30.ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการนี้มีราก และราก (ถ้ามี) จะแสดงเป็นจำนวนเต็ม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่ตัวจำแนกประเภทจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

การหาผู้แบ่งแยก ดี=ข 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

ทีนี้ ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากจะต้องเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ - -พี) และผลิตภัณฑ์จะเท่ากับระยะเวลาอิสระ เช่น - ถาม- แล้ว:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30เราต้องเลือกตัวเลขสองตัวเพื่อให้ผลคูณเท่ากัน -30 และจำนวนเงินคือ หน่วย- เหล่านี้คือตัวเลข -5 และ 6 . คำตอบ: -5; 6.

ตัวอย่างที่ 2) x 2 +6x+8=0เรามีสมการกำลังสองลดลงด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง พี=6และสมาชิกฟรี ค=8- ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีรูตจำนวนเต็ม เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1 ง 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 - ตัวจำแนก D 1 คือกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวน 1 ซึ่งหมายความว่ารากของสมการนี้เป็นจำนวนเต็ม ให้เราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta: ผลรวมของรากเท่ากับ –ร=-6และผลคูณของรากเท่ากับ ค=8- เหล่านี้คือตัวเลข -4 และ -2 .

ในความเป็นจริง: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q คำตอบ: -4; -2.

ตัวอย่างที่ 3) x 2 +2x-4=0- ในสมการกำลังสองลดหย่อนนี้ สัมประสิทธิ์ที่สอง พี=2และสมาชิกอิสระ ค=-4- เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่สองเป็นเลขคู่ ง 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. การแบ่งแยกไม่ใช่กำลังสองที่สมบูรณ์แบบของจำนวน เราก็ทำเช่นนั้น บทสรุป: รากของสมการนี้ไม่ใช่จำนวนเต็มและไม่สามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาซึ่งหมายความว่าเราแก้สมการนี้ตามปกติโดยใช้สูตร (ในกรณีนี้คือการใช้สูตร) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 4)เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันถ้า x 1 =-7, x 2 =4

สารละลาย.สมการที่ต้องการจะถูกเขียนในรูปแบบ: x 2 +px+q=0และตามทฤษฎีบทของเวียตตา –พี=x 1 +x 2=-7+4=-3 → พี=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 - จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: x 2 +3x-28=0.

ตัวอย่างที่ 5)เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันหาก:

ครั้งที่สอง ทฤษฎีบทของเวียตตาสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ขวาน 2 +bx+c=0.

ผลรวมของรากเป็นลบ ข, หารด้วย ก, ผลคูณของรากเท่ากับ กับ, หารด้วย ตอบ:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a

ตัวอย่างที่ 6)หาผลรวมของรากของสมการกำลังสอง 2x 2 -7x-11=0.

สารละลาย.

เราแน่ใจว่าสมการนี้จะมีราก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะสร้างนิพจน์สำหรับการเลือกปฏิบัติ และโดยไม่ต้องคำนวณ เพียงตรวจสอบให้แน่ใจว่าการเลือกปฏิบัติมีค่ามากกว่าศูนย์ ดี=7 2 -4∙2∙(-11)>0 - ตอนนี้เรามาใช้กัน ทฤษฎีบท เวียตต้าสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

x 1 +x 2 =-ข:ก=- (-7):2=3,5.

ตัวอย่างที่ 7)- หาผลคูณของรากของสมการกำลังสอง 3x 2 +8x-21=0

สารละลาย.

เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่สอง ( 8 ) เป็นจำนวนคู่ ง 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 - สมการกำลังสองมี 2 ราก ตามทฤษฎีบทของเวียตต้า ผลคูณของราก x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

ผม. ขวาน 2 +bx+c=0– สมการกำลังสองทั่วไป

เลือกปฏิบัติ ดี=ข 2 - 4เอซี

ถ้า ง>0แล้วเรามีรากจริงสองอัน:

ถ้า ด=0แล้วเรามีรากเดียว (หรือสองรากที่เท่ากัน) x=-b/(2a).

ถ้า D<0, то действительных корней нет.

ตัวอย่าง 1) 2x 2 +5x-3=0

สารละลาย. ก=2; ข=5; ค=-3.

ดี=ข 2 - 4เอซี=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 รากที่แท้จริง

4x 2 +21x+5=0

สารละลาย. ก=4; ข=21; ค=5.

ดี=ข 2 - 4เอซี=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 รากที่แท้จริง

ครั้งที่สอง ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสองรูปแบบเฉพาะ แม้แต่วินาทีเดียว

ค่าสัมประสิทธิ์ ข

ตัวอย่าง 3) 3x 2 -10x+3=0.

สารละลาย. ก=3; ข=-10 (เลขคู่); ค=3.

ตัวอย่างที่ 4) 5x 2 -14x-3=0.

สารละลาย. ก=5; ข= -14 (เลขคู่); ค=-3.

ตัวอย่างที่ 5) 71x 2 +144x+4=0

สารละลาย. ก=71; ข=144 (เลขคู่); ค=4.

ตัวอย่างที่ 6) 9x 2 -30x+25=0.

สารละลาย. ก=9; ข=-30 (เลขคู่); ค=25.

ที่สาม ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสอง ประเภทส่วนตัวที่มีให้: a-b+c=0.

รากแรกจะเท่ากับลบ 1 เสมอ และรากที่สองจะเท่ากับลบเสมอ กับ, หารด้วย ก:

x 1 =-1, x 2 =-ค/ก.

ตัวอย่างที่ 7) 2x 2 +9x+7=0

สารละลาย. ก=2; ข=9; ค=7. ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: a-b+c=0.เราได้รับ: 2-9+7=0 .

แล้ว x 1 =-1, x 2 =-ค/เอ=-7/2=-3.5คำตอบ: -1; -3,5.

IV. ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสองของรูปแบบเฉพาะเรื่อง : ก+ข+ค=0

รากแรกจะเท่ากับหนึ่งเสมอ และรากที่สองจะเท่ากับ กับ, หารด้วย ก:

x 1 =1, x 2 =ค/ก.

ตัวอย่างที่ 8) 2x 2 -9x+7=0.

สารละลาย. ก=2; ข=-9; ค=7. ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: ก+ข+ค=0เราได้รับ: 2-9+7=0 .

แล้ว x 1 =1, x 2 =ค/ก=7/2=3.5คำตอบ: 1; 3,5.

หน้า 1 จาก 1 1

สมการ

จะแก้สมการได้อย่างไร?

ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา ขึ้นอยู่กับผู้ที่คุณเลือก) สมการเบื้องต้นที่สุด แล้วสมการคืออะไร? ในภาษามนุษย์ นี่คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางประเภทที่มีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบค่า ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการ- นี่คือการค้นหาค่าของ x ที่เมื่อแทนค่าเข้าไป ต้นฉบับการแสดงออกจะทำให้เรามีตัวตนที่ถูกต้อง ฉันขอเตือนคุณว่าอัตลักษณ์คือการแสดงออกที่ไม่ต้องสงสัย แม้แต่กับบุคคลที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์เลยก็ตาม เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการได้อย่างไร?ลองคิดดูสิ

มีสมการทุกประเภท (แปลกใจใช่ไหม?) แต่ความหลากหลายอันไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น

4. คนอื่นๆ ครับ)

แน่นอนว่าที่เหลือทั้งหมด ที่สำคัญที่สุด ใช่...) ซึ่งได้แก่ ลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ อีกมากมาย เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เหมาะสม

ฉันจะบอกทันทีว่าบางครั้งสมการของสามประเภทแรกก็เสียหายมากจนคุณจำไม่ได้ด้วยซ้ำ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีผ่อนคลายพวกเขา

และเหตุใดเราจึงต้องมีสี่ประเภทนี้? แล้วอะไรล่ะ สมการเชิงเส้นแก้ได้ด้วยวิธีเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น, เหตุผลเศษส่วน - ที่สามก พักผ่อนพวกเขาไม่กล้าเลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาตัดสินใจไม่ได้เลย แต่ฉันผิดวิชาคณิตศาสตร์) เพียงแต่พวกเขามีเทคนิคและวิธีการพิเศษเป็นของตัวเอง

แต่สำหรับสิ่งใด ๆ (ฉันขอย้ำ - เพื่อ ใดๆ!) สมการให้พื้นฐานที่เชื่อถือได้และปลอดภัยสำหรับการแก้ปัญหา ทำงานได้ทุกที่และตลอดเวลา รองพื้นตัวนี้ - ฟังดูน่ากลัวแต่มันง่ายมาก และมาก (มาก!)สำคัญ.

จริงๆ แล้ว การแก้สมการประกอบด้วยการแปลงพวกนี้เหมือนกัน 99% ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" อยู่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้อย่างชัดเจน คำใบ้ชัดเจนหรือไม่)

การแปลงสมการที่เหมือนกัน

ใน สมการใดๆหากต้องการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ คุณต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างดั้งเดิมง่ายขึ้น และเมื่อรูปลักษณ์เปลี่ยนไป แก่นแท้ของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีผล โดยเฉพาะสมการนอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย การแสดงออกนี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง

ตอนนี้เราจะทำซ้ำทั้งหมด ทั้งหมด ทั้งหมด ขั้นพื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน

พื้นฐานเพราะสามารถประยุกต์เข้ากับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น กำลังสอง เศษส่วน ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฯลฯ ฯลฯ

การแปลงข้อมูลระบุตัวตนครั้งแรก: คุณสามารถเพิ่ม (ลบ) ทั้งสองข้างของสมการใดก็ได้ ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือสำนวน (รวมถึงสำนวนที่ไม่รู้จักด้วย!) สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของสมการ

ยังไงก็ตาม คุณใช้การแปลงนี้ตลอดเวลา คุณแค่คิดว่าคุณกำลังโอนเทอมบางเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:

กรณีนี้เป็นที่คุ้นเคย เราย้ายทั้งสองไปทางขวา และเราได้รับ:

ที่จริงแล้วคุณ เอาไปจากทั้งสองข้างของสมการคือสอง ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน:

x+2 - 2 = 3 - 2

การย้ายเงื่อนไขไปทางซ้ายและขวาโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงเวอร์ชันที่สั้นลงของการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก และเหตุใดเราจึงต้องมีความรู้เชิงลึกเช่นนี้? – คุณถาม ไม่มีสิ่งใดในสมการ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า อดทนไว้ อย่าลืมเปลี่ยนป้ายด้วย แต่ในความไม่เท่าเทียมกัน นิสัยในการโอนย้ายสามารถนำไปสู่ทางตันได้...

การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง: ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้ ไม่ใช่ศูนย์หมายเลขหรือการแสดงออก นี่คือข้อ จำกัด ที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นแล้ว: การคูณด้วยศูนย์นั้นโง่และการหารนั้นเป็นไปไม่ได้เลย นี่คือการแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณแก้อะไรเจ๋งๆ แบบนี้

มันชัดเจน เอ็กซ์= 2. คุณค้นพบมันได้อย่างไร? โดยการคัดเลือก? หรือมันเพิ่งจะเริ่มต้นกับคุณ? เพื่อไม่ให้เลือกและไม่รอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นคนยุติธรรม แบ่งทั้งสองข้างของสมการ 5 เท่า เมื่อหารทางด้านซ้าย (5x) ทั้ง 5 ตัวจะลดลงเหลือเพียง X ล้วนๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการจริงๆ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วย 5 เราจะได้ 2.

แค่นั้นแหละ.

มันตลกดี แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสอง!) นี้เป็นพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดว้าว! มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะดูตัวอย่างของอะไรและอย่างไรใช่ไหม?)

ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก

เริ่มต้นด้วย อันดับแรกการเปลี่ยนแปลงตัวตน โอนซ้าย-ขวา

เป็นตัวอย่างแก่น้องๆ)

สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:

3-2x=5-3x

มาจำคาถากันเถอะ: "มี X - ไปทางซ้าย ไม่มี X - ไปทางขวา!"คาถานี้เป็นคำแนะนำในการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวครั้งแรก) นิพจน์ที่มี X ทางด้านขวาคืออะไร? 3x- คำตอบไม่ถูกต้อง! ทางด้านขวามือของเรา - 3x! ลบสามเอ็กซ์! ดังนั้นเมื่อเคลื่อนไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก ปรากฎว่า:

3-2x+3x=5

ดังนั้น X's จึงถูกรวบรวมเป็นกอง เรามาเข้าเรื่องตัวเลขกันดีกว่า มีสามอันทางซ้าย ด้วยสัญญาณอะไร? ไม่ยอมรับคำตอบว่า "ไม่มีเลย"!) ต่อหน้าทั้งสามนั้นไม่มีอะไรถูกดึงออกมาจริงๆ และนี่หมายความว่าก่อนทั้งสามจะมี บวกนักคณิตศาสตร์จึงตกลงกัน ไม่มีอะไรเขียนซึ่งหมายความว่า บวกดังนั้นทริปเปิลจะถูกโอนไปทางด้านขวา ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:

-2x+3x=5-3

เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น ทางซ้าย - นำอันที่คล้ายกันมาทางขวา - นับ คำตอบมาทันที:

ในตัวอย่างนี้ การแปลงข้อมูลประจำตัวเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น อืม ก็ได้)

ตัวอย่างสำหรับเด็กโต)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ที่เราเผชิญหน้ากันเป็นครั้งแรก สมการที่มีตัวแปรสองตัวแต่มีการศึกษาเฉพาะในบริบทของระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวเท่านั้น นั่นคือสาเหตุที่ปัญหาทั้งชุดซึ่งมีเงื่อนไขบางประการเกิดขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของสมการที่จำกัดเงื่อนไขเหล่านั้นให้อยู่นอกสายตา นอกจากนี้ วิธีการแก้ปัญหาเช่น "แก้สมการในจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม" ก็ถูกมองข้ามไปเช่นกัน แม้ว่าปัญหาประเภทนี้จะพบบ่อยมากขึ้นในสื่อการสอบ Unified State และในการสอบเข้า

สมการใดจะเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างเช่น สมการ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 หรือ xy = 12 เป็นสมการที่อยู่ในตัวแปรสองตัว

พิจารณาสมการ 2x – y = 1 มันจะเป็นจริงเมื่อ x = 2 และ y = 3 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นคำตอบของสมการที่เป็นปัญหา

ดังนั้นการแก้สมการใด ๆ ที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของคู่อันดับ (x; y) ซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวสามารถ:

ก) มีทางออกหนึ่งทางตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + 5y 2 = 0 มีคำตอบเฉพาะ (0; 0)

ข) มีหลายโซลูชั่นตัวอย่างเช่น (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 มีคำตอบ 4 แบบ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); - 2);

วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + y 2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ช) มีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วนตัวอย่างเช่น x + y = 3 ผลเฉลยของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่ผลรวมเท่ากับ 3 ชุดคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ (k; 3 – k) โดยที่ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ตัวเลข.

วิธีการหลักในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือวิธีการที่ใช้นิพจน์การแยกตัวประกอบ การแยกกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้คุณสมบัติของสมการกำลังสอง นิพจน์ที่จำกัด และวิธีการประมาณค่า โดยปกติสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สามารถหาระบบในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบได้

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: xy – 2 = 2x – y

สารละลาย.

เราจัดกลุ่มคำศัพท์ตามวัตถุประสงค์ของการแยกตัวประกอบ:

(xy + y) – (2x + 2) = 0 จากแต่ละวงเล็บ เราจะหาตัวประกอบร่วมออกมา:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0 เรามี:

y = 2, x – จำนวนจริงใดๆ หรือ x = -1, y – จำนวนจริงใดๆ

ดังนั้น, คำตอบคือทุกคู่ของแบบฟอร์ม (x; 2), x € R และ (-1; y), y € R

ความเท่ากันของจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)

สารละลาย.

การจัดกลุ่ม:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0 ตอนนี้แต่ละวงเล็บสามารถพับได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0

ผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบสองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ 3x – 2 = 0 และ 2y – 3 = 0

ซึ่งหมายความว่า x = 2/3 และ y = 3/2

คำตอบ: (2/3; 3/2)

วิธีการประมาณค่า

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2

สารละลาย.

ในแต่ละวงเล็บเราเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2 ลองประมาณกัน ความหมายของสำนวนในวงเล็บ

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 และ (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจะมีค่าอย่างน้อย 2 เสมอ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก:

(x + 1) 2 + 1 = 1 และ (y – 2) 2 + 2 = 2 ซึ่งหมายถึง x = -1, y = 2

คำตอบ: (-1; 2)

มาทำความรู้จักกับวิธีอื่นในการแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวในระดับที่สอง วิธีนี้ประกอบด้วยการรักษาสมการดังนี้ กำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว.

ตัวอย่างที่ 4

แก้สมการ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0

สารละลาย.

ลองแก้สมการเป็นสมการกำลังสองของ x กัน เรามาค้นหาผู้แยกแยะ:

ง = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ D = 0 นั่นคือถ้า y = 4 เราแทนค่า y ลงในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่า x = 3

คำตอบ: (3; 4)

บ่อยครั้งอยู่ในสมการที่มีสิ่งไม่รู้สองตัวที่ระบุ ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปร.

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม: x 2 + 5y 2 = 20x + 2

สารละลาย.

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ทางด้านขวาของสมการเมื่อหารด้วย 5 จะได้เศษเป็น 2 ดังนั้น x 2 จึงหารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่กำลังสองของ a จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวจะให้เศษเป็น 1 หรือ 4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปไม่ได้และไม่มีวิธีแก้

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3

สารละลาย.

เรามาเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในแต่ละวงเล็บ:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3 ทางด้านซ้ายของสมการมักจะมากกว่าหรือเท่ากับ 3 เสมอ หากมีความเท่าเทียมกัน |x| – 2 = 0 และ y + 3 = 0 ดังนั้น x = ± 2, y = -3

คำตอบ: (2; -3) และ (-2; -3)

ตัวอย่างที่ 7

สำหรับจำนวนเต็มลบทุกคู่ (x;y) จะเป็นไปตามสมการ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, คำนวณผลรวม (x + y) โปรดระบุจำนวนเงินที่น้อยที่สุดในคำตอบของคุณ

สารละลาย.

มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37 เนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนเต็ม กำลังสองของมันจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับ 37 ถ้าเราบวก 1 + 36 ดังนั้น:

(x – y) 2 = 36 และ (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 และ (y + 2) 2 = 36

เมื่อแก้ระบบเหล่านี้และพิจารณาว่า x และ y เป็นลบ เราจะพบวิธีแก้ปัญหา: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)

คำตอบ: -17

อย่าสิ้นหวังหากคุณมีปัญหาในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะจัดการกับสมการใดๆ ก็ได้

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการในตัวแปรสองตัวใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. ขยายวงเล็บ ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. ระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
2. จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
3. สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย

ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดตามที่คุณเข้าใจแล้ว

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:

1. ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
2. เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่ และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจที่ 1

ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ

ภารกิจที่ 2

เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ภารกิจที่ 3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บหลายอันที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แต่นำหน้าด้วยเครื่องหมายต่างกัน มาทำลายพวกเขากัน:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เราทราบแล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาทำคณิตศาสตร์กันเถอะ:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:

• อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
• แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่ง หรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณได้ทำสิ่งผิด

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม- จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลาและเป็นอันตรายในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อการกระทำเช่นนั้นถูกมองข้ามไป

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะถูกยกเลิกอย่างแน่นอน

ตัวอย่างหมายเลข 1

แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:

\[\varไม่มีอะไร\]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่างหมายเลข 2

เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นตอนแรก:

มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:

\[\var ไม่มีอะไร\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:

ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม- ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่การไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ภารกิจที่ 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความเป็นส่วนตัวกันเถอะ:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง

ภารกิจที่ 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก 1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ คือ ลบ 7 จาก 1 ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป

ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ
2. แยกตัวแปร
3. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
4. หารด้วยอัตราส่วน.

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ ดูเหมือนจะไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า ในแง่ของประสิทธิภาพทั้งหมด อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการดำเนินการนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอื่นให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนการดำเนินการครั้งแรกและหลังจากนั้น ได้แก่ กำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน.
2. เปิดวงเล็บ
3. แยกตัวแปร
4. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
5. หารด้วยอัตราส่วน.

“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองวงเล็บไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ตอนนี้เรามาขยาย:

เราแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• อย่ากังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง มีแนวโน้มว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะลดลงในกระบวนการแปลงต่อไป
• สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!

เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้สมการทางคณิตศาสตร์อยู่ในโหมด ออนไลน์- เว็บไซต์ www.site อนุญาต แก้สมการเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์- เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ สมการออนไลน์- หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่แม่นยำ คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้สมการออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต สมการออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์และยัง สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. สมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ สมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ สมการสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ สมการและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ สมการพีชคณิต, สมการตรีโกณมิติหรือ สมการซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน เมื่อเรียนวิทยาศาสตร์ธรรมชาติคุณจะพบกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้สมการ- ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์- ดังนั้นเพื่อ การแก้สมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ การแก้สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์และยัง สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหารากเหง้าต่างๆ สมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา สมการออนไลน์ตัวคุณเองก็มีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้สมการออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ทันเวลา การแก้สมการออนไลน์ไม่ว่าจะเป็น พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก