Y x ค้นหาคาบของฟังก์ชัน ช่วงเวลาของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x - ไฮเปอร์มาร์เก็ตความรู้

อาร์กิวเมนต์ x ดังนั้นจะเรียกว่าคาบหากมีตัวเลข T โดยที่ x F(x + T) ใดๆ = F(x) จำนวน T นี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน

อาจมีหลายช่วง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน F = const ใช้ค่าเดียวกันสำหรับค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นตัวเลขใดๆ จึงสามารถพิจารณาจุดของมันได้

โดยปกติแล้ว คุณจะสนใจคาบที่ไม่ใช่ศูนย์ที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน เพื่อความกระชับ เรียกง่ายๆ ว่าช่วงเวลา

ตัวอย่างคลาสสิกของฟังก์ชันคาบคือตรีโกณมิติ: ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ คาบเท่ากันและเท่ากับ 2π นั่นคือ sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม แน่นอนว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันที่เป็นคาบเท่านั้น

สำหรับฟังก์ชันพื้นฐานอย่างง่าย วิธีเดียวที่จะพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันแบบคาบหรือไม่ใช่คาบคือผ่านการคำนวณ แต่สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อน มีกฎง่ายๆ อยู่หลายข้ออยู่แล้ว

ถ้า F(x) อยู่กับจุด T และอนุพันธ์ถูกกำหนดไว้แล้ว อนุพันธ์นี้ f(x) = F′(x) ก็เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด T เช่นกัน ท้ายที่สุดแล้ว ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น x เท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ของกราฟของแอนติเดริเวทีฟ ณ จุดนี้กับแกน x และเนื่องจากแอนติเดริเวทีฟเกิดซ้ำเป็นระยะๆ อนุพันธ์จึงต้องทำซ้ำด้วย ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน sin(x) เท่ากับ cos(x) และมันเป็นคาบ การหาอนุพันธ์ของ cos(x) จะได้ –sin(x) ความถี่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

อย่างไรก็ตามสิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นไม่จริงเสมอไป ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x) = const จึงเป็นคาบ แต่ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = const*x + C ไม่ใช่

ถ้า F(x) เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T แล้ว G(x) = a*F(kx + b) โดยที่ a, b และ k เป็นค่าคงที่ และ k ไม่เท่ากับศูนย์ - ก็เป็นฟังก์ชันคาบด้วย และระยะเวลาของมันคือ T/k ตัวอย่างเช่น sin(2x) เป็นฟังก์ชันคาบ และคาบของมันคือ π สามารถแสดงเป็นภาพได้ดังนี้: โดยการคูณ x ด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง ดูเหมือนว่าคุณจะบีบอัดกราฟของฟังก์ชันในแนวนอนหลาย ๆ ครั้ง

ถ้า F1(x) และ F2(x) เป็นฟังก์ชันคาบ และคาบเท่ากับ T1 และ T2 ตามลำดับ ผลรวมของฟังก์ชันเหล่านี้ก็สามารถเป็นฟังก์ชันคาบได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ระยะเวลาจะไม่ใช่ผลรวมของช่วง T1 และ T2 อย่างง่าย ถ้าผลลัพธ์ของการหาร T1/T2 เป็นจำนวนตรรกยะ ผลรวมของฟังก์ชันจะเป็นแบบคาบ และคาบจะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของคาบ T1 และ T2 ตัวอย่างเช่น หากคาบของฟังก์ชันแรกคือ 12 และคาบของฟังก์ชันที่สองคือ 15 คาบของผลรวมจะเท่ากับ LCM (12, 15) = 60

สิ่งนี้สามารถแสดงด้วยสายตาได้ดังต่อไปนี้: ฟังก์ชั่นมาพร้อมกับ "ความกว้างของขั้นตอน" ที่แตกต่างกัน แต่ถ้าอัตราส่วนของความกว้างเป็นเหตุผล ไม่ช้าก็เร็ว (หรือค่อนข้างแม่นยำผ่าน LCM ของขั้นตอน) พวกเขาจะกลับมาเท่ากันอีกครั้ง และ ผลรวมของพวกเขาจะเริ่มงวดใหม่

อย่างไรก็ตาม ถ้าอัตราส่วนของงวดไม่ลงตัว ฟังก์ชันรวมจะไม่เป็นงวดเลย ตัวอย่างเช่น ให้ F1(x) = x mod 2 (ส่วนที่เหลือเมื่อ x หารด้วย 2) และ F2(x) = sin(x) T1 ตรงนี้จะเท่ากับ 2 และ T2 จะเท่ากับ 2π อัตราส่วนของงวดเท่ากับ π ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นฟังก์ชัน sin(x) + x mod 2 จึงไม่ใช่คาบ

บทเรียนวิดีโอ "คาบของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x" เผยให้เห็นแนวคิดเรื่องคาบของฟังก์ชัน พิจารณาคำอธิบายตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งใช้แนวคิดเรื่องคาบของฟังก์ชัน บทเรียนวิดีโอนี้เป็นภาพช่วยอธิบายหัวข้อให้นักเรียนฟัง นอกจากนี้ คู่มือนี้สามารถกลายเป็นส่วนอิสระของบทเรียนได้ ทำให้ครูมีอิสระในการทำงานกับนักเรียนเป็นรายบุคคล

การมองเห็นในการนำเสนอหัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ในการแสดงพฤติกรรมของฟังก์ชัน การพล็อตกราฟ จะต้องแสดงให้เห็นด้วยภาพ ไม่สามารถก่อสร้างโดยใช้กระดานดำและชอล์กในลักษณะที่นักเรียนทุกคนเข้าใจได้เสมอไป ในวิดีโอบทช่วยสอน คุณสามารถเน้นส่วนต่างๆ ของภาพวาดด้วยสีเมื่อสร้าง และทำการเปลี่ยนแปลงโดยใช้แอนิเมชัน ดังนั้นการก่อสร้างจึงกลายเป็นสิ่งที่เข้าใจได้ง่ายสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ นอกจากนี้ ฟีเจอร์บทเรียนแบบวิดีโอยังช่วยให้จดจำเนื้อหาได้ดียิ่งขึ้น

การสาธิตเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อของบทเรียนและเตือนนักเรียนถึงเนื้อหาที่เรียนรู้ในบทเรียนก่อนหน้า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รายการคุณสมบัติที่ระบุในฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x ได้รับการสรุปไว้ ในบรรดาคุณสมบัติของฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้น โดเมนของคำจำกัดความ ช่วงของค่า ความเท่าเทียมกัน (ความคี่) คุณสมบัติอื่น ๆ จะถูกบันทึกไว้ - ขอบเขต ความน่าเบื่อ ความต่อเนื่อง จุดที่มีค่าน้อยที่สุด (มากที่สุด) นักเรียนจะได้รับแจ้งว่าในบทเรียนนี้ มีการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันอีกประการหนึ่ง นั่นคือ คาบเวลา

คำจำกัดความของฟังก์ชันคาบ y=f(x) โดยที่ xϵX ซึ่งมีเงื่อนไข f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) สำหรับบาง Т≠0 ปรากฏ มิฉะนั้น ตัวเลข T จะเรียกว่าคาบของฟังก์ชัน

สำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ที่กำลังพิจารณา การปฏิบัติตามเงื่อนไขจะถูกตรวจสอบโดยใช้สูตรการลดลง เห็นได้ชัดว่ารูปแบบของเอกลักษณ์ sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) สอดคล้องกับรูปแบบของนิพจน์ที่กำหนดเงื่อนไขของคาบของฟังก์ชัน ความเท่าเทียมกันแบบเดียวกันสามารถสังเกตได้จากโคไซน์ cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้มีลักษณะเป็นคาบ

มีการสังเกตเพิ่มเติมว่าคุณสมบัติของช่วงเวลาช่วยสร้างกราฟของฟังก์ชันคาบได้อย่างไร พิจารณาฟังก์ชัน y = sin x ระนาบพิกัดจะถูกสร้างขึ้นบนหน้าจอ โดยที่พิกัดตั้งแต่ -6π ถึง 8π จะมีเครื่องหมายขั้นเป็น π ส่วนหนึ่งของกราฟไซน์ถูกพล็อตบนระนาบ โดยแสดงด้วยคลื่นหนึ่งคลื่นบนส่วนนั้น รูปนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟของฟังก์ชันก่อตัวขึ้นอย่างไรในขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดโดยการขยับส่วนที่สร้างขึ้น ส่งผลให้เกิดไซนัสอยด์ที่ยาว

กราฟของฟังก์ชัน y = cos x ถูกสร้างขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของคาบของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระนาบพิกัดจะถูกสร้างขึ้นในรูปซึ่งแสดงส่วนของกราฟ มีข้อสังเกตว่าชิ้นส่วนดังกล่าวมักจะถูกสร้างขึ้นบนส่วน [-π/2;3π/2] เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชันไซน์ การสร้างกราฟโคไซน์จะดำเนินการโดยการขยับส่วน ผลจากการก่อสร้างทำให้เกิดไซนัสอยด์ยาวขึ้น

การสร้างกราฟฟังก์ชันคาบมีคุณสมบัติที่สามารถใช้ได้ ดังนั้นจึงได้รับในรูปแบบทั่วไป สังเกตว่าในการสร้างกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว สาขาของกราฟจะถูกสร้างขึ้นครั้งแรกในช่วงความยาว T จากนั้นจึงจำเป็นต้องเลื่อนสาขาที่สร้างขึ้นไปทางขวาและซ้ายโดย T, 2T, 3T ฯลฯ ในเวลาเดียวกัน มีการชี้ให้เห็นคุณลักษณะอื่นของคาบ - สำหรับจำนวนเต็ม k≠0 ตัวเลข kT คือคาบของฟังก์ชันด้วย อย่างไรก็ตาม T เรียกว่าช่วงเวลาหลักเนื่องจากเป็นช่วงที่เล็กที่สุด สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ คาบพื้นฐานคือ 2π อย่างไรก็ตาม คาบก็เท่ากับ 4π, 6π เป็นต้น

ต่อไปเสนอให้พิจารณาหาคาบหลักของฟังก์ชัน y = cos 5x วิธีแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยสมมติฐานว่า T คือคาบของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข f(x-T)= f(x)= f(x+T) ในอัตลักษณ์นี้ f(x)= cos 5x และ f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T) ในกรณีนี้ cos (5x+5T)= cos 5x ดังนั้น 5T=2πn ตอนนี้คุณสามารถหา T=2π/5 ได้ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ในโจทย์ข้อที่สอง คุณต้องหาคาบหลักของฟังก์ชัน y=sin(2x/7) สันนิษฐานว่าคาบหลักของฟังก์ชัน T สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดคือ f(x)= sin(2x/7) และหลังจากช่วง f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = บาป(2x/7 +(2/7)T) หลังจากการลดลงเราจะได้ (2/7)Т=2πn อย่างไรก็ตาม เราจำเป็นต้องค้นหาคาบหลัก ดังนั้นเราจึงหาค่าที่น้อยที่สุด (2/7)T=2π จากนั้นเราจะหา T=7π ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ในตอนท้ายของการสาธิต ผลลัพธ์ของตัวอย่างจะถูกสรุปเพื่อสร้างกฎสำหรับการกำหนดช่วงเวลาพื้นฐานของฟังก์ชัน สังเกตว่าสำหรับฟังก์ชัน y=sinkx และ y=coskx คาบหลักคือ 2π/k

บทเรียนวิดีโอ "ระยะเวลาของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x" สามารถใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมเพื่อเพิ่มประสิทธิผลของบทเรียน ขอแนะนำให้ครูที่ใช้สื่อการเรียนรู้ทางไกลใช้สื่อนี้เพื่อเพิ่มความชัดเจนในการอธิบาย สามารถแนะนำวิดีโอนี้ให้กับนักเรียนที่กำลังดิ้นรนเพื่อทำความเข้าใจหัวข้อนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การถอดรหัสข้อความ:

“คาบเวลาของฟังก์ชัน y = cos x, y = sin x”

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x จะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันดังนี้

คำจำกัดความ 1 ด้าน

2 พื้นที่ค่า

3 คู่หรือคี่

4 ความน่าเบื่อ

5 ข้อ จำกัด

6 ความต่อเนื่อง

7 ค่าสูงสุดและต่ำสุด

วันนี้เราจะศึกษาคุณสมบัติอีกประการหนึ่ง: คาบของฟังก์ชัน

คำนิยาม. ฟังก์ชัน y = f (x) โดยที่ x ϵ X (ภาษากรีกเท่ากับ ef ของ x โดยที่ x อยู่ในเซต x) เรียกว่าคาบถ้ามีจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ T โดยที่สำหรับ x ใดๆ จาก เซต X ที่ความเสมอภาคสองเท่าคงอยู่: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff จาก x ลบ te เท่ากับ ef จาก x และเท่ากับ ef จาก x บวก te) จำนวน T ที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกันสองเท่านี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน

และเนื่องจากไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด และสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) จึงเป็นที่น่าพอใจ (ไซน์ของ x ลบสอง pi เท่ากับไซน์ของ x และเท่ากับ ถึงไซน์ของ x บวกสอง ไพ ) และ

cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (โคไซน์ของ x ลบ 2 pi เท่ากับโคไซน์ของ x และเท่ากับโคไซน์ของ x บวก 2 pi) จากนั้นไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่มี คาบ 2π

ความเป็นช่วงช่วยให้คุณสร้างกราฟของฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็ว อันที่จริง ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = sin x ก็เพียงพอแล้วที่จะพล็อตคลื่นหนึ่งคลื่น (ส่วนใหญ่มักจะอยู่บนส่วน (จากศูนย์ถึงสอง pi) จากนั้นจึงเลื่อนส่วนที่สร้างขึ้นของกราฟไปตาม x - แกนไปทางขวาและซ้าย 2π จากนั้น 4π ไปเรื่อยๆ เพื่อให้ได้คลื่นไซน์

(แสดงการเลื่อนไปทางขวาและซ้ายทีละ 2π, 4π)

ในทำนองเดียวกันสำหรับกราฟของฟังก์ชัน

y = cos x แต่เราสร้างคลื่นหนึ่งคลื่นบ่อยที่สุดในเซ็กเมนต์ [; ] (จากลบ pi ส่วนสองถึงสาม pi ส่วนสอง)

ให้เราสรุปข้างต้นและสรุป: ในการสร้างกราฟของฟังก์ชันคาบด้วยระยะเวลา T คุณต้องสร้างกิ่งก้าน (หรือคลื่นหรือบางส่วน) ของกราฟก่อนในช่วงความยาว T ใด ๆ (ส่วนใหญ่มักจะเป็นเช่นนี้ เป็นช่วงเวลาที่สิ้นสุดที่จุด 0 และ T หรือ - และ (ลบ te คูณสองและ te คูณสอง) จากนั้นย้ายสาขานี้ไปตามแกน x(x) ไปทางขวาและซ้ายด้วย T, 2T, 3T เป็นต้น

แน่นอนว่า หากฟังก์ชันมีคาบเป็นช่วง T ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็ม k0 ใดๆ (ka ไม่เท่ากับศูนย์) จำนวนที่อยู่ในรูปแบบ kT (ka te) ก็ถือเป็นคาบของฟังก์ชันนี้เช่นกัน โดยปกติแล้วพวกเขาจะพยายามแยกช่วงเวลาเชิงบวกที่น้อยที่สุดซึ่งเรียกว่าช่วงเวลาหลัก

เนื่องจากคาบของฟังก์ชัน y = cos x, y = sin x เราสามารถหาค่าได้ - 4π, 4π, - 6π, 6π เป็นต้น (ลบสี่พาย, สี่พาย, ลบหกพาย, หกพาย และอื่นๆ) . แต่เลข 2π คือคาบหลักของฟังก์ชันทั้งสอง

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1. ค้นหาคาบหลักของฟังก์ชัน y = cos5x (y เท่ากับโคไซน์ของห้า x)

สารละลาย. ให้ T เป็นจุดหลักของฟังก์ชัน y = cos5x มาใส่กันเถอะ

f (x) = cos5x แล้ว f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (ผลของ x บวก te เท่ากับโคไซน์ของ 5 คูณด้วยผลรวมของ x และ te คือ เท่ากับโคไซน์ของผลรวมของห้า x และห้า te)

คอส (5x + 5T) = cos5x ดังนั้น 5T = 2πn (ห้า te เท่ากับ 2 pi en) แต่ตามเงื่อนไขคุณจะต้องค้นหาคาบหลัก ซึ่งหมายถึง 5T = 2π เราได้ T=

(คาบของฟังก์ชันนี้คือ 2 ไพหารด้วย 5)

คำตอบ: T=.

ตัวอย่าง 2. ค้นหาคาบหลักของฟังก์ชัน y = sin (y เท่ากับไซน์ของผลหารของ 2 x คูณ 7)

สารละลาย. ให้ T เป็นคาบหลักของฟังก์ชัน y = sin มาใส่กันเถอะ

f (x) = sin จากนั้น f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ผลของ x บวก te เท่ากับไซน์ของผลิตภัณฑ์ของสองในเจ็ดและผลรวมของ x และ te เท่ากับไซน์ของผลรวมของ 2 ใน 7 x และ 2 ใน 7 ใน te)

เพื่อให้ตัวเลข T เป็นจุดของฟังก์ชัน จะต้องเป็นไปตามอัตลักษณ์

บาป (x + T) = บาป ดังนั้น T= 2πn (te สองในเจ็ดเท่ากับสอง pi en) แต่ตามเงื่อนไขคุณจะต้องค้นหาคาบหลักซึ่งหมายถึง T= 2π เราได้ T=7

(คาบของฟังก์ชันนี้คือ 7 ไพ)

คำตอบ: T=7.

โดยสรุปผลลัพธ์ที่ได้จากตัวอย่าง เราสามารถสรุปได้: คาบหลักของฟังก์ชัน y = sin kx หรือ y = cos kx (y เท่ากับ sine ka x หรือ y เท่ากับโคไซน์ ka x) เท่ากับ (สอง pi หารด้วย ka)

วัตถุประสงค์: สรุปและจัดระบบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ “คาบเวลาของฟังก์ชัน”; พัฒนาทักษะในการประยุกต์คุณสมบัติของฟังก์ชันคาบ การหาคาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน การสร้างกราฟของฟังก์ชันคาบ ส่งเสริมความสนใจในการศึกษาคณิตศาสตร์ ปลูกฝังการสังเกตและความแม่นยำ

อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย การ์ดงาน สไลด์ นาฬิกา โต๊ะเครื่องประดับ องค์ประกอบของงานฝีมือพื้นบ้าน

“คณิตศาสตร์คือสิ่งที่ผู้คนใช้ในการควบคุมธรรมชาติและตนเอง”
หนึ่ง. โคลโมโกรอฟ

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. เวทีองค์กร

การตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน รายงานหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน.

เราตรวจการบ้านโดยใช้ตัวอย่างและอภิปรายประเด็นที่ยากที่สุด

ที่สาม ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้

1. งานหน้าผากในช่องปาก

ประเด็นทางทฤษฎี

1) สร้างคำจำกัดความของช่วงเวลาของฟังก์ชัน
2) ตั้งชื่อคาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=sin(x), y=cos(x)
3). คาบบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชัน y=tg(x), y=ctg(x) คือเท่าใด
4) ใช้วงกลมพิสูจน์ความถูกต้องของความสัมพันธ์:

y=บาป(x) = บาป(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

บาป(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) จะพล็อตฟังก์ชันคาบได้อย่างไร?

การออกกำลังกายในช่องปาก

1) จงพิสูจน์ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

ก) บาป (740°) = บาป (20°)
b) คอส(54º ) = คอส(-1026º)
c) บาป (-1,000°) = บาป (80°)

2. พิสูจน์ว่ามุม 540° เป็นหนึ่งในคาบของฟังก์ชัน y= cos(2x)

3. พิสูจน์ว่ามุม 360 องศา เป็นหนึ่งในคาบของฟังก์ชัน y=tg(x)

4. แปลงนิพจน์เหล่านี้เพื่อให้มุมที่รวมอยู่ในค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 90 องศา

ก) tg375º
ข)ctg530º
ค) บาป1268º
ง)คอส(-7363º)

5. คุณเจอคำว่า PERIOD, PERIODICITY ที่ไหน?

คำตอบของนักเรียน: ช่วงเวลาในดนตรีเป็นโครงสร้างที่นำเสนอความคิดทางดนตรีที่สมบูรณ์ไม่มากก็น้อย ยุคทางธรณีวิทยาเป็นส่วนหนึ่งของยุคหนึ่งและแบ่งออกเป็นยุคต่างๆ โดยมีระยะเวลาตั้งแต่ 35 ถึง 90 ล้านปี

ครึ่งชีวิตของสารกัมมันตรังสี เศษส่วนเป็นระยะ วารสารเป็นสิ่งพิมพ์ที่ปรากฏภายในกำหนดเวลาที่กำหนดอย่างเคร่งครัด ระบบคาบของเมนเดเลเยฟ

6. ตัวเลขแสดงส่วนต่างๆ ของกราฟของฟังก์ชันคาบ กำหนดระยะเวลาของฟังก์ชัน กำหนดระยะเวลาของฟังก์ชัน

คำตอบ: ต=2; ต=2; ต=4; ต=8.

7. คุณเคยพบกับการสร้างองค์ประกอบที่ซ้ำกันที่ไหนในชีวิตของคุณ?

คำตอบของนักเรียน: องค์ประกอบของเครื่องประดับ ศิลปะพื้นบ้าน

IV. การแก้ปัญหาร่วมกัน

(การแก้ปัญหาบนสไลด์)

ลองพิจารณาวิธีหนึ่งในการศึกษาฟังก์ชันสำหรับคาบ

วิธีนี้จะหลีกเลี่ยงความยุ่งยากในการพิสูจน์ว่าคาบหนึ่งมีค่าน้อยที่สุด และยังขจัดความจำเป็นในการตอบคำถามเกี่ยวกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในฟังก์ชันคาบและคาบของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกด้วย การให้เหตุผลขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของฟังก์ชันคาบและข้อเท็จจริงต่อไปนี้เท่านั้น หาก T คือคาบของฟังก์ชัน แล้ว nT(n?0) คือคาบของมัน

ปัญหาที่ 1. ค้นหาคาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน f(x)=1+3(x+q>5)

วิธีแก้ไข: สมมติว่าช่วง T ของฟังก์ชันนี้ จากนั้น f(x+T)=f(x) สำหรับทุก x € D(f) เช่น

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

ลองใส่ x=-0.25 แล้วเราจะได้

(T)=0 T=n, n € Z

เราพบว่าคาบทั้งหมดของฟังก์ชันที่เป็นปัญหา (ถ้ามี) อยู่ในจำนวนเต็ม ลองเลือกจำนวนบวกที่น้อยที่สุดจากจำนวนเหล่านี้ นี่คือ 1 มาดูกันว่าจะเป็นช่วงที่ 1 จริงหรือไม่

ฉ(x+1) =3(x+1+0.25)+1

เนื่องจาก (T+1)=(T) สำหรับ T ใดๆ ดังนั้น f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ) เช่น 1 – ช่วง ฉ. เนื่องจาก 1 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ดังนั้น T=1

ปัญหาที่ 2 จงแสดงว่าฟังก์ชัน f(x)=cos 2 (x) เป็นฟังก์ชันคาบและค้นหาคาบหลัก

ปัญหาที่ 3. ค้นหาคาบหลักของฟังก์ชัน

ฉ(x)=ซิน(1.5x)+5คอส(0.75x)

ให้เราสมมติคาบ T ของฟังก์ชัน แล้วสำหรับ x ใดๆ ความสัมพันธ์นั้นใช้ได้

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=บาป(1.5x)+5cos(0.75x)

ถ้า x=0 แล้ว

บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=บาป0+5คอส0

บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=5

ถ้า x=-T แล้ว

sin0+5cos0=บาป(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – บาป(1.5T)+5cos(0.75T)

บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=5 – บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=5

เมื่อบวกเข้าไปเราจะได้:

10คอส(0.75T)=10

2π n, n € Z

ให้เราเลือกจำนวนบวกที่น้อยที่สุดจากตัวเลข “น่าสงสัย” ทั้งหมดสำหรับคาบนั้น และตรวจสอบว่าเป็นคาบสำหรับ f หรือไม่ เบอร์นี้

f(x+)=บาป(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= บาป(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

ซึ่งหมายความว่านี่คือคาบหลักของฟังก์ชัน f

ปัญหาที่ 4 ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f(x)=sin(x) เป็นคาบหรือไม่

ให้ T เป็นคาบของฟังก์ชัน f แล้วสำหรับ x ใดๆ

บาป|x+Т|=บาป|x|

ถ้า x=0 ดังนั้น sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z

สมมติว่า. สำหรับบางคน n ตัวเลข π n คือคาบ

ฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณา π n>0 จากนั้น บาป|π n+x|=บาป|x|

นี่บอกเป็นนัยว่า n ต้องเป็นทั้งเลขคู่และเลขคี่ แต่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่ใช่แบบคาบ

ภารกิจที่ 5 ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นระยะหรือไม่

ฉ(x)=

ให้ T เป็นคาบของ f แล้ว

ดังนั้น sinT=0, Т=π n, n € Z ให้เราสมมติว่าสำหรับจำนวน n บางตัว π n คือคาบของฟังก์ชันนี้จริงๆ จากนั้นเลข 2π n จะเป็นคาบ

เนื่องจากตัวเศษเท่ากัน ตัวส่วนจึงเท่ากัน

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f ไม่ใช่คาบ

ทำงานเป็นกลุ่ม.

งานสำหรับกลุ่ม 1

งานสำหรับกลุ่ม 2

ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f เป็นคาบและค้นหาคาบพื้นฐาน (ถ้ามี)

ฉ(x)=คอส(2x)+2ซิน(2x)

งานสำหรับกลุ่ม 3

เมื่อสิ้นสุดการทำงาน กลุ่มต่างๆ จะนำเสนอแนวทางแก้ไข

วี. สรุปบทเรียน.

การสะท้อนกลับ

ครูให้การ์ดนักเรียนพร้อมภาพวาดและขอให้พวกเขาวาดส่วนหนึ่งของภาพวาดแรกตามขอบเขตที่พวกเขาคิดว่าพวกเขาเชี่ยวชาญวิธีการศึกษาฟังก์ชันเป็นระยะและในส่วนของการวาดภาพครั้งที่สอง - ตามที่พวกเขา ผลงานในบทเรียน

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน

1) ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f เป็นคาบและค้นหาคาบพื้นฐาน (ถ้ามี)

ข) ฉ(x)=x 2 -2x+4

ค) ฉ(x)=2tg(3x+5)

2). ฟังก์ชัน y=f(x) มีจุด T=2 และ f(x)=x 2 +2x สำหรับ x € [-2; 0]. ค้นหาค่าของนิพจน์ -2f(-3)-4f(3.5)

วรรณกรรม/

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นการวิเคราะห์แบบเจาะลึก

คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State เอ็ด Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.

เชเรเมเตียวา ที.จี. , ทาราโซวา อี.เอ.พีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นสำหรับเกรด 10-11

ในเดือนกรกฎาคม 2020 NASA ออกเดินทางสู่ดาวอังคาร ยานอวกาศจะส่งสื่ออิเล็กทรอนิกส์ไปยังดาวอังคารพร้อมชื่อของผู้เข้าร่วมการสำรวจทั้งหมดที่ลงทะเบียนไว้

เปิดลงทะเบียนผู้เข้าร่วมแล้ว ซื้อตั๋วไปดาวอังคารโดยใช้ลิงก์นี้

หากโพสต์นี้แก้ปัญหาของคุณได้หรือคุณเพียงแค่ชอบ ให้แชร์ลิงก์ไปยังเพื่อน ๆ ของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรืออยู่หลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax จะโหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลงน้อยลง แต่ตัวเลือกที่สองจะตรวจสอบและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณใส่โค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript บุคคลที่สาม คัดลอกโค้ดดาวน์โหลดเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองที่แสดงด้านบนลงไป และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) แค่นั้นแหละ. ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML แล้วคุณก็พร้อมที่จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

วันส่งท้ายปีเก่าอีกครั้ง... อากาศหนาวจัดและเกล็ดหิมะบนกระจกหน้าต่าง... ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันต้องเขียนอีกครั้งเกี่ยวกับ... เศษส่วน และสิ่งที่ Wolfram Alpha รู้เกี่ยวกับมัน มีบทความที่น่าสนใจในหัวข้อนี้ ซึ่งมีตัวอย่างโครงสร้างแฟร็กทัลสองมิติ เราจะดูตัวอย่างเศษส่วนสามมิติที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

เศษส่วนสามารถแสดงด้วยสายตา (อธิบาย) เป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือร่างกาย (ซึ่งหมายความว่าทั้งสองเป็นเซตในกรณีนี้คือเซตของจุด) โดยมีรายละเอียดที่มีรูปร่างเหมือนกับรูปต้นฉบับ คือเป็นโครงสร้างคล้ายตัวเอง เมื่อพิจารณารายละเอียด ซึ่งเมื่อขยายใหญ่เราจะเห็นรูปทรงเดียวกันกับเมื่อไม่มีการขยาย ในขณะที่ในกรณีของรูปทรงเรขาคณิตธรรมดา (ไม่ใช่เศษส่วน) เมื่อขยายออก เราจะเห็นรายละเอียดที่มีรูปร่างเรียบง่ายกว่ารูปร่างดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้กำลังขยายที่สูงเพียงพอ ส่วนหนึ่งของวงรีจะดูเหมือนส่วนของเส้นตรง สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นกับแฟร็กทัล: เมื่อมีการเพิ่มขึ้น เราจะเห็นรูปร่างที่ซับซ้อนเหมือนเดิมอีกครั้ง ซึ่งจะเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีกทุกครั้งที่เพิ่มขึ้น

เบอนัวต์ แมนเดลโบรต์ ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์แห่งแฟร็กทัลเขียนไว้ในบทความของเขาเรื่องแฟร็กทัลและศิลปะในนามของวิทยาศาสตร์ว่า “แฟร็กทัลเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีรายละเอียดที่ซับซ้อนพอๆ กับในรูปแบบโดยรวม นั่นคือ หากเป็นส่วนหนึ่งของแฟร็กทัล จะถูกขยายให้ใหญ่ขึ้น โดยจะปรากฏเป็นภาพรวม อย่างแน่นอน หรืออาจจะมีรูปร่างผิดปกติเล็กน้อยก็ได้”

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันแบบคาบ นั่นคือ ฟังก์ชันจะเกิดซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ จึงเพียงพอที่จะศึกษาฟังก์ชันในช่วงเวลานี้และขยายคุณสมบัติที่ค้นพบไปยังช่วงเวลาอื่นทั้งหมด

คำแนะนำ

1. หากคุณได้รับนิพจน์ดั้งเดิมซึ่งมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) และมุมภายในฟังก์ชันไม่ได้คูณด้วยตัวเลขใดๆ และตัวมันเองไม่ได้ยกขึ้น ในระดับใด - ใช้คำจำกัดความ สำหรับนิพจน์ที่มี sin, cos, sec, cosec ให้กำหนดระยะเวลาเป็น 2P อย่างหนา และหากสมการประกอบด้วย tg, ctg แล้วตามด้วย P สมมติว่า สำหรับฟังก์ชัน y=2 sinx+5 คาบจะเท่ากับ 2P

2. ถ้ามุม x ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติคูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง ดังนั้น เพื่อที่จะหาคาบของฟังก์ชันนี้ ให้หารคาบปกติด้วยตัวเลขนี้ สมมติว่าคุณได้รับฟังก์ชัน y = sin 5x คาบปกติของไซน์คือ 2P หารด้วย 5 คุณจะได้ 2P/5 นี่คือคาบที่ต้องการของนิพจน์นี้

3. หากต้องการหาคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง ให้ประมาณค่าความเท่าเทียมกันของยกกำลัง ในระดับที่เท่ากัน ให้ลดระยะเวลาปกติลงครึ่งหนึ่ง สมมติว่า หากคุณให้ฟังก์ชัน y = 3 cos^2x แล้วคาบปกติ 2P จะลดลง 2 เท่า ดังนั้นคาบจะเท่ากับ P โปรดทราบว่าฟังก์ชัน tg, ctg นั้นมีคาบเป็น P ถึงทุกๆ ระดับ.

4. หากคุณได้รับสมการที่มีผลคูณหรือผลหารของฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชัน ให้หาคาบสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดแยกจากกันก่อน หลังจากนี้ ให้หาจำนวนขั้นต่ำที่จะมีจำนวนเต็มของทั้งสองช่วง สมมติว่าฟังก์ชัน y=tgx*cos5x ถูกกำหนดไว้ สำหรับแทนเจนต์ คาบคือ P สำหรับโคไซน์ 5x คาบคือ 2P/5 จำนวนขั้นต่ำที่สามารถรองรับทั้งสองช่วงเวลานี้คือ 2P ดังนั้นช่วงเวลาที่ต้องการคือ 2P

5. หากพบว่าทำตามที่แนะนำได้ยากหรือสงสัยผลให้ลองทำตามที่กำหนดไว้ ใช้ T เป็นจุดของฟังก์ชัน ซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์ แทนนิพจน์ (x + T) แทน x ลงในสมการและแก้ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นราวกับว่า T เป็นพารามิเตอร์หรือตัวเลข ผลลัพธ์ก็คือ คุณจะค้นพบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติและสามารถหาคาบที่เล็กที่สุดได้ สมมติว่า ผลจากการผ่อนปรน ทำให้คุณได้รับบาปประจำตัว (T/2) = 0 ค่าต่ำสุดของ T ที่ทำคือ 2P นี่จะเป็นผลลัพธ์ของงาน

ฟังก์ชันคาบคือฟังก์ชันที่ทำซ้ำค่าหลังจากช่วงที่ไม่ใช่ศูนย์บางช่วง ระยะเวลาของฟังก์ชันคือตัวเลขที่เมื่อเพิ่มเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันแล้ว จะไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชัน

คุณจะต้อง

• ความรู้คณิตศาสตร์เบื้องต้นและการทบทวนขั้นพื้นฐาน

คำแนะนำ

1. ให้เราแทนคาบของฟังก์ชัน f(x) ด้วยตัวเลข K งานของเราคือค้นหาค่า K นี้ หากต้องการทำสิ่งนี้ ลองจินตนาการว่าฟังก์ชัน f(x) ใช้นิยามของฟังก์ชันคาบ เราเท่ากับ f(x+K)=f(x)

2. เราแก้สมการผลลัพธ์เกี่ยวกับ K ที่ไม่รู้จัก ราวกับว่า x เป็นค่าคงที่ จะมีหลายตัวเลือกขึ้นอยู่กับค่าของ K

3. ถ้า K>0 – นี่คือคาบของฟังก์ชันของคุณ ถ้า K=0 – แล้วฟังก์ชัน f(x) ไม่ใช่คาบ หากคำตอบของสมการ f(x+K)=f(x) เป็นไป ไม่มีค่า K ใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นฟังก์ชันดังกล่าวจึงเรียกว่า aคาบ และก็ไม่มีคาบเช่นกัน

วิดีโอในหัวข้อ

ใส่ใจ!
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นแบบคาบ และฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดที่มีดีกรีมากกว่า 2 จะเป็นแบบไม่มีคาบ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
คาบของฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันคาบ 2 ฟังก์ชันคือผลคูณสากลที่น้อยที่สุดของคาบของฟังก์ชันเหล่านี้

สมการตรีโกณมิติคือสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ที่ไม่รู้จัก (เช่น 5sinx-3cosx =7) เพื่อเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา คุณจำเป็นต้องรู้วิธีบางอย่างในการทำเช่นนี้

คำแนะนำ

1. การแก้สมการดังกล่าวประกอบด้วย 2 ขั้นตอน ขั้นตอนแรกคือการปฏิรูปสมการเพื่อให้ได้รูปแบบที่ง่ายที่สุด สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ: Sinx=a; Cosx=a ฯลฯ

2. อย่างที่สองคือคำตอบของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดที่ได้รับ มีวิธีพื้นฐานในการแก้สมการประเภทนี้: การแก้พีชคณิต วิธีนี้เป็นที่รู้จักในโรงเรียน จากหลักสูตรพีชคณิต หรือเรียกว่าวิธีการเปลี่ยนและการทดแทนตัวแปร โดยใช้สูตรการรีดิวซ์ เราจะแปลงรูป ทำการทดแทน แล้วหาราก

3. แยกตัวประกอบสมการ ขั้นแรก เราย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายและแยกตัวประกอบ

4. การลดสมการให้เป็นเนื้อเดียวกัน สมการจะเรียกว่าสมการเอกพันธ์ถ้าพจน์ทั้งหมดมีดีกรีเท่ากันและมีไซน์และโคไซน์อยู่ในมุมเดียวกัน เพื่อที่จะแก้สมการนั้น คุณควรจะ: ขั้นแรกให้โอนพจน์ทั้งหมดจากด้านขวาไปด้านซ้าย ย้ายปัจจัยสากลทั้งหมดออกจากวงเล็บ แบ่งปัจจัยและวงเล็บให้เป็นศูนย์ วงเล็บที่เท่ากันจะให้สมการเอกพันธ์ในระดับที่ต่ำกว่าซึ่งควรหารด้วย cos (หรือ sin) ไปที่ระดับสูงสุด แก้สมการพีชคณิตที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับสีแทน

5. วิธีต่อไปคือเลื่อนไปที่ครึ่งมุม สมมติว่า แก้สมการ: 3 sin x – 5 cos x = 7 มาดูครึ่งมุมกันดีกว่า: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 บาป ? (x / 2) = 7 บาป ? (x / 2) + 7 คอส ? (x/ 2) หลังจากนั้นเราลดพจน์ทั้งหมดเป็นส่วนเดียว (ควรเป็นด้านขวา) และแก้สมการ

6. การเข้ามุมเสริม เมื่อเราแทนที่ค่าจำนวนเต็ม cos(a) หรือ sin(a) เครื่องหมาย "a" เป็นมุมเสริม

7. วิธีการปฏิรูปผลิตภัณฑ์ให้เป็นผลรวม ที่นี่คุณต้องใช้สูตรที่เหมาะสม สมมุติว่าให้มา: 2 sin x · sin 3x = cos 4x x = พี / 16 + พีเค / 8

8. วิธีสุดท้ายเรียกว่าการทดแทนแบบมัลติฟังก์ชั่น เราแปลงนิพจน์และทำการเปลี่ยนแปลง โดยพูดว่า Cos(x/2)=u แล้วแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ u เมื่อซื้อผลรวม เราจะแปลงค่าเป็นค่าตรงกันข้าม

วิดีโอในหัวข้อ

หากเราพิจารณาจุดบนวงกลม แล้วจุด x, x + 2π, x + 4π เป็นต้น เกิดขึ้นพร้อมกัน ดังนั้นฟังก์ชันตรีโกณมิติบนเส้นตรงจะทำซ้ำค่าเป็นระยะๆ ถ้ารู้คาบของฟังก์ชัน ก็สามารถสร้างฟังก์ชันบนคาบนี้แล้วทำซ้ำกับฟังก์ชันอื่นได้

คำแนะนำ

1. จุดคือตัวเลข T โดยที่ f(x) = f(x+T) ในการหาระยะเวลา ให้แก้สมการที่เกี่ยวข้อง โดยแทนที่ x และ x+T เป็นอาร์กิวเมนต์ ในกรณีนี้จะใช้ช่วงเวลาที่ทราบอยู่แล้วสำหรับฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คาบคือ 2π และสำหรับฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ คาบคือ π

2. กำหนดให้ฟังก์ชัน f(x) = sin^2(10x) พิจารณานิพจน์ sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) ใช้สูตรลดระดับ: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2 จากนั้นคุณจะได้ 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) หรือ cos 20x = cos (20x+20T) เมื่อรู้ว่าคาบของโคไซน์คือ 2π, 20T = 2π ซึ่งหมายความว่า T = π/10 T คือคาบที่ถูกต้องขั้นต่ำ และฟังก์ชันจะถูกทำซ้ำหลังจาก 2T และหลัง 3T และไปในทิศทางอื่นตามแกน: -T, -2T ฯลฯ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ใช้สูตรเพื่อลดระดับของฟังก์ชัน หากคุณทราบระยะเวลาของฟังก์ชันบางฟังก์ชันแล้ว ให้ลองลดฟังก์ชันที่มีอยู่ให้เหลือฟังก์ชันที่ทราบ

การตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาความสม่ำเสมอและความคี่ช่วยสร้างกราฟของฟังก์ชันและเข้าใจธรรมชาติของพฤติกรรม สำหรับการวิจัยนี้ คุณต้องเปรียบเทียบฟังก์ชันนี้ที่เขียนขึ้นสำหรับอาร์กิวเมนต์ "x" และสำหรับอาร์กิวเมนต์ "-x"

คำแนะนำ

1. เขียนฟังก์ชันที่คุณต้องการศึกษาลงในรูปแบบ y=y(x)

2. แทนที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันด้วย "-x" แทนที่อาร์กิวเมนต์นี้เป็นนิพจน์เชิงฟังก์ชัน

3. ลดความซับซ้อนของนิพจน์

4. ดังนั้น คุณมีฟังก์ชันเดียวกันที่เขียนสำหรับอาร์กิวเมนต์ "x" และ "-x" ดูสองตัวนี้ ถ้า y(-x)=y(x) แสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันคู่ ถ้า y(-x)=-y(x) แสดงว่าเป็นไปไม่ได้ พูดเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ y (-x)=y(x) หรือ y(-x)=-y(x) จากนั้นด้วยคุณสมบัติของความเท่าเทียมกัน นี่คือฟังก์ชันของรูปแบบสากล นั่นคือไม่เป็นคู่หรือคี่

5. เขียนสิ่งที่คุณค้นพบ ตอนนี้คุณสามารถใช้มันในการสร้างกราฟของฟังก์ชันหรือในการศึกษาเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันในอนาคตได้

6. นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะพูดคุยเกี่ยวกับความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันในกรณีที่ให้กราฟของฟังก์ชันไปแล้ว สมมติว่ากราฟทำหน้าที่เป็นผลลัพธ์ของการทดลองทางกายภาพ หากกราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด แล้ว y(x) จะเป็นฟังก์ชันคู่ หากกราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนแอบซิสซา x(y) เป็นฟังก์ชันคู่ x(y) เป็นฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชัน y(x) ถ้ากราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด (0,0) แล้ว y(x) จะเป็นฟังก์ชันคี่ ฟังก์ชันผกผัน x(y) จะเป็นเลขคี่เช่นกัน

7. สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าแนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชันนั้นมีความเชื่อมโยงโดยตรงกับขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชัน หากไม่มีฟังก์ชันคู่หรือคี่ที่ x=5 ก็แสดงว่าไม่มีฟังก์ชันที่ x=-5 ซึ่งไม่สามารถพูดถึงฟังก์ชันของรูปแบบสากลได้ เมื่อสร้างความเท่าเทียมกันและคี่ ให้คำนึงถึงโดเมนของฟังก์ชัน

8. การค้นหาฟังก์ชันสำหรับความสม่ำเสมอและความคี่มีความสัมพันธ์กับการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน หากต้องการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันคู่ ก็เพียงพอที่จะดูที่ครึ่งหนึ่งของฟังก์ชัน ทางด้านขวาหรือด้านซ้ายของศูนย์ หากที่ x>0 ฟังก์ชันคู่ y(x) รับค่าจาก A ถึง B ดังนั้นก็จะรับค่าเดียวกันและที่ x0 ฟังก์ชันคี่ y(x) รับช่วงของค่าจาก A ถึง B แล้วที่ x sin^2 ? + คอส^2 ? = 1. อัตลักษณ์ตัวที่สามและสี่ได้มาโดยการหารตามลำดับด้วย b^2 และ a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/บาป^ ? หรือ 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?. อัตลักษณ์หลักที่ห้าและหกได้รับการพิสูจน์โดยการหาผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเท่ากับ 90° หรือ?/2 มุมสองและสามมุม การลดระดับ การปฏิรูปผลรวมหรือผลคูณของฟังก์ชัน ตลอดจนสูตรสำหรับการทดแทนตรีโกณมิติ ได้แก่ นิพจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานในรูปของมุมครึ่งสีแทน: sin ?= (2*tg ?/2)/ (1 + ตาล^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2)

ความจำเป็นในการค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ถือเป็นเรื่องที่น่าสนใจอย่างแท้จริงในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์ เช่น ในทางเศรษฐศาสตร์ การลดการสูญเสียให้เหลือน้อยที่สุดมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อกิจกรรมทางธุรกิจ

คำแนะนำ

1. ในการค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจำเป็นต้องพิจารณาว่าค่าใดของอาร์กิวเมนต์ x0 ที่จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน y(x0)? ย(x) ที่ไหน x? x0. ตามปกติปัญหานี้จะได้รับการแก้ไขในช่วงเวลาหนึ่งหรือในแต่ละช่วงของค่าของฟังก์ชันหากไม่มีการระบุไว้ แง่มุมหนึ่งของการแก้ปัญหาคือการหาจุดคงที่

2. จุดคงที่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้รับค่าสุดขั้ว ณ จุดใดจุดหนึ่ง (ในกรณีนี้คือค่าต่ำสุดเฉพาะที่) จุดนี้จะคงที่

3. ฟังก์ชันมักจะรับค่าต่ำสุดอย่างแม่นยำ ณ จุดนี้ แต่ไม่สามารถกำหนดได้อย่างสม่ำเสมอ ยิ่งไปกว่านั้น ไม่สามารถพูดได้อย่างแม่นยำเสมอไปว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันเท่ากับเท่าใด หรือจะใช้ค่าที่น้อยมากหรือไม่ก็ได้ จากนั้น ตามปกติ พวกเขาจะพบขีดจำกัดที่แนวโน้มจะลดลง

4. เพื่อกำหนดค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน จำเป็นต้องดำเนินการตามลำดับของการกระทำซึ่งประกอบด้วยสี่ขั้นตอน: การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน การได้รับจุดคงที่ การทบทวนค่าของฟังก์ชันที่สิ่งเหล่านี้ คะแนนและเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาให้ค้นหาค่าต่ำสุด

5. ปรากฎว่าฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลาที่มีขอบเขตที่จุด A และ B ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความและค้นหาว่าช่วงดังกล่าวเป็นส่วนย่อยหรือไม่

6. คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นศูนย์และค้นหารากของสมการ ตรวจสอบว่าจุดที่อยู่นิ่งเหล่านี้อยู่ภายในช่องว่างหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้นจะไม่นำมาพิจารณาในขั้นตอนต่อไป

7. ตรวจสอบช่องว่างสำหรับประเภทของขอบเขต: เปิด, ปิด, ประกอบหรือวัดไม่ได้ ซึ่งจะกำหนดวิธีการค้นหาค่าขั้นต่ำ สมมติว่าส่วน [A, B] เป็นช่วงปิด เสียบเข้ากับฟังก์ชันแล้วคำนวณค่า ทำเช่นเดียวกันกับจุดที่อยู่นิ่ง เลือกผลรวมต่ำสุด

8. ด้วยช่วงเวลาที่เปิดกว้างและวัดไม่ได้ สถานการณ์จึงค่อนข้างยากขึ้น ที่นี่คุณจะต้องมองหาขีดจำกัดด้านเดียวที่ไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่ชัดเจนอย่างสม่ำเสมอ สมมติว่า สำหรับช่วงที่มีขอบเขตหนึ่งปิดและมีขอบเขตหนึ่งเจาะ [A, B) เราควรจะพบฟังก์ชันที่ x = A และขีดจำกัดด้านเดียว lim y ที่ x? บี-0.