ไม่ว่าลำดับจะลดลงแบบโมโนโทนิกหรือไม่ ลำดับเลข

ลำดับความซ้ำซากจำเจ

ลำดับโมโนโทนิก- ลำดับที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ในลำดับโมโนโทนิกมี ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดลำดับที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

บางครั้งมีการใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกัน ซึ่งคำว่า "ลำดับที่เพิ่มขึ้น" ถือเป็นคำพ้องความหมายสำหรับคำว่า "ลำดับที่ไม่ลดลง" และคำว่า "ลำดับที่ลดลง" ถือเป็นคำพ้องความหมายสำหรับคำว่า "ไม่- เพิ่มขึ้นเป็นลำดับ" ในกรณีเช่นนี้ ลำดับที่เพิ่มขึ้นและลดลงจากคำจำกัดความข้างต้นเรียกว่า "การเพิ่มอย่างเข้มงวด" และ "การลดลงอย่างเข้มงวด" ตามลำดับ

ลักษณะทั่วไปบางประการ

อาจกลายเป็นว่าไม่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้นสำหรับทุกหมายเลข แต่เฉพาะสำหรับตัวเลขจากช่วงที่กำหนดเท่านั้น

(ที่นี่เป็นไปได้ที่จะกลับขอบเขตด้านขวา เอ็น+ ถึงอนันต์). ในกรณีนี้เรียกว่าลำดับ โมโนโทนิกในช่วงเวลา ฉัน และช่วง ฉันเรียกว่า ช่วงเวลาของความน่าเบื่อลำดับ

ตัวอย่าง

ดูสิ่งนี้ด้วย

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

ดูว่า "Sequence Monotonicity" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

สาขาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาสมบัติของฟังก์ชันต่างๆ ทฤษฎีของฟังก์ชันแบ่งออกเป็นสองส่วนคือทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรจริงและทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนซึ่งความแตกต่างระหว่างนั้นยิ่งใหญ่มากที่ ... ... สารานุกรมถ่านหิน

การทดสอบลำดับสุ่มหลอกเป็นชุดของวิธีการกำหนดการวัดความใกล้เคียงของลำดับสุ่มหลอกที่กำหนดกับลำดับสุ่ม การวัดดังกล่าวมักจะมีการกระจายแบบสม่ำเสมอขนาดใหญ่ ... ... Wikipedia

คำนี้มีความหมายอื่น ดูการวัด หน่วยวัดของชุดเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ ตีความโดยสัญชาตญาณว่าเป็นขนาด (ปริมาตร) ของชุด ที่จริงแล้วการวัดคือฟังก์ชันตัวเลขที่ตรงกับแต่ละ ... ... Wikipedia

นักเขียนชื่อดัง. ประเภท. ใน Orel ในปี 1871; พ่อของเขาเป็นช่างสำรวจ เขาเรียนที่โรงยิม Oryol และที่มหาวิทยาลัยเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กและมอสโกในคณะนิติศาสตร์ ฉันต้องการนักเรียนอย่างมาก จากนั้นเขาก็เขียนเรื่องแรกของเขา "เกี่ยวกับ ... ... สารานุกรมชีวประวัติขนาดใหญ่

วิธีเชิงตัวเลขสำหรับวิธีแก้ปัญหาที่แทนที่วิธีแก้ปัญหาค่าขอบเขตด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบไม่ต่อเนื่อง (ดู ปัญหาค่าขอบเขตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขและสมการไม่เชิงเส้น วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหา) ในหลายกรณี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาว่า... … สารานุกรมคณิตศาสตร์

ต้นฉบับ Voynich เขียนโดยใช้ระบบการเขียนที่ไม่รู้จัก The Voynich Manuscript (อังกฤษ Voyni ... Wikipedia

เขียนโดยใช้ระบบการเขียนที่ไม่รู้จัก ต้นฉบับ Voynich เป็นหนังสือลึกลับที่เขียนขึ้นเมื่อประมาณ 500 ปีที่แล้วโดยผู้เขียนที่ไม่รู้จัก ในภาษาที่ไม่รู้จัก โดยใช้ตัวอักษรที่ไม่รู้จัก ต้นฉบับ Voynich ... ... Wikipedia

ซิจิสมอนโดแห่งอินเดีย (ภาษาอิตาลี Sigismondo d India, ประมาณ ค.ศ. 1582, ปาแลร์โม? จนถึง 19 เมษายน ค.ศ. 1629, โมเดนา) เป็นนักแต่งเพลงชาวอิตาลี สารบัญ 1 ชีวประวัติ 2 ความคิดสร้างสรรค์ ... Wikipedia

ความทันสมัย- (Modernization) Modernization คือ กระบวนการเปลี่ยนแปลงบางสิ่งตามความต้องการของความทันสมัย, การเปลี่ยนไปสู่เงื่อนไขขั้นสูงมากขึ้น, โดยการแนะนำการปรับปรุงใหม่ๆ ต่างๆ ทฤษฎี Modernization, ประเภทของความทันสมัย, อินทรีย์ ...... สารานุกรมของนักลงทุน

หนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานซึ่งมีความหมายโดยการพัฒนาทางคณิตศาสตร์นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะทั่วไปหลายประการ I. แม้แต่ใน "องค์ประกอบ" ของ Euclid (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) คุณสมบัติของ V. ก็ถูกกำหนดขึ้นอย่างชัดเจนซึ่งตอนนี้เรียกว่าเพื่อแยกความแตกต่างจาก ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

จุดประสงค์: เพื่อให้แนวคิด คำจำกัดความของลำดับ ขอบเขต อนันต์ วิธีการระบุลำดับแบบต่างๆ ความแตกต่าง สอนวิธีนำไปใช้เมื่อแก้ตัวอย่าง

อุปกรณ์: โต๊ะ.

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้านส่วนหน้า:

1) นักเรียนบนกระดานปัญหาหมายเลข 2.636 (จากส่วนที่ II ของ "การรวบรวมงานสำหรับการสอบข้อเขียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9)

2) นักเรียน สร้างกราฟ

3) ด้านหน้ากับทั้งชั้นหมายเลข 2.334 (a)

สาม. คำอธิบายของเนื้อหาใหม่

การบรรยายในโรงเรียนเป็นรูปแบบหนึ่งของการจัดกระบวนการศึกษาที่มุ่งเน้นนักเรียนไปยังสิ่งสำคัญเมื่อศึกษาหัวข้อใดหัวข้อหนึ่ง และเกี่ยวข้องกับการสาธิตทัศนคติส่วนตัวของครูและนักเรียนต่อสื่อการศึกษาในวงกว้าง เพราะ การบรรยายบทเรียนจัดเตรียมการนำเสนอเนื้อหาจำนวนมากโดยครูจากนั้นการสื่อสารด้วยวาจาของครูและนักเรียนเป็นสิ่งสำคัญในเทคโนโลยี คำพูดของครูมีผลกระทบทางอารมณ์ สุนทรียภาพ และสร้างทัศนคติบางอย่างให้กับเรื่อง ด้วยความช่วยเหลือของการบรรยายกิจกรรมประเภทต่าง ๆ ของนักเรียนในห้องเรียนจะได้รับคำแนะนำและผ่านความรู้ทักษะและความสามารถความรู้จึงก่อตัวขึ้นเป็นพื้นฐานของกิจกรรมการศึกษา

I. เขียนตัวเลขสองหลักจากน้อยไปหามากที่ลงท้ายด้วย 3

13; 23; 33;………….93.

สำหรับหมายเลขซีเรียลแต่ละหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ให้จับคู่หมายเลขสองหลักที่ระบุ:

1->13; 2->23;………9->93.

มีการสร้างความสัมพันธ์กันระหว่างชุดของจำนวนธรรมชาติเก้าตัวแรกกับชุดของตัวเลขสองหลักที่ลงท้ายด้วยเลข 3 การติดต่อนี้เป็นฟังก์ชัน

โดเมนของคำนิยามคือ (1; 2; 3;……..9)

ชุดของค่า (13; 23; 33;…….93)

หากการติดต่อแสดงแทนด้วย f ดังนั้น

ลำดับนี้สามารถตั้งค่าได้โดยใช้พาร์

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

ข) 1; 0; 1; 0; 1; 0

ตารางที่ 1

ก)

ข)

ครั้งที่สอง

อ๊อฟ (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. ก.(1) = ;

ก.(3) =; …

ก.(60) =

ฟังก์ชันที่กำหนดให้กับเซตของจำนวนธรรมชาติเรียกว่า ลำดับอนันต์

ใน 2; สี่; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

ฉ(1); ฉ(2); ฉ(3)……..ฉ(น)

เป็นสมาชิกของลำดับ

หมายเหตุ: ควรแยกความแตกต่างระหว่างแนวคิดของเซตและแนวคิดของลำดับ

ก) (10; 20; 30; 40)

ชุดเดียวกัน.

{40; 30; 20; 10}

b) อย่างไรก็ตาม ลำดับที่ 10; 20; สามสิบ; 40

หลากหลาย:

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

สาม. พิจารณาลำดับ:

13; ห้า; 7; เก้า; สิบเอ็ด;……. -> ไม่มีที่สิ้นสุดเพิ่มขึ้น

2) 10; เก้า; 8; 7; 6. -> สุดท้ายลดลง

ก)

ลำดับเรียกว่าการเพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละตัวของลำดับนั้น เริ่มจากลำดับที่สอง มากกว่าลำดับก่อนหน้า

ข)

คำจำกัดความของลำดับที่ลดลงจะได้รับ

ลำดับที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงเรียกว่าโมโนโทนิก

1; 0; 1; 0; 1; 0. - ผันผวน;

ห้า; ห้า; ห้า; ห้า; ….. - คงที่.

IV. ลำดับสามารถแสดงได้ทางเรขาคณิต เพราะ ลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนของนิยามคือเซต N จากนั้นกราฟจึงเป็นเซตของจุดในระนาบ (x; y)

ตัวอย่าง: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

ลองวางแผนลำดับนี้กัน

รูปภาพที่ 1

ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดในแบบฟอร์มนี้

99; 74; 49; 24; -1;……………

กำลังลดลง

V. วิธีการตั้งค่าลำดับ.

เพราะ ลำดับเป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในเซต N ดังนั้นมีห้าวิธีในการระบุลำดับ:

I. ตาราง

ครั้งที่สอง วิธีการอธิบาย

สาม. เชิงวิเคราะห์

IV. กราฟฟิค

ก. กำเริบ

I. ตาราง - ไม่สะดวกมาก เราทำตารางและใช้เพื่อกำหนดว่าสมาชิกคนไหน? เขาครอบครองสถานที่ใด……..

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169

ครั้งที่สอง วิธีการอธิบาย

ตัวอย่าง: ลำดับนั้นเขียนสมาชิกแต่ละตัวด้วยหมายเลข 4 และจำนวนหลักเท่ากับหมายเลขลำดับ

สาม. วิธีการวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร)

สูตรที่แสดงสมาชิกแต่ละตัวของลำดับในรูปของจำนวน n เรียกว่าสูตรของสมาชิก n ของลำดับ

ตัวอย่างเช่น:

และนักเรียนสร้างลำดับเหล่านี้ และในทางกลับกัน: เลือกสูตรสำหรับสมาชิกของลำดับ:

ก) 1; ; ;…………..
ข) ...
ใน)
ช)
จ) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. วิธีการแบบกราฟิกยังไม่สะดวกนักโดยปกติจะไม่ใช้

ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับเสียงเดียว

ลำดับขอบเขตเสียงเดียว ( x n )มีขีดจำกัดแน่นอนเท่ากับขอบเขตบนที่แน่นอน ซัพ ( xn )สำหรับขอบเขตล่างที่ไม่ลดลงและแน่นอน inf (xn)อย่างไม่เพิ่มขึ้นเป็นลำดับ
ลำดับที่ไม่มีขอบเขตของโมโนโทนิกใดๆ มีขีดจำกัดไม่สิ้นสุดเท่ากับบวกอนันต์สำหรับลำดับที่ไม่ลดลง และลบอนันต์สำหรับลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น

การพิสูจน์

1) ลำดับขอบเขตที่ไม่ลดลง.

(1.1) .

เนื่องจากลำดับมีขอบเขต จึงมีขอบเขตบนที่แน่นอน
.
หมายความว่า:

• สำหรับ n ทั้งหมด
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
ที่นี่เราใช้ (1.3) เมื่อรวมกับ (1.2) เราจะพบ:
ที่ .
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
,
หรือ
ที่ .
ส่วนแรกของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

2) ตอนนี้ให้ลำดับเป็น ลำดับขอบเขตที่ไม่เพิ่มขึ้น:
(2.1) สำหรับ n ทั้งหมด

เนื่องจากลำดับมีขอบเขต จึงมีขอบเขตล่างที่แน่นอน
.
นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

• สำหรับ n ทั้งหมด อสมการต่อไปนี้ถือ:
  (2.2) ;
• สำหรับจำนวนบวกใด ๆ มีจำนวนขึ้นอยู่กับ ε ที่
  (2.3) .

.
ที่นี่เราใช้ (2.3) ด้วย โดยคำนึงถึง (2.2) เราพบ:
ที่ .
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
,
หรือ
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าจำนวนคือขีดจำกัดของลำดับ
ส่วนที่สองของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิจารณาลำดับที่ไม่มีขอบเขต
3) ปล่อยให้ลำดับเป็น ลำดับที่ไม่ลดลงอย่างไม่จำกัด.

เนื่องจากลำดับไม่ลดลง ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จึงคงอยู่สำหรับ n ทั้งหมด:
(3.1) .

เนื่องจากลำดับไม่ลดลงและไม่มีขอบเขต จึงไม่มีขอบเขตทางด้านขวา จากนั้นสำหรับจำนวน M ใดๆ จะมีจำนวนขึ้นอยู่กับว่า M ใด
(3.2) .

เนื่องจากลำดับไม่ลดลง เราจึงมี:
.
ที่นี่เราใช้ (3.2) ด้วย

.
ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของลำดับนั้นบวกด้วยอนันต์:
.
ส่วนที่ 3 ของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

4) สุดท้าย พิจารณากรณีเมื่อ ลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด.

ด้วยเหตุที่ลำดับนั้นไม่มีเพิ่มขึ้นแล้ว
(4.1) สำหรับ n ทั้งหมด

เนื่องจากลำดับนั้นไม่เพิ่มขึ้นและไม่มีขอบเขต มันจึงไม่มีขอบเขตทางด้านซ้าย จากนั้นสำหรับจำนวน M ใดๆ จะมีจำนวนขึ้นอยู่กับว่า M ใด
(4.2) .

เนื่องจากลำดับนั้นไม่เพิ่มขึ้น เราจึงมี:
.

ดังนั้น สำหรับจำนวน M ใดๆ จะมีจำนวนธรรมชาติที่ขึ้นอยู่กับ M เพื่อให้จำนวนทั้งหมดมีอสมการต่อไปนี้:
.
ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของลำดับคือลบอนันต์:
.
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ใช้ทฤษฎีบทไวเออร์สตราส พิสูจน์การบรรจบกันของลำดับ:
, , . . . , , . . .
แล้วค้นหาขีดจำกัดของมัน

มาแสดงลำดับในรูปแบบของสูตรที่เกิดซ้ำ:
,
.

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดนั้นล้อมรอบด้วยค่าด้านบน
(P1) .
การพิสูจน์ดำเนินการโดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
.
ปล่อย . แล้ว
.
ความไม่เท่าเทียมกัน (A1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับนั้นเพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่าย
;
(P2) .
ตั้งแต่ จากนั้น ตัวส่วนของเศษส่วนและตัวประกอบตัวแรกในตัวเศษจึงเป็นบวก เนื่องจากเงื่อนไขของลำดับถูกล้อมรอบด้วยความไม่เท่าเทียมกัน (P1) ปัจจัยที่สองจึงเป็นค่าบวกด้วย ดังนั้น
.
นั่นคือลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด

เนื่องจากลำดับเพิ่มขึ้นและมีขอบเขตจากด้านบน จึงเป็นลำดับที่มีขอบเขต ดังนั้นโดยทฤษฎีบทไวเออร์ชตราส จึงมีขีดจำกัด

ลองหาขีดจำกัดนี้กัน เรามาแทนกันโดย:
.
มาใช้อะไรกัน
.
เราใช้สิ่งนี้กับ (P2) โดยใช้คุณสมบัติเลขคณิตของลิมิตของลำดับลู่เข้า:
.
รากเป็นไปตามเงื่อนไข

ถ้าจำนวนธรรมชาติ n แต่ละจำนวนมีความสัมพันธ์กับจำนวนจริง xn เราก็ว่าอย่างนั้น ลำดับตัวเลข

x 1 , x 2 , … x n , …

ตัวเลข x 1 เรียกว่าสมาชิกของลำดับ ด้วยหมายเลข 1 หรือ สมาชิกตัวแรกของลำดับ, ตัวเลข x 2 - สมาชิกลำดับ ด้วยหมายเลข 2 หรือสมาชิกตัวที่สองของลำดับ เป็นต้น จำนวน xn ถูกเรียก สมาชิกของลำดับที่มีตัวเลขน.

มีสองวิธีในการระบุลำดับตัวเลข - การใช้และการใช้ สูตรที่เกิดซ้ำ.

ลำดับด้วย ลำดับ สูตรคำทั่วไปเป็นลำดับ

x 1 , x 2 , … x n , …

ใช้สูตรที่แสดงการพึ่งพาอาศัยกันของสมาชิก xn กับจำนวนของมัน n

ตัวอย่างที่ 1 . ลำดับตัวเลข

1, 4, 9, … น 2 , …

กำหนดโดยสูตรคำทั่วไป

x n = น 2 , น = 1, 2, 3, …

การระบุลำดับโดยใช้สูตรที่แสดงสมาชิกลำดับ xn ในแง่ของสมาชิกลำดับที่มีตัวเลขนำหน้าเรียกว่าการจัดลำดับโดยใช้ สูตรที่เกิดซ้ำ.

x 1 , x 2 , … x n , …

เรียกว่า ลำดับจากน้อยไปมาก มากกว่าสมาชิกคนก่อน.

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับทุกคน น

x น + 1 >x น

ตัวอย่างที่ 3 . ลำดับของจำนวนธรรมชาติ

1, 2, 3, … น, …

เป็น ลำดับจากน้อยไปมาก.

ความหมาย 2. ลำดับเลข

x 1 , x 2 , … x n , …

เรียกว่า ลำดับจากมากไปน้อยถ้าสมาชิกทุกตัวในลำดับนี้ เล็กลงสมาชิกคนก่อน.

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับทุกคน น= 1, 2, 3, … อสมการ

x น + 1 < x น

ตัวอย่างที่ 4 . ลำดับ

กำหนดโดยสูตร

เป็น ลำดับจากมากไปน้อย.

ตัวอย่างที่ 5 . ลำดับตัวเลข

1, - 1, 1, - 1, …

กำหนดโดยสูตร

x n = (- 1) น , น = 1, 2, 3, …

ไม่ใช่ ไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลงลำดับ.

ความหมาย 3. การเพิ่มและลดลำดับตัวเลขเรียกว่า ลำดับโมโนโทนิก.

ลำดับที่จำกัดและไม่จำกัด

ความหมาย 4. ลำดับเลข

x 1 , x 2 , … x n , …

เรียกว่า จำกัด จากด้านบนถ้ามีจำนวน M เท่ากับสมาชิกแต่ละตัวของลำดับนี้ เล็กลงเบอร์เอ็ม

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับทุกคน น= 1, 2, 3, … อสมการ

ความหมาย 5. ลำดับตัวเลข

x 1 , x 2 , … x n , …

เรียกว่า จำกัดจากด้านล่างถ้ามีจำนวน m ที่สมาชิกแต่ละตัวของลำดับนี้ มากกว่าตัวเลข ม.

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับทุกคน น= 1, 2, 3, … อสมการ

ความหมาย 6. ลำดับเลข

x 1 , x 2 , … x n , …

เรียกว่าจำกัดตะหาก มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่าง

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือมีตัวเลข M และ m สำหรับทุกคน น= 1, 2, 3, … อสมการ

ม< x n < M

ความหมาย 7. ลำดับตัวเลขที่ ไม่จำกัด, เรียกว่า ลำดับไม่จำกัด.

ตัวอย่างที่ 6 . ลำดับตัวเลข

1, 4, 9, … น 2 , …

กำหนดโดยสูตร

x n = น 2 , น = 1, 2, 3, … ,

จำกัดจากด้านล่างตัวอย่างเช่น เลข 0 อย่างไรก็ตาม ลำดับนี้ ไม่จำกัดจากด้านบน.

ตัวอย่างที่ 7 . ลำดับ

กำหนดโดยสูตร

เป็น ลำดับที่จำกัดเพราะสำหรับทุกคน น= 1, 2, 3, … อสมการ

บนเว็บไซต์ของเรา คุณยังสามารถทำความคุ้นเคยกับสื่อการเรียนรู้ที่พัฒนาโดยอาจารย์ของศูนย์ฝึกอบรม Resolventa เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State และ OGE ในวิชาคณิตศาสตร์

สำหรับน้องๆ ที่ต้องการเตรียมตัวให้ดีและสอบผ่าน ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์หรือภาษารัสเซียศูนย์ฝึกอบรม "Resolventa" ดำเนินการเพื่อให้ได้คะแนนสูง

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับนักเรียนเกรด 10 และ 11