กฎของจำนวนมากและทฤษฎีบทจำกัด กฎของตัวเลขขนาดใหญ่

หากปรากฏการณ์ความยั่งยืน ปานกลางเกิดขึ้นในความเป็นจริง แล้วในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เราศึกษาปรากฏการณ์สุ่ม จะต้องมีทฤษฎีบทที่สะท้อนถึงข้อเท็จจริงนี้
ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทนี้ เราแนะนำข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม X 1 , X 2 , …, X นู๋:

ก) ตัวแปรสุ่มแต่ละตัว Х ฉันมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เอ็ม(Х ฉัน) = เอ;

b) ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวมีขอบเขตจำกัด หรืออาจกล่าวได้ว่าความแปรปรวนมีขอบเขตจากด้านบนด้วยตัวเลขเดียวกัน เป็นต้น จาก, เช่น.

ดี(Х ฉัน) < C, i = 1, 2, …, น;

c) ตัวแปรสุ่มมีความเป็นอิสระแบบคู่ นั่นคือ ตัวใดตัวหนึ่ง X ฉันและ Xjที่ ผม¹ เจเป็นอิสระ.

เห็นได้ชัดว่า

ดี(X 1 + X 2 + … + X นู๋)=ดี(X 1) + ด(X 2) + ... + ด(X นู๋).

ให้เรากำหนดกฎของตัวเลขจำนวนมากในรูปแบบ Chebyshev

ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ:ด้วยการเพิ่มจำนวนไม่จำกัด นการทดสอบอิสระ " ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มมาบรรจบกับความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ” กล่าวคือ สำหรับแง่บวกใด ๆ ε

R(| –ก| < ε ) = 1. (4.1.1)

ความหมายของนิพจน์ "ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นเป็น" คือความน่าจะเป็นที่ จะแตกต่างกันเล็กน้อยโดยพลการจาก เอ, เข้าใกล้ 1 อย่างไม่มีกำหนดเป็นตัวเลข น.

การพิสูจน์.สำหรับจำนวนจำกัด นการทดสอบอิสระ เราใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev สำหรับตัวแปรสุ่ม = :

R(|–M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

โดยคำนึงถึงข้อ จำกัด a - b เราคำนวณ เอ็ม( ) และ ดี( ):

เอ็ม( ) = = = = = = เอ;

ดี( ) = = = = = = .

ทดแทน เอ็ม( ) และ ดี( ) เป็นความไม่เท่าเทียมกัน (4.1.2) เราได้รับ

R(| –ก| < ε )≥1 – .

หากอยู่ในความไม่เท่าเทียมกัน (4.1.2) เราถือว่าเล็กตามอำเภอใจ ε >0และ น® ¥ แล้วเราจะได้

= 1,

ซึ่งพิสูจน์ทฤษฎีบทเชบีเชฟ

ข้อสรุปในทางปฏิบัติที่สำคัญดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบทที่พิจารณา: เรามีสิทธิ์ที่จะแทนที่ค่าที่ไม่รู้จักของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ได้จากการทดลองจำนวนมากพอสมควร ในกรณีนี้ ยิ่งมีการทดลองคำนวณมากเท่าใด ก็ยิ่งมีแนวโน้ม (เชื่อถือได้) ว่าข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการแทนที่นี้ ( - อะ) จะไม่เกินค่าที่กำหนด ε .

นอกจากนี้ ปัญหาในทางปฏิบัติอื่น ๆ สามารถแก้ไขได้ เช่น ตามค่าความน่าจะเป็น (ความน่าเชื่อถือ) R=R(| – ก|< ε ) และข้อผิดพลาดสูงสุดที่อนุญาต ε กำหนดจำนวนการทดลองที่ต้องการ น; บน Rและ พีกำหนด ε; บน ε และ พีกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ | – a |< ε.

กรณีพิเศษ. ให้ที่ นการทดลองสังเกต นค่าของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์,มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม(X) และการกระจายตัว ดี(X). ค่าที่ได้รับถือเป็นตัวแปรสุ่ม X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X นู๋,. ควรเข้าใจดังนี้ ชุดของ พีทำการทดสอบซ้ำแล้วซ้ำเล่า ผลลัพธ์คือ ผมการทดสอบครั้ง ผม= ล, 2, 3, ..., พี, ในแต่ละชุดของการทดสอบหนึ่งหรือค่าอื่นของตัวแปรสุ่มจะปรากฏขึ้น Xไม่ทราบล่วงหน้า เพราะเหตุนี้, ผม-ค่าอี x ฉันตัวแปรสุ่มที่ได้รับใน ผมการทดสอบ จะเปลี่ยนแบบสุ่มหากคุณย้ายจากการทดสอบชุดหนึ่งไปอีกชุดหนึ่ง ดังนั้นทุกค่า x ฉันถือว่าสุ่มได้ เอ็กซ์ ไอ .

สมมติว่าการทดสอบเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

1. การทดสอบเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., X นู๋การทดสอบเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ

2. การทดสอบดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน - ซึ่งหมายความว่าจากมุมมองของทฤษฎีความน่าจะเป็นว่าตัวแปรสุ่มแต่ละตัว X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X นู๋มีกฎหมายว่าด้วยการกระจายแบบเดียวกับมูลค่าเดิม Xนั่นเป็นเหตุผลที่ เอ็ม(X ฉัน) =M(X)และ ดี(X ฉัน) = ดี(X), ผม = 1, 2, .... ป.

เมื่อพิจารณาจากเงื่อนไขข้างต้น เราจะได้

R(| –ก| < ε )≥1 – . (4.1.3)

ตัวอย่าง 4.1.1 Xเท่ากับ 4 จำเป็นต้องมีการทดลองอิสระกี่ครั้งเพื่อให้มีความน่าจะเป็นอย่างน้อย 0.9 สามารถคาดได้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มนี้จะแตกต่างจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์น้อยกว่า 0.5?

วิธีการแก้.ตามสภาพของปัญหา ε = 0,5; R(| – ก|< 0,5) ≥ 0.9. การใช้สูตร (4.1.3) สำหรับตัวแปรสุ่ม X, เราได้รับ

พี(|–M(X)| < ε ) ≥ 1 – .

จากความสัมพันธ์

1 – = 0,9

กำหนด

พี= = = 160.

ตอบ: จำเป็นต้องทำการทดลองอิสระ 160 ครั้ง

สมมติว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต กระจายตามปกติ เราได้รับ:

R(| – ก|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

จากที่เราใช้ตารางของฟังก์ชัน Laplace เราจะได้ ≥
≥ 1.645 หรือ ≥ 6.58 เช่น น ≥49.

ตัวอย่าง 4.1.2ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Xเท่ากับ D( X) = 5. มีการทดลองอิสระ 100 ครั้งตามที่ . แทนค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบค่า เอบุญธรรม . กำหนดจำนวนข้อผิดพลาดสูงสุดที่อนุญาตในกรณีนี้โดยมีความน่าจะเป็นอย่างน้อย 0.8

วิธีการแก้.ตามภารกิจ น= 100, R(| –ก|< ε ) ≥0.8. เราใช้สูตร (4.1.3)

R(| –ก|< ε ) ≥1 – .

จากความสัมพันธ์

1 – = 0,8

กำหนด ε :

ε 2 = = = 0,25.

เพราะเหตุนี้, ε = 0,5.

ตอบ: ค่าความผิดพลาดสูงสุด ε = 0,5.

4.2. กฎของตัวเลขจำนวนมากในรูปแบบเบอร์นูลลี

แม้ว่าแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นจะเป็นพื้นฐานของการอนุมานทางสถิติ แต่ในบางกรณี เราสามารถระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยตรงได้เพียงไม่กี่กรณีเท่านั้น บางครั้งความน่าจะเป็นนี้สามารถกำหนดได้จากการพิจารณาความสมมาตร โอกาสที่เท่าเทียมกัน ฯลฯ แต่ไม่มีวิธีสากลที่จะอนุญาตให้ระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยพลการ ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีทำให้สามารถประมาณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เราสนใจ แต่สามารถทำการทดสอบอิสระซ้ำๆ ได้ ให้ผลิต พีการทดสอบอิสระซึ่งในแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง แต่คงที่และเท่ากัน ร.

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีด้วยจำนวนการทดลองอิสระที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด พีความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ แต่มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นเป็นความน่าจะเป็น พีการเกิดเหตุการณ์ แต่,ที. อี

พี(½ - พี½≤ ε) = 1, (4.2.1)

ที่ไหน ε เป็นจำนวนบวกเล็กน้อยตามอำเภอใจ

สำหรับรอบชิงชนะเลิศ นโดยมีเงื่อนไขว่า ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev สำหรับตัวแปรสุ่มจะมีรูปแบบดังนี้

พี(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

การพิสูจน์.เราใช้ทฤษฎีบทเชบีเชฟ อนุญาต X ฉัน– จำนวนครั้งของเหตุการณ์ แต่ใน ผมการทดสอบครั้ง ผม= 1, 2, . . . , น. ปริมาณแต่ละอย่าง X ฉันรับได้เพียงสองค่าเท่านั้น:

X ฉัน= 1 (เหตุการณ์ แต่เกิดขึ้น) ด้วยความน่าจะเป็น พี,

X ฉัน= 0 (เหตุการณ์ แต่ไม่เกิดขึ้น) ด้วยความน่าจะเป็น q= 1–p.

อนุญาต Y n= . ซำ X 1 + X 2 + … + X นู๋เท่ากับจำนวน มเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ใน นการทดสอบ (0 ม น), ซึ่งหมายความว่า Y n= – ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ แต่ใน นการทดสอบ ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ X ฉันเท่ากันตามลำดับ:

เอ็ม( ) = 1∙พี + 0∙q = พี,

ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาความสม่ำเสมอที่มีอยู่ในปรากฏการณ์สุ่มจำนวนมาก เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับการออกแบบมาเพื่อทำนายผลลัพธ์ของปรากฏการณ์หรือการทดลองเฉพาะอย่างแม่นยำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ หากปรากฏการณ์นี้มีลักษณะเดียว ทฤษฎีความน่าจะเป็นก็สามารถทำนายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ได้ในช่วงกว้างมากเท่านั้น ความสม่ำเสมอปรากฏขึ้นเฉพาะกับปรากฏการณ์สุ่มจำนวนมากที่เกิดขึ้นในสภาวะที่เป็นเนื้อเดียวกันเท่านั้น

กลุ่มของทฤษฎีบทที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างลักษณะทางทฤษฎีและการทดลองของตัวแปรสุ่มและเหตุการณ์สุ่มที่มีการทดสอบจำนวนมากรวมทั้งเกี่ยวกับกฎหมายการแจกแจงขีด จำกัด ถูกรวมเข้าด้วยกันภายใต้ชื่อทั่วไป ทฤษฎีขีดจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น.

ทฤษฎีบทลิมิตมีสองประเภท: กฎของจำนวนมากและทฤษฎีบทลิมิตกลาง

กฎของตัวเลขขนาดใหญ่ซึ่งตรงบริเวณสถานที่สำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เป็นวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์และกฎของปรากฏการณ์สุ่มในระหว่างการสังเกตมวลของพวกมัน.

กฎหมายมีบทบาทสำคัญในการนำทฤษฎีความน่าจะเป็นไปประยุกต์ใช้กับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและกระบวนการทางเทคนิคที่เกี่ยวข้องกับการผลิตจำนวนมาก

กฎหมายการกระจายแบบจำกัดเป็นเรื่องของกลุ่มทฤษฎีบท ซึ่งเป็นรูปแบบเชิงปริมาณของกฎหมายจำนวนมาก เหล่านั้น. กฎของจำนวนมากคือชุดของทฤษฎีบท ซึ่งแต่ละทฤษฎีกำหนดข้อเท็จจริงที่ว่าลักษณะเฉลี่ยของการทดลองจำนวนมากนั้นใกล้เคียงกับค่าคงที่บางอย่าง กล่าวคือ สร้างความเป็นจริงของการบรรจบกันในความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มบางตัวเป็นค่าคงที่ เหล่านี้เป็นทฤษฎีบทของ Bernoulli, Poisson, Lyapunov, Markov, Chebyshev

1. เอ) ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี - กฎของตัวเลขมาก (ถูกกำหนดและพิสูจน์ก่อนหน้านี้ในหัวข้อ 3 ของ § 6 เมื่อพิจารณาถึงลิมิตอินทิกรัลทฤษฎีบทของ Moivre-Laplace)

ด้วยจำนวนการทดลองอิสระที่เป็นเนื้อเดียวกันเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ความถี่ของเหตุการณ์จะแตกต่างกันเล็กน้อยตามอำเภอใจจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดสอบที่แยกจากกัน มิฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่ส่วนเบี่ยงเบนในความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ แต่จากความน่าจะเป็นคงที่ Rพัฒนาการ แต่น้อยมากที่มีแนวโน้มที่จะ 1 สำหรับใด ๆ : .

b) ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ

ด้วยจำนวนการทดลองอิสระที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มที่มีความแปรปรวนจำกัดจะบรรจบกันในความน่าจะเป็นที่คาดหวังทางคณิตศาสตร์ มิฉะนั้น หากตัวแปรสุ่มแบบอิสระกระจายอย่างเหมือนกันพร้อมความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนที่จำกัด แล้วมันเป็นความจริง: .

ทฤษฎีบทของ Chebyshev (ทั่วไป)หากตัวแปรสุ่มในลำดับนั้นไม่ขึ้นกับคู่ และความแปรปรวนของตัวแปรนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นสำหรับค่าบวกใดๆ ε > 0 คำสั่งนั้นเป็นจริง:

หรืออะไรเหมือนกัน .

c) ทฤษฎีบทของ Markov (กฎจำนวนมหาศาลในสูตรทั่วไป)

หากความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มตามอำเภอใจในลำดับเป็นไปตามเงื่อนไข: จากนั้นสำหรับค่าบวก ε > 0 คำสั่งของทฤษฎีบท Chebyshev จะถือ: .

d) ทฤษฎีบทปัวซอง

ด้วยจำนวนการทดลองอิสระที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดภายใต้เงื่อนไขตัวแปร ความถี่ของเหตุการณ์ แต่มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความน่าจะเป็นภายใต้การทดสอบเหล่านี้

ความคิดเห็นในรูปแบบใดของกฎจำนวนมาก เราไม่เกี่ยวข้องกับกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม คำถามที่เกี่ยวข้องกับการหากฎการแจกแจงลิมิตสำหรับผลรวมเมื่อจำนวนเทอมเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดจะพิจารณาโดยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง มีการกระจายเหมือนกัน จากนั้นเราก็มาถึงทฤษฎีบทปริพันธ์ Moivre-Laplace (ส่วนที่ 3 ของ § 6) ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง

ในตอนต้นของหลักสูตร เราได้พูดไปแล้วว่ากฎทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นได้มาจากการสรุปความสม่ำเสมอทางสถิติที่แท้จริงซึ่งมีอยู่ในปรากฏการณ์สุ่มจำนวนมาก การมีอยู่ของรูปแบบเหล่านี้สัมพันธ์กันอย่างแม่นยำกับธรรมชาติของมวลของปรากฏการณ์ กล่าวคือ ด้วยการทดลองที่เป็นเนื้อเดียวกันจำนวนมากหรือด้วยเอฟเฟกต์สุ่มจำนวนมากที่สร้างตัวแปรสุ่มภายใต้กฎที่กำหนดไว้อย่างดี มนุษย์รู้จักคุณสมบัติความคงตัวของปรากฏการณ์สุ่มมวลตั้งแต่สมัยโบราณ ในทุกด้านที่มันแสดงออก แก่นแท้ของมันจะลดลงดังต่อไปนี้: ลักษณะเฉพาะของปรากฏการณ์สุ่มแต่ละรายการแทบไม่มีผลกระทบต่อผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของมวลและปรากฏการณ์ดังกล่าว การเบี่ยงเบนแบบสุ่มจากค่าเฉลี่ยที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในแต่ละปรากฏการณ์ในมวลจะถูกยกเลิกร่วมกันปรับระดับออก นี่คือความเสถียรของค่าเฉลี่ยที่เป็นเนื้อหาทางกายภาพของ "กฎของจำนวนมาก" ที่เข้าใจในความหมายกว้างของคำ: ด้วยปรากฏการณ์สุ่มจำนวนมาก ผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของพวกมันจะหยุดสุ่มและสามารถคาดเดาได้ ด้วยความมั่นใจอย่างสูง

ในความหมายที่แคบของคำว่า "กฎจำนวนมาก" ในทฤษฎีความน่าจะเป็นถูกเข้าใจว่าเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง ซึ่งในแต่ละเงื่อนไข ข้อเท็จจริงของการประมาณลักษณะเฉลี่ยของการทดลองจำนวนมาก ถึงค่าคงที่เฉพาะบางค่าที่กำหนดไว้

ใน 2.3 เราได้กำหนดทฤษฎีบทที่ง่ายที่สุดแล้ว นั่นคือทฤษฎีบทของ J. Bernoulli เธออ้างว่าด้วยการทดลองจำนวนมาก ความถี่ของเหตุการณ์ใกล้เข้ามา (อย่างแม่นยำมากขึ้น มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ บทนี้จะกล่าวถึงรูปแบบทั่วไปอื่นๆ ของกฎจำนวนมากในบทนี้ ทั้งหมดกำหนดข้อเท็จจริงและเงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าในความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มบางตัวเป็นตัวแปรคงที่และไม่สุ่ม

กฎของตัวเลขจำนวนมากมีบทบาทสำคัญในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในทางปฏิบัติ คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มภายใต้เงื่อนไขบางประการที่ปฏิบัติได้จริงเสมือนเป็นตัวแปรสุ่มช่วยให้เราดำเนินการกับปริมาณเหล่านี้ได้อย่างมั่นใจ เพื่อทำนายผลลัพธ์ของปรากฏการณ์สุ่มมวลด้วยความแน่นอนเกือบสมบูรณ์

ความเป็นไปได้ของการคาดคะเนดังกล่าวในด้านปรากฏการณ์สุ่มมวลจะขยายออกไปอีกโดยการมีอยู่ของทฤษฎีบทลิมิตอีกกลุ่มหนึ่ง ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับค่าลิมิตของตัวแปรสุ่มอีกต่อไป แต่เป็นการจำกัดกฎหมายการแจกแจง นี่คือกลุ่มของทฤษฎีบทที่เรียกว่า "ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง" เราได้กล่าวไปแล้วว่าเมื่อรวมตัวแปรสุ่มจำนวนมากเพียงพอ กฎการแจกแจงของผลรวมจะเข้าใกล้ตัวแปรปกติอย่างไม่มีกำหนด หากเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ เงื่อนไขเหล่านี้ ซึ่งสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้หลายวิธี - ในรูปแบบทั่วไปไม่มากก็น้อย - โดยพื้นฐานแล้วต้องพิจารณาถึงข้อกำหนดที่อิทธิพลต่อผลรวมของคำศัพท์แต่ละคำมีขนาดเล็กเท่ากัน กล่าวคือ ผลรวมไม่ควรรวมคำศัพท์ที่ชัดเจน เหนือกว่าชุดที่เหลือโดยมีอิทธิพลต่อการกระจายของปริมาณ รูปแบบต่างๆ ของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางต่างกันในเงื่อนไขที่กำหนดคุณสมบัติของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

รูปแบบต่างๆ ของกฎจำนวนมาก ร่วมกับรูปแบบต่างๆ ของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ก่อให้เกิดชุดของทฤษฎีบทลิมิตของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เรียกว่า ทฤษฎีบทจำกัดทำให้ไม่เพียงแต่คาดการณ์ทางวิทยาศาสตร์ในด้านปรากฏการณ์สุ่มเท่านั้น แต่ยังประเมินความถูกต้องของการพยากรณ์เหล่านี้ด้วย

ในบทนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะรูปแบบที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีบทลิมิตบางรูปแบบเท่านั้น อันดับแรก ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับกลุ่ม "กฎหมายจำนวนมาก" จะได้รับการพิจารณา จากนั้น - ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับกลุ่ม "ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง"

เป็นเรื่องปกติที่จะต้องหาปริมาณของข้อความที่ว่าในชุดการทดสอบ "ใหญ่" ความถี่ของการเกิดเหตุการณ์นั้น "ใกล้เคียง" กับความน่าจะเป็นของมัน ต้องเข้าใจความละเอียดอ่อนบางอย่างของงานนี้อย่างชัดเจน ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น สถานการณ์เป็นเช่นว่าในชุดการทดสอบที่ยาวนานโดยพลการ ค่าสูงสุดของความถี่ทั้งสองยังคงเป็นไปได้ในทางทฤษฎี

\frac(\mu)(n)=\frac(n)(n)=1และ \frac(\mu)(n)=\frac(0)(n)=0

ดังนั้น ไม่ว่าจำนวนการทดลอง n จะเป็นเท่าใด ก็ไม่สามารถยืนยันได้อย่างแน่ชัดว่า ความไม่เท่าเทียมกัน

<\frac{1}{10}

ตัวอย่างเช่น ถ้าเหตุการณ์ A ประกอบด้วยการโยนหกเมื่อโยนลูกเต๋า จากนั้น n จะโยนด้วยความน่าจะเป็น (\left(\frac(1)(6)\right)\^n>0 !}เราจะได้หกเสมอ นั่นคือ ด้วยความน่าจะเป็น (\left(\frac(1)(6)\right)\^n !}เราได้ความถี่ของการปรากฏตัวของหกเท่ากับหนึ่งและด้วยความน่าจะเป็น (\left(1-\frac(1)(6)\right)\^n>0 !}หกไม่ตกแม้แต่ครั้งเดียวเช่น ความถี่ของการปรากฏตัวของหกจะเท่ากับศูนย์

ในปัญหาดังกล่าวทั้งหมด การประมาณความใกล้เคียงระหว่างความถี่และความน่าจะเป็นที่ไม่สำคัญใด ๆ จะไม่ทำงานด้วยความแน่นอนอย่างสมบูรณ์ แต่มีเพียงความน่าจะเป็นบางอย่างที่น้อยกว่าความสามัคคี สามารถพิสูจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีของการทดลองอิสระที่มีความน่าจะเป็นคงที่ p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ ความไม่เท่าเทียมกัน

\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02

สำหรับความถี่ \frac(\mu)(n) จะถูกดำเนินการที่ n=10\,000 (และ p ใด ๆ ) ด้วยความน่าจะเป็น

ป>0,\!9999.

ที่นี่ ก่อนอื่นเราต้องการเน้นว่าในสูตรข้างต้น การประมาณการเชิงปริมาณของความใกล้ชิดของความถี่ \frac(\mu)(n) กับความน่าจะเป็น p นั้นสัมพันธ์กับการแนะนำความน่าจะเป็นใหม่ P

ความหมายที่แท้จริงของการประมาณค่า (8) มีดังต่อไปนี้: หากเราทำการทดสอบ N ชุดของการทดสอบ n และนับจำนวน M ของอนุกรมที่มีความไม่เท่าเทียมกัน (7) ดังนั้นสำหรับ N ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอจะประมาณ

\frac(M)(N)\ประมาณ P>0,\!9999

แต่ถ้าเราต้องการปรับแต่งความสัมพันธ์ (9) ทั้งในแง่ของระดับของความใกล้ชิด \frac(M)(N) กับความน่าจะเป็น P และในแง่ของความน่าเชื่อถือที่สามารถโต้แย้งได้ว่าความใกล้ชิดดังกล่าวจะเกิดขึ้น จากนั้นเราจะต้องหันไปพิจารณาที่คล้ายกับที่เราได้ทำไปแล้วด้วยความใกล้ชิดของ \frac(\mu)(n) และ p หากต้องการ การให้เหตุผลดังกล่าวสามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ค่อนข้างชัดเจนว่าสิ่งนี้จะไม่อนุญาตให้เราเป็นอิสระจากความต้องการที่จะเปลี่ยนในขั้นตอนสุดท้ายไปสู่ความน่าจะเป็นในความหมายคร่าวๆ ดั้งเดิมของเทอมนี้

ไม่ควรคิดว่าความยากลำบากดังกล่าวเป็นคุณลักษณะบางอย่างของทฤษฎีความน่าจะเป็น ในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์จริง เรามักจะสร้างแผนผังของปรากฏการณ์เหล่านั้น การเบี่ยงเบนของปรากฏการณ์จริงจากโครงร่างทางทฤษฎี ในทางกลับกัน อาจต้องอยู่ภายใต้การศึกษาทางคณิตศาสตร์ แต่สำหรับสิ่งนี้ ความเบี่ยงเบนเหล่านี้เองจะต้องอยู่ในรูปแบบที่แน่นอน และหลังนี้ควรใช้แล้วโดยไม่ต้องวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของการเบี่ยงเบนจากมัน

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าในการใช้งานจริงของการประมาณการ

P\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}>0,\!9999.

สำหรับการทดสอบ n ชุดเดียว เรายังอาศัยข้อพิจารณาบางประการเกี่ยวกับความสมมาตรด้วย: อสมการ (10) บ่งชี้ว่าสำหรับชุด N จำนวนมาก ความสัมพันธ์ (7) จะเป็นไปตามอย่างน้อย 99.99% ของกรณี เป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังด้วยความมั่นใจอย่างยิ่งว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความไม่เท่าเทียมกัน (7) จะถูกรับรู้ในการทดลอง n ชุดหนึ่งที่เราสนใจ หากเรามีเหตุผลที่จะเชื่อว่าชุดข้อมูลนี้มีตำแหน่งปกติและไม่มีเครื่องหมายในจำนวน ของซีรีส์อื่นๆ

ความน่าจะเป็นที่มักถูกละเลยในตำแหน่งต่างๆ ในทางปฏิบัตินั้นแตกต่างกัน มีการระบุไว้ข้างต้นแล้วว่าในการคำนวณเบื้องต้นของการใช้กระสุนปืนซึ่งรับประกันการปฏิบัติตามภารกิจ พวกเขาพอใจกับอัตราการบริโภคกระสุนซึ่งงานจะได้รับการแก้ไขด้วยความน่าจะเป็น 0.95 กล่าวคือ พวกเขา ละเลยความน่าจะเป็นที่ไม่เกิน 0.05 นี่คือคำอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเปลี่ยนไปสู่การคำนวณที่เกิดจากการละเลย กล่าวคือ ความน่าจะเป็นน้อยกว่า 0.01 เท่านั้น จะส่งผลให้อัตราการบริโภคกระสุนปืนเพิ่มขึ้นอย่างมาก กล่าวคือ ในเกือบทุกกรณีสรุปได้ว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะทำงานให้เสร็จสิ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ ที่มีอยู่สำหรับสิ่งนี้ หรือด้วยการจัดหากระสุนจริงที่สามารถใช้ได้

บางครั้ง แม้แต่ในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ ก็ยังจำกัดอยู่แค่วิธีการทางสถิติที่คำนวณโดยละเลยความน่าจะเป็นที่ 0.05 แต่ควรทำเฉพาะในกรณีที่การรวบรวมวัสดุจำนวนมากขึ้นเป็นเรื่องยากมาก พิจารณาปัญหาต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการดังกล่าว สมมติว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ ยาที่ใช้กันทั่วไปในการรักษาโรคจะให้ผลบวก 50% นั่นคือ ด้วยความน่าจะเป็น 0.5 มีการเสนอยาตัวใหม่และเพื่อทดสอบข้อดีของมันเหนือยาตัวเก่า มีการวางแผนที่จะใช้ยานี้ในสิบกรณี โดยคัดเลือกอย่างเป็นกลางจากผู้ป่วยในตำแหน่งเดียวกับที่พบว่ายาเก่ามีประสิทธิภาพ 50% ในเวลาเดียวกัน เป็นที่ยอมรับว่าประโยชน์ของยาตัวใหม่จะได้รับการพิสูจน์ว่าได้ผลในเชิงบวกอย่างน้อยแปดรายในสิบราย ง่ายต่อการคำนวณว่าการตัดสินใจดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการละเลยความน่าจะเป็นที่จะได้ข้อสรุปที่ผิดพลาด (กล่าวคือ ข้อสรุปว่าประโยชน์ของยาใหม่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ในขณะที่ยานั้นเทียบเท่าหรือแย่กว่ายาเก่า) ของยาเพียงตัวเดียว ลำดับที่ 0.05 อันที่จริง หากในการทดลองทั้งสิบครั้ง ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นบวกเท่ากับ p ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก 10.9 หรือ 8 ผลลัพธ์ในการทดลองสิบครั้งจะเท่ากันตามลำดับ

P_(10)=p^(10),\qquad P_9=10p^9(1-p),\qquad P_8=45p^8(1-p)^2.

สรุป สำหรับกรณี p=\frac(1)(2) เราจะได้ P=P_(10)+P_9+P_8=\frac(56)(1024)\ประมาณ0,\!05.

ดังนั้น สมมติว่ายาใหม่นั้นแท้จริงแล้วเทียบเท่ากับยาตัวเก่า เราเสี่ยงที่จะอนุมานอย่างผิดพลาดว่ายาใหม่นั้นดีกว่ายาตัวเก่าโดยมีความน่าจะเป็นประมาณ 0.05 เพื่อลดความน่าจะเป็นนี้ลงเหลือประมาณ 0.01 โดยไม่เพิ่มจำนวนการทดลอง n=10 เราจะต้องพิสูจน์ว่าประโยชน์ของยาใหม่จะได้รับการพิสูจน์ก็ต่อเมื่อการใช้ยาให้ผลในเชิงบวกอย่างน้อยเก้ากรณีในสิบ . หากข้อกำหนดนี้ดูรุนแรงเกินไปสำหรับผู้เสนอยาใหม่ จำนวนการทดลอง n จะต้องตั้งค่าให้มากกว่า 10 อย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น ที่ n=100 พบว่าประโยชน์ของยาใหม่ ยาจะได้รับการพิสูจน์เมื่อ \mu>65 ดังนั้นความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดจะเป็นเพียง P\ประมาณ0,\!0015

หากบรรทัดฐานของ 0.05 นั้นไม่เพียงพออย่างชัดเจนสำหรับการวิจัยทางวิทยาศาสตร์อย่างจริงจัง ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด 0.001 หรือ 0.003 ส่วนใหญ่จะถูกละเลยแม้แต่ในการศึกษาเชิงวิชาการและรายละเอียดเช่นการประมวลผลการสังเกตทางดาราศาสตร์ อย่างไรก็ตาม บางครั้งข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์บนพื้นฐานของการใช้กฎความน่าจะเป็นก็มีความน่าเชื่อถือมากกว่าเช่นกัน (กล่าวคือ สร้างขึ้นจากการละเลยความน่าจะเป็นที่ต่ำกว่ามาก) เพิ่มเติมจะพูดเกี่ยวกับเรื่องนี้ในภายหลัง

ในตัวอย่างที่พิจารณา เราได้ใช้กรณีพิเศษของสูตรทวินาม (6) ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

P_m=C_n^mp^m(1-p)^(n-m)

สำหรับความน่าจะเป็นที่ P_m จะได้รับผลลัพธ์ที่เป็นบวก m อย่างพอดี ในการทดลองอิสระ n ครั้ง ซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นบวกจะมีความน่าจะเป็น p ให้เราใช้สูตรนี้เพื่อพิจารณาคำถามในตอนต้นของส่วนนี้เกี่ยวกับความน่าจะเป็น

<\varepsilon\right\},

โดยที่ \mu คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นบวกจริง แน่นอน ความน่าจะเป็นนี้สามารถเขียนเป็นผลรวมของ P_m ซึ่ง m ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน

\vline\,\frac(m)(n)-p\,\vline\,<\varepsilon,

นั่นคือในรูปแบบ

P=\sum_(m=m_1)^(m_2)P_m,

โดยที่ m_1 มีค่าน้อยที่สุดในค่า m ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (12) และ m_2 คือค่าที่ใหญ่ที่สุดของค่า m ดังกล่าว

สูตร (13) สำหรับ n จำนวนมากนั้นมีประโยชน์เพียงเล็กน้อยสำหรับการคำนวณโดยตรง ดังนั้น การค้นพบโดย Moivre สำหรับกรณี p=\frac(1)(2) และโดย Laplace สำหรับ p ใดๆ ของสูตร asymptotic ซึ่งทำให้ง่ายต่อการค้นหาและศึกษาพฤติกรรมของความน่าจะเป็น P_m สำหรับ n ขนาดใหญ่ , มีความสำคัญอย่างยิ่ง. สูตรนี้ดูเหมือน

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\exp\!\left[-\frac((m-np)^2)(2np(1-p)) \ขวา].

ถ้า p ไม่ใกล้กับศูนย์หรือหนึ่งมากเกินไป แสดงว่ามีความแม่นยำเพียงพอแล้วสำหรับ n ของลำดับ 100 ถ้าเราใส่

T=\frac(m-np)(\sqrt(np(1-p))),

จากนั้นสูตร (14) จะอยู่ในรูป

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\,e^(-t^2/2).

จาก (13) และ (16) เราสามารถหาค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณ (11)

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(-T)^(T)e^(-t^2/2)\,dt=F(T),

ที่ไหน

T=\varepsilon\sqrt(\frac(n)(p(1-p)))

ความแตกต่างระหว่างส่วนซ้ายและขวาใน (17) ที่ค่าคงที่และแตกต่างจากศูนย์และความสามัคคีมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่ n\to\infty อย่างสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับ \varepsilon มีการรวบรวมตารางโดยละเอียดสำหรับฟังก์ชัน F(T) แล้ว นี่เป็นข้อความสั้นๆ ที่ตัดตอนมาจากพวกเขา

\begin(array)(c|c|c|c|c)T&1&2&3&4\\\hline F&0,\!68269&0,\!95450&0,\!99730&0,\!99993\end(array)

ที่ T\to\infty ค่าของฟังก์ชัน F(T) มีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่งเดียวกัน

ให้เราใช้สูตร (17) ในการประมาณความน่าจะเป็น

P=\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}\approx F\!\left(\frac{2}{\sqrt{p(1-p)}}\right) ที่ n=10\,000,~\varepsilon=0,\!02, เพราะ T=\frac(2)(\sqrt(p(1-p))).

เนื่องจากฟังก์ชัน F(T) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจเมื่อ T เพิ่มขึ้น สำหรับการประมาณค่า p ที่ไม่ขึ้นกับ p จากด้านล่าง เราต้องใช้ค่าที่น้อยที่สุด (สำหรับค่า p ที่แตกต่างกัน) ของ T ค่าที่น้อยที่สุดนี้จะได้รับด้วย p=\frac(1)(2) และจะเท่ากับ 4 ดังนั้น ประมาณ

P\geqslant F(4)=0,\!99993.

ความไม่เท่าเทียมกัน (19) ไม่ได้คำนึงถึงข้อผิดพลาดเนื่องจากลักษณะโดยประมาณของสูตร (17) โดยการประมาณค่าข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นี้ เราสามารถกำหนดได้ว่า P>0,\!9999 ในทุกกรณี

ในการเชื่อมต่อกับตัวอย่างที่พิจารณาของการใช้สูตร (17) ควรสังเกตว่าการประมาณค่าของระยะเวลาที่เหลือของสูตร (17) ที่ให้ไว้ในงานเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นยังคงน่าพอใจเพียงเล็กน้อยเป็นเวลานาน ดังนั้นการประยุกต์ใช้สูตร (17) และสูตรที่คล้ายกันในการคำนวณสำหรับ n ที่ไม่ใหญ่มากหรือสำหรับความน่าจะเป็น p ที่ใกล้เคียงกับ 0 หรือ 1 มาก (และความน่าจะเป็นดังกล่าวในหลาย ๆ กรณีมีความสำคัญเป็นพิเศษ) มักจะขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของ การตรวจสอบผลลัพธ์ดังกล่าว สำหรับตัวอย่างจำนวนจำกัด มากกว่าการประมาณค่าความผิดพลาดที่อาจเกิดขึ้นได้ดี การศึกษาที่มีรายละเอียดมากขึ้น ยิ่งกว่านั้น แสดงให้เห็นว่าในหลายกรณีที่สำคัญในทางปฏิบัติ สูตรเชิงซีมโทติกข้างต้นไม่เพียงต้องการการประมาณค่าของเทอมที่เหลือเท่านั้น แต่ยังต้องมีการปรับแต่งด้วย (เพราะหากไม่มีการปรับแต่งดังกล่าว ในทั้งสองทิศทาง ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ที่สุดเกิดจาก S.N. Bernshtein

ความสัมพันธ์ (11), (17) และ (18) สามารถเขียนใหม่เป็น

\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,

สำหรับ t ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ด้านขวาของสูตร (20) ซึ่งไม่มี n จะใกล้เคียงกับเอกภาพโดยพลการ กล่าวคือ มีค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับความแน่นอนทั้งหมด เราจึงเห็นว่า ตามกฎแล้ว ความเบี่ยงเบนของความถี่ \frac(\mu)(n) จากความน่าจะเป็น p อยู่ในลำดับ \frac(1)(\sqrt(n)). สัดส่วนของความถูกต้องแม่นยำของการกระทำของความสม่ำเสมอของความน่าจะเป็นกับรากที่สองของจำนวนการสังเกตนั้นเป็นเรื่องปกติสำหรับคำถามอื่นๆ เช่นกัน บางครั้งพวกเขาถึงกับพูดถึง "กฎของรากที่สองของ n" ในฐานะกฎพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น แนวคิดนี้ได้รับความกระจ่างเต็มที่จากการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ P. L. Chebyshev ในการใช้วิธีการลดปัญหาความน่าจะเป็นต่างๆ อย่างเป็นระบบในการคำนวณ "ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์" และ "ความแปรปรวน" สำหรับผลรวมและวิธีการคำนวณของ "ตัวแปรสุ่ม"

ตัวแปรสุ่มคือปริมาณที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด S สามารถรับค่าต่าง ๆ ด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอน ถือว่าเพียงพอแล้วที่เราจะพิจารณาตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าต่าง ๆ ได้จำนวนจำกัดเท่านั้น เพื่อระบุว่าพวกเขาพูดว่าอย่างไร การกระจายความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มดังกล่าว \xi ก็เพียงพอที่จะระบุค่าที่เป็นไปได้ x_1,x_2,\ldots,x_rและความน่าจะเป็น

P_r=\mathbf(P)\(\xi=x_r\).

โดยสรุป ความน่าจะเป็นเหล่านี้จากค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด \xi มีค่าเท่ากับหนึ่งเสมอ:

\sum_(r=1)^(s)P_r=1.

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มคือจำนวน \mu ของผลลัพธ์ที่เป็นบวกที่ศึกษาข้างต้นในการทดลอง n ครั้ง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ค่า \xi เรียกว่านิพจน์

M(\xi)=\sum_(r=1)^(s)P_rx_r,

เอ การกระจายตัวปริมาณ \xi หมายถึงค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง \xi-M(\xi) เช่น นิพจน์

D(\xi)=\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2.

รากที่สองของความแปรปรวน

\sigma_(\xi)=\sqrt(D(\xi))=\sqrt(\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2)

เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(ค่าจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(\xi) )

การประยุกต์ใช้ความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ง่ายที่สุดขึ้นอยู่กับค่าที่มีชื่อเสียง ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev

\mathbf(P)\(|\xi-M(\xi)|\leqslant t_(\sigma_(\xi))\)\geqslant1-\frac(1)(t^2),

มันแสดงให้เห็นว่าการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม \xi จากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน M(\xi) ซึ่งเกินค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอย่างมาก \sigma_(\xi) นั้นหาได้ยาก

ในรูปแบบผลรวมของตัวแปรสุ่ม \xi=\xi^((1))+ \xi^((2))+\cdots+\xi^((n))สำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความเสมอภาคถือเสมอ

M(\xi)=M(\xi^((1)))+M(\xi^((2)))+\cdots+M(\xi^((n))).

ความเท่าเทียมกันที่คล้ายกันสำหรับความแปรปรวน

D(\xi)=D(\xi^((1)))+D(\xi^((2)))+\cdots+D(\xi^((n))).

จริงภายใต้ข้อจำกัดบางประการเท่านั้น เพื่อให้ความเท่าเทียมกัน (23) ถูกต้อง ก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างเช่น ปริมาณ \xi^((i)) และ \xi^((j)) ที่มีตัวเลขต่างกันนั้นไม่ "สัมพันธ์" กับ ซึ่งกันและกัน นั่นคือ ที่ i\ne j

M\Bigl\((\xi^((i))-M(\xi^((i))))(\xi^((j))-M(\xi^((j))))\ Bigl\)=0

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม \xi^((i)) และ \xi^((j)) คือนิพจน์

R=\frac(M\Bigl\(\Bigl(\xi^((i))-M(\xi^((i)))\Bigl)\Bigl(\xi^((j))-M( \xi^((j)))\Bigl)\Bigl\))(\sigma_(\xi^((i)))\,\sigma_(\xi^((j)))).

ถ้า \sigma_(\xi^((i)))>0ใน \sigma_(\xi^((j)))>0ดังนั้นเงื่อนไข (24) จะเท่ากับ R=0

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ R กำหนดระดับของการพึ่งพาระหว่างตัวแปรสุ่ม Always |R|\leqslant1 เสมอ และ R=\pm1 เฉพาะเมื่อมีการเชื่อมต่อเชิงเส้น

\eta=a\xi+b\quad(a\ne0).

สำหรับค่าอิสระ R=0 .

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความเท่าเทียมกัน (24) เป็นที่พอใจหากปริมาณ \xi^((i)) และ \xi^((j)) เป็นอิสระจากกัน ดังนั้น ความเสมอภาค (23) จึงใช้กับเงื่อนไขที่เป็นอิสระร่วมกันเสมอ สำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต

\zeta=\frac(1)(n)\Bigl(\xi^((1))+\xi^((2))+\cdots+\xi^((n))\Bigl)จาก (23) ดังต่อไปนี้

D(\zeta_=\frac(1)(n^2)\Bigl(D(\xi^((1)))+ D(\xi^((2)))+\cdots+ D(\xi^( (n)))\Bigl).

ให้เราสมมติว่าสำหรับเงื่อนไขทั้งหมด ความแปรปรวนไม่เกินค่าคงที่บางค่า

D(\xi^((i)))\leqslant C^2.จากนั้นภายใน (25) D(\zeta)\leqslant\frac(C^2)(n),

และเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev สำหรับ t . ใด ๆ

\mathbf(P)\!\left\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant\frac(tC)(\sqrt(n))\right\)\geqslant1-\frac(1)(t^ 2)

ความไม่เท่าเทียมกัน (26) มีสิ่งที่เรียกว่ากฎจำนวนมากในรูปแบบที่กำหนดโดย Chebyshev: ถ้าปริมาณ \xi^((i)) มีความเป็นอิสระซึ่งกันและกันและมีความแปรปรวนจำกัด เมื่อ n เพิ่มขึ้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกมัน \zeta , เบี่ยงเบนจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด M(\zeta)

แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขากล่าวว่า ลำดับของตัวแปรสุ่ม

\xi^((1)),\,\xi^((2)),\,\ldots\,\xi^((n)),\,\ldots

ปฏิบัติตามกฎของตัวเลขจำนวนมาก ถ้าสำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่สอดคล้องกัน \zeta และค่าคงที่ \varepsilon>0 ใดๆ

\mathbf(P)\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant \varepsilon\)\to1\quad (n\to\infty)

เพื่อให้ได้ความสัมพันธ์จำกัด (27) จากความไม่เท่าเทียมกัน (26) ก็เพียงพอที่จะตั้งค่า

T=\varepsilon\cdot\frac(\sqrt(n))(C).

การศึกษาจำนวนมากโดย A.A. มาร์โคว่า S.N. เบิร์นสไตน์, A.Ya. Khinchin และคนอื่น ๆ ทุ่มเทให้กับคำถามเกี่ยวกับการขยายขอบเขตที่เป็นไปได้สำหรับการบังคับใช้ของความสัมพันธ์ที่ จำกัด (27) นั่นคือเงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้กฎหมายจำนวนมาก การศึกษาเหล่านี้มีความสำคัญขั้นพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม สิ่งที่สำคัญกว่านั้นคือการศึกษาการแจกแจงความน่าจะเป็นส่วนเบี่ยงเบนอย่างแม่นยำ \zeta-M(\zeta)

ข้อดีที่ยิ่งใหญ่ของโรงเรียนคลาสสิกของรัสเซียในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการก่อตั้งความจริงที่ว่าภายใต้เงื่อนไขที่กว้างมากความเท่าเทียมกัน

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sigma_(\zeta)<\zeta-M(\zeta)

Chebyshev ให้การพิสูจน์เกือบสมบูรณ์ของสูตรนี้สำหรับกรณีของเงื่อนไขอิสระและขอบเขต Markov เติมลิงก์ที่ขาดหายไปในการให้เหตุผลของ Chebyshev และขยายเงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้สูตร (28) Lyapunov ให้เงื่อนไขทั่วไปมากขึ้น S. N. Bernshtein ได้ศึกษาคำถามเกี่ยวกับการขยายสูตร (28) เป็นผลรวมของเงื่อนไขที่ขึ้นต่อกันด้วยความครบถ้วนสมบูรณ์พิเศษ

สูตร (28) ครอบคลุมปัญหาเฉพาะจำนวนมากซึ่งเป็นเวลานานเรียกว่าทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางของทฤษฎีความน่าจะเป็น แม้ว่าด้วยการพัฒนาล่าสุดของทฤษฎีความน่าจะเป็น มันกลับกลายเป็นว่ารวมอยู่ในกฎหมายทั่วไปจำนวนหนึ่ง ความสำคัญของมันไม่สามารถประเมินค่าสูงไปได้แม้กระทั่งในปัจจุบัน

เวลา.

หากเงื่อนไขเป็นอิสระและความแปรปรวนเท่ากันและเท่ากัน: D(\xi^((i)))=\sigma^2,แล้วสะดวกสำหรับสูตร (28) โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ (25) เพื่อให้แบบฟอร์ม

\mathbf(P)\!\left\(\frac(t_1\sigma)(\sqrt(n))<\zeta-M(\zeta)<\frac{t_2\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{t_1}^{t_2}e^{-t^2/2}\,dt\,.

ให้เราแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ (29) มีวิธีแก้ปัญหาความเบี่ยงเบนของความถี่ \frac(\mu)(n) จากความน่าจะเป็น p ซึ่งเราจัดการก่อนหน้านี้ ในการทำเช่นนี้ เราแนะนำตัวแปรสุ่ม \xi^((i)) กำหนดตัวแปรเหล่านี้โดยเงื่อนไขต่อไปนี้:

\xi^((i))=0 ถ้าการทดลองครั้งที่ i -th มีผลลบ

\xi^((i))=1 ถ้าการทดลองครั้งที่ i -th มีผลในเชิงบวก

มันง่ายที่จะตรวจสอบแล้วว่า

และสูตร (29) ให้

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sqrt(\frac(p(1-p))(n))<\frac{\mu}{n}-p
ซึ่งสำหรับ t_1=-t,~t_2=t จะนำไปสู่สูตร (20) อีกครั้ง
ดูทฤษฎีขีดจำกัดในทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วย Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งานการควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!

เลมมา เชบีเชฟ. ถ้าตัวแปรสุ่ม Xซึ่งมีการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ เอ็ม[x] รับได้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ จากนั้นสำหรับจำนวนบวกใดๆ เราจะมีความไม่เท่ากัน

ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshevถ้า Xเป็นตัวแปรสุ่มที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม[x] และการกระจายตัว ดี[x] ดังนั้นสำหรับ e บวกใดๆ เราก็มีความไม่เท่าเทียมกัน

. (2)

ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ(กฎของตัวเลขมาก) อนุญาต X 1 , X 2 , …, x น,… - ลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน มและความแปรปรวนจำกัดด้วยค่าคงที่เดียวกัน กับ

. (3)

การพิสูจน์ทฤษฎีบทอยู่บนพื้นฐานของความไม่เท่าเทียมกัน

, (4)

ตามมาจากความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev จากทฤษฎีบท Chebyshev เป็นผลพลอยได้

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีปล่อยให้มันผลิต นการทดลองอิสระ โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น Rเหตุการณ์บางอย่างอาจเกิดขึ้น แต่, ปล่อยมันไป วีนเป็นตัวแปรสุ่มเท่ากับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ในสิ่งเหล่านี้ นการทดลอง จากนั้นสำหรับ e > 0 เรามีความเท่าเทียมกัน

. (5)

โปรดทราบว่าความไม่เท่าเทียมกัน (4) ที่ใช้กับเงื่อนไขของทฤษฎีบทเบอร์นูลลีให้:

. (6)

ทฤษฎีบทของ Chebyshev สามารถกำหนดได้ในรูปแบบที่ค่อนข้างทั่วไป:

ทฤษฎีบททั่วไปของเชบีเชฟอนุญาต x 1, x2, …, x น,… - ลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระพร้อมความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม[x 1 ] = ม. 1 , ม[x2] = ม.2 ,…และการกระจายถูกจำกัดด้วยค่าคงที่เดียวกัน กับ. จากนั้นสำหรับจำนวนบวก e เรามีความเท่าเทียมกัน

. (7)

ให้ x เป็นจำนวนครั้งที่เกิด 6 แต้มในการโยน 3600 ครั้ง แล้วเอ็ม[ x] = 3600 = 600 ตอนนี้ให้เราใช้ความไม่เท่าเทียมกัน (1) สำหรับ a = 900: .

เราใช้ความไม่เท่าเทียมกัน (6) สำหรับ n = 10000, p = , q = แล้ว

ตัวอย่าง.

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ในแต่ละการทดลองอิสระ 1,000 ครั้งคือ 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จำนวนของเหตุการณ์ A ในการทดลอง 1,000 ครั้งนี้จะเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในค่าสัมบูรณ์โดยน้อยกว่า 50

ให้ x เป็นจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดสอบ 1,000 รายการที่ระบุ แล้วเอ็ม[ x] = 1,000 × 0.8 = 800 และ D[ x] = 1000 × 0.8 × 0.2 = 160 ตอนนี้อสมการ (2) ให้:

ตัวอย่าง.

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มอิสระ 1,000 ตัว x k (k = 1, 2,..., 1000) คือ 4 ประมาณความน่าจะเป็นที่ค่าเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรเหล่านี้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในค่าสัมบูรณ์ จะไม่เกิน 0.1

ตามความไม่เท่าเทียมกัน (4) สำหรับ c = 4 และ e = 0.1 เรามี