กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ "ตัวแปรสุ่ม"

งาน 1 . หวยจะออก 100 ใบ เล่นหนึ่งชนะ 50 USD และชนะรางวัลละ 10 เหรียญ ค้นหากฎการกระจายของมูลค่า X - ต้นทุนของกำไรที่เป็นไปได้

วิธีการแก้. ค่าที่เป็นไปได้ของ X: x 1 = 0; x 2 = 10 และ x 3 = 50. เนื่องจากมีตั๋วว่าง 89 ใบ ดังนั้น p 1 = 0.89 ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 10 c.u. (10 ใบ) – p 2 = 0.10 และสำหรับการชนะ 50 c.u. –p 3 = 0.01. ทางนี้:

	0,89	0,10	0,01

ง่ายต่อการควบคุม: .

งาน 2. ความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อทำความคุ้นเคยกับการโฆษณาผลิตภัณฑ์ล่วงหน้าคือ 0.6 (p = 0.6) การควบคุมคุณภาพโฆษณาแบบคัดเลือกจะดำเนินการโดยการสำรวจผู้ซื้อก่อนคนแรกที่ศึกษาโฆษณาล่วงหน้า จัดทำชุดการกระจายจำนวนผู้ซื้อที่สัมภาษณ์

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไขของปัญหา p = 0.6 จาก: q=1 -p = 0.4. แทนค่าเหล่านี้ เราได้รับ:และสร้างชุดการแจกจ่าย:

ปี่		0,24

งาน 3. คอมพิวเตอร์ประกอบด้วยองค์ประกอบการทำงานอิสระสามส่วน: หน่วยระบบ จอภาพ และแป้นพิมพ์ ด้วยแรงดันไฟฟ้าที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเพียงครั้งเดียว ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบคือ 0.1 ตามการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี ให้ร่างกฎหมายว่าด้วยจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวระหว่างไฟกระชากในเครือข่าย

วิธีการแก้. พิจารณา การกระจายเบอร์นูลลี(หรือทวินาม): ความน่าจะเป็นที่ในน การทดสอบเหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้นอย่างแน่นอน k ครั้งหนึ่ง: , หรือ:

	q น					พี น

ที่ กลับมาที่ภารกิจกันเถอะ

ค่าที่เป็นไปได้ของ X (จำนวนความล้มเหลว):

x 0 =0 - ไม่มีองค์ประกอบใดล้มเหลว

x 1 =1 - ความล้มเหลวขององค์ประกอบเดียว

x 2 =2 - ความล้มเหลวของสององค์ประกอบ

x 3 =3 - ความล้มเหลวขององค์ประกอบทั้งหมด

เนื่องจากตามเงื่อนไข p = 0.1 จากนั้น q = 1 – p = 0.9 โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี จะได้

, ,

, .

ควบคุม: .

ดังนั้น กฎหมายการจำหน่ายที่ต้องการ:

	0,729	0,243	0,027	0,001

งาน 4. ผลิต 5,000 รอบ ความน่าจะเป็นที่ตลับหมึกหนึ่งตลับชำรุด . ความน่าจะเป็นที่จะมีตลับหมึกที่ชำรุดทั้งหมด 3 ตลับในชุดทั้งหมดเป็นเท่าใด

วิธีการแก้. ใช้ได้ การกระจายปัวซอง: การแจกแจงนี้ใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อให้ค่ามาก

จำนวนการทดลอง (mass trials) โดยแต่ละครั้งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A นั้นน้อยมาก เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้ง: , ที่ไหน .

ที่นี่ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3 เราพบ จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ: .

งาน 5. เมื่อยิงก่อนนัดแรกมีโอกาสโดน p = 0.6 สำหรับการยิงหนึ่งครั้ง คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่การยิงนัดที่สาม

วิธีการแก้. ให้เราใช้การแจกแจงทางเรขาคณิต: ให้ทำการทดลองอิสระ ซึ่งแต่ละเหตุการณ์ A มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น p (และการไม่เกิดขึ้น q = 1 - p) การทดลองใช้จะสิ้นสุดลงทันทีที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น

ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดสอบครั้งที่ k ถูกกำหนดโดยสูตร: ที่นี่ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3 ดังนั้น .

งาน 6. ให้กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X กำหนด:

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

วิธีการแก้. .

โปรดทราบว่าความหมายความน่าจะเป็นของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

งาน7. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ด้วยกฎการแจกแจงต่อไปนี้:

วิธีการแก้. ที่นี่ .

กฎการกระจายกำลังสองของ X 2 :

X 2

ความแปรปรวนที่ต้องการ: .

การกระจายตัวกำหนดลักษณะของระดับความเบี่ยงเบน (การกระเจิง) ของตัวแปรสุ่มจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

งาน 8. ให้ตัวแปรสุ่มได้รับจากการแจกแจง:

			10m

หาลักษณะเชิงตัวเลขของมัน

สารละลาย: m, m 2 ,

เอ็ม 2 , ม.

เกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม X ใครๆ ก็พูดได้ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ 6.4 ม. โดยมีค่าความแปรปรวน 13.04 ม. 2 , หรือ - ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของมันคือ 6.4 ม. โดยมีค่าเบี่ยงเบน ม. สูตรที่สองนั้นชัดเจนกว่า

งาน 9. ค่าสุ่ม X กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย:
.

ค้นหาความน่าจะเป็นที่จากการทดสอบ ค่า X จะใช้ค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลา .

วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่ X จะใช้ค่าจากช่วงเวลาที่กำหนดนั้นเท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันอินทิกรัลในช่วงเวลานี้ กล่าวคือ . ในกรณีของเรา และ ดังนั้น

.

งาน 10. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X กำหนดโดยกฎหมายการจัดจำหน่าย:

ค้นหาฟังก์ชันการกระจาย F(x .) ) และสร้างกราฟ

วิธีการแก้. เนื่องจากฟังก์ชันการกระจาย

สำหรับ , แล้ว

ที่ ;

ที่ ;

ที่ ;

ที่ ;

แผนภูมิที่เกี่ยวข้อง:

ภารกิจที่ 11ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง: .

หาความน่าจะเป็นที่จะตี X ถึงช่วง

วิธีการแก้. โปรดทราบว่านี่เป็นกรณีพิเศษของกฎหมายการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ลองใช้สูตร: .

งาน 12. ค้นหาคุณสมบัติเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่กำหนดโดยกฎหมายการแจกแจง:

	–5
	X2 : x2 . , ที่ไหน คือฟังก์ชันลาปลาซ ค่าของฟังก์ชันนี้พบได้โดยใช้ตาราง ในกรณีของเรา: . ตามตารางเราพบว่า: ดังนั้น:

X; ความหมาย F(5); ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม Xจะเอาค่าจากช่วง สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย

1. ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นที่รู้จัก X:

ระบุกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม Xในรูปแบบของตาราง

1. จากกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X:

X	–28	–20	–12	–4
พี	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. ความน่าจะเป็นที่ร้านค้ามีใบรับรองคุณภาพสำหรับผลิตภัณฑ์ทั้งหมดคือ 0.7 คณะกรรมการตรวจสอบความพร้อมของใบรับรองในร้านค้าสี่แห่งในเขต จัดทำกฎหมายการจัดจำหน่าย คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนร้านค้าที่ไม่พบใบรับรองคุณภาพระหว่างการตรวจสอบ

1. เพื่อกำหนดเวลาการเผาไหม้เฉลี่ยของหลอดไฟฟ้าในชุดละ 350 กล่องที่เหมือนกัน หลอดไฟไฟฟ้าหนึ่งหลอดจากแต่ละกล่องถูกนำไปทดสอบ ประมาณจากค่าความน่าจะเป็นด้านล่างที่เวลาการเผาไหม้เฉลี่ยของหลอดไฟฟ้าที่เลือกแตกต่างจากเวลาการเผาไหม้เฉลี่ยของทั้งชุดโดยค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 7 ชั่วโมงหากทราบว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาการเผาไหม้ของหลอดไฟฟ้า ในแต่ละกล่องน้อยกว่า 9 ชั่วโมง

1. ที่การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น 0.002 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในการเชื่อมต่อ 500 จะมี:

ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X. พล็อตฟังก์ชั่นและ. คำนวณค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม X.

1. เครื่องทำลูกกลิ้งอัตโนมัติ เชื่อกันว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย 10 มม. อะไรคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหากด้วยความน่าจะเป็น 0.99 เส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ในช่วงตั้งแต่ 9.7 มม. ถึง 10.3 มม.

ตัวอย่าง A: 6 9 7 6 4 4

ตัวอย่าง ข: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

ตัวเลือกที่ 17

1. ในบรรดา 35 ส่วน 7 นั้นไม่ได้มาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกสองส่วนเป็นมาตรฐาน

1. โยนลูกเต๋าสามลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มบนใบหน้าที่หล่นลงมาเป็นทวีคูณของ 9

1. คำว่า "การผจญภัย" ประกอบด้วยการ์ดแต่ละใบมีตัวอักษรหนึ่งตัวเขียนอยู่ ไพ่จะถูกสับและนำออกทีละใบโดยไม่ต้องคืน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรถูกดึงออกมาโดยเรียงจากลักษณะที่ปรากฏเป็นคำ: ก) การผจญภัย; ข) จับภาพ

1. โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 6 ลูกและสีขาว 5 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
1. 2 ลูกสีขาว;
2. น้อยกว่า 2 ลูกสีขาว
3. อย่างน้อยหนึ่งลูกสีดำ

1. แต่ในการทดสอบครั้งเดียวคือ 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้:
1. เหตุการณ์ แต่จะปรากฏ 3 ครั้งในชุดการทดลองอิสระ 7 ครั้ง;
2. เหตุการณ์ แต่จะปรากฏอย่างน้อย 220 และไม่เกิน 235 ครั้งในชุด 400 ความท้าทาย

1. โรงงานส่งสินค้าคุณภาพสูง 5,000 รายการไปที่ฐาน ความน่าจะเป็นของความเสียหายต่อผลิตภัณฑ์แต่ละรายการระหว่างการขนส่งคือ 0.002 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ไม่เกิน 3 ชิ้นจะเสียหายระหว่างทาง

1. โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 9 ลูก และโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีดำ 3 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากโกศแรก และ 4 จากโกศที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้งหมดมีสีเดียวกัน

1. จากกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X:

คำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของมัน

1. ในกล่องมีดินสอ 10 แท่ง สุ่มจับดินสอ 4 แท่ง ค่าสุ่ม Xคือจำนวนดินสอสีน้ำเงินที่เลือก ค้นหากฎของการแจกแจง ช่วงเวลาเริ่มต้นและศูนย์กลางของคำสั่งที่ 2 และ 3

1. ฝ่ายควบคุมทางเทคนิคตรวจสอบผลิตภัณฑ์ 475 รายการเพื่อหาข้อบกพร่อง ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์มีข้อบกพร่องคือ 0.05 ค้นหาด้วยความน่าจะเป็น 0.95 ขอบเขตที่จะมีจำนวนของสินค้าที่ชำรุดจากการทดสอบ

1. ที่การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น 0.003 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในการเชื่อมต่อ 1,000 ครั้งจะมี:
1. อย่างน้อย 4 การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้อง
2. การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องมากกว่าสองครั้ง

1. ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจง:

ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X. พล็อตฟังก์ชั่นและ. คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม X

1. ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย:

1. ตามตัวอย่าง แต่แก้งานต่อไปนี้:
1. สร้างชุดตัวแปร

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ความแปรปรวนตัวอย่าง

โหมดและค่ามัธยฐาน

ตัวอย่าง A: 0 0 2 2 1 4

1. คำนวณลักษณะเชิงตัวเลขของอนุกรมรูปแบบแปรผัน:

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ความแปรปรวนตัวอย่าง

· ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน;

โหมดและค่ามัธยฐาน

ตัวอย่าง ข: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

ตัวเลือกที่ 18

1. ในบรรดาตั๋วลอตเตอรี 10 ใบมีผู้ถูกรางวัล 2 ใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่หนึ่งในห้าตั๋วที่สุ่มออกมาจะเป็นผู้ชนะ

1. โยนลูกเต๋าสามลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนสะสมมากกว่า 15

1. คำว่า "PERIMETER" ประกอบด้วยไพ่แต่ละใบมีตัวอักษรเขียนอยู่หนึ่งตัว ไพ่จะถูกสับและนำออกทีละใบโดยไม่ต้องคืน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรถูกดึงออกมาเป็นคำ: ก) ปริมณฑล; ข) เมตร

1. โกศประกอบด้วย 5 ลูกสีดำและ 7 ลูกสีขาว สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:
1. 4 ลูกสีขาว
2. น้อยกว่า 2 ลูกสีขาว
3. อย่างน้อยหนึ่งลูกสีดำ

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ในการทดสอบหนึ่งครั้งคือ 0.55 ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้:
1. เหตุการณ์ แต่จะปรากฏ 3 ครั้งในชุดของ 5 ความท้าทาย;
2. เหตุการณ์ แต่จะปรากฏอย่างน้อย 130 และไม่เกิน 200 ครั้งในชุด 300 ความท้าทาย

1. ความน่าจะเป็นของการรั่วไหลในอาหารกระป๋องคือ 0.0005 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ขวดโหลสองใน 2000 ขวดจะรั่ว

1. โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 8 ลูก และโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีดำ 4 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกจากโกศแรก และ 3 ลูกสุ่มดึงจากโกศที่สอง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งหมดที่สุ่มออกมามีสีเดียวกัน

1. ในบรรดาชิ้นส่วนที่มาถึงการประกอบตั้งแต่เครื่องแรก 0.1% มีข้อบกพร่องตั้งแต่ชิ้นที่สอง - 0.2% จากเครื่องที่สาม - 0.25% จากเครื่องที่สี่ - 0.5% ผลผลิตของเครื่องจักรมีความเกี่ยวข้องกันเป็น 4:3:2:1 ส่วนที่สุ่มกลายเป็นมาตรฐาน หาความน่าจะเป็นที่ไอเท็มถูกสร้างขึ้นในเครื่องแรก

1. จากกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X:

คำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของมัน

1. ช่างไฟฟ้ามีหลอดไฟสามหลอดซึ่งแต่ละหลอดมีข้อบกพร่องโดยมีความน่าจะเป็น 0.1 .. หลอดไฟถูกขันเข้ากับซ็อกเก็ตและเปิดกระแสไฟ เมื่อเปิดกระแสไฟ หลอดไฟที่ชำรุดจะไหม้ทันทีและถูกแทนที่ด้วยหลอดไฟอื่น ค้นหากฎการกระจาย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และความแปรปรวนของจำนวนหลอดไฟที่ทดสอบ

1. ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายคือ 0.3 สำหรับการยิงอิสระแต่ละนัด 900 ครั้ง ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ประมาณความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะถูกโจมตีอย่างน้อย 240 ครั้งและสูงสุด 300 ครั้ง

1. ที่การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น 0.002 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในการเชื่อมต่อ 800 ครั้งจะมี:
1. การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องอย่างน้อยสามครั้ง
2. การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องมากกว่าสี่ครั้ง

1. ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจง:

ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X. สร้างกราฟของฟังก์ชันและ คำนวณค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์

1. ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย:

1. ตามตัวอย่าง แต่แก้งานต่อไปนี้:
1. สร้างชุดตัวแปร
2. คำนวณความถี่สัมพัทธ์และสะสม
3. เขียนฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์และสร้างกราฟ
4. คำนวณลักษณะเชิงตัวเลขของอนุกรมรูปแบบแปรผัน:

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ความแปรปรวนตัวอย่าง

· ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน;

โหมดและค่ามัธยฐาน

ตัวอย่าง A: 4 7 6 3 3 4

1. สำหรับตัวอย่าง B ให้แก้ไขปัญหาต่อไปนี้:
1. สร้างชุดรูปแบบที่จัดกลุ่ม
2. สร้างฮิสโตแกรมและรูปหลายเหลี่ยมของความถี่
3. คำนวณลักษณะเชิงตัวเลขของอนุกรมรูปแบบแปรผัน:

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ความแปรปรวนตัวอย่าง

· ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน;

โหมดและค่ามัธยฐาน

ตัวอย่าง B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

ตัวเลือกที่ 19

1. ผู้หญิง 16 คนและผู้ชาย 5 คนทำงานที่ไซต์ สุ่ม 3 คนตามจำนวนบุคลากร หาความน่าจะเป็นที่ผู้ถูกเลือกทั้งหมดเป็นผู้ชาย

2. โยนเหรียญสี่เหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีเพียงสองเหรียญเท่านั้นที่จะมีเสื้อคลุมแขน

3. คำว่า "จิตวิทยา" ประกอบด้วยการ์ดแต่ละใบมีตัวอักษรหนึ่งตัวเขียนอยู่ ไพ่จะถูกสับและนำออกทีละใบโดยไม่ต้องคืน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรถูกดึงออกมาเป็นคำ: ก) จิตวิทยา; ข) เจ้าหน้าที่

4. โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 6 ลูกและสีขาว 7 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี:

ก. 3 ลูกสีขาว;

ข. น้อยกว่า 3 ลูกสีขาว;

ค. อย่างน้อยหนึ่งลูกสีขาว

5. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ในการทดสอบหนึ่งครั้งคือ 0.5 ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้:

ก. เหตุการณ์ แต่จะปรากฏ 3 ครั้งในชุดทดลองอิสระ 5 ชุด;

ข. เหตุการณ์ แต่จะปรากฏอย่างน้อย 30 และไม่เกิน 40 ครั้งในชุด 50 ความท้าทาย

6. มีเครื่อง 100 เครื่องที่มีกำลังเท่ากันซึ่งทำงานแยกกันในโหมดเดียวกันซึ่งเปิดไดรฟ์เป็นเวลา 0.8 ชั่วโมงทำงาน ความน่าจะเป็นที่จะเปิดเครื่องระหว่าง 70 ถึง 86 เครื่องในช่วงเวลาหนึ่งๆ เป็นเท่าใด

7. โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 7 ลูก และโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและสีดำ 3 ลูก สุ่มจับ 4 ลูกจากโกศแรกและ 1 ลูกจากโกศที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีลูกบอลสีดำเพียง 4 ลูกในลูกบอลที่สุ่มจับ

8. ทุกวันมีการส่งมอบรถยนต์สามยี่ห้อไปยังตัวแทนจำหน่ายรถยนต์ในปริมาณ: Moskvich - 40%; "โอเค" - 20%; "โวลก้า" - 40% ของรถยนต์นำเข้าทั้งหมด ในบรรดารถยนต์ของแบรนด์ Moskvich 0.5% มีอุปกรณ์กันขโมย Oka - 0.01%, Volga - 0.1% ค้นหาความน่าจะเป็นที่รถที่ทำการทดสอบมีอุปกรณ์กันขโมย

9. ตัวเลขและสุ่มเลือกบนเซ็กเมนต์ หาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขเหล่านี้ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน

10. ให้กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X:

X
พี	0,1	0,2	0,3	0,4

ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X; ความหมาย F(2); ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม Xจะเอาค่าจากช่วง สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย

เราสามารถแยกแยะกฎทั่วไปของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องได้:

• กฎหมายการกระจายทวินาม
• กฎหมายจำหน่ายปัวซอง
• กฎหมายการกระจายทางเรขาคณิต
• กฎหมายการกระจายแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก

สำหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่ให้มา การคำนวณความน่าจะเป็นของค่าของพวกมัน ตลอดจนลักษณะเชิงตัวเลข (การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ฯลฯ) จะดำเนินการตาม "สูตร" บางอย่าง ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องทราบประเภทของการแจกแจงและคุณสมบัติพื้นฐานของพวกมัน

1. กฎหมายว่าด้วยการกระจายทวินาม

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ อยู่ภายใต้การแจกแจงความน่าจะเป็นทวินาม หากใช้ค่า $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ที่มีความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. อันที่จริง ตัวแปรสุ่ม $X$ คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ $A$ ในการทดลองอิสระ $n$ กฎการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่ม $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \จุด & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$

สำหรับตัวแปรสุ่มดังกล่าว ความคาดหวังคือ $M\left(X\right)=np$ ความแปรปรวนคือ $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$

ตัวอย่าง . ในครอบครัวมีลูกสองคน สมมติว่าความน่าจะเป็นที่เกิดของเด็กชายและเด็กหญิงเท่ากับ $0.5$ ให้หากฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม $\xi $ - จำนวนเด็กผู้ชายในครอบครัว

ให้ตัวแปรสุ่ม $\xi $ เป็นจำนวนเด็กผู้ชายในครอบครัว ค่าที่ $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ สามารถรับได้ ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้สามารถพบได้โดยสูตร $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$ โดยที่ $n =2$ - จำนวนการทดลองใช้อิสระ $p=0.5$ - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในชุดการทดลอง $n$ เราได้รับ:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $\xi $ คือความสอดคล้องระหว่างค่า $0,\ 1,\ 2$ และความน่าจะเป็นของพวกมัน เช่น:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
พี(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(array)$

ผลรวมของความน่าจะเป็นในกฎหมายการกระจายต้องเท่ากับ $1$ นั่นคือ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

ความคาดหวัง $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ความแปรปรวน $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\ประมาณ $0.707

2. กฎหมายการกระจายปัวซอง

หากตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ สามารถรับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ​​$0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ที่มีความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

ความคิดเห็น. ลักษณะเฉพาะของการแจกแจงนี้คือ จากข้อมูลการทดลอง เราพบค่าประมาณ $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, หากค่าประมาณที่ได้รับใกล้เคียงกัน เราก็ มีเหตุผลที่จะยืนยันว่าตัวแปรสุ่มอยู่ภายใต้กฎหมายการกระจายปัวซอง

ตัวอย่าง . ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่อยู่ภายใต้กฎหมายการจำหน่ายปัวซอง ได้แก่ จำนวนรถยนต์ที่จะเข้ารับบริการในวันพรุ่งนี้โดยปั๊มน้ำมัน จำนวนรายการที่มีข้อบกพร่องในผลิตภัณฑ์ที่ผลิต

ตัวอย่าง . โรงงานส่งสินค้า $500$ ไปที่ฐาน ความน่าจะเป็นของความเสียหายของผลิตภัณฑ์ระหว่างการขนส่งคือ 0.002 เหรียญสหรัฐฯ ค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เสียหาย ซึ่งเท่ากับ $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

ให้ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ เป็นจำนวนรายการที่เสียหาย ตัวแปรสุ่มดังกล่าวอยู่ภายใต้กฎหมายการแจกแจงปัวซองด้วยพารามิเตอร์ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ ความน่าจะเป็นของค่าคือ $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0 .)}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1 .)}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2 .)}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3 .)}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4 .)}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5 .)}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6 .)}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

สำหรับตัวแปรสุ่มดังกล่าว ค่าคาดหมายและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์จะเท่ากันและเท่ากับพารามิเตอร์ $\lambda $ นั่นคือ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. กฎการแจกแจงทางเรขาคณิต

หากตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ สามารถรับได้เฉพาะค่าธรรมชาติ ​​$1,\ 2,\ \dots ,\ n$ โดยมีความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ ขวา)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $ จากนั้นเราบอกว่าตัวแปรสุ่มดังกล่าว $X$ อยู่ภายใต้กฎเรขาคณิตของการแจกแจงความน่าจะเป็น อันที่จริง การกระจายทางเรขาคณิตดูเหมือนจะเป็นการทดลองของ Bernoulli สู่ความสำเร็จครั้งแรก

ตัวอย่าง . ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงทางเรขาคณิต ได้แก่ จำนวนนัดก่อนยิงเป้าครั้งแรก จำนวนการทดสอบอุปกรณ์ก่อนความล้มเหลวครั้งแรก จำนวนเหรียญที่โยนก่อนหัวแรกเป็นต้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่ขึ้นอยู่กับการแจกแจงทางเรขาคณิตคือ $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) ตามลำดับ /p^ 2$.

ตัวอย่าง . ระหว่างทางที่ปลาเคลื่อนตัวไปยังที่วางไข่จะมีการล็อค $4$ ความน่าจะเป็นที่ปลาจะลอดผ่านแต่ละล็อคคือ $p=3/5$ สร้างชุดการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ - จำนวนล็อคที่ผ่านโดยปลาก่อนที่จะหยุดครั้งแรกที่ล็อค ค้นหา $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$

ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนประตูน้ำที่ผ่านโดยปลาก่อนที่จะหยุดแรกที่ประตูน้ำ ตัวแปรสุ่มดังกล่าวอยู่ภายใต้กฎเรขาคณิตของการแจกแจงความน่าจะเป็น ค่าที่ตัวแปรสุ่ม $X สามารถรับได้คือ: 1, 2, 3, 4 ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้คำนวณโดยสูตร: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$ โดยที่: $ p=2/5$ - ความน่าจะเป็นที่ปลาจะถูกจับผ่านล็อค $q=1-p=3/5$ - ความน่าจะเป็นที่ปลาจะลอดผ่านล็อค $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ มากกว่า(5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ เกิน (5))\cdot ((9)\over (25))=(18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(array)$

มูลค่าที่คาดหวัง:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

การกระจายตัว:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ ซ้าย(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\ประมาณ 1.377.$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ประมาณ 1,173.$

4. กฎหมายการกระจายแบบ Hypergeometric

หากมีวัตถุ $N$ ซึ่งวัตถุ $m$ มีคุณสมบัติที่กำหนด สุ่มโดยไม่มีการแทนที่ อ็อบเจ็กต์ $n$ จะถูกแยกออก โดยมีอ็อบเจ็กต์ $k$ ที่มีคุณสมบัติที่กำหนด การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกทำให้สามารถประมาณความน่าจะเป็นที่ออบเจ็กต์ $k$ ในกลุ่มตัวอย่างมีคุณสมบัติที่กำหนด ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนของอ็อบเจ็กต์ในตัวอย่างที่มีคุณสมบัติที่กำหนด ความน่าจะเป็นของค่าตัวแปรสุ่ม $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

ความคิดเห็น. ฟังก์ชันทางสถิติ HYPERGEOMET ของตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน $f_x$ ของ Excel ช่วยให้คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่การทดลองจำนวนหนึ่งจะประสบความสำเร็จ

$f_x\to $ สถิติ$\to $ HYPERGEOMET$\to $ ตกลง. กล่องโต้ตอบจะปรากฏขึ้นที่คุณต้องกรอก ในกราฟ Number_of_successes_in_sampleระบุค่าของ $k$ ขนาดตัวอย่างเท่ากับ $n$ ในกราฟ Number_of_successes_in_populationระบุค่าของ $m$ Population_sizeเท่ากับ $N$

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ ภายใต้กฎการแจกแจงทางเรขาคณิตคือ $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

ตัวอย่าง . แผนกสินเชื่อของธนาคารมีผู้เชี่ยวชาญ 5 คนที่มีการศึกษาด้านการเงินที่สูงขึ้นและ 3 ผู้เชี่ยวชาญที่มีการศึกษาด้านกฎหมายที่สูงขึ้น ฝ่ายบริหารของธนาคารตัดสินใจส่งผู้เชี่ยวชาญ 3 คนเข้ารับการฝึกอบรมขั้นสูงโดยสุ่มเลือก

ก) จัดทำชุดการแจกจ่ายจำนวนผู้เชี่ยวชาญที่มีการศึกษาด้านการเงินที่สูงขึ้นซึ่งสามารถนำไปฝึกอบรมขั้นสูงได้

b) ค้นหาคุณสมบัติเชิงตัวเลขของการแจกแจงนี้

ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนผู้เชี่ยวชาญที่มีการศึกษาด้านการเงินที่สูงขึ้นในสามคนที่เลือก ค่าที่ $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ ใช้ได้ ตัวแปรสุ่ม $X$ นี้ถูกแจกจ่ายตามการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้: $N=8$ - ขนาดประชากร, $m=5$ - จำนวนความสำเร็จในประชากร, $n=3$ - ขนาดตัวอย่าง, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - จำนวนความสำเร็จในกลุ่มตัวอย่าง จากนั้นความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)$ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ มากกว่า C_( N)^(n) ) $ เรามี:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ประมาณ 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\ประมาณ 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\ประมาณ 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ประมาณ 0.179.$

จากนั้นชุดการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(array)$

ให้เราคำนวณคุณสมบัติเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม $X$ โดยใช้สูตรทั่วไปของการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\ประมาณ 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ประมาณ 0.7085.$

คำจำกัดความ 2.3 ตัวแปรสุ่มที่แสดงโดย X เรียกว่า discrete หากใช้ชุดค่าที่จำกัดหรือนับได้ เช่น set เป็นเซตจำกัดหรือนับได้

พิจารณาตัวอย่างตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

1. เหรียญสองเหรียญถูกโยนครั้งเดียว จำนวนเสื้อคลุมแขนในการทดลองนี้เป็นตัวแปรสุ่ม X. ค่าที่เป็นไปได้คือ 0,1,2 เช่น เป็นเซตจำกัด

2. จำนวนการโทรของรถพยาบาลในช่วงเวลาที่กำหนดจะถูกบันทึกไว้ ค่าสุ่ม X- จำนวนการโทร ค่าที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, 3, ..., i.e. =(0,1,2,3,...) เป็นเซตที่นับได้

3. มีนักเรียน 25 คนในกลุ่ม บางวันมีการบันทึกจำนวนนักเรียนที่มาเรียน - ตัวแปรสุ่ม X. ค่าที่เป็นไปได้คือ: 0, 1, 2, 3, ..., 25 เช่น =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

แม้ว่าทั้ง 25 คนในตัวอย่างที่ 3 จะพลาดคลาสไม่ได้ แต่ตัวแปรสุ่ม Xสามารถรับค่านี้ได้ ซึ่งหมายความว่าค่าของตัวแปรสุ่มมีความน่าจะเป็นต่างกัน

พิจารณาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ให้ทำการทดลองแบบสุ่ม ซึ่งสอดคล้องกับพื้นที่จำกัดหรือนับได้ของเหตุการณ์เบื้องต้น ให้เราพิจารณาการทำแผนที่ของช่องว่างนี้บนเซตของจำนวนจริง เช่น เราเชื่อมโยงเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาแต่ละเหตุการณ์กับจำนวนจริงบางตัว , ชุดของตัวเลขในกรณีนี้สามารถจำกัดหรือนับได้เช่น หรือ

ระบบของเซตย่อย ซึ่งรวมถึงเซตย่อยใดๆ รวมถึงหนึ่งจุด จะสร้าง -พีชคณิตของเซตตัวเลข (-อย่างจำกัดหรือนับได้)

เนื่องจากเหตุการณ์เบื้องต้นใดๆ มีความเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นบางอย่าง ฉัน(ในกรณีของ finite all ) และ จากนั้นเราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นให้กับแต่ละค่าของตัวแปรสุ่มได้ ฉัน, ดังนั้น .

อนุญาต Xเป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ หมายถึง อาร์เอ็กซ์ (x)ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม Xมีค่าเท่ากับ X, เช่น. P X (x) \u003d P (X \u003d x). จากนั้นฟังก์ชั่น อาร์เอ็กซ์ (x)สามารถรับค่าบวกได้เฉพาะค่าเหล่านั้นเท่านั้น Xซึ่งเป็นของเซตจำกัดหรือนับได้ และสำหรับค่าอื่นๆ ทั้งหมด ความน่าจะเป็นของค่านี้ P X (x)=0.

ดังนั้นเราจึงกำหนดชุดของค่า -algebra เป็นระบบของชุดย่อยใด ๆ และสำหรับแต่ละเหตุการณ์ ( X=x) เปรียบเทียบความน่าจะเป็น สำหรับใด ๆ เช่น สร้างพื้นที่ความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นของการทดลองที่ประกอบด้วยการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้งประกอบด้วยเหตุการณ์พื้นฐานสี่เหตุการณ์: โดยที่

เมื่อโยนเหรียญสองครั้ง ตะแกรงสองอันหลุดออกมา เมื่อเหรียญถูกโยนสองครั้ง เสื้อแขนสองอันหลุดออกมา

ในการโยนเหรียญครั้งแรก ตะแกรงหลุดออกมา และครั้งที่สอง เสื้อคลุมแขน;

ในการโยนเหรียญครั้งแรก เสื้อคลุมแขนหลุดออกมา และในครั้งที่สอง ตะแกรง

ให้ตัวแปรสุ่ม Xคือจำนวนการดรอปเอาต์ขัดแตะ มันถูกกำหนดและชุดของค่าของมัน . ชุดย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด รวมถึงหนึ่งจุด รูปแบบ - พีชคณิต เช่น =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ( X=x ฉัน}, і = 1,2,3 เรากำหนดให้มันเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นต้นแบบ:

ดังนั้นในเหตุการณ์เบื้องต้น ( X = x ฉัน) ตั้งค่าฟังก์ชันตัวเลข อาร์เอ็กซ์, ดังนั้น .

คำจำกัดความ 2.4. กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือชุดของคู่ของตัวเลข (x ผม , pi) โดยที่ x i คือค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม และ pi คือความน่าจะเป็นที่จะใช้ค่าเหล่านี้ และ .

รูปแบบที่ง่ายที่สุดในการระบุกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือตารางที่แสดงค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

			…		…
			…		…

ตารางดังกล่าวเรียกว่าแถวการแจกจ่าย เพื่อให้ชุดการแจกจ่ายมีความชัดเจนยิ่งขึ้น โดยจะแสดงเป็นภาพกราฟิก: บนแกน โอ้ใส่จุด x ฉันแล้วลากเส้นตั้งฉากกับความยาว ฉัน. ผลลัพธ์ที่ได้จะเชื่อมต่อกันและได้รับรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นหนึ่งในรูปแบบของกฎการกระจาย (รูปที่ 2.1)

ดังนั้น ในการตั้งค่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง คุณต้องตั้งค่าและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง 2.2ตัวรับเงินสดของเครื่องจะทำงานทุกครั้งที่มีการดรอปเหรียญด้วยความน่าจะเป็น R. เมื่อมันทำงานแล้วเหรียญจะไม่ถูกลดระดับลง อนุญาต X- จำนวนเหรียญที่ต้องลดก่อนเปิดใช้งานเครื่องรับเงินสด สร้างชุดการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X.

วิธีการแก้.ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ...มาหาความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้กัน: หน้า 1คือความน่าจะเป็นที่ลิ้นชักเก็บเงินจะทำงานเมื่อลงจากขั้นแรก และ หน้า 1 =p; หน้า 2 -ความน่าจะเป็นที่จะพยายามสองครั้ง ในการทำเช่นนี้มีความจำเป็นที่: 1) ในความพยายามครั้งแรกผู้รับเงินไม่ทำงาน; 2) ในความพยายามครั้งที่สอง - มันใช้งานได้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ (1–r)r. ในทำนองเดียวกัน และอื่นๆ . ช่วงการกระจาย Xจะอยู่ในรูปแบบ

	1	2	3	…	ถึง	…
	R	qp	q 2 p		q r -1 p

สังเกตว่าความน่าจะเป็น r ถึงสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน: 1–p=q, q<1, การกระจายความน่าจะเป็นนี้จึงเรียกว่า เรขาคณิต.

ให้เราสมมติต่อไปว่าได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แล้ว การทดลองที่อธิบายโดยตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xและพิจารณาคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามอำเภอใจ

ให้เหตุการณ์ที่กำหนดเองมีชุดค่าที่จำกัดหรือนับได้ x ฉัน: ก= {x 1 , x 2 ,..., x ผม , ...) .เหตุการณ์ แต่สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ของรูปแบบ : . จากนั้นใช้สัจพจน์ของ Kolmogorov 3 , เราได้รับ

เนื่องจากเราได้กำหนดความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ให้เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นตัวต้นแบบ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ , , สามารถคำนวณได้โดยสูตร เนื่องจากเหตุการณ์นี้สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเหตุการณ์ โดยที่ .

จากนั้นฟังก์ชันการกระจาย F(х) = Р(–<Х<х) หาได้ตามสูตร ตามมาด้วยฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xไม่ต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในการกระโดด กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันขั้นตอน (รูปที่ 2.2):

ถ้าเซตมีจำกัด จำนวนเทอมในสูตรก็จะจำกัด ถ้านับได้ จำนวนเทอมก็นับได้เช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2.3อุปกรณ์ทางเทคนิคประกอบด้วยสององค์ประกอบที่ทำงานแยกจากกัน ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวขององค์ประกอบแรกในเวลา T คือ 0.2 และความน่าจะเป็นของความล้มเหลวขององค์ประกอบที่สองคือ 0.1 ค่าสุ่ม X- จำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในเวลา T ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มและสร้างกราฟ

วิธีการแก้.พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นของการทดลอง ซึ่งประกอบด้วยการศึกษาความน่าเชื่อถือของสององค์ประกอบของอุปกรณ์ทางเทคนิค ถูกกำหนดโดยเหตุการณ์พื้นฐานสี่เหตุการณ์ , , , : – องค์ประกอบทั้งสองอยู่ในลำดับที่ดี - องค์ประกอบแรกสามารถใช้งานได้ส่วนที่สองมีข้อบกพร่อง - องค์ประกอบแรกมีข้อบกพร่องส่วนที่สองสามารถใช้งานได้ - องค์ประกอบทั้งสองมีข้อบกพร่อง เหตุการณ์เบื้องต้นแต่ละเหตุการณ์สามารถแสดงเป็นเหตุการณ์เบื้องต้นของช่องว่างได้ และ โดยที่ – องค์ประกอบแรกสามารถใช้งานได้; - องค์ประกอบแรกไม่เป็นระเบียบ – องค์ประกอบที่สองสามารถใช้ประโยชน์ได้ - องค์ประกอบที่สองไม่เป็นระเบียบ จากนั้นและเนื่องจากองค์ประกอบของอุปกรณ์ทางเทคนิคทำงานเป็นอิสระจากกันดังนั้น

8. ความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องอยู่ในช่วงเป็นเท่าใด

คำจำกัดความ 1

ตัวแปรสุ่ม $X$ เรียกว่าไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) ถ้าชุดของค่านั้นไม่มีที่สิ้นสุดหรือจำกัด แต่นับได้

กล่าวอีกนัยหนึ่งปริมาณเรียกว่าไม่ต่อเนื่องหากสามารถระบุค่าได้

คุณสามารถอธิบายตัวแปรสุ่มได้โดยใช้กฎการกระจาย

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ สามารถให้ในรูปแบบของตารางในแถวแรกซึ่งค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มจะถูกระบุในลำดับจากน้อยไปมากและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันในแถวที่สอง ของค่าเหล่านี้:

รูปที่ 1

โดยที่ $p1+ p2+ ... + pn = 1$

ตารางนี้คือ ใกล้การกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง.

หากชุดของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเป็นอนันต์ อนุกรม $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ จะบรรจบกันและผลรวมจะเท่ากับ $1$

กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ สามารถแสดงเป็นกราฟได้ ซึ่งเส้นที่ขาดถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัด (สี่เหลี่ยม) ซึ่งเชื่อมต่อจุดต่างๆ ตามลำดับด้วยพิกัด $(xi;pi), i=1,2, ... n$. ไลน์ที่โทรมา รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย.

รูปที่ 2

กฎหมายการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ สามารถแสดงด้วยการวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

การดำเนินการเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่ไม่ต่อเนื่อง

เมื่อแก้ปัญหาหลายๆ อย่างของทฤษฎีความน่าจะเป็น จำเป็นต้องดำเนินการคูณตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องด้วยค่าคงที่ บวกตัวแปรสุ่มสองตัว คูณมัน แล้วนำมาเป็นกำลัง ในกรณีเหล่านี้ จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

คำจำกัดความ 3

โดยการคูณตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ ถึงค่าคงที่ $K$ เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $Y=KX,$ ซึ่งเกิดจากความเท่าเทียมกัน: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

คำจำกัดความ 4

ตัวแปรสุ่มสองตัว $x$ และ $y$ ถูกเรียก เป็นอิสระหากกฎการกระจายของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ ค่าที่สองที่ได้รับ

คำจำกัดความ 5

ผลรวมตัวแปรสุ่มแยกอิสระสองตัว $X$ และ $Y$ ถูกเรียกตัวแปรสุ่ม $Z=X+Y $ เกิดจากความเท่าเทียมกัน: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

คำจำกัดความ 6

โดยการคูณตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองตัว $X$ และ $Y$ ถูกเรียกตัวแปรสุ่ม $Z=XY, $ เกิดจากความเท่าเทียมกัน: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

ให้เราพิจารณาว่าผลิตภัณฑ์บางอย่าง $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ สามารถมีค่าเท่ากันได้ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการเพิ่มผลคูณเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น ถ้า $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ความน่าจะเป็นของ $x_2y_3$ (หรือ $x_5y_7$ เดียวกัน) จะเท่ากับ $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

ข้างต้นยังใช้กับจำนวนเงิน ถ้า $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ ความน่าจะเป็นของ $x_1+\ y_2$ (หรือ $x_4+\ y_6$ เดียวกัน) จะเป็น $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ และ $Y$ ถูกกำหนดโดยกฎหมายการกระจาย:

รูปที่ 3

โดยที่ $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ จากนั้นกฎการกระจายสำหรับผลรวม $X+Y$ จะมีลักษณะดังนี้

รูปที่ 4

และกฎการกระจายของผลิตภัณฑ์ $XY$ จะมีรูปแบบ

รูปที่ 5

ฟังก์ชันการกระจาย

คำอธิบายที่สมบูรณ์ของตัวแปรสุ่มยังได้รับจากฟังก์ชันการแจกแจง

ในเชิงเรขาคณิต ฟังก์ชันการกระจายอธิบายเป็นความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ ใช้ค่าที่แสดงบนเส้นจริงโดยจุดที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด $x$